Mekanik KF, Moment 2

Mekanik KF, Moment 2
Datum: 2013-06-10, 8-13
Författare: Jan-Erik Rubensson
Hjälpmedel: Physics handbook. Beta Mathematics handbook. Pennor, linjal,
miniräknare.
Skrivtid: 5 timmar.
Del 1 (Lämna in denna del med dina svar)
Varje fråga kan ge maximalt 1 p. Inget svar eller fel svar ger 0 p. Du behöver inte
motivera dina svar i del 1. Flera alternativ kan vara rätt.
1. Du sitter på en snurrstol som roterar friktionslöst och friktionen mot luften kan
också försummas. Du håller armarna rakt ut och har en vikt varje hand. När du
drar in vikterna mot kroppen (och i övrigt håller din kropp stel) kommer
rotationshastigheten att öka. Men vad händer med de andra storheterna som
beskriver din och stolens rörelse?
o Tröghetsmomentet med avseende på rotationsaxeln ökar
o Tröghetsmomentet med avseende på rotationsaxeln minskar
o Tröghetsmomentet med avseende på rotationsaxeln ändras inte
o Rotationsenergin ökar
o Rotationsenergin minskar
o Rotationsenergin ändras inte
o Rörelsemängdsmomentet med avseende på rotationsaxeln ökar
o Rörelsemängdsmomentet med avseende på rotationsaxeln minskar
o Rörelsemängdsmomentet med avseende på rotationsaxeln ändras
inte.
2. Den stela kroppen till höger befinner sig på ett
friktionsfritt underlag när plötsligt kraften F börjar
verka rakt åt höger som i figuren (CM=masscentrum).
I vilken riktning accelererar kroppens masscentrum i
denna stund?
o Rakt uppåt.
o Rakt nedåt.
o Rakt åt höger.
o Accelerationen har störst komponent åt höger men
också en komponent uppåt.
o Accelerationen har störst komponent åt höger men
också en komponent nedåt.
o Det är omöjligt att säga om man inte känner kroppens
hastighet
(höger-vänster-uppåt-nedåt refererar till riktningar i
papprets plan)
3. En totalt vindstilla dag låter du en sten falla från Kaknästornet. På grund av jordens
rotation kommer den inte att falla exakt längs lodlinjen, utan den viker av något åt
o norr
o öster
o söder
o väster
4. En toalettrulle med massan m är anbringad med en
enkel anordning bestående av en lätt, tunn och glatt
pinne som med snören är fäst i väggen. Kinetiska
friktionskoefficienten mellan rulle och vägg är µ. Man
drar i pappret med en kraft F=mg/4 rakt nedåt utan att
rullen börjar vinkelaccelerera. Markera alla yttre krafter
som verkar på toarullen. Alla krafter ska ha positiva
värden, dvs: kraftvektorerna ska vara ritade i den
riktning krafterna verkar.
5. En jojo har massa m, tröghetsmoment I, ytterradie R, och innerradie r. Snöret är
lindat på den inre cylindern med radien r och fäst i ett tak. Vad är beloppet av jojons
masscentrums acceleration när den släpps från vila. Antag att vi befinner oss nära
jordytan (men försumma inverkan av jordens rotation), och att snöret är masslöst,
otöjbart och lindas av utan glidning medan jojon rör sig.
o
!
o (
o
o
!
𝑚(
!
!
(!! ! )
!"
!
!
!
(!! ! )
!"
!
)!
)
!
(!! ! )
!"
!
(!!
o 𝑔
!
)
!"!
6. Det homogena klotet i figuren rullar på underlaget och dess masscentrum har
hastigheten 5 m/s i x-riktningen. Vilken hastighet har den punkt på bollen som befinner
sig högst upp?
o 𝑣 = 5(𝑥 + 𝑦) m/s
!
o 𝑣 = ! (𝑥 + 𝑦) m/s
y
o 𝑣 = 5(𝑥 − 𝑦) m/s
o 𝑣=
!
!
(𝑥 − 𝑦) m/s
o 𝑣 = 10𝑥 m/s
o 𝑣 = 5𝑥 m/s
o 𝑣 = 2 ∙ 5𝑥 m/s
x
7. En harmonisk, transversell våg i en sträng har amplituden 0.001 m, våglängden 0.2
m och frekvensen 195 Hz. Hur stor är den maximala farten hos ett litet segment av
strängen?
o
o
o
o
o
Ungefär 1 m/s
Ungefär 4 m/s
Ungefär 10 m/s
Ungefär 40 m/s
Ungefär 400 m/s
8. De flesta uppgifter på rotation i Mekanik KF har handlat om plan rotation. För det
mesta har vi roterat kropparna runt en axel som är parallell med en symmetriaxel. För
att beskriva sambandet mellan vinkelhastighet och rörelsemängdsmoment för rotation
runt en axel som inte är parallell med en symmetriaxel måste man
o addera det tröghetsmomentet som kommer till enligt Steiners sats när man
flyttar rotationsaxeln.
o beräkna tröghetsprodukterna.
o utnyttja att vinkelhastighet och rörelsemängdsmoment alltid är parallella
vektorer.
o projicera rörelsemängdsmomentet runt symmetriaxeln på den nya axeln genom
att beräkna skalärprodukten mellan detta rörelsemängdsmoment och en
enhetsvektor l den nya axelns riktning.
