KW-JE-10
Talmönster
Mönster och variabler.
Att hantera den symboliska algebran.
1
KW-JE-10
Många elever har en intuitiv förståelse för många matematiska begrepp som
area, volym, bråk. Med variabelbegreppet är det annorlunda. Eleverna har
inga konkreta erfarenheter att bygga på. Skolan måste därför skapa
tillfällen som ersätter vardagssituationer för att ge en grund till
undervisningen. Det handlar om att skapa undervisningstillfällen som hjälper
eleverna att utveckla förståelse för att bokstäverna betecknar tal eller
storheter samt att se poängen med att använda bokstäver. I kursplanen står
det att elever i slutet av år 5 ska kunna upptäcka talmönster.
Färdighetsträningen ”att räkna med bokstäver” är också nödvändig men först
då eleverna förstår vitsen med att använda bokstäver.
Att arbeta med mönster är nu en väl beprövad metod när det gäller att
studera generella samband och skriva dessa med ett matematiskt
symbolspråk. Eleverna kan med mönster erbjudas många relativt enkla
uppgifter och stor variation.
Mönster beskrivna som bokstavsuttryck.
Ex.1
Figur 1
Figur 2
Figur 3
Hur många blommor finns det i den 4:e figuren, 5:e figuren, 10:e figuren, n:e
figuren?
Vi ser att antalet blommor ökar med 2 hela tiden. I den första figuren finns
det 2 + 1 blommor, i den andra 2 + 2 + 1 = 2 ∙ 2 + 1, i den tredje 3 ∙ 2 + 1 st = 7
st.
I den fjärde figuren bör det då finnas 4 ∙ 2 + 1 = 9 st
2
KW-JE-10
I den femte 5 ∙ 2 + 1 = 11 st
I den n:e figuren n ∙ 2 + 1 = an
an betecknar alltså figur nr n, alltså vilken figur som helst.
Denna generella formel kan nu användas för den tionde figuren a10 = 10 ∙ 2 + 1
= 21 st
Att få fram en formel kräver en hel del träning. Många elever behöver
mycket hjälp. Att kunna skriva formler utifrån mönster är ett strävansmål
inte ett uppnåendemål! Mänskligheten har bara kunnat detta i 400 år!
Ex 2.
Hur många makaroner behövs i den 4:e bokstaven, i den 10:e, i den n:e ?
3
KW-JE-10
Ex 3.
Totala antalet stenar:
4 + 6 = 10
Figur 1
Totala antalet stenar:
2 4 + 6 = 14
Figur 2
Totala antalet stenar:
3 4 + 6 = 18
Figur 3
Hur många stenar finns i den fjärde figuren?
Förklara med egna ord hur du kan räkna ut antalet stenar i den 10:e
figuren, i den 50:e figuren, i vilken figur som helst.
4
KW-JE-10
Formelsambandet:
Med stöd av mönstret och inledande frågor är det dags att skriva det
generella sambandet.Till stor del handlar detta om skrivkonventioner.
Antal
stenar i
figur n
= Figurens
nummer
4 +6
an = n 4 + 6
Det är mer naturligt för elever att skriva n 4 i stället för 4 n eller 4n.
Det skrivsättet kommer så småningom, upp mot nian.
Nu när formeln är färdig kan man beräkna värdet av an för olika värden på n.
Ex. 4
En trädgårdsgång läggs med runda plattor som omges av rektangulära
plattor. Gången ska alltid avslutas så som den gör på bilden. Tänk dig att du
ska lägga en gångväg med 10 runda plattor. Hur många rektangulära plattor
behöver du då? Med 100 runda plattor?
Man kan tänka sig denna gång som ett upprepat mönster. Antalet rektanglar
ökar med 4 för varje ny rund platta. Med en rund platta behövs 4 + 2
rektanglar. Med två runda behövs 2 ∙ 4 + 2 = 10 rektanglar med tre runda
3 ∙ 4 + 2 = 14 rektanglar.
5
KW-JE-10
Skriv en formel för antalet rektangulära plattor an i figur n och lös
uppgiften för 100 runda plattor ( figur 100 ).
Formeln blir an = n ∙ 4 + 2 Antal rektangulära plattor i den hundrade figuren
blir då a100 = 100 ∙ 4 + 2 = 402
Att arbeta laborativt.
Mönstret som visats kan med fördel byggas laborativt med stenar, knappar
eller liknande. Många mönster kan också byggas med tändstickor, eller
tandpetare. ( Det är ju så kul att tända stickorna!!)
