Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt. Om vi i ett plan har två punkter P till Q , −→ Q , betecknas PQ . sträckan från P och Q, då låter vi den riktade ritad som en pil som startar i P och slutar i Vi låter nu mängden av alla sådana riktade sträckor med samma storlek och riktning (det är alltså underförstått att vi kan mäta detta) betecknas −→ [PQ]. Detta tar vi som denition av vektorer i planet. Givetvis kan motsvarande också göras i ett tredimensionellt rum. (För de som vet vad en ekvivalensrelation är kan vi säga att ha samma storlek och riktning är en ekvivalensrelation, och en vektor är helt enkelt en ekvivalensklass av riktade sträckor). Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Riktade sträckor och Geometriska vektorer Notera att det för varje vektor Q sådan att −→ u = [PQ]. u och punkt P nns en unik punkt En speciell vektor är nollvektorn, som har längd noll (och alltså inte kan sägas ha någon riktning). Denna betecknas 0, och vi har 0 −→ = [PP]. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 −→ u = [PQ] längden/normen |u| punkterna P och Q . Vi inför även för en vektor avståndet mellan Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 att vara Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Addition och multiplikation med skalär Addition av två vektorer −→ u = [PR] och −→ v = [RQ] denieras som −→ −→ −→ u + v = [PR] + [RQ] = [PQ]. ku är den ku har samma riktning om k < 0. Om k = 0 är Multiplikation med skalär (=reellt tal) denieras så att unika vektor som uppfyller u om k > 0, ku ku = 0. som |ku| = |k||u| och har motsatt riktning Vi inför även beteckningen −u := −1u , d.v.s. den vektor som har samma storlek men motsatt riktning. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Räknelagar Sats För alla vektorer u, v , w (i ett plan eller rum) och skalärer λ, µ gäller följande: (a) u + v = v + u, (b) u + (v + w ) = (u + v ) + w , (c) u + 0 = u, (d) u + v = 0 ⇔ u = −v , (e) 1u = u, (f ) λ(µu) = (λµ)u , (g) (λ + µ)u = λu + µu , (h) λ(u + v ) = λu + λv . Tack vare lag (b), (f ) ovan kommer vi skriva u + v + w , λµu eftersom det inte spelar någon roll i vilken ordning vi tar dessa operationer. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Baser och koordinatsystem Denition En ordnad uppsättning vektorer (u = (u 1 u 2 u 3 ) om varje vektor formen u = (u 1 u 2 ) i ett plan i ett rum) sägs utgöra en bas till planet (rummet) v i planet (rummet) på entydigt sätt kan skrivas på x v = x1 u 1 + x2 u 2 =: u 1 x2 x1 v = x1 u 1 + x2 u 2 + x3 u 3 =: u x2 . x3 Kolumnmatrisen x1 x1 x2 respektive x2 x3 kallas för v :s koordinater i basen Tomas Sjödin u Linjär Algebra, Föreläsning 2 Baser och koordinatsystem Per denition har alltså varje vektor unika koordinater i en bas, och varje sådan kolumnmatris svarar mot en unik vektor, så det nns en 1 −1 korrespondens mellan vektorer och dessa koordinatmatriser. Notera att två vektorer i ett plan (tre vektorer i ett rum) utgör en bas om och endast om de inte ligger på en gemensam linje (i ett gemensamt plan). Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Koordinater för punkter För att ge punkter koordinater behöver vi förutom en bas också en x referenspunkt i vårt plan/rum, som vi kallar origo och betecknar denna Om P O. är en punkt i planet/rummet och vi har −→ x [OP] = u 1 x2 respektive x1 −→ [OP] = u x2 x3 då säger vi att P har koordinater (x1 , x2 ) respektive (x1 , x2 , x3 ) i detta koordinatsystem (observera att detta alltså nu beror både på valet av u och O ). Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Algebraiska operationer När det gäller de algebraiska operationerna vi har infört blir dessa mycket enkla om vi uttrycker alla vektorer i samma bas a1 b1 a1 + b1 u +u =u , a2 b2 a2 + b2 u: a1 ka1 ku =u , a2 ka2 respektive a1 b1 a1 + b1 u a2 + u b2 = u a2 + b2 , a3 b3 a3 + b3 a1 ka1 ku a2 = u ka2 . a3 ka3 Det vill säga för att addera två vektorer adderar vi bara deras koordinater, och för att multiplicera en vektor med en skalär multiplicerar vi bara varje koordinat med denna skalär. Det är ganska lätt att övertyga sig om att detta stämmer överens med den geometriska denitionen av addition och multiplikation med skalär som vi införde ovan. