(vinkeln θ är dimensionslös) =⇒ [c] = Nm

dθ
är ett moment, i N.m. Dessutom är vinkelhastighetens enhet s−1
dt
(vinkeln θ är dimensionslös) =⇒ [c] = N.m.s
Obs! N = kg.m.s−2 och därmed [c] = kg.m2 s−1 också.
a) −c
b) När massan går neråt blir fjäderns längd y > y0 , vilket ger en spännkraft
T1 = k(y − y0 ) som petar
k neråt på vänstra sidan av trissan. Vi antar att y
är positiv neråt på massans sida och att θ är moturs. Rullning ⇒ dy = −Rdθ.
Newtons andra lag för massan, som påverkas av vikten mg och spännkraften
T2 i snöret:
X
Eulers andra lag för trissan:
Fy = mg − T2 = m
X
M =I
d2 y
.
dt2
d2 θ
.
dt2
Trissan påverkas av tre moment:
• +T1 × R med T1 = k(y − y0 ) och θ0 = 0 för y0 (när fjädern är osträckt),
• −T2 × R med T2 = mg − m
• −c
dθ
.
dt
d2 y
,
dt2
Vi får därmed:
I
d2 θ
dθ
d2 y
dθ
=
R(T
−
T
)
−
c
=
Rk(y
−
y
)
+
Rm
− Rmg − c
1
2
0
2
2
dt
dt
dt
dt
Med y = −Rθ och θ0 = 0, får vi en diffekvation i θ:
(I + mR2 )
dθ
d2 θ
+ c + kR2 θ + Rmg = 0
2
dt
dt
mg
En partikulär lösning (ej efterfrågad i uppgiften) är θeq = −
, vilken är
kR
medurs, som förväntat.
Den homogena diffekvationen kan skrivas som:
d 2 θh
dθh
c
kR2
+
+
θh = 0
dt2
I + mR2 dt
I + mR2
Låt oss i fortsättningen skriva denna ekvation som:
dθh
d 2 θh
+ 2d
+ ω 2 θh = 0
2
dt
dt
c) Systemet är svagt dämpat om 0 < d < ω:
c
<ω=
0<d=
2(I + mR2 )
s
kR2
I + mR2
q
c måste då vara positiv och mindre än 2R k(I + mR2 ).
d) Med [k] = N/m = kg.s−2 q
och [I + mR2 ] = N.m.s2 = kg.m2 visar man, med
en dimensionsanalys av 2R k(I + mR2 ), att c har N.m.s (eller kg.m2 s−1 )
som enhet, dvs precis som i a).