Vikten av samtal vid tyst räkning

Natur, miljö, samhälle
Examensarbete i fördjupningsämnet
Matematik och lärande
15 högskolepoäng, avancerad nivå
Vikten av samtal vid tyst räkning
- en analys av kommunikativ matematik i läromedel
The importance of conversation when calculating in silence
- an analysis of communicative mathematics in textbooks
Annika Olsson
Grundlärarexamen med inriktning
mot arbete i årskurs F-3, 240 hp
Examinator: Per Schubert
2015-03-29
Handledare: Mikael Londos
Förord
Siffror har alltid haft en central roll i mitt liv. I grundskolan var matematik mitt favoritämne. Med siktet inställt på att en dag arbeta med siffror på bank, valde jag ekonomisk
linje på gymnasiet. Mina vidare studier vid Lunds universitet innebar bl a flera kurser i
statistik, vilket så småningom resulterade i en filosofie kandidatexamen i ämnet. Under
drygt 15 års tid arbetade jag sedan inom läkemedelsindustrin med kliniska prövningar,
där statistik och siffror är av stor betydelse. När det under mina pågående studier till
grundlärare blev dags att välja fördjupningsämne var matematik ett för mig självklart
val. Summan av kardemumman? Matematik ligger mig varmt om hjärtat.
Tack vare min lärarutbildning har jag förstått vikten av en varierad undervisning där
det måste ges möjlighet att kommunicera matematik, muntligt som skriftligt. Då dagens
undervisning i matematik, precis som när jag själv gick i grundskolan, till stor del är
styrd av en lärobok är jag intresserad av att undersöka hur läroboken kan stimulera till
interaktion och kommunikation.
Jag vill passa på att tacka min handledare, Mikael Londos, som genom att ifrågasätta
mina tankar och funderingar har varit till stor hjälp i mitt arbete. Mitt absoluta största
tack riktar jag dock till min son, Adam, som under flera veckors tid har fått stå ut med
en ganska osocial mamma och middagar med både halv- och helfabrikat. Inte en enda
gång har du gnällt. Jag säger det till dig varje dag och jag säger det igen: Du är bäst!
3
4
Sammanfattning
Tidigare forskning visar att matematikundervisning i väldigt stor utsträckning
domineras av tyst arbete i lärobok. Nu rådande läroplan betonar kommunikation. Denna
studie syftar till att undersöka om läromedel i matematik kan bidra till att elever i
årskurs 1-3 utvecklar sitt matematiska språk och sin kommunikativa förmåga. Studien
baseras på tre läromedel i matematik för årskurs 1-3, ett läromedel per årskurs. Med
hjälp av kvantitativ och kvalitativ innehållsanalys granskades materialet utifrån de
teoretiska utgångspunkterna ramfaktorteori och läroplansteori samt med en sociokulturell syn på lärande.
Resultaten visar att läroboken som enda ramfaktor inte möjliggör en kommunikativ
matematik enligt läroplanens mål. Med stöd av lärarhandledning finns det emellertid
stora möjligheter för läraren att skapa ett klassrum med interaktion och kommunikation.
För att stimulera till en undervisning med rätt terminologi förutsätter detta att lärarens
språk fungerar som ett medierande verktyg.
Nyckelord: innehållsanalys, interaktion, kommunikation, läromedel, läroplansteori,
matematik, ramfaktorteori, sociokulturellt perspektiv, undervisning
5
Abstract
Previous research shows that mathematics teaching is very dominated by quiet textbook
work. Current curriculum emphasizes communication. The aim of this study is to
investigate whether textbooks in mathematics can help pupils in grades 1-3 develop
their mathematical language and communication skills. The study is based on three
textbooks in mathematics for grades 1-3, one textbook per grade. The material was
examined by using quantitative and qualitative content analysis. The theoretical
perspectives used were frame factor theory and curriculum theory, with a sociocultural
view of learning.
The results show that the textbook as a single frame factor does not allow
communicative mathematics according to the objectives of the curriculum. However,
with the support of the teacher's guide, there are great opportunities for the teacher to
create a classroom with interaction and communication. To stimulate teaching with the
correct terminology, this requires that the teacher’s language acts as a mediating tool.
Keywords: communication, content analysis, curriculum theory, frame factor theory,
interaction, mathematics, sociocultural perspective, teaching, textbook
6
Innehållsförteckning
1. Inledning ............................................................................................................................ 9
2. Syfte och problemställning .............................................................................................. 11
3. Bakgrund och tidigare forskning ..................................................................................... 13
3.1
Kommunikation i läroplanen ................................................................................. 13
3.1.1
Kommunikation i kursplanen för matematik, Lpo 94 ............................. 14
3.1.2
Kommunikation i kursplanen för matematik, Lgr 11 .............................. 14
3.2
Matematik och språk ............................................................................................. 15
3.2.1
Vardagligt och matematiskt språk ............................................................ 15
3.2.2
Kommunikativ matematikundervisning ................................................... 16
3.3
Matematik och läromedel ...................................................................................... 18
4. Teoretiska utgångspunkter .............................................................................................. 21
4.1
Ramfaktorteori och läroplansteori ......................................................................... 21
4.2
Sociokulturellt perspektiv på lärande .................................................................... 23
5. Metod och genomförande ................................................................................................ 25
5.1
Val av metod .......................................................................................................... 25
5.2
Urval ...................................................................................................................... 26
5.2.1
Bakgrundsinformation .............................................................................. 27
5.2.2
Urvalets avgränsningar ............................................................................. 27
5.3
Analysverktyg ........................................................................................................ 28
5.3.1
Analysverktyg för analys av elevuppgifter ............................................... 28
5.3.2
Analysverktyg för analys av lärarinstruktioner ........................................ 29
5.4
Reliabilitet och validitet ......................................................................................... 30
5.5
Forskningsetiska principer ..................................................................................... 31
6. Resultat och analys .......................................................................................................... 33
6.1
Innehållsanalys av elevuppgifter ........................................................................... 33
6.1.1
Kvantitativ analys ..................................................................................... 33
6.1.2
Kvalitativ analys ....................................................................................... 35
6.2
Innehållsanalys av lärarinstruktioner ..................................................................... 36
7. Diskussion och slutsats .................................................................................................... 39
7.1
Metoddiskussion .................................................................................................... 42
7
7.2
Förslag till vidare forskning ................................................................................... 43
7.3
Avslutning .............................................................................................................. 43
8. Källförteckning ................................................................................................................ 45
8
1. Inledning
”I dag ska vi arbeta med sidorna 13-20 i matteboken”, ”Vilken sida är du på?”, ”Jag har
kommit mycket längre i boken än vad du har”, ”Jag ska få en ny mattebok för jag har
gjort färdigt den andra”, ”Jag vill att här är tyst när ni räknar”.
Dessa citat skulle kunna vara tagna direkt från den matematikundervisning jag själv
upplevde i grundskolan i början på 1980-talet. Jag minns hur jag och några klasskamrater tävlade om att ha gjort färdigt flest sidor i matematikboken och allt vårt
räknande skedde under total tystnad.
Ovanstående citat skulle dock lika gärna kunna vara tagna från den undervisning i
matematik som jag nu, ca 35 år senare, har upplevt under min verksamhetsförlagda
utbildning (VFU) samt i min roll som vikarie i grundskolan. Denna erfarenhet säger mig
att läroboken i matematik fortfarande har en central roll i undervisningen och att
eleverna till stor del ägnar sig åt enskild, tyst räkning. Detta bekräftas dels av två av de
kvalitetsgranskningar som gjorts när det gäller grundskolans matematikundervisning
och dels av forskning om undervisning i matematik. Resultaten visar på en läromedelsstyrd undervisning där eleverna till stor del arbetar enskilt (Skolverket 2003; Löwing
2004; Johansson 2006; Skolinspektionen 2009; Bergqvist et al. 2010).
Enskilt arbete anser jag motsäger den senaste läroplanen, Läroplan för grundskolan,
förskoleklassen och fritidshemmet 2011 (Lgr 11, Skolverket 2011b), vilken jag menar
andas kommunikation. Kursplanen i matematik är en del av Lgr 11 och i kursplanens
kommentarmaterial framgår det vilka förändringar som är gjorda jämfört med tidigare
kursplan. Det går bl a att läsa att Lgr 11 betonar vikten av att ”eleverna utvecklar
förmågan att kommunicera matematik med olika uttrycksformer” (Skolverket 2011a s.
6).
I kursplanen för matematik återfinns fem matematiska förmågor som eleverna ska
utveckla med hjälp av undervisningen: problemlösning, begrepp, metod, resonemang
och kommunikation (Skolverket 2011b). Alla dessa förmågor visar tydligt att språket
ska ha en central plats i undervisningen. Jag anser att det finns ett starkt samband
mellan de tre förmågorna begrepp, resonemang samt kommunikation och detta arbete är
begränsat till att endast omfatta dessa förmågor. För att kunna kommunicera matematik
9
krävs det att matematiska begrepp används. Det är dessutom nödvändigt att kunna
förklara och motivera sina tankegångar, d v s att resonera.
När jag studerar kursplanens syfte och kunskapskrav lägger jag märke till verb som
”formulera”, ”reflektera”, ”beskriva”, ”presentera”, ”samtala”, ”argumentera” samt
”redovisa” (Skolverket 2011b). Dessa verb menar jag är exempel på hur kommunikation
kan ske i grundskolans matematikundervisning. Men varför är då kommunikation i
matematik nödvändigt?
Forskning visar att kommunikation är avgörande för att elever ska bli medvetna om
sin kunskap och om hur de lär. Eleverna behöver vara delaktiga i samtal kring matematik och ges möjlighet att förklara hur de har resonerat när de har löst uppgifterna.
Detta för att kunna utveckla sitt matematiska tänkande, sitt språk samt sin förståelse
(Skolverket 2003; Löwing 2004; Riesbeck 2008). I sin avhandling skriver Eva Riesbeck
(2008 s. 10): ”Kommunikation kan ses som en grundbult i all mänsklig verksamhet och
en förutsättning för allt samordnat socialt handlande. Kommunikation skapar en
gemensam erfarenhetsgrund och ses som vägröjare för individuell kognition.”
För den svenska grundskolan finns en kursplan i matematik vars syfte och kunskapskrav genomsyras av både skriftlig och muntlig kommunikation. Samtidigt visar
forskning att matematikundervisningen i Sverige är läromedelsstyrd och till stor del
består av enskilt arbete. Står kursplan och undervisning i kontrast till varandra? Eller är
det rent av så att dagens matematikläromedel genomsyras av kursplanens betoning på
kommunikation och därmed bidrar till en kommunikativ lärandemiljö?
10
2. Syfte och problemställning
Detta examensarbete syftar till att undersöka huruvida läromedel i matematik kan bidra
till att elever i årskurs 1-3 utvecklar sitt matematiska språk och sin kommunikativa
förmåga. Genom att granska och jämföra innehållet i tre läromedel för årskurs 1-3
undersöks det om elever med hjälp av lärobokens uppgifter samt tillhörande lärarinstruktioner ges möjlighet till att utveckla de matematiska förmågorna begrepp,
resonemang och kommunikation.
