För matematiken i tiden

Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, Miljö och Samhälle
Examensarbete
10 poäng
För matematiken i tiden
- matematiken i tidslinjer
Mathematics in time-lines
Hedvig Francke & Nina Lundgren
Lärarexamen 140 poäng
Matematik och lärande
Höstterminen 2004
Handledare: Nanny Hartsmar
Examinator: Anders Jakobsson
Abstrakt
Vi har undersökt vilka delar inom matematiken som kan hjälpa eleverna att utveckla sin
förståelse för ”lång tid” och tidslinjer. I analysen diskuteras resultaten utifrån utvecklingspsykologiskt perspektiv/strukturteori (Piaget), sociohistorisk/sociokulturell teori
(Vygotskij) och konstruktivistisk teori (von Glasersfeld). Undersökningen har genomförts med två grupper elever i årskurserna 3-5 där vi har använt oss av intervjuer och
undervisningsförsök för att få svar på våra frågor. Gruppernas resultat har analyserats
och jämförts med varandra för att försöka hitta den matematik som har hjälpt eleverna
att förstå tidslinjer och dess användningsområden, eller som vållat dem bekymmer. De
matematiska delar som synliggjordes i undersökningen är bland annat proportionalitet,
positionssystemet, stora tal och negativa tal. Vi har också funnit att i arbetet med abstrakta begrepp som tid, är dialogen mellan elever och lärare-elever av stor betydelse för
kunskapsutvecklingen.
Nyckelord: avstånd, dialog, matematik, negativa tal, proportionalitet, samtal, stora tal,
tid, tidslinjer
Innehållsförteckning
1
2
Inledning..................................................................................................................7
1.1
Syfte..................................................................................................................8
1.2
Problemformulering .........................................................................................9
1.3
Arbetets disposition ..........................................................................................9
Teori.......................................................................................................................10
2.1
Barns kognitiva utveckling/kunskapsbegreppet .............................................10
2.2
Kunskapspaketet.............................................................................................14
2.3
Barn och tidsuppfattning ................................................................................15
2.4
Barn och tidslinjer ..........................................................................................18
2.5
Klassrumsmiljöer............................................................................................20
2.6
Styrdokument .................................................................................................21
2.6.1
Kursplan för matematik ..........................................................................22
2.6.2
Kursplan för svenska ..............................................................................23
2.6.3
Kursplan för biologi ...............................................................................23
2.6.4
Kursmål för fysik....................................................................................23
2.6.5
Kursmål för samhällsorienterande ämnen ..............................................23
2.7
3
4
Sammanfattning av teorin...............................................................................24
Metod .....................................................................................................................27
3.1
Urval ...............................................................................................................27
3.2
Datainsamlingsmetod .....................................................................................27
3.3
Undervisningsförsök.......................................................................................30
3.4
Procedur..........................................................................................................32
3.5
Databearbetningsmetod ..................................................................................32
3.6
Analysmetod...................................................................................................33
3.7
Tillförlitlighet .................................................................................................34
3.8
Metoddiskussion.............................................................................................34
Resultat ..................................................................................................................36
4.1
Förintervju ......................................................................................................36
4.1.1
Frågor kring begreppet tid ......................................................................36
4.1.2
Tidslinje ..................................................................................................38
4.2
Undervisningsförsök.......................................................................................42
4.3
Tidslinjernas matematik .................................................................................53
4.3.1
Proportionalitet .......................................................................................53
4.3.2
Positionssystemet ...................................................................................57
4.3.3
Stora tal...................................................................................................59
4.3.4
Negativa tal.............................................................................................60
4.3.5
Multiplikationshopp ...............................................................................62
4.3.6
Avrundning.............................................................................................64
4.4
5
Slutintervju .....................................................................................................65
4.4.1
Frågor kring begreppet tid ......................................................................65
4.4.2
Tidslinjer.................................................................................................66
Analys ....................................................................................................................71
5.1
Matematiksvårigheter .....................................................................................71
5.2
Klassrumsmiljöer............................................................................................73
6
Diskussion..............................................................................................................77
7
Slutord ...................................................................................................................81
8
Litteraturlista........................................................................................................82
Bilaga .............................................................................................................................85
1
Inledning
Redan i ett tidigt skede i vår utbildning upptäckte vi att elever ofta har problem med att
förstå tidslinjer och ”lång tid”. Kommentarer som ”fanns det dinosaurier när du var liten” eller ”träffade du Jesus” har vi fått höra från elever under vår verksamhetsförlagda
tid. Dessa och andra liknade kommentarer fick oss att inse att detta var något som
många elever har svårt för att förstå. Tidslinjer hade vi sett ute i skolorna, men vi var
osäkra på hur pass mycket stöd och konkretion de egentligen var. I många fall verkade
det som tidslinjerna främst användes som dekoration och inte som ett verktyg. Vi började därför fundera på hur man matematiskt kunde hjälpa dessa elever att utveckla sin förståelse för ”lång tid”. I arbetet med tidslinjer ligger flera olika matematiska områden
som genom att synliggöras och bearbetas kan underlätta elevernas förståelse av dessa.
Under vår utbildning har vi insett betydelsen av att arbeta både ämnesövergripande, och
också kring begrepp som kan rymma många olika aspekter av lärande. I Lpo 94 definieras kunskapsbegreppet i fyra former; fakta, förståelse, färdighet och förtrogenhet. För att
öka förståelsen för tid och tidslinjer hos elever måste vi utgå ifrån deras förförståelse
(Gröning 1993). Utifrån förförståelsen kan vi bygga vidare och belysa vårt område ur
flera olika perspektiv och aspekter. Det är viktigt att ge eleverna en kunskapsbredd men
också ett djup som är nödvändigt för verklig förståelse. Eleverna ska få ta del av många
olika begrepp och områden, men vi vill också att de ska titta närmare på några noga utvalda kunskapsområden och fördjupa sig i de kunskaper och perspektiv som dessa områden innehåller. Dessa djupare kunskaper kan sedan skapa nya strukturer till andra
kunskapsfält.
I den verksamhet som vi har varit i under vår verksamhetsförlagda tid har arbetslag ofta
uteslutit matematiken i tematiskt arbete. Pedagogerna har svårt att hitta matematik i
skilda ämnesområden. Alla ämnesområden ska, enligt Lpo 94, ha ett historiskt perspektiv.
I all undervisning är det angeläget att anlägga vissa övergripande perspektiv. Genom ett historiskt perspektiv kan eleverna utveckla en beredskap inför framtiden
och utveckla sin förmåga till dynamiskt tänkande. (Lpo 94 sid. 7 f.)
7
Eftersom historia bygger på tidsaspekterna då-nu-sedan tror vi att matematiken skulle
kunna underlätta och skapa förståelse för området tid. Tidsaspekten återkommer i andra
kursmål i andra ämnen och gör därför förståelsen för begreppet angeläget. Genom ämnesövergripande arbetssätt kan vi också visa hur världen ser ut. Då världen inte är uppdelad i ämnesområden med knivskarpa gränser emellan kan ett ämnesövergripande tema
avbilda verkligheten så som den ser ut. Tid kan vara ett sådant arbetsfält. Eftersom tid
dessutom är ett så abstrakt begrepp, kanske matematik är det enda medlet vi har för att
kunna förstå detta abstrakta och av människan skapade begrepp. Algebran fungerar genom att låta eleverna upptäcka enkelhet och struktur i komplexa sammanhang. Tydligast
är kanske formler, diagram och tabeller som är ett exempel på hur matematiken går in
och förklarar komplicerade samhällsstrukturer på ett för de flesta begripligt sätt.
Vi har i vårt arbete valt att titta på elevernas svårigheter med att förstå ”lång tid” och
tidslinjer. Vår definition på ”lång tid” är sådan tid man inte använder klockan till att utläsa. Det innebär alltså dagar, veckor, månader, år, decennier, sekel, millennium och så
vidare. Kort tid avses i detta arbete sådan tid som timmar, minuter och sekunder. Vår
definition på ”tidslinje” är en rät linje med tidsindelningar i kronologisk ordning enligt
den konvention som används av historiker. Inom matematiken används ofta begreppet
tidsaxel men då vårt arbete utgår från ett ämnesövergripande perspektiv har vi valt att
använda den historiska benämningen. I vårt arbete har vi också använt oss av begreppet
”stora tal”, med detta menar vi tal där antalet nollor kan ställa till bekymmer. Vi menar
alltså inte tal som får ett annat värde beroende på siffrornas placering i talet, detta handlar istället om positionssystemet. 1500, 150 000 och 1500 000 är enligt vår definition
exempel på stora tal.
1.1
Syfte
Syftet är att identifiera den matematik som kan hjälpa elever att utveckla förståelsen för
”lång tid” och tidslinjer. Tidslinjer är ett sätt att konkretisera tid och lyckas vi med att få
eleverna att bättre förstå tidslinjer innebär det att eleverna kan drar nytta av detta redskap. Genom tidslinjerna kan eleverna utveckla sin förståelse för tiden som förflutit i
form av varaktighet och succession, och orsakssammanhang. Innan vi påbörjade undersökningen försökte vi komma fram till vilka matematiska kunskaper som krävs för att
förstå tidslinjer och vi kunde urskilja proportionalitet, stora tal och negativa tal. Vi vill
8
hitta fler nyckelfrågor och nyckelbegrepp som kan vara användbara i ett arbete med syfte att fördjupa elevers förståelse för ”lång tid” och tidslinjer.
1.2
•
Problemformulering
Vilka delar inom matematiken kan hjälpa eleverna att utveckla sin förståelse för
”lång tid” och tidslinjer?
•
Hur ser det matematiska "kunskapspaketet" (Ma 1999) ut i arbetet kring ”lång tid”
och tidslinjer? Mas kunskapspaket urskiljer kunskapsområden kopplade till ett matematiskt begrepp som krävs för att begreppet ska kunna förstås i sin helhet och beskrivs närmare under punkten 2.2.
•
Finns det några skillnader i kunskaper om ”lång tid” och tidslinjer mellan de två
grupperna i vår undersökning? Vilka är det, och varför?
1.3
Arbetets disposition
I kapitel 2, Teori tar vi upp den teoretiska bakgrund vi har utgått från inom de områden
som berör tid och kunskap. Exemplifieringar ur kursplaner och annan litteratur ges. I
kapitel 3, Metod, beskrivs genomförandet av undersökningen. Undersökningsgruppen
presenteras och intervjufrågorna och syftet med dem redovisas. I kapitel 4, Resultat,
finns en sammanställning av intervjusvaren och av väsentliga delar av undervisningsförsöken. I kapitel 5, Analys, analyseras resultatet både angående de matematiska delarna och angående orsakerna till gruppernas skillnader. I kapitel 6, Diskussion, diskuteras
problemställningarna i relation till resultaten och analysen. Arbetet avslutas med Kapitel
7, Slutord, där våra slutliga reflektioner över arbetet redovisas.
9
2 Teori
I det följande behandlas två teorier som har betydelse för studien, Piagets (1968) strukturteori och Vygotskijs (2001) sociohistoriska teori. I föreliggande arbete används i det
följande begreppet sociokulturell teori så som det definieras av till exempel Dysthe
(2001) och Säljö (2000). Då våra resultat och analyser kommer att kopplas till konstruktivismens syn på lärandet avhandlas deras grunddrag nedan. Mas kunskapspaket är också av betydelse då arbetet kommer att innehålla ett kunskapspaket om ”lång tid” och
tidslinjer.
Vi har tagit avstamp i Hartsmars doktorsavhandling (2001). Utifrån hennes resultat och
analyser har vi byggt upp våra egna tankar om hur matematiken skulle kunna tillföra det
svåra ämnet ”tid” ytterligare en dimension. Resultatet från den Nationella kvalitetsgranskningen (1998) om A-, B- och C miljöer används då resultatet analyseras. Styrdokument (2000) som på något sätt tar upp tid, tidslinjer och den matematik som är kopplad till detta avhandlas i slutet av teoridelen. Som avslutning på teoridelen ges en sammanfattning samt tankar om hur vi har kopplat ihop de olika teoridelarna.
2.1
Barns kognitiva utveckling/kunskapsbegreppet
Piaget (1968) lägger stor vikt vid det han kallar assimilation och ackommodation. Assimilation är den aktiva anpassningsprocess barnet går igenom när han/hon möter nya
intryck eller påverkningar. Barnet försöker inlemma de nya intrycken i gamla tankemönster och redan fastlagda tankestrukturer. Om detta inte skulle visa sig möjligt måste
barnet ändra sina tankestrukturer och mönster så att de nya erfarenheterna kan förenas i
barnet. Detta är ackommodation. Denna adaption förklarar hur barnet lär och utvecklas.
Där Piaget låter lärandet och den kognitiva utvecklingen vara något individuellt och
närmast självstyrande, betonar Vygotskij (2001) den sociala faktorn och låter det vara
utgångspunkten i sina teorier. Vygotskij menar att all mänsklig kognition är sociokulturellt betingad och att detta samspel med omgivningen till och med styr vad du ska tänka.
Detta måste innebära att intellektuell utveckling inte kan vara universell. Tvärtemot Piaget säger Vygotskij att en allmängiltig utvecklingsspiral inte kan gälla för alla, utan individens ursprung och den sociala kontexten har betydelse (ur: Evenshaug och Hallen
10
2001 sid. 135 ff.). Kunskapsutveckling, hur barnet lär sig, sker enligt Vygotskij genom
den närmaste utvecklingszonen. Varje människa har en zon runt sig som består av de
möjligheter vi har att lära om ett specifikt ämne eller att erövra ny kompetens. Om individen får rätt hjälp av någon i sin omgivning, kan han/hon erövra ny kunskap. Därmed
har en ny närmaste utvecklingszon bildats (Williams m.fl. 2000).
Piaget menar att en kognitiv utvecklingsprocess verkar inifrån individen. Vygotskij
(2001) däremot säger att processen är avgörande utifrån de sociala strukturer individen
har runt omkring sig och att språk- och kunskapsutveckling går hand i hand. ”Människan föds in i och utvecklas inom ramen för samspel med andra människor” (Säljö
2000, sid. 66). Säljö har tolkat Vygotskij och jämför hans teorier med Piagets. Så här uttrycker han orden och begreppens betydelse för vår kognitiva utveckling, hur språket
utgör länken mellan barnet och hans/hennes omgivning:
Detta innebär att barnet tänker med och genom de intellektuella redskap i form av
språkliga uttryck som det stött på och tagit till sig i samspel med andra. Eller, annorlunda uttryckt, människor lever på kunskaper och insikter som de lånat från
andra. Kommunikation föregår tänkande och att lära sig ett språk är att lära sig att
tänka inom ramen för en viss kultur och en viss samhällelig gemenskap.” (a.a., sid.
67)
Detta tolkar vi som att pedagoger, genom att utnyttja språkets alla bottnar och aspekter,
kan utmana elevers tänkande och därmed verka för en gynnsam miljö för kognitiv utveckling. Undervisningen måste bestå av öppna frågor, eleverna måste tillåtas diskutera
med varandra och språkutveckling måste genomsyra alla skolans ämnen. Pedagogen
måste vara medveten om hur språket används och hur en språklig utveckling ser ut. All
typ av litteratur och språkliga former måste få utrymme i undervisningen; facklitteratur,
poesi, drama, bild, nyheter, associationer och så vidare. Begrepp knutna till ämnesområdet måste synliggöras för att kunna tydliggöras.
von Glasersfeld (den radikala konstruktivismens grundare) klargör i Matematik och reflektion (1998) om assimilationens och ackommodationens omedvetna struktur. En konsekvens av detta tolkar von Glasersfeld som att kunskap aldrig kan vara en ”avbildning”
av den verkliga världen. Kunskap ska först genom det filter av subjektiva bedömningar
11
som vi gör när vi tar till oss nya erfarenheter. Assimilation och ackommodation är ett
exempel på att det vi möter måste genom vår egen erfarenhetsbank innan vi kan ta det
till oss och inkorporera det till att bli en del av oss och vårt medvetande. Ernest (1998),
som skriver om socialkonstruktivismen, menar att barnet/individen hela tiden eftersträvar jämvikt mellan assimilation och ackommodation och att det måste till en störning
för att rubba jämvikten. Ett barn behöver alltså på något sätt rubbas i sin ”kognitiva”
jämvikt för att få den stimuli som krävs för att komma vidare i den kognitiva utvecklingen.
Konstruktivismens grundpelare är att barnet på något sätt ska ”konstruera” sina kunskaper. Definitionen på kunskap är därför viktig, hur vi förhåller oss till begreppet och hur
vägen till kunskapsutveckling kan eller ska se ut. Inom konstruktivismen betecknas
kunskap som en samling begreppsliga strukturer som ska vara livsdugliga i den tankeoch språktradition vi befinner oss i (a.a.). Just ordet ”livsduglig” återkommer ofta i definitionen av kunskap i texter där konstruktivismen behandlas. Med ett konstruktivistiskt perspektiv på kunskapsutveckling är det genom konstruktioner som vi tillägnar oss
kunskap, men också genom våra erfarenheter och tolkningar. Med ett sådant synsätt finner vi inga rena sanningar eller enkla svar på frågan om hur vår värld är beskaffad. I ett
klassrum där pedagogen anammat konstruktivismens idéer handlar det om att införliva
ny kunskap i den personliga erfarenhetsvärlden och att tolka den så, att vi kan göra den
användbar för oss. Undervisning byggd på elevernas förförståelse är alltså av största betydelse för en gynnsam kunskapsutveckling. Ernest har sammanfattat det han tror är
konstruktivismens konsekvens i en pedagogisk miljö; det handlar om ”kunskapens
språkliga grundval, om framhävande av diskussioner, samarbete, underhandlingar och
gemensamma uppfattningar”, om att ingen ”kungsväg” finns till sanningen eftersom vi
filtrerar våra intryck genom våra personliga erfarenheter (Ernest sid. 30 f.). Dessa konsekvenser kan tolkas som en fortsättning på Vygotskijs teorier eftersom konstruktivismen har utvecklat Vygotskijs tankar om vikten av det sociala samspelet i lärandesituationer (Dysthe 2001).
”Språk och kommunikation är grundläggande element i läroprocesserna”, skriver
Dysthe (2001 sid. 31). Vidare skriver hon att det sociokulturella perspektivet på lärande
sker genom samarbete, att interaktionen är helt avgörande för lärande. I ett sociokulturellt perspektiv är lärandet alltid kollektivt, med en tyngdpunkt på kontexten. Om en
12
kontext innebär autentiska aktiviteter i skolan (i motsats till konstruerade skolboksproblem), är en tolkningsfråga, både i vad autenticitet innebär eller vad som läggs i begreppet, men också i hur detta kan låta sig göras (Dysthe 2001). På enheten Natur, Miljö,
Samhälle på Lärarutbildningen i Malmö pågår en forskning om dialogens betydelse för
kunskapsutveckling. Studien är gjord på matematikers, naturvetares och geografers arbeten under en termin (Malmberg & Svingby 2004). Resultatet av forskningen kommer
att, precis som Dysthes resultat, visa dialogens betydelse för inlärning och kunskapande.
Gustavsson (2002) beskriver i artikeln Vad är kunskap, skillnaden mellan information
och kunskap i kvalitativa termer. Information består av uppgifter som inte behöver något sammanhang, medan kunskap är att förstå, tolka och sätta det in i rätt sammanhang,
eller att hitta ett sammanhang där det kan sättas in. Säljö (2000) bekräftar detta när han
beskriver kunskap som något situerat men han säger också att i skolans värld är kunskap
inte alltid något som är överförbart till andra miljöer. Ett konstaterande som Säljö menar
inte är eftertraktansvärt, eftersom överföringen, ”transferen” mellan dessa världar eller
användningsområden inte är helt okomplicerade.
Carlgren och Marton (2001) beskriver hur kunskapssynen har förändrats i den svenska
skolan. Den rådande kunskapssynen är i huvudsak fortfarande kunskap som en ”substans”, något som eleverna ska ”ta in”. Carlgren och Marton pläderar för en annan typ
av kunskap som också bättre ska fungera med livet efter skolan.
