Uppgifter till Krafter

Uppgifter till
KRAFTER
Peter Gustavsson
Per-Erik Austrell
1
Innehåll
1 Introduktion till statiken ............................................................................ 3
A-uppgifter ............................................................................................................................3
2 Krafter....................................................................................................... 5
A-uppgifter ............................................................................................................................5
B-uppgifter ............................................................................................................................5
3 Moment..................................................................................................... 7
A-uppgifter ............................................................................................................................7
B-uppgifter ............................................................................................................................9
4 Jämvikt.................................................................................................... 11
A-uppgifter ..........................................................................................................................11
B-uppgifter ..........................................................................................................................14
Tyngdpunkt................................................................................................ 18
A-uppgifter ..........................................................................................................................18
B-uppgifter ..........................................................................................................................19
2
1 Introduktion till statiken
A-uppgifter
1−1A
Två vikter med massan m1 = 5 kg och m2 = 3 kg
hänger i linor varav den översta sitter fast i taket.
a) Rita ut de krafter som påverka den undre vikten
och beräkna kraften i den undre linan.
b) Rita ut de krafter som påverka den övre vikten
och beräkna kraften i den övre linan.
c) Förklara begreppet kraftjämvikt.
d) Modelleras kulorna som partiklar eller stela
kroppar? Motivera svaret.
3 kg
5 kg
1−2A
En vikt med massan m = 2 kg hänger i två linor, se figur (a). Genom att variera
lutningen för linorna kommer kraften i dessa att variera. Detta kan enkelt visas
genom att testa olika vinklar. Provkroppen finns i övningssalen. Utför detta test
och försök variera lutningen så att vinkeln är så liten som möjligt.
a) Rita ut de krafter som påverka vikten. Dels när linorna är vertikala och dels
när linorna lutar 60°, 45° och 30°. Rita noggrant och bestäm linkrafterna
grafiskt. Redovisa gärna i en och samma figur.
b) Vilken slutsats kan du dra av denna uppgift. Varför kan t.ex. inte linorna
vara horisontella?
c) Modelleras vikten som partikel eller stela kropp? Motivera svaret.
d) I figur (b) lutar den ena linan 60° och den andra 30°. Bestäm linkrafterna
grafiskt.
α
α
60°
30°
2 kg
2 kg
(b)
(a)
3
1−3A
Två personer med samma vikt står och balansera enligt figuren nedan.
a) Rita ut de krafter som påverkar var och en av personerna.
b) Namnge krafterna och ange vilka som är lika stora. Förklara varför
personerna inte faller.
c) Förklara varför personerna faller om de släpper varandras händer.
d) Om den ena personen väger betydligt mer än den andra vad händer då? Rita
en figur där de olika krafternas storlek och läge framgår för var och en av
personerna. Rita krafternas läge så noggrant som möjligt. Rangordna
krafterna storlek genom att rita olika långa pilar.
e) Modelleras personerna som partiklar eller stela kroppar? Motivera svaret.
4
2 Krafter
A-uppgifter
F = 2,9 N
y
2−1A
Kraften F har värdet 2,9 N. Kraften lutar 60°
till x-axeln. Bestäm kraftens komposanter Fx
och Fy med hjälp av en grafisk lösning.
60°
x
Fx = 1,45 N
Fy = 2,51 N
y
2−2A
10 N
Bestäm resultanten R till de två krafterna
grafiskt med hjälp av ett kraftparallellogram.
60°
8N
R = 9,16 N
θx = 109,1°
x
2−3A
Förklara vad som menas med verkningslinje
och rita ut denna för var och en av krafterna.
B-uppgifter
y
2−1B
F = 600 N
Kraften F har värdet 600 N. Kraften lutar 30°
till x-axeln. Beräkna kraftens komposanter Fx
och Fy .
Fx = 519,6 N
Fy = 300 N
30°
x
2−2B
Komposanten i y-riktningen Fy = 320 N.
Beräkna komposanten i x-riktningen Fx och
storleken av kraften F.
F = 346,7 N
Fx = 133,3 N
5
B
2−3B
Vikten med massan m orsakar en muskelkraft
F = 300 N. Kraftens verkningslinje passerar
genom punkterna A (50, 0) och B (0, 300).
Beräkna kraftens komposanter Fx och Fy .
FM = 300 N
Fx = 49,2 N
Fy = 295,8 N
A
2−4B
mg
y
Beräkna storleken av resultanten R och dess
riktning till de två krafterna som visas i
figuren.