De frågeställningar som undersökningens syfte leder fram till är följande:

Hur synliggörs kommunikativ matematik i läroböckernas elevuppgifter för
årskurs 1-3?

Hur uppmanar instruktioner i lärarhandledningar, för årskurs 1-3, till att skapa en
matematikundervisning med interaktion och kommunikation?
11
12
3. Bakgrund och tidigare forskning
Detta kapitel inleds med en redogörelse för hur ett av grundskolans styrdokument lyfter
fram en kommunikativ undervisning. Därefter skildras delar av den tidigare forskning
som berör studiens problemområde. I kapitlet definieras de begrepp som är centrala för
studien och därutöver beskrivs de begränsningar som är gjorda.
3.1 Kommunikation i läroplanen
Grundskolan i Sverige styrs av åtskilliga regler, lagar samt förordningar. Ett av dessa
styrdokument är den nationella läroplanen som fastställs av regeringen. Den nu rådande
läroplanen, Lgr 11, är uppdelad i tre delar: värdegrund och uppdrag, utbildningens mål
och riktlinjer samt kursplaner (Skolverket 2011b).
Att Lgr 11 lyfter kommunikationens betydelse synliggörs i alla tre delar. Redan i
första delen, om värdegrund och uppdrag, står det att eleverna genom ”rika möjligheter
att samtala, läsa och skriva ska [...] få utveckla sina möjligheter att kommunicera och
därmed få tilltro till sin språkliga förmåga” (a.a. s. 9). I andra delen, övergripande mål
och riktlinjer, går det att läsa att läraren ska organisera och genomföra sin undervisning
så att eleverna ”får stöd i sin språk- och kommunikationsutveckling” (a.a. s. 14).
I läroplanens sista del återfinns alla kursplaner för respektive ämne. För detta arbete
är jag intresserad av att närmare studera kursplanen i matematik och den kommunikation som där lyfts fram. I kommentarmaterialet till kursplanen i matematik beskrivs
verbet kommunicera med ”att utbyta information med andra om matematiska idéer och
tankegångar, muntligt, skriftligt och med hjälp av olika uttrycksformer” (Skolverket
2011a s. 11).
Då mitt empiriska material består av läromedel som är skrivna både enligt nu
gällande kursplan och den tidigare upplagan är det för min undersökning intressant att
studera båda dessa kursplaner. I avsnitten nedan kommer jag kort redogöra för hur
kommunikation synliggörs i de två senaste upplagorna av kursplanen för matematik.
13
3.1.1 Kommunikation i kursplanen för matematik, Lpo 94
Till skillnad från Lgr 11 så är kursplanerna till Lpo 94 en fristående skrift och alltså inte
en del av läroplanen. Sedan Lpo 94 utkom har kursplanerna reviderats vid två tillfällen.
Senaste revideringen skedde 2008 vilken berörde kursplanen i matematik. Det lades då
till mål att uppnå i slutet av årskurs 3 vilket tidigare endast funnits för årskurs 5 och 9
(Skolverket 2008).
Kursplanen består av fyra delar: undervisningens syfte, mål att sträva mot, ämnets
karaktär och uppbyggnad samt mål att uppnå (Skolverket 2008). I syftesdelen går det
bl a att läsa att undervisningen ska utveckla elevens ”möjligheter att kommunicera med
matematikens språk och uttrycksformer” (a.a. s. 26). Under mål att sträva mot beskrivs
att undervisningen ska ge eleven möjlighet att utveckla sin förmåga att, både muntligt
och skriftligt, förklara och argumentera samt förstå och använda begrepp (a.a.). Vidare
står det, under de mål som eleverna ska ha uppnått i slutet av årskurs 3, att eleven ska ha
skaffat sig tillräckliga kunskaper för att ”kunna uttrycka sig muntligt, skriftligt och i
handling på ett begripligt sätt med hjälp av vardagligt språk, grundläggande matematiska begrepp och symboler” (a.a. s. 28).
3.1.2 Kommunikation i kursplanen för matematik, Lgr 11
Kursplanerna i Lgr 11 består av tre delar: syfte, centralt innehåll samt kunskapskrav
(Skolverket 2011b). Den kommunikativa matematiken uppmärksammas flera gånger i
syftesdelen. Det går bl a att läsa att eleverna ska ges förutsättningar att utveckla
matematiska begrepp, utveckla sina färdigheter när det gäller att argumentera och föra
resonemang samt att undervisningen ska ge möjlighet till kommunikation kring
matematik. Här återfinns även en kort beskrivning av de fem matematiska förmågor
som eleverna förväntas utveckla: problemlösning, begrepp, metod, resonemang och
kommunikation. Dessa ska ses som långsiktiga mål och ligger till grund för kunskapskraven (Skolverket 2011a). Som tidigare nämnts i inledningen har jag begränsat
kommunikativ matematik till att endast omfatta de tre matematiska förmågorna
begrepps-, resonemangs- samt kommunikationsförmåga.
I det centrala innehållet beskrivs vad undervisningen ska behandla, indelat i olika
kunskapsområden. Den matematiska kommunikationen blir här inte så framträdande
14
annat än att några av de begrepp som ska behandlas i årskurs 1-3 tas upp, t ex
geometriska begrepp och lägesord.
Kursplanen avslutas med kunskapskraven vilka beskriver den lägsta godtagbara
kunskapsnivån. Av kunskapskraven för årskurs 3 framgår det att eleverna ska kunna
använda sig av matematiska begrepp samt visa förståelse för vad några begrepp har för
samband (Skolverket 2011b). Vidare uttrycks det att eleverna, med hjälp av matematiska uttrycksformer, ska kunna samtala om och beskriva sitt sätt att gå tillväga.
Slutligen står det att eleverna ska kunna följa och föra resonemang om t ex val av
metoder (a.a.).
Det synliggörs således av både nu gällande kursplan samt tidigare utgåva att språket
ska ha en central plats i matematikundervisningen. I nästa avsnitt kommer jag närmare
redogöra för vad forskning säger om det matematiska språket och vikten av kommunikation.
3.2 Matematik och språk
Under matematiklektioner använder lärare och elever både vardagliga och matematiska
begrepp. För att få till en meningsfull interaktion mellan lärare och elever samt elever
emellan krävs en gemensam begreppsförståelse (Riesbeck 2008). Madeleine Löwing
(2004) skriver i sin avhandling att en av de svåraste uppgifter en lärare har är att bygga
en bro mellan elevernas vardag och matematikens komplexa innehåll. Men vad är det då
som skiljer ett matematiskt språk från ett vardagligt?
3.2.1 Vardagligt och matematiskt språk
Ett matematiskt språk är mycket exakt och specifikt och kan betraktas som ett eget
språk (Myndigheten för skolutveckling 2008). Löwing (2004) kan anses vara av samma
uppfattning när hon skriver att språket som används i matematikundervisning är
speciellt och till stor del skiljer sig från det vardagliga språket. Det finns i matematiken
ord och uttryck som har en helt annan innebörd i vardagen, exempelvis volym och axel.
Åtskillig matematik kan dock beskrivas med ett vardagsspråk men det gäller att vara
precis, annars kan problem uppstå. Om en lärare t ex beskriver både en cirkel och ett
klot som runda kan detta skapa problem för eleverna (a.a.).
15
Matematiken innehåller flertalet abstrakta uttryck och begrepp och det är lätt hänt att det
skapas en klyfta mellan det som läraren säger och det som eleverna förstår (Malmer
2002). Det är därför betydelsefullt att läraren varierar och anpassar sitt språk efter
mottagare. Att lärare och elever talar samma språk är en förutsättning för att få till stånd
en givande kommunikation i undervisningen (Löwing 2004). De klassrumsobservationer som ligger till grund för Löwings (a.a.) studie visade att eleverna sällan fick möjlighet att använda ett matematiskt språk och att lärarna, i kommunikation med eleverna,
ofta använde sig av en oklar terminologi, vilket många gånger ledde till missförstånd.
Lärarnas vardagsbetonade språk ledde till att abstrakta begrepp sällan lyftes fram.
Riesbecks (2008 s.12) avhandling syftar till att besvara frågan ”Hur kan diskurs som
teoretiskt - didaktiskt begrepp bidra till att utveckla matematikundervisningen?” och
utgår från ett sociokulturellt perspektiv på lärande. Avhandlingen bygger på fem
empiriska studier som alla berör kommunikation i klassrummet vid matematikundervisning. I den första studien ingick sju lärare och deras interaktion med elever vid
totalt 25 matematiklektioner observerades med hjälp av videoinspelningar. Resultatet
visade att det sällan förekom sammankomster av vardagliga och matematiska begrepp,
vilket överensstämmer med resultaten från Löwings (2004) studie ovan. Riesbeck (a.a.)
drar slutsatsen att det inte bara är eleverna som är i behov av att utveckla sin begreppsförmåga. Även lärare behöver få till en bättre samklang mellan det vardagliga språket
och det matematiska för att på så sätt bidra till en mer stimulerande undervisning.
I detta avsnitt har det vardagliga och matematiska språk som förekommer vid
matematikundervisning beskrivits. För att utveckla en begreppsförmåga krävs att eleverna ges möjlighet att använda och lyssna till rätt terminologi. Nästa avsnitt beskriver
kortfattat sambandet mellan förmågorna begrepp, kommunikation och resonemang samt
definierar vad som menas med en kommunikativ undervisning.
3.2.2 Kommunikativ matematikundervisning
Kommunikations- och resonemangsförmågan är båda kommunikativa förmågor och står
i nära förbindelse med varandra (Engvall 2013). Att kommunicera matematik innebär
bl a kunna använda matematikens begrepp och uttrycksformer samt att kunna redovisa
sina lösningar (Häggblom 2013). Häggblom (a.a.) beskriver resonemangsförmåga med
att eleverna kan argumentera för en lösning av ett problem samt förklara rimligheten i
ett svar. Genom att verbalisera sina tankar reflekterar eleven samtidigt över sin kunskap.
16
Eleven ges också möjlighet att använda en matematisk terminologi och kan därmed
utveckla sin begreppsförmåga (a.a.). Hur ska då matematikundervisningen utformas för
att stimulera till en utveckling av dessa förmågor?
Margareta Engvall (2013) skriver i sin avhandling att ett klassrum där elever ombeds
klargöra hur de har tänkt stimulerar till att utveckla en resonemangsförmåga. I
Skolverkets (2003 s. 10) rapport Lusten att lära – med fokus på matematik går det att
läsa att det ”måste finnas en arena för dialog och social interaktion” för att bidra till
elevers utveckling och stimulera ett optimalt lärande. Om undervisningen blir alltför
individuell och enskild finns det en risk att eleverna förlorar sin motivation och lust att
lära (a.a.). Riesbeck (2008) skriver att språket är oumbärligt för en kommunikativ
matematik och en förutsättning för att kunna resonera. Vidare beskriver Löwing (2004)
språket som ett av de viktigaste instrumenten för lärande.