I stället för att se kunskap som en substans kan man uppfatta den som en relation
mellan människan och världen. Det innebär att kunskap ses som uttryck för människans (elevens) förhållande till världen snarare än som något som ska tas in eller läras in. En persons kunnande kommer till uttryck som särskilda sätt att erfara världen. (a.a. sid. 195)
Carlgren och Marton liknar tillägnandet av kunskap som en vandring i ett landskap, ju
längre man vandrar där desto fler nyanser och detaljer förmår man urskilja. Detta sätt att
betrakta kunskapandet förutsätter ett ämnesövergripande arbetssätt. Världen utanför
skolan är inte uppdelad i ämnesområden. Vi finner inte biologin i en del av landskapet,
kemin i en annan, svenska i en tredje del och så vidare. Kontentan av Carlgrens och
13
Martons resonemang blir en omprövning av kunskapsbegreppet, en öppen diskussion
kring vilken kunskap som behövs, för individen men också för samhället.
Vi behöver en kunskapsvision för skolan som gör det möjligt att ta itu med frågan
vilka kunskaper människor behöver för att leva ett gott liv i det samhälle de själva
ska var med och förändra – eller vilka slags människor samhället behöver för att bli
ett gott samhälle. Den ska också visa varför det är viktigt med en skola, vad det är
man kan lära sig just där och inte någon annanstans och varför. (Carlgren och Marton 2001, sid. 207)
2.2
Kunskapspaketet
Ma (1999) har jämfört kinesiska och amerikanska pedagogers syn på matematik och
matematikundervisning för att om möjligt ta reda på varför kinesiska elever lyckas bättre på matematiska tester jämfört med sina amerikanska kamrater. Resultaten av hennes
undersökningar visar att de kinesiska lärarna bättre behärskar matematiska färdigheter,
men också att de har bättre begreppsmässiga kunskaper. Som exempel lyckades inte de
amerikanska lärarna ge ett exempel på vad division med bråk kunde ha för matematisk
händelse som grund. De kinesiska lärarna kunde hitta flera olika händelser för samma
matematiska problem. De visade också en större förståelse för matematiska färdigheter.
Algoritmer kunde i alla delar förklaras av de kinesiska lärarna. De amerikanska lärarna
klarade av hantverket men visste inte alltid varför de gjorde som de gjorde. De kinesiska
lärarna lyckades därför sätta in matematiska problem i olika kontexter vilket berikade
eleverna med fler valmöjligheter, både när det handlade om uträkningsstrategier och
tolkningsalternativ.
Ma menar att varje lärare bör utveckla ”kunskapspaket” inom varje område som ska introduceras. I kunskapspaketet ska alla de delar eleverna behöver behärska för att kunna
ta till sig det nya området finnas, men delar som behöver bearbetas under arbetets gång
ska också finnas med. Detta ger läraren en överblick men också ett fokus, och är nödvändigt för att läraren ska kunna presentera olika lösningsförslag och/eller tolkningsalternativ. Men kunskapspaketet är också nödvändigt för att kunna utvärdera elevernas
kunskapsinhämtande och utveckling. Varje lärare måste kunna hitta i vilka delar en elev
brister när han/hon inte förstår. Kunskapspaketet är ett verktyg i detta arbete. Ma näm-
14
ner inte i sin bok vikten av att knyta an undervisningen till elevernas förförståelse, men
genom att tolka figuren nedan är Mas kunskapspaket en kartläggning av elevernas förkunskaper. Här nedan visar vi ett av Mas exempel på ett kunskapspaket, här gällande
division av bråk.
Figur 1. Liping Mas kunskapspaket gällande division av bråk (Ma 1999, sid. 77)
I den rektangulära rutan överst finns huvudämnesområdet, det som kunskapspaketet
handlar om. I den gråfärgade ovalen under rektangeln har Ma skrivit det kunskapsfält
som direkt knyter an till, som i detta fall, division med bråk. Kunskap om multiplikation
med bråk är en förutsättning för att klara av division med bråk. Vidare ska figuren tolkas som att man kan följa vad som krävs för att förstå multiplikation med bråk. Varje
ämnesområde kräver sina kunskaper och pedagogens ansvar blir att kartlägga hur dessa
kunskaper är befästa hos eleverna.
2.3
Barn och tidsuppfattning
I begreppet tid finns aspekter som behöver särskiljas från varandra, forskare gör en
skillnad mellan upplevd tid och den tid som vi kan mäta. Piaget (1968) delar upp tiden i
3 observerbara fält, vari tiden delvis kan förstås; samtidighet, succession och varaktighet. Utifrån dessa tre tidsindelningar visar Piaget hur barn i cirka 12 års ålder förstår det
abstrakta begreppet tid. När dessa tre tidsindelningar är synkroniserade och barnet förstår dem och deras inbördes förhållande till varandra, har barnet nått den mognad som
gör att han/hon kan förstå abstraktionen tid. Dessa tre indelningar finns beskrivna även
av Oakden och Sturt så tidigt som 1922.
I Piagets stadieindelning (1968) sker en utveckling från det senso-motoriska stadiet vidare mot det motoriska och konkret operationella stadiet till det abstrakta (formellt ope15
rationella stadiet) och dessa stadieindelningar sker i en given ordning. När barnet har
nått det konkret-operationella stadiet kan barnet förstå viktiga storheter, såsom till exempel längd, massa och area men barnet är fortfarande beroende av konkreta situationer. Konstantbegreppet har utvecklats under stadiet och innebär att barnet kan förstå
oförändligheten. I den formellt-operationella perioden som brukar infalla vid cirka elva
till tolv års ålder utvecklar barnet sin förmåga att föra logiska resonemang som inte alltid ter sig konkreta. Abstrakta resonemang och abstrakt tänkande är möjligt från den här
perioden. Härifrån fortsätter sedan utvecklingen in i vuxenvärlden. Piaget visar genom
psykologiska experiment hur barn genom adaption ständigt utvecklar sin begreppsvärld.
Med ett konstruktivistiskt perspektiv på kunskapsutveckling, innebär detta, att barn genom att observera och manipulera sin omgivning och genom att konstruera och problematisera begrepp kan skapa sig en djupare förståelse för tid (Säljö 2000). Piaget säger å
andra sidan att den mognad som sker stegvis inte kan forceras. Piaget menar också att
varje stadium följer på ett annat på förhand givet stadium. Därför måste en viss mognad
infinna sig innan abstrakta begrepp kan eller bör tas upp i skolan. Eftersom tid i stor utsträckning är ett abstrakt begrepp måste barnet, för att förstå detta, utgå ifrån konkreta
handlingar för att kunna bygga upp strukturer kring det logisk-matematiska begreppet
tid. Detta kan, enligt Piaget, ske först vid 11-12 års ålder, då är de satslogiska strukturerna klara (1968). När barnet förstår de satslogiska strukturerna är han eller hon moget
att förstå enkel orsakssammanhang. Satslogiken är den vanligaste av våra logiker, den
mest grundläggande. Piaget menar att det är först i det här stadiet barn kan förstå implikationer (följder, konsekvenser) och disjunktioner (antingen eller), två nödvändiga begrepp för att kunna gå in i abstraktion. När barnet kan se konsekvenser och förstå att livet inte är antingen svart eller vitt, har ytterligare en dimension lagts på barnet. Den här
mognaden infinner sig efter det att barnet har gått igenom det konkret operationella stadiet Tänkandet har vid den här åldern blivit hypotetiskt deduktivt vilket innebär att barnet kan befria sig från konkreta anknytningar och kräver heller inte direkt stöd i iakttagelser av verkligheten. Tidmätning är något som skapats av människan och begreppet
tid ett abstrakt begrepp som rymmer stora bitar av erfarenhetsmässig förståelse (Piaget
1968). Detta tolkar vi som ett motsatsförhållande. Den erfarenhetsmässiga förståelsen
står i kontrast till Piagets annars närmast biologiska stadieindelning. I erfarenheten ligger det som Vygotskij menade var socialt betingat, beroende av omgivningen. Om Piaget menar att begreppet tid rymmer stora erfarenhetsmässiga komponenter så möjliggörs
förståelsen av detta begrepp genom den stimulans vi utsätter våra elever för, precis det
16
som Vygotskij menade när han utvecklade sina teorier om den närmaste utvecklingszonen.
Den kritik som finns riktad mot Piagets utvecklingsteori tar upp avsaknaden av dialogens betydelse i barnets utveckling (Donaldson 1985). Den tar också upp det faktum att
Piaget utförde sina studier i en klinisk miljö utan hänsyn till det sociala sammanhang
barnet befinner sig i. Det material Piaget använde sig av hade ingen anknytning till elevernas verklighet. Donaldson (1985) har låtit göra om Piagets försök i ett sammanhang
som var känt för barnet och uppvisar också andra resultat än vad Piaget kom fram till.
Oakden och Sturts (1922) undersökningar visar att barn är mogna att förstå djupare abstraktion i 11-12 års ålder. Undersökningarna visar på stor skillnad i resultat mellan 10
åringar och 11 åringar. Barn fick ordna kända personer efter för hur länge sedan de levde, de fick också läsa en berättelse där felaktigheter av tidskaraktär låg i texten. Uppgiften var att påpeka dessa felaktigheter. Dessa och andra experiment visade att elvaåringar
fick bättre resultat än sina ett år yngre kamrater. Detta överensstämmer med Piagets
slutsats att det är vid cirka 11 års ålder som barn lyckas förstå abstraktioner såsom tid.
Jahodas (1963) arbete om barn och deras begreppsbildning om tid visar hur de efterhand
utvecklar sin förståelse för tid. Jahoda har, genom att sammanställa bland annat Oakden
och Sturts undersökningar, visat hur utvecklingen ser ut. Kvintessensen i Jahodas sammanställning är att begreppet utvecklas genom kommunikation i så motto att orden
kopplade till begreppet är avgörande för den intellektuella förståelsen för abstraktionen
”tid”. Jahoda nämner som ett exempel barnet som berättar att hon besökte sin mormor
igår. Innehållet i barnets berättelse ändras inte om barnet i själva verket var hos sin
mormor förra veckan. Om barnet missförstått ordet igår och använder det i betydelsen
det som har varit går inte att tyda i barnets berättelse. Därför behöver orden belysas och
eventuellt problematiseras. Vidare visar Jahoda att vissa av de fält som Piaget lät indela
förståelsen av tid i; samtidighet, succession och varaktighet, inte är koordinerade förrän
i tonåren. Även Oakden och Sturt visar på betydelsen av att förstå de ord och symboler
som är kopplade till tid.
Karlegärd (1991) betonar att tid är ett centralt begrepp inom historieämnet och att det
behöver bearbetas och synas. Problematiken med begreppet tid är dess mångfacettering
och för att få grepp om ”tiden” behöver många skolämnen samverka. Karlegärd ger i
17
Undervisa svensk historia exempel på vad fysik-, biologi- och geografiläraren kan göra
för att arbeta med tid. Karlegärd visar också, genom att tala om tid som avståndsuppfattning och proportioner, vad matematikläraren kan göra.
Vygotskij (2001) betonar språkets betydelse för begreppsutvecklingen. Kopplat till elevens erfarenhetsvärld kan olika (vetenskapliga) begrepp angripas ur flera olika aspekter
för att utveckla förståelse. Eftersom språket är intimt förknippat med kognitiv utveckling, måste tidsbegreppet bearbetas genom språket.
Medvetandet avspeglar sig i ordet, så som solen i en liten vattendroppe. Ordet förhåller sig till medvetandet som den lilla världen till den stora, som en levande cell
till organismen och som atomen till kosmos. Så är det också medvetandets lilla
värld. Det meningsfulla ordet är det mänskliga medvetandets mikrokosmos. (Vygotskij 2001, sid. 474)
Vygotskij har lyckats verbalisera ordets betydelse för individens (kognitiva) utveckling
och självbild. Språket är en förutsättning för kognitiv utveckling (till skillnad från Piaget som menar att kognitiv utveckling är en förutsättning för språkets utveckling). Vi
kan inte skilja kognitiv utveckling från annan utveckling, eftersom den sociala samverkan är själva utgångspunkten för lärande och utveckling.
2.4
Barn och tidslinjer
Hartsmar (2001) skriver i sin avhandling att elever i den svenska grundskolan sällan
möter begreppet tid genom ett problematiserande. Hon menar att begreppet i allt för stor
utsträckning tas för givet och att det inte lyfts ur sitt sammanhang. Vidare påpekar
Hartsmar att när tid tas upp i matematiken handlar det främst om färdighetsträning. Författaren efterlyser mer av analyser och tolkningar kopplat till begreppet tid.
Hartsmar har genom sina undersökningar funnit att elever från årskurs 2 till årskurs 9 i
stor utsträckning inte känner till grunddragen i vad vår tideräkning bygger på. En av
frågorna i studien var; ”Varför tror du att vi säger 1996 och inte t ex 5323?” (a.a. sid.
174). Hon får i sina intervjuer och undersökningar ofta svaren ”Det vet jag inte, det har
vi inte pratat om i skolan”. Hartsmar menar att vi inte ska luta oss tillbaka och invänta
en högre mognad och att eleverna därmed per automatik ska utveckla sin förståelse.
18
Hon stöder sitt påstående på Vygotskijs teori om den närmaste utvecklingszonen. Vygotskij menade, i motsats till utvecklingpsykologerna, att man kan arbeta med abstrakta
begrepp innan barnets formellt operationella period inträder. Vår intellektuella förmåga
växer i en sociokulturell kontext. Hartsmar menar att vi, genom den miljö vi erbjuder,
kan problematisera svåra begrepp såsom tid och låta eleverna tillsammans med andra
utveckla sin förståelse. I skolan bör vi således medvetandegöra och kommunicera, vrida
och vända på begrepp så att tidsbegreppet får en chans att växa till kunskap inom eleverna.
Den konflikt vi kan se mellan Piagets teorier å ena sidan och Vygotskijs å andra sidan
har belysts av åtskilliga forskare och efterföljare till dem båda (Dysthe 2001, Carlgren
och Marton 2001, Säljö 2000). Piaget betonar vikten av adaption, en kunskapsutveckling som startar i individens inre, i en närmast biologisk bestämd ordning. Detta sker
egentligen helt oberoende av den sociala miljö som individen har runt sig. Vygotskij
menar att i den närmaste utvecklingszonen (zpd = the zone of proximal development)
ligger barnets utvecklingsmöjligheter, och den närmaste utvecklingszonen och möjligheterna att nå dessa är starkt beroende av den hjälp som barnet kan få. Här tolkar vi det
som att kunskapsutveckling är en ständig process och växelverkan mellan individer.
Detta lämnar oss att ta ställning till var vi vill lägga vår fokus. De resultat som vi kommit fram till gynnar Vygotskijs teorier om ”zpd”. Det är dock möjligt att vi ändå måste
ta viss hänsyn till det som Piagets undersökningar kom fram till, om hur barnet, i det
närmaste biologiskt, utvecklas kunskapsmässigt.
Ett exempel i undersökningen är två flickor i årskurs 9 som båda har haft samma historieundervisning, med tidslinjer som verktyg. En av flickorna har en mamma som på olika sätt utmanar henne intellektuellt och de två diskuterar ofta historiska skeenden. Denna flicka har också ett helt annat djup i sin förståelse av historiska orsaker och verkningar, av tidsbegreppet och vår tideräkning. Flickan förstår också hur en tidslinje kan
användas. Den andra flickan, som inte har utmanats intellektuellt i samma utsträckning,
skulle enligt Piagets teorier inte anses mogen att förstå abstraktionen tid. Denna flicka
har svårt för att placera händelser och personer i kronologisk ordning, ”För henne förblir
kronologi en fråga om memoreringskonst.” (a.a. sid. 217)
19
Karlegärd (1991) visar exempel på hur tidslinjen kan tas upp i historieundervisningen,
han manar till att låta tidslinjen få en aktiv roll i undervisningen. Hur elever ser tid, hur
visualiseringen ser ut är en viktig aspekt. Det är inte självklart för alla hur en tidslinje
ser ut. Karlegärd ger exempel på bilder/symboler som tid kan ha hos elever; linjär, cirkelformad, vågrörelser, bruten tidslinje och så vidare.
Hartsmars intervjuer (2001) visar att många elever använder, eller tror att tidslinjer enbart används, som ett stöd för minnet. En slutsats hon drar är att arbete kring tidslinjer
idag är fakta som memoreras; årtal, epoker, händelser och så vidare. Begrepp som tid,
tidslinjer, kontinuitet, förändring och utveckling går skolan inte på djupet med. Hartsmar har lämnat frågan öppen om vad matematiken kan bidra med för att fördjupa förståelsen hos våra elever kring tidsuppfattning och förståelsen av tidslinjer.
I Hartsmars (a.a.) diskussion betonas vikten av att arbeta med den ”lilla” historien för att
förstå den ”stora” historien. Den ”lilla” historien är elevens egen, personliga historia.
Den ”stora” historien är den vi alla delar, och har gemensam. Genom att hela tiden
koppla begreppet tid till individens egen erfarenhetssfär ökar chansen att eleven utvecklar förståelse för historiska fenomen och historisk utveckling. Hartsmar menar att historiemedvetandet, och då också tidsmedvetandet, inte utvecklas automatiskt efter hand
som eleverna blir äldre, vi måste utmana våra elever och därmed fördjupa deras tänkande kring tid och historisk utveckling.
2.5
Klassrumsmiljöer
Med tanke på att vår undersökning görs i två skilda elevgrupper på olika skolor anser vi
att skillnader i klassrumsmiljöerna kan vara av största vikt och eventuellt ha stor betydelse för resultatet av undersökningen. Vi har därför valt att här skildra de klassrumsmiljöer som den Nationella kvalitetsgranskningen (1998) redogör för i sin rapport. Utbildningsinspektörerna beskriver tre olika typer av klassrumsmiljöer så som de utkristalliserades i granskningen. Inspektörerna i den Nationella kvalitetsgranskningen valde att
kalla klassrumsmiljöerna för A-, B- och C-miljöer. De olika miljöerna skiljs åt genom
hur mycket man använder sig av läs- och skrivprocessen för att stärka lärandet i alla
ämnen.
20
A-miljön kännetecknas av att man arbetar ämnesövergripande i olika teman. Mycket litteratur ingår som till exempel faktaböcker och elevernas egenproducerade texter. Beroende på elevernas mognad/ålder kombineras allt fler olika framställningsformer. Lärandet utgår från elevernas erfarenheter och alla ska uppleva undervisningen meningsfull
och engagerande. Den sociala aspekten är viktig då mycket av lärandet sker genom samtal, lyssnade, skrivande eller läsande. Klimatet är öppet och det anses viktigt att det alltid finns mottagare till det eleverna gör. A-miljön kallas också flerstämmig eftersom
eleverna samarbetar, samtalar och läser i grupper. ”Eleverna läser, skriver och talar, dvs.
språket fungerar som ett medel för att lära, förstå, förmedla något”. (a.a. sid. 115)
B-miljöerna kännetecknas främst av att man nästan alltid använder sig av färdiga läromedel. Tematiskt arbete förekommer men då inom ett ämnesområde. Texterna man läser är inte så engagerande och utmanar inte elevernas tänkande i någon högre grad.
Även i B-miljön är eleverna engagerade och använder sig av språket i lärandet, skillnaden är att de oftast samtalar två och två. Detta kallas en tvåstämmig miljö. Mottagaren
är antingen eleverna själv eller läraren. Övriga elever förväntas inte lyssna utan bara
vara tysta. Elevernas läsande och skrivande görs i syfte att reproducera redan skrivna
texter, detta kan till exempel gälla att skriva av från tavlan, skriva av fakta ur läroboken
och så vidare. Eleverna får inte heller så många tillfällen att reflektera.
C-miljön är starkt läromedelsstyrd där varje ämne behandlas totalt avskilt från övriga
ämnen. Mycket av undervisningen är isolerad färdighetsträning där formen betraktas
som det viktiga och innehållet relativt betydelselöst. Miljön i klassrummet är vad man
kallar enstämmigt. Det innebär att eleverna arbetar enskilt utan att samtala med varandra. Undervisningen utgår inte från elevernas erfarenheter och den enda mottagaren
till elevernas arbeten är läraren. I C-miljön lär sig eleverna fort att det är ett rätt svar
som förväntas och inget annat. Många elever i C-miljöer blir allt mer rädda för att uttrycka sig efterhand som de blir äldre.
2.6
Styrdokument
Eftersom tidsaspekten på olika sätt återkommer i de olika ämnena tas här upp de delar
av kursmålen och läroplanen som berör tidsaspekten och/eller tidslinjer. I Lpo 94 har
några övergripande perspektiv lagts in; miljö, internationellt (globalt) perspektiv, etik
21
och ett historiskt perspektiv. I det historiska perspektivet är begrepp som då-nu-sedan
ryggraden i historiskt skeende. Tidsbegreppet är något genomgripande för den svenska
skolan och i läroplanen. Språkets betydelse i elevernas kognitiva utveckling återkommer
i skolans läroplan. Språket ses heller inte som enbart främjande för kognitionen, språket
är också ett verktyg i den sociala och känslomässiga utvecklingen.
