Begreppsbildning

251
Att upptäcka begrepp i matematik
Med grafräknare lyfter vi fram olika matematiska begrepp via ett antal problem.
Deltagarna ges möjlighet att använda räknaren (TI-83 med applikationsprogram) under passet.
Eva-Stina Källgården och Gunilla Olofsson
Eva-Stina är gymnasielärare och lärarutbildare på Lärarhögskolan i Stockholm
Gunilla är lärarutbildare och arbetar i PRIM-gruppen vid Lärarhögskolan i Stockholm
De är båda engagerade i att utveckla matematikinnehåll och arbetssätt i skolan och ingår i T3,
med att utveckla och genomföra kurser för lärare. (http://www.t3-sverige.nu / )
Workshop
Problem med begrepp
Problemen presenteras och löses tillsammans i grupp. Arbetet kommer att genomföras på
motsvarande sätt som i en gymnasiegrupp.
Räknaren inbjuder till ett kreativt arbetssätt. Det egna tänkandet i samspel med räknarens
bilder ger en möjlighet till en inre kommunikation. Genom diskussion ”hörs” tankarna, via ett
matematiskt strukturerat språk i en yttre kommunikation.
Med ”Cabri junior”, ett applikationsprogram att hämta från nätet, kan också olika geometriska
begrepp behandlas med räknaren.
252 a
Matematik med möjligheter – ett samarbetsprojekt i utveckling
Vi har parallellt med arbetet i våra klasser skrivit samman steg för steg hur
matematikbegrepp kan behandlas från en konkret situation till att tänka och tala
och förstå symboler. Kursplanens mål i matematik ligger till grund för hur
arbetet växer fram sida för sida i en pärm. Som kunskapskontroll finns idéer till
observationer inom begreppen.
Louise Wramner är speciallärare och har arbetat inom grundsärskola, gymnasiesärskola och
arbetar nu inom Särvux. Medförfattare till ”Matematik med möjligheter”.
[email protected]
Ylva Svensson är lågstadielärare med specialpedagogisk påbyggnadsutbildning med
inriktning mot komplicerad inlärning och arbetar med rörelsehindrade elever år 1-5 inom
grundskolan och grundsärskolan. Medförfattare till ”Matematik med möjligheter”.
[email protected]
Föreläsning
Bakgrund
Vi träffade Eva-Stina Källgården (högskoleadjunkt vid Lärarhögskolan i Stockholm) på en
fortbildningskurs för specialpedagoger och fastnade i problemet:
”Hur kan vi utveckla intresse för och kunskaper i matematik för våra olika elever?”
Vår erfarenhet är att under många matematiklektioner hinner inte eleven tänka själv utan
genomför det läraren (boken) påtvingar. Det kan vara svårt för eleven att tillämpa sådan
kunskap i ett annat sammanhang.
Vi kom därför överens om att träffas och utbyta erfarenheter och arbeta praktiskt med att
finna exempel, där elevens tänkande i matematik betonas. Detta resulterade i att vi
tillsammans har skrivit en handledning i matematik, ”Matematik med
möjligheter”(Specialpedagogiska institutets förlag 2002) nedan kallad ”projektet/pärmen.”
Arbete med RH-elever
Var finns forskning på det pedagogiska området i Sverige, där rörelsehindrade elevers
möjligheter dokumenterats? Finns det någon forskning att ta del av från övriga världen?
Karin Guttman har skrivit artiklar i tidskriften Att undervisa 5 (1992) och Nordisk tidskrift för
spesialpedagogikk 1 (1992) och där beskrivit sina erfarenheter med undervisning med
datorstöd för rörelsehindrade elever. Senare har Guttman även gjort en världsomfattande
litteratursökning för att finna material kring dessa elevers stora matematiksvårigheter. Denna
sökning gav inte något nämnvärt resultat. Olov Magne påpekar i sin bok, Magne (1998), att
Sverige är bra på att vårda sina funktionshindrade elever men att den pedagogiska insatsen för
dessa elevgrupper ligger efter.
I det dagliga arbetet med rörelsehindrade elever med tilläggshandikapp saknas ofta språkliga
förutsättningar för att klara generaliseringar och abstrakt tänkande. De saknar dessutom
motoriska förutsättningar att använda sina händer och ibland också talmotorik. Det bör
påpekas att uteblivet tal inte behöver betyda dålig språklig förmåga om eleven har tillgång till
adekvat alternativ och kompletterande kommunikation (akk). Exempel på detta kan vara
BLISS, teckenstöd eller pictogram.
Här är ett exempel på hur arbetet med eleverna kan struktureras för att de skall uppnå en bas
för vidare matematisk utveckling av antalsbegreppet genom att upptäcka uppräknandets fem
principer:
 räkneramsan
 ett till ett principen
 godtycklig ordning
 abstraktionsprincipen
 antalsprincipen (sista ordet ger antalet)
För att arbeta mot detta mål används en trälåda med hål i, som barnen kallar ”bussen”. Buss är
naturligtvis ett bekant ord för rörelsehindrade barn. I början av arbetet har barnen klarat av
högst tre passagerare i bussen och trots det ringa antalet har begreppet godtycklig ordning
varit mycket svårt för dem att förstå. Alla de fem principerna ovan finns med i dessa
övningar. Bussen har sedan används för arbete med tal mellan 1 och 10. Genom att läraren har
de fem punkterna i tankarna kan deras framsteg observeras.
Att ”bussen” hjälpt dem att nå dessa grundläggande färdigheter beror kanske på att uppgiften
är anpassad till deras egen referensvärld. Våra rörelsehindrade elever har i många avseenden
ett annat ordförråd än jämnåriga utan funktionshinder. Långvariga sjukhusvistelser och
avsaknad av lektid, som ersätts med sjukgymnastik och hjälpmedelsutprovning, ger andra
referensramar.
Arbete med särskoleelever
Vid undervisning av utvecklingsstörda är det särskilt viktigt att det konkreta blir utgångspunkt
för lärandet i matematik. För dessa elever är det väsentligt att så många sinnen som möjligt
aktiveras då ett begrepp ska läras in. När begreppet deciliter till exempel ska behandlas, mäter
eleven inte bara upp 1 deciliter saft utan får smaka på saften och sedan dricka upp den.
Ytterligare exempel då olika sinnen används är då geometriska former ska läras in. Eleven ges
möjlighet att se, känna på och smaka på olika godisbitar med varierande geometrisk form
varigenom kunskapen i geometri befästs lättare.
Att praktiskt kunna hantera enkla bråk i matematik är ett av de mål, som ska ha uppnåtts då
skolgången avslutas. Följande exempel bidrar till att nå detta mål:
Eleven får i uppgift att dela ett kolasnöre i två lika delar med en kamrat. Hur stor del av snöret
får var och en? Dela ett annat helt kolasnöre med två kamrater. Hur stor del får då var och en?
Dela ytterligare ett snöre men nu med tre kamrater. Hur stor del får var och en? Eleven jämför
snörena och dokumenterar med hjälp av digitalkamera samt noterar på bilden 1, 1/2+1/2,
1/3+1/3+1/3, 1/4+1/4+1/4+1/4. Kolasnörena får sedan ätas upp. För att observera om eleven
har tillägnat sig kunskaperna och kan tillämpa dem får eleven i uppgift att läsa ett recept där
begreppen finns och sedan tillreda efter receptets anvisningar.
Ett annat av särskolans mål, som ska ha uppnåtts då skolgången avslutas, är att känna till
begreppet procent. Följande uppgift bidrar till att nå detta mål:
Eleven får ett äpple och delar det i två lika stora delar och sedan ytterligare varje del i två lika
stora delar. Samtal förs kring vad de olika delarna heter i procent. De tre stegen dokumenteras
med hjälp av digitalkamera och eleven skriver under varje bild 100 %, 50 % +50 %, 25 % +25
% +25 % +25 %. Därefter får eleven naturligtvis äta upp äpplet.
För att observera om eleven kan generalisera kunskapen kan en uppgift vara att ta reda på hur
mycket något kostar, som vid en realisation har 50 % rabatt. Begreppet rabatt måste
naturligtvis vara klart först.
Allmänt gäller för all undervisning av utvecklingsstörda att de måste få ordentligt med tid på
sig, när ett moment ska läras in. Utvecklingsstörda är inte en homogen grupp. Ett
inlärningsmoment kan ta mycket olika lång tid för olika elever. För någon kan det ta en hel
termin att lära in något av exemplen som ovan beskrivits. En annan elev kanske klarar att lära
sig detsamma på en månad.
För att befästa det inlärda krävs för alla utvecklingsstörda många repetitioner.
En elev uttryckte sig i samband med utvärderingen vid läsårets slut:
”Det är bra att jag får hålla på tills jag kan.”
Detta arbetssätt syftar till att knyta an kunskaperna till deras vardag. På den nordiska
forskarkonferensen i Örebro i höstas talade Olof Magne om livsmatematik. Det var en
utmärkt beskrivning av mina elevers behov. Ingen av mina elever har en önskan om att få ett
Nobelpris, men alla vill klara ett så självständigt liv som möjligt.
Värdering
Våra diskussioner har stimulerat oss att ständigt vara kreativa och många gånger har våra
elever visat verklig uppskattning för problem att lösa. Genom att våra olika utbildningar och
erfarenheter av undervisning har mötts i projektet har vi lärt av varandra och stimulerats att
tänka vidare. Vi har funnit ett intresse också hos andra lärare i matematik att ta del av vårt
arbete.
Avslutning
Vi vill fortsätta att lära oss mer om funktionshindrade elevers möjligheter att lösa
matematiska problem och i pärmen skapa fler uppgifter, där elevens tänkande stimuleras och
synliggörs. Pärmen är sammansatt så att vårt arbete kommer att utvecklas med nya blad som
innehåller nya problem att använda både i grundskolan och grundsärskolan.
252 b
Problemet i problemet
Problemet i problemet är ett arbetspass, där deltagarna ges tillfälle att tillsammans analysera
några matematikproblem och problemlösningar på olika nivåer. Problemlösning ger en
situation, där elevernas tänkande kopplas från konkret till abstrakt och vice versa. Syftet är att
få en diskussion om individualisering i klassrummet, där elever ligger på olika nivåer.
Eva-Stina Källgården är lärarutbildare vid Lärarhögskolan i Stockholm
Föreläsning
I kursplanens Mål att sträva mot (för gymnasiet) finns bland annat uttryckt att eleverna skall
 utveckla sin förmåga att tolka, förklara och använda matematikens språk, symboler,
metoder, begrepp och uttrycksformer…..
 att utveckla sin förmåga att reflektera över sina erfarenheter av begrepp och metoder i
matematiken …..
Föreläsningen behandlar två ”vertikala” problem, som fokuserar på begreppsbildning i
matematik inom problemet. Hur skall ett sådant problem se ut att det tillgodoser dessa båda
krav från kursplanen ovan?
Det är inte lösningsmetoder, som fokuseras. Det är i stället olika begrepp och
begreppsområden i matematiken, som nås via problemet. Det kan beröra elever i årskurs 6 till
studenter på universitetet.
Att göra en vandring från att klippa eller mäta något, som kopplas till ett matematiskt
begrepp (konkret) och lära sig orden, till att nå abstrakt tänkande i begreppet (ex.
integralbegreppet) och skriva symbolen för det som finns i matematikens värld, det är en lång
väg, som bara den tänkande eleven kan gå.
De områden i skolmatematiken, som problemen kan kopplas till, är bl.a. följande:
Geometri: bas, höjd, area, rätvinklig triangel, hypotenusa, Pythagoras sats
Analys: funktionsuttryck, derivata, maximum/minimum, oändlig summa, integral, gränsvärde
Statistik: tabell, listhantering, plottning, regression
253
Musik och matematik – några beröringspunkter
Jag kommer under föredraget att behandla några beröringspunkter mellan matematik och musik, t.ex.
 Övertoner och Fourierserier.
12

 3
7
12 toner på en oktav – en lycklig slump att    2
 2

Matematik som kompositionsverktyg
?
Hans Thunberg är universitetslektor i matematik vid KTH, har tidigare studerat musikvetenskap och är på
amatörnivå verksam som rock- och improvisationsmusiker.
Föreläsning
Som matematiker med en passion för musik i allehanda former är det nästan ofrånkomligt att fundera på
beröringspunkter mellan musik och matematik. Det är ju också en tämligen utbredd uppfattning, med en lång
historisk tradition, att det finns en släktskap mellan dessa två discipliner. I detta föredrag kommer jag att
diskutera några, helt personligt och subjektivt valda, beröringspunkter av lite olika karaktär.
Övertoner och Fourierserier
Fourieranalys är ett område av matematiken som bl.a.visar hur och under vilka förutsättningar periodiska
funktioner (periodiska svängningar) kan delas upp i enklare beståndsdelar, t.ex. trigonometriska funktioner.
Eftersom en ton inte är något annat än just en periodisk svängning visar det hur vi matematiskt kan förstå att en
ton är uppbyggd av en grundton (den uppfattade tonhöjden) och en följd av övertoner (som ger tonen dess
klangfärg). Detta är också relaterat till de observationer som Pythagoras gjorde om sambandet mellan längden
och tonhöjden hos en svängande sträng.
Med datorns hjälp kan vi simulera en modell för en svängande sträng, och bygga upp denna relativt komplicerad
svängning utav sinus-toner.
Fourier-analysen, som gör detta möjligt, introducerades av Joseph Fourier runt sekelskiftet 1800, i ett arbete
rörande ett annat problem (värmeflöde).
Varför går det tolv toner på en oktav?
Att det går tolv toner på en oktav är en västerländsk kulturell konstruktion som
tillkom under barocken. I andra kulturer och under andra historiska epoker har
man använt sig av, och använder sig än idag av, andra skalsystem.
Intervallen kvart, kvint och oktav har en fundamental roll. Att så är fallet kan
förklaras med att just dessa intervall är de första som dyker upp i den naturliga
övertonsserien, och därför ofta är lätta att frambringa även på enklare
instrument. Vi uppfattar också toner på oktav-avstånd som särskilt besläktade
(vi tänker på dem som ”samma ton”).
Men om vi nu utgår ifrån en grundton, och rör oss successivt uppåt i rena kvinter
(sådana som förekommer i naturtonserien), genererar vi nya toner tills vi efter
12 steg befinner oss väldigt nära (men inte riktigt exakt på) grundtonen
12
transponerad 7 oktaver upp. Matematiskt svarar detta mot att 3 / 2  27 .
Genom att acceptera den approximation som en likhet får vi en skala om tolv
toner, som genom oktavförflyttningar kan inrymmas inom varje oktav.
Matematik som kompositionsverktyg
Det finns många exempel på hur musikaliskt komponerande bygger, medvetet eller omedvetet, på matematiska
resonemang. W.A.Mozart sägs ha konstruerat en slags byggsats, där man med en två tärningars hjälp kunde
komponera sitt eget lilla stycke (i omisskännlig Mozart-stil får man förmoda). Tonsättaren Iannis Xenakis (1922
– 2001), som fick Polarpriset 1999, är en av dem som under senare år på ett mycket medvetet sätt har utnyttjat
matematiska modeller i sitt komponerande.
