Linjär Algebra, Föreläsning 2 - MAI

Linjär Algebra, Föreläsning 2
Tomas Sjödin
Linköpings Universitet
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Riktade sträckor och Geometriska vektorer
En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning,
men inte någon naturlig startpunkt.
Om vi i ett plan har två punkter
P till Q ,
−→
Q , betecknas PQ .
sträckan från
P
och
Q,
då låter vi den riktade
ritad som en pil som startar i
P
och slutar i
Vi låter nu mängden av alla sådana riktade sträckor med samma
storlek och riktning (det är alltså underförstått att vi kan mäta
detta) betecknas
−→
[PQ].
Detta tar vi som denition av vektorer i planet.
Givetvis kan motsvarande också göras i ett tredimensionellt rum.
(För de som vet vad en ekvivalensrelation är kan vi säga att ha
samma storlek och riktning är en ekvivalensrelation, och en vektor
är helt enkelt en ekvivalensklass av riktade sträckor).
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Riktade sträckor och Geometriska vektorer
Notera att det för varje vektor
Q
sådan att
−→
u = [PQ].
u
och punkt
P
nns en unik punkt
En speciell vektor är nollvektorn, som har längd noll (och alltså
inte kan sägas ha någon riktning). Denna betecknas 0, och vi har
0
−→
= [PP].
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
−→
u = [PQ] längden/normen |u|
punkterna P och Q .
Vi inför även för en vektor
avståndet mellan
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
att vara
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Addition och multiplikation med skalär
Addition av två vektorer
−→
u = [PR]
och
−→
v = [RQ]
denieras som
−→
−→
−→
u + v = [PR] + [RQ] = [PQ].
ku är den
ku har samma riktning
om k < 0. Om k = 0 är
Multiplikation med skalär (=reellt tal) denieras så att
unika vektor som uppfyller
u om k > 0, ku
ku = 0.
som
|ku| = |k||u|
och
har motsatt riktning
Vi inför även beteckningen
−u := −1u ,
d.v.s. den vektor som har
samma storlek men motsatt riktning.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Räknelagar
Sats
För alla vektorer
u, v , w
(i ett plan eller rum) och skalärer
λ, µ
gäller följande:
(a)
u + v = v + u,
(b)
u + (v + w ) = (u + v ) + w ,
(c)
u + 0 = u,
(d)
u + v = 0 ⇔ u = −v ,
(e) 1u
= u,
(f )
λ(µu) = (λµ)u ,
(g)
(λ + µ)u = λu + µu ,
(h)
λ(u + v ) = λu + λv .
Tack vare lag
(b), (f )
ovan kommer vi skriva
u + v + w , λµu
eftersom det inte spelar någon roll i vilken ordning vi tar dessa
operationer.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Baser och koordinatsystem
Denition
En ordnad uppsättning vektorer
(u
= (u 1 u 2 u 3 )
om varje vektor
formen
u = (u 1 u 2 )
i ett plan
i ett rum) sägs utgöra en bas till planet (rummet)
v
i planet (rummet) på entydigt sätt kan skrivas på
x
v = x1 u 1 + x2 u 2 =: u 1
x2

 
x1
v = x1 u 1 + x2 u 2 + x3 u 3 =: u x2  .
x3
Kolumnmatrisen
 
x1
x1

x2 
respektive
x2
x3
kallas för
v :s
koordinater i basen
Tomas Sjödin
u
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Baser och koordinatsystem
Per denition har alltså varje vektor unika koordinater i en bas,
och varje sådan kolumnmatris svarar mot en unik vektor, så
det nns en 1
−1
korrespondens mellan vektorer och dessa
koordinatmatriser.
Notera att två vektorer i ett plan (tre vektorer i ett rum) utgör
en bas om och endast om de inte ligger på en gemensam
linje (i ett gemensamt plan).
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Koordinater för punkter
För att ge punkter koordinater behöver vi förutom en bas också en
x referenspunkt i vårt plan/rum, som vi kallar origo och betecknar
denna
Om
P
O.
är en punkt i planet/rummet och vi har
−→
x
[OP] = u 1
x2
respektive
 
x1
−→
[OP] = u x2 
x3
då säger vi att
P
har koordinater
(x1 , x2 )
respektive
(x1 , x2 , x3 )
i
detta koordinatsystem (observera att detta alltså nu beror både på
valet av
u
och
O ).
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Algebraiska operationer
När det gäller de algebraiska operationerna vi har infört blir dessa
mycket enkla om vi uttrycker alla vektorer i samma bas
a1
b1
a1 + b1
u
+u
=u
,
a2
b2
a2 + b2
u:
a1
ka1
ku
=u
,
a2
ka2
respektive

