1 - Kunda

Kap 1 - Algebra och linjära modeller
1
1.1 Algebra
2
Prioriteringsreglerna
3
Prioriteringsreglerna
3 23 2  7
(3  2)  3  2  13
3  2  (3  2)  5
2
3  2  3  2  13
4
PRIORITERINGSREGLERNA
Fungerande strategi
(2+2) + 23 + 4*2 - 2 =
4
+ 23 + 4*2 - 2 = (parenteser)
4
+ 8 + 4*2 - 2 =
(potenser)
4
+ 8 +
8
- 2 =
(mult.)
4
+ 8 +
8
- 2 = 18 (add/sub.)
MULT. OCH DIV. MED NEGATIVA TAL
• (-4)×(-3) =
• 4×(-3)
=
• (-24)/3
=
• (-24)/(-3)=
12
-12
-8
8
”lika tecken” ger plus
”olika tecken” ger minus
NEGATIVA TAL
1. 17 - 3 × 2 + 5 - 18/3
2. 17 - 6
+ 5 – 6
3. 17 + 5
- 6 – 6
4. 22
- 12
5. 10
TALLINJEN
› Skillnad mellan 3 och (-3)?
› Differens av 3 och (-3)?
› 3 – (-3)= 6
PÅ RÄKNAREN
3 – (-3)= 6
PÅ RÄKNAREN
› 3 – (-3)= 6
ADDITION OCH SUBTRAKTION
MED NEGATIVA TAL
–
› (-4) + (-6) = -10
› (-4) - (-6) =
2
+
Tecken intill varandra:
LIKA
+
OLIKA  –
RÄKNA MED BRÅK
7 3 7
 

12 8 24
7 14

12 24
3 9

8 24
VAD SKA VI GÖRA NU?
VI FÖRLÄNGER DESSA BÅDA BRÅK OCH FÅR DÅ…
14 9
7 12 1




24 24 24 24 2
HÄR FÖRKORTAR VI
MULTIPLIKATION AV BRÅK
4 2 8
 
7 7 49
4 3 11 3 33 11
1    

7 6 7 6 42 14
Samma värde
ATT INVERTERA ETT TAL
ATT INVERTERA ETT BRÅK
32
32
ATT INVERTERA ETT HELTAL
7
ATT INVERTERA ETT HELTAL
17
7
71
DIVISION AV BRÅK
4 2
/ 
7 7
HUR SKALL VI GÖRA NU?
4 7
 
7 2
VAD HAR VI GJORT?
”DIVISION MED 2/7  MULTIPLIKATION MED 7/2”
Algebraiska uttryck
x  2  3x  4   2 x  6
Variabeltermer
Konstanttermer
27
Algebraiska uttryck
 3x 
2
 3x  3x  3  3  x  x  9 x 2
x( x  5)  (3x)
x  5x  9 x
2
2
2
10 x  5 x
2
28
Algebraiska uttryck
(3x)  (3x)  (3x)
2
(3x)  9 x
2
3x  3x
2
2
2
29
Algebraiska uttryck
5
3
15
30
Algebraiska uttryck
b
a
ab  a  b
31
Algebraiska uttryck
3  2
3
9
6
15
32
Algebraiska uttryck
a  b
a
a
2
ab
a²+ab
33
Algebraiska uttryck
a  ( a  b)  a ( a  b)
2
 a  ab
34
Ekvationer
35
Ekvationer
36
1.2 Funktioner
37
Funktioner
1. Dra bort 32
2. Dela med 1,8
F  32
C
1,8
°F
°C
32
50
65
20
45
0
38
f(x)
› f(x) utläses f av x
› f är en funktion av x
› Men det går också att säga y
f(x) = y
46
Hitta tal…
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
10
13
16
??
??
25
28
??
34
??
y  ?3x  7
47
Hitta tal…
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f(x)
10
13
16
??
??
25
28
??
34
??
f  x   3x  7
f  2   13
f  20   ??
f  5   22
f  50   ??
f 10   37 f 100   ??
48
Hitta tal…
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f(x)
10
13
16
??
??
25
28
??
34
??
f  x   3x  7
f  0   ??
49
Hitta tal…
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
10
13
16
??
??
25
28
??
34
??
y  3n  7
50
Funktionsmaskin
x
JO!
UTvärdet = INvärdet gånger 2 plus ett
x
2x + 1
f(x) = 2x + 1
f(x) = y
IN = 1  UT = 3
IN = 2  UT = 5
IN = 3  UT = 7
IN = 4  UT = 9
IN = 5  UT = 11
f(x) = y
Vad gör funktionsmaskinen?
Vilken funktion har den?
Hur kan man skriva funktionen?
f(x) = 2x + 1 kan också skrivas y = 2x + 1
Med andra ord y = f(x)
52
NÄR ÄR Y EN FUNKTION AV X
y
f(x)
3
•
X=2
Y=3
•
X=5
Y=6
(5,6)
(2,3)
2
x
53
VÄRDE OCH DEFINITION
y
Värdeaxel
3
X=2
Y=3
•(5,6)
X=5
Y=6
•(2,3)
Definitionsaxel
2
x
När definitionen är 2, så är värdet 3
När definitionen är 5, så är värdet 6
56
LINJERS LUTNING
•
(1,5)
∆y = 2
•
(0,3)
Linjens lutning =
y 2
 2
x 1
∆x = 1
58
Lägga plattor runt rabatter
y  2n  6
59
Lägga plattor runt rabatter
y  2x  6
60
1.3 Räta linjens ekvation
61
DESMOS
Klicka på bilden för att gå till DESMOS
RÄTA LINJENS EKVATION
Linjens lutning
•
y 2
 2k
x 1
•
Linjens ekvation
•
y  2x  3
Några punkter på linjen
x
2x+3 (y)
-1
1
0
3
1
5
y  kx  m
67
RÄTA LINJENS EKVATION
y  kx  m
k = linjens lutning
m = var linjen skär y-axeln
68
LINJEN
y = 2x + 3
Hur vet jag att namnet på denna linje är y = 2x + 3?
69
VAD HETER DENNA LINJE?
y 3
k