255
Matematikens rikedomar – pest, kolera och matematik
Föredraget syftar till att beskriva hur man med hjälp av matematik och statistik kan dra
viktiga slutsatser om smittsamma sjukdomars utbredning. Det baseras på ett kapitel ur den
kommande boken ”Matematikens rikedomar”, vars syfte är att visa en annan bild av
matematik än den många bär med sig, samt att berätta lite om vad en matematiker gör. Boken
vänder sig i första hand till blivande och redan verksamma lärare, samt intresserade elever på
gymnasiet och alla andra som är intresserade av eller nyfikna på matematik.
Tom Britton är professor i matematisk statistik vid Stockholms Universitet
Karin Wallby arbetar vid NCM, Göteborgs Universitet
Föreläsning
Föredraget inleds med en kort presentation av Karin Wallby om idén med, och innehållet i,
boken ”Matematikens rikedomar”. Därefter tar Tom Britton vid som pratar om kapitlet med
titeln ”Pest, kolera och matematik”. Innehållet beskrivs kortfattat nedan.
Matematiska och statistiska modeller har visat sig nyttiga i studiet av hur smittsamma
sjukdomar sprids i en befolkning. Föredraget syftar till att på ett okomplicerat sätt visa hur
man kommit fram till dessa slutsatser, och som bieffekt ge en inblick i hur en forskare inom
tillämpad matematik arbetar.
Det första man måste göra för att med hjälp av matematik och statistik dra slutsatser om
fenomen ute i verkligheten är att konkretisera problemfrågeställningen samt att förenkla
verkligheten. I vårt fall innebär detta att vi fokuserar på sjukdomar som sprids från människa
till människa, alltså inte via mat eller andra organismer. Vi tänker oss också en sjukdom som
man initialt är mottaglig för men som man efter att ha smittats och tillfrisknat är immun,
åtminstone på kort sikt. Det kan t ex vara influensa, förkylning eller liknande. Matematiska
modeller för dylika sjukdomar brukar kallas epidemimodeller eftersom de tenderar att
resultera i stora men kortvariga utbrott, ”epidemier”.
Vi kommer i föredraget presentera den enklaste formen av epidemimodell som har följande
utseende. Alla personer beter sig på liknande sätt, alla är lika mottagliga för sjukdomen och
lika smittsamma (ifall de smittas). Dessutom smittar en person andra människor med samma
sannolikhet. Modellen säger kort och gott att man som smittsam har smittsamma kontakter
med andra människor oberoende av varandra med sannolikheten p innan man tillfrisknar och
blir immun. De kontakter som är med mottagliga människor resulterar i att dessa smittas och
blir smittsamma. Kontakter med immuna eller smittsamma har ingen effekt. Det finns förstås
mer komplicerade och verklighetstrogna modeller, men trots att denna modell saknar så
tillsynes viktiga komponenter som varierande mottaglighet och sociala strukturer (vilka ju
skulle medföra att man smittade somliga människor med större sannolikhet än andra) så visar
den sig stämma förvånande bra överens med verkligheten.
I föredraget kommer vi, lite heuristiskt, dra slutsatser om epidemimodellens förlopp och
framför allt hur x (=slutandelen smittade) beror på p. När detta gjorts byter vi synsätt och blir
statistiker. Då är det inte x som funktion av p som är det intressanta utan det omvända. Vi har
då nämligen observerat en epidemi och dess slutandel smittade x, och frågar oss vad detta kan
säga oss om p, dvs sjukdomens smittsamhet. Vi tolkar därefter resultaten ur ett mer
samhällsrelevant synsätt. Ur epidemiologisk synpunkt är det viktigt att veta hur många som
behöver vaccineras för att undvika framtida utbrott. Denna frågeställning besvarar vi också
med matematisk hjälp: genom att observera x drar slutsatser om p som vi omtolkar i hur stor
andel v som behöver vaccineras för att undvika framtida utbrott.
Avslutningsvis kommer vi titta på motsvarande frågeställningar för s.k. endemiska sjukdomar.
Detta är smittsamma sjukdomar som finns i en befolkning under lång tid och som man bara
kan smittas av en gång i livet. Exempel på sådana sjukdomar är vattkoppor, mässling och för
den delen även nyare sjukdomar som HIV. Speciellt för dessa sjukdomar är att smittan finns
kvar under en lång tid, vilket gör att vi i den matematiska modellen måste beakta att
befolkningen förnyas - annars hade ju för övrigt sjukdomen dött ut.
256
Matematik – en manlig domän?
I GeMa-projektet har vi undersökt om svenska elever betraktar matematik som en manlig,
kvinnlig eller könsneutral domän. Vi har visat att matematik av elever i åk 9 ses som
könsmärkt i vissa avseenden, men inte i andra. Synen av matematiken som könsmärkt tycks
förstärkas i gymnasiet.
Anna Palbom är doktorand vid NADA på KTH i Stockholm och Sara Larsson är doktorand i matematisk
statistik vid matematikcentrum i Lund.
Föreläsning
GeMa – Gender and Mathematics, svenskt titel Kön och matematik, syftar till att öka kunskapen om betydelsen
av eventuell könsmärkning av matematiken och sambandet mellan denna och kvinnors val eller bortval av
matematik. De övergripande frågeställningarna vi vill undersöka är följande:
 Betraktar elever matematiken som en manlig, kvinnlig eller könsneutral domän?
 Finns det könsskillnader i synen på matematik som könsneutral eller ej?
 Finns det något samband mellan flickors bortval av matematik och eventuell föreställning om
matematiken som en manlig domän?
Projektet startade genom Gila Leder, forskare vid LaTrobe University i Bundoora i Australien. Under en vistelse
i Australien träffade Gerd Brandell, universitetslektor vid Lunds universitet, Gila Leader och idén om att
genomföra en liknande undersökning i Sverige föddes. Vi som arbetat med projekt GeMa i Sverige är
projektansvarig Gerd Brandell, Else-Marie Staberg, Peter Nyström, Christina Sundqvist, Anna Palbom och Sara
Larsson.
Påståendet att matematik är en manlig domän gäller på flera plan. För det första handlar det om andelen
kvinnor i matematikrelaterade yrken. Det finns många kvinnliga matematiklärare i skolorna men ytterst få
kvinnor forskar och undervisar i matematik på universitetsnivå, t ex var höstterminen 2002 25 % av de
forskarstuderande i matematik och tillämpad matematik kvinnor. Männen dominerar rent numerärt bland de
professionella matematikerna också utanför universiteten, vilket är en del av könsstrukturen
Ämnet matematik har också en manlig laddning, det vill säga att i föreställningar om matematik finns aspekter
av könssymbolismen. Egenskaper som behövs för att vara en matematiker såsom logisk förmåga och rationalitet
tillskrivs ofta män men inte kvinnor.
En tredje betydelse rör kulturen. Den speciella kultur, som råder inom matematik med dess ritualer, koder,
värderingar och praktiker är utformad av män. Flickor och kvinnor kan känna sig främmande i den kulturen
vilket kan göra att de uppfattar matematiken som manlig.
Läroböcker, undervisningssätt och värderingar inom matematikundervisning kan föra budskapet om den
inneboende maskuliniteten vidare. Alla blir inskolade i ett speciellt sätt att tänka, som ses som det normala.
Men konstruktionen av kön är inte statisk utan föränderlig. Det är inte givet att dagens tonåringar på
högstadiet, bland vilka flickor har de högre betygen, betraktar matematik som manlig.
Hur undersökningen gått till
Vi har besökt skolor och lämnat ut enkäter till elever. Enkäten består av två delar och den första delen handlar
om ”Andra och matematik”. Eleverna ska här ta ställning till om påståenden som ”Har matematik som
favoritämne” gäller mer för flickor eller pojkar eller om det inte är någon könsskillnad. Enkäten innehåller 30
sådana påståenden eller frågor och eleverna ska till varje sådant välja ett av fem svarsalternativ:
 Flickor mer än pojkar – absolut (FA)
 Flickor mer än pojkar – kanske (FK)
 Ingen skillnad på flickor och pojkar (IS)
 Pojkar mer än flickor – kanske (PK)
 Pojkar mer än flickor – absolut (PA)
Andra delen på enkäten handlar istället om hur eleven själv ser på matematik och på sina egna prestationer. Vi
har också intervjuat några av eleverna som deltog i enkätundersökningen för att få en djupare förståelsen för
enkätresultaten. Vi har besökt grundskolans år 9 och gymnasiets år 2 på NV och SP.
Vilka resultat har vi fått?
På de flesta, men inte alla, frågorna svarar majoriteten att det inte är någon könsskillnad. Elevernas svar varierar
självklart inom gruppen men det finns också i många fall tendenser åt ena eller andra hållet som är tydliga och
intressanta. Flickor och pojkar är oftast ense om dessa tendenser, men väsentliga skillnader finns. Intressant är
också att det finns en tendens till att pojkar har starkare åsikter än flickor och alltså större variation i svaren.
Grundskolan
Det finns flera påståenden där såväl flickornas som pojkarnas svar visar en tendens åt pojkhållet, dvs. de
stämmer in mer på pojkar än på flickor:
 Stör andra elever på matematiklektionerna.
 Tycker om att använda datorer för att lösa matematikproblem.
 Gillar utmanande matematikproblem.
 Retar pojkar som är bra i matematik.
 Behöver matematik för att få jobb i framtiden.
 Tycker att matematik är lätt.
 Tror att matematik kommer att vara viktigt för dem när de blir vuxna.
För de två första påståendena är det en majoritet av de svarande eleverna som tycker att de stämmer in mer på
pojkar än på flickor. För de andra påståendena är åsikterna inte lika starka.
Det finns också påståenden som visar en tendens at flickhållet:
 Arbetar bra på matematiklektionerna.
 Uppmuntras av läraren i matematik.
 Matematikläraren tror att de kommer att klara sig bra i matematik.
Resultat gäller också för flickgruppen och pojkgruppen var för sig, även om graden av instämmande kan skilja
sig åt mellan pojkar och flickor.
För ett antal påståenden gäller att elevsvaren som helhet inte avviker signifikant från svaret ”Ingen skillnad”.
Sådana påståenden kallar vi könsneutrala. De påståenden som följer här betraktas av både flickor och pojkar som
könsneutrala i denna mening:
 Har matematik som favoritämne.
 Gillar matematik.
 Får fler frågor av matematikläraren.
 Föräldrarna tycker det är viktigt för dem att lära sig matematik.
 Kommer fram till fel svar på matematikuppgifter.
I de kommentarer som gavs om enkäten, både skriftligt och muntlig vid besöken på skolorna, var flera av
eleverna i år 9 irriterade över att vi ställde denna typ av frågor. Ändå ser vi tendenser åt pojk- och flickhållet i
svaren.
Gymnasiet
Svaren på ett tiotal frågor visar tendenser år pojkhållet. Både flickor och pojkar tror att pojkar tycker att
matematik har högre status än andra ämnen. Tendensen är starkast för pojkar. Den tydligaste tendensen finns på
frågan om intresset att använda datorer. Det är troligt att svaren beror mer på en allmän koppling mellan pojkar
och datorer än på datorers användning i skolan just i matematikämnet.
På frågorna som rör utmanade problem, matematik som favoritämne, att gilla matematik, tycka matematik är
lätt respektive intressant svarar alla, att det mer gäller pojkar. Pojkarna har de starkaste åsikterna. När det gäller
matematik i framtiden lutar också hela gruppen åt att behovet är störst för pojkar. Flickor och pojkar tror i lika
hög grad att det är pojkar som kommer att klara sig bra i matematik. Pojkar betonar speciellt vikten av
matematik för att få bra jobb. En stor del av gymnasieeleverna uttrycker tydligt att matematik är ett ämne för
pojkar och det gäller speciellt pojkarna. Det är hos dem som det finns en klar uppfattning om matematik som en
manlig domän.
På frågorna om vilka som tycker matematik är svårt, behöver hjälp i matematik eller inte är bra i matematik är
tendensen för hela gruppen att det mest gäller flickor. Tendensen i svaren från flickor och pojkar är ungefär lika
stor. På ett par frågor som gäller arbete och arbetets betydelse för resultaten i matematik svarar gruppen också åt
flickhållet men flickor och pojkar med olika stark tendens. Pojkar är mer övertygade om att flickor arbetar bättre
på lektioner, medan flickor är mer övertygade än pojkar att flickor tror de arbetat för lite om det går dåligt.
Flickor arbetar bra, men är inte lika duktiga som pojkar är således den samlade åsikten. Denna tankefigur om
flitiga, men inte så begåvade flickor har länge visats i skolforskningen, men då mest gällt lärares åsikter.
Både flickor och pojkar svarar utan tendens på två frågor. Dels anser de att flickor och pojkar får ungefär lika
många frågor av läraren och dels att läraren tror att både flickor och pojkar kommer att klara sig bra. Att dessa
båda frågor som får könsneutrala svar gäller läraren är intressant då det länge i skoldebatten gällde att pojkar fick
mer uppmärksamhet än flickor. Detta hade visats i forskning som emellertid var mer inriktad på lägre stadier.
Kunskap om klassrumsinteraktioner på gymnasiet saknades i stort sett. Intresset för att göra klassrumsstudier har
också avtagit och vi vet inte om könsmönstren ändrats.
Pojkar menar att läraren ägnar mer tid åt flickor och uppmuntrar dem mer, medan flickor anser att läraren inte
gör skillnad på kön. Vi ser åter en tro på att läraren åtminstone inte stöttar pojkar mer än flickor. Pojkars tro att
flickor får mer uppmuntran kan tänkas bero på att de är vana att uppmärksammas mest.
I några fall är pojkar i stort sett könsneutrala medan flickor anser att påståendet i frågan mest gäller dem.
Tendensen för flickorna åt flickhållet är tydligast när det gäller oro för att inte klara sig i matematik. Vi kan inte
veta om flickorna är oroliga för att klara matematik eftersom de inte tror de är så bra i matematik eller för att
matematik är ett viktigt ämne. Oron kan även gälla deras förhållande allmänt till skolarbete. Flickorna tror också
att det är flickor mest som tycker matematik är tråkigt och att de måste jobba mycket för att klara sig bra. Deras
svar visar även svag tendens mot att flickor är de som lättare ger upp eller kör fast.
I två fall drar flickor åt sitt håll och pojkar åt sitt. Den intressantaste skillnaden rör förståelse. Flickor anser i
hög grad att det är de som vill förstå matematiken och pojkar menar – men inte lika utpräglat – att det gäller
dem. Flickors upptagenhet av att förstå har också visats i andra studier.
Slutsatser
Resultaten från grundskolan och gymnasiet skiljer sig i vissa avseenden åt. På grundskolan tycks eleverna i
större utsträckning anammat ett jämställdhetsperspektiv medan de på gymnasiet mer accepterar den rådande
könsstrukturen.
Vid en generalisering finns ändå en syn på flickor som arbetsamma men inte så duktiga medan det omvända
gäller för pojkar. Pojkar arbetar inte så bra, men klarar sig ändå bättre än flickorna gör. Detta är ett uttryck för
könssymbolismen medan tron på att pojkar mer än flickor behöver matematik i framtiden sammanhänger med
könsstrukturen.
Hur kan resultaten användas i praktiken?
Det tycks som om uppfattningarna varierar betydligt mellan olika klasser. Det finns troligen en stark
klassrumskultur som också påverkar synen på könsskillnader i matematiken. En lärare som är intresserad kan
använda enkäten för att få fram elevernas uppfattningar. Läraren kan diskutera resultatet och frågorna med
eleverna för att öka deras medvetenhet. Om det finns starka uppfattningar om könsskillnader i relation till
matematiken kan det kanske vara en anledning att gå vidare med frågan i klassen.