9. En stel kropp befinner sig i jämvikt om
o vektorsumman av alla krafter som verkar på kroppen är noll.
o vektorsumman av alla krafter och kraftmoment som verkar på kroppen är noll.
o vektorsumman av alla kraftmoment som verkar på kroppen är noll.
o vektorsumman av alla krafter som verkar på kroppen är noll, och samtidigt är
vektorsumman av alla kraftmoment som verkar på kroppen noll.
10. Hur kan vi använda dragprovkurvan i figuren
för att bestämma Youngs modul (𝐸)?
o Genom att mäta längden på den ickelinjära delen av kurvan från A till C.
o Genom att mäta lutningen på kurvan
mellan 0 och A.
o Genom att läsa av koordinaterna vid
punkten B.
o Genom att beräkna arean under kurvan
från 0 till C.
11. I differentialekvationen
A
d2 x
dx
+
B
+ Cx = 0
dt2
dt
är A=1 kg, och C=1 kgm/s2. Hur ska B väljas för att ekvationen ska beskriva kritiskt
dämpad svängning?
o 1 Ns/m
o
2 Ns/m
o 2 Ns/m
o 4 Ns/m
o
2 kgm/s2
o 1 kgm/s2
o 2 kgm/s2
o 4 kgm/s2
12. I ett horisontellt rör med cylindriskt tvärsnitt med konstant diameter flödar vatten
av ett konstant tryck med konstant volymsflöde. Vid en förträngning är rörets
diameter nästan hälften av den normala. Vad händer då med trycket i vattnet vid
denna förträngning? Vattnet flödar laminärt och man kan försumma viskositeten.
o
o
o
o
Trycket blir större.
Trycket blir mindre.
Trycket är oberoende av rörets diameter.
Det är omöjligt att avgöra utifrån de uppgifter som är givna
Del 2 (Lös varje uppgift på separata blad)
För att få full poäng måste du motivera dina svar och antaganden, definiera variabler,
sätta ut rätt enheter osv. Skriv hellre en mening för mycket än för lite. 5p per uppgift.
1. En 120-kg kylskåp, 2,00 m högt och 85,0 cm brett, har sitt masscentrum vid sitt
geometriska centrum. Du försöker skjuta det längs golvet genom genom att
trycka horisontellt på kylskåpets ena sida (din kraft är riktad vinkelrätt mot
kylskåpssidan). Den statiska friktionskoefficienten mellan golv och kylskåp är 0,300.
Vilket är det största avstånd ovanför golvet som du kan trycka på kylskåpet så att det
glider utan att välta?
(5p)
2. Två violinister ska stämma samman sina instrument. Den ena violinisten har stämt
med en stämapparat och har ett rent A, d.v.s. 440 Hz. När den andre violinisten
spelar hörs en svävning på 4,0 Hz samt att tonen är lägre än vad den borde vara.
Med vilken faktor måste strängens spänning ändras för att fiolen ska bli korrekt
stämd? (5p)
3. För den fysiska pendeln i figuren gäller att (den
homogena) stångens massa är M, och (den homogena)
cylinderskivans massa är m och dess radie är r. Stången är
fastsvetsad i skivans mittpunkt (dvs stångens längd är L+r).
Med hjälp av en anordning vid upphängningen kan man
styra systemets dämpning, dvs kontrollera c i uttrycket för
!"
det dämpande kraftmomentet 𝑐 !" . Förutsätt små
svängningar.
a) Härled systemets rörelseekvation. (3p)
b) Om vi antar svag dämpning, bestäm systemets
vinkelfrekvens. (1p)
c) Vilken ytterligare information om pendeln krävs för att man
ska kunna lösa rörelseekvationen i a) och fullständigt
bestämma pendelutslaget som funktion av tiden? Ge ett
exempel på vad denna information skulle kunna vara. (1p)
r
4. En metallstång med massan M och längden L hänger i vila, friktionslöst i en krok i
taket när den träffas av liten boll av häftmassa med massan m och hastigheten v0,
!
riktad i x-riktningen. Bollen fastnar vid stången ! L från upphängningspunkten, och
systemet börjar rotera runt densamma.
a. Bestäm den maximala utslagsvinkeln (3)
b. Bestäm den totala mekaniska energin för och efter stöten och diskutera resultatet
(2)
y
x
+49