Det är nödvändigt att eleverna utvecklar sin förmåga att kritiskt granska fakta och
förhållanden och att inse konsekvenserna av olika alternativ. Språk, lärande och
identitetsutveckling är nära förknippade. Genom rika möjligheter att samtala, läsa
och skriva skall varje elev få utveckla sina möjligheter att kommunicera och därmed få tilltro till sin språkliga förmåga. (Lpo 94, sid. 7)
2.6.1
Kursplan för matematik
Inom skolämnet matematik betonas vikten av att föra logiska resonemang, dra slutsatser
och muntligt förklara och argumentera för sitt tänkande. Vi hittar också ord som; gestalta, värdera, tolka och uppskatta. Målen både för årskurs fem och årskurs nio poängterar
värdet av att använda sig av matematiska uttrycksformer när vi löser problem. Strävan
ligger också i att eleverna utvecklar sin tal- och rumsuppfattning. I taluppfattningen
ryms närmevärden, proportionalitet och viktiga storheter. Grundläggande taluppfattning
är ett mål elever i årskurs 5 ska ha uppnått. I nionde året är målen utökade till att kunna
jämföra, uppskatta och bestämma tidpunkter och tidsskillnader. Proportionalitet återkommer i målbeskrivningen för årskurs 9.
När matematikämnets karaktär beskrivs står det bland annat så här:
Problemlösning har alltid haft en central plats i matematikämnet. Många problem
kan lösas i direkt anslutning till konkreta situationer utan att man behöver använda
matematikens uttrycksformer. Andra problem behöver lyftas ut från sitt sammanhang, ges en matematisk tolkning och lösas med hjälp av matematiska begrepp och
metoder. (sid. 27)
22
2.6.2
Kursplan för svenska
Ämnet svenska har en nyckelroll i skolan, språkutveckling ska genomsyra hela undervisningen, oavsett vilket skolämne du undervisar i. I kursplanen för svenska står om
kunskap som bildas genom språket tillsammans med andra. Tillsammans med andra
skolämnen ska svenskan hjälpa till att utveckla elevers kommunikativa förmågor. Elevens kognitiva förmåga är beroende av utvecklingen i tal och skrift, tänkandet är språk
och vice versa.
Med hjälp av språket är det möjligt att erövra nya begrepp och lära sig se sammanhang, tänka logiskt, granska kritiskt och värdera. (sid. 98)
2.6.3
Kursplan för biologi
I kursplanen för biologi har evolutionsteorin en självklar plats.
Skolan skall i sin undervisning i biologi sträva efter att eleven
- utvecklar kunskap om livets villkor och utveckling och kan se sig själv och andra
livsformer i ett evolutionsperspektiv (sid. 51)
Detta innebär ett arbete med långa tidsperspektiv.
2.6.4
Kursmål för fysik
Inom fysiken ska eleverna ha insikt i hur planeter rör sig runt solen och hur detta är förknippat med tideräkningen. Inom astronomin måste avstånden på ett eller annat sätt tas
upp och eleverna möter då stora tal. Avstånden berör tid, om än inte direkt. I kursplanen
kan vi läsa om livets uppkomst, om korta tider i atomernas värld, om fortbestånd och så
vidare. Tid är ett begrepp som rör alla delar i fysikens mål. Fysiken är härvidlag kopplad till matematiken.
2.6.5
Kursmål för samhällsorienterande ämnen
Tid är ett begrepp som inom de samhällsorienterade ämnena hela tiden gör sig påmind. I
syftet för ämnena finns formuleringar om att; utveckla kunskaper om vårt samhälle under skilda tider, reflektera över samband mellan förfluten tid, nutid och framtiden i
23
samhället, makt- och konfliktperspektiv i förfluten tid, göra jämförelser över tid och så
vidare. Inom samhällsorienterande ämnena finns historia som till sin natur är ett ämne
som bygger på tidsaspekten. Huvudtanken med historia är att arbeta med de tre tidsaspekterna; dåtid – nutid - framtid. I kursplanen för historia uttalas särskilt att historia
lyfter fram tiden som en dimension, en tidsdimension.
2.7
Sammanfattning av teorin
Vi har nu redogjort för olika riktningar inom utvecklingspsykologin, konstruktivismen
och det sociokulturella/pedagogiska perspektivet med fokus riktad på tidsaspekten, kunskapssynen och utveckling av abstraktion hos barn. Vi har velat visa deras skiftande syn
på kunskap och utveckling av förståelse för tid/tidslinjer. Somliga teorier eller delar av
teorier står emot varandra. Piaget med Oakden och Sturt menar att barnet måste nå en
viss mognad innan man kan introducera främmande ämnesområden. Tid är en abstraktion som barnet inte intellektuellt är mottagligt för före en viss ålder/stadie. Stadierna
som ett barn utvecklas genom sker i given ordning med ungefärliga åldrar utsatta av Piaget. Barnet når inte den mognad som krävs för att förstå abstraktion före cirka 12 års
ålder (formellt operationella stadiet). Konsekvensen för det här resonemanget borde bli
att skolan, för de yngre barnen, bör undvika ämnesområden där alltför stor grad av abstraktion finns.
Å andra sidan verkar Vygotskij, Carlgren, Säljö och Marton och Hartsmar med flera för
att genom att utmana eleverna bidra till att främja lärandet och utvecklingen. Vygotskij
betonar vikten av den sociala miljö barnet har runt sig. Språket är en del av kunskapandet och kan aldrig betraktas som en enskild företeelse. Tillägnandet och utvecklandet av
kunskaper hos individen görs också bäst i en miljö som erbjuder flera olika representativformer, laborativa arbetssätt och tillfälle att på olika sätt verbalisera begrepp knutet
till ämnesområdet, givetvis i sammanhang som upplevs meningsfullt (Emanuelsson red.
1996). Men kunskapandet sker också med hjälp och bistånd av en pedagog och lärare,
som förmår hitta utmanande uppgifter och som lyckas problematisera rätt saker på rätt
nivå. Detta benämner Vygotskij den närmaste utvecklingszonen.
Vi vill ta fasta på den matematiska konstruktivism som kan förena det bästa ur strukturteorin och sociokulturella teorins två världar. Piagets strukturteori kan förklara en del av
24
våra resultat, varför de yngre eleverna inte presterar lika bra. Vi ser emellertid inte detta
som den enda förklaringen. Vi måste söka vidare, i elevernas sociala miljöer. Vår bedömning är att prestationer eller avsaknad av prestationer inte går att förklara enbart
med en strukturteori. Vygotskijs fokus på omgivningen är en aspekt som kräver stort utrymme. Den kan kanske förklara varför vissa elever utvecklas tidigare än Piagets stadieindelning antyder, eller varför somliga elever inte utvecklas såsom vi tror och vill att de
ska. Därför vill vi jämföra och problematisera Piagets teorier med Vygotskijs. Vi måste
ta hänsyn till elevens mognad och var i utvecklingen han eller hon befinner sig. Vi måste också våga utmana elevernas tänkande, och lägga grunden för senare kunskapsfält,
må vara abstrakta. Eleverna ska ges tillfälle att erövra närmsta utvecklingszonen och
skapa nya. Här låter vi konstruktivismen komma in, genom att låta eleverna konstruera
och erfara omvärlden kan vi, i den språkliga miljö skolan står för, utforska nya och
spännande områden. Pedagogen står för kontexten, begreppen, problematiseringarna,
noga uttänka mål och gränser, eleverna står för kunskapandet.
Vi kommer också att använda oss av Mas (1999) grundtanke att systematisera begrepp
och kunskapsfält som ligger inom ett arbetsområde. Vi tror att det kan hjälpa lärare och
pedagoger att planera och utvärdera sitt arbete på ett effektivare sätt. Men det kan också
hjälpa dem att hitta nyckelfrågor eller nyckelbegrepp där eleverna brukar hitta svårigheter. Lärarna kan då lättare utarbeta alternativa laborationer eller varierade arbetssätt för
att öka möjligheterna till förståelse hos eleverna.
Då kursmålen inom olika ämnen innehåller aspekten tid, om än i mycket skiftande form,
ges här ett ypperligt tillfälle att belysa begreppet ur flera olika synvinklar. När vi låter
eleverna möta begrepp eller (matematiska) problem sedda ur flera olika aspekter ökar vi
elevernas möjligheter att konstruera kunskap. Den begreppsbildning som krävs för att
utöka tidsförståelsen kräver varierade arbetsformer, undersökningar, laborationer och
kontexter. Ämnenas olika kontexter till tid kan således fördjupa elevernas förståelse för
abstraktionen tid, såvida begreppet synliggörs och aktivt arbetas med (Emanuelsson red.
1996).
För att fördjupa elevernas förståelse för ”lång tid” är det också viktigt att vi kan lyfta ut
begrepp och problematisera dem. Inom biologin till exempel kan vi läsa om evolutionsteorin som innehåller de stora talens tid. Här kan matematiken bli nödvändig för att hitta
25
de verktyg som krävs för att förstå den enorma tidsrymden. Inom fysiken möter vi tid i
vågrörelser, avstånd, atomernas värld och så vidare. Här kan proportionalitet få utrymme för att skapa förståelse hos eleverna. I de samhällsorienterande ämnena är tidslinjer
ett vedertaget arbetsredskap för att skapa konkretion. Tidslinjen är också viktig för att
ha överblick över historiska skeden om orsaker och verkningar. För att skapa förståelse
för hur tidslinjen är uppbyggd kan matematiken hjälpa till.
26
3 Metod
3.1
Urval
I vår studie är eleverna utvalda för att representera ett genomsnitt när det gäller kunskapsnivå och prestationsnivå. Vi lät lärarna välja ut eleverna med den reservationen att
vi ville undvika elever som hade svårt att uttrycka sig i grupp. En av oss bad uttryckligen om att läraren inte skulle välja ut en elev eftersom han har en negativ inverkan på
andra elever. Detta för att han kommer med nedlåtande kommentarer eller hånskrattar
när någon uttrycker något som inte överensstämmer med hans uppfattning. Samtliga 10
elever tillfrågades om de ville vara med. Undersökningen var alltså frivillig för eleverna. Vi valde två grupper elever från olika skolor till vår undersökning. Båda elevgrupper kom från byskolor utanför tätort. Det var små skolor med till övervägande del
svenskfödda barn. Gruppen som benämns som grupp A bestod av fem elever som gick i
en 3-4, där en av eleverna gick i årskurs 3 och resterande fyra elever gick i årskurs 4.
Grupp B bestod av fem elever i årskurs 5. Eleverna gick i en åldersblandad klass med
fyror, femmor och sexor. Alla elever fick välja kodnamn som de benämns med i arbetet.
Grupp A bestod av Stephanie som går i årskurs 3 och Majsan, Gustav Mats som alla
gick i årskurs 4. Grupp B bestod av Jonathan, Harry, Anna, Cilla och William.
3.2
Datainsamlingsmetod
Vi valde att använda oss av elevintervjuer både före och efter undervisningsförsöken.
Johansson och Svedner (2001) beskriver två typer av intervjuer man kan använda sig av
i examensarbeten. Det är strukturerade intervjuer som baseras på förvalda frågor och
kvalitativa intervjuer där man endast har ett förvalt ämnesområde. Våra intervjuer har
varit i strukturerade former där eleverna fick svara på ett antal förvalda frågor men vi
tillät oss att ställa följdfrågor vid behov. Med tanke på att vi hade två elevgrupper och
för att kunna jämföra elevernas svar med varandra var det viktigt att ställa likadana frågor till eleverna. Genom förintervjuerna ville vi hitta en utgångspunkt för våra undervisningsförsök. Första delen syftade till att ta reda på vilka föreställningar och associationer eleverna hade om tid och vilka begrepp som är kända sedan tidigare. Andra delen
handlade i huvudsak om tidslinjer och vilken förförståelse eleverna hade kring den.
27
Frågor kring begreppet tid
1. Vad är tid?
2. Är tid olika för olika människor?
3. Hur kan man mäta tid?
4. Hur har du lärt dig om tid?
5. När var förr i tiden? Hur länge sedan var det?
6. Vilket år är det nu? Varför?
Frågor kring en tidslinje
7. Har du sett – vad föreställer den? (visar tidslinje)
8. Var börjar den här tidslinjen? Vilket år var det då?
9. Var slutar tidslinjen? Vilket år?
10. Kan du visa var du föddes?
11. Var finns mormor/farmors födelse?
12. Vad tror du nyttan är med en sådan här tidslinje?
13. Var finns året 2004 på denna tidslinje?
14. Om en person är 100 år, när föddes den personen då, visa på tidslinjen?
15. Om du haft så här mycket pengar (visar på årtalet 1600), är du rik då? Hur
mycket hade du haft då? Vad kan du handla för så mycket pengar?
16. Kan du peka ut år 1 på tidslinjen?
I våra undervisningsförsök ville vi hitta den matematik som antingen kan ställa till bekymmer eller kan vara till hjälp i förståelsen för tidslinjer och dess användning. Ett exempel kan vara förmågan att avläsa en tidslinje trots att enbart vart femhundrade år står
utsatt. Vi gick in i undervisningsförsöken angelägna om att hitta elevernas matematiksvårigheter eller förmågor, därför lät vi inte frågorna spegla något specifikt matematiskt
område. Vi hade vissa aningar om vad som kunde vara bekymmersamt, eventuellt proportionalitet och kanske negativa tal.
Fråga 1 och 5 syftade till att ta reda på vilka associationer eleverna hade kring tid. I fråga 2, 4 och 12 ville vi få svar på vilka tankar eleverna hade om tid och delar kring detta.
Fråga 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14 och 16 har vi använt oss av för att ta reda på vilka förkunskaper eleverna hade om tid och tidslinjer. Förutom att vi ville att intervjuerna skulle avslöja vilka matematiska brister eleverna hade för att förstå tidslinjer ville vi också
28
se hur eleverna lärt sig avläsa en tidslinje, plocka ut information ur en tidslinje och räkna ut perioders varaktighet eller tidpunkter mellan utsatta sådana. Fråga 15 syftade till
att ta reda på elevernas uppfattning av talets storlek när det placerades i ett för eleverna
välkänt sammanhang. Då uttalet för ett årtal (exempelvis 1600) är sextonhundra, ville vi
ta reda på om eleverna kunde koppla ihop årtalet till samma matematiska tal som vanligtvis under matematiklektioner uttalas ettusensexhundra. Vår fråga var att utröna om
det bestod någon förvirring eller undran däri.
Efter undervisningsförsöken (se nedan) användes i stort sett samma frågor som i förintervjun. Vi valde att göra detta för att kunna utvärdera resultatet efter undervisningsförsöken. Samma tidslinjer användes inte som i förintervjuerna. Eleverna fick tyda en
tidslinje i en historiebok (Salomonsson & Svedelid 1981, sid. 4-5). Ofta är det där eleverna ser tidslinjer i skolan och våra undervisningsförsök syftade bland annat till att
eleverna skulle bli bättre på att avläsa tidslinjer. En tidslinje i en historiebok är därför en
väl vald sådan, då det är en sådan de kommer att möta. Utöver denna hade vi tre olika
tidslinjer med lite olika tidsindelningar och som sträckte sig över olika lång tid. Eleverna fick i vissa frågor välja vilken eller vilka tidslinjer de tyckte var lämpligast för att
peka ut händelser i. Ett kriterium för att kunna kallas kunskap är förmågan att kunna använda det i ett för individen vettigt sammanhang, där nyttan är tydlig. Att då välja en
tidslinje som sträcker sig från år noll till år 2000 för att peka ut året för sin födelse och
andra viktiga händelser i ens liv, när det bredvid ligger en tidslinje över det senaste århundrade, är att inte utnyttja tidslinjernas kapacitet.
I första delen av slutintervjun användes samma frågor som i förintervjun, bortsett från
att vi hoppade över fråga 4 eftersom svaret på den frågan rimligtvis inte skulle kunna
ändras under våra undervisningsförsök. På andra delen av intervjun tillkom några frågor; om eleverna på tidslinjerna kunde peka ut vilken tid Gustav Vasa och Richard Lejonhjärta levde. Detta för att eleverna hade arbetat med dessa personer i undervisningsförsöken. De fick även peka ut år 0 på de tre linjerna samt frågan om de kunde välja en
tidslinje att peka ut stenåldern på. År 0 ville vi lägga vikt vid då ingen av eleverna i
grupp A i förintervjuerna visste hur det kom sig att vi vid en viss tidpunkt började vår
tids tideräkning. Eleverna fick peka ut samma årtal i alla tre tidslinjerna. Detta för att
tydliggöra skillnaderna i tidslinjerna, trots att samma årtal återkom. En av tidslinjerna
29
var mer lämplig att peka ut stenåldern på. Vi ville se om eleverna valde den mest lämpliga av dem.
3.3
Undervisningsförsök
När de enskilda förintervjuerna var klara påbörjade vi undervisningsförsöken. Här utgick vi från elevernas frågeställningar som framkommit under förintervjuerna, (till exempel varför vi har år 2004 nu) och föreställningar om begreppet tid. Vår metod var att
arbeta fram olika tidslinjer och skapa diskussioner om dem. Med diskussionerna och det
praktiska arbetet som grund har vi sedan försökt hitta de matematiska områden som vi
tror kan skapa förståelse för det som de just då mötte hinder i. Genom frågeställningar
problematiserades negativa tal, proportionalitet, skala och så vidare allt eftersom områdena har utkristalliserats. Negativa tal brukar vanligtvis inte förekomma i matematikundervisningen förrän eventuellt i årskurs fem eller årskurs sex. Vi var förberedda på att
detta område kunde ställa till bekymmer när vi kom till årtalen före Jesus födelse.
Eleverna fick inledningsvis göra tidslinjer över det som ligger nära i tid, till exempel
några timmar eller en dag. Försöken gick vidare genom att med att backa allt längre bak
i tiden. Målet var att vi skulle komma ner till åren före Kristus födelse innan vi var färdiga med studien. Idén till upplägget att utgå från här och nu för att sedan backa allt
längre bak i tiden fick vi från Jahodas (1963) ifrågasättande av historieundervisningen.
Jahodas sammanställning av forskning på ämnet tid och barns tidsmedvetande visar att
eleverna har svårigheter att förstå ”lång tid” och tidslinjer, men han visar också hur utvecklingen inom ämnet ser ut. Jahoda är inte pedagog och lämnar åt dem att anpassa
undervisningen efter forskningsrönen. Däremot har han, genom att synliggöra problemet, en tanke om att begreppen och förståelsen kan se annorlunda ut om man istället för
att traditionsenligt börja längst bak i tiden med de yngsta barnen, börja där de befinner
sig och gå bakåt.
En gemensam grundmall (bilaga) användes men frågorna och vilka tidslinjer vi skulle
arbeta med kunde få skilja sig åt om någon grupp arbetade snabbare, fastnade i någon
frågeställning eller om behovet av annat laborativt material blev nödvändigt att använda.
30
•
Gruppmöte 1
Vid gruppmöte 1 ville vi få eleverna att fundera på hur de kunde visa tid som förflutet
genom en bild. Vi ville också låta eleverna bekanta sig med tidslinjer genom att göra
tidslinjer över till exempel en förmiddag eller ett dygn.
•
Gruppmöte 2
Under andra gruppmötet ville vi uppmärksamma eleverna att tidslinjer kan se olika ut,
få dem att fundera på hur indelningar kan se ut. Detta kunde de föra genom att få göra
tidslinjer över deras liv.
•
Gruppmöte 3
Tredje gruppmötet innefattade att göra tidslinjer över föräldrarnas liv för att visa tidslinjernas användningsområde och kunna jämföra med tidigare tidslinjer.
•
Gruppmöte 4
Vid det fjärde gruppmötet ville vi introducera en känd person i historien. Eleverna skulle då få tillverka tidslinjer som stäckte sig från till exempel Gustav Vasas tid till nutid.
•
Gruppmöte 5
Vid det femte grupptillfället ville vi introducera fler kända historiska personer allt längre bak i tiden. Vi ville också komma så långt bak i tiden som innan Jesus födelse.
Vid behov skulle vi också ha fler gruppmöten beroende på hur snabbt/långsamt grupperna hade gått fram.