Här kommer nu några övningar att jobba med. En del är lätta andra lite
klurigare. Övning nummer 9 bör göras laborativt, med människor eller lappar.
Övningsuppgifter:
1.a) Rita den fjärde figuren i mönstret.
b) En formel för antalet prickar i figur nummer n kan skrivas:
an = n ∙ 4 + . Vad ska stå i rutan?
c) Räkna ut antal prickar i den 60:e figuren.
d) I formeln kallas n för en variabel. Förklara varför.
6
KW-JE-10
2. Hur många stickor finns i figur nr: 500?
Figur 1
Figur 2
Figur 3
Tips i starten: Börja med att se efter hur många stickor som mönstret ökar
med för varje figur. Här ökar varje figur med 3 stickor. Termen n ∙ 3 måste
finnas med i formeln. I den första figuren finns ytterligare 5 stickor som
återkommer i alla figurer. Därför måste man addera 5 till sambandet. Vi får
då formeln: an = n ∙ 3 + 5
3. Skriv formeln för antalet tändstickor i höghuset som har n våningar. Fyll
därefter i tabellen.
n
an
4
x
12
25
80
4. Hur många ringar består den sjätte figuren av? Den 100:e?
1
2
3
5.
7
KW-JE-10
Skriv en formel för antalet stickor i figur nr: n. Skriv även en formel för
antalet kvadrater.
* Hur många kvadrater finns det i figuren som kan byggas av 2000 stickor
6. En talföljd kan också vara ett samband. Kan du se sambandet i följande
talföljd?
2, 7, 12, 17, 22…… Vilket tal är det tionde i talföljden?
Vilket tal är det n:te?
7. Vilka två tal saknas
a)
Detta är tal nummer 6 i talföljden
2
3
6
9
7
12
27
42
b)
10
0
?
57
?
Detta är tal nummer 5 i talföljden
2
3
5
6
7
?
18
25
39
46
?
81
8
KW-JE-10
8. Tänk dig att du ska göra ett långbord med antalet platser an
Hur många platser blir det om du sätter ihop 2 bord, 4 bord,
n antal bord ?
9. Leta mönster på golvet
Lägg ut nio A4-papper på golvet. Tag fram åtta personer och placera dem
såsom på bild. Be dem ta reda på hur många förflyttningar som (minst)
behövs för att personen i ena hörnet ska förflytta sig till motsatta hörnet.
Man får inte gå diagonalt, ej heller hoppa över någon. (Jmf det gamla 15spelet.)
Här är utgångspunkten.
X
Här är från början en tom ruta. Hit ska personen gå.
Det går också bra att använda papperslappar och göra uppgiften på bänken.
Svara på samma fråga om rutnätet är av storleken 2 x 2, 4 x 4, 5 x 5, 6 x 6
osv. Gör en tabell över svaren och svara på antalet förflyttningar vid ett
rutnät av storlek n x n.
9
KW-JE-10
Facit
1. a)
b) 1
c) 241
d) En variabels värde kan variera. I detta fall beroende på vilken figur som
avses. Siffran 1 kan ses som en konstant. Den är samma för alla figurer.
2. 1505 st
3. an = 3n + 3
n
an
4
x
15
12
39
25
78
80
243
10
KW-JE-10
4. Antal ringar i sjätte är 19 och hundrade 301 ( an = 3n + 1 )
5. Antal stickor är 5n + 2 och kvadrater 2n. 2000 stickor ger figur nr: 399
som i sin tur ger 2 gånger så många kvadrater, alltså 798 st
6. Det n:te talet är 5n – 3 och det tionde blir då 47
7.a) 12 och 47 b) 11 och 53
8. an = 6n + 2 vilket ger 14 och 26 platser.
9. En (rätt) tabell, kommer att se ut så här:
2∙2
5
3∙3
13 = 1 ∙ 8 + 5
4∙4
21 = 2 ∙ 8 + 5
5∙5
29 = 3 ∙ 8 + 5
6∙6
37 = 4 ∙ 8 + 5
………..
n∙n
(n-2)8 + 5 = 8n – 11
(man ser ju att den första termen är 5,
och att det sen ökar med 8 hela tiden.)
Se även sid 197 i matematik 4000 A
11
KW-JE-10
Extrauppgifter:
Figurer
Om mönstren nedan fortsätter, hur många prickar kommer det
att vara i den hundrade figuren i varje serie?
1.
2.
3.