Vilka har ingått i undersökningen?
Ett antal skolor har slumpmässigt valts bland kommunala skolor i Malmö/Lund, Stockholm och Umeå/Luleå.
Hänsyn har också tagits för att få med elever med olika socioekonomisk bakgrund.
Attidydskalan – Fennema-Shermans MD-skalan
Skalan mäter en individs attityder i fråga om matematiken som en manlig domän (Mathematics as a Male
Domain) och är en delskala bland totalt nio skalor. Attityderna mäts genom att olika grader av instämmande/inte
instämmande anges i ett antal påståenden. Det är en av de mest använda attitydskalorna inom den pedagogiska
forskningen. Vi har använt oss av en skala som reviderades för några år sedan av Gila Leder och hennes
medarbetare.
Om du vill veta mer
Beställ gärna våra rapporter genom Gerd Brandell, e-post: [email protected] eller ladda ner den från
får hemsida www.maths.lth.se/GeMa.
259
Geometriska konstruktioner
Den grekiska geometrin tillät endast passare och ograderad linjal i sina konstruktioner. Det är fortfarande en
spännande utmaning att se vad man kan klara med dem och det brukar roa mina studenter. Jag ger några
exempel; bl. a. kan man till en given månghörning konstruera en kvadrat med samma area.
Thomas Weibull är universitetslektor i matematik vid den för Göteborgs universitet och Chalmers tekniska
högskola gemensamma institutionen.
Föreläsning
Jag kommer att ta upp en del av uppgifterna i nedanstående sammanställning, som jag använt i utbildningen av
matematiklärare, både för 1-7 och 4-9/Gy (jag har inte haft motsvarande kurs i den nya utbildningen). I samband
med det kommer jag också att ta upp minst ett visuellt bevis för Pythagoras’ sats.
1. Givet en sträcka, konstruera en sträcka som är
a) dubbelt så lång
b) 3 gånger så lång
c) hälften så lång
d) tredjedelen så lång
2. Givet en vinkel, konstruera en vinkel som är
a) dubbelt så stor
b) 3 gånger så stor
c) hälften så stor
d) tredjedelen så stor
3. Givet en sträcka, konstruera
a) dess mittpunktsnormal
b) normalen i en godtycklig punkt på sträckan
c) en kvadrat med sträckan som sida
4. Givet en kvadrat, konstruera sidan i en kvadrat som är
a) dubbelt så stor
b) 3 gånger så stor
c) hälften så stor
d) tredjedelen så stor
5. Givet en cirkel, konstruera den inskrivna regelbundna
a) triangeln
b) kvadraten
c) 5-hörningen
d) 6-hörningen
e) 7-hörningen
6. Givet en rät linje och en punkt utanför linjen, konstruera
a) normalen till linjen genom punkten
b) den räta linjen genom punkten parallell med den givna
7. Givet en rektangel, konstruera en kvadrat med samma area.
8. Givet en parallellogram, konstruera en kvadrat med samma area.
9. Givet en triangel, konstruera en kvadrat med samma area.
10. Givet två kvadrater, konstruera en kvadrat vars area är summan av de två givnas.
11. Givet en godtycklig månghörning, konstruera en kvadrat med samma area.
261
Datorintegration och samarbetslärande
Vid civilingenjörsprogrammet ekosystemteknik har alla studenter tillgång till egna
bärbara datorer. Därmed kunde vi införa en helt datorbaserad kurs i flerdimensionell
analys som ersatte den traditionella kursen. Undervisningen reformerades samtidigt
och studenterna använde samarbetslärande med handledning under hela kursen.
Resultatet utvärderades inom ramen för det pedagogiska utvecklingsprojektet
Genombrottet vid Lunds tekniska högskola.
Gerd Brandell är universitetslektor vid Matematikcentrum, Lunds universitet och
arbetar på Lunds tekniska högskola. Medlem i matematikdelegationen.
Föreläsning
Bakgrund och mål för projektet
Programmet ekosystemteknik vid Lunds tekniska högskola är ett civilingenjörsprogram med inriktning – som
namnet anger – på ekologiska system. Studenterna får en god grund i kemi, fysik och biologi och kan
specialisera sig inom miljösystem, vattenresurser, energi och ekologi. Programmet innehåller som andra
civilingenjörsutbildningar omfattande inslag av matematik och tillämpad matematik. Matematikkurserna är
utspridda under de tre första åren. Projektet ”Samarbetslärande, datorintegration och tillämpningar” omfattar två
av matematikkurserna, nämligen Flerdimensionell analys (vårterminen år två) och Matematisk statistik
(höstterminen, år tre). Föredraget behandlar den första av dessa kurser.
En viktig förutsättning för projektet är att alla studenter på programmet får en egen bärbar dator när de börjar
sina studier. I många kurser används datorprogram och ett mål är att alla kurser ska innehålla datorinslag i
framtiden. Studenterna blir väl förtrogna med datorn som hjälpmedel i många olika sammanhang och det är en
värdefull kompetens när de kommer ut på arbetsmarknaden.
Samarbetslärande
Samarbetslärande (co-operative learning) är en metod som använts med framgång under de
senaste 20 åren på olika stadier, även på universitetsnivå i bland annat USA [1]. Metoden
bygger på studenternas eget aktiva arbete i fasta grupper. Föreläsningar och övningar
förekommer inte alls eller i liten utsträckning. Läraren planerar arbetet noggrant och
grupperna får ett väl strukturerat program att följa varje lektionspass. Halva årskursen (cirka
25 studenter, 6-7 grupper med 3-4 studenter i varje) sitter tillsammans i en lektionssal och
handleds av en lärare. De två lärarna planerar tillsammans och handleder varsin grupp under
lektionspassen. Studenterna får instuderingsmaterial både för lektionspassen och för
hemarbetet. I materialet öppnas för frågor som sätter studenternas lärande i fokus.
Handledningen sker både på gruppernas och på handledarens initiativ. Medlemmarna av
gruppen tar gemensamt ansvar för sitt eget och varandras lärande. Studenterna arbetar med
boken, annat kursmaterial och med stöd av instuderingsmaterial och anvisningar. Metoden
med samarbetslärande har använts på många håll, i Sverige bland annat i Luleå i matematik
och matematisk statistik på denna nivå [2]. Resultaten har varit positiva. Lektionerna kan
kompletteras med ett litet antal föreläsningar av översiktlig karaktär och av
efterläsningskaraktär.
Datorintegrationen innebär i detta projekt att studenterna hela tiden har datorn tillhands och
har möjlighet att bearbeta materialet med hjälp av datorprogram, Maple eller Matlab. Datorn
används även vid tentamen.
I kursen Matematisk statistik finns förutom samarbetslärande och datorintegration en stark
koppling till andra kurser i form av modellering och projekt hämtade från tillämpningarna.
Mål för del 1 av projektet - kursen Flerdimensionell analys
Inför starten av första delen av projektet definierades målet mer konkret. Målet är att
studenterna dels deltar i samarbetslärandet, dels kan utnyttja samarbetslärandet för att
individuellt skaffa sig djupare kunskaper.
Målet för samarbetslärandet definieras både på individuell och gruppnivå och innebär att
varje student uppvisar hög närvaro, genomför aktiva förberedelser inför lektionerna,
utvecklar sin förmåga att läsa matematisk text och sin förmåga att kommunicera med
gruppkamraterna och läraren. På gruppnivå handlar det om att samtalen i gruppen ska vara
innehållsmässigt relevanta och fungera jämlikt.
Målet för datorintegrationen har två komponenter. Dels ska studenterna lära sig grunderna i
programmet Maple i de delar som är relevanta för kursen, dels ska de lära sig att utnyttja
Maple för att stödja sitt lärande. Målet är att studenterna lär sig
 Behärska syntaxen i Maple och enkla sätt att spara och återanvända Maple-filer
 Utnyttja olika möjligheter att i Maple att visualisera grafer till flerdimensionella och
vektorvärda funktioner
 Utnyttja Maple för att genomföra beräkningar, som till exempel derivering,
integration, transformationer i differentialuttryck, ekvationslösning
 Lär sig att kritiskt värdera resultat som Maple producerar genom att resonera om
rimlighet, jämföra med approximativa beräkningar och jämföra algebraiska,
numeriska och grafiska resultat från Maple
Genomförandet av kursen
Kursen i flerdimensionell analys genomfördes i huvudsak enligt planeringen. Närvaron var
generellt hög. Några studenter deltog mer sällan och tre av de drygt fyrtio studenterna
hoppade av kursen vid varierande tidpunkter.
Lektionsblad med anvisningar för dagens arbete och för förberedelserna till nästa pass
delades ut vid varje lektions början. Alla instuderingsblad har dessutom funnits tillgängliga
på kursens hemsida från den dag de delades ut eller dagen därpå. Materialet skrevs under
tiden som kursen gick. Därmed kunde de anpassas till hur studenternas lärande fortskridit.
Studenternas kritik och lärarnas kontinuerliga utvärdering fick också påverka materialet.
Rent praktiskt fick studenterna sitta i grupper om fyra och arbeta enligt modellen
samarbetslärande. Alla hade oftast med sig sina datorer, men ibland rekommenderades bara
en dator per grupp, för att bespara studenterna jobbet att bära på datorerna.
De matematiska diskussionerna i de små grupperna visade sig bli livliga och fokuserade. Maple gick
förhållandevis lätt att komma igång med.
Tentamen samordnades med tentamen på kursen för andra program (som inte använt dator)
och vissa uppgifter var gemensamma. Datorn fick användas under en del av tentamen.
Andelen godkända låg högre än vid tidigare års tentamina på denna kurs.
Utvärdering
Projektet utvärderades grundligt med stöd från Genombrottet, ett övergripande program för pedagogisk
utveckling vid LTH. Utvärderingen gav i stort sett ett mycket positivt resultat. Datorintegrationen och
samarbetslärande fick övervägande positivt mottagande, medan det fanns kritik mot tempot i kursen som
ansågs för högt. Många ansåg att kursen krävde alltför stor insats utanför schemalagd tid.
Resultatet av utvärderingen medverkade till ett beslut att införa kursen i den nya formen i utbildningen mera
permanent. Kursen kommer att behöva vidareutvecklas och det kommer att ske utifrån erfarenheterna under
försöksomgången.
Referenser
[1] Hagelans, Nancy, Reynolds, Barbara, Scwingendorf, Keith, Vidakovic, Draga, Dubinsky, Ed, Shain, Mazen, Shahin &
Wimbish, Joseph (1995). A Practial Guied to Cooperative Learning in Collegiate Mathematics. MAA Notes number
37. The Mathematical Association of America
[2] Dunkels Andrejs (1996). Contributions to mathematical knowledge and its acquisition. Doktorsavhandling. Högskolan I
Luleå. 1996:202 D
262
ICME 10 i Köpenhamn år 2004 – stor kongress om
matematikutbildning
Nästa år är det dags för den tionde världskongressen om matematikutbildning som kommer att
hållas i Köpenhamn. Den vänder sig till matematiklärare och forskare inom området. ICME 9
ägde rum i Japan år 2000 med flera tusen deltagare. Vi kommer att ge glimtar om vad
kongressen kan bjuda på.
Gerd Brandell är universitetslektor vid Lunds tekniska högskola och medlem i
matematikdelegationen.
Lisa Björklund arbetar i PRIM-gruppen
Bengt Åhlander är lärare i matematik på Östrabogymnasiet i Uddevallla
Föreläsning
Internationella konferenser om matematikutbildning finns det gott om, det räcker att titta på
NCM:s hemsida för att finna mängder med länkar till konferenser. Alla har sin speciella
inriktning. Men den internationella kongressen för matematikutbildning, ICME (International
Congress for Mathematical Education) är både större och mer övergripande än andra
konferenser. Den vänder sig till lärare i matematik och forskare i matematikdidaktik från hela
världen. Den behandlar matematiken i förskola, skola, lärarutbildning, högskola,
vuxenutbildning och i informella läromiljöer. År 2004 kommer kongressen att äga rum i
Köpenhamn och pågå en hel vecka, 4-11 juli. Hemsidan för ICME 10 är www.icme-10.dk
ICME återkommer vart fjärde år och alternerar med den stora världskongressen i matematik
ICM som också äger rum vart fjärde år. Bakom båda dessa jättearrangemang står den
internationella matematikerunionen (IMU) och – när det gäller utbildningskongressen – den
internationella kommissionen för matematikutbildning, ICMI, som är systerorganisation till
IMU. Medlemmarna av IMU och ICMI är länder, inte individer eller nationella
organisationer, och Sverige är medlem av både IMU och ICMI.
Kongressen vandrar runt i världen, brukar dra flera tusen deltagare och har hittills alltid
arrangerats i något stort land med starka traditioner inom matematikdidaktiken. År 2000 var
det Japan och år 1996 Spanien som stod som värd. Den tionde kongressen, ICME 10, år 2004
i Danmark är den första som anordnas i ett litet land. Men Danmark har dels en internationellt
välkänd och uppmärksammad forskning inom matematikdidaktiken, dels uppbackning av de
andra nordiska länderna, som stödjer arrangemanget på olika sätt. Sverige är genom den
svenska kommittén för matematikutbildning vid KVA (Kungliga Vetenskapsakademien)
mycket aktiv i förberedelserna.
Kongressens syfte är att ge en samlad bild av läget inom forskningen om lärande och
undervisning i matematik och ge en bild av aktuell praktik inom matematikutbildning.
Tonvikten ligger på utvecklingen under de senaste åren. Kongressen spänner över en mängd
teman och det finns många former för presentationer. De viktigaste är plenarföreläsningar och
så kallade reguljära föreläsningar, diskussionsgrupper (under 24 olika rubriker) och
ämnesstudiegrupper (29 ämnen), posterutställning, andra utställningar och presentationer av
vissa utvalda länders matematikutbildning. Men programmet innehåller också mer
underhållande matematikaktiviteter. Ett exempel är en matematisk ”cirkus” som vi hoppas ska
locka även andra än kongressdeltagare. Andra exempel är en final i den nordiska Kapp-Abeltävlingen för åttondeklasser och matematiska promenader i Köpenhamn. Det finns också
kommersiella utställningar av läromedel och annat undervisningsmaterial, men strävan är att
hålla den kommersiella delen väl avskild från den egentliga kongressen.
De nordiska länderna medverkar med en gemensam stor presentation av skolmatematiken i
våra länder med över 60 olika inslag. Dessutom kommer många lärare och forskare från
norden att bidra till det övriga programmet.
Viktiga teman som är i fokus under en temaeftermiddag är följande: lärarutbildningen,
matematikutbildningens plats i kulturen, matematikerdidaktikens relation till den moderna
matematiken, teknologi i matematikutbildningen och perspektiv från andra forskningsfält på
matematikdidaktiken.
Som deltagare kan man välja mellan många olika parallella programpunkter. I valet ger den
nu tryckta andra inbjudan god vägledning. Den är omfattande och finns också på hemsidan.
På hemsidan finns också all information om anmälan, val av programpunkter, boende och det
sociala programmet. Av tradition ligger en utflyktsdag mitt i veckan. Det finns en rad danska
utflyktsmål och den som vill kan ta chansen att åka över bron och se litet av Skåne.