I grupp A har eleverna mestadels gjort enskilda tidslinjer, där försöksledaren har funnits
med som stöd, svarat på frågor och problematiserat avsnitt som eleverna mött. Vid ett
fåtal tillfällen gjorde grupp A gemensamma tidslinjer. Då fungerade försöksledaren,
precis som tidigare, som stöd i de diskussioner som dök upp, men också genom att låta
eleverna möta problemställningar som drev arbetet framåt. I grupp B har eleverna mestadels arbetat i grupp med en gemensam tidslinje, försöksledaren i den gruppen har också här funnits med som diskussionsledare, där problem som dykt upp tydliggjorts. Ele-
31
verna i grupp B gjorde en av gångerna enskilda tidslinjer. Försöksledaren roll ändrades
inte nämnvärt, även här fungerade den som stöd i funderingar och diskussioner.
3.4
Procedur
Under både intervjuer och undervisningsförsök har vi suttit i ett litet grupprum och spelat in samtalen med bandspelare. Eleverna har använt penna, papper, linjaler, tejp och
färgpennor och annat som de har varit i behov av för att kunna tillverka en tidslinje. Vi
har suttit med eleverna enskilt i hopp om att få sitta ostörda. De enskilda intervjuernas
längd har varierat från 15 minuter till 45 minuter. Undervisningsförsöken varade mellan
20 minuter och 60 minuter.
3.5
Databearbetningsmetod
Efter intervjuernas slut har vi lyssnat igenom kassettbanden några gånger för att därefter
skriva ner allt med hjälp av datorn. Vid utskrift har vi valt att inte ta med kommentarer
som inte är relevanta för undersökningen. Det kan till exempel röra sig om kommentarer
som ”- Var är mitt suddi?” eller ”- Titta, där ute är mitt fadderbarn.”
Efter utskriften har vi jämfört de olika gruppernas resultat för att se vad som var gemensamt för grupperna och vad skillnaderna bestod i. Efter vi hade studerat resultatet flera
gånger bestämde vi oss för att använda grupp B som referensgrupp. Detta val gjordes på
grund av att vi ansåg att grupp B redan hade tillräckligt stor förståelse för tid och tidslinjer och därmed inte behövde fördjupa sig i matematiken för att kunna lösa uppgifterna. Genom att använda dem som referensgrupp kunde vi analysera vilka orsaker det
fanns till att dessa elever hade kommit mycket längre i sin utveckling av tidsbegreppet.
Resultatet är upplagt på följande sätt: Vi redovisar först förintervjuerna. Svaren är sorterade efter frågorna där gruppernas svar redovisas efter varje fråga. Våra (författarnas)
kommentarer i dialogerna är markerade med ett F som står för försöksledare. Det gäller
oavsett vem av oss som har sagt kommentaren. På vissa ställen i dialogerna är det ett
antal streck på en rad (------), detta innebär att en längre sekvens ur dialogen är borttagen. På ett liknande sätt har vi använt oss av tre punkter (…) där delar av meningar eller
32
enstaka meningar i anslutning till dialogerna tagits bort. Sekvenserna/delarna har inte
haft någon betydelse för vår undersökning.
Undervisningsförsöken har vi valt att redovisa genom att först kort redogöra för händelserna i kronologisk ordning. Vi har därefter valt att plocka ut de matematiska områden
vi har hittat och redovisar dessa delar var för sig. Eftersom grupp B användes som referensgrupp redovisas slutintervjun enbart för grupp A. Majsan, i grupp A, har heller inte
slutintervjuats, hon har varit sjuk och tid har inte getts.
3.6
Analysmetod
För att kunna strukturera resultaten som hade med våra två första problemformuleringar
(se punkt 1.2) att göra, startade vi med att ringa in alla de matematiska svårigheter som
eleverna stött på som vi kunde upptäcka i våra utskrifter. Vi försökte hitta jämförande
matematiska svårigheter hos den andra gruppen. Om vi inte hittade några svårigheter
hos den andra gruppen så försökte vi hitta avsnitt där de visade att de behärskade det aktuella matematiska problemområdet. När vi hade identifierat alla matematiska svårigheter försökte vi kategorisera dem. Därefter letade vi efter alla begrepp som på något sätt
knyter an till området och ringade in dem i utskrifterna. Dessa kategoriserades inom de
matematiska kategorierna. De begrepp som inte tydligt tillhörde ett specifikt matematiskt område fick en egen kategori. Därefter studerades hur referensgruppen löst matematiska problem som den andra gruppen inte kunde lösa. Strategier och begrepp som
användes, och frågor de ställde, urskiljdes och jämfördes mellan grupperna.
På samma sätt som när vi kategoriserade matematiksvårigheterna, kategoriserade vi den
matematik som eleverna i referensgrupp B klarade av. Hela uttryck och fraser fick vara
med i vår kategorisering. Med gula post-it-lappar strukturerade vi upp all data som var
av intresse. Data lades in med kolumner för matematiska svårigheter, och rader för elevernas namn. På så sätt fick vi en god översikt över vad varje elev brast i förståelse
inom ett begrepp eller ett område. Vi lät också begreppen och orden ingå i samma rutsystem. Vi fick lättare för att härleda begreppen till matematiska området då.
För att försöka hitta anledningen till de skiftande resultaten skrev vi ner alla de skillnader som vi kunde komma på i de två undervisningsmiljöerna. Även här kategoriserades
33
miljöerna enligt följande; kunskapssyn, läromedelsstyrt, diskussionsklimat, uttryck för
individuella tankar och variation.
3.7
Tillförlitlighet
Eftersom undervisningsförsöken har sett helt olika ut, på grund av de olika förutsättningarna vi har haft, kan våra frågor inte kopieras in i en jämförande studie. Resultatet
är beroende av en pedagogs lyhördhet och förmåga att knyta innehållet till elevernas
förförståelse. Vi valde också att genomföra intervjuer och undervisningsförsök med var
sin grupp vilket medförde att vi i viss mån kan ha satt vår personliga prägel på undersökningen och detta kan vara en bidragande orsak till gruppernas olikheter. Grupp A
gjorde övervägande enskilda tidslinjer, i grupp B arbetade gruppen oftast med gemensamma tidslinjer. Därför har också samtalen skiljt sig åt en del, gruppdiskussioner kring
ett gemensamt problem skiljer sig åt från diskussioner kring ett problem av mer individuell karaktär. Dessutom har ljudkvaliteten på bandupptagningen varit av skiftande kvalitet vilket gjort att bråkdelar av intervjuerna och undervisningsförsöken varit ohörbara.
Det har även varit en del störningsmoment i samband med intervjuer och undervisningsförsöken i grupp A. Detta kan ha lett till att eleverna stundtals fick lite svårt att koncentrera sig på det de skulle göra. I de inspelade ljudupptagningarna framgår inte heller elevernas mimik och kroppsspråk. Detta gör att vissa sekvenser kan vara svåra att tyda.
Med en tveksam blick kan ett svar ändras från ett kallt konstaterande till en undran.
Grupp B fick i förhand veta att intervjuerna och undervisningsförsöken inte skulle handla om kort tid och klockan. I grupp A fick eleverna ingen förhandsinformation. Detta
berodde på ett misstag från vår sida då vi på förhand inte hade kommit överens om vad
vi skulle informera eleverna om. Eleverna i grupp A hade dessutom vid detta tillfälle intensivtränat klockan sedan några veckor tillbaka med försöksledaren för undervisningsförsöken. Eleverna kan ha varit inställda på ett fortsatt arbete om klockan.
3.8
Metoddiskussion
Genom att använda oss av elevintervjuer ville vi ta reda på elevernas förkunskaper och
jämföra grupperna med varandra. Enligt Johansson och Svedner (2001) finns det en fara
34
att intervjuaren omedvetet påverkar svaren genom att uttrycka sina förväntningar
och/eller sina värderingar. Trots denna fara anser vi att intervjuer är den bäst lämpade
metod att använda i detta fall.
Styrkan med att använda undervisningsförsök för att synliggöra matematiken i tidslinjer
är att vi utgick från de problem våra grupper hamnade i. Vi upptäckte de svårigheter
eleverna hamnade i under arbetets gång. Våra resultat kan inte generaliseras, en annan
grupp kanske inte hade hamnat i dessa matematiska svårigheter utan kanske i andra.
En annan svaghet med vår metod är urvalet av eleverna. Vi valde bort elever som inte
kunde uttrycka sig i grupp. Vår tanke med det var att vi hade riskerat att inte få något
resultat att arbeta med om vi fått tilldelat en grupp elever som satt tysta. Bortfallet av
data i en sådan liten grupp hade då haft negativa konsekvenser av våra resultat. I en
större studie kan man med fördel använda sig av slumpmässigt val av elever.
Ytterligare en svaghet är att vi har haft lite olika yttre förutsättningar i grupperna. För att
kunna jämföra två grupper helt korrekt bör de yttre förutsättningarna vara likartade men
har i detta fall skilt sig åt en del. Vi har suttit med eleverna enskilt i hopp om att få sitta
ostörda. I grupp B gick det bra, intervjuerna och undervisningsförsöken pågick utan
störningsmoment. Grupp A däremot, satt i ett genomgångsrum där det då och då kom in
andra elever och lärare och detta kan ha påverkat resultatet.
35
4 Resultat
4.1
Förintervju
4.1.1
Frågor kring begreppet tid
1.
Vad är tid?
2.
Är tid olika för olika människor?
3.
Hur kan man mäta tid?
4.
Hur har du lärt dig om tid?
5.
När var förr i tiden? Hur länge sedan var det?
6.
Vilket år är det nu? Varför?
Fråga 1. Vad är tid?
Grupp A:
På frågan om vad tid är svarade samtliga i grupp A att tid var klockan. Inga andra alternativ framkom bland dem.
Grupp B:
I grupp B framkom svar såsom; stenåldern, utveckling, att passa tiden och klockan.
Fråga 2. Är tid olika för olika människor?
Grupp A:
Eleverna i grupp A svarade främst att klockan kan visa olika tid, Sara förklarade att
klockan nio på morgonen skiljer sig från nio på kvällen. Mats kommentar var: ”Ja, för
vissa är tid arbete och för andra är det att de har ledigt viss tid och för vissa är tid pengar”.
Grupp B:
Grupp B:s svar var mest inriktade på skillnaden på klocktid på jordklotet. Anna i grupp
B sa: ”De bor längre ifrån och längre bort, det finns ju bara en sol som ska lysa, och den
lyser inte på oss samtidigt.” Jonathan i grupp B talade om skillnaden i hur vi upplever
tid, för någon som är morgontrött är sju på morgonen mycket tidigt, för den morgonpigge upplevs 07.00 inte som tidigt.
36
Fråga 3. Hur kan man mäta tid?
Grupp A:
I grupp A var klockan det främsta alternativ som nämndes. Stephanie talade om att man
på matematiklektionerna kan räkna tid. Mats nämnde även att man kunde använda solen
att mäta tid med. Gustav och Majsan visste inte.
Grupp B:
Grupp B visade på fler alternativ såsom solur och tidtagarur, det framgick också i svaren att solens roll i tidmätning handlar om hur jorden rör sig i förhållande till solen.
Fråga 4. Hur har du lärt dig om tid?
Grupp A:
Stephanie, Mats och Gustav sa att de hade lärt sig om tid när det handlade om klockan i
matteboken och genom stenciler om klockan. Sara och Majsan kunde inte svara på hur
de hade lärt sig om tid.
Grupp B:
På frågan om var de har lärt sig det de kan om tid talade de om att de också lärde sig
klockan under sin lågstadietid. Grupp B har haft teman med Big Bang eller stenåldern i
trean.
F:
Vad hade man för tema då?
William: Stenåldern, bronsåldern och sånt gammeldags
Fråga 5. När var förr i tiden? Hur länge sedan var det?
Grupp A:
På frågan vad som är ”Förr i tiden” svarar Sara, Stephanie och Majsan att det var för
7000 – 8000 år sedan. Mats svarade att det är för miljoner år sedan, eller i alla fall för
länge sedan. Gustav visste inte.
Grupp B:
I grupp B framkom många olika förslag;
–
2001,
–
För varje sekund som går så är det förr i tiden,
–
Länge sen,
–
Big bang,
–
1900-talet,
–
på 60-talet,
37
–
Stenåldern,
–
Till exempel när mamma och du var små, så när jag blir stor så är nu förr
i tiden.
Fråga 6. Vilket år är det nu? Varför?
Samtliga elever kunde svara på frågan vilket år det är nu, däremot varierade svaren på
varför året heter så.
Grupp A:
I A-gruppen svarade Mats att det är Jesus som föddes då, för 2004 år sedan. Gustav
trodde att det var Big Bang som var startpunkten för tideräkningen. Övriga elever svarade ”vet inte” på frågan.
Grupp B:
3 av eleverna i grupp B visste att det var Jesus födelse som initierade tideräkningen som
vi har den nu. Jonathan visste inte vem eller vad som påbörjade tideräkningen, men han
visade en förståelse för att något stort måste ha hänt som fick oss att börja räkna.
F:
Visst… och så sa du att vi mäter nåt med Jesus, vad menar du
då?
Anna:
Ja, men till exempel hur många år det har gått sen Jesus föddes
F:
Och vad är det då?
Anna:
Det är nolltiden. Jesus föddes då, runt noll
F:
Jaha…Vad har vi nu då, för år
Anna:
2004… hm… år sen Kristus… äh… Jesus föddes
4.1.2
Tidslinje
7.
Har du sett – vad föreställer den (visar tidslinje)?
8.
Var börjar den här tidslinjen? Vilket år var det då?
9.
Var slutar tidslinjen? Vilket år?
10.
Kan du peka ut vilket år du föddes?
11.
Kan du peka ut morföräldrars/farföräldrars födelseår?
12.
Vad tror du nyttan är med en sådan här tidslinje?
13.
Var finns året 2004 på denna tidslinje?
14.
Om en person är 100 år, när föddes den personen då, visa på tidslinjen?
38
15.
Om du haft så här mycket pengar (visar på årtalet 1600), är du rik då? Hur
mycket hade du haft då? Vad kan du handla för så mycket pengar?
16.
Kan du peka ut år 1 på tidslinjen?
Fråga 7. Har du sett – vad föreställer den (visar tidslinje)?
Grupp A:
Gustav visste att man mäter tid med tidslinjen men kunde inte beteckna den som en tidslinje. Övriga elever i grupp A visste inte vad tidslinjen föreställer. Försöksledaren för
grupp A förklarade för sin grupp vad tidslinjen föreställde.
Grupp B:
Eleverna i grupp B visste alla att det var en tidslinje.
Fråga 8. Var börjar den här tidslinjen? Vilket år var det då?
Grupp A:
Sara, Stephanie och Mats gav korrekt svar medan både Majsan och Gustav benämnde
1400-talet som 14 000.
Grupp B:
Eleverna i grupp B kunde alla ge korrekta svar på vilket år tidslinjen började med.
Fråga 9. Var slutar tidslinjen? Vilket år?
Grupp A:
Även här svarade Sara, Stephanie och Mats rätt medan Majsan svarade 20 000 istället
för 2000. Däremot namngav Gustav år 2000 rätt.
Grupp B:
Alla i grupp B svarade rätt på frågan.
Fråga 10. Kan du peka ut vilket år du föddes?
Grupp A:
Ingen av eleverna i grupp A kunde peka ut sitt födelseår på tidslinjen. Sara pekade på
1850, Stephanie, Majsan och Gustav pekade på 1900 och Mats pekade på 1930.
Grupp B:
Jonathan, i grupp B, visade först på 1950, men rättade sig själv och pekade sedan på
1993. I övrigt pekade grupp B:s elever alla på 1993.
39
Fråga 11. Kan du peka ut morföräldrars/farföräldrars födelseår?
Grupp A:
När eleverna ombads peka ut morföräldrars eller farföräldrars födelseår på tidslinjen
pekade Sara på 15-1600-talet och Stephanie pekade på 1800-talet. Mats pekade ut sin
mormors födelseår omkring 1750 och hans morfars födelseår lite närmare 1800, Majsan
pekade på 1600 och Gustav pekade på 1400.
Grupp B:
Grupp B fick istället frågan om eleverna kunde peka ut vilket år någon förälder var
född. När eleverna i grupp B fick frågan började de att räkna. I mumlet framgick att
samtliga visste hur gamla deras mödrar var, men ville hitta födelseåret för att kunna
peka på rätt år. ”mummel…40…äh…40…jo alltså ja, det var 1964…så det är hääär…hm…här…” (pekar på 1964). Alla kunde peka ut ett rimligt årtal för sina föräldrars
födelseår.
Fråga 12. Vad tror du nyttan är med en sådan här tidslinje?
Grupp A:
Stephanie, i grupp A, förklarade: För vissa barn är det jobbigt att förklara och då kan
det vara lättare att visa. Övriga elever svarade att man kunde hålla reda på tiden med
den.
Grupp B:
Nyttan med en tidslinje förklarades i grupp B med ord som; minne, att lättare kunna
räkna, att lättare kunna visa.
Fråga 13. Var finns året 2004 på denna tidslinje?
På tidslinjen var år 2004 inte utsatt. Tidslinjen slutade med år 2000 och endast en liten
marginal fanns med, stor nog att rymma år 2004 om vi hade fortsatt.
Grupp A:
Gustav svarade att år 2004 måste vara i närheten av år 2000 på tidslinjen. Sara och Stephanie trodde att 2004 skulle hamna några decimeter utanför pappret. Mats och Majsan
valde att inte svara, de visste inte.
Grupp B:
I grupp B pekade samtliga på ett fiktivt 2004.
40
Fråga 14. Om en person är 100 år, när föddes den personen då, visa på tidslinjen?
Grupp A:
På 14-1500-talet svarade grupp A med undantag för Mats som svarade rätt till att börja
med men ångrade sig när han tänkte efter. Han hade tidigare pekat ut sin mormors födelse vid 1750 och morfar i slutet på 1700-talet. Han motiverar sin ändring med: ”…
om mormor var född där och morfar föddes där borde detta vara lite längre bakåt” (pekar på 1730-talet).
Grupp B:
Frågan gavs enbart till William i grupp B som svarade år 1904.
Fråga 15. Om du haft så här mycket pengar (visar på talet 1600 på tidslinjen), är du rik
då? Hur mycket hade du haft då? Vad kan du handla för så mycket pengar?
Grupp A:
Nästan samtliga svarade rätt på frågan om hur mycket pengar ett tal var. Mats svarade
16 000 kronor när försöksledaren pekade på 1600. Men vad pengarna skulle räcka till
gav skiftande svar. Gustav ansåg att en fin begagnad bil skulle nog 1600 kronor räcka
till. Stephanie trodde att pengarna skulle räcka till en dator.
Grupp B:
I grupp B skulle pengarna räcka till en mobil, nästan 4000 tuggummi, kläder och
smycken.
Fråga 16. Kan du peka ut år 1 på tidslinjen?
Grupp A:
Tidslinjen sträckte sig på ett A4 papper från år 1400 till år 2000. Sara mätte med fingrarna avståndet mellan 1400 och 1600 och flyttade sedan fingrarna och räknade bakåt
till hon kom till år 0, hon konstaterade sedan att år 1 måste vara nära år 0. Stephanie och
Gustav trodde att det var cirka 3 meter utanför pappret och Mats pekade cirka en halv
meter utanför pappret.
Grupp B:
I grupp B ställdes frågan om tidslinjen kunde ha fortsatt framåt (framtid) eller bakåt (dåtid). Alla fem tyckte det, däremot med skiftande argumentation. Anna tyckte att tidslinjen kunde fortsätta både bakåt och framåt, i alla fall så länge det finns/fanns liv, för ”sedan spelade det ju ingen roll”. För Cilla kan en tidslinje egentligen inte visa framtiden,
en tidslinje är bara till för sådant man vet. Harry tyckte att en tidslinje kunde fortsätta åt
41
vilket håll som helst, framtiden är mer oviss än dåtiden, det är skillnaden. Även dåtiden
är osäker, framhäver han.
F:
Här då (pekar på dåtiden), kan jag fortsätta här då… kan man
vara säker här då?
Harry:
4.2
Alltså man kan ju inte vara helt säker… men mer säker i alla fall
Undervisningsförsök
Tillfälle 1
Grupp A
Mötet inleddes med att eleverna fick fundera på om man kunde rita tid på något sätt.