I ett projekt som genomfördes i sydöstra England bland elever i åldern 9-10 år
studerades samtalets betydelse för lärande i matematik (Mercer & Sams 2006). Ett av
målet med studien var att se om en förbättrad kvalitet på elevernas språkanvändning vid
resonemang i grupp, ökade deras individuella lärande och förståelse för matematik. I en
experimentgrupp, bestående av sju lärare och 196 elever, fick lärarna tolv detaljerade
lektionsplaneringar med instruktioner att uppmuntra till diskussion. Detta jämfördes
mot en kontrollgrupp med snarlikt antal lärare och elever, vilka fortsatte sina lektioner
som vanligt. Resultaten visade att experimentgruppen förbättrade sina matematikkunskaper signifikant mot kontrollgruppen (a.a.). Är det då så enkelt att genom att
inkludera diskussioner i undervisningen ökar elevernas lärande? Följande amerikanska
studie av Karl W. Kosko (2012) bekräftar till viss del att så är fallet.
Koskos (2012) studie syftade till att undersöka om elevernas närvaro i ett klassrum
med frekventa matematiska diskussioner hade en longitudinell effekt på deras prestationer. Ett stort, sedan tidigare insamlat, material där tusentals elever följts från
förskoleklass till årskurs 8 användes. Kosko (a.a.) studerade inte diskussionernas
kvalitet, ej heller vem som deltog i dem. Resultaten visade att elever som vistades i en
miljö med dagliga matematiska diskussioner förbättrade sina prestationer mer än elever
som utsattes för en undervisningsmiljö med få eller inga diskussioner (a.a.). Med ett så
stort urval borde dessa resultat anses trovärdiga. Det ska likväl tilläggas att empirin
baserades på enkätsvar från lärare. Detta är, förutom urvalets storlek, en väsentlig
skillnad mot studien av Mercer och Sams (2006) ovan, där resultaten bl a bygger på
17
observationer av undervisning. Att en lärare uppfattar sig ha en undervisning med
diskussioner stämmer kanske inte helt överens med verkligheten alla gånger.
Kosko (2012) avslutar sin artikel med att poängtera att diskussion inte per automatik
innebär ett ökat lärande. Han menar att det gäller att få till stånd en meningsfull
diskussion vilket också påvisas i en studie av Engvall (2013).
Genom att observera fem klasser i årskurs 2 syftade Engvalls (2013 s. 26) studie till
att undersöka vad elever ges möjlighet att lära när innehållet i undervisningen är
”skriftliga räknemetoder för addition och subtraktion”. I resultatet nämner Engvall (a.a.)
en situation där elever arbetar i grupp och när de ska visa att de har förstått endast
upprepar vad tidigare elev redan sagt. Engvall (a.a.) påpekar att förmågan att kommunicera är central, men det finns inga indikationer på resonemang eller begreppsförståelse.
Detta är ett exempel på en situation där lärarens stöttande roll blir viktig. Genom att
stötta denna grupp med frågor hade det funnits möjlighet för eleverna att även utveckla
begrepps- och resonemangsförmågan.
En annan typ av kommunikationsproblem uppstod vid den undervisning Löwing
(2004) studerade, närmare bestämt i interaktionen mellan elev och lärobok. Eleverna
missuppfattade instruktioner i läroboken och Löwing (2004) nämner språket som en
möjlig anledning. Lärarna använde ofta ett vardagsspråk medan det i boken ofta
förekom en korrekt terminologi. I nästa avsnitt behandlas läromedel i matematik och
hur dessa används i undervisningen.
3.3 Matematik och läromedel
Läromedel är ett brett begrepp som kan betyda flera olika saker. Ibland likställs
läromedel med något som används för att nå skolans kunskapsmål (Selander 2003). En
sådan formulering innebär att nästan vad som helst kan anses vara ett läromedel.
Läromedel i matematik kan bl a bestå av läroböcker, läxböcker, övningsböcker, lärarhandledningar samt laborativt och elektroniskt material. För min studie har jag valt att
begränsa begreppet läromedel till att endast omfatta lärobok med tillhörande lärarhandledning.
Tidigare granskades svenska läromedel i förväg av Statens institut för läromedelsinformation (Johansson 2003, 2006). Denna granskning upphörde i början av 1990-talet
och nu finns det inte längre någon myndighet som granskar läromedel innan de trycks
(a.a.). Detta ställer högre krav på skolan och lärarna vid val av läromedel. Med hjälp av
18
lektionsobservationer, intervjuer och enkäter granskades matematikundervisningen vid
23 svenska grundskolor år 2009. En fråga som ställdes till lärarna var ”Hur och på vilka
grunder sker urvalet av läromedel?” (Bergqvist et al. 2010 s. 34). Majoriteten av lärarna
svarade att läroboken valdes efter diskussion med kollegor (a.a.). Resultatet visade
mycket varierande svar när det gällde på vilka grunder ett läromedel valdes. Exempel på
svar var att ekonomin hade en avgörande roll och att det ska vara enkelt för eleverna att
arbeta självständigt i boken (a.a.). Studien baseras på ett stort antal lärare och det
sistnämnda svaret stämmer väl överens med tidigare forskning om undervisning i
matematik.
Löwing (2004) utgår i sin avhandling från ett ramfaktorteoretiskt perspektiv där hon
menar att undervisningen styrs av fasta och rörliga ramar. De fasta ramarna, som t ex
skollag och läroplan, kan läraren inte påverka i ett kortare perspektiv. Rörliga ramar i
form av t ex arbetssätt och undervisningsmaterial har läraren däremot möjlighet att
påverka. Löwing (a.a) klassificerar därmed läroboken som en rörlig ram, men hon
påpekar samtidigt att vid en alltför läroboksstyrd undervisning kan läroboken anses vara
en fast ram.
Syftet med Löwings (2004) studie var att undersöka hur lärare vid lektioner i
matematik kommunicerar med elever. Klassrumsobservationerna visade att instruktionerna till eleverna ofta hämtades från ett läromedel och Löwing (a.a.) intresserade sig
därför även för samspelet mellan lärare och läromedel. Majoriteten av de nio lärarna
använde sig av s k hastighetsindividualisering, vilket innebar att eleverna arbetade i sin
egen takt i läroböckerna. Löwing (a.a.) menar att en sådan syn på individualisering
endast tar hänsyn till elevernas olika arbetstakt. I intervjuer med lärarna var det ingen
som nämnde att eleverna skulle lära på olika kvalitativa sätt (a.a.).
I Skolverkets (2003) rapport nämns just skillnaden mellan individuellt arbete och ett
individualiserat arbete. Den individuella undervisningsform som dominerar matematikundervisningen är sällan anpassad efter olika individers behov när det gäller läromedel,
innehåll och arbetsform utan innebär ett enskilt arbete med samma innehåll men i olika
takt (a.a.).
Flertalet studier visar att lärarna förlitar sig på läroboken och låter den vägleda
undervisningen (Löwing 2004; Johansson 2006; Bergqvist et al. 2010; Engvall 2013).
Engvalls (a.a. s. 137) klassrumsobservationer visar att den kommunikation läraren
förmedlar ”antyder att läroboken innehåller regler och direktiv om hur eleverna ska gå
tillväga”. Vid de lektioner som Löwing (2004) observerar inträffar situationer där lärare
19
och läromedelsförfattare troligen tolkat kursplanen på olika sätt och inte är överens.
Eleverna får motstridiga instruktioner vilket skapar problem.
Författare till läromedel har ingen skyldighet att följa läroplan och kursplaner
(Johansson 2006). För författare och förläggare finns troligtvis ett stort ekonomiskt
intresse. Dock styrs försäljningen av efterfrågan så i viss mån går det att säga att
utvecklingen av läroböcker följer de krav och förväntningar som lärare har (a.a.).
Monica Johansson (2003) tillhör en av få svenska forskare som har granskat
läromedel i matematik. Hennes avhandling syftar till att undersöka hur väl utvecklingen
av ett läromedel i matematik överensstämmer med utvecklingen av läroplanerna. Med
utgångspunkten att läroboken fungerar som en realiserad läroplan har Johansson (a.a.)
analyserat innehållet av fem läroböcker producerade olika år för samma årskurs och
jämfört detta mot läroplanernas formuleringar. Resultatet visar att det finns brister i
läroböckerna sett till de mål med undervisningen som läroplanerna tar upp.
Att matematikundervisningen i Sverige är starkt läroboksbaserad har nog inte
undgått någon läsare av detta arbete vid det här laget. Är detta fenomen då något som är
typiskt för Sverige? Svaret på den frågan är nej. Mellan 75-90% av all undervisning i
USA är läroboksbaserad (Selander 2003). Det ska dock tilläggas att denna siffra gäller
all undervisning och ej enbart matematik. Haggarty och Pepins (2002) studie syftade till
att, genom lärarintervjuer, undersöka hur läroboken i matematik används i England,
Frankrike och Tyskland. Resultaten visar att i Frankrike används läroboken i princip
under all tid av matematiklektionerna. Alla elever i en viss ålder använder samma bok.
Tyskland och England har också en läroboksstyrd undervisning. I Tyskland bestämmer
skolan vilken lärobok som ska användas och det är föräldrarnas ansvar att införskaffa
den (a.a.).
När det gäller hur lärarna använder läroboken visar resultatet att lite drygt hälften av
lärarna i Tyskland enbart använder läroboken som underlag till sin planering av
lektioner (Haggarty & Pepin 2002). Följande citat stämmer väl in på det faktum att
läroboken ofta används som en vägvisare och citatet leder vidare in i nästa kapitel som
tar upp arbetets teoretiska utgångspunkter: ”Läromedlen utgör dessutom exempel på en
ramfaktor för pedagogisk praxis och signalerar hur man tänker sig att kunskapsinhämtning skall gå till.” (Selander 2003 s. 204)
20
4. Teoretiska utgångspunkter
I detta kapitel beskrivs de teorier som ligger till grund för undersökningen. Utvalda
begrepp från respektive teori framställs och kopplingen till föreliggande studie
motiveras.
4.1 Ramfaktorteori och läroplansteori
År 1962 infördes grundskolan i Sverige och en av de mest centrala politiska frågorna
var den så kallade differentieringsfrågan, d v s om det var möjligt att skapa en likvärdig
skola för alla eller om det var nödvändigt med olika former av elevgrupperingar. Genom
att studera olika elevsammansättningar och belysa differentieringsfrågan, lade Urban
Dahllöf grunden för ramfaktorteorin i slutet på 1960-talet (Lundgren 1979, 1999;
Dahllöf 1999). Dahllöfs forskning visade ett samband mellan ram, process och resultat,
d v s att undervisningsprocessen och dess resultat i form av inlärning formas av ramar
(a.a.). Begreppet ram definierade Dahllöf som ”faktorer vilka begränsar den faktiska
undervisningsprocessen och över vilka de som undervisar och de som undervisas inte
har någon kontroll” (Lundgren 1979 s. 233).
Ulf P. Lundgrens licentiatavhandling var ett första steg att vidareutveckla ramfaktorteorin utifrån Dahllöfs grund (Lundgren 1979, 1999). Lundgren utvecklade begreppet
ram ytterligare och skiljde mellan konstitutionella, organisatoriska och fysiska ramar.