Rx = -27,3 N
Ry = 65,9 N
R = 71,3 N
θ = 112,5°
100 N
15°
60°
x
80 N
2−5B
y
Verkningslinjen för kraften F = 2,4 kN
passerar genom punkterna A och B. Punkten A
har koordinaterna (-4, -1). Bestäm
koordinaterna för punkt B om kraftens
komposant Fx = 2,1 kN.
B
F = 2,4 kN
x
A (-4, -1)
T.ex. punkten (3, 3)
2−6B
b
Kraften F har komposanter i a-riktning och b-riktning.
Komposanten i b-riktningen Fb = 300 N. Beräkna
kraftens komposant i a-riktningen Fa samt storleken
av kraften F.
Fa = 459,6 N
F = 404,2 N
2−7B
För att kunna dra en bult ifrån t.ex. en träbalk
krävs att en kraft verkar i bultens längdriktning
(x-riktning). I detta fall påverkas bulten av två
krafter. Den ena kraften är 1,6 kN. Hur stor ska
kraften P vara för att den resulterande kraften ska
verkar längs x-axeln? Beräkna dessutom
resultantens storlek.
P = 2,15 kN
R = 3,20 kN
6
40°
F
60°
a
3 Moment
A-uppgifter
3−1A
I figuren visas hur en bult dras åt med hjälp av
en skiftnyckel. Rit ut i figuren
a) kraftens verkningslinje
b) hävarmen
c) momentpunkten
d) momentets riktning.
e) Ange hur momentet kring momentpunkten
beräknas.
F
3−2A
I figuren visas en kraft F och ett antal
momentpunkter. Rita ut kraftens
verkningslinje samt hävarmen till respektive
momentpunkt. Rita ut riktningen av momentet
som kraften ger kring respektive
momentpunkt.
B
A
D
3−3A
En skiftnyckel ska användas för att dra åt en
bult. I ena änden av skiftnyckeln är en lina
fastsatt. Genom att dra i linan kan bulten dras
åt. En provkropp finns i övningssalen.
a) Testa olika vinklar på linan och avgör när
momentet är som störst respektive minst.
b) Välj en vinkel α > 90° och en vinkel
α < 90°. Rita en figur för de olika fallen
och markera ut momentpunkt, hävarm,
kraft och verkningslinje.
c) Förklara varför momentet blir olika stort
när vinkeln varieras.
α
F
7
C
3−4A
Längst ut i ena änden av en trästav hänger en
vikt med massan m = 2 kg. Tyngdkraften
genom viktens masscentrum ger ett moment M
kring en punkt i handen. Genom att luta staven
vinkeln α förändras momentets storlek. En
provkropp finns i övningssalen.
a) Utför provningen och känn skillnaden när
vinkeln α varieras ifrån noll till 90°.
b) När är momentet som störst respektive
minst? Förklara varför momentets storlek
förändras när vinkeln ändras.
c) Rita en figur när staven lutar 60°. I figuren
ska hävarm och verkningslinje framgå.
Beräkna momentets storlek.
600 mm
m
α
Momentpunkt
3−5A
En pojke och flicka sitter på en gungbräda. Pojken väger 70 kg och sitter på ett
avstånd d1 = 1,2 m ifrån momentpunkten. Hur mycket ska flickan väga för att
gungbrädan ska vara i balans? Flickan sitter på ett avstånd d2 = 1,6 m.
Flickans vikt är 52,5 kg
Momentpunkten
3−6A
A
I figuren visas två krafter F och 2F samt tre
olika momentpunkter A, B och C.
a) Rita ut verkningslinjerna och hävarm till
respektive momentpunkt.
b) Vilken riktning har momentet orsakat av
de två krafterna kring respektive
momentpunkt?
2F
B
F
C
8
B-uppgifter
3−1B
200 mm
F = 20 N
Med hjälp av en skiftnyckel ska en bult dras åt.
Beräkna momentet M som kraften ger kring
centrum bult.
M = 4 Nm
30°
3−2B
200 mm
F = 20 N
Beräkna momentet M som kraften ger kring
centrum bult om kraften lutar 30°.
M = 3,46 Nm
3−3B
Beräkna momentet M som kraften
F = 250 N ger kring centrum bult.
M = 46,4 Nm
3−4B
A
0,3 m
En rektangulär platta är uppbyggd av ett antal
kvadrater med sidmåttet 0,3 m. En kraft verkar
i punkten A. Beräkna det moment som kraften
ger kring punkten B.
0,3 m
MB = 124,8 Nm
B
3−5B
Kraften P ger ett moment M = 1,2 kN kring
punkten O. Beräkna kraftens storlek.