x 2
m  2
•
∆y = 3
•
∆x = 2
3
y  x2
2
y  1,5 x  2
Vilket sätt att skriva är bäst?
70
VAD HETER DENNA LINJE?
•
y 6 3
k
 
x 4 2
m  2
∆y = 6
•
∆x = 4
3
y  x2
2
y  1,5 x  2
71
VAD HETER DENNA LINJE?
3
y  x2
2
y  1,5 x  2
DETTA SÄTT ÄR ATT FÖREDRA!
(Tycker Dennis)
•
72
PARALLELLA LINJER
y = 2x + 1
y = 2x - 1
Parallella linjer har samma k-värde
Parallella linjer har samma lutning
Parallella linjer har ingen skärningspunkt
73
Buskar på rad
Buskar på rad
y  5n  3
Buskar på rad
y  5x  3
Linjär utveckling…
x
y = 5x + 3
1
8
2
13
3
18
4
23
5
28
VINKELRÄTA LINJER
y  2x 1
1
y   x 1
2
1
2  ( )  1
2
Om man multiplicerar k-värdena för
två vinkelräta linjer får man alltid
produkten -1
77
K-VÄRDEN FÖR VINKELRÄTA LINJER
y  2x 1
1
y   x 1
2
2
k1  2 
1
1
k2  
2
2
1
2
 ( )    1
1
2
2
78
ATT INVERTERA ETT BRÅK
32
32
79
ATT INVERTERA ETT HELTAL
17
7
71
80
INVERTERADE TAL
4 7 28
 
1
7 4 28
13 9
 1
9 13
1
7 1
7
7 1
 1
1 7
Om man multiplicerar ett tal med dess
inverterade värde får man alltid
produkten 1 (ett).
81
INVERTERADE TAL
Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade
värde får man alltid produkten 1 (ett).
1
?  1
3
3
(3)
1
2
?  1
7
7
(3,5)
2
82
INVERTERADE TAL
Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade
värde får man alltid produkten 1 (ett).
8
?  1
11
11
8
5?  1
1
5
83
DESMOS
Klicka på bilden för att gå till DESMOS
VAD HETER LINJEN?
85
VAD HETER LINJEN?
86
VAD HETER LINJEN?
87
LINJERS LUTNING
•
(1,5)
∆y = 2
•
(0,3)
Linjens lutning =
y 2
 2
x 1
∆x = 1
88
RÄTA LINJENS EKVATION
•
Linjens lutning
•
y 2
 2k
x 1
Linjens ekvation
•
y  2x  3
Några punkter på linjen
x
2x+3 (y)
-1
1
0
3
1
5
 m
y  kx  m
90
VAD HETER DENNA LINJE?
y 3
k

x 2
m  2
•
∆y = 3
•
∆x = 2
3
y  x2
2
y  1,5 x  2
Vilket sätt tycker Du är bäst att skriva?
91
VAD HETER DENNA LINJE?
•
y 6 3
k
 
x 4 2
m  2
∆y = 6
•
∆x = 4
3
y  x2
2
y  1,5 x  2
92
VAD HETER DENNA LINJE?
3
y  x2
2
y  1,5 x  2
ÄR DETTA SÄTT ÄR ATT FÖREDRA?
•
93
PARALLELLA LINJER
y = 2x + 1
y = 2x - 1
Parallella linjer har samma k-värde
Parallella linjer har samma lutning
94
PARALLELLA LINJER
Vad heter dessa linjer?
y  2x  5
y  2x  0
95
VINKELRÄTA LINJER
4
k
5
4  5
     1
5  4
5
k
4
97
VINKELRÄTA LINJER
98
1.4 Linjära ekvationssystem
•
Vad menas med en lösning?
100
TRE LÖSNINGSMETODER
(AV EKVATIONSSYSTEM)
› GRAFISK LÖSNING
› SUBSTITUTIONSMETODEN
› ADDITIONSMETODEN
101
GRAFISK LÖSNING AV EKVATIONSSYSTEM
 x  0,7