Skollagen är ett exempel på ram som ingår i gruppen konstitutionella ramar och med
organisatoriska ramar avsåg Lundgren t ex klasstorlek. I den sista kategorin, fysiska
ramar, ingår t ex utrustning och läromedel (a.a.).
I detta arbete kommer jag utifrån ett ramfaktorteoretiskt perspektiv studera den
fysiska ramen läromedel. Lundgren (1999 s. 36) skriver i sin artikel att ramar ”ger eller
ger inte möjligheter” och utifrån detta ställer jag mig frågan huruvida läromedel i
matematik ger möjlighet till kommunikation eller ej.
Ramfaktorteorin lade grunden till läroplansteorin och även här är Ulf P. Lundgren ett
framträdande namn. Läroplansteori kan sägas beskriva processen när ett visst innehåll i
utbildningen väljs ut samt hur denna urvalsprocess påverkas av olika aktörer i skolans
värld (Lundgren 1979; Linde 2012).
21
I boken Det ska ni veta! – En introduktion till läroplansteori delar Göran Linde (2012)
in läroplansprocessen i tre olika arenor: formulering, transformering och realisering.
Formuleringsarenan behandlar frågor kring vilka ämnen som ska studeras samt
undervisningens mål och innehåll (a.a.). Dessa frågor påverkas såväl av den historiska
utvecklingen som av olika ideologier om utbildning och lärande (Lundgren 1979).
Lundgren (a.a. s. 22) förklarar begreppet läroplan som att det avser ”styrningen och
kontrollen av utbildning och undervisning vad gäller mål, innehåll och metod”. När det
gäller undervisningens metoder är detta ett exempel på hur läroplanen förändrats över
tid. Före 1994 var läroplanen till större del inriktad på vilket innehåll som skulle ingå i
undervisningen och hur denna skulle bedrivas. Fr o m Lpo 94 har lärare större möjlighet att
själva styra sin undervisning, en så kallad deltagande målstyrning ( Englund, Forsberg &
Sundberg 2012).
Transformeringsarenan berör frågor kring hur läroplanen tolkas. Linde (2012) beskriver
hur innehållet i skolans undervisning inte kan likställas med den fastställda läroplanen.
Läroplanen tolkas bl a utifrån lärarnas syfte, rutiner samt med hänsyn till praktiska
förutsättningar. Detta kan medföra tillägg till läroplanen men även fråndrag (a.a.).
I realiseringsarenan studeras det som sker i undervisningen, d v s vilka konsekvenser läroplanens tolkningar får för undervisningen. Här behandlas frågor som rör
kommunikation, interaktion samt aktiviteter i undervisningen, men även hur elever
tillägnar sig kunskap (Linde 2012).
Linde (2012) skriver att det inte är enbart läraren som har inflytande över undervisningen utan att det även finns andra beslutsfattare, t ex författare till läromedel.
Utifrån ett läroplansteoretiskt perspektiv kommer jag analysera hur författare till läromedel i matematik har valt att transformera den formulerade kursplanen i matematik
när det gäller elevers utveckling av begrepps-, resonemangs- och kommunikationsförmåga. Min undersökning kommer därmed främst beröra läroplansteorins
formulerings- och transformeringsarena.
Vid formulering av en läroplan är utgångspunkten inte enbart vad som anses vara viktig
och giltig kunskap utan det tas även hänsyn till hur elever lär (Linde 2012). Med detta som
bakgrund skriver Linde att det föreligger ett starkt samband mellan läroplansteori och
lärandeteori. Den lärandeteori som jag menar synliggörs i Lgr 11 och som kommer
framträda i detta arbete är det sociokulturella perspektivet på lärande. I nästa avsnitt
kommer jag närmare beskriva detta perspektiv samt förklara de begrepp som kommer
belysas i mitt arbete.
22
4.2 Sociokulturellt perspektiv på lärande
Att kommunicera och att använda språket är centralt för det sociokulturella perspektivet.
Enligt den ryske psykologen Lev Vygotskij (2001) är det genom interaktion och
kommunikation med andra som vi tillägnar oss kunskap, d v s kunskap finns inte endast
inom oss utan lärandet sker i en social kontext.
Ett centralt begrepp inom det sociokulturella perspektivet är mediering (Vygotskij
2001; Säljö 2014). Detta innebär att med hjälp av fysiska och språkliga redskap i vår
omgivning förmedlas lärandet (a.a.). Med ett sociokulturellt perspektiv i åtanke vill jag
med denna studie undersöka huruvida läromedel kan fungera som ett medierande
redskap och bidra till ett kommunikativt lärande i matematik.
Enligt Vygotskij (2001) handlar undervisning om att vardagliga begrepp ska möta de
teoretiska. Vidare skriver Vygotskij (a.a.) att detta är en besvärlig uppgift där lärarens
roll är avgörande. Språkinlärning handlar mycket om att imitera, om det ges möjlighet
till imitation finns det möjlighet för inlärning (a.a.). Det är vid det tillfälle när barnet för
första gången känner igen betydelsen av ett ord som begreppsutvecklingen påbörjas
(a.a.). För en matematikundervisning innebär detta att läraren inte bara måste få till
stånd skriftlig och muntlig kommunikation utan att kommunikationen dessutom måste
innehålla matematiska begrepp att imitera.
Vikten av interaktion är även central i ytterligare ett begrepp som förknippas med
den sociokulturella lärandeteorin, nämligen den närmaste utvecklingszonen (zone of
proximal development, ZPD) (Vygotskij 2001; Säljö 2012). Denna kan förklaras med
avståndet mellan det en elev kan göra på egen hand och det eleven kan göra genom
samarbete och stöttning från en vuxen eller kamrat med högre kunskap (a.a.). Även här
framkommer det att läraren har en betydande roll, både i att stötta, men även att se till
att skapa situationer för samarbete elever emellan.
Denna undersökning syftar bl a till att granska hur lärarinstruktioner kan uppmana
till en kommunikativ matematikundervisning. Med Vygotskijs (2001) tankar kring
begreppsinlärning och med ZPD som bakgrund blir det för min studie intressant att
undersöka hur lärarens språk kan fungera som ett verktyg när det gäller att skapa
möjligheter för interaktion och användning av det matematiska språket. Hur analysen
kommer genomföras beskrivs närmare i nästa kapitel.
23
24
5. Metod och genomförande
I detta kapitel beskrivs valet av metod samt hur urvalet har skett. Därefter beskrivs de
analysverktyg som tagits fram och hur studien genomförts. Avslutningsvis redogörs för
studiens reliabilitet, validitet samt de etiska aspekterna.
5.1 Val av metod
Materialet för min undersökning består av läromedel i matematik för årskurs 1-3. För att
kunna analysera och jämföra materialet har jag valt att använda mig av innehållsanalys som
forskningsmetod. Innehållsanalys används för att studera det som redan finns uttryckt, det
explicita (Bergström & Boréus 2012), vilket stämmer bra överens med ett läromedel.
Bergström och Boréus (a.a.) uppger läroböcker som exempel på lämpligt material för
innehållsanalys, vilket styrker mitt val. Alan Bryman (2011) kan sägas vara av samma åsikt
när han skriver att innehållsanalys lämpar sig för granskning av tryckta texter.
Bryman (2011) beskriver två olika forskningsstrategier: kvantitativ och kvalitativ. För att
på ett enkelt sätt beskriva skillnaderna kan en kvantitativ forskning sägas innebära att fokus
ligger vid att kvantifiera data vid insamling och analys. I motsats till detta innebär en
kvalitativ forskning att vikten ligger vid ord och inte siffror (a.a.). Ytterligare en skillnad
som Bryman (a.a.) nämner är att en kvantitativ strategi inriktar sig på att pröva teorier
medan en kvalitativ strategi inriktar sig på att generera teorier.
En innehållsanalys kan vara både kvantitativ och kvalitativ. En kvantitativ
innehållsanalys innebär att förekomsten av specifika inslag i texten mäts eller räknas utifrån
i förväg fastställda kategorier (Bryman 2011; Bergström & Boréus 2012). En kvalitativ
innehållsanalys innebär ”ett sökande efter bakomliggande teman i det material som
analyseras” (Bryman a.a. s. 505). En kvalitativ innehållsanalys kan precis som en kvantitativ utgå från bestämda kategorier men med skillnaden att nya kategorier kan tillkomma
efter hand (a.a.).
Utifrån studiens syfte är det inte självklart att välja vare sig en kvantitativ eller en
kvalitativ innehållsanalys. Då jag dels ämnar undersöka omfattningen av kommunikativ
matematik i texterna, dels vill undersöka texternas formuleringar på ett mer kvalitativt
sätt har jag valt att kombinera en kvantitativ innehållsanalys med en kvalitativ.
25
5.2 Urval
Mitt empiriska material utgörs av fem lärarhandledningar, avsedda för matematik i
årskurs 1-3. Som jag tidigare nämnt i avsnitt 3.3 har jag för min studie valt att begränsa
begreppet läromedel till att omfatta lärobok med tillhörande lärarhandledning. Att mitt
urval enbart består av lärarhandledningar har sin förklaring i att elevernas läroböcker
återges i helhet i lärarhandledningarna, d v s alla sidor ur läroböckerna finns avbildade.
Jag har för min studie valt att göra ett så kallat bekvämlighetsurval, vilket innebär att
jag har valt material som funnits lättillgängligt (Bryman 2011). Genom att gå igenom
vilka lärarhandledningar som fanns till förfogande vid Malmö högskolas bibliotek valde
jag dels läromedel som jag sett användas i undervisningen under min VFU, dels
läromedel min son och barn i min bekantskapskrets använt/använder. Detta för att
garantera att studiens urval består av matematikläromedel som faktiskt används.
I tabell 5.1 framgår det vilka lärarhandledningar jag har valt att analysera. I tabellen
tydliggörs även hur jag fortsättningsvis kommer referera till materialet.
Tabell 5.1. Empiriskt material.
Lärarhandledning
Författare
År
Referens i arbetet
Mattedetektiverna 1A,
Lärarboken
Kavén, Anna
2011
Mattedetektiverna1
Mattedetektiverna 1B,
Lärarboken
Kavén, Anna
2011
Mattedetektiverna1
Matte direkt Safari 2A,
Lärarhandledning
Picetti, Margareta
Elofsdotter Meijer, Siw
2009
Matte Direkt Safari1
Matte direkt Safari 2B,
Lärarhandledning
Picetti, Margareta
Elofsdotter Meijer, Siw
Falck, Pernilla
2010
Matte Direkt Safari1
Prima matematik 32
Brorsson, Åsa
2011
Prima Matematik
1) Om det finns anledning att särskilja materialet åt, hänvisar jag till böckerna A som hösttermin
och till B som vårtermin.
2) Lärarhandledningen Prima Matematik 3 omfattar två läroböcker, 3A och 3B.
