Föreläsning 27/9
Stela kroppar
Ulf Torkelsson
1
Stela kroppar, masscentrum
En stel kropp är ett system av partiklar sådant att partiklarna behåller sina inbördes relativa
positioner. För en stel kropp kan man definiera masscentrum genom
R
ρxdV
(1)
xcm = RV
ρdV
RV
ρydV
ycm = RV
(2)
ρdV
V
R
ρzdV
zcm = RV
(3)
ρdV
V
Exempel: Beräkna masscentrum för ett halvklot med radien a.
Lösning: Av symmetriskäl måste masscentrum ligga längs den symmetriaxel som går genom
tvärsnittsytans centrum och upp genom toppen på halvsfären. Om vi orienterar z-axeln längs med
denna axel så får vi för halvsfärens masscentrum
ia
h 2 2
Ra
z4
a z
a4
2
2
−
ρπ a − z zdz
2
4
3
0
0
zcm = R a
= 2a43 = a.
(4)
= 3 a
2
2
z
2
8
ρπ (a − z ) dz
a z−
0
3
3
0
Lägg märke till att π(a2 − z 2 )dz är volymen av en cirkelskiva med tjockleken dz vid höjden z.
2
Stela kroppar, rörelsemängdsmoment
Vi kan tänka oss att en stel kropp är sammansatt av masspunkter mi . Om kroppen roterar runt
en axel parallell med z-axeln har vi att hastigheten i punkten (xi , yi ) är vi = (x2i + yi2 )1/2 ω = ri2 ω,
eller på komponentform
= −vi sin φi = −ωyi
= vi cos φi = ωxi
ẋi
ẏi
(5)
(6)
Kroppens kinetiska energi genom dess rotation är
T =
X1
i
2
mi vi2
1
=
2
!
X
mi ri2
i
ω2 =
1
Iz ω 2 ,
2
(7)
där
Iz =
X
mi ri2
(8)
i
är kroppens tröghetsmoment kring axeln z.
Låt oss också beräkna kroppens rörelsemängdsmoment L = ri × mi vi kring z-axeln, som för
partikeln i är
mi (xi ẏi − yi ẋi ) = mi x2i + yi2 ω.
(9)
Om vi summerar över alla partiklarna får vi
X
Lz =
= mi x2i + yi2 ω = Iz ω.
i
1
(10)
Sedan tidigare har vi
dLz
d
=
(Iz ω) ,
dt
dt
där Nz är det yttre vridmomentet som verkar på kroppen.
För en kontinuerlig massfördelning beräknar vi istället tröghetsmomentet ur
Z
I = r2 dm
Nz =
(11)
(12)
Exempel: Tröghetsmomentet för en stav med längden l och densiteten ρ per längdenhet för en
axel som går genom stavens ena ändpunkt är
Z
3 l
x
ρl3
ml2
x2 ρdx = ρ
=
=
,
3 0
3
3
l
Iz =
0
(13)
där m = ρl.
Om axeln istället går genom stavens mittpunkt (masscentrum) har vi
3 l/2
x
ρl3
ml2
=2
x ρdx = 2 ρ
=
.
Iz =
3 0
24
12
−l/2
Z
2.1
l/2
2
(14)
Parallellaxelteoremet, Steiners sats
Tröghetsmomentet runt en axel är
Iz =
X
mi x2i + yi2
(15)
i
Vi skriver nu koordinaterna som
xi = xi + xcm
yi = yi + ycm
(16)
(17)
(18)
där xi och yi är koordinaterna relativt masscentrum. Vi har
X
X
X
X
2
mi x2cm + ycm
mi yi .
Iz =
mi xi 2 + yi 2 +
+ 2xcm
mi xi + 2ycm
i
i
i
(19)
i
Den första termen ger tröghetsmomentet för en axel genom masscentrum, Icm , medan den andra
termen ger ml2 , där l är avståndet från masscentrum till axeln. De två sista termerna blir 0 enligt
definitionen för masscentrum, så vi har
I = Icm + ml2 ,
(20)
vilket kallas för Steiners sats.
Exempel: Beräkna tröghetsmomentet för en axel som går genom den ena änden av en stav med
längden l och massan m.
Lösning:
ml2
Icm =
(21)
12
I=
ml2
ml2
ml2
+
=
.
12
4
3
2
(22)
3
Sammanfattning av stelkroppsdynamik
Vi har nu härlett de grundläggande sambanden i stelkroppsdynamiken, och det kan vara instruktivt
att jämföra dem med de motsvarande sambanden i partikeldynamiken. Grundläggande i partikeldynamiken är Newtons andra lag
dp
(23)
F=
dt
medan momentlagen för en stel kropp kan skrivas
N=
dL
.
dt
(24)
Utgående från dessa samband kan vi skapa en översättningslista mellan partikeldynamik och
stelkroppsdynamik.
Table 1: Partikel och stelkroppsdynamik
Partikeldynamik
Massa
Hastighet
Rörelsemängd
Kraft
Newtons andra lag
Energi
m
v
p = mv
F
F = ṗ = ma
T = mv 2 /2
Stelkroppsdynamik
Tröghetsmoment
Vinkelhastighet
Rörelsemängdsmoment
Vridmoment
Momentlagen
Energi
3
I
ω
L = Iω
N=r×F
N = L̇ = I ω̇
T = Iω 2 /2