Stephanie tyckte att man kunde rita en klocka, ingen av de andra eleverna hade några
förslag. Eleverna fick då till uppgift att rita vad som hade hänt dem på en hel dag på något sätt. Vi diskuterade lite kring vilken tid de vaknade, när de åt frukost och när de gick
till skolan, för att de skulle komma igång. När flickorna började bli färdiga med sina
teckningar hade pojkarna fortfarande inte ritat något. Eleverna fick visa upp och berätta
om det de hade ritat. Stephanie och Sara hade ritat teckningar som föreställde dem vid
frukostbordet. Sara gestaltade tiden genom att rita en klocka över bordet på sin teckning.
Figur 2. Saras teckning föreställande frukostbordet med klockan på väggen.
42
Majsan hade gjort 6 rutor på en linje där hon hade ritat in vad som hände när hon steg
upp i den första rutan, de andra rutorna tänkte hon rita i vad som hände senare under dagen, som en lång serie. För att man skulle kunna veta när de olika händelserna skedde
hade hon tänkt skriva klockslaget under rutorna.
Figur 3. Majsans teckning där hon har ritat serierutor.
Avslutningsvis gjorde vi en tidslinje över morgontimmarna i skolan gemensamt och
diskuterade om en tidslinje kunde vara ett bra sätt att visa/rita tid på. Eftersom några
tidslinjer var svåra att tyda då klockslagen stod på olika ställen på tidslinjerna, Majsan
hade ibland skrivit klockslaget på markeringen, ibland emellan dem, förslog försöksledaren att gruppen kunde göra en gemensam tidslinje och skriva in gemensamma viktiga
tidpunkter, tillsammans.
Grupp B
Grupp B enades om att göra en gemensam tidslinje över dagen. Det röstades och alla
elever ville arbeta tillsammans. Anna fick agera sekreterare, efter Williams, Harrys och
Jonathans vädjan. Tidslinjen började klockan sex och slutade tolv på natten. Alla i
gruppen fastnade i problemet hur de skulle räkna ut vilket klockslag som skulle vara i
mitten. Allra först ville de sätta ut klockan 12.00 i mitten av tidslinjen, tills de insåg att
mellan 06.00 och 12.00 var det sex timmar, men mellan 12.00 och 24.00 (då tidslinjen
43
skulle sluta) var det tolv timmar. På Annas inrådan bestämde de sig för att hitta ett annat
klockslag som kunde vara mitten. De provade sig fram. Efter 45 minuter hade eleverna
gjort en tidslinje med proportionerligt fördelade klockslag.
Figur 4. Grupp B:s gemensamma tidslinje från tillfälle 1
Tillfälle 2
Grupp A
Eleverna fick till uppgift att göra tidslinjer över dagen från morgonen till middagstid vid
gruppmöte 2. Försöksledaren ritade upp en tidslinje på tavlan och därefter diskuterade
gruppen vilken tidsindelning man kunde göra beroende på över hur lång tid tidslinjen
sträckte sig. Eleverna fick också ge förslag på hur de kan gestalta olika händelser på
tidslinjen. Gustav föreslog t.ex. att man kan rita en macka vid klockslaget där man åt
frukost. Alla kom snabbt igång med att göra sina tidslinjer. När de var färdiga fick eleverna visa upp sina tidslinjer och berätta om varandras förmiddagar. Eleverna fick också
fundera en stund på om det var något som skilde dessa tidslinjer åt. Gustav tyckte att
Stephanies var svårare att utläsa för där fanns inga lodräta streck som markerade tiden.
Figur 5. Stephanies tidslinje
44
Mats tyckte att det var svårt att tyda klockslagen på Saras tidslinje. Hon hade satt klockslagen på strecken och ritat bilderna mellan de lodräta strecken. Mats hade då svårt att
avgöra om det var klockslaget innan bilden, efter bilden eller klockslaget mitt emellan
de båda på strecken som gällde. Precis som i tabeller och diagram, där det är viktigt att
tydligt visa vad varje stapel eller kolumn står för, måste även tidslinjer tydligt visa vad
varje markering står för, och hur en sådan kan avläsas.
Figur 6. Saras tidslinje.
Grupp B
Vid detta tillfälle fick grupp B börja med att skissa en tidslinje som skulle inkludera deras liv men också deras föräldrars. Gruppen jämförde sedan den med den tidslinje som
använts under förintervjuerna. Frågor som ställdes av försöksledaren var bland annat
vilka indelningar som fanns på den förra tidslinjen och vilka som fanns på den nya de
tillverkat? Begreppet ”generation” kom upp och eleverna räknade ut hur många generationer de hade på den personliga tidslinjen och sedan på den tidigare tidslinjen (från
1500-talet till år 2000). Här fick eleverna både uppskatta, jämföra och avläsa på tidslinjen. Men eleverna fick också använda sig av räknestrategier som addition och multiplikation.
45
Tillfälle 3
Grupp A
(Sara frånvarande)
Gruppmötet inleddes med att eleverna fick repetera vad de senast hade gjort. Eleverna
fick sedan till uppgift att göra tidslinjer över sitt eget liv, dessa måste då rymmas på ett
liggande A4-papper. Gruppen pratade sedan om vilka tidsangivelser som kunde användas och vilka årtal tidslinjerna skulle börja och sluta med. Efter en stund hade alla elever
kommit igång med sina tidslinjer. Majsan fick inte plats med sin tidslinje på en rad och
gjorde därför ytterligare en rad under den första. Hon fick förklarat för sig att tidslinjen
skulle vara på en rad och få plats på papprets bredd. Under arbetets gång kom gruppen
även in på om avstånden på tidsindelningen behövde vara lika långa, vilka viktiga händelser som kunde vara med på tidslinjerna, vilket år de började dagis, skolan och när
eventuella syskon föddes. Diskussionen leddes senare in på hur året ser ut, vad som är i
början av året, i mitten och i slutet. Eleverna diskuterade när på året nyårsafton är, varför vi kallar det nyårsafton och hur många månader in på året som deras födelsedagar
låg.
När eleverna fick visa varandra avsnitt från sin tidslinje utspelade sig den här sekvensen:
Majsan:
Nu är det elva men det är för att jag är över 10
F:
Ja, du lever ju på ditt 11:e år,
Majsan:
Är jag 11 år då?
F:
Nej, men du lever på ditt 11:e år
Gustav:
Nä, hon fyllde ju 10 år detta år.
Stephanie hade oproportionerliga avstånd mellan de olika åren och för att problematisera detta fick eleverna titta på en tidslinje med tydliga skillnader på avstånden mellan
åren för att diskutera detta. Eleverna var oense om man kunde ha ojämna avstånd mellan åren eller inte.
46
Figur 7. Stephanies tidslinje med oproportionella avstånd mellan åren.
Gustav och Mats ansåg att man inte kan göra ojämna avstånd mellan åren medan Majsan och Stephanie tyckte att det inte hade någon betydelse. Mats kunde inte motivera
varför han tyckte det skulle vara jämna avstånd mellan åren men Gustav sa att det inte
går, att ha ojämna avstånd, ”för att det är ju inte ojämna år”. Vi började därefter diskutera hur många dagar det är på ett år. Gustav nämnde skottår, varpå de övriga i gruppen
frågade vad skottår var. Eftersom skottår innebär att året förlängs med en dag, från 365
till 366, var det viktigt att ta ställning till om det måste synas på en tidslinje.
Grupp B
Vid det tredje gruppmötet fick eleverna i grupp B göra egna tidslinjer som skulle
sträcka sig från nutid till år noll. Tidslinjen skulle passa på ett A4 papper. Eleverna fick
fundera om ifall de mött någon som är född på 1000-talet (pekade på 1000-talet på tidslinjen), om hur många generationer som fötts mellan år noll till idag, vilka årtal som
finns mellan år 1500 och år 2000 respektive år 1000 och år 1500. Genom att räkna generationer arbetar vi både med multiplikation och addition men även med överslagsräkning. På frågan om vilka årtal som ligger mellan år 1500 och 2000 kan vi avgöra hur
pass väl eleverna kan utläsa de tal som inte står utsatta på tidslinjen. När tidslinjerna var
färdiga frågade försöksledaren dem igen om de visste vad som hände vid år noll eftersom vi började räkna där. Eleverna svarade att det var då Jesus föddes.
47
Arbetet fortsatte med att försöksledaren frågade eleverna var någonstans på deras tidslinje som Jesus mamma kunde vara född. Eleverna svarade genom att peka på ungefär
20 år bakåt från Jesus födelse. Därefter ombads eleverna skriva ner hur de skulle beteckna detta år, Cilla menade att årtalen före Jesus tid kunde skrivas med ett minustecken framför, det skulle skilja dem åt från åren efter Jesus födelse.
Figur 8. Grupp B:s gemensamma tidslinje.
Tillfälle 4
Grupp A
Det fjärde mötet inleddes med att eleverna fick berätta för Sara vad som gjorts under
förra mötet. Eleverna berättade, samtidigt som tidslinjerna visades upp, vad de hade
gjort. Tidslinjen med oproportionerliga avstånd på åren visades också upp. Gustav berättade för Sara att denna tidslinje var ”kass” och eleverna fick därefter berätta vad det
var som gjorde att den kunde uppfattas så. Majsan sa då att hon visste vad det var som
var fel på den. ”Hon har gjort stora mellanrum, och små och lite mittemellan och så”.
Figur 9. Försöksledarens tidslinje för att problematisera proportionalitet.
48
Eleverna fick därefter till uppgift att göra tidslinjer över sina föräldrars liv. Gruppen
med försöksledaren samtalade om hur gamla föräldrarna var, när de var födda och vilken tidsindelning som skulle användas. Majsan gjorde en tidslinje där två lika långa avstånd representerar 10 respektive 1 år. När hon visade upp den påpekade Mats att ”det är
ju lika knasigt som hons” (syftar på det oproportionerliga). Gruppen fick resonera också
om huruvida man måste börja exakt vid en förälders födelse, eller om man kan göra det
”lite lätt för sig” och börja vid ett jämnt årtal.
F:
Det hade ju fått vara lite tomt där i början tills att min pappa
föddes så när vi kom till 1939 skulle jag skrivit in att här föddes
min pappa.
Grupp B
Grupp B gjorde en tidslinje som sträckte sig tillbaka till stenåldern under det fjärde
gruppmötet. Den gjordes gemensamt. Anna fick agera sekreterare igen, Jonathan och
Cilla försökte då och då kommentera eller lägga till nåt i tidslinjen. William var verbalt
mycket aktiv, Jonathan också, Harry satt mest tillbakalutad och lyssnade intensivt. Vid
alla matematiska uträkningar piggnade Harry till och bidrog till resonemangen. Därefter
ägnade gruppen sig åt att ta reda på hur många generationer som förflutit sedan stenåldern. Eleverna fick dela in de 10 000 år som förflutit i 30 års delar. 300 generationer har
gått.
Tillfälle 5
Grupp A
(Stephanie frånvarande)
Inledningsvis fick eleverna visa upp sina tidslinjer från förra mötet. Vi jämförde några
olika sätt de hade gjort tidsindelningar på och diskuterade vilka tidsenheter som var
lämpliga i olika tidslinjer. Mats tyckte att man kunde dela in tidslinjer över föräldrarnas
liv i decennier (10 år). Därefter gjorde vi gemensamt en tidslinje på tavlan som sträckte
sig 100 år bakåt i tiden. På denna fick eleverna bestämma var deras föräldrars födelse
låg och var deras egna födelseår skulle vara. Eleverna fick sedan frågan om de kände till
Gustav Vasa och när han levde. Mats kände till Gustav Vasa från knäckebrödspaketen
49
och Gustav och Majsan visste att han hade varit kung i Sverige en gång i tiden. På frågan om hur många år sedan Gustav Vasa var kung, svarade Mats att det var 20 år sedan.
Eleverna fick göra tidslinjerna två och två denna gång. Det förekom en del diskussioner
kring lämpliga tidsindelningar, antal nollor i talen och så vidare. I samband med diskussionen kring år 1500 och att Gustav Vasa levde då kom Sara på att hennes farmor inte
hade kunnat leva då. Hon kom ihåg att hon vid förintervjun hade pekat ut sin farmors
födelseår omkring år 1500. Mot slutet av träffen uppstod det problem kring Majsans och
Saras tidslinje. Majsan hade fortsatt tidslinjen till år 2400 och Majsan och Sara pekade
hela tiden på 2400 när de skulle peka ut 2004. Mötet avslutades utan att Majsan och
Sara hade förstått vad som var fel när de hävdade att innevarande år var 2400.
Figur 10. Majsans och Saras tidslinje som sträcker sig från 1500 till 2300.
Figur 11. Gustavs och Mats tidslinje från samma tillfälle som ovan.
50
Grupp B
För 6,4 miljarder år sedan skapades jorden. Under gruppmöte fem fick eleverna räkna ut
hur många A-4 papper lång en tidslinje skulle vara om varje papper innehöll 2000 år.
Varje elev räknade och funderade. Inga miniräknare fanns att tillgå. Varje elev hade en
egen strategi och tillfälle gavs att diskutera de olika sätten. Det var bara Jonathan som
inte kom fram till samma svar som de andra, men å andra sidan hjälpte han till att förkorta i Harrys bråkuträkning. Harry hade räknat ut vad 6 400 000 000 dividerat med 2
000 var, med alla nollor inräknat, Jonathan tog helt sonika en penna och strök tre nollor
ur täljaren och tre nollor ur nämnaren på Harrys papper. Detta var grupp B:s sista undervisningsförsök.
Tillfälle 6
Grupp A
Tillfälle 6 inleddes med att spela spelet ”Högsta talet 2” ur de så kallade mattegömmorna (Anselmsson, övers. 1998). Detta spel går ut på att varje elev ska placera siffran som
slås med tärningen på ett valfritt ställe av fyra möjliga. Dessa fyra siffror ska bilda ett
fyrsiffrigt tal. De får inte flytta på en siffra när den väl är placerad. Den som har det
högsta talet i slutet vinner. Detta spel spelades tre gånger och det var olika elever som
vann de olika omgångarna. Utifrån spelets händelser kunde samtalet sedan handla om
siffrornas värde på de olika platserna. När spelet var färdigt skrevs talen 2004 och 2400
upp på tavlan av försöksledaren. När eleverna såg talen uppskrivna på tavlan och gruppen fick prata om siffrornas värde upptäckte de sitt misstag från föregående undervisningsförsök. Samtalet ledde då över i om deras tidslinje var felaktig eller ej. Tidslinjen
var korrekt gjord med 100 år mellan varje markering, felet låg endast i var de pekade ut
nuvarande år, de hade pekat på år 2400.
Eleverna fick sedan till uppgift att göra tidslinjer från 1000-talet till nu. Kung Rickard
Lejonhjärta introducerades för eleverna och Mats, Majsan och Gustav hade hört talas
om honom tidigare. Även här startade diskussioner angående tidsindelning och avrundning. På de färdiga tidslinjerna fick eleverna därefter peka ut när Gustav Vasa levde,
vilket år deras föräldrar var födda och deras egna födelseår. Gustav Vasas levnadsår klarade de alla att peka ut utan några större problem men när de kom till sin egen födelse
stötte Majsan på problem. Hon började med att peka ut sin födelse efter år 2000, ändra-
51
de sig sedan till år 1900 och fick sedan lite hjälp av de andra eleverna i gruppen för att
kunna få det rätt.
Tillfälle 7
Grupp A
Denna gång fick eleverna titta på en färdig tidslinje som sträckte sig från ca 300 f. Kr
till ca 2100 e. Kr. I det sista undervisningsförsöket problematiserades det faktum att
man kan hitta år 10 både före och efter Jesus födelse. De enda årtal som var utsatta var
år 0, år 1000 e. Kr. och år 2000 e.Kr. Varje 100:e år var markerat och vart 500:e år var
tydligare markerat . Eleverna fick fundera på vilket årtal tidslinjen började och vad år
noll innebar.
År 0
1000 e.Kr
2000 e. Kr
Figur 12. Tidslinje 1
Eleverna fick också fundera på man kunde kalla det år där Jesus fyllde tio år. Majsan
föreslog då att det borde ha hetat år 10. Nästa fråga gällde om Maria (Jesus mamma)
hade varit 20 år när hon födde Jesus, vad kallas då det år då hon var 10 år.
Majsan:
År minus 10
Gustav:
Noll minus 10
Därefter fick eleverna med försöksledarens stöttning räkna ut hur många generationer
det har gått från år 300 f.Kr till år 0 och därefter hur många generationer det har varit
sedan år 0 till nu. Eleverna hade tidigare inte hört ordet generation så detta begrepp fick
först förklaras för dem. Ett genomsnitt på 25 år till varje generation användes. Detta
valdes av försöksledaren för att förenkla räknandet för eleverna. De fick börja med att
räkna ut hur många generationer det hade gått på 500 år. Då hamnade eleverna på Gustav Vasas tid och eleverna räknade ut att det hade gått 20 generationer på dessa 500 år.
De försökte sedan räkna ut antalet generationer ända ner till år 0.
52
4.3
Tidslinjernas matematik
4.3.1 Proportionalitet
Grupp A
Under arbetets gång visade det sig att proportionalitet var ett återkommande problem.
Eleverna i framförallt grupp A lät antingen tidslinjerna ha markeringar med skiftande
längd, eller så satte de inte ut tidsmarkeringarna med jämna mellanrum. Eleverna fick
svårt när de skulle avläsa varandras inkorrekta tidslinjer. På olika sätt och vid olika tillfällen fick eleverna arbeta med detta. Följande utspelade sig vid första undervisningstillfället i grupp A. Eleverna höll på att göra en tidslinje över sin morgon, de diskuterade
vilka klockslag som ska vara med, och hur de skulle markera dessa.
Mats:
Kanske åtta och tjugo.
F:
Ja det kan nog stämma. Var blir det här på denna linje? Visa var
kan åtta och tjugo vara.
Majsan:
Vid det strecket (pekar på korrekt ställe med hänsyn till var 8.00
och 8.10 var placerade).
F:
Okej då har vi åtta och tjugo där
F:
Vilket klockslag tycker ni sen ska komma? Vad ska vi skriva för
klockslag här?
Stephanie: Klockan nio.
F:
Ska klockan nio komma här? Har vi fler förslag.
Mats:
Åtta och trettio.
Eleverna i undervisningstillfället gav alltså här olika förslag på hur indelningen skulle
se ut, tidigare hade gruppen dragit streck varje tionde minut, Stephanie föreslog att det
efter 08.20 skulle stå 09.00.
Vid undervisningstillfälle 2 återkom diskussionen om proportionalitet och vikten av
den.
F:
Är det viktigt att det är lika långa avstånd?
Majsan:
Nej.
Gustav:
Jo.
53
Majsan:
Nej det tror inte jag.
F:
Jag får höra lite förslag, de som tycker att det inte är viktigt berättar varför det inte är viktigt, och de som tycker det är viktigt
får gärna berätta varför de tycker att det är viktigt.
Gustav:
För det är lika långt emellan.
F:
Lika lång mellan vad?
Gustav:
Åren.
F:
Du menar att ifall det är lika långt mellan varje år så ska det vara
lika långt mellan linjerna på en tidslinje?
Gustav:
Mm
F:
Och vad tycker ni som inte tycker det har någon betydelse?
Mats:
Vi tycker bara inte att det har någon betydelse.
F:
Okej, men vad jag ser så har ni ändå gjort lika långa avstånd.
Mats:
Ja, jag bara gjorde det för jag trodde det skulle få plats på hela
pappret men det gjorde det inte.
I grupp A tog diskussionen om proportionalitet stor plats. Vid tillfälle 3 uppstod en diskussion om årets längd och huruvida årets konstanta längd ska återspegla sig i tidslinjen.
F:
Hur långt är ett år? Hur många dagar är ett år?
Mats:
Äh, det håller inte jag koll på.
Gustav:
196 eller 197
F:
365 dagar är det.
F:
365 dagar ja, ifall jag nu skulle vilja rita upp alla dagarna här,
365 dagar, så, en massa linjer. Och så vill jag göra likadant där…
är åren lika långa?
Majsan:
Ja
F:
Tycker ni åren här också ska vara lika långa då?
Gustav:
Inte ifall det är skottår och sånt.
Eleverna i grupp A fick här fundera på vikten av lika avstånd när ett år skulle markeras i
en tidslinje. Gustav nämnde skottår, han hade en föreställning om att det borde synas.
54
I grupp A fanns det, förutom avsaknad av vissa förutsättningar såsom kunskap om årets
längd, också vissa vanföreställningar om hur saker och ting förhöll sig. Genom att bryta
ut proportionalitet ur arbetet med tidslinjer fick eleverna reflektera kring likhet och avbildning. Följande sekvens utspelade sig under det femte lektionstillfället.