26
5.2.1 Bakgrundsinformation
Bryman (2011) nämner att det vid innehållsanalys är bra att bilda sig en uppfattning om
det material som undersöks. Nedan följer därför en kort bakgrundsinformation som är
av intresse för studien, närmare bestämt vilken kursplan materialet är anpassat för och
vilken uttalad syn författarna har på matematikundervisning när det gäller
kommunikation.
Mattedetektiverna är anpassad efter Lgr 11. Enligt författaren finns det i elevuppgifterna en tydlig koppling till kursplanen. Författaren skriver att det ligger fokus på
att arbeta med matematiska begrepp och taluppfattning och hon anser att det ska läggas
mycket tid på gemensamma aktiviteter där eleverna ska få utrymme att sätta ord på sina
tankar.
Matte Direkt Safari är skrivna 2009 och 2010 och därmed anpassade efter den
tidigare kursplanen Lpo 94. Författarna skriver att materialet ”bygger på det matematiska samtalet” (s. 4) och att resonemang, både mellan elever och i stor grupp, ska
vara en central del av undervisningen eftersom det utvecklar elevernas språk.
Prima Matematik är framtaget utifrån Lgr 11. Enligt författaren är målet med
böckerna att utveckla elevernas förmåga att kommunicera med ett matematiskt språk,
argumentera samt reflektera. Detta menar författaren görs genom att lyfta fram
matematiska diskussioner samt laborativt arbete.
5.2.2 Urvalets avgränsningar
Vid framtagandet av mitt analysverktyg blev det synligt att alla sidor för vårterminens
lärobok av Mattedetektiverna inte fanns representerade i lärarhandledningen. De sidor
som är döpta ”På rätt spår”, där eleverna förväntas göra två diagnoser, var utelämnade.
För att analysen av elevuppgifter ska bli komplett har jag därför även studerat elevuppgifterna på dessa sidor med hjälp av läroboken Mattedetektiverna 1B (Kavén
2011c).
När det gäller analysen av lärarinstruktioner har jag utelämnat de instruktioner som
hör till sidor i läroböckerna där eleverna förväntas göra olika diagnoser. Detta eftersom
eleverna ska göra diagnoserna på egen hand och tillhörande lärarinstruktioner därmed
inte kan bidra till interaktion eller kommunikation i klassrummet.
27
5.3 Analysverktyg
Analysen av elevuppgifterna omfattas av både en kvantitativ och en kvalitativ innehållsanalys. För lärarinstruktionerna består analysmetoden endast av en kvalitativ analys. I
detta avsnitt kommer jag redogöra för hur analysverktygen tagits fram samt hur
analysen har genomförts. Jag har valt att redovisa detta i två separata avsnitt, ett för
elevuppgifter och ett för lärarinstruktioner.
5.3.1 Analysverktyg för analys av elevuppgifter
För att besvara min första frågeställning ”Hur synliggörs kommunikativ matematik i
läroböckernas elevuppgifter för årskurs 1-3?” kommer jag studera frekvensen av
elevuppgifter som kan tänkas utveckla begrepps-, resonemangs- och kommunikationsförmågor.
För att utföra en kvantitativ innehållsanalys behövs ett analysverktyg i form av ett
kodningsschema (Bryman 2011) eller kodschema (Bergström & Boréus 2012) där
analysens kategoriseringar beskrivs. I mitt arbete med att kategorisera mitt material
inspirerades jag av den metod Johansson (2003) använt för sin läromedelsanalys.
Johansson (a.a. s. 58) studerade med hjälp av innehållsanalys bl a läroböckernas
uppgifter utifrån tre aspekter: ”content, performance expectations and perspectives”.
Aspekten ”content” innebär att studera vilket matematiskt innehåll det finns i
uppgiften, t ex taluppfattning, statistik eller geometri. Den andra aspekten ”performance
expectations” innebär att studera vad eleven förväntas göra, t ex resonera, lösa problem
eller arbeta i grupp. Sista aspekten ”perspectives” betyder att elevuppgiften studeras
utifrån hur och när kunskapen kan användas, i vilken kontext. Den aspekt som bäst
stämde överens med det jag vill undersöka var ”performance expectations”, d v s vilka
förväntningar som finns på utförandet. Jag väljer att på svenska kalla den för ”förväntat
utförande”.
Bergström och Boréus (2012) skriver att det är bra att bekanta sig lite med materialet
när kodningsschemat tas fram. Genom att studera elevuppgifterna i Mattedetektiverna
och med inspiration från kursplanerna i matematik skapade jag fyra underkategorier för
förväntat utförande, se tabell 5.2.
28
Tabell 5.2. Kodningsschema för analys av elevuppgifter.
Förväntat utförande
Exempel
Använda begrepp
skriftligt1
Elevuppgift där ett skriftligt svar förväntas innehålla minst ett matematiskt
begrepp2
Visa förståelse för
begrepp1
Elevuppgift där det av svaret framgår att eleven förstått innebörden av ett
matematiskt begrepp2, t ex ”Ringa in den största cirkeln”.
Skriftlig kommunikation3
Elevuppgift där det tydligt framgår att eleven i svaret förväntas förklara,
beskriva, resonera, argumentera, redogöra eller motivera.
Muntlig kommunikation3
Elevuppgift där eleven förväntas interagera med andra (arbete i par/grupp).
1) I denna kategori ingår förmågan begrepp.
2) Exempel på matematiska begrepp: addition, kvadrat, tiotal, större, flest, dubbelt, udda, hörn,
summa, diagram, tabell, första, bredvid, längst, par, m m.
3) I denna kategori ingår de båda förmågorna kommunikation och resonemang.
Utöver en kvantitativ analys av elevuppgifterna kommer jag även genomföra en
kvalitativ analys. För att upptäcka om det finns en gemensam terminologi bland
elevuppgifterna kommer jag analysera vilket språk författarna använder i sin
formulering, ett vardagligt eller matematiskt. Jag kommer även studera de uppgifter där
eleverna i svaret förväntas träna sin skriftliga kommunikation (se definition i tabell 5.2)
för att se om det finns en variation i hur författarna har valt att formulera denna typ av
uppgifter.
5.3.2 Analysverktyg för analys av lärarinstruktioner
En teoretisk utgångspunkt för detta arbete är det sociokulturella perspektivet. Ett
centralt begrepp inom denna lärandeteori, som jag tidigare nämnt, är mediering
(Vygotskij 2001; Säljö 2014). Roger Säljö (a.a. s. 82) skriver att ”människans allra
viktigaste medierande redskap är de resurser som finns i vårt språk”. Detta citat
inspirerade mig när jag skulle ta fram ett analysverktyg för min andra frågeställning
”Hur uppmanar instruktioner i lärarhandledningar, för årskurs 1-3, till att skapa en
matematikundervisning med interaktion och kommunikation?”.
Läraren måste fungera som en länk mellan lärarhandledning och lärobok. Men hur
formulerar författarna instruktioner till läraren så att eleverna uppmanas kommunicera
matematik? Min kvalitativa analys av lärarinstruktioner består bl a av att studera dessa
formuleringar. För att hitta adekvata instruktioner bestämde jag mig för att söka efter
nyckelord (Bryman 2011) som kan associeras till de tre förmågorna begrepp,
29
kommunikation samt resonemang. Nyckelorden definierades med hjälp av sökning i
Prima Matematik, kursplanerna för Lpo 94 och Lgr 11 samt det kommentarmaterial
som finns till kursplanen i matematik för Lgr 11 (Skolverket 2008; Skolverket 2011a,
2011b). Resultatet presenteras i tabell 5.3 nedan.
Tabell 5.3. Analysverktyg för lärarhandledningar.
Förmåga
Nyckelord att söka efter i lärarinstruktioner
Begrepp
Begrepp, lägesord, terminologi
Kommunikation,
resonemang
Argumentera, beskriva, diskutera, formulera, förklara, kommunicera, presentera,
redogöra, redovisa, reflektera, resonera, samtala
Min kvalitativa analys kommer även bestå av att söka efter gemensamma teman i
lärarinstruktioner. Genom att studera lärarhandledningarnas disposition kommer jag
undersöka om det finns likheter eller olikheter i hur de är uppbyggda. Finns det en viss
struktur i hur författare skapar instruktioner till lärare eller är det individuellt för
respektive läromedel?
Precis som för den kvalitativa analysen av elevuppgifter kommer jag även för
lärarinstruktionerna studera vilket språk författarna har använt sig av. Uppmanar
instruktionerna till användande av ett matematiskt eller vardagligt språk?
5.4 Reliabilitet och validitet
En svaghet med innehållsanalys, som Bryman (2011) nämner, är att det är nästintill
omöjligt att göra ett kodningsschema som inte inrymmer ett visst inslag av tolkning. Att
kategorisera elevuppgifter kräver en tolkning av uppgifterna. För att försäkra mig om att
jag är konsekvent i min analys, kommer jag räkna elevuppgifter vid två separata
tillfällen, så kallad dubbelkodning (Bergström & Boréus 2012). Dubbelkodning är ett
exempel på metod att använda för att mäta intrasubjektivitet (a.a.) eller intrabedömarreliabilitet (Bryman a.a.), vilket innebär att samma person får identiska resultat vid två
separata tillfällen.
Att tolka matematiska uppgifter kräver en viss matematisk förståelse. Vid en
kvantitativ analys ska vem som helst kunna undersöka materialet och få samma svar,
d v s en god intersubjektivitet (Bergström & Boréus 2012) eller interbedömarreliabilitet
30
(Bryman 2011). För att underlätta för en person som inte är insatt i matematiska
begrepp har jag i mitt analysverktyg gett flera exempel på vad jag avser med
matematiskt begrepp. Risken för olikartade tolkningar finns dock kvar och jag anser att
den ökar ju större antal elevuppgifter böckerna har. Ytterligare en sak som bör nämnas
när det gäller studiens reliabilitet är att jag kan misstolka författarens avsikt med en
uppgift och kategorisera den fel.
När det gäller studiens validitet undersöker jag elevuppgifter och lärarinstruktioner
kopplade till de matematiska förmågorna begrepp, kommunikation och resonemang.
Detta stämmer bra överens med studiens syfte och frågeställningar. Till min hjälp att
definiera nyckelord för min kvalitativa analys har jag bl a utgått från formuleringar i
kursplanerna för matematik. Bergström och Boréus (2012) skriver att ett problem med
att räkna ord kan vara att ett ord kan betyda flera saker. I min kvalitativa analys räknar
jag inte orden utan studerar den kontext de förekommer i. För att om möjligt stärka
studiens validitet har jag valt nyckelord som ska kunna tolkas med enbart en innebörd.
5.5 Forskningsetiska principer
För svensk forskning gäller bl a följande etiska principer: informationskravet,
samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet (Bryman 2011). Min studie
samlar inte in någon persondata och berörs därmed inte av de två sistnämnda kraven. De
enda personer som kan beröras av informationskravet och samtyckeskravet är
författarna till de läromedel som analyseras. Då det empiriska materialet för innevarande studie består av redan publicerat material, anser jag inte att det föreligger skäl
till att kontakta författarna.
31
32
6. Resultat och analys
Detta kapitel består av en redovisning av studiens resultat. Resultaten presenteras i två
separata avsnitt, ett för elevuppgifter och ett för lärarinstruktioner.
