Kap 1 - Algebra och linjära modeller

Kap 1 - Algebra och linjära modeller
1
1.1 Algebra
2
Prioriteringsreglerna
3
Prioriteringsreglerna
3 23 2  7
(3  2)  3  2  13
3  2  (3  2)  5
2
3  2  3  2  13
4
PRIORITERINGSREGLERNA
Fungerande strategi
(2+2) + 23 + 4*2 - 2 =
4
+ 23 + 4*2 - 2 = (parenteser)
4
+ 8 + 4*2 - 2 =
(potenser)
4
+ 8 +
8
- 2 =
(mult.)
4
+ 8 +
8
- 2 = 18 (add/sub.)
MULT. OCH DIV. MED NEGATIVA TAL
• (-4)×(-3) =
• 4×(-3)
=
• (-24)/3
=
• (-24)/(-3)=
12
-12
-8
8
”lika tecken” ger plus
”olika tecken” ger minus
NEGATIVA TAL
1. 17 - 3 × 2 + 5 - 18/3
2. 17 - 6
+ 5 – 6
3. 17 + 5
- 6 – 6
4. 22
- 12
5. 10
TALLINJEN
› Skillnad mellan 3 och (-3)?
› Differens av 3 och (-3)?
› 3 – (-3)= 6
PÅ RÄKNAREN
3 – (-3)= 6
PÅ RÄKNAREN
› 3 – (-3)= 6
ADDITION OCH SUBTRAKTION
MED NEGATIVA TAL
–
› (-4) + (-6) = -10
› (-4) - (-6) =
2
+
Tecken intill varandra:
LIKA
+
OLIKA  –
RÄKNA MED BRÅK
7 3 7
 

12 8 24
7 14

12 24
3 9

8 24
VAD SKA VI GÖRA NU?
VI FÖRLÄNGER DESSA BÅDA BRÅK OCH FÅR DÅ…
14 9
7 12 1




24 24 24 24 2
HÄR FÖRKORTAR VI
MULTIPLIKATION AV BRÅK
4 2 8
 
7 7 49
4 3 11 3 33 11
1    

7 6 7 6 42 14
Samma värde
ATT INVERTERA ETT BRÅK
32
32
ATT INVERTERA ETT HELTAL
7
ATT INVERTERA ETT HELTAL
17
7
71
DIVISION AV BRÅK
4 2
/ 
7 7
HUR SKALL VI GÖRA NU?
4 7
 
7 2
VAD HAR VI GJORT?
”DIVISION MED 2/7  MULTIPLIKATION MED 7/2”
Algebraiska uttryck
x  2  3x  4   2 x  6
Variabeltermer
Konstanttermer
26
Algebraiska uttryck
 3x 
2
 3x  3x  3  3  x  x  9 x 2
x( x  5)  (3x)
x  5x  9 x
2
2
2
10 x  5 x
2
27
Algebraiska uttryck
(3x)  (3x)  (3x)
2
(3x)  9 x
2
3x  3x
2
2
2
28
Algebraiska uttryck
5
3
15
29
Algebraiska uttryck
b
a
ab  a  b
30
Algebraiska uttryck
3  2
3
9
6
15
31
Algebraiska uttryck
a  b
a
a
2
ab
a²+ab
32
Algebraiska uttryck
a  ( a  b)  a ( a  b)
2
 a  ab
33
Ekvationer
34
Ekvationer
35
1.2 Funktioner
36
f(x)
› f(x) utläses f av x
› f är en funktion av x
› Men det går också att säga y
f(x) = y
44
Hitta tal…
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
10
13
16
??
??
25
28
??
34
??
y  ?3x  7
45
Hitta tal…
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f(x)
10
13
16
??
??
25
28
??
34
??
f  x   3x  7
46
Hitta tal…
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
10
13
16
??
??
25
28
??
34
??
y  3n  7
47
Funktionsmaskin
x
JO!
UTvärdet = INvärdet gånger 2 plus ett
x
2x + 1
f(x) = 2x + 1
f(x) = y
IN = 1  UT = 3
IN = 2  UT = 5
IN = 3  UT = 7
IN = 4  UT = 9
IN = 5  UT = 11
f(x) = y
Vad gör funktionsmaskinen?
Vilken funktion har den?
Hur kan man skriva funktionen?
f(x) = 2x + 1 kan också skrivas y = 2x + 1
Med andra ord y = f(x)
49
NÄR ÄR Y EN FUNKTION AV X
y
f(x)
3
•
X=2
Y=3
•
X=5
Y=6
(5,6)
(2,3)
2
x
50
VÄRDE OCH DEFINITION
y
Värdeaxel
3
X=2
Y=3
•(5,6)
X=5
Y=6
•(2,3)
Definitionsaxel
2
x
När definitionen är 2, så är värdet 3
När definitionen är 5, så är värdet 6
53
LINJERS LUTNING
•
(1,5)
∆y = 2
•
(0,3)
Linjens lutning =
y 2
 2
x 1
∆x = 1
55
Lägga plattor runt rabatter
y  2n  6
56
Lägga plattor runt rabatter
y  2x  6
57
1.3 Räta linjens ekvation
58
DESMOS
Klicka på bilden för att gå till DESMOS
RÄTA LINJENS EKVATION
Linjens lutning
•
y 2
 2k
x 1
•
Linjens ekvation
•
y  2x  3
Några punkter på linjen
x
2x+3 (y)
-1
1
0
3
1
5
y  kx  m
64
RÄTA LINJENS EKVATION
y  kx  m
k = linjens lutning
m = var linjen skär y-axeln
65
LINJEN
y = 2x + 3
Hur vet jag att namnet på denna linje är y = 2x + 3?
66
VAD HETER DENNA LINJE?
y 3
k

