2010-01-26
Funktioner och linjära modeller
1
f(x)
f(x) utläses f av x
f är en funktion av x
Men det går lika bra att säga y
f(x) = y
2
1
2010-01-26
Symbolen f(x)
3
Funktionsmaskin
x
JO!
UTvärdet = INvärdet gånger 2 plus ett
2x + 1
IN = 1 UT = 3
IN = 2 UT = 5
IN = 3 UT = 7
IN = 4 UT = 9
IN = 5 UT = 11
f(x) = 2x + 1
F(x) = y
Vad gör funktionsmaskinen?
Vilken funktion har den?
Hur kan man skriva funktionen?
f(x) = 2x + 1 kan också skrivas y = 2x + 1
Med andra ord y = f(x)
4
2
2010-01-26
NÄR ÄR Y EN FUNKTION AV X
y
X=2
Y=3
X=5
Y=6
•(5,6)
3
• (2,3)
2
x
5
Funktion eller inte funktion?
JA!
JA!
Nej!
Testa om det är en funktion med VERTIKALTESTET
6
3
2010-01-26
Definitions-- och värdemängd
Definitions
7
VÄRDE OCH DEFINITION
y
X=2
Y=3
X=5
Y=6
•(5,6)
3
• (2,3)
2
x
När definitionen är 2, så är värdet 3
När definitionen är 5, så är värdet 6
8
4
2010-01-26
Definitions-- och värdemängd
Definitions
Y = värdeaxel
X = definitionsaxel
9
LINJERS LUTNING(1)
(1,5)
•
2 steg i y-led
(0,3)
• 1 steg i x-led
10
5
2010-01-26
LINJERS LUTNING(2)
Linjens lutning =
(1,5)
•
∆y = 2
(0,3)
∆y 2
= =2
∆x 1
• ∆x = 1
11
RÄTA LINJENS EKVATION(1)
Linjens lutning
•
∆y 2
= =2=k
∆x 1
•
Linjens ekvation
•
y = 2x + 3
Några punkter på linjen
x
2x+3 (y)
-1
1
0
3
1
5
y = kx + m
12
6
2010-01-26
RÄTA LINJENS EKVATION(2)
y = kx + m
k = linjens lutning
m = var linjen skär y-axeln
13
LINJEN y
= 2x + 3
14
7
2010-01-26
VAD HETER DENNA LINJE?
∆y 3
k=
=
∆x 2
m = −2
•
∆y = 3
•
∆x = 2
y=
3
x−2
2
y = 1,5 x − 2
15
PARALLELLA LINJER
y = 2x + 1
y = 2x - 1
Parallella linjer har samma k-värde
16
8
2010-01-26
VINKELRÄTA LINJER
y = 2x +1
1
y = − x −1
2
1
2 ⋅ (− ) = −1
2
Om man multiplicerar k-värdena för
två vinkelräta linjer får man alltid
produkten -1
17
K-VÄRDEN FÖR VINKELRÄTA LINJER
y = 2x −1
1
y = − x −1
2
k1 = 2 =
2
1
k2 = −
1
2
2
1
2
⋅ ( − ) = − = −1
1
2
2
18
9
2010-01-26
ATT INVERTERA ETT BRÅK
32
32
19
ATT INVERTERA ETT HELTAL
17
7=
71
20
10
2010-01-26
INVERTERADE TAL
4 7 28
⋅ =
=1
7 4 28
13 9
⋅ =1
9 13
7⋅
1
=1
7
Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade
värde får man alltid produkten 1 (ett).
21
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Y=2x+2
VAD
Svar:
MENAS
x = -1,MED
y = 0EN LÖSNING?
•
Y=-x-1
22
11
2010-01-26
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Y=2x+2
y = 2x + 2
y = −x −1
•
x = −1
y = 0
Y=-x-1
23
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
y = 2x + 2
y = −x −1
x = −1
y = 0
Om lösningen stämmer i
båda ekvationerna så är
lösningen exakt.
Vi testar om lösningen är exakt:
Första ekvationen
2
⋅ ( − 1 ) +
2
=
=
0
0
Andra ekvationen
−
( − 1 ) − 1
Det stämmer!
24
12
2010-01-26
TRE LÖSNINGSMETODER
(AV EKVATIONSSYSTEM)
GRAFISK LÖSNING
SUBSTITUTIONSMETODEN
ADDITIONSMETODEN
25
GRAFISK LÖSNING AV EKVATIONSSYSTEM
x ≈ 0,7
y ≈ 2,3
Värdena på x och y fås genom att läsa direkt i grafen.
26
13
2010-01-26
SUBSTITUTIONSMETODEN
27
ADDITIONSMETODEN
28
14
2010-01-26
ENKLA OLIKHETER
2<3
[2 är mindre än 3]
2+ 2 < 3+ 2
2 −1 < 3 −1
2 × (−2) > 3 × (−2)
2
3
>
(−2) ( −2)
2 × 2 < 3× 2
2 3
<
2 2
Om båda leden i en olikhet multipliceras eller divideras med ett negativt tal,
så måste olikhetstecknet vändas.
29
LINJÄRA OLIKHETER(1)
y=x-3
x – 3 < -2x + 5
x – 3 > -2x + 5
y = -2x + 5
30
15
2010-01-26
LINJÄRA OLIKHETER(2)
x – 3 < -2x + 5
x – 3 + 2x < -2x + 2x + 5
3x – 3 < 5
3x – 3 + 3 < 5 + 3
3x < 8
x<
8
2
⇒x<2
3
3
31
UPPGIFT 2417
x > −2
x < 0,5
x>2
y=x–1
y = 0,25x + 0,5
32
16
