januari 28, 2013 Hewitt kap 19 transversella vågor longitudinella vågor fortskridande vågor superposition och interferens reflektion fri ändpunkt fixerad ändpunkt • stående vågor • chockvågor · transversella - rörelse vinkelrätt på utbredningsriktning · enkelt att visualisera · återställande kraft? Spänning, enhet newton, jämvikt är rak · mått för tröghet? massa per längdenhet · dimensionsanalys för utbredningshastighet utbredningshastighet: v [m/s] spännkraft: T (tension) [N] = [kg m/s2]; linjär densitet: ⍴ [kg/m] vågekvation (Benson): T d2u/dx2 = ρd2u/dt2 F på ett längdelement δℓ kraf • • • • • Vågor på strängar = m a (Newtons lag) lösning: u(x,t) = A sin(kx - ωt + φ); k=2π/λ; v=ω/k = √(T/ρ) Betrakta en vågform u=f(x,t) som utbreder sig längs x-axeln. Om dess profil inte ändras, är u=f(x-vt), där v är utbredningshastighet. (plus-tecken om vågen rör sig till vänster) Om vi antar att funktionen f är två gånger differentierbar, har vi dessa partiella derivator genom kedjeregeln: ∂2u/∂x2 = f"(x-vt) ∂2u/∂t2 = v2 f"(x-vt). Då är u en lösning av denna differentialekvation: ∂2u/∂t2 = v2 ∂2u/∂x2 - vågekvationen Exempel: f(x-vt) = A sin(kx-ωt) där v = ω/k är en lösning Longitudinella vågor • • • • • • • rörelser i samma riktning som vågutbredningen mycket svårare att visualisera och demonstrera viktiga: ljud mått för tröghet återställande kraft: fjäderkonstanten i en stav: elasticitetsmodulen, Youngs modul) luft: luftens elasticitet = tryck (återkommer) januari 28, 2013 Interferens och superposition • vågekvationen är linjär (inga termer prop mot x2 osv) • om ψ och φ är lösningar, är även φ+ψ en lösning • vågor passerar rakt igenom varandra Reflektion · fixerad ändpunkt · utvikelsen alltid noll · som en speglad våg med motsatt tecken • • • • fri ändpunkt den återställande kraften från resten av strängen saknas utvikelsen blir två gånger så stor som en speglad våg med samma tecken från andra sidan PhET: Vågor på ett rep Stående vågor • summa av två fortskridande vågor av samma frekvens och amplitud med motsatt hastighet januari 28, 2013 Vågutbredningshastigheten v och våglängden λ En periodisk störning (med period T) ger i ett medium med utbredningshastighet v upphov till en våg med periodiskt beroende på avståndet till källan x. Periodiciteten i rummet kallas våglängd λ. Chockvågor, ljudknall, cerenkov Doppler effekt • Hewitts video Överljudsfart januari 28, 2013 Cerenkov-ljuset