Repetition FK5012

2013-10-27
Repetition
Kvantmekanik II
FK5012
Joakim Edsjö
[email protected]
1
Formalism
Kapitel 3
2
Formalism (Dirac-notation)
• Vi introducerar våra ket och bra:
|↵
|
• De innehåller all information om vårt
system och kan representeras med
vektorer och/eller rumsvågfunktioner:
| ⇥
0
1
a1
B a2 C
ā = @
A
..
.
| ⇥
3
⇥(r̄, t)
Inre produkt och räkneregler
•
Inre produkten mellan två tillstånd |α〉och
|β〉ges av
↵| ⇥
• Om a är ett komplext tal gäller att
|a⇥⇥ = a |⇥⇥
⇤
a |⇥⇥ = a |⇥⇥
⇤
|a⇥⇥ = a |⇥⇥
⇤
↵| ⇥ = |↵⇥
som
• Inre produkten representeras
Z
†
|⇥⇥ = ā b̄
;
|⇥⇥ =
3
⇤a ⇤b d r̄
4
Operatorer
• Generellt gäller för en operator Â,
†
⇥|Â ⇥ = Â ⇥| ⇥
• Matriselementet av en operator  med
avseende på |α〉och |β〉representeras som
!
†
|Â|⇥⇥ = ā Ab̄
;
|Â|⇥⇥ =
Z
3
⇤a Â⇤b d r̄
• Observabler (något vi kan mäta)
representeras av hermitska operatorer. Om Â
är en hermitsk operator gäller att
⇥|Â ⇥ = Â⇥| ⇥
 = Â
†
5
Hermitska operatorer
• Har reella egenvärden
• Egentillstånd svarande mot olika
egenvärden är ortogonala. • Samtliga egentillstånd till en hermitsk
operator är fullständiga, dvs varje annat
tillstånd (vektor/vågfunktion) i rummet kan
skrivas som en linjärkombination av dem,
|
=
X
n
cn |en
ci = ei | ⇥
De är en bas. Normalt ser vi till att basen
är ortonormerad.
6
Matriselement
• Om  är en operator är matriselementet
givet av
Amn = em |Â|en ⇥
!
• Det kallas matriselementet eftersom
operatorn  i denna bas ges av matrisen
0
A11
B A21
 = @
..
.
A12
A22
..
.
1
0
···
B
B
··· C
A ; |e1 = B
@
..
.
1
0
0
..
.
1
0
C
B
C
B
C ; |e2 = B
A
@
0
1
0
..
.
1
C
C
C
A
7
Projektionsoperatorn
• Vi kan definiera en projektionsoperator
P =| ⇥
|
som projicerar ut hur mycket av |α〉som
finns i ett tillstånd.
kan då skrivas som
• OperatorerX
X
 =
m
n
Amn |em ⇥ en |
där Amn är matriselementet.
8
Bestämda tillstånd
• Bestämda tillstånd är tillstånd där variansen
för en given observabel är noll, dvs då
2
Q
=
⌧
⇥
⇣
Q̂
hQi
⌘2
⇥
=0
• Detta inträffar endast om våra tillstånd är
egentillstånd till Q, dvs om
Q̂|
= q|
9
Egenvärdesekvationen
•
Om Q är en operator vi söker egenvärden och
egentillstånd till har vi
Q̂|
⇣
⇥ Q̂
•
Denna ekvation har icke-triviala lösningar om
!
•
(*)
= ⇥|
⌘
⇥I | ⇤ = 0
⇣
det Q̂
⌘
I =0
Lös denna för våra egenvärden och sätt in dem
(ett i taget) i egenvärdesekvationen (*) för att få
fram våra egentillstånd.
10
Generaliserade osäkerhetsrelationen
A och B gäller att
• För två observabler
◆
✓
iE
Dh
1
Â, B̂
2i
2 2
A B
där
2
A
2
B
=
=
⌧⇣
⌧⇣
Â
B̂
hAi
2
⌘2
hBi
⌘2
11
Rörelseekvationen för en godtycklig observabel
• För en godtycklig observabel Q gäller
följande rörelseekvation för väntevärdet
d
i
hQ̂i = h[Ĥ, Q̂]i +
dt
~
*
Q̂
t
+
där H är Hamiltonoperatorn.
• Denna ekvation kan vara användbar om vi
inte är intresserade av den fullständiga
lösningen utan bara är intresserade av
väntevärdet av en observabel.