F:
Vi pratade om avstånden mellan åren, om de skulle vara lika eller inte lika. Jag ska rita något på tavlan, jag ska rita av den anslagstavlan (kvadratisk), då är där en sida där, en sida där, en
sida där och en sida där (ritar den som en rektangel där längden
är mycket längre än bredden). Blev det bra? Blev det likt?
Sara:
Nej
Gustav:
Nej
F:
Varför det?
Sara:
För att den är liten.
F:
Men om jag ska rita av en grej, kan jag ju kanske rita den lite
mindre, är den här lik anslagstavlan (ritar en kvadrat).
Mats:
Så där
Gustav:
Ja
F:
Varför är den lik anslagstavlan men inte den?
Gustav:
Den är fyrkantig men den är inte fyrkantig.
F:
Hur kunde det bli så. Vad gjorde jag där som jag inte skulle ha
gjort?
Mats:
För långa kanter.
F:
Jaha, vad har jag gjort rätt på den här då?
Mats:
Att alla sidor är lika långa.
F:
Ja, på den anslagstavlan ser vi att alla sidor är lika långa, då
tyckte ni att den är mest lik för där har jag gjort alla sidor lika
långa. Om man då tänker på tidslinjer, vi kom fram till att alla år
var ungefär lika långa. Om man då har en lång tidslinje (ritar en
linje på tavlan), och vi kom fram till att alla år var lika långa, det
var det vi diskuterade sist, kan vi göra så här då (ritar ojämna
årsavgränsningar)?
Mats:
Nej
F:
Hur skulle vi göra då?
55
Mats:
Lika långt mellanrum.
F:
Lika långt mellanrum. Ser ni det är likadant som när man ritar av
anslagstavlan. Den här anslagstavlan har lika långa sidor och för
att den ska bli lik som måste jag rita lika långa sidor. Annars blir
det inte likt. Då gör vi det med tidslinjen också. Har jag ett år
där, så måste jag ha två år där, tre år, fyra år…
Grupp B
Till skillnad från grupp A utgick eleverna i grupp B från att en tidslinje måste vara proportionell. De till skillnad från grupp A ägnade tid åt att under arbetets gång vrida och
vända de på problemet hur de skulle ordna jämna avstånd mellan tidsangivelserna.
Jonathan: Var är mitten…
Anna:
Det är inte så viktigt att ha med mitten
Jonathan: Jo, det är jätteviktigt
F:
Hur hittar ni mitten?
Cilla:
Vik pappret på mitten
F:
Ja, Cilla tycker vi ska vika pappret på mitten
F:
Vad är klockan då i mitten
Alla:
Tolv
F:
Här är klockan sex. Vad är klockan här då (pekar på slutet av
pappret)
William: 24
Jonathan: Nej
Anna:
Vi kan ju skriva 24 även om inte alla går och lägger sig så sent
William: För om hon är tolv då, då är hon ju 24 där…
Alla:
Mumlar och tänker
I grupp A fick försöksledaren använda andra kontexter för att problematisera proportionalitet, ett område som visade sig vara svårt att förstå. Även om Anna (grupp B) inte i
början insåg vitsen med att hitta mitten på tidslinjen och vilket klockslag som skulle stå
där, så var samtliga elever i grupp B involverade i vilka klockslag som skulle vara vid
de markeringar de hade gjort. Eleverna funderade länge och väl på att det skulle vara
samma antal timmar från mitten och ut på båda sidor.
56
4.3.2 Positionssystemet
Grupp A
Siffrors värde i talen var ett matematiskt dilemma som inte var helt lätt för några av eleverna i grupp A. I exemplet nedan kan man se hur Majsan hade svårt för att skilja mellan de två talen 2004 och 2400. Även Sara hade problem.
Majsan:
1700, 1800, 1900, 2000, 2100, 2200, 2300.
F:
Var är vi då nu? Ungefär?
Gustav:
2300…2300 (upprepar det för sig själv).
F:
Var är vi idag?
Sara:
2004.
Gustav:
2300 (hihi).
F:
Var är vi idag ungefär?
Majsan:
Ja, 2004.
F:
Vad är det där, vad står där (pekar på årtalet 2300)?
Majsan:
2300.
F:
Ja och skriv vårt årtal som vi är på nu undertill någonstans.
Majsan:
2004 (skriver det samtidigt som hon säger det högt).
F:
Vilket kommer först? Det eller det (2004 eller 2300)?
Majsan:
(Ej hörbart svar)
F:
Var ska vi sätta in den (2004) på den linjen?
Sara:
Här (pekar på strecket efter år 2300).
F:
Har vi fler förslag? Vilket kommer först, det eller det, 2004 eller
2100?
Majsan:
Det (pekar på 2100).
Sara:
(ej hörbart)… sådära, det är bara att räkna så 1, 2, 4, 3.
F:
Nä men var på ett ungefär?
Sara:
Det är här borta.
F:
Nej.
Gustav:
2004 är…
Sara:
Men hallå, den där ska väl hoppa dit (pekar fortfarande på
strecket efter 2300)?
F:
Lyssna nu här, ni sa att det var 100 år mellan varje streck.
Gustav:
Alltså ni behöver inte göra ända dit.
57
F:
Hur många år sedan var det år 2000? Kommer ni ihåg när det var
millenniumskifte?
Sara:
Nej.
F:
Hur många år sedan var det millenniumskiftet och det blev år
2000?
Vad tror du Majsan?
Majsan:
(Ej hörbart)
Gustav:
4 år sen.
F:
Kommer Gustav eller Mats ihåg hur många år sedan det var millenniumskifte?
Gustav:
4 år sedan.
F:
4 år sedan.
Mats:
Jag säger ju det.
F:
För 4 år sedan var det alltså år 2000 och det är 100 år…titta här
Sara…det är 100 år mellan varje streck och för 4 år sedan var vi
där. Var någonstans är vi nu?
Majsan:
Var? Där, där dog han (Gustav Vasa) inte men där var det millenniumskifte (pekar på 2000).
F:
Där var 4 år sedan och här är 100 år framåt (pekar på 2100), var
är vi idag då?
Majsan:
Här (pekar på strecket efter 2300).
Vid efterföljande tillfälle, spelade eleverna ett spel som heter ”Högsta talet 2”, för att de
skulle bli observanta på hur viktigt det är var en siffra är placerad i talet. Efter cirka en
halvtimmes spel återgick försöksledaren till problemet huruvida 2400 och 2004 är
samma tal. Majsan förmådde uttala talen rätt, men pekade förut fel på tidslinjen hela tiden. Efter spelet såg både hon och Sara skillnad på de två talen och insåg att de inte
kunde vara vid år 2400, till och med år 2100 var för mycket.
Majsan:
Är vi döda då?
F:
Om ni lever där (pekar på 2100), hur gamla är ni då?
Sara:
100.
58
Grupp B
I grupp B:s arbete visade samtliga elevers uträkningar att de förstod siffrornas värde.
Harry förklarade hur många A4 papper en tidslinje på fyra miljarder år skulle vara om
varje papper innefattade 2000 år.
Harry:
Man börjar på fem papper, så är det tiotusen, sen lägger man på
en nolla på femman och på tiotusen och så blir det femtio papper
på hundra tusen, femhundra papper på en miljon och sen…
Eleverna i grupp A fick genom laborativt spel synliggjort för sig siffrors värde beroende
på var i talet de var placerade, efter spelet visade detta sig genom de kommentarer de
gav. I grupp B behärskade alla fem elever tämligen avancerade uträkningar med bland
annat stora tal. Harrys utläggning ovan är ett exempel på det.
4.3.3 Stora tal
Grupp A
De stora talen, där det gäller att hålla reda på antal nollor, vållade problem i grupp A.
Ofta blandades tal som 1500, 5000, 500 och t.ex. 15 000 ihop. De olika sätten att läsa ut
stora tal på (till exempel femtonhundra och ettusenfemhundra) har också ställt till det
för eleverna i gruppen. Detta avsnitt kommer från femte undervisningstillfället.
Majsan:
Men hur skriver man 1500 då?
Sara:
Flera nollor.
Majsan:
Men nu står där 150 000.
F:
Nej, nu står det 1500 (femtonhundra), hur kan man också utläsa
detta tal som? Alltså om ni ser detta tal i matte…
Gustav:
1500 (ettusenfemhundra).
F:
Ja, just det, ettusenfemhundra brukar man ju oftast säga.
Sara:
Jo, men då blir han (Gustav Vasa) så gammal.
F:
Nej det betyder att han levde på 1500-talet.
Eleverna i grupp A visade svårigheter att se skillnad och/eller likheter i att benämna ett
och samma tal på två olika sätt, nämligen ettusenfemhundra och femtonhundra.
59
Grupp B
Arbetet med stora tal tog stor del av grupp B:s tid. På olika sätt fick eleverna räkna ut
bland annat hur många generationer som fick plats på 10 000 år, hur många tioårsperioder som gick in i 2000 år, hur lång en tidslinje blev om 1000 år är 25 cm. Cilla förklarade hur många papper som behövdes om tidslinjen skulle vara fyra miljarder år och varje
A4 innefattade 2000 år.
Cilla:
Det går fem papper på tiotusen… om man då tar och dubblar 4
med fem därför att det är ju 40000 först… då blir det… 20 papper… så 40 000 år är 20 papper…
Där eleverna i grupp A arbetade med skillnader med exempelvis 1500 och 150 000, ägnade sig grupp B åt att räkna ut hur många generationer som går in på 2000 år, eller hur
många papper en tidslinje över 4 miljarder år ska vara.
4.3.4 Negativa tal
Grupp A
Eftersom grupp A i huvudsak ägnade sig åt matematiska svårigheter såsom proportionalitet och positionssystemet blev tiden för arbetet med negativa tal kortare. Dialogen visar att ”negativa år” inte var något helt främmande för eleverna.
F:
Var börjar denna tidslinje?
Mats:
År noll.
Gustav:
Är det kronor… efter Kristus (pekar på förkortningen e.Kr på
tidslinjen).
F:
Efter Kristus, var börjar linjen? Vilket år?
Majsan:
År noll.
Mats:
År minus…
Majsan:
År noll.
Mats:
Nej, minus någonting.
60
Grupp B
Begreppet negativa tal var tämligen nytt för grupp B. Här hittade eleverna ett användningsområde för att skriva tal som negativa.
F:
Nu kommer en knepig fråga, vad kallas då det år när Jesus
mamma föddes?
Anna:
Hur gammal var hon när hon födde Jesus?
F:
Hon var inte så gammal, jag tror inte ens hon hade fyllt 20. Men
vi kan ju säga 20. Vad hette det året?
Cilla:
Det hette ju 20 år före Kristus.
Anna:
Ja.
F:
Hur kan man skriva det, ni får varsin lapp här och så får ni skriva
ner vilket år som Maria föddes… skriv ner det…
Jonathan: Jag vet inte hur man ska skriva det.
-----F:
Du har bara skrivit 20 år Jonathan. Hur ska jag veta att det är 20
år före Jesus föddes, och inte när Jesus var 20 år?
Jonathan: Det var ju 20 år innan.
F:
Skriv nåt på lappen så att jag också fattar att det var 20 år innan.
------F:
Nu vill jag visa Cillas här, här har du skrivit år noll… och sen 10
… 20 … hur ska jag veta att detta är före Jesus föddes…? Vad
har du gjort framför tian där? Intressant.
Cilla:
Ett streck.
F:
Som ett litet minus.
Cilla:
Ja, det är ett minus.
F:
Varför tror ni att Cilla har satt ett minustecken framför tian där
tror ni?
Jonathan: Ingen aning.
F:
Här har Anna skrivit F. K… jag tror det betyder ”Före Kristus”
stämmer det?
Anna:
Mm.
61
F:
Här står alltså F. K, och här på Cillas står det minus tio år… ja,
det kan ju knappast betyda att Jesus var tio år gammal. Kan man
vara minus tio år gammal?
Anna:
Neej…
I grupp A nämnde de negativa tal obehindrat, detta var inte helt nytt för dem, som det
visade sig vara för grupp B.
4.3.5 Multiplikationshopp
Grupp A
Att hoppa fram i en talserie visade sig vara svårare än väntat. Allt arbete med tidslinjerna innehöll delar av detta och ingick som en viktig beståndsdel.
F:
Vi kan prova kanske om jag sätter här 1960 och sen skriver jag
här 1965, vad ska jag ta här då (pekar på platsen där 1970 bör
placeras).
Majsan:
1970.
F:
1970, och där?
Majsan:
1975, 1980, 1985, 1990, 1995, 2000, 2005.
Eleverna i grupp A fick också träna sig på att räkna bakåt på en tidslinje med jämna
”hopp”.
F:
Om vi backar nu istället och är 10 år tillbaka från 2000.
Gustav:
90.
F:
1990, och 10 år tillbaka igen.
Gustav:
80.
Majsan:
70, 60, 50, 40, 30, 20, 10.
F:
Hur länge ska jag fortsätta för att vi ska ha gått 100 år?
Mats:
Ända tills du är på 1900.
Majsan:
1700, 1800, 1900, 2000, 2100, 2200, 2300.
F:
Var är vi då nu? Ungefär?
Gustav:
2300…2300 (upprepar det för sig själv).
62
F:
Var är vi idag?
Vid ett tillfälle fick Gustav som uppgift att räkna hur många generationer som rymdes
under en tidsperiod (500 år). Till sin hjälp fanns laborativt material att tillgå i form av
spelpjäser.
F:
Hur många sådana generationer…
Gustav:
År 50, år 100.
F:
Vi sa att det skulle vara 25 år mellan varje.
Gustav:
Nä.
F:
Jo.
Gustav:
Okej, år 50, år 100, år 300 (han pekar på varannan spelpjäs).
Majsan och Gustav visade att de utan problem klarade av att göra multiplikationshopp
med jämna tio- eller hundratal. Majsan gjorde också jämna ”hopp” i femmans multiplikationstabell. Gustav hade svårt för hopp med jämna 25-steg.
Grupp B
Eleverna i grupp B fick också tillfälle att göra matematiska hopp längs en (tänkt) tidslinje. Detta är ett exempel ur en sådan undervisningssekvens.
F:
Hur många år är det här emellan? (pekar på år 0 och år 500, sen
på år 1500 och år 2000).
Jonathan: 500 år.
F:
Ja, det är 500 år emellan. Om vi tar mitten av det, vad har vi då
för år där då (pekar mitt emellan år 1500 och år 2000)?
Harry:
1750.
F:
Är du med på det William? Att det är år 1750, kan du skriva det?
F:
Vad är det för år här, det ligger mellan år 1500 och år tusen?
Jonathan: 750.
Cilla:
1250.
F:
1250 säger du Cilla. Är alla med på det? Vad ska det stå där då?
(pekar mellan 1000 och 500).
William: 1250 (William tittar längre bort på tidslinjen).
F:
Det är här William.
63
William: Jaha… äh.
William: 750.
Jonathan: 750.
Att utföra multiplikationshopp visade sig svårt för eleverna i grupp A, i alla fall när talen inte var jämna tiotal eller hundratal. Jonathan (grupp B) svarade fel när han skulle
tala om vilket årtal som låg mellan år 1000 och år 1500 på en tidslinje. William (grupp
B) sa att mellan år 1000 och år 500 skulle år 1250 ligga, men när han fick se var år 1250
låg på tidslinjen ändrade han sig och hittade snabbt år 750.
4.3.6 Avrundning
Grupp A
Det visade sig att eleverna hade skiftande kunskaper i att avrunda till jämna tiotals år. I
de längre tidslinjerna behövde eleverna avrunda för att göra dem funktionella. I tidslinjer där decennium, sekel eller till och med millennium finns med kanske till exempel årtalet 1965 inte ska markeras, såvida det inte markerar något speciellt i tidslinjen. De
formella reglerna för avrundning kände eleverna till, däremot rådde det skilda meningar
om hur mycket de skulle avrunda.
Gustav:
Vad ska där va, där bak och där fram?
F:
Ja, det går bra att sluta på 2000 för om man avrundar till t.ex. ett
jämnt 100-tal och vi är på 2004 nu, var hamnar vi då om vi avrundar det?
Gustav:
2000.
F:
Ja, då kan vi liksom sluta där för vi är omkring där, år 2000 och
vi skulle börja på 1000.
Vid ett annat tillfälle återkom diskussionen om hur en avrundning skulle kunna se ut.
F:
Du behöver ju inte sluta på exakt 2004, det är kanske lättare att
avrunda till något jämnt.
Mats:
Som jag hade gjort, till 2000.
F:
Ja, vi är ju rätt nära 2000.
64
Mats:
Det är närmare 2005.
Grupp B
När diskussionen handlade om avrundning av jämna hundratal, eller tusental uppkom
orden; millennium, decennium och sekel. Eleverna i båda grupperna använde sig av orden, men ofta i fel sammanhang, på fel sätt eller utan att veta innebörden. Här är ett avsnitt när Anna i grupp B förklarade vad sekel var.
Anna:
Sekel som går.
F:
Sekel vad är det?
Anna:
1000, 2000.
F:
År då eller?
Mats (grupp A) ville hellre avrunda år 2004 till år 2005 år till 2000. Han tyckte att det
låg närmare. Tidslinjen var markerad med jämna hundra år. Exemplet med Anna ovan
(grupp B) visade hur användandet av tidsbegreppet sekel blev fel.
4.4
Slutintervju
I slutintervjuerna lät vi eleverna svara på samma frågor som i förintervjun för att kunna
använda svaren i en utvärdering om hur mycket de hade lärt sig. Enbart eleverna i grupp
A blev intervjuade i en slutintervju.
4.4.1 Frågor kring begreppet tid
1.
Vad är tid?
2.
Är tid olika för olika människor?
3.
Hur kan man mäta tid?
4.
När var förr i tiden? Hur länge sedan var det?
5.
Vilket år är det nu? Varför?
Fråga 1. Vad är tid?
Intervjun inleddes med att eleverna i grupp A ombads berätta lite om vad vi hade gjort i
undervisningsförsöken. Alla berättade att vi hade gjort tidslinjer och de tyckte också alla
65
att de hade lärt sig något, utan att kunna precisera något. På frågan om vad tid är svarade fortfarande alla först och främst klockan. Gustav tyckte också att det kunde vara en
tidslinje, Stephanie associerade tid med stress och Mats och Sara höll fast vid klockan.
Fråga 2. Är tid olika för olika människor?
Om tid kan vara olika för olika människor så svarade Stephanie och Mats att det som är
kort tid för någon kunde vara lång tid för någon annan. Gustav svarade att olika tid kunde vara klockor som visar olika tid men det kunde också vara tidslinjer. Sara svarade
med olika klockslag.
Fråga 3. Hur kan man mäta tid?
Om hur man kan mäta tid svarade alla först och främst klockan. När försöksledaren frågade dem hur man kunde mäta längre tid, som dagar, månader eller år svarade Gustav
och Mats att man kunde använda sig av tidslinjer. Sara svarade att man kunde använda
en almanacka och Stephanie kom inte på några andra sätt att mäta tid utöver klockan.
Fråga 4. När var förr i tiden? Hur länge sedan var det?
Förr i tiden var, svarade Gustav, på stenåldern. Sara tyckte att det var för länge sedan,
några år sedan. Stephanie tyckte det var nog för 12 000 år sedan medan Mats svarade så
här: ”Förr i tiden är hur som helst, det kan vara igår också fast det kan vara över 1000 år
sedan”.
Fråga 5. Vilket år har vi nu? Varför?
Alla visste att det var år 2004 nu och alla utom Sara svarade direkt att det var Jesus som
föddes för 2004 år sedan.
4.4.2 Tidslinjer
Tidslinjen i historieboken
6.
Var börjar den här tidslinjen? Vilket år var det då?
7.
Var slutar tidslinjen? Vilket år?
8.
Kan du peka ut tiden när Gustav Vasa och Rickard Lejonhjärta levde?
9.
Kan du peka ut år 0 på denna tidslinje?
10.
Ungefär var skulle år 2004 ha varit om tidslinjen hade sträckt sig lite längre?
66
Tidslinjerna 1, 2 och 3
11.
Kan ni peka ut år 0 på dessa tre tidslinjer?
12.
Hur många år är det mellan varje markering på tidslinjerna?
13.
Kan du peka ut vilket år du föddes?
14.
Kan du peka ut tiden när Gustav Vasa och Rickard Lejonhjärta levde?
15.
Kan du peka ut när stenåldern var (cirka 7000 år sedan) på dessa tidslinjer?
16.
