Angående kapacitans och induktans i luftledningar
Emilia Lalander
Avdelningen för elektricitetslära
4 mars 2010
Här behandlas induktans i ledningar och kapacitans mellan ledare. Figur över alla
beskrivningar finns längst bak.
1
Induktans i ledningar
1.1
I en enfas-ledare
Induktansen i en isolerad ledare är summan av dess interna induktans och dess externa
induktans. Båda beskrivs nedan:
1.1.1
Härledning av intern induktans (isolerad ledare)
mmf (magneto motive force) i x-led är:
2πxHx = Ix [At]
(1)
där Hx är magnetiska fältintensiteten uttryckt i [At/m] och x är avståndet från centrum
i ledaren. Vi kan uttrycka Ix i form av I genom:
Ix =
πx2
I
πr2
(2)
där r är radien. Vi har då
x
I [At/m]
2πr2
Det magnetiska fältet har enheten Tesla och skrivs:
Hx =
Bx = Hx µ [T]
(3)
(4)
där µ är summan av den relativa permeabiliteten µr och permeabiliteten µ0 . I den
här kursen och i alla härledningar antar vi dock att µr = 1, varpå µ = µ0 = 4π · 10− 7 .
Härefter kan vi även beskriva det magnetiska flödet som
dφ
= Bx
dx
(5)
och genom att använda oss av ekvation 3 får vi
dφ =
µxI
dx
2πr2
1
(6)
Flödeslänkningen, ” Flux linkage” λ, är summan av alla magnetflöden, φ, i systemet.
Här är det bara strömmen i ledningen, dvs I, som orsakar flödet varpå
dλ =
πx2
dφ
πr2
Integreras denna från 0 till r så får vi uttrycket vi söker, dvs interna flödeslänkningen:
λint =
µI
[Wbt/m]
8π
och slutligen får vi då induktansen genom
Lint = {L =
φ
µ
}=
[H/m]
I
8π
(7)
Detta är alltså uttrycket för den interna induktansen inuti ledaren. Som sagt tidigare så
är totala induktansen i en ledare summan av intern och extern induktans, så härledningen
för den externa kommer i nästa avsnitt.
1.1.2
Härledning av extern induktans (isolerad ledare)
Vi ansätter två punkter utanför ledaren på avståndet D1 och D2 ifrån den. Eftersom
magnetiska fältstyrkan, H, utanför ledaren beror av hela strömmen I inuti ledaren skriver
vi:
2πHx = I
.
Observera skillnaden mellan denna ekvation och ekvation 1. Här räknar vi med hela
strömmen. Genom att använda ekvation 4 och den ovan får vi
µI
[ Wb/m2 ].
2πx
Använder vi sen ekvation 5 och integrerar dφ från D1 till D2 får vi att
Bx =
λ=
(8)
µ
D2
I ln
2π
D1
L12 = Lext =
µ
D2
ln
2π D1
(9)
Här har vi nu ekvationen för en ledares externa induktans från punkt D1 till D2 . Vi
kan också sätta att punkt D1 = r, dvs på ytan av ledaren. Den totala induktansen är
summan av Lint och L1,2
1.2
Induktans mellan två ledare
Här antar vi att vi har en ledare och dess återledare där båda har samma radie. För
totala induktansen mellan två ledare måste den interna induktansen för båda ledarna
först summeras, dvs ekvation 7 multipliceras med två:
Lint = Lint,A + Lint,B =
2
µ
[H/m]
4π
Därefter måste den externa induktansen summeras som är
µ D
Lext = 2 ∗
ln
[H/m]
2π
r
är D är avståndet mellan ledarna och r är radien på ledaren. Inget flöde bortanför
ledarna länkas. Summerar vi båda ekvationerna får vi
µ1
D
Ltot =
+ ln
π 4
r
alternativt om r1 är skiljt från r2
Ltot =
µ1
D + ln √
π 4
r1 r2
Denna ekvationen finns i formelsamligen.
1.3
Induktans mellan flera ledare
På liknande sätt som ovan kan man beräkna induktansen i varje ledare om man har fler
ledare än två. I detta avsnitt håller vi oss till att beräkna induktansen i varje ledare,
istället för totala induktansen i alla ledare. Flödeslänkningen kan beskrivas som
1
µ 1
1
1
λ1 =
I1 + I1 ln( ) + I2 ln(
) + I3 ln(
)....
2π
4
r1
D1,2
D1,3
(ekvationen har härletts genom att härleda alla ledares länkning från ledare till en punkt
P. Därefter ha P flyttat bort jättelångt, och då har vi kunnat få denna ekvation.) där D1,2
är avståndet från 1 till 2. Ekvationen är alltså flödeslänkningen i ledare 1. Här behöver
vi alltså känns till strömmen i varje ledare för att få ut induktansen. Det är onekeligen
mer komplicerat när vi har mer än två ledare.