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Exempel 1 Exempel 1: Antag att vi i ett plan valt origo u = (u 1 u 2 ). O och en bas P, Q, R i detta koordinatsystem P = (3, 2), Q = (4, 3) och R = (1, 1). Låt vidare punkterna ha koordinater Bestäm följande (uttryckt i det givna koordinatsystemet): −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ [OR], [OP], [OQ], [PQ], [OP] + [OR], −[OQ] Tomas Sjödin −→ samt 4[OQ]. Linjär Algebra, Föreläsning 2 Exempel 2 O och en bas P, Q, R i detta P = (1, 3, 0), Q = (2, 1, 3) och Exempel 2: Antag att vi i ett rum valt origo u = (u 1 u 2 u 3 ). Låt vidare punkterna koordinatsystem ha koordinater R = (−1, 0, −2). Bestäm följande (uttryckt i det givna koordinatsystemet): −→ [PR] −→ samt 2[PR] −→ + 4[OQ]. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Exempel 3 Två vektorer u nns en skalär och k v i ett plan eller rum sägs vara parallella om det sådan att u = kv . Exempel 3: Antag att vi i ett rum valt en bas u = (u 1 u 2 u 3 ). Avgör om följande vektorer är parallella: 3 (a) u 1 och 0 0 u 1 u 4 3 (b) −6 u −2 0 3 och 0 Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Exempel 4 Exempel 4: Antag att vi i ett rum valt origo u = (u 1 u 2 u 3 ). O och en bas Givet punkterna med koordinater i detta koordinatsystem P = (1, 2, 4) PQ . och Q = (2, 3, −1), bestäm mittpunkten på sträckan Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 ON-baser och högersystem Om vi valt vektorerna e = (e 1 e 2 ) i ett plan respektive e = (e 1 e 2 e 3 ) i ett rum så att dessa vektorer är parvis ortogonala (vinkel π/2 mellan dem) samt att de har länd 1, då sägs de utgöra en ortonormal bas (ON-bas) till planet/rummet. Om axlarna dessutom är orienterade som i nedanstående gur sägs basen vara högerorienterad. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Rummen Rn och Mn×1 För att fortsättningsvis slippa formulera satser separat för två respektive tre dimensioner inför vi här rummen Dessa är meningsfulla för alla dimensioner mest är intresserade av n Rn och n = 2, 3. Denition Mängden av alla tal a1 , a2 , . . . , an ∈ R, n-tupler (a1 , a2 , . . . , an ), Rn . där betecknas Mängden av alla kolumnmatriser a1 a2 .. . an betecknas Mn×1 . Tomas Sjödin Mn×1 . även om vi just nu Linjär Algebra, Föreläsning 2 Algebraiska operationer i Rn Vi inför följande operationer på och Rn Mn×1 respektive Mn×1 . (a1 , a2 , . . . , an ) + (b1 , b2 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn ), k(a1 , a2 , . . . , an ) = (ka1 , ka2 , . . . , kan ), a1 b1 a1 + b1 a2 b2 a2 + b2 .. + .. = .. , . . . an bn an + bn a1 ka1 a2 ka2 k . = . . .. .. an kan Rummen Rn och Mn×1 med ovanstående operationer är exempel på vektorrum. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Det nns en uppenbar 1 −1 korrespondens mellan punkter och motsvarande vektor som startar i origo. Dessutom om vi identierar (a1 , a2 , . . . , an ) med a1 a2 .. , . an så är ju rummen ovan helt ekvivalenta på alla sätt. Anledningen till att vi vill ha båda är att Rn är det i särklass vanligaste rummet i matematiklitteraturen, men när vi sedan räknar med matriser är det rätta sättet att skriva vektorer som kolumnmatriser. I princip skulle det kanske vara bättre att göra detta rakt igenom i kursen och skippa Rn , men det som talar starkt n för R är att det är betydligt smidigare att skriva dessa vektorer, samt att det är mer standardiserat. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Alla satser/begrepp som formuleras för motsvarighet för Mn×1 . Rn har en direkt Denna omformulering lämnas åt läsaren, och vi kommer hämningslöst använda dessa motsvarande satser senare i kursen. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2 Exempel 5 Exempel 5: Visa att vektorerna u = ((1, 1, 3) (3, 1, 0) (1, 0, 1)) 3 utgör en bas till R samt bestäm koordinaterna till vektorn (2, 0, −3) i denna bas. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 2