Mekaniska vågor (Kap. 15)
Vågor och Optik
Mekaniska vågor (Kap. 15)
D’Alemberts allmäna lösning i 1D
En mekanisk våg är en störning i ett medium som fortplantar
sig.
"2 y 1 "2 y $ " 1 " '$ " 1 " '
#
=& #
)& +
)y = 0
"x 2 v 2 "t 2 % "x v "t (% "x v "t (
om
q * x # ct
r * x + ct
Materia är uppbyggd av atomer. Mellan atomerna verkar
krafter.
En enkel boll-och-fjäder modell.
blir
" 1 "
"
#
=2
"x v "t
"q
" 1 "
"
+
=2
"x v "t
"r
Periodiska vågor: speciellt harmoniska (=sinus-) vågor
Pulser
!
Kvasiperiodiska vågor
därmed
Brus
Man kan definiera en vågfunktion: y(x,t)
Vågfunktion måste uppfylla vågekvationen:
! 2 y ( x, t )
1 ! 2 y ( x, t )
= 2
!x 2
v
!t2
4
"2 y
=0
"q"r
! med
y(q,r) = g(q) + f (r)
eller
y(x,t) = g(x " ct) + f (x + ct)
Som visar att den allmänna lösningen av vågekvationen kan uttryckas som
! en linjärkombination av var en!godtycklig vågfunktion med
utbredningsriktning +x respektive -x.
OBS: vissa ”naturliga” fysikaliska villkor existerar såsom funktionens
kontinuitet m.m.
Härledning av vågekvationen för vågor
på en sträng
Vågor på en sträng: det endimensionella fallet
Fy t = mv y
Newtons andra lag för små vinklar, konstant och
positionsoberoende strängspänning (F),
enbart transversella rörelser ger:
Våg
Fy v y t
v
=
" Fy = F y
F
vt
v
viloläget
vy
t
v
transversell _ rörelsemängd = (µvt)v y
a
vågutbredning
$ "y "y '
"2y
F & 2 # 1 ) = µ*x 2
% "x "x (
"t
1 $ "y 2 "y1 ' " 2 y
"2y
"2y
lim
#
&
)= 2 , F 2 =µ 2
*x +0 *x % "x
"x ( "x
"x
"t
transversell _ impuls = Fy t = F
v
F y t = (µvt)v y
v
F
v=
våghastigheten på en sträng
µ
Lutning = !y/!x
F
Fy
!y
"2y 1 "2y
=
"x 2 c 2 "t 2
där
x
y
!x
Strängspänning
c-
"
Vågor transporterar energi
"
Vågornas intensitet (3 dim.)
(strängen)
För 3-dim. vågor definieras: Intensitet = medeleffekt per ytenhet I= Pmedel/A
vågutbredning
Energi överförs till strängen
i vågens rörelseriktning.
Intensitet I1
viloläget
Den momentana energiöverföring i en viss punkt på strängen är lika med den effekten P:
r #y(x,t ) #y(x,t )
P(x,t )=Fy (x,t )v y (x,t )=" F
#x
#t
Speciellt för sinusvågor ger derivering
och insättning:
r
2
P(x,t)
=
F
"
kA
sin 2 ("t # kx) = cµA 2" 2 sin 2 ("t # kx)
y(x,t) = Asin("t # kx)
!
!
F
µ
Allmänt hänger utbredningshastigheten ihop med mediets elastiska egenskaper.
!
!2y(x,t)/ !t2
återställningskraften i mediet
v=
=
tröghet i återställning till viloläget
!2y(x,t)/ !x2
!
Våg
a
$y(x,t)
= #kA sin("t # kx)
$x
$y(x,t)
= "Asin("t # kx)
$t
Sfäriska vågor:
Pmax = 2Pmedel = cµA 2" 2
och
dE
P =c
= cU
dx
ger _ energidensiteten
U max = 2U medel = µA 2" 2
Allmänt definierar man för 3-dim. vågor (T.ex. plana ljudvågor att
Intensitet = medeleffekt per ytenhet
OBS:
! Vågor transporterar energi dock ej materia
I=
P
I = medel
area
Pmedel
4 "r 2
punktkälla
!