12
Rörelsemängdsmoment Kapitel 4
13
Rörelsemängdsmoment
• Vi kan dela upp rörelsemängdsmomentet för
en partikel i banrörelsemängdsmomentet L
och spinnet S. För dessa gäller
L̂2 |l,
ml = l(l + 1)~2 |l, ml
;
Ŝ 2 |s, ms = s(s + 1)~2 |s, ms
;
L̂z |l, ml = ml ~|l, ml
Ŝz |s, ms = ms ~|s, ms
• De uppfyller samma kommuteringsrelationer
[L̂a , L̂b ] = i~
abc L̂c ; [Ŝa , Ŝb ] =
;
[L̂2 , L̂a ] = 0
abc Ŝc ; [L̂a , Ŝb ]
[Ŝ 2 , Ŝa ] = 0
i~
=0
att
• Den enda riktiga skillnaden är egentligen
1
3
l = 0, 1, 2, 3, . . .
ml = l, l + 1, . . . , l
;
14
s = 0, , 1, , . . .
2
2
ms = s, s + 1, . . . , s
Stegoperatorer
• Stegoperatorerna är väldigt användbara
(notera att de ej är hermitska)
•
Ŝ± = Ŝx ± iŜy
När dessa verkar på ett egentillstånd till S2
och Sz får vi
p
Ŝ± |s, m⇥ = ~ s(s + 1)
m(m ± 1)|s, m ± 1⇥
Motsvarande relation gäller för alla
rörelsemängdsmoment (t.ex. L och J).
15
Spinn-½-partiklar
• Vi har två möjliga tillstånd, välj t.ex. spinnupp och ner i z-riktningen som bas.Vi har
då
ˆ ~
S̄ =
x
=
✓
2
¯
där de s.k. Paulimatriserna ges av
0
1
1
0
◆
;
y
=
✓
0
i
;
n̂ = enhetsvektor
i
0
◆
;
z
=
✓
1
0
• Spinn-operatorn i en godtycklig riktning ges
0
1
◆
av
ˆ
Ŝn = S̄ · n̂
16
Addition av rörelsemängdsmoment I
•
•
•
•
Att lägga ihop olika rörelsemängdsmoment blir lite mer
komplicerat än i klassisk mekanik.Vi kan skriva den
totala rörelsemängdsmomentsoperatorn (om vi lägger
ihop ett L och ett S) som
ˆ + S̄ˆ
!
Jˆ¯ = L̄
Jz kommuterar med Lz och Sz: mj = ml + ms
J2 kommuterar vidare med L2 och S2
Dock kommuterar inte J2 med Lz och Sz, vilket gör att vi
inte samtidigt kan hitta egentillstånd till alla inblandade
operatorer.Vi söker därför egentillstånd till J2, Jz, L2 och
X
S2
l,m,j
|j, mj t =
Cm
|l,
m
;
s,
m
l
s
,m
,m
s
j
l
l,m,j
Cml ,ms ,mj
ml ,ms
= Clebsh-Gordan-koefficienter
17
Addition av rörelsemängdsmoment II
•
För att hitta dessa relationer (Clebsh-Gordankoefficienterna) utnyttjar vi att vi vet att
!
•
mj = ml + ms
Vidare kan man visa att j kan anta kvanttalen
!
•
j = |l
s|, |l
s| + 1, . . . , l + s
Man kan då identifiera det mest extrema tillståndet
|jmax , mj = jmax it = |l, ml = l; s, ms = si
och sedan använda stegoperatorer för att hitta
resterande tillstånd med samma j
q
Jˆ± |j, mj it = ~ j(j + 1) mj (mj ± 1)|j, mj ± 1it
Jˆ± = L̂± + Ŝ±
18
Addition av rörelsemängdsmoment III
•
Tillståndet med
|j = jmax
1, mj = jmax
1⇥t
hittas sedan genom att kräva att det ska vara
vinkelrätt mot !
|j = jmax , mj = jmax
1it
•
Stegoperatorerna ger sedan resterande tillstånd
med detta j. •
Detta upprepas tills alla sökta tillstånd har erhållits.
19
Addition av rörelsemängdsmoment IV
•
J uppfyller precis samma kommuteringsrelationer
och algebra som L och S.
2
2
ˆ
J |j, mj = j(j + 1)~ |j, mj
;
Jˆz |j, mj = mj ~|j, mj
•
I exemplen ovan skrev vi J=L+S, men samma
relationer gäller oavsett vilken typ av
rörelsemängdsmoment vi lägger ihop.