Kongresspråket är genomgående engelska, men all världens språk - inte minst de nordiska kommer att talas i samvaron mellan programpunkterna!
263
Vad kan elever i skolår 5?
– utifrån analys och bedömning av elevarbeten i Ämnesprovet för skolår 5
Sedan 1996 har Ämnesprovet för skolår 5 erbjudits skolorna och många analyser av elevernas arbeten har gjorts.
I seminariet funderar vi över elevernas kunnande utifrån analys av elevarbeten och resultat. Har några
förändringar skett under åren?
Lena Alm arbetar i PRIM-gruppen vid Lärarhögskolan i Stockholm som provansvarig för Ämnesprovet i
matematik för skolår 5 och som lärarutbildare.
Föreläsning
Bakgrund
Sedan 1996, då det första ämnesprovet i matematik kom ut, har många elevarbeten skickats in till PRIM-gruppen
vid Lärarhögskolan i Stockholm, som har Skolverkets uppdrag att konstruera provet och sammanställa resultatet.
Eftersom endast arbeten från elever som är födda vissa datum samlas in blir det ett begränsat antal, men
elevarbeten till cirka 500 prov har sänts in varje år. Därtill kommer alla de arbeten som elever gör i de
utprövningar som sker inför varje prov. I analyser av dessa ser man vad elever kan och de är också mycket
viktiga för att kunna skriva så bra bedömningsanvisningar som möjligt till provet. Frågor som kommer att
belysas utifrån dessa analyser är: Hur visar eleverna sitt kunnande i olika typer av uppgifter? Hur lyckas eleverna
nå olika mål? Har det skett förändringar i resultat mellan åren? Använder eleverna andra lösningsstrategier idag
än under de första åren proven utgavs?
Uppgifter med olika bedömningspotential
Ämnesprovet för skolår 5 ska vara en hjälp att bedöma om eleverna har nått ”målen att uppnå”. Det har även ett
diagnostiskt syfte och ska visa elevernas starka och svaga sidor. Därför är det viktigt att försöka konstruera
uppgifter i vilka eleverna både kan visa olika kvaliteter i sitt kunnande och även avslöja eventuella
missuppfattningar och brister. Det är viktigt att uppgifterna är så stimulerande att eleverna vill och vågar ta sig
an dem. Erfarenheter av provet visar att uppgifter som är nära elevernas erfarenhetsvärld uppskattas mest och
därför hoppar inte eleverna lika ofta över dem. Att eleverna tar sig an uppgifterna är ju en förutsättning för att få
reda på något om deras tankar.
Eleverna skriver ofta som svar på en fråga i delen ”Frågor om matematik”, att de tycker om
verklighetsförankrade uppgifter. En sådan uppgift har uppskattats mest av alla uppgifter i provet år 1999. Den
handlar om att göra ett inköp av undulater och tillbehör för en viss summa pengar. Till uppgiften hör en prislista
med olika saker att välja bland. Så här svarar några elever på varför de tycker att den uppgiften är bra:
”Jag tycker att undulaten var bra. Man fick ju bestämma själv.”
”Det var roligt att köpa två underlater det kändes som om man var i affären o
kollade på en bur o underlat o mat å allt sånt där.”
”Jag tycker att fågeluppgiften var bra. Då kan man ju göra likadant på riktigt.”
(Alm & Björklund, 1999)
Uppgiften om undulaten är en s k ”öppen uppgift” vad gäller svaret och vägen fram till svaret. Öppna uppgifter
leder ofta till att eleverna visar olika kvaliteter i sitt matematikkunnande och kunnande vad gäller fler än ett mål.
Eftersom provet ska integreras i den dagliga undervisningen kan även denna typ av uppgifter leda till värdefulla
diskussioner i klassen efteråt och leda till den interaktion elever sinsemellan och mellan lärare och elever som
kursplan och läroplan eftersträvar.
Även i s k kortsvarsuppgifter och flervalsuppgifter kan elevernas kunnande visas, speciellt om de följs av en
fråga efteråt. Frågorna/uppmaningarna kan t ex lyda så här: Förklara hur du har tänkt. Hur vet du det? Varför
valde du den figuren? Dessa frågor uppmanar eleverna att visa om de kan argumentera för sina tankar, vilket är
ett av kursplanens viktiga mål att sträva efter. I svaren visar eleverna ofta prov på sin begreppsuppfattning, som
kan vara god eller dålig. I proven finns få kortsvarsuppgifter. De flesta är vanliga redovisningsuppgifter till vilka
eleverna uppmanas att visa sina lösningar. Det förekommer också beskrivande uppgifter och mer omfattande
uppgifter som ska lösas, ibland enskilt och ibland i grupp. Uppgifter kan leda till att olika kunskaper visas och i
olika hög grad och uppgifterna har därmed olika bedömningspotential. En strävan är att eleverna ska kunna visa
sina kunskaper både vad gäller fakta, färdigheter, förståelse och förtrogenhet i olika typer av uppgifter.
Skriftliga räknemetoder
Eleverna får i de flesta uppgifter uppmaningen att visa hur de löser uppgifterna. Föreläsningen bygger på de
analyser som gjorts utifrån elevernas arbeten. Det som står i fokus är målen som handlar om förståelse av
räknesätten och om god taluppfattning vad gäller enkla tal i bråk- och decimalform och även målen om att kunna
räkna med miniräknare och skriftliga räknemetoder. Endast de skriftliga räknemetoder behandlas dock i denna
sammanfattning. Att valet har fallit på dessa mål beror dels på en vilja att undersöka en eventuell förändring
under de år som provet har utgivits, dels sätta fokus på de mål, som eleverna har svårt att uppnå och där
missuppfattningar ofta döljer sig bakom dåliga resultat.
Har några förändringar skett under åren t ex vad gäller metoder? Procentsatserna, som kommer att anges, bygger
på ett urval av 200 elevarbeten som har analyserats. Eftersom provet inte är obligatoriskt finns en viss osäkerhet i
bedömningen, men de flesta klasser använder provet. Nedanstående uppgift finns med i provet både år 1999 och
2002 och därför kan det vara intressant att göra en jämförelse av resultaten. I uppgiften möter eleverna fem olika
elevers korrekta lösningar till en multiplikationsuppgift. Det gäller för eleverna att försöka förstå de olika
lösningarna och sedan själv lösa en multiplikationsuppgift på så många olika sätt som de kan. De ska också ringa
in det sätt som de oftast använder.
264
Diagnostiska material för skolår 6-9 – bygga broar för att fånga elevers kunnande i matematik
Skolverkets diagnostiska material som blev färdigt våren 2003 presenteras. I anslutning till detta diskuteras
frågor om vad analys av kunskap innebär och hur en dokumentation kan ske.
Lisa Björklund och Gunilla Gustafsson arbetar båda i PRIM-gruppen på Lärarhögskolan i Stockholm. Gunilla
arbetar 60 % av sin tjänst som lärare i matematik på en 7-9-skola.
Föreläsning
Forskning visar att elever behöver bli medvetna om sin egen kunskapsprocess, om sitt eget lärande. Ett viktigt
inslag i denna process är att lärandet beskrivs i ord. I den processen finns två aktörer – eleven och läraren.
I Lpo 94 står:
 ”Skolan skall sträva efter att varje elev
 utvecklar nyfikenhet och lust att lära,
 utvecklar sitt eget sätt att lära,
 utvecklar tillit till sin egen förmåga,
 utvecklar ett allt större ansvar för sina studier och
 utvecklar förmågan att själv bedöma sina resultat…” (sid 11 och 18)
I denna dokumentation presenteras två material som kan vara en hjälp i arbetet med att dokumentera elevens
kunskapsprocess, Analysschema i matematik – för skolår 6-9 och Diagnostiska uppgifter – för skolår 6-9. Båda
är utgivna av Skolverket och ett exemplar av varje skickades ut till berörda skolor i maj 2003. De kan beställas
hos Liber Distribution Publikationstjänst, 08 690 95 76.
Analysschema i matematik – för skolår 6-9
Analysschema i matematik – för skolår 6-9 är en fortsättning på det tidigare utgivna Analysschema i matematik
– för åren före skolår 6. Till stor del har båda materialen samma struktur och i båda schemana är det enbart det
som eleven visar att hon/han kan som skrivs ner. Vi beskriver här strukturen och innehållet i analysschemat för
de senare skolåren. Vi tar också upp tankar kring hur lärande går till och vad det egentligen innebär att kunna
något.
Hur går lärandet till och när kan vi egentligen något?
Det är svårt att veta vad en person egentligen kan. Det vi möjligtvis kan säga något om är vilket kunnande en
person visar med sina prestationer. Det är alltså prestationer vi bedömer och inte kunskap. När man använder
analysschemat som redskap kan frågan, om när det är dags att skriva något i schemat, uppkomma. Ja, här är inte
kraven alls lika ”hårda” som när det gäller att bedöma om en elev exempelvis har kunskap som motsvarar ett
visst mål att uppnå. Vi kan skriva något ganska tidigt under en elevs process mot att lära sig något specifikt. Om
det exempelvis handlar om att ta reda på arean av olika geometriska figurer så kan en första anteckning vara:
”Kan ta reda på arean av geometriska figurer genom att använda centimeter-rutat papper.” Efter ett tag kan en ny
anteckning vara: ”Kan bestämma arean av rektanglar och trianglar genom beräkning.” Efter ytterligare en tid kan
infogas nya anteckningar som speglar elevens kunskapsprocess.
Materialets innehåll
Analysschema i matematik – för skolår 6-9 innehåller allmän lärarinformation och också beskrivningar av hur
eleven och läraren kan ta fram underlag för analys och hur analys och dokumentation kan gå till. Vidare finns det
hänvisning till uppgifter ur Diagnostiska uppgifter – för skolår 6-9. Dessutom ingår kommentarer och exempel
till analysschemat. I det avsnittet kommenteras analysschemats olika delar och vad analysen kan fokuseras på.
Underrubrikerna har samma ordningsföljd som rutorna i analysschemat. Kommentardelen finns både i en läraroch en elevversion. Elevversionen är ett kopieringsunderlag så att den lärare som vill ska kunna kopiera upp ett
exemplar var till alla elever i klassen. Även själva analysschemat är ett kopieringsunderlag. Det är strukturerat
under rubrikerna Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband, Statistik och sannolikhet, Taluppfattning
samt Mönster och samband. Längst bak i materialet finns en översikt. Översikten visar hur schemats olika delar
är relaterade till såväl mål att uppnå som mål att sträva mot. Syftet med översikten är att ge en helhetsbild över
det som kan analyseras med hjälp av materialet.
Hur visas kunnandet?
En person visar sin kunskap i matematik med olika uttrycksformer och i olika situationer.
Uttrycksformer:
 Handling
 Bild
 Ord – talade och skrivna
 Symboler – informella och formella
Situationer:
 Matematiklektioner
 Arbete i andra ämnen
 Tematiskt arbete
 Fritidsaktiviteter
 Vardagsliv
 Samhällsliv
Att dokumentera en kunskapsprocess
Att dokumentera en kunskapsprocess kan ses som en kedja i tre steg: Händelser – Iakttagelser – Analys. Alla tre
steg i denna process kan dokumenteras.
Händelser är det som eleven gör. Det kan exempelvis vara arbeten av olika slag i bild och skrift. Dessa kan visas
för andra genom att de exempelvis sätts upp på väggen. Arbetena kan också sparas under en längre tid och på så
sätt illustrera elevens kunskapsprocess.
Med iakttagelser menas här en första beskrivning av de prestationer som eleven har gjort. Iakttagelser
formulerade i skrift kan också sparas och spegla en elevs kunskapsprocess.
Händelserna och/eller iakttagelserna kan sammanfattas i analyser. När man gör en analys funderar man över
vilket kunnande de olika prestationerna motsvarar. Även analyser kan i skriftlig form illustrera en
kunskapsprocess.
När det gäller att ta ansvar för en dokumentation av en elevs kunskapsprocess kan detta tas av eleven och/eller
läraren.
Här följer exempel på anteckningar i några av schemats rutor. Några av anteckningarna har gjorts av läraren och
några har gjorts av eleven.
Visar tilltro
och tar ansvar
nov 00 Ber om hjälp genom att peka och säga ”förstår inte”.
maj 01 Är bättre på att ta reda på det jag inte kan.
dec 01 Förklarar för kompis.
nov 02 Ställer frågor med
matematikinnehåll, t ex ”Är spegelvända
figurer kongruenta?”
Hanterar och löser problem
sep 02 Kan sammanfatta problemarbete generellt, t
ex cylinderns volym ”dubbel höjd – dubbel volym”.
feb 03 Kan lösa problem ganska bra själv, t ex så kunde jag
bestämma vinkelsumman av en sexhörning. Jag delade in den i
trianglar.
Avbildning, kartor och ritningar
jan 02 Ritar mitt rum i skala 1:20. Valde skala för att ritningen
skulle få plats på ett A4.
nov 02 Behärskar likformig och kongruent.
Geometriska objekt
apr 02 Ger exempel på cylinder, prisma, kon.
apr 02 Kan olika sorters trianglar, t ex liksidig.
Några av meningarna ovan har mer karaktären av iakttagelser, exempelvis Ber om hjälp genom att peka och säga
”förstår inte”. Andra är mer utformade som analyser, exempelvis Kan olika sorters trianglar, t ex liksidig.
Kanske är det då en dokumentation blir tydligast, när man blandar dessa olika karaktärer av skriftliga
kommentarer?
Diagnostiska uppgifter – för skolår 6-9
Syftet med detta material är diagnostiskt. Det är alltså tänkt att vara en hjälp till en lägesbild av den enskilda
elevens kunnande här och nu. Denna lägesbild kan vara en del i en prognos för elevens möjligheter framöver –
framför allt med att nå mål att uppnå i skolår 9.
Mellan skolår 5 och 9 finns inga nationellt fastställda mål att uppnå. Därför är uppgiftsmaterialet inget prov för
att bedöma om eleven vid en viss tidpunkt uppnått en viss bestämd kunskapsnivå. Avsikten är i stället att
materialet, utifrån den enskilda elevens/undervisningsgruppens behov, ska kunna användas återkommande under
en längre tidsperiod. Med hjälp av de olika uppgifterna/delarna kan läraren och eleven skapa sig en bild av
elevens kunskap inom olika områden. Tillsammans kan sedan en planering av det fortsatta arbetet ske. På så sätt
kan materialet stödja eleven i hans/hennes kunskapsutveckling i matematik.
Materialet innehåller nykonstruerade uppgifter men också uppgifter ur det tidigare utgivna Diagnostiskt material
för skolår 7 (1996), uppgifter ur ej sekretessbelagda ämnesprov för skolår 9 samt uppgifter ur tidigare utgivna
ämnesprov för skolår 5.
Vad har varit viktigt i utvecklingsarbetet?
Med utgångspunkt i analyser av främst läroplan och kursplan har ambitionen varit att utforma materialen så att
eleven i så stor utsträckning som möjligt får visa att hon/han
• behärskar grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet
• besitter beständiga kunskaper, som utgör den gemensamma referensram som alla i samhället behöver
• kan använda grundläggande matematiska begrepp och metoder
• kan använda matematikens språk, symboler och uttrycksformer
• kan förstå och använda matematiska resonemang
• kan använda och granska matematiska modeller
• kan formulera och lösa matematiska problem
• kan tolka och värdera lösningar
• kan använda sig av miniräknarens och datorns möjligheter
• kan redovisa sina tankegångar i bild, skrift och tal
• kan använda sina kunskaper som redskap för att
- formulera och pröva antaganden samt lösa problem
- reflektera över erfarenheter
- kritiskt granska och värdera påståenden och förhållanden
• kan föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser, generalisera, förklara och argumentera för sitt
tänkande.