Intensitet I2 <I1
A
Interferens och superpositionB
Reflektion och transmission!
Två sammanfogade delar med olika linjär densitet, µ1 och µ2.
Spännkraft F.
µ1
F
µ2
P
1
F
2
x
0
Vågens utbredning beskrivs med tre vågfunktioner: en infallande våg yin, en
transmitterad våg ytrans och en reflekterad våg yrefl:
yin(x,t) = A sin(#int - kinx)
Inkommande:
t1
Utgående:
Vågen reflekteras i mittpunkten med 180o fasskift.
t2
ytrans(x,t) = C sin(#transt - ktransx)
yrefl(x,t) = B sin(#reflt + kreflx)
Situationen motsvarar reflektion med lös ände som i
tidigare figur. Alltså inget fasskift.
OBS tecknet i fasen!
Hur bestämmer man de utgående amplituderna utifrån den ursprungliga vågfunktionen yin?
Reflektion och transmission
av mekaniska vågor
Reflektion och transmission
av mekaniska vågor
Randvillkor 1 (strängen kontinuerlig):
Vi väljer x=0 i sammanfogningspunkten. Det första randvillkoret ger då att:
yin(0,t) + yrefl(0,t) = ytrans(0,t)
(4)
A sin(#int) + B sin(#reflt) = C sin(#transt)
(5)
Våghastigheten i strängens två delar, 1 och 2, är olika pga. olika densitet µ:
dvs.
v1 = " F/µ1
(frekvensen konstant!)
A+B=C
(7)
Randvillkor 2 (derivatan kontinuerlig):
!yin(0,t)/ !x + !yrefl(0,t)/ !x = !ytrans(0,t)/ !x
(8)
Derivera (1), (2) och (3) samt sätt in i (8):
-kinA + kreflB = -ktransC
(9)
v2 = " F/µ2
(11)
De olika vågorna har samma frekvens, se (6). Dock ändras våglängd och vågtal
mellan områdena 1 och 2:
Eftersom detta ska gälla vid alla tidpunkter måste gälla:
#in = #refl = #trans = #
(10) resp.
(6)
det betyder:
Vågtalet bestäms av vinkelfrekvens och våghastighet: k = #/v
kin =krefl =k1
(12)
och ktrans =k2
k1 = #/v1 = # "µ1/F
(13)
resp.
k2 = #/v2 = # "µ2/F
(14)
Reflektion och transmission
av mekaniska vågor
Reflektion och transmission
av mekaniska vågor
Vi kan nu utrycka (definiera) reflektions- och transmissionskoefficienterna R resp. T:
R = B/A och
T = C/A
(7) och (9) ger
k1 (-A + B) = -k2 (A + B)
Vi ska definiera reflektivitet R resp. transmittivitet T som den
andelen av effekten som reflekteras resp. transmitteras.
R"
det ger:
Prefl
Pin
Z1 " µ1c1
Vi definierar
R = B/A = (k1 – k2) / (k1 + k2)
(7) och (9) ger också
det ger:
!
k1 (-A + (C-A)) = -k2 C
T = C/A = 2 k1 /(k1 + k2)
T"
Ptrans
Pin
Som allmänt kallas för karakteristisk impedans.
Z 2 " µ 2c 2
!
2
2 2
# Z1 ) Z 2 & 2
µ1c1B " # B &
2
R=
=% ( = r =%
(
! µ1c1 A 2" 2 $ A '
$ Z1 + Z 2 '
Reflektions- och transmissionskoefficienterna beror alltså bara på vågtalen.
µ " µ2
r= 1
µ1 + µ2
Eftersom spännkraften är konstant och
lika över hela strängen kan vi
uttrycka amplitudkoefficienterna i de
linjära densiteten:
t=
!
2 µ1
µ1 + µ2
!
!
