Kap 1 - Algebra och linjära modeller 1 1.1 Algebra 2 Prioriteringsreglerna 3 Prioriteringsreglerna 3 23 2 7 (3 2) 3 2 13 3 2 (3 2) 5 2 3 2 3 2 13 4 PRIORITERINGSREGLERNA Fungerande strategi (2+2) + 23 + 4*2 - 2 = 4 + 23 + 4*2 - 2 = (parenteser) 4 + 8 + 4*2 - 2 = (potenser) 4 + 8 + 8 - 2 = (mult.) 4 + 8 + 8 - 2 = 18 (add/sub.) MULT. OCH DIV. MED NEGATIVA TAL • (-4)×(-3) = • 4×(-3) = • (-24)/3 = • (-24)/(-3)= 12 -12 -8 8 ”lika tecken” ger plus ”olika tecken” ger minus NEGATIVA TAL 1. 17 - 3 × 2 + 5 - 18/3 2. 17 - 6 + 5 – 6 3. 17 + 5 - 6 – 6 4. 22 - 12 5. 10 TALLINJEN › Skillnad mellan 3 och (-3)? › Differens av 3 och (-3)? › 3 – (-3)= 6 PÅ RÄKNAREN 3 – (-3)= 6 PÅ RÄKNAREN › 3 – (-3)= 6 ADDITION OCH SUBTRAKTION MED NEGATIVA TAL – › (-4) + (-6) = -10 › (-4) - (-6) = 2 + Tecken intill varandra: LIKA + OLIKA – RÄKNA MED BRÅK 7 3 7 12 8 24 7 14 12 24 3 9 8 24 VAD SKA VI GÖRA NU? VI FÖRLÄNGER DESSA BÅDA BRÅK OCH FÅR DÅ… 14 9 7 12 1 24 24 24 24 2 HÄR FÖRKORTAR VI MULTIPLIKATION AV BRÅK 4 2 8 7 7 49 4 3 11 3 33 11 1 7 6 7 6 42 14 Samma värde ATT INVERTERA ETT BRÅK 32 32 ATT INVERTERA ETT HELTAL 7 ATT INVERTERA ETT HELTAL 17 7 71 DIVISION AV BRÅK 4 2 / 7 7 HUR SKALL VI GÖRA NU? 4 7 7 2 VAD HAR VI GJORT? ”DIVISION MED 2/7 MULTIPLIKATION MED 7/2” Algebraiska uttryck x 2 3x 4 2 x 6 Variabeltermer Konstanttermer 26 Algebraiska uttryck 3x 2 3x 3x 3 3 x x 9 x 2 x( x 5) (3x) x 5x 9 x 2 2 2 10 x 5 x 2 27 Algebraiska uttryck (3x) (3x) (3x) 2 (3x) 9 x 2 3x 3x 2 2 2 28 Algebraiska uttryck 5 3 15 29 Algebraiska uttryck b a ab a b 30 Algebraiska uttryck 3 2 3 9 6 15 31 Algebraiska uttryck a b a a 2 ab a²+ab 32 Algebraiska uttryck a ( a b) a ( a b) 2 a ab 33 Ekvationer 34 Ekvationer 35 1.2 Funktioner 36 f(x) › f(x) utläses f av x › f är en funktion av x › Men det går också att säga y f(x) = y 44 Hitta tal… x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 10 13 16 ?? ?? 25 28 ?? 34 ?? y ?3x 7 45 Hitta tal… x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f(x) 10 13 16 ?? ?? 25 28 ?? 34 ?? f x 3x 7 46 Hitta tal… n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 10 13 16 ?? ?? 25 28 ?? 