Tonvikten bör ligga på förståelse, analys av hela lösningsprocedurer och kritisk granskning av resultat samt på
förmåga att dra slutsatser.
Innehåll
Materialet består av fyra komponenter:
• Uppgifter att lösa individuellt
• Uppgifter att lösa i par/grupp
• Självbedömning
• Underlag för dokumentation
Uppgifterna är samlade i samma områden som Analysschema i matematik – för skolår 6-9.
Vad ska diagnosticeras?
Det finns ingenting som kan ersätta lärarens iakttagelser och erfarenheter vid diagnostisering av elevens
kunskap. Det material som här erbjuds skolorna ska vara ett stöd för detta arbete.
I försöken att förstå resultaten av elevens arbete med materialet är det av ringa intresse att räkna antalet korrekta
svar. Det som är angeläget är att förstå hur eleven har kommit fram till sina svar samt att analysera hur eleven
har arbetat med uppgifterna och vilka kvaliteter de olika lösningarna har. Ett viktigt led i bedömningen är att
eleven får möjlighet att komplettera de lösningar som är oklara eller ofullständiga. Det är också viktigt att
eleverna får klart för sig att de ska visa så mycket som möjligt av sitt kunnande under arbetet med uppgifterna.
Hur och när kan eleverna arbeta med materialet?
Meningen är att de olika delarna ska användas på ett flexibelt sätt. Materialet är att betrakta som en
uppgiftsbank, där läraren/arbetslaget avgör vilka uppgifter, som de olika eleverna bör arbeta med. Materialet ska
i så stor utsträckning som möjligt integreras i den ordinarie undervisningen. Det betyder bland annat att eleven
inte behöver arbeta med alla uppgifter i en del vid ett enda tillfälle, utan arbetet kan fördelas över flera tillfällen.
Vid något tillfälle kanske hon/han arbetar med en enda uppgift. Det är viktigt att varje elev får arbeta med
uppgifterna på ett sådant sätt att han/hon kan göra sitt bästa.
Litteratur
Black P. & Wiliam D. (2001) Inside the Black Box. Raising Standards Through Classroom Assessment, Kings
College, London
Carlgren I & Marton F. (2000). Lärare av i morgon, Lärarförbundet, Stockholm
265
Kreativt arbetssätt med TI Interactive
Upplev matematiken på ett annorlunda sätt genom att arbeta interaktivt med datorn, räknaren
och CBL. Vi ger en introduktion till TI Interactive och visar olika exempel på
användningsområden. Du får också själv göra en del övningar, som du sedan kan använda i
undervisningen.
Ing-Marie Gustafsson och Karin Sjöholm undervisar i matematik vid gymnasieskolan
Spyken i Lund
Workshop
TI Interactive är en integrerad inlärningsmiljö, där du kan skapa interaktiva dokument inom matematik och
naturvetenskap. Dokument kan innehålla formaterad text, grafik och live-integrerad matematik.
Detta visas och prövas på under vår workshop:
 Symboliskt datoralgebrasystem
Programmet har en avancerad symbolhanterande räknardel. Med hjälp av denna kan eleverna undersöka och
upptäcka mönster inom algebra. Man kan bygga upp interaktiva övningar som eleverna kan arbeta med.
 Funktionsstudier
Med programmets grafritardel kan man arbeta med funktioner på ett kreativt och undersökande arbetssätt genom
att variera parametrarna och studera kurvornas olika utseende.
För detta finns ett speciellt inbyggt verktyg, så att elevövningarna kan göras interaktiva.
 Integrerad webläsare och dataredigerare med kalkylblad
För att få aktuell statistisk data kan man hämta data direkt från nätet och lägga in detta i kalkylblad. Med hjälp av
programmet kan materialet både analyseras matematiskt och redovisas i diagram.
 Ordbehandlare med integrerad matematik
I fysik gör man ofta mätningar med hjälp av CBL. Eleverna kan mata in data i sina TI-räknare och hantera dessa
med hjälp av TI Interactive och skapa snygga labrapporter med tydliga grafer och fysikaliska samband.
Under första arbetspasset förklaras programmets grunder och olika tillämpningar demonstreras. Övningar som
kan användas direkt i klassrummet delas ut.
Under andra arbetspasset finns möjlighet att pröva på dessa övningsuppgifter inom matematik och fysik.
267
Vad är en parabel? En historisk och didaktisk odyssé
Med parabeln som exempel visas hur den historiskt-kulturella utvecklingen av idéer, uttrycksformer, metoder
och verktyg, från Apollonius till Cabri, kan berika och utveckla ett matematiskt begrepp och hur det kan
uppfattas. Vilka didaktiska problem och möjligheter medför detta? Med exempel för klassrummet.
Christer Bergsten är universitetslektor i matematik med ämnesdidaktisk inriktning vid Linköpings universitet
där han arbetar med lärarutbildning. Hans forskningsintresse berör bland annat det matematiska symbolspråket,
var medförfattare till Algebra för alla och arrangör av Matematikbiennalen i Norrköping 2002.
Föreläsning
En inblick i dagens skolmatematik visar att begrepp och metoder ofta hanteras isolerade, utan att integreras i ett
större sammanhang, och att särskilt i gymnasiet det mesta bearbetas med algebraiska verktyg. Men just detta
speciella matematiska symbolspråk erbjuder många elever stora problem, både vad gäller symbolernas mening
och innebörd och hur de hanteras. Sammantaget kan detta för skolelever ge en bild av matematiken som
osammanhängande och svårförståelig, och de tillämpningar som lyfts fram i motiverande syfte blir lätt mer en
typ av utsmyckning än en del av en integrerad matematisk kunskap. Ett exempel som kan illustrera detta är
andragradskurvan. En mängd typer av problem och tekniker som behandlas i skolmatematiken är relaterade till
denna ‘klassiska’ graf:
• begreppet kvadratrot, som kan beröra en grundläggande utvidgning av talbegreppet från rationella till reella tal,
• lösning av andragradsekvationer (med kvadratkomplettering) och därmed även en utvidgning av talbegreppet
från reella tal till komplexa,
• ett grundläggande exempel på polynom och polynoms egenskaper som faktorisering,
• andragradspolynom är i skolan ofta den första typen av funktioner som studeras i samband med derivata och
optimeringsproblem,
• i tillämpningar ofta kallad parabel, som studerades grundligt redan i den klassiska grekiska geometrin, vars
reflektionsegenskap utnyttjas i parabolantenner och vars form återfinns i kaströrelsen,
är några välkända exempel.
Hur man uppfattar eller förstår vad en andragradskurva är präglas av hur den beskrivs, definieras, behandlas,
används, osv. Här spelar olika uttrycksformer en central roll, inte bara för hur en individ uppfattar ett sådant
matematiskt ‘fenomen’, utan också hur ‘fenomenet’ utvecklas genom historien och även påverkar utvecklingen
av matematiken själv. För Euklides och Apollonius för mer än tvåtusen år sedan var parabeln ett rent geometriskt
objekt som definierades med ”vanligt” språk och analyserades mer eller mindre fullständigt med den
konstruktiva och deduktiva geometrins verktyg (se Thompson, 1991). Arkimedes verkade i samma tradition,
utan vår tids algebraiska verktyg, men lyckades även bestämma arean av ett parabelsegment (’parabelns
kvadrering’) med hjälp av en konvergent geometrisk summa (se Popp, 1978, s. 96-105). Men i och med
Déscartes analytiska geometri på 1600-talet blev det möjligt att använda ett enkelt och manipulerbart algebraiskt
uttryck för att beskriva läget för en punkt på en parabel inplacerad i ett koordinatsystem genom att ange
2
sambandet mellan punktens x- och y-koordinat. En geometrisk form ”avbildas” i ett algebraiskt uttryck y  x .
Därmed hade parabeln genomgått en metamorfos från ett geometriskt objekt till ett algebraiskt objekt. Genom att
koppla dessa fundamentalt olika objekt till varandra blev det också möjligt att studera det ena objektets
egenskaper med det andras verktyg. På detta sätt kan det algebraiska symbolspråket ses som ett didaktiskt
verktyg för att bättre förstå ett geometriska objekt (se t ex Bergsten, 2003). Så snart den tungrodda geometriska
analysen kompletterats med den smidiga algebraiska kalkylen utvecklades matematiken snabbt. Inte bara de tre
klassiska kägelsnitten (parabel, ellips, hyperbel), som nu också kan kallas andragradskurvor, utan även
motsvarande 3-dimensionella andragradsytor (paraboloid, ellipsoid, hyperboloid), kunde studeras som
kvadratiska former, vilka med hjälp av egenvärdesteori och matrisnotation under 1800-talet fick en enhetlig och
systematisk matematisk behandling, som också underlättade deras många tillämpningsområden. När dagens
datorer med en snabbhet som troligen även antikens geometriker skulle häpna över, hanterar matriser och
numeriska beräkningar så snabbt att användaren bara genom enkla handrörelser kan direkt omforma och studera
parabelns och andra kurvors geometriska egenskaper som figurer på en skärm, är det åter det geometriska
objektet i sig som kan komma i fokus. Men det är efter ny metamorfos som parabeln nu är ett dynamiskt objekt
på en datorskärm. Matematiken har gett sig själv ytterligare ett didaktiskt verktyg, man skulle kunna säga för att
bättre förstå sig själv.
Vad är då en parabel? Ett sätt att svara på frågan är det semiotiska: meningen förflyttar sig genom
uttrycksformerna som det som betraktaren uttolkar ur dessa, mot bakgrund av de kunskaper och erfarenheter
han/hon aktiverar. Den historiska utvecklingen av matematiken visar hur meningen ändrar ansikte när nya
matematiska ‘register’ utvecklas och används på objekt som tidigare studerades med andra ‘register’. Via en
semiotisk kedja har skärningen mellan en kon och ett plan blivit en diagonaliserad kvadratisk form representerad
av en symmetrisk matris, eller elektroniska punkter på en datorskärm.
För realgymnasieeleven på 1960-talet var en parabel den geometriska orten för punkter med samma avstånd till
en given punkt (fokus) respektive linje (styrlinje), en egenskap som snabbt kläddes i den analytiska geometrins
2
algebraiska uttrycksform x  4ay , på vilken en systematisk behandling av parabelns egenskaper grundades
(Sjöstedt & Thörnqvist, 1963). Kägelsnittsdefinitionen från Appolonius studerades också, om än som överkurs.
Studiet av parabeln integrerades i området analytisk geometri. Gymnasieeleven på 1990-talet fick parabeln
2
serverad som en algebraiskt definierad andragradskurva, y  x , vars form ”prickas in” via en värdetabell.
Någon diskussion av egenskaper utöver de uppenbara (att y ≥ 0 och axelsymmetrin) gjordes sällan, som till
exempel den avståndsinvarians som nämndes ovan. Tangenter hanterades med derivata. Parabeln bäddades in i
området funktionslära. På samma sätt mötte studenterna andragradsytorna genom studiet av kvadratiska former,
inbäddat i området linjär algebra. Kommer 2000-talets gymnasieelever att möta parabeln i form av ett dynamiskt
objekt på en datorskärm, vars egenskaper får undersökas laborativt, och fastställas geometriskt eller algebraiskt
där det är ”tillgängligt”? Men i vilket sammanhang ska det bäddas in?
Det historiska perspektivet ger inte bara färg och trevnad åt matematiken, det ger en kuliss och ett argument, och
kan vara ett didaktiskt verktyg genom att visa på andra aspekter än de som presenteras i en ren metodorienterad
matematikundervisning, som kan vara avgörande för materialet ska få liv. Ett intressant perspektiv är att arbeta
med vad Boero et al (1997) kallar ‘röster och ekon’. Läraren låter elever arbeta med frågor och uppgifter kring
historiskt viktiga matematiska problem/uttryck vilka utgör ‘röster’ som bär med sig ett innehåll och en diskurs
från den valda kulturella horisonten. Genom detta arbete kopplas dessa ‘röster’ till elevens egna tolkningar,
uppfattningar och erfarenheter så att eleven då skapar ett ‘eko’ (se vidare Fauvel och van Maanen, 2000, sid.
154-167). Exempel på övningar med detta syftekan hämtas till exempel från de ’Problem Studies’ som finns i
Eves (1983.
Förutom en historisk-didaktisk odyssé i anslutning till ovanstående tar föreläsningen även upp exempel på arbete
i klassrummet med parabeln, bland annat med ett dynamiskt geometriprogram.
Referenser
Bergsten, C. (2003). Algebra som innehåll och aktvitet. I Utvikling av matematikkundervisning i samspill
medlom praksis og forskning. Konferensrapport. Skriftserie for Nasjonalt senter for Matematikk i
Opplæringen, No 1-2003. Trondheim.
Boero, P., Pedemonte, B. & Robotti, E. (1997). Approaching theoretical knowledge through voices and echoes: a
Vygotskian perspective. Proceedings of the 21st International Conference on the Psychology of
Mathematics Education, Lahti, Finland, vol. 2, 81-88.
Eves, H. (1983). An introduktion to the history of mathematits. (Fifth Edition) New York: Saunders College
Publishing.
Fauvel, J. & van Maanen, J. (Eds). History in mathematics education. The ICMI Study. Dordrecht: Kluwer.
Popp, W. (1978). History of mathematics. Topics for schools. Milton Keynes: The Open University Press.
Thompson, J. (1991). Historiens matematik. Lund: Studentlitteratur.
268
Antal – matematikhistoriens största tanke?
Matematik är produkten av människors handling och tankeverksamhet. Men nästan vilket begrepp man än
kommer in på kan kännas som det viktigaste. Kanske symbolerna eller talsystemets positionssystem. Intresset för
antalsbegreppet är måhända något försummat. I umgänget med barn i förskolan och i de tidigaste skolåren är
antalsbegreppet ett av de mest spännande samtalsämnena. Det historiska perspektivet är oundvikligt. Det liknar
barnets matematiska utveckling med den stora skillnaden att barn känner att allt det vi vuxna vet nu, kommer de
också att lära sig och kanske ännu smartare.
Karl-Åke Kronqvist, universitetsadjunkt vid Malmö högskola. Lågstadielärare och lärarutbildare med ansvar
för fortbildning i matematik för förskollärare och specialpedagoger.
Föreläsning
Kring antal
Denna föreläsning vänder sig till lärare som arbetar med barn som är mellan 2 och 8 år gamla. Den ska också
ses som ett inslag i strävanden att underlätta samarbete eller integration mellan förskola, förskoleklass,
fritidshem och skolans första år. Specialpedagogiken har en självklar plats i detta sammanhang; antalsbegreppet
är en aspekt om barn har svårigheter med tal och talskrivning.
