1. Från “Klassiker” En kula med rörelsemängdsmoment I = kmr2 rullar med hastighet v och träffar en ramp som lutar med vinkel θ enligt figuren. Antag att kulan inte glider på något underlag och gör f.ö. rimliga antaganden för små vinklar. ;h= Svar: v 0 = v cos(θ)+k 1+k (k+cos(θ))2 v 2 (k+1) 2g 2. Ett kvarnhjul med radius r och massa m rullar utan att glida runt en axel med vinkelhastighet Ω runt ẑ axeln. Huvudtröghetsmomenten för kvarnhjulet är 12 mr2 i symmetriktningen, och 14 mr2 runt de andra huvudaxlarna. Vi antar att hjulets tjocklek är försumbar jämfört med D. (a) Beräkna normalkraften under hjulet. Svar: N = m(g + 12 Ω2 r) . 3. Motorn i bilden hålls på plats varje sida med en masslös fjäder med fjäderkonstant k och en dämpning med dämpningskonstan konstant c, som ger en återställande kraft på varje sida F = −kx − cẋ. Variabeln x mäter motorns avvikelse från jämnviktspositionen. Motorn tillåts vibrera i sidled i lådan som är fast förankrad i sin omgivning. Hela motorn, inklusive rotor och kapsling, har massa mtot . Rotorn har massa m och tröghetsmoment mr2 där r är den s.k. “tröghetsradien”. Resonansfrekvensen ω0 beräknas för små vibrationer där c = 0. Vi antar att det är obalans i motorn pg.a. masscentrum är skiftat med ett litet avstånd δ från axelns mittpunkt. Definiera a som amplituden av vibrationer i x när motorn drivs vid resonansfrekvensen. Svar: a = mδω0 2c 4. Två kragar var och en med massa m löper friktionsfritt på två stänger såsom i bilden. Konfigurationen kan skapas genom att först lägga de två stängerna på x-axeln, sedan vrida den ena runt z-axeln med vinkel θ och flytta den ett avstånd d längs z axeln. Massorna är kopplade med en fjäder som har en fjäderkonstant k och en osträckt längd 0. Svar: ω 2 = k (1 m ± cos θ) 5. En molekyl består av två identiska atomer som är kopplade med en fjäder med osträckt q 2k längd a och fjäderkonstant k. Systemet har en vibrationsfrekvens m utan rotation. Om molekylen nu roterar med ett rörelsmängdsmoment l vinkelrätt mot molekylens axel blir denna frekvens förändrad, och jämviktsavståndet 2r förblir inte lika med den osträckta fjäderlängden a. Vi betraktar rörelse i ett plan. Introducera generaliserade koordinater, r som mäter avståndet från masscentrum till en atom, och θ som är vinkeln av molekylaxeln i planet. Låt δ vara avvikelsen av r från jämviktsläget: r = a2 + δ. Svar: ω 2 = 2k m + 12 l2 m2 a4 ; Se A60 i Kompendiet.