•
Vi kan t.ex. skriva S = S(1) + S(2) för att lägga ihop
två spinn.
20
Addition av rörelsemängdsmoment V
•
Det vi gör när vi lägger ihop
rörelsemängdsmoment är egentligen att vi byter
bas från egentillstånden till
Jz, L2, Lz, S2 och Sz
till egentillstånden till
J2, Jz, L2 och S2
•
Notera att vi inte kan ha samtidiga egentillstånd till
alla operatorerna ovan eftersom J2 inte
kommuterar med Lz och Sz.
21
Addition av två spinn-½ -partiklar
• Beroende på det totala spinnets s-kvanttal
får vi två fall
Singlett (s=0)
1
|0, 0⌅t = ⇧ [| ⇥⇤⌅
2
| ⇤⇥⌅]
Triplett (s=1)
|1, 1⇥t = |
⇥
1
|1, 0⇤t = ⌅ [| ⇥⇤ + | ⇥ ⇤]
2
|1, 1⇤t = | ⇥⇥⇤
Notation: |s, m t
22
Fler partiklar och
atomer med Z>1
Kapitel 5
23
Generalisering till flera partiklar
• Betrakta ett system bestående av N partiklar
• Om vi inte har växelverkan mellan partiklarna
kan vi normalt göra separationsansatsen
!
(r̄1 , r¯2 , . . . , r̄n ) =
1 (r̄1 ) 2 (r̄2 ) · · ·
N (r̄N )
• Vi får då N stycken enpartikel-
Schrödingerekvationer som vi kan lösa var för
sig. Energiegenvärdena ges sedan av
E = E1 + E2 + · · · + E N
24
Identiska partiklar
• Om vi har identiska partiklar kan vi inte veta
vilken som är vilken och vi måste då kräva att
-
Tillståndet är symmetriskt för utbyte av alla
par av identiska bosoner.
-
Tillståndet är antisymmetriskt för utbyte av
alla par av identiska fermioner.
• Detta ska gälla för hela tillståndet, dvs både
•
rums- och spinndel.
Fermioner: halvtaligt spinn, Bosoner: heltaligt
Detta leder till...
spinn
25
Paulis uteslutningsprincip
• Två identiska fermioner kan inte uppta
exakt samma tillstånd
!
• Effekten av detta är t.ex. att om två identiska
spinn-1/2-partiklar (fermioner) befinner sig i
samma rumstillstånd, så måste spinnet vara
i olika tillstånd (och antisymmetriskt), dvs i
singlettillståndet:
1
|singlett⌅ = ⇧ [| ⇥⇤⌅
2
| ⇤⇥⌅]
26
Utbytesväxelverkan
• Symmetrisk rumsdel
Partiklarna vill vara närmare varandra
• Antisymmetrisk rumsdel
Partiklarna vill vara längre ifrån varandra
• Får effekt för t.ex. energinivåerna hos
exciterade Heliumatomer.
27
Tyngre atomer
• Vi kan skriva Hamiltonoperatorn för en atom
med atomtal Z som
Z ⇢
X
H =
j=1
~
r2j
2m
2
✓
1
4⇡✏0
◆
Ze
rj
2
1
+
2
✓
◆ X
Z
1
e2
4⇡✏0
|r̄j r̄k |
j,k,j6=k
där den första summan är Coulomb-växelverkan
mellan kärnan och elektronerna, medan den
andra summan är Coulomb-växelverkan mellan
elektronerna.
• Ofta försummar vi elektron-elektron-växelverkan
för att kunna separera vågfunktionen.
28
Väteliknande lösningar till
Schrödingerekvationen
• Om vi försummar elektronelektronväxelverkan får vi Z enpartikelSchrödingerekvationer som har samma
lösningar som för väte, med följande
substitution
nlm
a
!
med a !
