“Klassiker” En kula med rörelsemängdsmoment I = kmr 2 rullar med

1. Från “Klassiker” En kula med rörelsemängdsmoment I = kmr2 rullar med hastighet
v och träffar en ramp som lutar med vinkel θ enligt figuren. Antag att kulan inte glider
på något underlag och gör f.ö. rimliga antaganden för små vinklar.
;h=
Svar: v 0 = v cos(θ)+k
1+k
(k+cos(θ))2 v 2
(k+1)
2g
2. Ett kvarnhjul med radius r och massa m rullar utan att glida runt en axel med vinkelhastighet Ω runt ẑ axeln. Huvudtröghetsmomenten för kvarnhjulet är 12 mr2 i symmetriktningen, och 14 mr2 runt de andra huvudaxlarna. Vi antar att hjulets tjocklek är
försumbar jämfört med D.
(a) Beräkna normalkraften under hjulet.
Svar: N = m(g + 12 Ω2 r) .
3. Motorn i bilden hålls på plats varje sida med en masslös fjäder med fjäderkonstant k
och en dämpning med dämpningskonstan konstant c, som ger en återställande kraft på
varje sida F = −kx − cẋ. Variabeln x mäter motorns avvikelse från jämnviktspositionen. Motorn tillåts vibrera i sidled i lådan som är fast förankrad i sin omgivning. Hela
motorn, inklusive rotor och kapsling, har massa mtot . Rotorn har massa m och tröghetsmoment mr2 där r är den s.k. “tröghetsradien”. Resonansfrekvensen ω0 beräknas
för små vibrationer där c = 0.
Vi antar att det är obalans i motorn pg.a. masscentrum är skiftat med ett litet avstånd
δ från axelns mittpunkt. Definiera a som amplituden av vibrationer i x när motorn
drivs vid resonansfrekvensen.
Svar: a =
mδω0
2c
4. Två kragar var och en med massa m löper friktionsfritt på två stänger såsom i bilden.
Konfigurationen kan skapas genom att först lägga de två stängerna på x-axeln, sedan
vrida den ena runt z-axeln med vinkel θ och flytta den ett avstånd d längs z axeln.
Massorna är kopplade med en fjäder som har en fjäderkonstant k och en osträckt längd
0.
Svar: ω 2 =
k
(1
m
± cos θ)
5. En molekyl består av två identiska atomer som är kopplade med en fjäder
med osträckt
q
2k
längd a och fjäderkonstant k. Systemet har en vibrationsfrekvens m utan rotation.
Om molekylen nu roterar med ett rörelsmängdsmoment l vinkelrätt mot molekylens
axel blir denna frekvens förändrad, och jämviktsavståndet 2r förblir inte lika med den
osträckta fjäderlängden a.
Vi betraktar rörelse i ett plan. Introducera generaliserade koordinater, r som mäter
avståndet från masscentrum till en atom, och θ som är vinkeln av molekylaxeln i planet.
Låt δ vara avvikelsen av r från jämviktsläget: r = a2 + δ.
Svar: ω 2 =
2k
m
+
12 l2
m2 a4
; Se A60 i Kompendiet.