6.1 Innehållsanalys av elevuppgifter
Då analysen av elevuppgifterna består såväl av en kvantitativ som en kvalitativ
innehållsanalys är resultaten redovisade i två separata avsnitt för att lättare åskådliggöra
dem.
6.1.1 Kvantitativ analys
För att på ett överskådligt sätt presentera resultaten från den kvantitativa innehållsanalysen redovisas de i två tabeller nedan. Den första tabellen, tabell 6.1, innehåller
resultat för de uppgifter där eleverna i svaret förväntas visa förståelse för ett begrepp
och de uppgifter där eleverna i svaret förväntas ange minst ett begrepp skriftligt.
Tabellen därefter, tabell 6.2, täcker dels resultat för de uppgifter där eleverna förväntas
kommunicera skriftligt, dels de uppgifter där eleverna ombeds arbeta i par eller i grupp
(muntlig kommunikation).
Tabell 6.1. Resultat av uppgifter med koppling till begreppsförmåga.
Antal
sidor
Antal
uppgifter
Antal uppgifter,
begreppsförståelse
(%)3
Antal uppgifter,
begrepp skriftligt
(%)3
Mattedetektiverna 1A
80
406
80 (19,7%)
13 (3,2%)
Mattedetektiverna 1B
120
720
138 (19,2%)
19 (2,6%)
Matte Direkt Safari 2A
143
1366
149 (10,9%)
39 (2,9%)
Matte Direkt Safari 2B
Lärobok1
143
1417
66 (4,7%)
18 (1,3%)
2
143
1555
99 (6,4%)
42 (2,7%)
2
143
1196
113 (9,4%)
33 (2,8%)
Prima Matematik 3A
Prima Matematik 3B
1) Här avses elevernas läroböcker. Dessa är återgivna i respektive lärarhandledning.
2) Lärarhandledningen Prima Matematik 3 (Brorsson 2011) skildrar både lärobok 3A och 3B.
3) Andel i procent anges inom parentes.
33
Av tabell 6.1 ovan går det att utläsa att antalet sidor och uppgifter i läroböckerna för
Mattedetektiverna är betydligt färre än för både Matte Direkt Safari och Prima
Matematik. De två sistnämnda har nästintill identiska siffror sett till det totala antalet
sidor och uppgifter för respektive årskurs.
Det finns en betydligt större andel uppgifter där eleverna förväntas visa en förståelse
för matematiska begrepp i Mattedetektiverna än i övriga två läromedel. Ungefär en
femtedel av alla elevuppgifter i Mattedetektiverna är av sådant slag. Detta gäller både
för höstterminens och vårterminens lärobok.
Cirka en tiondel av uppgifterna i höstterminens bok för Matte Direkt Safari är
uppgifter där eleven förväntas visa begreppsförståelse. För vårterminens bok minskar
denna andel markant. Prima Matematik visar istället en liten ökning av antalet uppgifter
kring begreppsförståelse från hösttermin till vårtermin.
Sett till andelen uppgifter där eleverna förväntas ange begrepp skriftligt är siffran låg
för alla tre läromedel. Spridningen är relativt liten, från 1,3% till 3,2%.
Tabell 6.2. Resultat av uppgifter med koppling till kommunikations- och resonemangsförmåga.
Antal
sidor
Antal
uppgifter
Antal uppgifter,
skriftlig
kommunikation
(%)3
Mattedetektiverna 1A
80
406
0 (0%)
22 (5,4%)
Mattedetektiverna 1B
120
720
12 (1,7%)
23 (3,2%)
Matte Direkt Safari 2A
143
1366
0 (0%)
4 (0,3%)
Matte Direkt Safari 2B
Lärobok1
Antal uppgifter,
muntlig
kommunikation
(%)3
143
1417
0 (0%)
10 (0,7%)
2
Prima Matematik 3A
143
1555
10 (0,6%)
8 (0,5%)
Prima Matematik 3B2
143
1196
43 (3,4%)
9
(0,8%)
1) Här avses elevernas läroböcker. Dessa är återgivna i respektive lärarhandledning.
2) Lärarhandledningen Prima Matematik 3 (Brorsson 2011) skildrar både lärobok 3A och 3B.
3) Andel i procent anges inom parentes.
När det gäller elevuppgifter där eleven i svaret förväntas kommunicera skriftligt saknas
detta helt i höstterminens bok för Mattedetektiverna och i båda läroböckerna av Matte
Direkt Safari, vilket framgår av tabell 6.2. För Prima Matematik visar resultatet att
andelen uppgifter där eleven förväntas kommunicera skriftligt ökar från hösttermin till
vårtermin. En liknande ökning sker även för Mattedetektiverna. Även om jag här talar
om en ökning för två av studiens läromedel ska det tilläggas att andelen uppgifter som
34
innebär skriftlig kommunikation är försvinnande liten i förhållande till totala antalet
uppgifter.
För Matte Direkt Safari och Prima Matematik återfinns väldigt få uppgifter i
läroböckerna där eleverna ombeds arbeta i par eller i grupp. Mattedetektiverna
innehåller en större andel sådana uppgifter, men siffran är även här förhållandevis låg
sett till totala antalet uppgifter.
I detta avsnitt har resultatet av studiens kvantitativa innehållsanalys presenterats i
tabellform. Utöver att räkna antal elevuppgifter med koppling till begreppsförståelse
och kommunikation har även en kvalitativ analys av dessa uppgifter genomförts.
Resultatet redovisas i nästa avsnitt.
6.1.2 Kvalitativ analys
I Mattedetektiverna och Prima Matematik använder författarna ett matematiskt språk
med flertalet begrepp i elevuppgifterna. Författarna benämner de fyra räknesätten med
termerna addition, subtraktion, multiplikation och division.
För Matte Direkt Safari skiljer sig resultaten åt en aning. I elevuppgifterna använder
författarna till viss del ett matematiskt språk. Det finns dock inslag även av vardagliga
begrepp, t ex omnämns de fyra räknesätten alltid som plus, minus, gånger och delat.
Som jämförande exempel kan nämnas att kapitel 3 i Mattedetektiverna heter ”Addition
och subtraktion” medan kapitel 2 i Matte Direkt Safari heter ”Plus och minus”.
Av den kvantitativa analysen i föregående avsnitt framgick det av resultaten att
uppgifter där eleven förväntas kommunicera skriftligt inte förekom i Matte Direkt
Safari, ej heller i höstterminens bok av Mattedetektiverna. För vårterminens bok ingår
uppgifter som författaren formulerat med följande uppmaningar och frågor: ”Visa hur
du tänker”, ”Hur vet du att du fått rätt svar?” och ”Förklara varför”. Här blir det tydligt
att författaren tänkt sig att eleverna ska tränas i sin kommunikations- och resonemangsförmåga genom att i sitt skriftliga svar t ex förklara, motivera eller resonera.
Till skillnad från övriga läromedel, finns det i Prima Matematik elevuppgifter där
eleverna ska skriva räknehändelser med ord. Detta innebär att eleverna förväntas
beskriva en händelse skriftligt. För några av uppgifterna är det en autentisk händelse
som ska beskrivas. Vidare har författaren valt att formulera snarlika uppgifter på flera
olika sätt: ”berätta hur du har gjort”, ”skriv ner hur du tänkte”, ”förklara hur du tänker”,
35
”förklara hur du kom fram till ditt svar”, ”visa hur du tänker” samt ”skriv varför eller
varför inte”.
Prima Matematik är det enda läromedel av de analyserade som innehåller elevuppgifter där både begrepps- och kommunikationsförmåga tränas. I materialet finns
uppgifter där eleverna ombeds beskriva olika geometriska former. Detta innebär dels att
eleverna tränas i att kommunicera skriftligt, dels att de förväntas visa en begreppsförståelse, men även att de uppvisar en förståelse för samband mellan olika begrepp,
t ex rektangel, sida och hörn.
Detta avsnitt har tagit upp hur läroboksförfattarna har valt att formulera de elevuppgifter som berör begrepps-, kommunikations- och resonemangsförmåga. I nästa
avsnitt redovisas resultatet för den analys som är gjord av instruktioner till lärare i
lärarhandledningarna. Hur är dessa formulerade och hur kan de uppmana till en
matematikundervisning med interaktion och kommunikation?
6.2 Innehållsanalys av lärarinstruktioner
Alla tre läromedel inleder sina kapitel med gemensamma övningar som ger möjlighet
till både kommunikation och interaktion. Mattedetektiverna inleder med ett deckaruppdrag som är tänkt att genomföras i par, mindre grupper eller helklass. Övriga två
läromedel inleds med en tecknad illustration som författarna kallar samtalsbild, vilken
är tänkt att diskuteras i helklass.
Till dessa övningar finns det i alla lärarhandledningarna förslag på frågor läraren kan
ställa för att uppmuntra till diskussion. För Matte Direkt Safari och Prima Matematik
finns det i frågorna även inslag av matematiska begrepp. Detta innebär att läraren ges
möjlighet att observera om eleverna uppvisar en förståelse för begreppen. I instruktionerna till detektivuppdraget i Mattedetektiverna uppmanas läraren att be eleverna
redovisa i helklass och förklara hur de tänker, vilket möjliggör för en utveckling av
kommunikationsförmågan.
Prima Matematik är det enda läromedel där det för varje nytt kapitel finns ett uppslag
med laborativa övningar att göra i helklass, kallat Mattelabbet. Syftet med dessa
övningar är tydligt angett i lärarhandledningen. Här har författaren valt att citera delar
av kursplanens centrala innehåll och syfte. Till varje uppslag med Mattelabbet hör tips
på frågor som läraren kan ställa till eleverna. Dessa frågor inkluderar matematiska
begrepp och är formulerade så att eleverna uppmanas resonera, motivera, förklara samt
36
beskriva. Ett exempel på frågeställning är ”Vad betyder det att rektanglarna ska ha fler
än 40 och färre än 85 rutor?” (s. 117).
Gemensamt för de analyserade lärarhandledningarna är att det till varje uppslag i
elevernas lärobok finns instruktioner för hur läraren kan introducera den matematik som
läroboken tar upp. I dessa instruktioner ingår förslag på övningar att göra i par, grupp
eller helklass, vilket innebär en interaktion och möjlighet till kommunikation. I
instruktionerna till läraren ges det även förslag på övningar att arbeta vidare med när
eleverna gjort färdigt uppgifterna på uppslaget, eller efter ett avslutat kapitel. Dessa
övningar föreslås göras i par, mindre grupper eller i helklass. Det förekommer även
individuella övningar, men dessa avslutas med diskussion i grupp eller helklass.