P = 1,44 kN
9
150 N
3−6B
Kraften F = 12 kN med lutning 25° verkar
genom punkten A.
a) Beräkna det moment som kraften ger kring
punkten O.
b) Beräkna läget på punkten B så att kraftens
moment kring denna punkt blir noll.
MO = 13,1 kNm
B = (-2,58, 0)
10
F = 12 kN
y
A (6, 4)
B
O
x
4 Jämvikt
A-uppgifter
4-A1
Utför en friläggning för varje exempel. Krafterna ska ritas ut med rätt riktning. Försök
rangordna krafternas storlek genom att rita krafterna olika långa. Där ej annat anges
försummas tyngdkraften.
m
m
m
m
m
m
m
11
4-A2
Avgör om jämvikten är uppfylld för varje exempel. Om inte förklara varför och ändra det som
är fel. Ange vilka som kan modelleras som partiklar respektive stela kroppar.
S
S
mg
mg
mg
S
mg
mg
P
P
mg
mg
N
N
4-A3
En vikt med massan m = 10 kg hänger i en lina.
Linan löper runt en friktionsfri trissa. Visa att
kraften i linan F är lika stor innan som efter trissan.
F
m
4-A4
En stav med massan m lutar mot en vägg. I figuren visas staven frilagd.
Tyngdkraften mg är känd. Övriga kontaktkrafter är okända. Med hjälp av
jämviktsekvationer kan dessa beräknas. Förklara varför obekanta krafter kan
ritas med valfri riktning? Kan även tyngdkraften som är känd ritas med valfri
riktning?
P
P
eller
mg
mg
F
F
N
N
12
4-A5
Vinkelhävarmen i figuren belastas med två krafter.
Krafterna balansera varandra så att momentjämvikt gäller.
45°
Vinkelhävarmen sitter fast vid A med ett fixt upplag.
Beräkna den resulterande kraftens storlek och riktning vid
A
upplag A. Utför detta genom att anta olika riktningar på de
okända reaktionskrafterna Rx och Ry .
200 N
a) Välj riktning enligt figur (a)
b) Välj riktning enligt figur (b)
c) Välj riktning enligt figur (c)
d) Vilken slutsats kan du dra av denna uppgift?
45°
45°
100 N
200 N
100 N
Ry
A
Rx
Ry
45°
100 N
A
100 N
200 N
Rx
Ry
(a)
(b)
4-A6
Du håller en stav i ena handen. I den andra ändan
hänger en vikt med massan m = 0,6 kg. Stavens vikt
försummas. Du håller staven med tumme och
pekfinger som figuren visar. En provkropp finns i
övningssalen. Utför provningen samt beräkna
krafterna som påverkar tumme och pekfinger vid
a) litet avstånd mellan tumme och pekfinger
b) stort avstånd mellan tumme och pekfinger.
Genom att mäta tas de mått som erfordras.
4-A7
Ett massivt klot med massan 30 kg hänger i en lina
och stöder mot en glatt vägg. Linan bildar vinkeln
25° mot väggen. Frilägg klotet och rita ut de krafter
som verkar. Bestäm de obekanta krafterna genom en
grafisk lösning.
S = 325 N
N = 137 N
13
200 N
A
45°
(c)
Rx
4-A8
Du har ett antal kuber med massan m.
a) Frilägg och rita ut de krafter som påverka en kub.
b) Stapla en kub ovanför den andra. Hur mycket kan den övre kuben förskjutas i sidled utan
att den rasar? Frilägg var och en av kuberna och rita ut de krafter som verkar med rätt
riktning och läge. Ange även storleken för respektive kraft.
c) Stapla ytterligare en kub ovanför de andra två. Den översta kuben ska förskjutas så
mycket som möjligt i förhållande till den underliggande. Hur mycket kan den mellersta
kuben förskjutas utan att stapeln rasar? Frilägg var och en av kuberna och rita ut de krafter
som verkar med rätt riktning och läge. Ange även storleken för respektive kraft.
B-uppgifter
B
4-1B
En låda med massan 20 kg hänger i två linor.
Beräkna kraften i linorna.
45º
A
C
SAB = 277,5 N
SAC = 196,2 N
m =20 kg
4-2B
En kula med massan 50 kg vilar mot ett lutande plan
och en vertikal vägg. Samtliga ytor är glatta. Frilägg
kulan, rita ut krafternas verkningslinje samt beräkna
kontaktkrafterna. I vilken punkt skär krafternas
verkningslinje varandra?