34 ?? y 3n 7 47 Funktionsmaskin x JO! UTvärdet = INvärdet gånger 2 plus ett x 2x + 1 f(x) = 2x + 1 f(x) = y IN = 1 UT = 3 IN = 2 UT = 5 IN = 3 UT = 7 IN = 4 UT = 9 IN = 5 UT = 11 f(x) = y Vad gör funktionsmaskinen? Vilken funktion har den? Hur kan man skriva funktionen? f(x) = 2x + 1 kan också skrivas y = 2x + 1 Med andra ord y = f(x) 49 NÄR ÄR Y EN FUNKTION AV X y f(x) 3 • X=2 Y=3 • X=5 Y=6 (5,6) (2,3) 2 x 50 VÄRDE OCH DEFINITION y Värdeaxel 3 X=2 Y=3 •(5,6) X=5 Y=6 •(2,3) Definitionsaxel 2 x När definitionen är 2, så är värdet 3 När definitionen är 5, så är värdet 6 53 LINJERS LUTNING • (1,5) ∆y = 2 • (0,3) Linjens lutning = y 2 2 x 1 ∆x = 1 55 Lägga plattor runt rabatter y 2n 6 56 Lägga plattor runt rabatter y 2x 6 57 1.3 Räta linjens ekvation 58 DESMOS Klicka på bilden för att gå till DESMOS RÄTA LINJENS EKVATION Linjens lutning • y 2 2k x 1 • Linjens ekvation • y 2x 3 Några punkter på linjen x 2x+3 (y) -1 1 0 3 1 5 y kx m 64 RÄTA LINJENS EKVATION y kx m k = linjens lutning m = var linjen skär y-axeln 65 LINJEN y = 2x + 3 Hur vet jag att namnet på denna linje är y = 2x + 3? 66 VAD HETER DENNA LINJE? y 3 k x 2 m 2 • ∆y = 3 • ∆x = 2 3 y x2 2 y 1,5 x 2 Vilket sätt att skriva är bäst? 67 VAD HETER DENNA LINJE? • y 6 3 k x 4 2 m 2 ∆y = 6 • ∆x = 4 3 y x2 2 y 1,5 x 2 68 VAD HETER DENNA LINJE? 3 y x2 2 y 1,5 x 2 DETTA SÄTT ÄR ATT FÖREDRA! (Tycker Dennis) • 69 PARALLELLA LINJER y = 2x + 1 y = 2x - 1 Parallella linjer har samma k-värde Parallella linjer har samma lutning Parallella linjer har ingen skärningspunkt 70 Buskar på rad Buskar på rad y 5n 3 Buskar på rad y 5x 3 Linjär utveckling… x y = 5x + 3 1 8 2 13 3 18 4 23 5 28 VINKELRÄTA LINJER y 2x 1 1 y x 1 2 1 2 ( ) 1 2 Om man multiplicerar k-värdena för två vinkelräta linjer får man alltid produkten -1 74 K-VÄRDEN FÖR VINKELRÄTA LINJER y 2x 1 1 y x 1 2 2 k1 2 1 1 k2 2 2 1 2 ( ) 1 1 2 2 75 ATT INVERTERA ETT BRÅK 32 32 76 ATT INVERTERA ETT HELTAL 17 7 71 77 INVERTERADE TAL 4 7 28 1 7 4 28 13 9 1 9 13 1 7 1 7 7 1 1 1 7 Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade värde får man alltid produkten 1 (ett). 78 INVERTERADE TAL Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade värde får man alltid produkten 1 (ett). 1 ? 1 3 3 (3) 1 2 ? 1 7 7 (3,5) 2 79 INVERTERADE TAL Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade värde får man alltid produkten 1 (ett). 8 ? 1 11 11 8 5? 1 1 5 80 DESMOS Klicka på bilden för att gå till DESMOS VAD HETER LINJEN? 82 VAD HETER LINJEN? 83 VAD HETER LINJEN? 84 LINJERS LUTNING • (1,5) ∆y = 2 • (0,3) Linjens lutning = y 2 2 x 1 ∆x = 1 85 RÄTA LINJENS EKVATION • Linjens lutning • y 2 2k x 1 Linjens ekvation • y 2x 3 Några punkter på linjen x 2x+3 (y) -1 1 0 3 1 5 m y kx m 87 VAD HETER DENNA LINJE? y 3 k x 2 m 2 • ∆y = 3 • ∆x = 2 3 y x2 2 y 1,5 x 2 Vilket sätt tycker Du är bäst att skriva? 