Om en person är 100 år, när föddes den personen då, visa på tidslinjen?
17.
Kan du peka ut år 1 på tidslinjerna?
Tidslinjen i historieboken
Fråga 6. Var börjar den här tidslinjen? Vilket år var det då?
När försöksledaren visade tidslinjen i historieboken (Salomonsson & Svedelid 1981,
sid. 4-5) kunde alla utom Stephanie lätt peka ut vilket år den började med. Stephanie
benämnde först år 800 som 1800 men ändrade sig snabbt till 800.
Fråga 7. Var slutar tidslinjen? Vilket år?
Alla utom Stephanie kunde säga vilket år tidslinjen slutade med. Stephanie benämnde år
1900 med 900 men när försöksledaren upprepade det hon sagt ändrade hon sig och sa
1900.
Fråga 8. Kan du peka ut tiden när Gustav Vasa och Rickard Lejonhjärta levde?
Alla kunde peka ut åren på tidslinjen när Gustav Vasa och Rickard Lejonhjärta hade
levt.
Fråga 9. Kan du peka ut år 0 på denna tidslinje?
Alla förstod också att de inte kan peka ut Jesus födelseår på denna tidslinje för att den
inte sträckte sig så långt bak i tiden.
Fråga 10. Ungefär var skulle år 2004 ha varit om tidslinjen hade sträckt sig lite längre?
Alla pekade först ut det på fel ställe, till exempel några centimeter utanför linjen, trots
att år 2004 låg inom papprets marginal. När försöksledaren bad dem titta på de andra
avstånden och fundera en stund kunde alla utom Sara peka ut det på någorlunda rätt
ställe. De pekade då på rätt sida om år 2000 och inom papprets marginal medan Sara
fortfarande pekade utanför tidslinjen.
67
Tidslinjerna 1, 2 och 3
År 0
1000 e.Kr
2000 e. Kr
Figur 13. Tidslinje 1
År 0
År 2000 e.Kr
Figur 14. Tidslinje 2
År 0
År 2000 e.Kr
Figur 15. Tidslinje 3
Fråga 11. Kan ni peka ut år 0 på dessa tre tidslinjer?
Eleverna fick se tre olika tidslinjer som vi benämner som tidslinje1, tidslinje 2 och tidslinje 3. Alla elever kunde peka ut år 0 på de tre tidslinjerna.
Fråga 12. Hur många år är det mellan varje markering på tidslinjerna?
Stephanie och Sara kunde inte se hur många år det var mellan markeringarna i tidslinjerna. Gustav såg snabbt att det var 500 år mellan varje streck på tidslinje 2 och 3. Han
trodde först att det var samma tidsindelning på tidslinje 1, men när försöksledaren sa att
det inte stämde ändrade han sig till 200. När han ombads att kontrollräkna upptäckte
han misstaget och ändrade sig till 100 år. Mats kunde efter lite funderande själv komma
fram till vilka indelningar tidslinjerna var indelade i men rörde ihop det lite med antalet
nollor. ”– Det är också 10 000… nej, 1000”.
Fråga 13. Kan du peka ut vilket år du föddes?
Stephanie och Sara kunde inte peka ut sitt eget födelseår på tidslinjerna. Sara pekade
först på 17-1800-talet medan Stephanie valde att inte peka alls.
68
Fråga 14. Kan du peka ut tiden när Gustav Vasa och Rickard Lejonhjärta levde?
Gustav och Sara kunde peka ut de år när Gustav Vasa levde, på tidslinjen. Stephanie
kunde peka ut det på tidslinje 3. Mats hade svårt för att peka ut Gustav Vasas tid på tidslinje 2 och 3, han utgick inte från år noll när han räknade utan istället utgick han från det
första strecket efter år 0 och hamnade då istället på år 2000. När försöksledaren påpekade att det inte stämde började han gissa på flera andra ställen utan att pricka rätt. Försöksledaren visade honom på tidslinje 2 och därefter kunde han själv peka ut det på tidslinje 3.
Fråga 15. Kan du peka ut när stenåldern var (cirka 7000 år sedan) på dessa tidslinjer?
Efter att ha fått reda på att stenåldern var för cirka 7000 år sedan kunde Sara och Gustav
peka ut när det var på tidslinje 3. Mats hade svårt för att peka ut det och Stephanie valde
en tidslinje som inte gick så långt bak i tiden men hon kunde inte heller peka ut det när
försöksledaren lade fram rätt tidslinje till henne.
Fråga 16. Om en person är 100 år, när föddes den personen då, visa på tidslinjen?
Gustav kunde utan svårigheter peka ut vilket år 100-åringen borde vara född på alla
tidslinjerna. Sara pekade lätt ut 100-åringens födelseår på tidslinje 2 och 1 men på tidslinje 3 började hon med att peka på 1500-talet och när försöksledaren bad henne att fundera en stund ändrade hon sig och pekade rätt. Mats hade svårt för att själv räkna ut när
100-åringen var född men när han väl visste det kunde han relativt lätt peka ut det på
alla tre linjerna. Stephanie kunde inte peka ut det på någon av linjerna
Fråga 17. Kan du peka ut år 1 på tidslinjerna?
Stephanie klarade peka ut år 1 på rätt ställe på tidslinje 1 men inte på de övriga 2. Övriga elever kunde utan svårigheter peka ut år 1 på alla tre tidslinjer.
Skillnaden mellan förintervjuerna och dessa efterintervjuer skilde sig mest i variationen
av svar, fortfarande svarade eleverna klockan om vad tid är, också i hur tid kan mätas,
men några svarade tidslinjer, och almanackor. Även ”förr i tiden” fick ett större variationsspann än i svaren jämfört med förintervjuerna. Här kunde förr i tiden vara allt ifrån
för några dagar sedan, till för 12 000 år sedan. I efterintervjun fick eleverna i grupp A
tre olika tidslinjer att välja mellan när de skulle peka ut tiden för Gustav Vasas tid, år
2004 och exempelvis var på tidslinjen man kan peka ut för hundra år sedan. Eleverna
69
klarade med variation av uppgifterna, Stephanie hade svårt att se hur många år det var
mellan markeringarna på tidslinjerna, Mats fick svårigheter när han ombads peka ut
stenåldern (7000 år sedan), Sara pekar på 1700-talet när hon ska peka ut sitt födelseår på
tidslinjen och Gustav fick fel på antal år mellan indelningarna, men lyckades rätta sig
med lite hjälp.
70
5 Analys
5.1
Matematiksvårigheter
Eleverna i grupp A hamnade i svårigheter när de skulle rita upp egna tidslinjer. De anpassade inte avstånden mellan årtalen. Detta tolkar vi som att de har problem att förstå
proportionalitet och dess betydelse. Proportionalitet återkommer i många matematiska
problemställningar, till exempel i matematiska mönster.
Eleverna i grupp B hade inga svårigheter med att fördela tidsintervallerna jämnt i sina
tidslinjer. Detta visade de vid ett flertal tillfällen. De har mött proportionalitet i samband
med arbete om matematiska mönster i sin matematikundervisning. Därför problematiserades inte proportionalitet i undervisningsförsöken med grupp B.
När eleverna skulle skriva stora tal var det flera i grupp A som var osäkra på antalet
nollor. Eleverna visade också svårigheter att utläsa tal. Redan vid förintervjun var det
exempelvis några elever som benämnde år 1400 och år 2000 som fjortontusen respektive tjugotusen. Detta visar att eleverna brister i sin förståelse av stora tal. Stora tal återkommer när eleverna arbetar med teman som till exempel rymden, dinosaurier och globalisering. Eleverna möter således stora tal ofta och därför är det viktigt att lyfta fram
matematiken i stora tal.
I grupp B gjordes många beräkningar där stora tal användes. Samtliga fem elever räknade till exempel ut hur många generationer som rymdes från istidens slut fram till idag.
Grupp B visade att de var relativt säkra på att räkna med stora tal. I uträkningarna eleverna gjorde framgick också att de var vana att hantera nollor, förkortningar och hur
man avläser stora tal.
Några av eleverna i grupp A hade svårt att skilja på olika tal bestående av samma siffror
men i olika ordning. Majsan pekade på år 2400 när hon skulle peka ut nuvarande år
(2004) på tidslinjen. Däremot benämnde hon nuvarande år rätt. Även Sara hade svårigheter att se skillnaden mellan 2004 och 2400. Varken Majsan eller Sara var säkra på
siffrornas värde i talen, alltså haltar förståelsen av positionssystemet. Förståelse för hur
vårt positionssystem är uppbyggt tillhör grunden i taluppfattningen. Möjligen kan grupp
71
A:s bristande förståelse för hur en tidslinje är uppbyggd vara ett resultat av att de inte är
trygga i sina kunskaper i hur vårt positionssystem fungerar. Om en elev inte förstår
skillnaden mellan talen 2004 och 2400 kan inte en tidslinje fylla någon som helst funktion för honom eller henne. Den mest elementära förståelsen för vad tal är värda, beroende på var siffrorna är placerade i talen, har i våra undervisningsförsök visat sig vara
bristfällig hos eleverna i grupp A.
I grupp B fanns det aldrig någon anledning att gå in och problematisera positionssystemet, då det aldrig uppstod några frågetecken om det. En av anledningarna till att det aldrig uppstod problem rörande positionssystemet kan vara att eleverna på olika sätt arbetat
aktivt med detta. Matematikläraren i klassen, har låtit eleverna laborera med positionssystemet, de har fått arbeta med andra baser, de har lärt sig hur mayaindianerna räknade
för länge sedan och de har också fått mycket individuell handledning.
Jämna 10-talshopp, 100-talshopp eller 1000-talshopp hade eleverna i grupp A inga problem med, däremot hade de svårare för hopp med till exempel 25 år mellan. ”Multiplikationshopp” är grundläggande för förståelsen för multiplikationens funktion. Förståelsen för hur multiplikationshoppen fungerar, vilken princip som ligger bakom, är bristfällig hos eleverna i grupp A. Således kan vi dra slutsatsen att förståelsen för multiplikation inte är helt förankrad i grupp A. Att förstå principen för multiplikationshopp är
också att på något plan förstå proportionalitet och vårt positionssystem. Mellan till exempel varje 25:e år är det jämna avstånd, således låter sig samma tal upprepas på varierande sätt (25, 50, 75, 100, 125, 150…). Talen ökar proportionellt vilket visar sig i hur
vi skriver dem.
I klassen där grupp B går har matematikläraren ”Robinsonmatte”. De ägnar 1-2 timmar
varje vecka åt matematiklekar som på olika sätt knyts samman med varandra. I ett av
momenten ingår att snabbt kunna göra olika multiplikationshopp. Momentet i sig är alltså inget nytt för eleverna och de klarade av att sätta in de kunskaperna i en för dem ny
kontext; tidslinjen.
I samtal med Mats (grupp A) om vilket årtal tidslinjen skulle sluta med tyckte Mats att
det var närmare att avrunda till 2005 än till 2000. Tidslinjen i övrigt var markerad i 100årsintervaller. Detta var ett problem som återkom vid andra tillfällen med eleverna i
72
grupp A. Detta tyder på att Mats och flera av hans kamrater behövde utveckla sina kunskaper i hur man avrundar.
När avrundning var aktuellt i grupp B visade eleverna stor kompetens i hur de skulle
kunna använda avrundningsreglerna. Eleverna i grupp B kunde avrunda.
Resultaten av undervisningsförsöken visar att samtliga elever har fler kopplingar till begreppet tid än enbart klockan jämfört med då undersökningen startade. Varje elev har
fått en vana att arbeta runt en tidslinje och har således utökat sina begreppsliga strukturer gällande tid och tidslinjer. Den matematik som eleverna stötte på under undervisningsförsöken var i stort sett inga nya kunskapsområden för dem. Men nu fick de se
dem satta i ett för dem nytt sammanhang. Detta har förhoppningsvis gett dem vidgad
förståelse för varje område. Att se matematik i skilda sammanhang och i olika kontexter
gynnar elevernas möjligheter att konstruera sin egen kunskap i ämnet, speciellt eftersom
grupp A var starkt läromedelsbundna. Sammantaget visar grupp A en förbättring i sin
förståelse för tidslinjen, detta visar slutintervjun.
5.2
Klassrumsmiljöer
Eleverna i grupp A har i alla delar visat att de har sämre kunskaper inom matematiska
avsnitt än eleverna i referensgruppen. Vi har genom observationer och samtal med lärarna upptäckt stora skillnader på matematikundervisningen i grupperna. I klassrummet
hos eleverna i grupp A har de använt sig av så kallad egen planering. Detta innebär att
inte alla har arbetat inom samma ämne samtidigt, vilket har resulterat i mycket individuellt arbete. Eleverna visar därför ingen vana att diskutera svårigheter de möter med
varandra. De är inte heller vana vid laborativt arbetssätt och öppna frågor har inte varit
vardagsmat för dem. Om man diskuterar detta i ljuset av Vygotskijs teori om den närmaste utvecklingszonen, så är det just gemensamma diskussioner som kan få elever att
reflektera och ifrågasätta. Samtalet och dialogen som verktyg för kognitiv utveckling
behöver utnyttjas för alla elever. Säljö (2000), förespråkare för det sociokulturella perspektivet, menar att frånvaron av diskussion och reflektion är förödande för den kognitiva utvecklingen. Själva förutsättningen för lärande och utveckling ligger i det sociala
samspelet och dialogen. En undersökning över längre tid hade kunnat ge svar på om
73
denna förklaring också är applicerbar vid jämförelsen mellan grupp A och B i vår studie.
Människor lär genom att delta i praktiska och kommunikativa samspel med andra.
De sätt att resonera och tolka verkligheten som vi mäter i interaktion, använder vi
senare som resurser för att förstå och kommunicera i framtida situationer. (a.a. sid.
105)
Om det är så, att en avgörande och viktig aspekt av lärandet är fråntaget grupp A, så är
det möjligt att se detta som att grupp A därför är missgynnade i den lärande miljö som
skolan är. Eleverna i grupp A tänkte inte efter i den utsträckning som eleverna i grupp
B. De ville istället leverera snabba svar som då blev utan någon eftertanke. Grupp A: s
brist på eftertanke är också en faktor som märks i hela klassen de gick i. När de får instruktioner frågar de ändå alltid vad de ska göra, trots att det kanske står på tavlan. De
har inte heller tålamod att hålla på med arbetsuppgifter som kräver tankearbete utöver
vad uppgiften kräver, utan då frågar de läraren direkt efter svaret.
Enligt Nationella kvalitetsgranskningens (1998) kriterier för olika klassrumsmiljöer
hamnar A-gruppen, genom det vi har kunnat ta del av i, i stort sett inom det som kvalitetsgranskarna benämner som C-miljö. Många delar såsom; läromedelsstyrd, isolerad
färdighetsträning, enstämmigt, varje elev arbetar enskilt, lärare som fokuserar på rätt
svar och inte hur eleven tänker, överensstämmer med elevernas erfarenheter. Elevernas
förkunskaper i ämnet tid/tidslinjer skulle då kunna förklaras med detta. I grupp A har
man inte problematiserat tid som begrepp, eleverna förmådde inte överföra kunskaper
och färdigheter från ett arbetsområde till ett annat. Även A-gruppens ovilja till reflekterande svar, deras avsaknad av att samarbeta kring de problem som dök upp, enkelspåriga svar och att de inte knyter an till tidigare erfarenheter gör att vi vill belysa undervisningens betydelse för utfallet.
Resultatet visar att eleverna i grupp B hade lättare för att använda sina kunskaper inom
de olika matematiska områdena än grupp A. De har till skillnad från grupp A ofta arbetat laborativt under sina matematiklektioner. Delar av matematiken problematiseras och
knyts an till elevernas vardag och erfarenhetsvärld. Läraren i klassen arbetar ofta utan
läromedel och låter eleverna lösa uppgifter i grupp. Undervisningen i grupp B lutar, i
74
enlighet med Nationella kvalitetsgranskningens kriterier, åt en A-miljö. De delar som en
A-miljö ska innehålla överrensstämmer i stora delar med den matematikundervisning vi
kunnat observera. Läraren i klassen utnyttjar språket som ett medel för att lära. Elevernas olika sätt att tänka lyfts fram och synliggörs. Utifrån elevernas tankar planerar han
sin undervisning. Under lektionerna i grupp B:s klass är samtalet viktigt, eleverna sitter
i grupper, läraren uppmuntrar eleverna att samtala kring problem. De elever som vill ha
tyst runt omkring sig har en egen studiehörna i ett angränsande rum. Varje behov i
klassrummet kan därför tas tillvara.
Här står två elevgrupper bredvid varandra som enligt vår bedömning arbetar i två helt
olika undervisningsmiljöer, eleverna i den ena elevgruppen är ett år yngre än eleverna i
referensgruppen. Enligt Piagets strukturteori skulle det kunna vara en förklaring till
grupp A:s sämre kunskaper och resultat. Eleverna i grupp A har inte kommit in i det
formellt operationella stadiet (Piaget 1968). Å andra sidan poängterar Vygotskij (2001)
vikten av språket och den sociala kontexten för lärandet. Grupp A har ingen vana att arbeta i grupp, verbalisera sina tankar eller redogöra för sina uträkningar. Utveckling sker
i social samvaro, menar Vygotskij. Mycket lite av klassrumsundervisningen i grupp A
har kännetecknats av medveten social samvaro. Konstruktivismens tankar om hur elever
utvecklas och lär får mindre plats i grupp A:s klassrum jämfört med grupp B:s klassrum.
Grupp B å andra sidan är ett år äldre, 11 år. Det är den ålder då Oakden och Sturt (1922)
menar att elever är mogna nog för att förstå abstraktion. Piaget (1968) betonar detsamma med strukturteorin, det formellt operationella stadiet inträder vanligtvis i puberteten.
Då är barnet moget att förstå abstraktioner. Grupp B har också haft förmånen att arbeta i
grupp med olika matematiska problem, eleverna är vana att samtala om hur de ska lösa
uppgifter, de är vana att ta hjälp av varandra, men de är också vana att få uttrycka sina
tillvägagångssätt och uträkningar och bli lyssnade på. I grupp B utgår läraren från elevernas förkunskaper, i möjligaste mån kopplas matematiken till det som eleverna har
runt omkring sig och som tillhör elevernas verklighet. Fördelarna för grupp B väger
tungt, och varje del kan vara svår att avgränsa. Med de resultat som Hartsmar (2001) visar vågar vi ändå påstå att den undervisningsmiljö som grupp B arbetar i spelar en större
roll än det faktum att de är ett år äldre än eleverna i grupp A.
75
Försöksledarnas roll i denna undersökning har också haft en viss betydelse för resultatet. Försöksledaren i grupp A har tidigare arbetet med klockan med eleverna och därför
var de inställda på att även denna undersökning skulle handla om klockan. Detta syns
tydligt i framförallt elevintervjuerna. På frågor om vad tid är, hur man kan mäta tid och
hur de har lärt sig om tid svarade samtliga elever i grupp A något om klockan. I grupp B
däremot var svaren mycket mer varierade, detta kan tolkas som att de inte var lika inriktade på klockan. Därmed var de också friare i tanken.
I de fall lotsning har skett i både undervisningsförsöken (i båda grupperna) och i slutintervjun kan det ha påverkat resultatet såtillvida, att eleverna kan ha gett svar eller kommentarer som inte visar deras verkliga förståelse i valda delar. I förintervjun har båda
försöksledarna varit noga med att inte ställa ledande frågor eller försökt påverka eleverna genom lotsning. Förintervjuns syfte var att få syn på elevernas förkunskaper. Då syftet med undersökningen bland annat varit att identifiera den matematik som är nödvändig för förståelsen av ”lång tid” och tidslinjer, kan vi inte se att den lotsning som emellanåt förekommit har påverkat resultatet av våra frågeställningar nämnvärt. Faran med
lotsning i vetenskapliga undersökningar kan vara att man påverkar eleverna i en positiv
riktning så eleverna har förstått något som de inte hade förstått utan hjälp. Alternativet
är att man stjälper eleverna genom att förvirra dem.
Vi har inte analyserat vad eleverna under våra undervisningsförsök faktiskt lärde sig.
