Mekanik II lektion 2

Mekanik II lektion 2
Staffan Yngve
Start med ett problem
• Problem 18.42
A 100-kg cylindrical disk is at rest when the force
F is applied to a cord wrapped around it. The
static and kinetic coefficients of friction between
the disk and the surface equal 0.2. Determine
the angular acceleration of the disk if
(a) F = 500 N and
(b) F= 1000 N
Påpekande av Allan Hallgren
• OBSERVERA dock att (nät)lösningarna i många
fall kan betraktas som ’dåliga lösningar’, och
skulle t.ex. ej ge full poäng på en tentamen.
Lösningen på nätet till 18.42 är exempel på en
sådan ’dålig lösning’, och detta gäller då inte
så mycket fel riktning på friktionen i figuren
(korrigerad med tecken i lösningen) som en
del andra brister, t ex att man kan få för sig att
f=F/3 såväl i a-uppgiften (rätt) som i b (fel)
Figur till 18.42
F
Radie 0.3 m
Vilka ytterligare krafter?
Ytterligare krafter på cylindern
F
F
mg N
f
http://aerostudents.com/files/dynamics/bedfordAndFowlerSolutions/CH18.pdf
har fel riktning på f
Argument för riktningen hos f
Vid glidning: f skall motverka kontaktpunktens
mot underlaget förflyttning. Ideal rullning innebär att ingen förflyttning sker av kontaktpunkt.
Rullande cylinder: Om cylindern rullar ex vis ett
halvt varv och en del av cylindern är litet för
glatt för att rulla är det orimligt att friktionen
skulle kasta om riktning
Principen rörelseenergi-effekt kan också
användas vid rullande cylinder (senare)
Kinetisk energi hos stel kropp
• Konstant riktning hos vinkelhastigheten antas
• T=mv2/2+Iω2/2
• I är kroppens tröghetsmoment
ω mi
ρi
Kroppens masscentrum hastighet v
I=∑mi ρi2
Rörelseenergi-effekt
• dT/dt=∑FP●vP
P
vP (hastighet hos P)
FP
Obs! Stel kropp, inre krafters totala effekt lika
med noll. Tidigare kurs vP=v (ren translation)
Rörelseenergi-effekt på 18.42
Vid ren rullning är vP=2v (dubbla masscentrumshastigheten
P
F
Radie R
d(mv2/2+Iω2/2)/dt=2Fv där I=mR2/2 (PH)
Rω=v (rullningsvillkor) varav
d(3mv2/4)/dt=2Fv varav F=0.75mdv/dt
Newtons andra lag i masscentrums
rörelseriktning (18.42)
• F+f=mdv/dt
Men F= 0.75 mdv/dt gör att
f=0.25mdv/dt=F/3
Villkor för rullning är statisk friktion som
uppfyller f≤μsN där i vårt fall N=mg
Villkor på F för rullning
F/3 ≤μsmg d v s F ≤3μsmg, vilket gör att vi har
rullning i fall (a) men ej i fall (b)
Rörelsemängdsmoment
H=∑Rixmivi
Ri är ortsvektorn för i:e partikeln relativt
masscentrum.
Stel kropp med vinkelhastighetens riktning
konstant lika med z-riktningen
Hz=Iωz
Momentlagen (Eulers andra lag)
• dH/dt=M där
M = ∑RPxFP
RP
P
FP
Masscentrum
Summan av inre krafters kraftmoment är noll,
endast yttre krafters kraftmoment medtas
Eulers första lag är ”Newtons andra”
mdv/dt=∑F
summan av yttre krafter
Kroppens masscentrum hastighet v
Hur löser man ett stelkroppsproblem?
• B.2 1 september 2012: På många flygplatsterminaler finns
det rullband för persontransporter. För en jäktad resenär
som har kapacitet att springa 5.0 m/s kan ett rullband som
rör sig med 1.00 m/s ge resenären en 20%-ig fartökning
relativt terminalen. Filippa genomför ett experiment på ett
horisontellt rullband som rör sig med farten vB. Filippa
lägger ett homogent klot på rullbandet, vars längd är L.
• Friktionskoefficient mellan band och klot är μ. Bestäm tiden
för klotet att röra sig sträckan L med lämpliga
approximationer om klotets utgångsfart relativt terminalen
är noll. Avgör speciellt om experimentet är någonting som
är lämpligt för ovan beskrivna jäktade resenär. (5p)
• Numeriskt: vB =1.00m/s, L=100m, μ= 0.60.
B2, 1 september 2012
radieR
• ”Samma” problem löst på tavlan med hjälp av
Euler I och Euler II
Kulan får farten vB/(1+mR2/I) efter tiden t1 där
μgt1= vB/(1+mR2/I) där i detta fall mR2/I=5/2
som ger numeriskt t1≈0.05 s (försumbar)
Enklare sätt?
Finns det något snabbare sätt att få fram kulans
fart relativt transportbandet, om man intuitivt
förstår att det är en snabb procedur för kulan att
nå en konstant fart relativt terminalen?
Det enklare sättet innebär att man inte behöver
räkna ut t1.
Svaret är ja, man kan använda momentlagen
med avseende på en fix punkt., som kommer nu.