Z
2
E n ! Z En
Z
nlm
29
Heliums grundtillstånd
• Försummar vi elektron-elektron-
växelverkan måste grundtillståndet för
Helium innehålla två elektroner, båda i
rumstillståndet
100
• Spinnet måste då vara i singlettillståndet för
att hela tillståndet ska vara antisymmetriskt,
dvs tillståndet ges av
1
| ⌅ = ⇥100 (r̄1 )⇥100 (r̄2 ) ⇧ [| ⇥⇤⌅
2
| ⇤⇥⌅]
30
Heliums exciterade tillstånd
•
•
Exciterade tillstånd hos Helium utgörs av en
elektron i grundtillståndet och en i ett exciterat
tillstånd, dvs rumsdelen ser ut på formen
100
nlm
Denna kan dock göras både symmetrisk och
antisymmetrisk och vi får två varianter på Heliums
exciterade tillstånd
Parahelium
|
1
= ⇥ [⇥100 (r̄1 )⇥nlm (r̄2 ) + ⇥100 (r̄2 )⇥nlm (r̄1 )] |singlett
2
Ortohelium
1
| ⇥ = ⇤ [⇥100 (r̄1 )⇥nlm (r̄2 )
2
⇥100 (r̄2 )⇥nlm (r̄1 )] |triplett⇥
För givet n har ortohelium lägst energi.
31
Det periodiska systemet
• I det periodiska systemet utgörs “i princip”
varje rad av ett skal (n) med elektroner.
• Kemiska egenskaperna utgörs av yttersta
elektronerna
• Fyllda skal ger inerta ämnen (ädelgaserna)
• För givet n har nivåer med lägst l lägst
energi.
32
Störningsräkning och
korrektioner till vätes
energinivåer
Kapitel 6
33
Störningsräkning
• Om vi kan skriva vår Hamiltonoperator som
0
H =H +H
0
där H’ är en liten störning och där vi känner
lösningarna till H0 kan vi räkna ut
korrektionerna från H’ med hjälp av
störningsräkning.
• Vi måste dock skilja på icke-degenererad och
degenererad störningsräkning beroende på om
egenvärdena till H0 är degenererade eller inte.
34
Icke-degenererad störningsteori
•
Antag att de kända egentillstånden till H0 ges av
0
H |
0
n
=
0
0
En | n
• Första ordningens korrektion till energin och
vågfunktionerna ges då av
1
En
1
n
=
0
0 0
n |H | n ⇥
X ⇥ 0 |H 0 | 0 ⇤
m
n
=
0 )
(En0 Em
0
m
m6=n
35
Degenererad störningsteori I
•
Om egenvärdena till H0 är degenererade måste vi dock
använda degenererad störningsräkning (ty våra
degenererade egentillstånd får inte väldefinierade
energikorrektionerer från H’).
•
Vi får då sätta upp följande matriselement för våra
degenererade egentillstånd
!
•
Wnm =
0
0 0
n |H | m ⇥
Vi söker sedan de tillstånd som har väldefinierade
energikorrektioner, dvs vi söker tillstånden som uppfyller
W|
1
=E |
36
Degenererad störningsteori II
•
Men detta är ju en vanlig egenvärdesekvation, i detta fall
för H’ i basen av de degenererade tillstånden till H0.
•
Egenvärdena = våra första ordningens korrektioner till
energin
•
Egentillstånden = våra tillstånd som får väldefinierade
energikorrektioner från H’
•
Om vi hade kunnat välja “bra” tillstånd från början (dvs
sådana som hade varit egentillstånd till H’) så hade W
blivit diagonal. Att lösa egenvärdesekvationen hade då
varit trivialt och vi hade fått samma uttryck för E1 som
för icke-degenererad störningsteori.
Försök välja “bra” tillstånd!
37
Sätt att hitta “bra” tillstånd
•
Om vi hittar egentillstånd till H’ bland våra
degenererade tillstånd har vi “bra” tillstånd. Ibland är
det svårt att då kan följande teorem vara till hjälp
Teorem
Låt  vara en hermitsk operator som kommuterar med H0
och H’. Om våra degenererade egentillstånd till H0 också är
egentillstånd till  med skilda egenvärden så är de tillstånden
bra tillstånd.
38
Finstruktur hos väte
•
Den Hamiltonoperator vi betraktat för väte är inte
komplett utan får korrektioner:
•
Finstruktur:
-
Relativistisk korrektion till energin
Spinn-ban-koppling för elektronen
Hyperfinstruktur
-
Spinn-spinn-koppling mellan elektronen och protonen
I ett externt magnetfält får vi fler korrektioner,
Zeemaneffekten.
39
Finstruktur: relativistisk korrektion
•
4
p
0
Hr =
8m3 c2
Denna korrektion är sfäriskt symmetrisk och våra
egentillstånd |
nlm i|s, ms i
är bra tillstånd.