 y  2,3
Värdena på x och y fås genom att läsa direkt i grafen.
102
GRAFISK LÖSNING AV EKVATIONSSYSTEM
м
п
пy = 2x - 4
н
п
y
=
0,
5
x
+
6
п
о
103
GRAFISK LÖSNING AV EKVATIONSSYSTEM
м
п
пy = - 3x - 4
н
п
y
=
x
+
4
п
о
104
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
y
5
y  x 3
2
7
6
5
4
•
3
2
1
(2, 2)
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
y  x  4
-3
-4
108
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
TEST!
5
y  23  2
2
y  2  4  2
Hurra! Det stämmer
5

y

x 3

Punkten (2, 2) är en lösning till ekvationssystemet 
2
 y   x  4
109
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
110
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
111
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
112
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Uppgift
1.
2.
Vad heter linjerna?
Vilka koordinater har linjernas skärningspunkt?
113
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
3

 y   2 x  8

y  5 x  0

2
•
x  2

y  5
 2,5
114
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Detta ekvationssystem
3

 y   2 x  8
 y  1,5 x  8
eller 

 y  2,5 x  0
y  5 x  0

2
x  2
har lösningen 
eller  2,5 
y  5
115
VAD HETER DENNA LINJE?
•
y 6 3
k
 
x 4 2
m  2
∆y = 6
•
∆x = 4
3
y  x2
2
y  1,5 x  2
117
SUBSTITUTIONSMETODEN
3 y  4 x  17

 y  5x  2
3 y  4 x  17

 y  5x  2
125
SUBSTITUTIONSMETODEN
3 y  4 x  17

 y  5x  2
3  (y5x 4x2
) 174 x  17
15x  6  4x  17
15 x  4 x  6  6  17  6
11x  11  x  1
126
SUBSTITUTIONSMETODEN
3 y  4 x  17

 y  5x  2
x 1
3 y  4  1  17
3 y  4  17
3y  4  4  17  4
3 y  21
y7
127
SUBSTITUTIONSMETODEN
x 1 y  7
3 y  4 x  17

 y  5x  2
Ekvationssystemet har lösningen:
x  1, y  7
Detta kan även skrivas:
 x 1
eller

y  7
1, 7 
128
ADDITIONSMETODEN (PRINCIPEN)
22
33
23 23
131
ADDITIONSMETODEN
2 x  3 y  16

4 x  3 y  14
2 x  4 x  3 y  3 y  16  14
132
ADDITIONSMETODEN
2 x  3 y  16

4 x  3 y  14
2 x  4 x  3 y  3 y  16  14
6x  30  x  5
2  5  3 y  16
Vad hände här?
3y  6  y  2
133
ADDITIONSMETODEN
2 x  3 y  16

4 x  3 y  14
x5
y2
Ekvationssystemet har lösningen:
x  5, y  2
Detta kan även skrivas:
x  5
eller

y  2
 5, 2 
134
Ekvationssystem
Vilken lösning har detta ekvationssystem?
136
Ekvationssystem
Vilken lösning har detta ekvationssystem?
137
Ekvationssystem
Vilken lösning har detta ekvationssystem?
138
MARKÖR
HÄR!
Ekvationssystem
Vilken lösning har detta ekvationssystem?
140
146
PARALLELLA LINJER
y = 2x + 1
y = 2x - 1
Parallella linjer har samma k-värde
Parallella linjer har samma lutning
147
PARALLELLA LINJER
Vad heter dessa linjer?
y  2x  5
y  2x  0
148
VINKELRÄTA LINJER
y  2x 1
1
y   x 1
2
1
2  ( )  1
2
Om man multiplicerar k-värdena för
två vinkelräta linjer får man alltid
produkten -1
149
VINKELRÄTA LINJER
4
k
5
4  5
     1
5  4
5
k
4
150
VINKELRÄTA LINJER
151
ATT KUNNA TILL PROV 1
› ATT KUNNA TILL PROV 1
ENKLA OLIKHETER
23
[2 är mindre än 3]
2  2  3 2
2 1  3 1
2  (2)  3  (2)
2
3

(2) (2)
2  2  3 2
2 3

2 2
Om båda leden i en olikhet multipliceras eller divideras med ett
negativt tal, så måste olikhetstecknet vändas.
153
LINJÄRA OLIKHETER
y=x-3
x – 3 < -2x + 5
x – 3 > -2x + 5
y = -2x + 5
154
LINJÄRA OLIKHETER
x – 3 < -2x + 5
x – 3 + 2x < -2x + 2x + 5
3x – 3 < 5
3x – 3 + 3 < 5 + 3
3x < 8
x
8
2
x2
3
3
155
UPPGIFT 2417
x  2
x  0,5
x2
y=x– 1
y = 0,25x + 0,5
156
LINJERS LUTNING
(1,5)
•
2 steg i y-led
(0,3)
• 1 steg i x-led
157