 
 

a1
b1
a1 + b1
u a2  + u b2  = u a2 + b2  ,
a3
b3
a3 + b3
 
 
a1
ka1



ku a2 = u ka2  .
a3
ka3
Det vill säga för att addera två vektorer adderar vi bara deras
koordinater, och för att multiplicera en vektor med en skalär
multiplicerar vi bara varje koordinat med denna skalär.
Det är ganska lätt att övertyga sig om att detta stämmer
överens med den geometriska denitionen av addition och
multiplikation med skalär som vi införde ovan.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Exempel 1
Exempel 1: Antag att vi i ett plan valt origo
u = (u 1 u 2 ).
O
och en bas
P, Q, R i detta koordinatsystem
P = (3, 2), Q = (4, 3) och R = (1, 1).
Låt vidare punkterna
ha koordinater
Bestäm följande (uttryckt i det givna koordinatsystemet):
−→ −→ −→ −→ −→
−→
−→
[OR], [OP], [OQ], [PQ], [OP] + [OR], −[OQ]
Tomas Sjödin
−→
samt 4[OQ].
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Exempel 2
O och en bas
P, Q, R i detta
P = (1, 3, 0), Q = (2, 1, 3) och
Exempel 2: Antag att vi i ett rum valt origo
u = (u 1 u 2 u 3 ).
Låt vidare punkterna
koordinatsystem ha koordinater
R = (−1, 0, −2).
Bestäm följande (uttryckt i det givna koordinatsystemet):
−→
[PR]
−→
samt 2[PR]
−→
+ 4[OQ].
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Exempel 3
Två vektorer
u
nns en skalär
och
k
v
i ett plan eller rum sägs vara parallella om det
sådan att
u = kv .
Exempel 3: Antag att vi i ett rum valt en bas
u = (u 1 u 2 u 3 ).
Avgör om följande vektorer är parallella:
 
3
(a)
u 1
och
0
0
 
 
u 1
u 4
3
(b)
 
−6

u −2
0
3
och
0
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Exempel 4
Exempel 4: Antag att vi i ett rum valt origo
u = (u 1 u 2 u 3 ).
O
och en bas
Givet punkterna med koordinater i detta
koordinatsystem
P = (1, 2, 4)
PQ .
och
Q = (2, 3, −1),
bestäm
mittpunkten på sträckan
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
ON-baser och högersystem
Om vi valt vektorerna
e = (e 1 e 2 )
i ett plan respektive
e = (e 1 e 2 e 3 ) i ett rum så att dessa vektorer är parvis ortogonala
(vinkel π/2 mellan dem) samt att de har länd 1, då sägs de utgöra
en ortonormal bas (ON-bas) till planet/rummet.
Om axlarna dessutom är orienterade som i nedanstående gur sägs
basen vara högerorienterad.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Rummen
Rn
och
Mn×1
För att fortsättningsvis slippa formulera satser separat för två
respektive tre dimensioner inför vi här rummen
Dessa är meningsfulla för alla dimensioner
mest är intresserade av
n
Rn
och
n = 2, 3.
Denition
Mängden av alla tal
a1 , a2 , . . . , an ∈ R,
n-tupler (a1 , a2 , . . . , an ),
Rn .
där
betecknas
Mängden av alla kolumnmatriser
 
a1
a2 
 
 .. 
.
an
betecknas
Mn×1 .
Tomas Sjödin
Mn×1 .
även om vi just nu
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Algebraiska operationer i
Rn
Vi inför följande operationer på
och
Rn
Mn×1
respektive
Mn×1 .
(a1 , a2 , . . . , an ) + (b1 , b2 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn ),
k(a1 , a2 , . . . , an ) = (ka1 , ka2 , . . . , kan ),
    

a1
b1
a1 + b1
a2  b2  a2 + b2 
    

 ..  +  ..  =  ..  ,
. .  . 
an
bn
an + bn
   
a1
ka1
a2  ka2 
   
k  .  =  . .
 ..   .. 
an
kan
Rummen
Rn
och
Mn×1
med ovanstående operationer är exempel
på vektorrum.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Det nns en uppenbar 1
−1
korrespondens mellan punkter och
motsvarande vektor som startar i origo.
Dessutom om vi identierar
(a1 , a2 , . . . , an )
med
 
a1
 a2 
 
 .. ,
.
an
så är ju
rummen ovan helt ekvivalenta på alla sätt.
Anledningen till att vi vill ha båda är att
Rn
är det i särklass
vanligaste rummet i matematiklitteraturen, men när vi sedan räknar
med matriser är det rätta sättet att skriva vektorer som
kolumnmatriser. I princip skulle det kanske vara bättre att göra
detta rakt igenom i kursen och skippa
Rn ,
men det som talar starkt
n
för R är att det är betydligt smidigare att skriva dessa vektorer,
samt att det är mer standardiserat.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Alla satser/begrepp som formuleras för
motsvarighet för
Mn×1 .
Rn
har en direkt
Denna omformulering lämnas åt
läsaren, och vi kommer hämningslöst använda dessa
motsvarande satser senare i kursen.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2
Exempel 5
Exempel 5: Visa att vektorerna
u = ((1, 1, 3) (3, 1, 0) (1, 0, 1))
3
utgör en bas till R samt bestäm koordinaterna till vektorn
(2, 0, −3)
i denna bas.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 2