1 De naturliga talen.

1
De naturliga talen.
Vi skall till att börja med stanna kvar i världen av naturliga tal, N =
{1, 2, 3, . . . }. Vi har redan använt (i beviset av Euklides primtalssats) att
de naturliga talen är uppbyggda (genom multiplikation) av primtal. Detta
påstående måste dock givetvis underbyggas. För att bevisa det använder vi
induktion.
Sats 1. Varje naturligt tal, större än eller lika med två, kan skrivas som en
produkt av primtal.
Bevis.
Låt P vara påståendet att “om talet är större än eller lika med två kan
det skrivas som en produkt av primtal”. Vi skall visa att P är sant för alla
naturliga tal med hjälp av induktion.
Betrakta mängden M = {m ∈ N ; P är sant för alla naturliga tal ≤ m}.
Vi måste visa att M = N. Påståendet är (tomt) uppfyllt för m = 1. Vi
noterar också att vi genom vår konstruktion av M har att om p ∈ M och
q < p så gäller att q ∈ M . Antag nu att n ∈ M . Vi måste då visa att
n + 1 ∈ M . Om n + 1 är ett primtal, så är vi klara. I annat fall gäller att
n+1 = ab, där a, b ∈ N \ {1} och a, b ≤ n. Följdaktligen gäller att a, b ∈ M .
Eftersom n + 1 är en produkt av a och b, vilka i sin tur alltså är produkter
av primtal, följer att n + 1 ∈ M . Av induktionsaxiomet följer att M = N.
2
Primtalen är alltså de naturliga talens byggstenar, då vi bygger med
multiplikation.
Många av de svåraste öppna problemen kring primtal handlar om frågeställningar som dyker upp då vi betraktar primtal och addition. Exempelvis är
det öppet om varje jämnt tal större än två kan skrivas som en summa av
två primtal. Detta är den s.k. Goldbachs förmodan. Det är också öppet
huruvida det finns oändligt många primtalstvillingar.
Vi har redan sett Euklides bevis av hans primtalssats. Då man har lyckats
bevisa ett påstående är det mycket värdefullt att gå tillbaka och fråga sig
om man kan se sanningen på något annat sätt. Detta kan leda till helt nya
insikter om den matematiska struktur man studerar. Finns det fler sätt att
bevisa exempelvis Euklides primtalssats?
Låt oss göra en liten historisk tillbakablick.
Den 1 december 1729 skriver den 39-årige Christian Goldbach ifrån sin
dåvarande position i Moskva till den då 21-årige Leonhard Euler:
k
“Känner du till Fermats observation, att alla tal av formen 22 + 1 är
primtal? Fermat skrev att han inte lyckats bevisa detta, och så vitt jag vet
har ingen annan lyckats göra det heller”.
Fermat hade då varit död i drygt sextio år. Hade Fermats förmodan varit
sann, hade detta givetvis gett ett nytt bevis för Euklides primtalssats, men
den hade också givit ett enkelt sätt att konstruera godtyckligt stora primtal.
1
k
Det var känt att de fem första Fermat talen är primtal. Låt Fk = 22 + 1.
Då gäller att
F0 = 3 ∈ P
(1)
F2 = 17 ∈ P
(3)
F4 = 65537 ∈ P.
(5)
F1 = 5 ∈ P
(2)
F3 = 257 ∈ P
(4)
Euler svarade inte till att börja med, men efter nya brev med frågor ifrån
Goldbach i ärendet svarade han slutligen följande:
5
“22 + 1 = 4294967297 = 641 · 6700417.”
Fermats förmodan var alltså falsk. Vi skall dock se att Fermattal trots
detta kan användas för att bevisa Euklides primtalssats.
Två tal sägs vara relativt prima om de endast har 1 som gemensam delare.
De har alltså då inga gemensamma primtalsfaktorer.
Eftersom antalet Fermattal är oändligt, så följer Euklides primtalssats
omedelbart av följande resultat.
Sats 2. Två skilda Fermattal är relativt prima.
Innan vi ger beviset för denna sats, behöver vi en liten hjälpsats, ett
lemma (från grekiskans lemma, ’tanke’).
Lemma 1. För Fermattalen gäller att
n−1
Y
k=0
Fk = Fn − 2.
(6)
Bevis.
Vi skall bevisa påståendet med induktion.
Låt M beteckna mängden av n ∈ N sådana att (6) är sann. Det är klart
att 1 ∈ M , eftersom F0 = 3, F1 = 5 och 2 + 3 = 5.