I innehållsanalysen ingick det att söka efter nyckelord (se tabell 5.3) för att se hur
lärarinstruktionerna kan uppmuntra till en matematikundervisning med interaktion och
kommunikation. Resultatet visar att författaren till Mattedetektiverna har valt att
använda sig av ord som ”diskutera”, ”prata”, ”reflektera” och ”beskriva” i sina
instruktioner till lärarna. I Matte Direkt Safari uppmanas läraren att be eleverna
”samtala”, ”berätta”, ”resonera”, ”diskutera”, ”förklara” och ”redovisa”, vilka
stimulerar kommunikations- och resonemangsförmågan. Den lärarhandledning som
innehåller störst variation när det gäller uppmaningar till interaktion och kommunikation är Prima Matematik. Författaren har här valt att formulera sina lärarinstruktioner
med ord som ”diskutera”, ”förklara”, ”beskriv”, ”kommunicera”, ”argumentera”,
”motivera”, ”berätta”, ”redovisa”, ”presentera” samt ”resonera”. Ordet ”resonera”
förekommer enbart i de lärarinstruktioner som hör till vårterminens lärobok.
När det gäller lärarinstruktioner som uppmuntrar till att utveckla elevernas begreppsförmåga skiljer sig lärarhandledningarna åt en aning. I Mattedetektiverna finns det för
varje nytt kapitel en ruta med de begrepp som kapitlet behandlar. I instruktionen till
läraren rekommenderas det att diskutera dessa begrepp tillsammans i klassen.
Författaren ger förslag på hur begreppen kan gås igenom och det finns även förslag på
att eleverna kan göra varsin matteordbok där begreppen beskrivs. I tips till läraren
nämns bl a vikten av att skilja olika begrepp åt, t ex siffra och tal. Det blir tydligt att
författaren lägger stor vikt vid språket, bl a ger hon flera tips på skönlitteratur att läsa
för eleverna för att träna matematiska begrepp.
I de fall där begrepp förekommer i lärarinstruktionerna för Matte Direkt Safari
handlar det till största del om att förklara för läraren vad det är eleverna ska lära sig i
uppgiften, inte hur läraren kan förklara begreppen för eleverna. Ett exempel på en sådan
37
instruktion är ”De båda följande övningarna i elevboken liknar de översta, men eleven
tränar här begreppet hälften” (s. 128).
Till skillnad från övriga två läromedel så använder författarna till Matte Direkt Safari
både ett vardagligt och matematiskt språk i lärarinstruktionerna. Detta gäller främst när
de fyra räknesätten omnämns. Här växlar t ex författarna mellan att använda plus och
addition och att eleverna ska räkna minus och subtrahera. Ett exempel på en sådan
instruktion är ”Textuppgifterna tränar addition och subtraktion [...]. På sidan 43 finns en
plus- och en minusuppgift” (s. 40). Även i förslag på frågor som läraren kan ställa
används vardagliga begrepp som t ex plus och minus.
I Prima Matematik förekommer flera instruktioner där läraren ombeds repetera
terminologin med eleverna eller introducera nya begrepp. Det finns beskrivningar av
samband mellan olika begrepp som läraren kan använda som stöd i sin undervisning.
En sak som är unikt med Prima Matematik jämfört med övriga analyserade läromedel är att det i instruktionerna finns hänvisningar till kursplanen. Författaren
påminner läraren om de förmågor som enligt Lgr 11 ska utvecklas.
Detta kapitel har redogjort för studiens resultat, både när det gäller analys av elevuppgifter och lärarinstruktioner. I nästa kapitel kommer dessa resultat att diskuteras och
jämföras mot tidigare forskning.
38
7. Diskussion och slutsats
Jag kommer här redogöra för och diskutera studiens resultat med kopplingar till
forskning och teorier, samt dra slutsatser. Vidare består kapitlet av ett avsnitt där den
valda metoden diskuteras. Avslutningsvis följer förslag på vidare forskning.
Det är min erfarenhet att grundskolans matematikundervisning till väldigt stor del
består av tyst isolerat arbete i en lärobok. Samtidigt har jag under hela min utbildning
fått höra hur viktigt det är att vi som lärare uppmuntrar till diskussioner och använder ett
matematiskt språk. Syftet med detta examensarbete var därför att undersöka huruvida
läromedel i matematik kan bidra till att elever i årskurs 1-3 utvecklar sitt matematiska
språk och sin kommunikativa förmåga.
Resultaten visar att det i elevernas läroböcker endast finns en liten andel uppgifter
som kan bidra till att utveckla de matematiska förmågorna begrepp, kommunikation och
resonemang. Lundgren (1979) klassificerar läroböcker som en fysisk ram. Ramar av
sådant slag har lärare möjlighet att påverka genom att välja eller inte välja dem till sin
undervisning. Ur ett ramfaktorteoretiskt perspektiv (a.a.) visar denna studie att en fysisk
ram i form av någon av de undersökta läroböckerna inte möjliggör en undervisning med
interaktion och kommunikation. Med andra ord kan en lärare både underlätta och
försvåra för elevernas utveckling genom sitt val av fysiska ramar.
Vidare visar resultatet en skillnad när det gäller vilket språk författarna använder sig
av i sina formuleringar av elevuppgifter. Tidigare forskning påvisar vikten av att lärare
använder en korrekt terminologi samt att eleverna ges möjlighet att använda det
matematiska språket (Löwing 2004; Riesbeck 2008). Med denna forskning som grund
ställer jag mig frågande till den lärobok där det till stor del förekommer ett vardagligt
språk. Sett ur elevens perspektiv måste det bli väldigt förvirrande att lyssna till läraren
som säger ”addera” och sedan läsa ”räkna plus” i läroboken. Löwings (a.a.) observationer av matematikundervisning visade att bristen på ett gemensamt språk ofta ledde
till missförstånd hos eleverna, vilket styrker mitt antagande.
De analyserade läroböckerna innehåller en stor mängd uppgifter och därmed mycket
text. Detta ställer höga krav på läs- och skrivförmågan hos mottagaren av boken. En
lärobok där terminologin i uppgifterna är korrekt möjliggör visserligen en utveckling av
det matematiska språket men det förutsätter att mottagaren av texten, d v s eleven,
39
behärskar språket. En rimlig förklaring till att det läromedel som är avsett för årskurs 1
innehåller betydligt färre antal sidor och uppgifter än övriga två läromedel kan vara att
författaren tagit hänsyn till mottagarens ålder.
Ur ett läroplansteoretiskt perspektiv studeras processen när innehållet till en läroplan
väljs ut (Lundgren 1979; Linde 2012). Sedan Lpo 94 infördes finns det inte längre en
betoning på vilket innehåll och vilka metoder som ska styra undervisningen (Englund,
Forsberg & Sundberg 2012). Däremot behandlas frågor kring undervisningens mål vid
formulering av läroplanen (Linde a.a.). En sak som skiljer Lpo 94 från Lgr 11 när det
gäller undervisningens mål är att det finns uttryckt att eleverna ska utveckla sin
skriftliga kommunikationsförmåga (Skolverket 2008). Ett oväntat resultat var därför att
ett läromedel anpassat för Lpo 94 inte innehöll några uppgifter där eleverna i svaret
förväntas kommunicera skriftligt. Här ifrågasätter jag om författaren har transformerat
kursplanens formulering.
Då det inte finns några krav på läroboksförfattare att följa kursplanen, ej heller någon
granskning av läromedel (Johansson 2003, 2006) föreligger det ett större ansvar på
lärare vid val av undervisningsmetod. Det går inte att förlita sig på att författare till
läromedel i matematik transformerat kursplanens formuleringar. Både nationell och
internationell forskning om hur läroboken används är dock enig – lärare förlitar sig på
läroboken och eleverna räknar enskilt i sitt eget tempo (Haggarty & Pepin 2002;
Löwing 2004; Bergqvist et al. 2010; Engvall 2013). Det säger sig självt att en
undervisning där eleverna arbetar med olika uppgifter på olika sidor i en lärobok inte
uppmuntrar till meningsfulla gemensamma diskussioner.
Om undervisningen kompletteras med de instruktioner som finns i läroböckernas
tillhörande lärarhandledningar, visar innevarande studie att det finns stora möjligheter
till att skapa ett kommunikativt klassrum. Till skillnad från läroböckerna finns det i
lärarinstruktionerna en mängd övningar där läraren kan inbjuda till arbete i par, grupp
och helklass, vilket medför att eleverna ges möjlighet att både interagera och diskutera
matematik. Enligt ett sociokulturellt lärandeperspektiv är det i en sådan kontext som
lärande sker (Vygotskij 2001; Säljö 2014). Denna lärandeteori får stöd i forskning som
visar att elever ökar sin kunskap genom att delta i och lyssna på matematiska
diskussioner (Mercer & Sams 2006; Kosko 2012). I en undervisning med interaktion
finns möjlighet för elever att få stöttning både av lärare och klasskamrater. Här ligger
Vygotskijs (a.a.) tankar om den närmaste utvecklingszonen nära till hands. Genom
samarbete kan elever alltid göra mer än vad de kan göra på egen hand (a.a.). Då min
40
undersökning visar att läroböcker behöver kompletteras av lärarhandledningarnas
instruktioner för att stimulera till kommunikation anser jag, utifrån ett sociokulturellt
perspektiv (a.a.), att lärarens språk är ett nödvändigt medierande verktyg.
Kursplanen för Lgr 11 har en starkare betoning på kommunikation än den tidigare
upplagan Lpo 94 (Skolverket 2011a). Att läromedel anpassade efter Lgr 11 skulle
innehålla mer kommunikativ matematik är inte uppenbart vid en jämförelse av
resultaten. Samtliga analyserade läroböcker har flera brister sett till kursplanernas mål.
Detta stämmer väl överens med Johanssons (2003) studie där kursplanernas
formuleringar inte till fullo synliggjordes i läroböckernas uppgifter. Då jag även
analyserat lärarhandledningar skiljer sig min studie från Johanssons (2003). Mina
resultat anser jag visa att en kombination av lärobok och lärarhandledning till största del
uppfyller de kommunikativa mål som finns i Lpo 94 och Lgr 11.
Av studiens resultat drar jag följande slutsatser: De analyserade elevuppgifterna
består enbart av en liten andel uppgifter som tränar förmågorna begrepp, kommunikation och resonemang. Detta innebär att den kommunikativa matematiken i läroböckernas uppgifter endast synliggörs i liten utsträckning. Språket i uppgifterna består till viss
del av korrekt terminologi men det ställs höga krav på lärobokens mottagare, d v s
eleven, för att det matematiska språket ska utvecklas. I samtliga analyserade lärarhandledningar återfinns flertalet instruktioner med förslag på övningar att göra i olika
gruppkonstellationer. En stor del av instruktionerna innehåller dessutom konkreta
förslag på frågor läraren kan ställa i klassrummet och på så sätt få igång en gemensam
diskussion. Lärarinstruktionerna uppmanar därmed till både samtal och samarbete och
det finns goda möjligheter för läraren att skapa ett klassrum med interaktion och
kommunikation.
En sammanfattande slutsats är att om läroböckerna i denna studie används på det sätt
som visat sig dominera den svenska grundskolan möjliggör de inte till att eleverna
utvecklar sitt matematiska språk och sin kommunikativa förmåga. Om undervisningen
däremot består av både lärobok och lärarhandledning där lärarens språk fungerar som en
medierande länk, ser jag inga hinder för att de förmågor som enligt Lgr 11 ska uppfyllas
också uppfylls. Läraren behöver emellertid hitta en balans mellan det vardagliga och det
matematiska språket och tillsammans med eleverna skapa ett gemensamt språk där alla
interagerar.