x 2
m  2
•
∆y = 3
•
∆x = 2
3
y  x2
2
y  1,5 x  2
Vilket sätt att skriva är bäst?
67
VAD HETER DENNA LINJE?
•
y 6 3
k
 
x 4 2
m  2
∆y = 6
•
∆x = 4
3
y  x2
2
y  1,5 x  2
68
VAD HETER DENNA LINJE?
3
y  x2
2
y  1,5 x  2
DETTA SÄTT ÄR ATT FÖREDRA!
(Tycker Dennis)
•
69
PARALLELLA LINJER
y = 2x + 1
y = 2x - 1
Parallella linjer har samma k-värde
Parallella linjer har samma lutning
Parallella linjer har ingen skärningspunkt
70
Buskar på rad
Buskar på rad
y  5n  3
Buskar på rad
y  5x  3
Linjär utveckling…
x
y = 5x + 3
1
8
2
13
3
18
4
23
5
28
VINKELRÄTA LINJER
y  2x 1
1
y   x 1
2
1
2  ( )  1
2
Om man multiplicerar k-värdena för
två vinkelräta linjer får man alltid
produkten -1
74
K-VÄRDEN FÖR VINKELRÄTA LINJER
y  2x 1
1
y   x 1
2
2
k1  2 
1
1
k2  
2
2
1
2
 ( )    1
1
2
2
75
ATT INVERTERA ETT BRÅK
32
32
76
ATT INVERTERA ETT HELTAL
17
7
71
77
INVERTERADE TAL
4 7 28
 
1
7 4 28
13 9
 1
9 13
1
7 1
7
7 1
 1
1 7
Om man multiplicerar ett tal med dess
inverterade värde får man alltid
produkten 1 (ett).
78
INVERTERADE TAL
Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade
värde får man alltid produkten 1 (ett).
1
?  1
3
3
(3)
1
2
?  1
7
7
(3,5)
2
79
INVERTERADE TAL
Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade
värde får man alltid produkten 1 (ett).
8
?  1
11
11
8
5?  1
1
5
80
DESMOS
Klicka på bilden för att gå till DESMOS
VAD HETER LINJEN?
82
VAD HETER LINJEN?
83
VAD HETER LINJEN?
84
LINJERS LUTNING
•
(1,5)
∆y = 2
•
(0,3)
Linjens lutning =
y 2
 2
x 1
∆x = 1
85
RÄTA LINJENS EKVATION
•
Linjens lutning
•
y 2
 2k
x 1
Linjens ekvation
•
y  2x  3
Några punkter på linjen
x
2x+3 (y)
-1
1
0
3
1
5
 m
y  kx  m
87
VAD HETER DENNA LINJE?
y 3
k