•
= |n, l, m; s, ms i
Vi kan också se det genom att använda teoremet
på sid. 38. De degenererade egentillstånden till H0
kommuterar med L2, Lz, S2 och Sz. Dessa
kommuterar med H’ och har (gemensamt) skilda
egenvärden, dvs de är bra tillstånd.
40
Finstruktur: spinn-bankoppling
0
Hso
•
•
•
•
2
e
1
ˆ
ˆ
=
L̄ · S̄
2
2
3
8⇡"0 m c r
Denna korrektion innehåller en term
i
h
1 ˆ2
2
2
ˆ
ˆ
J
L̂
Ŝ
L̄ · S̄ =
2
Eftersom den innehåller J2 som inte kommuterar
med Lz och Sz måste vi byta bas till egentillstånd till
J2, Jz, L2 och S2 som våra bra tillstånd.
Korrektionen är av samma storleksordning som
den relativistiska korrektionen och benämns
tillsammans finstruktur.
1
Efs
⇠
10
Storleken på finstruktur är ungefär
En0
5
41
Hyperfinstruktur
•
Denna korrektion innehåller en term av typen
h
i
1 ˆ2 ˆ2 ˆ2
ˆ
ˆ
S̄
S̄p S̄e
S̄p · S̄e =
2
så vi kan förvänta oss att egentillstånd till S2, Sz, Sp2 och
Se2 är bra tillstånd (S2 kommuterar inte med Sp,z och Se,z).
•
Korrektionen är av storleksordningen
!
•
1
Ehf
En0
⇠ 10
7
Tillstånden där protonen och elektronen har motriktat
spinn (singlett) har lägst energi. Spinn-flipp från triplett
till singlett ger en foton med våglängden 21 cm.
42
Zeemaneffekten I
• Om en väteatom placeras i ett externt
magnetfält, Bext, så påverkas energinivåerna.
• Spinn-bankopplingen är jämförbar med ett
internt magnetfält på ungefär 6T, vilket betyder
att “normalt” så är det externa magnetfältet
mindre än det från spinn-bankopplingen.
• H’ innehåller en term av typen
• Vi måste skilja på tre fall
Z
Lz + 2Sz
43
Zeemaneffekten II
i) Svagt fält, Bext < Bint.Vi kan lägga på
Zeemaneffekten på de tillstånd som vi har
fått efter att ha lagt på finstruktur. Fortsätt
att arbeta med egentillstånden till J2, Jz, L2
och S2 som bra tillstånd.
ii) Starkt fält, Bext > Bint. Egentillstånd till
S2 och Sz är nu bra tillstånd.
2
L ,L
z,
iii)Mellanfallet, Bext ~ Bint. Måste behandlas
med degenererad störningsteori
44
Variationsprincipen
Kapitel 7
45
Variationsprincipen
•
Om ψ är en normerad vågfunktion
så är
| ⇥=1
⇥ |H| ⇤
E0
där E0 är grundtillståndets energi. Dvs vi kan få en övre
gräns på E0 genom att “gissa” en lämplig vågfunktion.
•
•
Låt ψ bero på någon/några fria parametrar och
minimera |H|
⇥
med avseende på den/dessa parametrar.
✓ ◆ 14
2b
Ofta använd funktion:
⇥(x) =
e
bx2
46
Variationsprincipen eller störningsteori?
• Både variationsprincipen och störningsteori kan
användas för att approximativt få fram energinivåer
för problem vi inte kan lösa exakt. De fungerar
dock i olika fall:
-
Störningsteori kräver att vi kan skriva H=H0+H’
där vi kan lösa SE exakt för H0.
-
Störningsteori kan appliceras både på
grundtillståndet och exciterade tillstånd
-
Variationsprincipen kan bara användas på
grundtillståndet
47
Kvantmekanikens
tolkningar
Kapitel 12
48
Kvantmekanikens tolkningar
• Einstein, Podolsky och Rosen (EPR) argumenterade
1935 att den momentana kollapsen av vågfunktionen
var orimlig. De förordade realist-tolkningen.
• Bell formulerade 1964 Bells olikhet som visade att
realist-tolkningen (via dolda variabler) är inkompatibel
med kvantmekaniken (Bells olikhet är bruten för
kvantmekaniken)
• Aspect, Grangier och Roger visade 1982 att Bells
olikhet är bruten även experimentellt.
• Den ortodoxa tolkningen (Köpenhamnstolkningen)
verkar vara den rätta.
49