NA = 566 N
NB = 283 N
14
4-3B
En maskin med massan 200 kg hänger i två linor.
Beräkna erforderlig kraft P för att maskinen ska
befinna sig i jämvikt. Trissan är friktionsfri.
P = 1758 N
4-4B
En balk har massan 50 kg per meter. Balken belastas
av en låda som väger 300 kg. Beräkna
reaktionskrafterna (upplagskrafterna) vid A och B.
Ay = 1864 N
Bx = 0
By = 2845 N
4-5B
Totalvikten för balken är 500 kg. Balken som är fast inspänd vid O belastas
med två krafter och ett moment. Beräkna reaktionskrafterna vid O.
Ox = 1,5 kN
Oy = 6,1 kN
MO = 7,56 kNm
4-6B
En person som väger 90 kg sätter sig på en
bordskant. Bordet väger 15 kg. Beräkna det
minsta avståndet x som gäller vid jämvikt
(precis innan bordet tippar).
x = 91,7 mm
15
4-7B
Beräkna den resulterande kraften vid A om jämvikt
ska gälla. Egentyngden försummas.
R = 1104 N
4-8B
En hammare används för att dra ut en spik. Beräkna
utdragskraften T för spiken och beräkna storleken av
kontaktkraften vid A.
T = 800 N
A = 755 N
4-9B
När pojken står själv på vågen utan hjälpmedel
väger han 70 kg. För att minska den vikt som vågen
visar lyfter han upp sig själv med hjälp av en
anordning, se figuren. Vad visar vågen om han dra i
linan med kraften 75 N.
Vågen visar 36,8 kg
16
4-10B
Beräkna den kraft som påverkar bulten i punkt A.
A = 525 N
4-11B
En vikt hänger i en anordning bestående av linor och
taljor. Beräkna kraften F då vikten väger 20 kg.
Taljorna är friktionsfria och linornas lutning kan
försummas.
F = 49,05 N
m = 20 kg
4-12B
Balken är fast inspänd vid A och den totala vikten är
200 kg. En person som väger 80 kg belastar balken
genom att dra i linan med kraften 300 N. Repet
passera genom ett hål i balken. Beräkna
reaktionskrafterna vid A.
MA = 4937 Nm
17
Tyngdpunkt
A-uppgifter
8-1A
I figuren visas en triangel, cirkelsektor och en halvcirkelbåge. Beräkna tyngdpunktens läge.
Triangeln: x tp = 29,7 mm, ytp = 8,33 mm
Cirkelcektorn: x tp = 19,8 mm, ytp = 0
Halvcirkelbågen: x tp = 6,75 mm, ytp = 6,75 mm
8-2A
I ena änden av en trästav hänger en vikt på 1 kg och i den andra änden 2 kg. Provkropp
finns i övningssalen.
a) Tyngdpunktens läge kan bestämmas genom att hitta den punkt där trästaven kan
balanseras med t.ex. ett snöre, se figuren. Utför provningen och bestäm
tyngdpunktens läge.
b) Tyngdpunktens läge sammanfaller med läget för resultanten. Utnyttja det du lärt dig
från resultantsystem och försök komma fram till en formel som kan användas vid
tyngdpunktsberäkning.
1 kg
2 kg
18
8-3A
I figuren visas en sammansatt tvärsnittsyta. Beräkna tyngdpunktens läge.
xtp = 200 mm
ytp = 147 mm
B-uppgifter
8-1B
Ett tvärsnitt har formen enligt figur. Beräkna
tyngdpunktens läge.
xtp = 2,99 mm
ytp = 0 mm
8-2B
Ett tvärsnitt har formen av en triangel, se figur.
Dela upp triangeln i fem rektanglar med
samma bredd. Rektanglarna utgör nu ett
sammansatt tvärsnitt.
a) Bestäm höjden på varje rektangel och visa
att ytp går mot H/3 och att x tp går mot B/3.
b) Genom att dela upp tvärsnittet i ett stort
antal rektanglar blir svaret mer exakt. Att
beräkna tyngdpunkten på detta sätt är
tidskrävande. Utnyttja istället
integralkalkyl för att beräkna
tyngdpunktens läge.
19
H=2m
B=5m
8-3B
Beräkna tyngdpunktens läge för det sammansatta tvärsnittet.
xtp = 80 mm
ytp = 39,3 mm
8-4B
Beräkna tyngdpunktens läge för det sammansatta tvärsnittet.
xtp = 44 mm
ztp = 39 mm
20