1.4
Induktans mellan tre symmetriskt placerade ledare
Här antar vi tre konduktorer (trefas) symmetriskt placerade och vi räknar induktansen
per fas, förutsatt att alla ledare har samma radie och att summan av alla strömmarna är
lika med noll. Totala induktansen i fas a är:
La =
µ
D
ln
2π Ds
D är avståndet mellan ledarna och Ds är den geometriska medelradien och är unikt för
en specific ledare. Alla ledare gjorde av kompositmaterial eller liknande har ett specifikt
Ds. Den interna induktansen är inbakad i detta värde. Detta värde finns i tabeller (dock
ej i physics handbook). Ges i uppgiften om det dyker upp en sån uppgift.
2
Kapacitans
I detta avsnitt behandlas kapacitans i luftledningar. I alla härledningar antar vi att kapacitansen till jord är så liten att den försummas. Det är alltså bara mellan ledarna vi
kollar nu. Det elektriska fältet i en ledare kan uttryckas:
E=
q
[V/m]
2πkx
3
E och q kan vara både momentanvärde, phasors eller DC-uttryck.
Momentant spänningsfall mellan två punkter i en isolerad ledare är
Z
D1
v1,2 =
Z
D1
Edx =
D2
D2
q
q
D2
dx =
ln
[V]
2πkx
2πk D1
(10)
där k är omgivande mediums permativitet. Ekvationen kommer att användas i härledningarna i senare avsnitt.
Kapacitansen mellan ledarna definieras som
C=
q
v
där q är ledarens laddning, och v är potentialskillnaden mellan ledarna.
2.1
Potentialskillnad mellan två ledare
Spänningen mellan två ledare beräknas genom att beräkna spänningsfallet orsakat av
laddningen i qa på ledning a, och subtrahera spänningsfallet orsakat av qb på ledning b.
Båda beräknas med ekvation 10.
Vab =
men qa = −qb
Vab =
D
D
qa
qb
ln −
ln
[V]
2πk ra
2πk rb
(11)
D2
D
qa
qa
ln
ln √
=
[V]
2πk ra rb
πk
ra rb
I detta fall är potentialskillnaden mellan varje ledare och neutral lika med hälften av
potentialskillnaden mellan ledarna.
Van =
Vab
2
Om r = ra = rb blir kapacitans till neutral
Cn = Can = qa /Van =
2πk
[F/m]
ln(D/r)
Laddningsströmmen är för en enfasledare lika med
Ichg = jωCab Vab
2.2
2.2.1
Trefasledare
Potentialskillnaden mellan tre jämnt fördelade ledare
I detta fall antar vi att ledarna är på samma avstånd D ifrån varandra samt att alla
ledarna har samma radie.
Spänningsfallet mellan två av ledarna är lika med
Vab =
qa
D
qb
D
qc
D
ln −
ln −
ln .
2πk r
2πk r
2πk D
4
(12)
Sista termen i ekvationen är noll, eftersom ln(1) = 0. Laddningen qc bidrar alltså inte
till spänningen mellan a och b. Detta p.g.a. symmetriskäl.
√
Vab är huvudspänningen. Fasspänningen Va ligger 30◦ efter och är 3 gånger lägre så
att Vab kan uttryckas:
√
Vab = 3Van 6 30◦ [V]
På motsvarande sätt är spänningen Vac
√
Vac = 3Van 6 − 30◦ [V]
Summan av dessa är då
Vab + Vac =
√
3Van (16 30◦ + 16 − 30◦ ) = 3Van [V]
Genom att summera Vab + Vac hittar vi uttrycket för Van :
Van =
D
qa
ln
[V]
2πk r
Vidare kan vi hitta kapacitansen genom
Cn = qa /Van [F/m]
För en trefasledare är laddningsströmmen per fas:
Ichg = jωCan Van .
2.2.2
Ojämnt fördelade ledare
Då ledarna inte är symmetriskt placerade kommer spänningsfallet mellan ledarna att bero
av alla tre ledares laddningar. Vi kan hitta ett uttryck för spänningen mellan ledare a och
b
1 D12
D12
D31 Vab =
qa ln
− qb ln
− qc ln
.
(13)
2πk
r
r
D23
Det här gäller t.ex. ledare som är placerade bredvid varandra.
Vid transponering: Ojämnt fördelade ledare transponeras i regel för att medelkapacitansen i varje ledare ska vara ungefär lika. Medelvärdet för spänningsfallet vid
transposition är
1 Deq
Deq Vab =
qa ln
− qb ln
2πk
r
r
där
p
Deq = 3 D12 D23 D31
Spänningen till neutral för varje fas liknar uttrycket som härleddes i förra avsnittet:
Van =
1
Deq
qa ln
2πk
r
5
Kapacitans
Induktans
1.1 En solid ledare
2.1 Två ledare
Vab
D1
D2
rb
ra
r
D
Representation av kapacitans mellan ledare
1.2 Två ledare
Vbn
Van
n
1.3 Induktans mellan flera ledare
2.2 Trefasledare, symmetriskt placerad
r4
r
r3
D14
r1
D
r
D13
D12
D
D
r2
r
Trefasledare, osymmetriskt placerad
1.4 Induktans i en trefasledning (symmetrisk)
D
Ds
Ds
b
D
D
Vab
D12
r
a
D23
D31
Ds
r
c
r
Figur 1: Illustration över ledningsimpedans och kapacitans mellan ledare.
6