x 2
m  2
•
∆y = 3
•
∆x = 2
3
y  x2
2
y  1,5 x  2
Vilket sätt tycker Du är bäst att skriva?
88
VAD HETER DENNA LINJE?
•
y 6 3
k
 
x 4 2
m  2
∆y = 6
•
∆x = 4
3
y  x2
2
y  1,5 x  2
89
VAD HETER DENNA LINJE?
3
y  x2
2
y  1,5 x  2
ÄR DETTA SÄTT ÄR ATT FÖREDRA?
•
90
PARALLELLA LINJER
y = 2x + 1
y = 2x - 1
Parallella linjer har samma k-värde
Parallella linjer har samma lutning
91
PARALLELLA LINJER
Vad heter dessa linjer?
y  2x  5
y  2x  0
92
VINKELRÄTA LINJER
95
God studieteknik?
1.4 Linjära ekvationssystem
•
Vad menas med en lösning?
97
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Y=2x+2
VAD
Svar:
MENAS
x = -1,
MED
y=
EN0 LÖSNING?
•
Y=-x-1
98
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Y=2x+2
 y  2x  2

y  x 1
•
 x  1

y  0
Y=-x-1
99
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
 y  2x  2

y  x 1
 x  1

y  0
Om lösningen stämmer i
båda ekvationerna så är
lösningen exakt.
Vi testar om lösningen är exakt:
Första ekvationen
2  ( 1)  2  0
Andra ekvationen
 ( 1)  1  0
Det stämmer!
100
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
101
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
102
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
103
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Uppgift
1.
2.
Vad heter linjerna?
Vilka koordinater har linjernas skärningspunkt?
104
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
3

 y   2 x  8

y  5 x  0

2
•
x  2

y  5
 2,5
105
VAD HETER DENNA LINJE?
•
y 6 3
k
 
x 4 2
m  2
∆y = 6
•
∆x = 4
3
y  x2
2
y  1,5 x  2
107
TRE LÖSNINGSMETODER
(AV EKVATIONSSYSTEM)
› GRAFISK LÖSNING
› SUBSTITUTIONSMETODEN
› ADDITIONSMETODEN
114
GRAFISK LÖSNING AV EKVATIONSSYSTEM
 x  0,7

 y  2,3
Värdena på x och y fås genom att läsa direkt i grafen.
115
SUBSTITUTIONSMETODEN
3 y  4 x  17

 y  5x  2
3 y  4 x  17

 y  5x  2
117
SUBSTITUTIONSMETODEN
3 y  4 x  17

 y  5x  2
3  (y5x 4x2
) 174 x  17
15x  6  4x  17
15x  4x  6  6  17  6
11x  11  x  1
118
SUBSTITUTIONSMETODEN
3 y  4 x  17

 y  5x  2
x 1
3 y  4  1  17
3 y  4  17
3y  4  4  17  4
3 y  21
y7
119
SUBSTITUTIONSMETODEN
x 1 y  7
3 y  4 x  17

 y  5x  2
Ekvationssystemet har lösningen:
x  1, y  7
Detta kan även skrivas:
 x 1
eller

y  7
1, 7 
120
ADDITIONSMETODEN (PRINCIPEN)
22
33
23 23
123
ADDITIONSMETODEN
2 x  3 y  16

4 x  3 y  14
2 x  4 x  3 y  3 y  16  14
124
ADDITIONSMETODEN
2 x  3 y  16

4 x  3 y  14
2 x  4 x  3 y  3 y  16  14
6x  30  x  5
2  5  3 y  16
3y  6  y  2
125
ADDITIONSMETODEN
2 x  3 y  16

4 x  3 y  14
x5
y2
Ekvationssystemet har lösningen:
x  5, y  2
Detta kan även skrivas:
x  5
eller

y  2
 5, 2 
126
ATT KUNNA TILL PROV 1
› ATT KUNNA TILL PROV 1