Inom matematikämnet, historiskt sett, innebar utvecklingen av antalsbegreppet ett avgörande steg mot att
matematiken kom att innehålla generaliseringar. Antalet kunde frigöras från föremålen och öppnade därmed nya
möjligheter för beräkningar. Det är ett intressant tema: Matematikens historia. Det lämpar sig för gestaltad och
estetisk kunskap: drama, bild och form. De som en gång för länge sen kom på de avgörande tankarna mot
antalsbegreppet anade kanske vilken språngbräda det skulle utgöra för ämnet. På samma sätt kan barnet känna
hur möjligheter öppnar sig när de upplever att de förstår antalsbegreppets idé. Upplevelsen grundar sig på
handskandet med föremål, utformandet av tankestödjande bilder samt inre och kommunicerande språk.
Från min nyutkomna rapport Matematik på väg – i förskola och skola (Rapport 12/2003, Malmö Högskola,
Lärarutbildningen) citerar jag följande:
Om antalsförståelse.
När det sist sagda räkneordet betyder alla redan räknade föremål, beskriver räkneordet ett antal. Räkneordet har
fått kardinalitet i stället för att bara ordinalt beteckna det sista föremålet. (Kardinalitet kommer från det engelska
uttrycket cardinal numbers, som betyder antal.)
Sekvenseringen av räkneorden blir säker och därmed möjligheten att räkna baklänges. Barnet upptäcker vidare
att antalet av en viss mängd föremål blir detsamma oberoende av ordningen när de räknas. Fantastiskt! Ett visst
antal är alltså ett abstrakt begrepp som kan representeras av alla samlingar av föremål i verkligheten med
samma mängd. Alla föremålen skulle kunna kopplas till vilket av räkneorden som helst. Förutsättningar för att
förstå antal som ett begrepp, oavsett föremålens egenskaper öppnar sig. Tio små knappar och lika många väldiga
egyptiska pyramider har något gemensamt.
Mycket ska på plats innan räkneorden står för kardinalitet. Föremålens ordning, storlek, egenskaper, utbredning
och funktion mister sin betydelse till förmån för antalsbegreppet.
– Fem myror är fler än fyra elefanter, säger Magnus, Eva och Brasse och bortser från storleken av föremålen,
dvs. djuren. Förståelsen för att föremål i en mängd kan bytas ut eller förändras utan att antalet påverkas är också
något som kan upptäckas, diskuteras och bearbetas.
Alla behöver inte var myror för att få utgöra en mängd. Snart kan man även blanda myror och elefanter; antalet
djur är ändå det samma! Barbapapafamiljens medlemmar kan förändra sina former och sitt omfång hur som
helst, ändå är de alltid lika många.
Antalsgrupper
Att med en blick uppfatta antalet underlättas om föremålen grupperas. Föremål fler än fyra i oordning eller
uppradade är svåra att antalsbestämma. Men ordnade i antalsgrupper, t.ex. fyra och fyra blir bestämningen både
snabbare säkrare och mera utvecklande. Jämför det svårräknade IIIIIIIII med III III III eller IIII IIII I.
På tärningar och dominobrickor ser barnet tidigt antalet med ett enda ögonkast. Sådana talgestalter kan kallas
fasta antalsgrupper; man kan alltså inte påverka deras gestalt, men de är ett hjälpmedel vid utvecklingen av
antalsbegreppet. Med lösa antalsgrupper menas att räknaren själv kan bestämma hur de ska grupperas på bästa
sätt så att räkningen underlättas.
Jämföra antal
Nu öppnar sig möjligheter att jämföra antal. Hur stor skillnad i antal är det mellan pinnar och stenar i din
naturlåda? Eller mellan antalet av föremål i din låda och de i Evas?
Antalsorden är jämförelseord och ganska svåra eftersom några av dem används rätt sparsamt. Parbildning är det
räknesätt med vilket man kan jämföra antal.
 lika många eller samma antal, (rättvist)
 fler – färre (inte lika många), (komparativer)
 flest - minst antal (fåast, engelska fewest), (superlativer)
(I vardagsspråk används ofta storleksordet minst; ”Svegs kommun har minst poliser.”)
 tex. 3 mer - 3 mindre, (Hur många enheter skiljer sig den ena mängden från den andra.)
Orden undersöks att genom att med hjälp av parbildning jämföra antalet föremål i oftast två mängder.
Parbildningen avslöjar eventuell skillnad i mängdernas antal. (Orden är lätta att förväxla med talens motsvarande
ord: är lika med, större än – mindre än, störst – minst.)
Barn i förskola och skola bör få möjlighet att uppleva utvecklingen av antalsförståelse som en givande
upptäcktsresa i gemenskap. Andra barns tankar kan utmana. Läraren, med kunskap om antalsbegreppets
konkreta och abstrakta sidor, blir en viktig följeslagare.
Talens delar - Talpar
När förmågan finns att se antal som helheter blir det naturligt att börja undersöka talens delar. Tal är i
matematisk mening beskrivning av antal. Hur kan tal delas upp? För barn är det ofta naturligast att dela rättvist.
”Båda ska ha lika många”. Därför kan det vara idé att börja med jämna tal. Först sedan kan det vara intressant att
undersöka udda tal där delarna av hela udda tal blir olika stora, alltid omväxlande ett udda och ett jämnt tal.
Svårigheterna uppstår när barns förståelse ska mätas mot vuxnas. För att slingra oss kallar vi ofta brister i
barnets förståelse för förförståelse. Det vi kan uppleva som oförståelse är ju barnets egen. Sorgligare är den
tystnad som kommer sig av att ofta ha fått en rad fel, som belöning för sitt tankearbete. En blick av oro, ett ord i
oförstånd kan räcka för att barnet ska bli försiktigt med vad det säger nästa gång det utsätts för de
färdigformulerade färgglada frågeställningar som är vanliga i både skol- och före-skolan-böcker.
Viktigt är att barn som tänker ordinalt uppmuntras till att bestämma antalet genom att först ordna föremålen i
antalsgrupper så att kan se antalet med en blick. Att fortsätta med att bestämma ett antal genom att räkna
föremål ett-och-ett kan försvåra barnets försök att våga lämna pek- eller fingerräknandet och därmed
ordinaltalstänkandet i kardinala sammanhang. Att se ett antal bakom ett enda ord eller ett enda siffra eller
sifferkombination är ett viktigt steg i utvecklingen av abstrakt tänkande och barnets taluppfattning.
(Rapporten kan beställas och köpas genom lärarutbildningen: [email protected] )
272
Vi öppnar ögonen för matematiken!
I förskolan har vi en betydelsefull uppgift att leka med viktiga matematiska begrepp utan att använda
siffersymboler.
För mig är det viktigt att arbeta med matematik på ett sådant sätt att både handen, ögat och hjärnan samarbetar.
Samtalet har också en central plats i barnens matematiska upptäckter.
Vi inleder workshopen med ett samtal om förskolans uppgift när det gäller matematik och provar därefter olika
spel som kan stimulera barnen i deras lek med matematiken.
Karin Larsson är förskollärare i Trelleborg, samt arbetar deltid på Lärarutbildningen i Malmö.
Workshop
274
Att utmana små barns matematiktänkande och lärande i
förskolan
Föreläsningen kommer att visa på betydelsen av att lärarna tar sin utgångspunkt i förskolans tradition; lek,
vardagsrutiner och temaarbete allt för att med hjälp av skapande, reflektion och utmaningar synliggöra
matematik på ett för barnen meningsfullt sätt. Exempel kommer att ges på hur lärarna tillvaratar mångfalden av
barnens sätt att tänka och lära matematik och låter det utgöra ett innehåll i förskolans verksamhet.
Elisabet Doverborg är förskollärare, högskoleadjunkt och forskare. Hon är verksam vid Nationellt Centrum för
Matematikutbildning, NCM, Göteborgs Universitet.
Föreläsning
Matematik som ett innehåll i förskolan
I läroplan för förskolan, Lpfö 98, kan vi läsa att förskolan vilar på demokratisk grund och att
verksamheten skall planeras och genomföras i överensstämmelse med de grundläggande
demokratiska värderingar som uttalats. Förskolans verksamhet skall främja individens frihet
och integritet, allas lika värde och jämställdhet mellan könen. Flickor och pojkar skall ha
samma möjligheter att utveckla förmågor och intressen.
Barn möter matematik på olika sätt under hela sin förskoletid. Förskolan är barnets första
skola och den skall lägga grunden för det livslånga lärandet. Barn skall tillägna sig nyanserade
innebörder i begrepp, erfara samband och förstå omvärlden. Ett sätt för barnen att förstå sin
omvärld är att varsebli vissa företeelser och att kunna uttrycka dessa med hjälp av
matematikens språk (Doverborg & Pramling Samuelsson, 1999).
Vad kan det innebära för barn i ett- till femårsåldern att matematik skall vara ett innehåll i
förskolan? Jo, att alla barn som går i förskolan skall utmanas i sitt matematiktänkande och
lärande utifrån det som är relevant för dem.
Läroplanen för förskolan uttrycker att förskolan skall sträva efter att varje barn
-utvecklar självständighet och tillit till sin egen förmåga,
-utvecklar sin förmåga att upptäcka och använda matematik i meningsfulla sammanhang,
-utvecklar sin förståelse för grundläggande egenskaper i begreppen tal, mätning, och form samt sin förmåga att
orientera sig i tid och rum (Lpfö 98, s. 12-13).
Förskolans tradition
Alla barn som går i någon form av förskoleverksamhet skall alltså ges möjlighet att utveckla
en förståelse för tal, mätning, form, tid och rum. För att barn skall kunna utveckla denna
förståelse måste de få möta många vardagsnära utmaningar så att de kan erfara den matematik
som finns i deras värld. Utgångspunkten för allt arbete i förskolan, så även arbetet med
matematik, måste vara att utgå från förskolans tradition, det vill säga leken, vardagsrutinerna
och temaarbetet. Det är inte i första hand lärarledda aktiviteter som skapar förskolebarns
möjligheter att lära matematik, utan snarare lärarens förmåga att synliggöra den matematik
som finns i barns vardag, med andra ord i leken, rutinerna och temat. Lärarna måste dessutom
låta barnen få möjlighet att dokumentera och reflektera över den matematik de möter. Vidare
måste förskolans lärare ta utgångspunkt i barns föreställningar och erfarenheter då matematik
skall synliggöras – allt för att barnen skall få möjlighet att utveckla en tillit till sin egen
förmåga.
Strävansmålen uttrycker också betydelsen av att barnen skall ges möjlighet att upptäcka och
använda matematik i meningsfulla sammanhang. Man kan fråga sig vad som är meningsfulla
sammanhang för barn i ett- till femårsåldern. Pramling Samuelsson och Sheridan (1999)
hävdar att meningsfulla sammanhang är när barn får möta matematik så som den framstår i
deras egen värld. Doverborg och Pramling Samuelsson (1999) framhåller vikten av att barn
förstår och känner sig delaktiga i det sammanhang de är involverade i. Att kunna sätta ord på
sin omvärld med hjälp av matematikens språk kan vara ett sätt att förstå denna.
Samma matematik
Vad innebär matematik för det lilla barnet? Svaret på den frågan är beroende av hur vi ser på
matematik. I Skolverkets rapport ”Lusten att lära – med fokus på matematik” (Skolverket,
2003) säger man att matematik skall kunna bidra till ett bra självförtroende, att det är en
demokratisk rättighet att få möjlighet att förstå och att kunna delta i beslutsprocessen. Alla
skall ha möjlighet att erövra kunskaper i matematik. Jag menar att det är samma matematik
barn möter i förskolan och skolan. För tvååringen, lika väl som för åttaåringen, handlar det
om att utveckla en förståelse för tal, mätning, form, tid och rum – fast på olika sätt och med
olika uttrycksformer.
Många vuxna har uppfattningen att matematik enbart är att räkna, medan andra säger att
matematik är att uppleva mönster, skönhet och att ha kontroll över tillvaron. För det lilla
barnet är matematik något som hjälper henne eller honom att tolka, beskriva och förstå sin
omvärld.
Här följer ett par exempel hämtade från barn i ett- till tvåårsåldern när de på olika sätt
utforskar sin vardag tillsammans med sin lärare som med matematikens hjälp sätter ord och
begrepp på det de gör.
Att jämföra längd
Rebecka, ett år och fem månader, sitter på golvet med tre nallar framför sig som hon lyfter
och flyttar, fram och tillbaka. Efter en stund lägger hon de två största nallarna bredvid
varandra, tittar på dem och lägger sedan den ena åt sidan. Därefter tar hon den mindre nallen
och lägger den bredvid den större. Hon tittar på dem och tar bort den mindre nallen för att åter
igen lägga de två större nallarna bredvid varandra. Hon tittar på dem, skrattar och slänger i
väg en av de större nallarna och tar tag i den mindre nallen igen. Hon lägger dessa bredvid
varandra, tittar på dem och skakar på huvudet och säger: ”Nä, nä”.
Under tiden som Rebecka lyfter nallarna fram och tillbaka sätter läraren ord på det Rebecka
gör genom att säga: ”Men titta de två nallarna är lika långa." Och "Nu har du en stor nalle och
en liten nalle." Samt "Nu har du de båda nallarna som är lika långa, men nu blir det en lång
och en kort nalle.”.
Om också vi tar på oss matematikglasögonen ser vi att Rebecka har kunnat urskilja nallarnas
längd – två är lika stora/långa, den tredje nallen är mindre/kortare. Hon lägger dem bredvid
varandra för att mäta/jämföra dem. När de båda stora nallarna ligger bredvid varandra tittar
hon bara på dem, men då hon har den stora och den lilla nallen framför sig säger hon ”nä, nä”
och uttrycker på så sätt att nu är det inte likadant som förut. Dessa båda nallar är inte lika
långa.
Vi kan här se att Rebecka möter antal, en eller två nallar och att alla nallarna tillsammans är
tre. Nallarnas längd och storlek utforskas, dessutom kan även form lyftas fram och
synliggöras av läraren som hela tiden finns med då Rebecka undersöker nallarna och som
hjälper henne att sätta ord på det hon gör med hjälp av matematikens ord och begrepp.
Mätandets princip
Vilma, ett år och fem månader, skall hjälpa till att mäta upp ingredienserna till baket. Hon
skall mäta upp två deciliter havregryn. Vilma öser glatt upp först ett och sedan ännu ett mått.
Hon visar i många sammanhang att hon har en förståelse för skillnaden mellan ett och två, till
exempel två ögon, fötter och händer, men bara en näsa, mun och huvud något som läraren lyft
fram många gånger i samband med påklädningen.
Att det handlar om att ösa två gånger är Vilma klar över. Då hon fyller måttet frågar läraren:
- Är det fullt nu?
Vilma nickar.
Det finns ytterligare en dimension här, nämligen att det handlar om exakt två deciliter
havregryn. Eftersom Vilma ännu inte har utvecklat begreppet volym förstår hon inte att varje
mått måste vara till bredden fyllt för att utgöra en deciliter. Något som också utgör en
förståelse för mätandets princip.
Genom att Vilma får ta del av vardagen i samspel med vuxna som sätter ord på det som sker
med hjälp av matematikens ord och begrepp blir matematik en del av Vilmas värld. Under
hela sin förskoletid kommer hon att möta matematikens ord och begrepp i sin vardag. På så
sätt ges hon möjlighet att i samspel med läraren och andra barn utmanas och skapa en
förståelse för dessa.
Lärarens betydelse
Dessa båda situationer är hämtade från de allra yngsta barnens vardag och får utgöra exempel
på hur lyhörda lärare ser det lilla barnets värld. Men också på hur matematik skapar mening
och innebörd, det vill säga hur den hjälper barnet att tolka, beskriva och förstå sin omvärld.