Stående vågor
kan uppstå i begränsade medier
Den inkommande vågen och den reflekterade
vågen interfererar.
y1(x,t) = A sin(#t + kx) (rör sig åt vänster)
y2(x,t) = -A sin(#t - kx) (rör sig åt höger,
fasskiftad 180o)
y(x,t) = A [sin(#t + kx) - sin(#t - kx)]
Skrivas om (med trigonometriska
summaformler):
y(x,t) = 2A sin (kx) cos(#t)
(stående våg på en sträng fixerad i x=0)
YF Applet 10.4-6
!
2
µ2c 2C 2" 2 µ2c 2 # C & µ2c 2 2 4 Z1Z 2
T=
=
t =
% ( =
2
µ1c1 A 2" 2 µ1c1 $ A '
µ1c1
(Z1 + Z 2 )
Normalmoder
Normalmoder är alla möjliga
stående sinusvågor
som kan uppstå i ett begränsat medium.
Maximal våglängd: $max = 2L
Normalmoder uppträder med våglängderna:
$n = 2L/n
n = 1,2,3,…
Lägsta frekvensen (fundamentalfrekvens eller
grundton och motsvarar max. våglängd)::
f1 = v/2L
(v = "F/µ)
Övriga stående vågfrekvenser kallas övertoner
(eng. higher harmonics)
fn = n v/2L
n = 1,2,3,…
Observera att detta bildar en
Fourierserie, dvs. en godtycklig
vågfunktion i mediet kan alltså
beskrivas genom en linjärkombination
av normalmoder.
Stående vågor i stränginstrument
Klangfärgen av ett musikinstrument bestäms av
intensitetsfördelningen av normalmoderna (Fourierserie):
Också kallat för ljudspektrum
Vektorrepresentation av vågor
Im
Im
r sin !
Komplex representation:
z~ = x + iy
(x + iy)
y
z
r
%
r cos !
x
Re
Re
Både realdelen och imaginärdelen kan användas för
att beskriva en harmonisk våg. Med Eulers formler:
ei! = cos! + i sin! och
Om pilen i
“Arganddiagrammet” sätts att
rotera med konstant hastighet
kommer denna att representera
en harmonisk våg.
En sådan roterande vektor
kallas fasvektor.
e-i! = cos! & i sin!
kan vi skriva:
z = x + iy = r(cos! + i sin!) = r ei!
Im
En harmonisk våg kan därför skrivas:
Ergo:
När man knäppar på en gitarrsträng dominerar de tre första övertonerna!
A2
A
%
A cos #t
" (x,t) = A cos (#t –kx –')
Sammanfattning, del 1
Fasvektorer och vågaddition
Addera vågor som vektorer.
r
" (x,t) = Re [A
Vanligen används realdelen, vilket alltså motsvarar:
Vektorrepresentation av vågor
Roterande pil i Argand-kallas fasvektor (eng. phasor).
A sin #t
ei(#t-kx-')]
2
Vågekvationen:
Harmoniska
vågfunktioner:
! y ( x, t )
1 ! 2 y ( x, t )
= 2
2
!x
v
!t2
Med vågutbredningens hastighet v = %f
y(x,t) = A sin (#t-kx)
(rör sig i +x-riktningen)
y(x,t) = A sin (#t+kx)
(rör sig i -x-riktningen)
(2
(1
A1
För dessa gäller principen för linjär superposition.
Våghastigheten beror av strängens spänning och linjära densitet:
Fasvektorer motsvarar inte fysikaliska vektorer men
de kan adderas som vektorer.
De skrivs:
A $
A är amplituden och $ är fasen (som är
relativ och anges i förhållande till en referensvåg).
Normalmoder på en sträng (våglängd, frekvens)
Reflektion och transmission vid
gränssnittet mellan 2 olika strängar:
v = " F/µ
y(x,t) = 2A sin (kx) cos(#t)
Vågfunktion för stående våg:
fn = n v/2L
$n = 2L/n
R = ("µ1& "µ2) / ("µ1+ "µ2)
och
* = 2"µ1 / ("µ1+ "µ2)
Vågor transporterar energi
men inte materia:
Pmax = "µF #2)2
Pmedel = 0.5 "µF #2)2
Intensitet = medeleffekt per ytenhet
Re