Därför har vi heller inte alldeles strikt undvikit att påverka eleverna eller ”undervisat”
dem. I exemplet från grupptillfälle 2 där proportionalitet tas upp (se kapitel 4.3.1) diskuterar försöksledaren och Gustav huruvida årsindelningen på tidslinjen bör vara proportionerlig eller ej. Gustav säger i samtalet att han vill ha lika långa avstånd mellan markeringarna på tidslinjen. Han säger att det är för att det är lika långt emellan. När försöksledaren frågar vad som är lika långt emellan så svarar Gustav: åren. Efter denna passus
drar försöksledaren slutsatsen inför gruppen att Gustav menar att då åren är lika långa,
så vill han även ha avstånden mellan markeringarna, där åren skrivs, med lika avstånd.
Denna lotsning, ett exempel ur undervisningsförsöken, kan om möjligt ha påverkat Gustav (och resten av grupp A som deltog i samtalet) att de var villiga att acceptera proportionerliga avstånd på tidslinjen de höll på att göra utan att egentligen förstå begreppet
proportionalitet på djupet. Det faktum att de inte förstod vikten av proportionalitet i arbetet med tidslinjer kvarstod.
76
6 Diskussion
I arbetet med tidslinjer ligger flera olika matematiska områden som genom att synliggöras och bearbetas kan underlätta elevernas förståelse av dessa. Eleverna i vår undersökning fastnade ofta i dessa områden. Med hjälp av resultatet av våra observationer
har vi kunnat sätta ihop det matematiska kunskapspaketet (efter Ma 1999) som krävs för
att utveckla förståelsen för tidslinjer. Detta består av delarna proportionalitet, positionssystemet, skala, multiplikationshopp, avrundning och stora tal. För att lära sig dessa delar krävs att eleverna får möta dem på många olika sätt och inom olika kontexter. Ju fler
sätt man kan bearbeta ett matematiskt problem på desto säkrare blir man (a.a.).
Studien utgick ifrån ett antagande om att svårigheter inom kunskapsområdena proportionalitet, stora tal och negativa tal kan vålla problem vid arbete med tid. Genom undersökningen har ytterligare matematiska områden synliggjorts. Även positionssystemet,
multiplikationshopp och avrundning har visat sig vara av vikt för elevernas förståelse av
tidslinjer. Detta framgår i resultatredovisning och analys.
När vi har ställt resultatet från grupp A mot resultatet från grupp B framstår skillnaderna
tydligt, både i begreppsförståelse, förmåga att verbalisera och att i grupp lösa ett problem. Eleverna i grupp A har färre kopplingar till de matematiska områden de behärskar
än eleverna i grupp B. Eleverna i grupp A har kunskaper som rör proportionalitet, positionssystemet och multiplikation och så vidare, men ingen av de fem eleverna förmådde
överföra dessa kunskaper till ett nytt område. Deras kunskaper är också starkt begränsade, de har alltså få kopplingar inom varje område, men också vad gäller förmågan att
använda tidigare kunskaper i för eleverna nya ämnesområden. De fem eleverna i Agruppen visar inga ”livsdugliga” kunskaper i undervisningsförsöken, de har alltså inte
lyckats koppla tidigare kunskap med den de möter i försöket. De ser inte vilka andra
användningsområden till exempel avrundning har, annat än de i läroboken. Gustavsson
(2002) säger att kunskap är när du lyckas sätta in det du lärt dig i rätt sammanhang, eller
att hitta ett sammanhang där det kan sättas in. För eleverna i grupp A betyder detta att
de går och bär på information utan någon annan funktion än den de hittar i matematikundervisningen. Enligt Ernest (1998) har kunskap i sig har inget eget värde, om vi inte
hittar användningsområden som betyder något för oss.
77
I teoridelen belystes den konstruktivistiska synen på undervisning som hävdar att individen själv konstruerar sin kunskap. En viktig del i kunskapsutvecklingen är det sociala,
lärandet sker bäst i samspel med andra. Med dessa teorier som stöd hävdar vi att det är
viktigt att eleverna får arbeta mycket tillsammans, de måste få diskutera och resonera
med andra. Ernest (1998) skriver om den gemensamma nämnaren för all konstruktivism; att erfarenheter görs begripliga genom meningsskapande och tolkning. För detta
krävs sociala sammanhang; i samtal, samspel och underhandling (negotiation). Ernest
(1998) har listat de pedagogiska konsekvenser som konstruktivismen nödvändigtvis
måste ha. Det handlar om uppmärksamhet på elevers tidigare konstruktioner (förkunskaper), om elevers metakognition (både för elevens egen del men också för lärarens
del), om användning av många olika framställningar av matematiska begrepp, om problematisering av begrepp som helhet, framhävande av diskussioner, samarbete, underhandlingar och gemensamma uppfattningar med mera. Vi menar att den mognad barnet
uppnår efterhand (Piaget) inte är en passiv mognad. Pedagogen måste aktivt utmana
elevernas begreppsförståelse. I den processen är språket ett viktigt verktyg, då språk och
kunskapsutveckling går hand i hand (Vygotskij). Vi kan därmed också anamma konstruktivismens syn på kunskapandet (von Glasersfeld). Vi finner alltså att teorierna kan
komplettera varandra. Konsekvensen av detta blir att vi måste ta hänsyn till elevernas
mognadsnivå (den fysiska och den psykiska/mentala), men vi måste också utnyttja Vygotskijs teorier om den närmaste utvecklingszonen. Vi lärare måste verka för att hitta
områden, problemställningar, frågor och uppgifter som utmanar elevernas tänkande och
mognad. Om vi tror på konstruktivismens grundtanke om hur elever konstruerar kunskap, men också om hur omvärlden kan betraktas, låter vi eleverna arbeta i grupp, samtala och underhandla, vi ger eleverna tid att konstruera (där tid till misslyckande måste
ges) och vi tar oss mycket tid till att ta reda på hur eleverna har tänkt och kommit fram
till sin lösning. Detta är gynnsamt för alla i gruppen. Språket låter vi vara vårt viktigaste
verktyg.
Vi måste ifrågasätta varför och vad vi väljer att undervisa om, vilka frågor vi ger till
eleverna och hur vi ställer dem och om det inte egentligen är så, att det övervägande är
eleverna som ska ställa frågorna. Vad är vårt långsiktiga mål, utanför vår egen åldersinriktning, vartåt vill vi att våra elever ska sträva och vad begär vi av dem? Varför vill vi
ha det svar vi söker, och är det nödvändigtvis så att vi vill ha svar? Om vi som agerar
handledare i klassrummet inte ifrågasätter, funderar eller problematiserar, lär inte våra
78
elever göra det heller. I ett demokratiskt samhälle behövs samhällskritiska medborgare
som tillåts växa och ta plats.
Eleverna i A-gruppen är ett år yngre (Stephanie är 2 år yngre) och ur ett utvecklingspsykologiskt perspektiv har Piaget (1968) sagt att först när barn kommer in i det formellt operationella stadiet klarar de av att göra abstrakta kopplingar och lyfta ut problem ur sitt sammanhang, utan konkreta händelser som stöd. Resultatet från framförallt
Stephanies arbete i undervisningsförsöket kan stödja detta. Hartsmars undersökningar
(2001) visar däremot att till och med elever i årskurs 9 har stora svårigheter att korrekt
ordna händelser i tidsföljd och utreda relationen mellan ett givet årtal i nutid och hur
många år som förflutit från Kristi födelse, år 0, till det givna årtalet. Vi kan och bör inte
heller bortse från det faktum att eleverna i grupp A har en diametralt annorlunda undervisning än eleverna i grupp B.
Resultatet av vår undersökning kan således tolkas som att vi måste erbjuda våra elever
en A-miljö att lära och växa i, vi måste alltså utgå ifrån elevernas förkunskaper, intressen, behov av att växa i ett socialt sammanhang, men vi måste också beakta att det logiskt abstrakta tänkandet inte är fullt utvecklat förrän i de tidiga tonåren. Det betyder att
vi måste lägga oss vinn vid vilka begrepp vi använder oss av, hur vi använder dem, men
också att vi måste utgå ifrån det eleverna redan kan och vad som ryms i deras närmaste
utvecklingszon. Genom konkreta och laborativa moment kan vi låta eleverna förstå delar av det som så småningom bildar ett nätverk av abstraktioner.
Eleverna behöver möta öppna frågor där det kan finnas många olika lösningar och de
behöver använda sina olika sinnen i lärandet. Dessa delar är typiska för en A-miljö och
det måste därför vara dithän vi alla strävar att komma. Eleverna i grupp B, som i stort
sett arbetar i en A-miljö, styrker resultatet som granskningsnämnden kom fram till i sina
undersökningar (1998). Bortsett från att de är ett år äldre så visar de upp en avsevärd
skillnad jämfört med grupp A i förståelse och färdighet i arbetet med att konstruera egna
tidslinjer.
De begrepp och ord som ryms inom tid och tidslinjer som på ett eller annat sätt kan ställa till bekymmer är olika beroende på vilka förkunskaper eleven/elevgruppen har, men
kan också skilja sig åt beroende på i vilken kontext problemområdet sätts in i. Därför
79
måste varje lärare vara lyhörd inför de begrepp eller ord som kan ställa till problem,
men också vara medveten om de nyckelbegrepp som ryms inom området. Ett exempel
som synliggjordes i båda undervisningsgrupperna rörde ordet ”generation”. Ordet var
nytt för samtliga tio elever. De fick därför på olika sätt tala om och också göra räkneoperationer där tal baserade på generation användes. Somliga ord måste problematiseras
eller bearbetas på något för gruppen bra sätt. Avvägningen måste göras av pedagogen i
den givna situationen. De nyckelord/begrepp som är kopplade till arbetsområdet behöver i vilket fall som helst synliggöras, penetreras och problematiseras både av pedagoger och elever.
Kunskapspaketet nedan är de matematiska kunskapsområden som arbetet med ”lång
tid” och tidslinjer innehåller. Genom att utgå ifrån Ma (1999) har vi utvecklat ett egen
kunskapspaket för att passa det stora området tid. Vårt arbete handlar om att hitta matematiken i den långa tiden och i tidslinjer. De sex matematiska områden som direkt
knyter an till tid och tidslinjer är markerade i ovaler med breda svarta ramar. Under dessa områden ligger kunskaper som krävs för att förstå de matematiska områdena. Det
finns samband mellan dessa kunskaper även i sidled, som ett nätverk. Vi har inte använt
oss av pilar i sidled, istället har vi ibland valt att skriva in samma kunskap på flera ställen.
Tid/tidslinje
Stora
tal
nollans
betydelse
Positionssystemet
ental, tiotal,
hundratal
siffrans
platsvärde
Negativa
tal
talet 0
Proportionalitet
division
multiplikation
Avrundning
ental, tiotal,
hundratal
jämna tal
udda tal
nollans
betydelse
Figur 16. Kunskapspaket om matematiken i tid och tidslinjer.
80
Multiplikationshopp
multiplikation
upprepad
addition
matematiskt
mönster
7 Slutord
Det är viktigt att eleverna själv får vara aktiva och konstruera sin kunskap, de måste i ett
tidigt skede vänja sig vid att ta sig tid att tänka efter. Lärandet sker bäst i ett socialt samspel och som lärare måste vi se till att vi kan erbjuda eleverna detta. Enbart enskilt arbete i läroböcker gynnar inte lärandet, det måste kombineras med grupparbete, laborationer, diskussioner med mera. Viktiga begrepp måste problematiseras. Forskning visar att
kunskap bäst befästs och förstås genom flera olika representativformer, men också i olika kontexter. Tid är ett abstrakt begrepp, som kräver stöd för att kunna förstås. Matematik kan vara ett stöd. Vi har här visat vilken matematik som stödjer förståelsen av ”lång
tid” och tidslinjer. Vår förhoppning är att det här materialet kan hjälpa andra ämnen som
berör ”lång tid” att med matematikens hjälp hitta vägar in i förståelsen för det, men också att synliggöra problematiken kring förståelsen för ”lång tid” och dess abstraktion.
Vårt viktigaste budskap är ändå att gynnsam utveckling till stor del hänger på medvetenhet i val av ämnesområden, begrepp, metoder och kontext, i en social miljö med
diskussioner, samarbete, underhandlingar och gemensamma uppfattningar. När dessa är
rätt sammansatta är abstrakta begrepp inget tabu i en klass i de lägre årskurserna.
Vi vill tacka vår handledare och andra behjälpliga lärare på Malmö högskola. Vi vill
också tacka Majsan, Mats, Gustav, Stephanie, Sara, Anna, Cilla, Harry, Jonathan och
William. Utan er hade detta inte varit möjligt!
81
8 Litteraturlista
Anselmsson, Barbro (övers. 1998). Mattegömmor efter Mathematic Task Center Project, MTCP. Australien.
Carlgren, Ingrid & Marton, Ference (2001). Lärare av i morgon. Stockholm: Lärarförbundets förlag.
Donaldson, Margaret (1985). Hur barn tänker. Malmö: Liber förlag.
Dysthe, Olga (red.). (2001). Dialog, samspel och lärande. Lund; Studentlitteratur.
Emanuelsson, Göran (red.). (1996). Matematik – ett kommunikationsämne. Göteborg:
Nämnaren Tema.
Emanuelsson, Göran (red.). (1997). Algebra för alla. Göteborg: Nämnaren Tema.
Ernest, Paul (1998). Vad är konstruktivism? I: Engström, Arne (red.). Matematik och
reflektion, (s. 21-33). Lund: Studentlitteratur.
Evenshaug, Oddbjørn & Hallen, Dag (2001). Barn- och ungdomspsykologi. Lund: Studentlitteratur.
Glasersfeld, Ernest von (1998). Radikalkonstruktivism, interaktionism och matematikundervisning. I: Engström, Arne (red.). Matematik och reflektion, (s. 34-53). Lund: Studentlitteratur.
Gröning, Inger & Norén, Kristina (1993). Berättarteknik och innehåll i invandrarelevers
gymnasieuppsatser. I: Cerú, Eva (red.). Svenska som andraspråk : lärarbok. 3, Mera om
undervisningen, (s. 222-246). Stockholm: Natur och kultur.
Gustavsson, Bernt ”Vad är kunskap” 2002 2004-11-09
http://www.skolutveckling.se/publikationer/publ/main?uri=scam%3A%2F%2Fpubl%2F
153&cmd=download
82
Hartsmar, Nanny (2001). Historiemedvetande. Elevers tidsförståelse i en skolkontext.
Doktorsavhandling i pedagogik. Malmö högskola, Lärarutbildningen.
Jahoda, Gustav (1963). Children´s concept of time and history. In: Educational Review,
(p. 87-104). Vol. 15.
Johansson, Bo & Svedner, Per Olov (2001). Examensarbetet i lärarutbildningenundersökningsmetoder och språklig utformning. Uppsala: Kunskapsföretaget i Uppsala
AB.
Karlegärd, Christer (1991). Undervisa i svensk historia. Lund: Studentlitteratur.
Ma, Liping (1999). Knowing and teaching elementary mathematics. New Jersey: LEA.
Malmberg, Claes & Svingby, Gunilla (2004). Students’ communication and learning in
computer supported dialogues. Konferensrapport NFPF, Mars 2004.
Oakden, E.C. & Sturt, Mary (1922). The development of the knowledge of time in children. In: Brittish Journal of Psychology, 12, (p. 309-336). London: Cambridge University.
Piaget, Jean (1968). Barnets själsliga utveckling. Lund: Gleerups Bokförlag.
Salomonsson, Anders & Svedelid, Olov (1981). Vida Världen. Historia 1. Stockholm:
Almqvist & Wiksell.
Skolverket (1998). Läroplaner för det obligatoriska skolväsendet, Lpo 94. Stockholm:
Utbildningsdepartementet.
Skolverket (1998). Nationella kvalitetsgranskningar 1998. Skolverkets rapport nr. 160.
Stockholm: Liber Distribution.
Skolverket (2000). Grundskolans kursplaner och betygskriterier. Västerås: Skolverket
& Fritzes.
83
Säljö, Roger (2000). Lärande i praktiken. Stockholm: Prisma.
Vygotskij, Lev (2001). Tänkande och språk. Göteborg : Daidalos.
Williams, Pia m.fl. (2000). Barns samlärande – en forskningsöversikt. Kalmar: Skolverket Liber.
84
Bilaga
Grundmall
Gruppmöte 1. ”Din dag alt. mitt liv”
Syfte:
Vi vill låta eleverna hitta ett överskådligt sätt att visa tid och få dem att bekanta sig med
tidslinjer. Samtidigt vill vi få dem att förstå att en linje kan visa hur tid förflutit och på
sikt använda detta i ett orsakssammanhang.
Nyckelfrågor:
•
Kan man rita tid på något sätt?
•
Om jag vill visa hur din dag har varit, vad du har gjort sedan du vaknade, skulle
vi kunna göra det på något sätt. (åskådliggöra)
Viktiga nedslag:
1. Hur ska jag avläsa din konkretion (teckning, tidslinje, cirkel…?)
2. Vilken indelning är passande?
3. När börjar dagen för dig, när slutar den? Framgår det av din bild av tid?
4. Förstår andra vad vi menar när de ser vårt resultat?
Gruppmöte 2. ”Mitt liv alt. min familj”
Syfte:
Under andra gruppmötet vill vi uppmärksamma eleverna att tidslinjer kan se olika ut, få
dem att fundera på hur indelningar ser ut. Försöksledarnas fokus ligger i att hitta begrepp, ord och matematiska svårigheter i tillverkandet av tidslinjer.
Nyckelfrågor:
Mitt liv
•
Repetition om vad vi gjorde förra gången!
•
Kan vi göra en tidsaxel (/som den igår) som visar ditt liv?
•
Hur gör vi indelningen?
•
Vilka tal ska vi använda?
•
Hur långt är det mellan de olika markeringarna (eller hur de nu har valt att avdela olika händelser)?
•
Vad händer här… (visar framtiden för eleverna på deras ”tidslinje”)
•
Vad händer här… (visar tid längre tillbaka i tiden än vad de har ritat)
Gruppmöte 3. ”Min familj”
Syfte:
Att visa tidslinjens användningsområden för eleverna är ett av syftena för det tredje
gruppmötet. För försöksledarna handlar det om att hitta elevernas svårigheter med att
göra tidslinjer, när eleverna stöter på problem ska detta uppmärksammas för att kunna
analyseras senare. Försöksledarna ska också använda begrepp inom ämnesområdet och
se hur eleverna anammar dem och förstår dem
Familjen
•
Kan vi göra tidslinjer över våra föräldrars liv?
•
Vilken indelning ska vi då ha? Och vilka tal ska vi använda?
•
Hur långt är det mellan din mamma, din mormor och så vidare (generationsfrågan)
•
Jämför med tidigare tidslinje se gruppmöte 1.
•
Vad hände här (visar när deras mamma var 12 år) jämför med ditt liv, mormors
liv och så vidare
•
Hur länge sedan var det?
•
Kan du skriva ner hur länge sedan det var (få dem att skriva till exempel 70 år
sedan, visar på siffrornas betydelse här)
Gruppmöte 4. ”Känd person i historien”
Syfte:
Under fjärde undervisningsförsöket vill vi synliggöra en tidslinjes fördelar med att visa
historiska händelser som är ett underlag för diskussioner om orsak-verkan. Årtalens betydelse, och var de ligger på tidslinje och hur man avläser en tidslinje kommer under
undervisningsförsöket att problematiseras.
Nyckelfrågor:
•
Hur skulle en tidslinje kunna se ut så att (till exempel) Gustav Vasa fanns med
på den?
•
Vilken indelning och vilka tal ska vi använda?
•
Hur många generationer har levt mellan din födelse (visar på linjen) och Gustav
Vasas tid.
•
Kan Gustav Vasa och mormor ha träffats?
•
Kan du peka ut tiden när Gustav Vasa levde och hans mormor?
•
När levde …. (välj själv personer!)
•
Hur många generationer har levt sedan 1000-talet?
•
Hur kan en tidslinje se ut när vi kommer tillbaka så här långt i tiden?
Gruppmöte 5. ”Medeltiden, vikingatiden eller annan känd tidsepok och årtal före
Jesu tid”
Syfte:
Här vill vi visa eleverna negativa tal inom historien, (matematiken) och vilken praktisk
nytta de har och att tideräkning är en mänsklig skapelse, och att tideräkningen ser annorlunda ut i andra kulturer.
Nyckelfrågor:
•
Nu ska vi göra en tidslinje där Jesus är med, När börjar den?
•
Vilken indelning ska vi ha då, och vilka tal?
•
Kan vi göra den så att Jesus mamma är med? Vilka tal använder vi då?
•
Hur långt tillbaka i tiden kan man göra på en tidslinje?
Eventuellt Gruppmöte 6-7 beroende på hur snabbt/långsamt gruppmöte 1-5 har gått.