Detta sker dock inte utav sig självt, utan med hjälp av att läraren sätter matematikens ord och
begrepp på det barnet gör, utmanar barnets tänkande och problematiserar det barnet är
involverat i.
Även de yngsta barnen på småbarnsavdelningen kan på detta sätt utveckla en tilltro till sitt
eget sätt att tänka och lösa för dem relevanta problem i vardagen. Lärarens uppgift är inte bara
att skapa förutsättningar för barn att erfara matematik i sin vardag, utan också att tolka och
förstå vilken matematik barnen ger uttryck för i olika sammanhang. På så sätt kan barnen
utmanas i sitt matematiktänkande och lärande utifrån läroplanens intentioner. Både Rebecka
och Vilma visar på att den grundläggande matematiken är en del av deras värld.
I förskolan finns många tillfällen att utmana barnens matematiktänkande och lärande. Barn
erfar olika aspekter av matematik då de på olika sätt får möjlighet att uppfatta och uttrycka
antal, sortera och jämföra efter storlek, vikt, volym och längd. Liksom är de ges möjlighet att
skapa olika mönster, former etc. Då barn erfar matematik som något som hör till deras värld
gör de också olika matematiska begrepp till sina och utvecklar en grundläggande matematisk
förståelse.
I lekens lustfyllda lärande, i vardagsrutiner, i temat och i samspel med andra barn och vuxna
(Williams, 2001) utmanas förmågan att samarbeta och lösa problem. Barnen får tilltro till sitt
eget tänkande som problemlösare, de utvecklar tal-, tids- och rumsuppfattning, abstrakt
tänkande med mera. Allt detta utgör förskolans matematik.
Referenser
Doverborg, E. & Pramling Samuelsson, I. (1999). Förskolebarn i matematikens värld.
Stockholm: Liber.
Pramling Samuelsson, I. & Sheridan, S. (1999). Lärandets grogrund. Perspektiv och
förhållningssätt i förskolans läroplan. Lund: Studentlitteratur.
Skolverket (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik. Stockholm: Skolverket.
Utbildningsdepartementet. (1998). Läroplan för förskolan. Lpfö 98. Stockholm: Fritzes.
Utbildningsdepartementet. (1998). Läroplan för det obligatoriska skolväsendet,
förskoleklassen och fritidshemmet. Lpo 94 – anpassad till att också omfatta förskoleklassen
och fritidshemmet. Stockholm: Fritzes.
Williams, P. (2001). Barn lär av varandra. Samlärande i förskola och skola. Göteborg
Studies in Educational Sciences 163. Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis.
275
Mattesafari på Universeum
Universeum är Sveriges nationella vetenskapscentrum, beläget i Göteborg. Universeum innehåller såväl levande
miljöer (svenskt landskap, regnskog och akvarier) som experimentmiljöer. Det finns även ett matematiktema. I
alla Universeums avdelningar har det byggts upp matematiska experimentstationer och skapats ett skoltema som
kallas mattesafarit. Temat har vuxit fram ur ett samarbete mellan forskare vid Göteborgs universitet, Chalmers
och personalen vid Universeum.
Vid föreläsningen presenteras vad detta tema innebär, hur vi tar emot skolklasser och hur vi använder informellt
lärande inom matematiken i våra miljöer.
Sten Ljungström, Scientific Director, Universeum, Göteborg
Övriga medverkande: Charlotte Limberg1, Annika Perlander1, Samuel Bengmark2
1
Universeum, Box 143 65, 400 20 Göteborg
2
Matematiska institutionen, Chalmers tekniska högskola, 412 96 Göteborg
Föreläsning
Universeum, Sveriges nationella vetenskapscentrum, har som en av sina målsättningar att ge besökaren en tvär –
och mångvetenskaplig syn på omgivningen. Detta synsätt vill vi skall genomsyra så väl utställningen som
förhållningssättet. Vi vill visa på den fantastiska komplexiteten i vår omgivning och hur allt hänger ihop.
Förhoppningen är att ett besök på Universeum skall ge en sådan upplevelse, att det stimulerar barn och
ungdomar till fortsatta studier inom naturvetenskap och teknik.
Universeum öppnade i juni 2001 och har haft över 1,3 miljoner besökare sedan dess (oktober 2003), vilket
betyder ca 500 000 per år. Av dem är mer än hälften barn och ungdomar. Universeum är indelat i olika områden,
dels med levande miljöer och dels med avdelningar inriktade mot experiment, allt för att skapa nyfikenhet för
naturvetenskap, miljö, matematik och teknik. Experimentplanen, Kalejdo och Explora, spelar för det senare fallet
en viktig roll på Universeum. Här får man möjlighet att förstå de olika fenomen man sett under sin vandring
genom de levande miljöerna. Inte minst är matematik ett tvärtema som uppträder i alla de miljöer som finns på
Universeum. De båda experimentplanen ger en bild av samspelet mellan naturvetenskapen och tekniken.
Samtidigt lämnar de många dörrar öppna för vidare fördjupning.
Allt sedan starten har Universeum arbetat med idéer om hur man kan göra matematik synligt i huset. Under
läsåret 02/03 har vi fått möjlighet att genomföra några av dessa idéer. Arbetet har resulterat i åtta stationer i
utställningen som bl a behandlar taluppbyggnad och statistik. Tillsammans utgör stationerna
matematikutställningen som fått namnet ”mattesafari”. Projektgruppen som tagit fram mattesafarit har bestått av
en projektledare och två pedagoger från Universeum samt två forskare från Chalmers tekniska högskola och
Göteborgs universitet.
Matematikutställningen grundar sig i en tanke att se matematik som ett redskap och ett hjälpmedel, dvs att
betona matematik som ett språk för att förstå omvärlden. Målet är tillvarata nyfikenhet och väcka intresse för
matematik, i synnerhet hos vår huvudsakliga målgrupp, barn och ungdomar 5-19 år. I uppbyggnadsskedet av
projektet har Universeums olika miljöer analyserats för att beskriva matematikens tillämpningar och
bakomliggande teorier.
Vi har lagt grunden till ett tvärtema om matematik som syns i Universeums alla områden. Det består av stationer
med aktiviteter som gästerna arbetar handfast med i anknytning till den omkringliggande utställningen. De
vänder sig till olika åldrar och olika nivåer av matematisk förståelse. Som exempel kan nämnas de naturliga
talens uppbyggnad och hur de används för att bilda koder, samt regnskogens arter och vår möjlighet att förutsäga
hur många som finns av varje. (En kort beskrivning av varje station ges i appendix nedan.)
För skolklasser har vi två olika besök att erbjuda, ”Klassens eget tema” och ”Universeumtema”. Klassens eget
tema innebär ett förbokat besök där lärare och elever själva väljer med vad och hur de vill arbeta under besöket.
Klassen får en kort introduktion till huset och arbetar sedan på egen hand i utställningen. Till husets olika
områden finns lärarhandledningar med beskrivning av utställningen och tips och idéer till uppgifter som kan
göras under ett besök.
Ett Universeumtema innebär att en av Universeums pedagoger handleder klassen. Tillsammans görs sedan ett
fördjupningsarbete i en del av utställningen. Temaarbetet pågår i en och en halv timme och startas och avslutas
med en kort samling. Idag erbjuder vi totalt sju bokningsbara Universeumteman. Lärarhandledningar finns för de
olika temana. Inom ramen för vårt skolprogram erbjuder vi, förutom bokningsbara skolklassbesök, även
studiedagar och lärarfortbildningar.
För den stora del av vår målgrupp som kommer med sin familj finns idag en folder som
beskriver mattesafarit med de olika matematikstationerna. Materialet ger frågor att fundera
över under vandringen genom Universeum. Från och med hösten 2003 erbjuder vi mattesafari
för skolklasser både som klassens eget tema och som Universeumtema. Utgångspunkten är
handledningsmaterialet som finns tillgängligt på Universeums hemsida (www.universeum.se).
Där finns också en del fördjupningstexter.
Presentationen
Under presentationen kommer Universeums mattesafari att presenteras mer ingående. Vi beskriver innehåll,
vilka pedagogiska och matematiska tankar som funnits vid skapandet av stationerna samt hur de arbetats fram i
samverkan mellan Universeums pedagoger och forskare på Chalmers och Göteborgs universitet. Dessutom
berättar vi om våra erfarenheter från de skolklasser som valt att gå mattesafari på Universeum.
Appendix: De åtta matematikstationerna
Station 1: Raka vägen
Aktivitet: Att markera en sträcka på en sfär och se hur den blir på en tvådimensionell projektion.
Syfte: Möjlighet att få en aha-upplevelse när det handlar om att flyga över jordklotet. Belysa fördelar med olika
kartprojektioner och avbildningar av verkligheten. Vad bevaras i vilken projektion?
Pedagogiskt: En wow-upplevelse med omedelbar feedback. En tydlig jämförelse mellan 2 dimensioner i tre plan
och 2 dimensioner i två plan. Vardagsföreställningar utmanas.
Station 2: Hur stor är din älsklingsfisk?
Aktivitet: Använd en referenssträcka på väggen för att mäta din älsklingsfisk.
Syfte: En interaktiv övning där det kan väckas många nya frågor vad det gäller storlek på olika marina
organismer. Här kan olika dimensioner diskuteras. Vad menas med dubbelt så stor?
Pedagogiskt: Att mäta med referenssträcka kan öppna vägar till att diskutera med andra. Det stimulerar
uppfinningsrikedom och kan göra att man verkligen upplever hur lång en sträcka är. Marina organismer i alla
storlekar kan återfinnas i akvariehallen och kan vara föremål för mätning. Diskussioner kring hur avstånd och
brytning i akvarieglaset påverkar hur vi uppfattar storleken på olika föremål, kan bli en naturligt fråga att
diskutera kring.
Station 3: Rockatanken
Aktivitet: Hur långt är det runt Rockatanken? Uppgiften är att uppskatta omkretsen runt en tank, där rockor som
man kan klappa simmar omkring, och sedan jämföra med hur långt det är rakt över. Kan man nu säga något om
förhållandet mellan omkrets och diameter? Omkretsen runt tanken kan mätas genom att stega eller använda
linjalen på väggen som finns för att mäta ”älsklingsfisken”. I taket finns radien markerad.
Syfte: Göra mätningar på en rund form och jämföra olika sträckor för att koppla till π.
Pedagogiskt: Här illustreras på ett tydligt sätt förhållandet mellan omkrets och diameter. Olika mätredskap kan
jämföras. Det finns vinster i att samarbeta och diskutera med sina kamrater. Inlärning kan ske i samspel med
andra.
Station 4: Text i Regnskogen
Aktivitet: Betrakta och räkna olika sorters fåglar vid foderstationer i området Regnskogen. Vandra genom
Regnskogen och försöka få en uppfattning om hur många ödlor och vilka arter det finns i regnskogen.
Syfte: Att förstå möjligheterna att säga något om en helhet utifrån ett urval.
Pedagogiskt: Belysa begreppet biologisk mångfald. Hur kan vi veta vilka arter som finns om vi inte har sett
dem?
Station 5: Slumpkistan
Aktivitet: I en låda finns 100 bollar vars färger inte går att avgöra eftersom de betraktas genom ett färgfilter.
Försök uppskatta antalet bollar av respektive färg.
Uppgift: Plocka ut ett antal bollar (man kan max få ut tio bollar). Kan du säga något om fördelningen bland
bollarna? Gör om försöket. Tycker du fortfarande detsamma? Genom urvalet, vad kan man säga om bollarna
som finns i behållaren?
Syfte: Väcka tankar och funderingar kring sannolikhet/statistik. Att undersöka vad som kan sägas om en
population utifrån ett urval av individer. Ge inblick i vad statistik kan användas till i vardagen.
Pedagogiskt: Spännande att fundera över vad som finns i en behållare med hjälp av ledtrådar. Övningen är tydlig
och med hjälp av en enkel frågeställning/uppmaning kan man fundera över begreppet sannolikhet. Det finns en
vinst i att kunna koppla ihop olika delar i utställningen så att man kan visa på både teori och praktisk
tillämpning.
Station 6: Enigma
Aktivitet: En kub med fyra sidor där uppgiften blir att lista ut en kod (morse-, Caesar-, binär- och alfabetskod)
med hjälp av en ledtråd. Lyckas man tänds en lampa i ett fönster där det visas ett hologram.
Syfte: Träna på enkel kombinatorik samt uppmuntra till logiskt tänkande i sökandet efter strategi för lösningarna.
Pedagogiskt: Ett tävlingsmoment eller en utmaning där en kod skall knäckas är en spänningshöjare. Det kan
locka fram tävlingsinstinkten hos den mest försiktige. Övningen är problembaserad.
Station 7: Paraboler
Aktivitet: I anslutning till två stora paraboler studeras en golvskylt med bild och förklarande text. En tydlig bild
visar hur ljudet förflyttar sig från den ena parabolen till den andra.
Syfte: Se hur strålar reflekteras i paraboloidens geometriska form.
Pedagogiskt: Att koppla ihop matematik och fysik. Visa ljudets väg med bild, ord och matematiskt språk.
Station 8: Gångergången (Trappstegen)
Aktivitet: Studera och analysera siffror och talföljder i trappan och ett färgmönster på trappräcket där
uppbyggnaden av olika tal visas. Skyltar med hjälpande frågor hjälper till att belysa olika mönster.
Syfte: Spännande att se och fundera över hur tal hänger ihop.
Pedagogiskt: Att visa siffror som symboler som står för något. Tal visar bestämda förhållanden. Med färger kan
mönster synliggöras på ett tydligare sätt.
276
Så här leker och lär vi algebra på kubikskolan
Vi är en friskola i Helsingborg med inriktning mot matematik och NO. Som skolans val har vi
en kurs i algebra i varje årskurs Vi arbetar bl a med att eleverna skall hitta mönster Till vår
hjälp har vi tandpetare, legobitar, sand, mjöl, vatten, vågar, mätglas, grafritande räknare mm.
Vi skall berätta hur vi använder detta i inlärningen.
Ulla Dellien och Gerd Ripa arbetar på Kubikskolan i Helsingborg, en friskola åk 7-9.
Vi arbetar också på IB- resp har tidigare arbetat på NV-programmet och försöker förbereda
eleverna för teoretiska gymnasieprogram i första hand.
Föreläsning
Vår algebrakurs utgör skolans val, cirka 1 h i veckan under vårterminen i åk 7 och 8 och ht i
åk 9. Varje lektion har ett eget tema. Eleverna får en skriftlig instruktion som kompletteras
muntligt. De arbetar i grupper om 2-4 elever, men varje elev redovisar lösningen. Varje
uppgift skall avslutas under pågående lektion. De har inga läxor. För att uppgiften skall täcka
alla elevers behov har den successivt allt svårare delfrågor. Eleverna samlar sina lösningar i
en portfolio. Uppgifterna rättas inte individuellt utan mot slutet av lektionen får några elever
redovisa sina resultat. Arbetssättet har valts för att tillfredsställa de elever som blir nervösa på
prov och som gärna vill visa att de arbetar organiserat, prydligt och kreativt.