41
7.1 Metoddiskussion
Under arbetets gång och när studiens resultat var färdigt, framkom några svagheter när
det gäller mitt val av innehållsanalys som metod. Jag kommer i detta avsnitt redogöra
för dessa samt diskutera eventuella konsekvenser.
Vid min kategorisering av data för min kvantitativa analys, räknade jag elevuppgifter
vid två separata tillfällen, så kallad dubbelkodning. Merparten av resultaten var
identiska men för något enstaka resultat skiljde sig siffrorna åt med ett fåtal uppgifter.
Då skillnaderna av min dubbelkodning var så små att de inte kom att påverka studiens
resultat, anser jag att intrasubjektiviteten varit relativt god.
En avgränsning som kan ha påverkat mitt resultat är att jag enbart har gjort en
kvantitativ analys av läroböckernas elevuppgifter. En snarlik analys och kategorisering
av de övningar som förekommer i lärarinstruktionerna hade kunnat ge ett annat resultat.
T ex hade en sådan analys kunnat visa att det i dessa instruktioner finns flertalet
övningar som, till skillnad från läroboken, stimulerar den skriftliga kommunikationsförmågan.
Mitt urval består enbart av tre läromedel i matematik för årskurs 1-3. Detta urval är
för litet för att kunna dra några generella slutsatser. Jag har även valt att analysera ett
läromedel per årskurs. Att välja flera läromedel inriktade för samma årskurs hade
kunnat visa ett bättre jämförande resultat. Det är rimligt att tro att författare till
läromedel har en större ambition att inkludera alla delar av kursplanens kunskapskrav i
ett läromedel avsett för årskurs 3 än i läromedel för lägre årskurser. Ett annat rimligt
antagande är att författare till läromedel avsedda för årskurs 1 inkluderar färre antal
uppgifter med hänsyn till mottagarens varierande läs- och skrivförmåga.
Denna undersökning visar att det finns ett väldigt stort utbud av gemensamma
introduktioner och övningar i lärarhandledningarna. Hur och om dessa övningar
realiseras i verkligheten kan denna studie emellertid inte besvara. Jag har enbart kunna
referera till tidigare forskning om undervisningen i klassrummen. Ett bra komplement
till mitt metodval hade därför varit att även observera matematiklektioner och där se hur
det analyserade läromedlet används. Ur ett läroplansteoretiskt perspektiv (Lundgren
1979, Linde 2012) skulle det då bli möjligt att studera hur kursplanens formulering
tolkas av lärare och sedan realiseras i undervisningen. Det vilar ett läroplansteoretiskt
perspektiv även över mitt första förslag till vidare forskning som presenteras i nästa
avsnitt.
42
7.2 Förslag till vidare forskning
Den nu gällande läroplanen Lgr 11 ger stort utrymme för tolkningar eftersom den inte
innehåller beskrivningar på hur undervisningen ska gå tillväga. Det hade därför varit
intressant att undersöka hur lärare tolkar kursplanen i matematik och vad detta får för
konsekvenser för matematikundervisningen. Genom att först välja ut ett område ur
kursplanen att studera och sedan intervjua lärare, synliggörs lärarnas transformering av
kursplanens formuleringarna. Med kompletterande klassrumsobservationer kan sedan
lärarnas transformeringar studeras för att se hur dessa realiseras i undervisningen.
Ordet lärobok har flitigt florerat i detta arbete. I dagens högteknologiska samhälle
känns emellertid en lärobok i matematik relativt omodern. Frågan är om vi är på väg
mot en undervisning där läroboken får en allt mindre roll. Jag har i mitt arbete som
vikarie samt under min VFU sett inslag av surfplattor i matematikundervisningen.
Eftersom en surfplatta också har en kommunikativ innebörd är ytterligare ett förslag på
vidare forskning att observera ”morgondagens” klassrum för att se hur dessa tekniska
läromedel bidrar till utveckla elevernas kommunikativa förmåga. Eller om de helt enkelt
kan likställas med enskilt arbete i en lärobok.
7.3 Avslutning
De citat som inledde detta arbete är alla exempel på kommunikation vid undervisning i
matematik, dels mellan lärare och elever men även elever emellan. Ett antagande jag
gör, efter att ha genomfört denna studie, är att en sådan kommunikation inte är
tillräcklig vid läroboksbaserade matematiklektioner.
För att mina framtida elever ska få möjlighet att utveckla sina kommunikativa
förmågor krävs det att jag som lärare får till stånd meningsfulla matematiska
diskussioner med korrekt terminologi. Jag låter följande citat sammanfatta mitt arbete
och tar det med mig in i min framtida roll som lärare i vårt mångkulturella land: ”Vid
ensidigt tyst arbete försummas matematik som problemlösningskonst och som
kommunikationsämne. Det missgynnar språk- och begreppsutvecklingen, både för dem
som har svenska som modersmål och för dem som har ett annat modersmål” (SOU
2004:97 s. 131). De ramar jag som lärare väljer för min matematikundervisning är
avgörande för vad mina elever ges möjlighet att lära.
43
44
8. Källförteckning
Bergqvist, Ewa, Bergqvist, Tomas, Boesen, Jesper, Helenius, Ola, Lithner, Johan, Palm,
Torulf, & Palmberg, Björn (2010). Matematikutbildningens mål och undervisningens
ändamålsenlighet: grundskolan våren 2009. Göteborg: Nationellt centrum för
matematikutbildning, Göteborgs universitet. Tillgänglig:
http://ncm.gu.se/media/ncm/forskning/kunskapsoversikt_ncm_ufm_gr.pdf
[2015-01-26]
Bergström, Göran & Boréus, Kristina (red.) (2012). Textens mening och makt:
metodbok i samhällsvetenskaplig text- och diskursanalys. 3. uppl. Lund:
Studentlitteratur
Brorsson, Åsa (2011). Prima matematik 3, Lärarhandledning. Malmö: Gleerups
Bryman, Alan (2011). Samhällsvetenskapliga metoder. 2. uppl. Stockholm: Liber
Dahllöf, Ulf (1999). Det tidiga ramfaktorteoretiska tänkandet. En tillbakablick.
Pedagogisk Forskning i Sverige, 4(1), ss. 5–29
Englund, Tomas, Forsberg, Eva & Sundberg, Daniel (red.) (2012). Vad räknas som
kunskap?: läroplansteoretiska utsikter och inblickar i lärarutbildning och skola.
Stockholm: Liber
Engvall, Margareta (2013). Handlingar i matematikklassrummet - En studie av
undervisningsverksamheter på lågstadiet då räknemetoder för addition och
subtraktion är i fokus. Linköping: Linköpings universitet
Haggarty, Linda & Pepin, Birgit (2002). An Investigation of Mathematics Textbooks
and their Use in English, French and German Classrooms: who gets an opportunity
to learn what? British Educational Research Journal, 28(4), ss. 567-590
Häggblom, Lisen (2013). Med matematiska förmågor som kompass. Lund:
Studentlitteratur
Johansson, Monica (2003). Textbooks in mathematics education: a study of textbooks
as the potentially implemented curriculum. Luleå: Luleå tekniska universitet
Johansson, Monica (2006). Teaching mathematics with textbooks: a classroom and
curricular perspective. Luleå: Luleå tekniska universitet
Kavén, Anna (2011a). Mattedetektiverna. 1A, Lärarboken. Stockholm: Liber
Kavén, Anna (2011b). Mattedetektiverna. 1B, Lärarboken. Stockholm: Liber
Kavén, Anna (2011c). Mattedetektiverna. 1B. Stockholm: Liber
45
Kosko, Karl W. (2012). Student Enrollment in Classes with Frequent Mathematical
Discussion and Its Longitudinal Effect on Mathematics Achievement. Mathematics
Enthusiast. 9(1), ss. 111-148
Linde, Göran (2012). Det ska ni veta! En introduktion till läroplansteori. 3. uppl. Lund:
Studentlitteratur
Lundgren, Ulf P. (1979). Att organisera omvärlden: en introduktion till läroplansteori.
Stockholm: LiberFörlag
Lundgren, Ulf P. (1999). Ramfaktorteori och praktisk utbildningsplanering. Pedagogisk
Forskning i Sverige, 4(1), ss. 31-41
Löwing, Madeleine (2004). Matematikundervisningens konkreta gestaltning. En studie
av kommunikationen lärare-elev och matematiklektionens didaktiska ramar.
Göteborg: Göteborgs universitet
Malmer, Gudrun (2002). Bra matematik för alla. Nödvändig för elever med
inlärningssvårigheter. Lund: Studentlitteratur
Mercer, Neil & Sams, Claire (2006). Teaching Children How to Use Language to Solve
Maths Problems. Language and Education, 20(6), ss. 507-528
Myndigheten för skolutveckling (2008). Mer än matematik: om språkliga dimensioner i
matematikuppgifter. Stockholm: Myndigheten för skolutveckling. Tillgänglig:
www.skolverket.se/publikationer?id=1891 [2014-10-15]
Picetti, Margareta & Elofsdotter Meijer, Siw (2009). Matte Direkt. Safari.
Lärarhandledning 2A. Stockholm: Bonnier utbildning
Picetti, Margareta, Elofsdotter Meijer, Siw & Falck, Pernilla (2010). Matte Direkt.
Safari. Lärarhandledning 2B. Stockholm: Bonnier utbildning
Riesbeck, Eva (2008). På tal om matematik. Matematiken, vardagen och den
matematikdidaktiska diskursen. Linköping: Linköpings Universitet
Selander, Staffan (2003). Pedagogiska texter och andra artefakter för kunskap och
kommunikation. En översikt över läromedel – perspektiv och forskning. I SOU
2003:15 Läromedel specifikt, Bilagor. Tillgänglig:
http://www.regeringen.se/sb/d/108/a/1029 [2015-02-24]
Skolinspektionen (2009). Undervisningen i matematik: utbildningens innehåll och
ändamålsenlighet. Kvalitetsgranskning, Rapport, 2009:5. Stockholm:
Skolinspektionen
Skolverket (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik, Nationella
kvalitetsgranskningar 2001-2002. Stockholm: Skolverket
46
Skolverket (2008). Kursplaner och betygskriterier grundskolan. Reviderad version
2008. Tillgänglig: http://www.skolverket.se/publikationer?id=745 [2015-02-21]
Skolverket (2011a). Kommentarmaterial till kursplanen i matematik. Stockholm:
Skolverket
Skolverket (2011b). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011.
Stockholm: Skolverket
SOU 2004:97. Att lyfta matematiken – intresse, lärande, kompetens. Tillgänglig:
http://www.regeringen.se/sb/d/108/a/30348 [2015-01-31]
Säljö, Roger (2014) Lärande i praktiken. Ett sociokulturellt perspektiv. 3. uppl. Lund:
Studentlitteratur
Vygotskij, Lev S. (2001). Tänkande och språk. Göteborg: Daidalos
47