88 VAD HETER DENNA LINJE? • y 6 3 k x 4 2 m 2 ∆y = 6 • ∆x = 4 3 y x2 2 y 1,5 x 2 89 VAD HETER DENNA LINJE? 3 y x2 2 y 1,5 x 2 ÄR DETTA SÄTT ÄR ATT FÖREDRA? • 90 PARALLELLA LINJER y = 2x + 1 y = 2x - 1 Parallella linjer har samma k-värde Parallella linjer har samma lutning 91 PARALLELLA LINJER Vad heter dessa linjer? y 2x 5 y 2x 0 92 VINKELRÄTA LINJER 95 God studieteknik? 1.4 Linjära ekvationssystem • Vad menas med en lösning? 97 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Y=2x+2 VAD Svar: MENAS x = -1, MED y= EN0 LÖSNING? • Y=-x-1 98 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Y=2x+2 y 2x 2 y x 1 • x 1 y 0 Y=-x-1 99 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM y 2x 2 y x 1 x 1 y 0 Om lösningen stämmer i båda ekvationerna så är lösningen exakt. Vi testar om lösningen är exakt: Första ekvationen 2 ( 1) 2 0 Andra ekvationen ( 1) 1 0 Det stämmer! 100 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM 101 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM 102 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM 103 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Uppgift 1. 2. Vad heter linjerna? Vilka koordinater har linjernas skärningspunkt? 104 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM 3 y 2 x 8 y 5 x 0 2 • x 2 y 5 2,5 105 VAD HETER DENNA LINJE? • y 6 3 k x 4 2 m 2 ∆y = 6 • ∆x = 4 3 y x2 2 y 1,5 x 2 107 TRE LÖSNINGSMETODER (AV EKVATIONSSYSTEM) › GRAFISK LÖSNING › SUBSTITUTIONSMETODEN › ADDITIONSMETODEN 114 GRAFISK LÖSNING AV EKVATIONSSYSTEM x 0,7 y 2,3 Värdena på x och y fås genom att läsa direkt i grafen. 115 SUBSTITUTIONSMETODEN 3 y 4 x 17 y 5x 2 3 y 4 x 17 y 5x 2 117 SUBSTITUTIONSMETODEN 3 y 4 x 17 y 5x 2 3 (y5x 4x2 ) 174 x 17 15x 6 4x 17 15x 4x 6 6 17 6 11x 11 x 1 118 SUBSTITUTIONSMETODEN 3 y 4 x 17 y 5x 2 x 1 3 y 4 1 17 3 y 4 17 3y 4 4 17 4 3 y 21 y7 119 SUBSTITUTIONSMETODEN x 1 y 7 3 y 4 x 17 y 5x 2 Ekvationssystemet har lösningen: x 1, y 7 Detta kan även skrivas: x 1 eller y 7 1, 7 120 ADDITIONSMETODEN (PRINCIPEN) 22 33 23 23 123 ADDITIONSMETODEN 2 x 3 y 16 4 x 3 y 14 2 x 4 x 3 y 3 y 16 14 124 ADDITIONSMETODEN 2 x 3 y 16 4 x 3 y 14 2 x 4 x 3 y 3 y 16 14 6x 30 x 5 2 5 3 y 16 3y 6 y 2 125 ADDITIONSMETODEN 2 x 3 y 16 4 x 3 y 14 x5 y2 Ekvationssystemet har lösningen: x 5, y 2 Detta kan även skrivas: x 5 eller y 2 5, 2 126 ATT KUNNA TILL PROV 1 › ATT KUNNA TILL PROV 1