Antag nu att n ∈ M . Då gäller att
n
Y
Fk = Fn
k=0
n
n
n−1
Y
Fn (Fn − 2) =
(7)
− 1 = Fn+1 − 2.
(8)
Fk =
k=0
2n+1
= (22 + 1)(22 − 1) = 2
Detta betyder att n + 1 ∈ M och sålunda enligt induktionsaxiomet att
M = N. 2
Det är nu en enkel sak att ge beviset av Sats 2.
Bevis.
Antag att ett tal m > 1 delar Fk och Fn , med k < n säg. Då följer av
(6) att m också delar 2. Eftersom alla Fermattal är udda är detta orimligt.
2
2
Vi skall nu ge ytterligare ett bevis av Euklides primtalssats. I själva
verket innehåller följande resultat av Euler betydligt mer information än så.
Sats 3. Det gäller att
X1
= ∞.
p
(9)
p∈P
Eulers primtalssats säger alltså att då vi summerar de reciproka värdena
av alla primtal ( 21 + 31 + 15 + · · · ), så blir denna summa oändlig. Detta
ger omedelbart slutsatsen att antalet primtal är oändligt, men det säger ju
också något om “hur spridda” primtalen är bland de naturliga talen. Innan
vi ger beviset av Eulers primtalssats, skall vi kort motivera varför resultatet
kan tolkas som att primtalen i själva verket ligger ganska tätt i mängden
av naturliga tal. Låt oss dock börja med lite historik kring den harmoniska
serien, d.v.s. summan av de reciproka värdena av alla naturliga tal.
I slutet av 1600-talet bodde i Basel två bröder, Jakob och Johan Bernoulli.
Jakob studerade teologi och Johan studerade medicin, men då Leibniz första
artikel om differentialkalkyl publicerades 1684 i “Acta eruditorum”, en tidskrift Leibniz själv varit med och grundat två år tidigare, övergav bröderna
sina tidigare studier och bestämde sig för att viga sina liv åt matematik.
Johan bevisade och Jakob publicerade följande resultat 1689:
Sats 4. Det gäller att
X 1
= ∞.
k
(10)
k∈N
Anmärkning.
Notera att man måste vara ytterst försiktig
typ av beteckningssätt
P vid den
1
vi använder ovan. Vad betyder egentligen
=
∞? Här måste det
k∈N k
finnas något gränsvärde inblandat. I själva verket gäller det för positiva serier
att de är oberoende av summationsordning. Vi får alltså samma gränsvärde
(i detta fall ∞) oberoende av över vilka ändliga delindexmängder vi låter
summationen svälla mot hela indexmängden. Detta är också fallet för absolutkonvergenta serier, men inte i fallet av betingat konvergenta serier.
Vi ger inte Johans bevis av satsen utan följande enklare bevis.
Bevis
Sätt
n
X
1
.
sn =
k
k=2
3
(11)
Då gäller att
1
,
2
1
1
1
s4 ≥ + 2 · = 2 · ,
2
4
2
1
1
1
1
s8 ≥ + 2 · + 4 · = 3 · .
2
4
8
2
s2 =
och i allmänhet
s2k ≥
1
1
1
1
1
+ 2 · + 4 · + · · · + 2k−1 k = k · .
2
4
8
2
2
(12)
Eftersom N ∋ n 7→ sn ∈ Q är växande, visar detta att sn −→ ∞ då n −→ ∞.
Detta medför att den harmoniska serien är divergent.
2
Vi vet alltså nu att den harmoniska serien är divergent. Eulers primtalssats säger att om vi inskränker oss till att endast summera över mängden
av primtal, så divergerar serien ändå.
Vi vet å andra sidan exempelvis att
X 1
< ∞,
2k
(13)
k∈N
så primtalen “förekommer mycket oftare än” potenser av två bland de naturliga
talen.
Det finns relativt “enkla” bevis av Eulers primtalssats som använder t.ex.
Taylorutvecklingar för logaritmer, men följande bevis av Paul Erdös är både
enkelt och elementärt.
Bevis
P
1
Låt p1 , p2 , p3 . . . vara primtalen i växande ordning. Antag nu att ∞
k=1 pk
P∞
konvergerar. Då måste det finnas ett naturligt tal n så att k=n+1 p1k < 12 .