Elevernas arbete inriktas på att lära dem se mönster, att lära dem använda tabeller, diagram
och figurer för att lösa problem; att lära dem förstå mängdlära och enkel talteori, att jämföra
räknesätt i olika avseenden, att lösa ekvationer, att arbeta med algebraiska uttryck,
proportionalitet, räta linjer mm. I allt arbete försöker vi sätta hjälpmedel i form av klotsar,
tandpetare, legobitar mm i händerna på dem, eftersom vi tror att det är lättare att få hjärnan att
arbeta, när händerna är involverade. Vi vill att de ska resonera sinsemellan. Vi arbetar enligt
devisen: Göra, Känna, Tänka och Förstå.
Exempel på uppgifter.
Åk 7.
De olika räknesätten med 2 udda tal, två jämna tal resp ett jämnt och ett udda tal.
Addera de udda talen successivt. Studera resultatet.
Venndiagram med tal delbara med 2, 3 respektive 5. Vilka är snittmängderna?
Arean av rektanglar med samma omkrets.
Faktorisering.
Ekvationer.
Att omvandla en text till algebraiskt uttryck.
Åk 8.
Tänk på ett tal.
Ekvationer.
Undersökning av trianglar.
Att lägga polygoner
Symmetrilinjer
Att jämföra uttryck och ekvation.
Att bygga kvadratiska mönster med tandpetare.
Åk 9.
Räta linjer med hjälp av vägning eller längdmätning av olika föremål. Studera funktionen på
grafritande räknare. Ta reda på funktionsuttrycket med hjälp av egen graf. Jämför med linjär
regression på räknaren.
Multiplikation av binom med hjälp av areor.
Kvadreringsreglerna och konjugatregeln med areor.
279
Bedömning i lärandets tjänst
Lärandet sker på olika sätt och därför måste också bedömning ske på olika sätt. Det kan vara bedömning av
lärandet, alltså bedömning av kunskaper som ett resultat av lärandet, men det kan också vara bedömning för
lärandet, för att stimulera lärandet.
Astrid Pettersson är universitetslektor i pedagogik med inriktning mot utvärdering och matematikämnets
didaktik och arbetar som projektledare för PRIM-gruppen.
Föreläsning
Bedömning i lärandets tjänst
Vi blir ständigt bedömda i olika avseenden. Bedömning är en ständig följeslagare till undervisning. Den sker ofta
systematiskt och ofta dokumenteras den på något sätt, som underlag vid utvecklingssamtal och/eller som betyg.
Bedömning och dess nära koppling till lärandet betonas alltmer (Gipps, 1994, 2001). Bedömning rätt använd kan
ha en hög lärandepotential. Black (2001) har visat att den bedömning som innebär att eleven får kontinuerlig
feedback kan ha stora effekter på en persons lärande. För att bedömning ska stimulera lärandet är det viktigt med
feedback, men inte med fokus på dess kvantitet utan dess kvalitet (Sadler, 1998). För att bedömning ska kunna
bli en kraftfull utvecklingspotential för lärandet krävs att den som ska bedömas också är involverad i
bedömningsprocessen och också själv får göra bedömningar av sina kunskaper.
Sambandet mellan bedömning, undervisning, lärande och kunskaper och kompetens kan illustreras av följande
figur (efter Erickson&Börjesson, 2001).
.
Lärandet sker på olika sätt och därför måste också bedömning ske på olika sätt. Regeringen har i sin
utvecklingsplan (1996/97:112, sid 106) uttryckt behovet av olika sätt att bedöma på följande sätt:
Den kunskapssyn som läroplanerna anger och som uttrycks på olika sätt i kursplanerna och
betygskriterierna ger helt nya förutsättningar för utvärdering av kunskaper. Provuppgifterna kan inte
längre vara ”enkla” mått av traditionellt slag. De måste också analysera vad de som fått en viss utbildning
kan göra snarare än att redovisa minneskunskaper. De bör ha en inriktning mot problemlösning,
tillämpningar och kombinationer av olika kunskapsområden. Inlärningsresultat visar sig mer som
övergripande kompetenser och attityder än som faktaredovisningar. Det gäller i högsta grad läroplanernas
mål och värdegrund men också ämnesmålen i kursplanerna. Detta kräver nya sätt att ta fram underlag och
analysera inlärningsresultat.
Kunskapssynen tas upp i betänkandet ”Skola för bildning” som framställer skillnaden mellan kunskapsförmedling och kunskapande på följande sätt:
”All kunskapsförmedling oavsett om det gäller fakta, färdighet, förståelse eller förtrogenhet
har någon form av facit att jämföra sig med. När det gäller kunskapandet däremot är det
arbetet som är målet, förmågan att formulera och utveckla problem och komma till slutsatser.
Den omfattar såväl färdigheter – att formulera sig, att använda kunskapskällor, att sammanställa, att göra beräkningar etc – som förtrogenhet, vilken kommer till uttryck t ex genom
förmåga till riktiga bedömningar i kunskapandets olika skeenden” (SOU 1992:94, s 67).
Det gäller alltså att sträva mot
Att göra det väsentliga bedömbart och
inte det enkelt mätbara till det väsentligaste.
Att utsättas för bedömning påverkar oss, som en positiv kraft eller negativ kraft. Vi vet från vår egen erfarenhet
att det inte var all bedömning som stimulerade vårt lärande. Vad innebär bedömning för den enskilde?
Konsekvenserna av bedömning kan illustreras med följande figur:
En bedömning som stödjer och stimulerar lärandet innebär att elevens kunnande analyseras och värderas så att
eleven utvecklas i sitt lärande och känner tilltro till sin egen förmåga (jag kan, vill, vågar). I stället för en
bedömning som leder till en dom och kanske till ett fördömande (Jag kan inte, vill inte, vågar inte).
Referenser
Black. P. (2001). Formative Assessment and Curriculum Consequences. I Scott, D (red). Curriculum
and Assessment. International Perspectives on Curriculum Studies, Volume 1. London: Ablex
Publishing
Erickson, G & Börejsson, L (2001). Bedömning av språkfärdighter i nationella prov och
bedömningsmaterial. I Malmberg, P & Ferm, R (red). Språkboken – en antologi om
språkundervisning och språkinlärning. Stockholm: Skolverket.
Gipps, C. (1994). Beyond testing: Towards a Theory of Educational Assessment. The Falmers Press.
London.
Gipps, C. (2001). Sociocultural Aspects of Assessment. I Svingby, G & Svingby, S (red). Bedömning
av kunskap och kompetens. Konferensrapport från konferens om bedömning av kunskap och
kompetens 17-19 november 1999. Rapport nr 18 från PRIM-gruppen vid Lärarhögskolan i Stockholm.
Regeringens skrivelse 1996/97:112: Utvecklingsplan för förskola, skola och vuxenutbildning. – Kvalitet och likvärdighet.
Sadler, R.D. (1998). Formative assessment: reviskting the territory. Assessment in Education:
principles, policy & practice, vol 5, nr 1, s 77-84.
Statens offentliga utredningar. (1992). Skola för bildning, SoU 1992:94.
280
Lusten – lärandets motor
Vilka faktorer påverkar lusten att lära positivt och negativt? Vad händer med unga människors lust för lärande
allmänt och särskilt i matematik under åren i skolsystemet? Vad gör förskolor, skolor och vuxenutbildning för att
väcka och stödja denna lust? Kan man se något samband mellan den upplevda kvaliteten i detta avseende och
elevernas resultat?
Ulla Lindqvist är undervisningsråd vid Skolverkets Avdelning för utbildningsinspektion i Stockholm. Hon har
bl.a. lång lärarerfarenhet från framför allt gymnasieskolan.
Föreläsning
Sammanfattning
Mitt anförande utgår från den nationella kvalitetsgranskning som Skolverket genomförde år 2001-2002 om
Lusten att lära – med fokus på matematik. Ett tjugotal utbildningsinspektörer besökte då ca 300 verksamheter
från förskola till vuxenutbildning i 40 kommuner. Matematikdidaktiker, forskare i pedagogik, aktiva lärare och
lärarutbildare samt ett par representanter från andra samhällssektorer än utbildning ingick i gruppen. Vår uppgift
var att med hjälp av olika metoder söka svar på frågor om barns och elevers lust att lära generellt och särskilt i
matematik. Vilka faktorer påverkar lusten att lära positivt och negativt? Vad händer med unga människors lust
för lärande allmänt och särskilt i matematik under åren i skolsystemet? Vad gör förskolor, skolor och
vuxenutbildning för att väcka och stödja denna lust? Kan man se något samband mellan den upplevda kvaliteten
i detta avseende och elevernas resultat? Vi fick många svar på våra frågor, några har vi lyft fram speciellt.
Sammanfattningsvis kan sägas att vi inte enkelt och kategoriskt kan peka på någon specifik lärmiljö eller modell
som i sig garanterar hög kvalitet och som skapar lust eller olust. I stället tyder granskningen på att det är en rad
olika faktorer som när de samspelar på ett positivt sätt, skapar lust att lära, engagemang och förståelse. Trivialt
men ändå värt att betona är att olika elever och elevgrupper behöver olika innehåll, materiel och arbetsmetoder
för att nå målen. Elever har skilda behov och reagerar olika på likartade undervisningssituationer. De faktorer
som efter granskningen framträder som särskilt väsentliga för barns och elevers lust att lära och som jag kommer
att lyfta fram i mitt anförande, utgör enligt vår uppfattning, instrument för ett fortsatt kunskapsbyggande. Att
skapa detta samspel i den konkreta undervisningen utgör skolans utmaning!
Granskningen utmynnar i ett antal förslag, både relativt konkreta och av mer övergripande slag, som kan bidra
till en förbättrad kvalitet i utbildningen. Vi menar att ansvaret är delat och vi riktar oss därför till såväl
skolledare, lärare och elever i den enskilda skolan som till de ansvariga på kommunal och statlig nivå. Det krävs
gemensamma ansträngningar och insatser som måste fördelas på alla aktörer inom skolsystemet.
Granskningen finns redovisad i en nationell rapport: Lusten att lära – med fokus matematik (Skolverkets rapport
nr 221). I Nämnaren nr 1/2003 finns en kort sammanfattande artikel.
Ulla Lindqvist
Undervisningsråd
Skolverket
Avdelningen för utbildningsinspektion
106 20 Stockholm
tel: 08-5273 3283
mobil: 0733-773283
281
Building bridges between everyday life and the mathematics classroom: the case of fractions
From their experiences with sharing in everyday life, children develop ideas relevant to cardinality and ordinality
issues in the domain of fractions. This presentation will discuss how children can learn to connect these ideas to
the notation of ordinary fractions. Difficulties in generalising their reasoning to other situations will be
considered..
Terezinha Nunes är professor i psykologi vid Oxford Brookes University
Föreläsning
282
Den röda tråden för barn i matematiksvårigheter
Hur kan vi lärare och pedagoger samarbeta för att kvalitativt kartlägga elever i matematiksvårigheter, och deras inte sällan komplicerade sätt att forma sin matematiska medvetenhet?
Vilka didaktiska verktyg behöver vi lärare för att kunna analysera dessa elevers
matematikutveckling?
Ann-Louise Ljungblad är specialpedagog på en F-9 skolan, författare och bor i Träslövsläge.
Föreläsning
Barns olikheter
Som matematiklärare står vi inför en svår uppgift – att försöka förstå och
utveckla alla barns matematiska medvetenhet (Ljungblad, 2003b). Hur vi
människor upplever matematiken som ett språk är mycket individuellt och inte
sällan både komplicerat och komplext för lärare att analysera och dokumentera.
Sociala, kulturella och pedagogiska faktorer är tätt sammantvinnade i skolan
som praktik (Dysthe, 2003). Dessa faktorers nära samspel i skolpraktiken bör
som jag ser det sammanställas i en pedagogisk och didaktisk kartläggning av
”specifika inlärningssvårigheter i matematik”, vilket jag tidigare benämnt som
”särskilt didaktiskt behov i matematik” (Ljungblad, 2003c, 2003d). Många av
eleverna som uppvisar stora matematiksvårigheter tappar tidigt lusten att lära
matematik och vi behöver gemensamt driva en fokuserad skolutveckling för att
utveckla deras matematiska lärande. Det som vi uppfattar som
inlärningssvårigheter, och som vi förlägger till individer och deras ”förmåga” att
tillägna sig matematik, kan kanske bättre förstås om vi analyserar de regler för
den matematiska kommunikation som vuxit fram i skolan, och de svårigheter
som barn kan ha att identifiera sig till dem (Säljö, 2000).
Individuell analys och kartläggning
I förskolan och i grundskolan har vi stora möjligheter att samarbeta för att utveckla barn i matematiksvårigheter.
Vi behöver hitta nya gemensamma arbetsformer för att dokumentera dessa elevers matematiska lärande.
Dessutom är det nödvändigt med en grundläggande pedagogisk och didaktisk kartläggning – inom
organisationsnivå, gruppnivå och individnivå – som kontinuerligt återkommer för elever som inte når målen i
matematik. Matematiklärare, speciallärare och specialpedagoger kan samarbeta och använda kvalitativa
analysverktyg för att studera och försöka förstå barns tankeprocesser, så att vi kan hjälpa barnet att utveckla nytt
kunnande. Var finns barnets utvecklingsmöjligheter – starka och svaga sidor? Viktigt för elever i
matematiksvårigheter är också att få tillgång till olika former av tilläggshjälp för att utveckla nya processtankar,
vilket möjliggör arbete med matematiken på ett högre plan.
Det är av intresse att studera hur lärare och barn i behov av särskilt didaktiskt stöd
kommunicerar i matematik med siffror, tal och antal i de gemensamma dialogerna (Ljungblad, 2003d). Läraren
behöver analysera utifrån vilken kontext eleven tar sin utgångspunkt och varifrån utgår läraren? För elever i
matematiksvårigheter kan det vara svårt att med lätthet vandra i matematikens flerdimensionella diskurs, något
som kan påverka såväl det matematiska lärandet som elevens generella lärande i alla ämnen (Ljungblad, 2003a,
2003d).
Vygotsky (1999) betonad starkt det stödjande sociala samspelet och ett barns möjligheter till
utveckling i ”zonen för den närmaste utvecklingen”. Det ett barn idag kan göra i samarbete med en mer
kompetent person, kan barnet så småningom självständigt göra i framtiden hävdade Vygotsky. Dagens komplexa
samhälle genomsyras av ett omfångsrikt informationsflöde, där en stor del är matematisk information, vilket för
en person som ännu inte erövrat en grundläggande matematisk kompetens kan vara svår att tolka. Att få
möjlighet att erövra en matematisk kompetens är en demokratisk fråga för alla barn.
Litteratur
Dysthe, O. (red.) (2003). Dialog, samspel och lärande.
Lund: Studentlitteratur.
Ljungblad, A-L. (2003a). Att räkna med barn i specifika matematiksvårigheter.
Varberg: Argument.
Ljungblad, A-L. (2003b). Matematisk Medvetenhet.
Varberg: Argument.
Ljungblad, A-L. (2003c). Att möta barns olikheter – åtgärdsprogram och matematik.
Varberg: Argument.
Ljungblad, A-L. (2003d). Dimensioner i elevens och lärarens matematiska kommunikation –
en studie om hur barn och vuxna använder siffror, tal och antal i dialoger. Examensarbete
fördjupningskurs i specialpedagogik. Institutionen för pedagogik och didaktik. Göteborg:
Göteborgs universitet.
Säljö, R. (2000). Lärande i praktiken.
Stockholm: Prisma.
Vygotsky, L. (1999). Tänkande och språk.
Göteborg: Daidalos.