12
KW-JE-10
Kors i almanacka
sön mån tis
1
6 7
8
13 14 15
20 21 22
27 28 29
ons tor fre
2 3 4
9
10 11
16 17 18
23 24 25
30 31
lör
5
12
19
26
sön mån tis ons
1
2 3
7
8 9 10
14 15 16 17
21 22 23 24
28 29 30 31
tor
4
11
18
25
fre
5
12
19
26
lör
6
13
20
27
Försök finna sambandet mellan talet i mitten av korset och
summan av alla fem talen i korset. Komplettera tabellen nedan.
sön mån tis ons tor fre
1
3 4
5 6
7 8
10 11 12 13 14 15
17 18 19 20 21 22
24 25 26 27 28 29
31
tal i mitten
9
lör
2
9
16
23
30
summan av
fem tal
45
n
13
KW-JE-10
Motsatta hörntal
Markera 3 x 3 rutor i en hundraruta.
Multiplicera de motsatta hörnen med varandra.
Tag differensen mellan produkterna.
Detta ”motsattahörntal” är 40.
Undersök ytterligare några motsattahörntal i hundrarutan.
Försök att beskriva hörntalen i en 3 x 3 ruta med ett uttryck. Börja
med att kalla talet högst upp till vänster för n.
Utför multiplikationerna och subtraktionerna mellan uttrycken.
Förenkla uttrycket. Vad får du?
Gör samma sak för en 2 x 2 ruta och 4 x 4 ruta.
14 ∙ 36 = 504
16 ∙ 34 = 544
544 – 504 = 40
1
2
3
4
5
6
7
8
11
12
13
14
15
16
17
18
21
22
23
24
25
26
27
28
31
32
33
34
35
36
37
38
41
42
43
44
45
46
47
48
51
52
53
54
55
56
57
58
14
KW-JE-10
Vika ett papper
Antag att du har ett jättestort pappersark framför dig. Först viker du det
på mitten, sedan viker du det på mitten igen, och igen, och igen…. Du
fortsätter tills du har vikt pappersarket femtio gånger. Hur många lager av
papper har du då?
Hur tjockt är den nu femtio gånger vikta pappersbunten, om varje ark är en
millimeter tjockt?
Komplettera tabellen nedan som hjälp för att komma fram till ditt resultat.
Antal vikningar
Antal lager av
papper
0
1
1
2
2
3
4
5
6
50
n
15
KW-JE-10
Fyll i tabellerna!
0
8
0
2
1
4
1
11
1
7
2
7
2
14
2
12
3
12
3
17
3
17
4
19
4
4
5
50
50
50
n
n
n
0
4
1
0
1
1
1
9
2
8
2
8
2
16
3
16
3
27
3
25
4
24
4
64
4
5
5
50
50
50
n
n
n
16
KW-JE-10
Gärdsgården
Hur många pinnar är det i a) den sjätte figuren? b) Den 100:e? c) Den n:te?
1
2
3
2m
d) Hur lång sträcka räcker 622 störar till (alla störar är lika långa) för att
göra en gammaldags gärdsgård?
Facit till extrauppgifter:
"Figurer":
1. 306
2. 303
3. 404
"Kors i almanacka":
Summan av de fem talen är alltid fem gånger så stor som talet i mitten.
Detta oberoende på vilken almanacka, år och månad, di tittar på.
Motsatta hörntal:
n ∙ ( n + 22) = n2 + 22n
och (n + 2) ∙ (n + 20) = n2 + 20n + 2n + 40 = n2 + 22n + 40
Differensen mellan uttrycken blir 40
För 2 x 2 ruta blir differensen 10 och för 4 x 4 ruta blir den 90
17
KW-JE-10
Vika ett papper:
Efter femtio vikningar har vi alltså 2
Tjockleken är 2
50
mm 1.13 10
15
50
lager med papper.
mm = 1.13 10
12
m = 1.13 10 km =
9
= 1.13 10 mil = 113 000000 mil (ganska tjockt, den som viker måste vara
stark och ha långa armar!)
Fyll i tabellerna:
Fyll 0i tabellerna:
1
7
8
8
1
4
1
11
2
12
2
7
2
14
3
17
3
12
3
17
4
22
4
19
4
20
5
27
5
28
50
158
50
252
50
2503
n
3n+8
n
5n+2
n
n2 3
0
4
1
0
1
1
1
9
2
8
2
8
2
16
3
16
3
27
3
25
4
24
4
64
4
36
5
32
5
125
50
2704
50
392
50
125000
n
( n 2) 2
n
8(n-1)
n
n3
18
KW-JE-10
Gärdgården:
a) 26, b) 402, c) 2 + n * 4, d) 310 m.
19