Kalla primtalen p1 , p2 , . . . , pn för små primtal och pn+1 , pn+2 , . . . för stora
primtal. För ett godtyckligt naturligt tal N gäller då att
∞
X
N
N
< .
pk
2
(14)
k=n+1
Låt nu Nst vara antalet naturliga tal ≤ N vilka är delbara med minst
ett stort primtal, och låt Nsm vara antalet naturliga tal ≤ N vilka endast
innehåller små primtals faktorer. Genom att i slutänden välja N lämpligt
skall vi visa att
Nsm + Nst < N ,
(15)
vilket är en motsägelse eftersom vi i själva verket måste ha likhet ovan.
4
Låt [ ab ] beteckna heltalsdelen av
Nst ≤
a
b
avrundad nedåt. Då gäller att
∞
X
N
N
[ ]< .
pk
2
(16)
k=n+1
Låt oss nu betrakta mängden av naturliga k ≤ N vilka endast har små
primtals faktorer. Varje sådant tal kan skrivas på formen k = ak b2k , där ak
inte innehåller några kvadrater. Varje ak måste sålunda vara en produkt
n
av skilda små primtal, och sådana
√
√produkter finns det precis 2 stycken.
Dessutom gäller det att bk ≤ k ≤ N och sålunda
√
Nsm ≤ 2n N .
(17)
Eftersom (16) gäller för varje N ser vi att det räcker att finna ett N sådant
att
√
N
2n N ≤ .
(18)
2
Detta går.
2
Avslutningsvis kan vi här tillägga att det är känt att
X1
p∈T
p
< ∞,
(19)
där T står för mängden av primtalstvillingar.
2
Utvidgningar av talsystem
Om vi endast har naturliga tal att räkna med kan vi inte alltid lösa följande
problem.
Problem 1. Givet a, b ∈ N, finn x ∈ N så att
a + x = b.
(20)
Om b < a saknar ekvation (20) lösning (bland de naturliga talen).
Detta avhjälper vi genom att införa nollan och de negativa heltalen.
Räknar vi med de hela talen Z := {0, ±1, ±2, . . . } kan vi alltid lösa Problem
1 med N utbytt mot Z.
Däremot dyker det upp svårigheter i följande fall.
Problem 2. Givet a, b ∈ Z, finn x ∈ Z så att
ax = b .
5
(21)
Om inte b innehåller a som en faktor är detta problem olösligt i Z. Detta
avhjälper vi genom att införa de rationella talen
Q := {
p
; p ∈ Z , q ∈ Z , q 6= 0}.
q
(22)
Räknar vi nu med de rationella talen kan vi alltid lösa Problem 2 om bara
a 6= 0.
Genom att använda enkla räkneoperationer i Q kan vi dock fortfarande
råka i svårigheter.
Problem 3. Lös ekvationen
x2 − 2 = 0.
(23)
Redan pythagoreerna kände till att denna ekvation är olöslig i Q. Vi inför
då de reella talen, R, (och detta är det i särklass svåraste steget hittills),
vilket löser vårt problem ovan. Vi är fortfarande dock inte fria att räkna
naturligt. Vi kan med enkla räkneoperationer bilda ekvationer där vi inte
kan finna någon lösning. Exempelvis finns det inget reellt tal, x, som löser
x2 + 1 = 0.
(24)
Vi inför då slutligen de komplexa talen, C, talpar av reella tal. Vi kan här
(och i alla utvidgningar ovan) identifiera de gamla talen med en delmängd
av de nya. Det mirakulösa är att vi dessutom för de nya talen kan definiera
multiplikation och addition så att alla de vanliga räknereglerna fortsätter
att gälla och så att om det råkar vara gamla tal vi räknar med (under identifikationen nämnd ovan), så överensstämmer då de nya definitionerna av
multiplikation och addition med de gamla. Allt detta behandlas utförligt i
kursen “Matematiska strukturer”. Låt oss bara här nämna att införandet av
de komplexa talen i någon mening är vägs ände.
Algebrans fundamentalsats säger att vi genom att använda “de grundläggande räkneoperationerna” aldrig kan råka i svårigheter.
Trots att satsen är av algebraisk natur kan man inte ge ett algebraiskt
bevis. Alla bevis som finns bygger på topologiska metoder.
Sats 5. Låt p vara ett komplext polynom, p(z) = z n +an−1 z n−1 +· · · a1 z +a0 ,
där alltså a0 , a1 , . . . an−1 ∈ C. Då finns det ett komplext tal α så att p(α) =
0.
Satsen bevisades av Gauss i hans doktorsavhandling 1799. Han gav i
själva verket där två olika bevis och sedan under sitt liv ytterligare tre.
6