LEKTION 27

GÖTEBORGS UNIVERSITET
Fysiska institutionen
Hans Linusson, Carl-Axel Sjöblom, Örjan Skeppstedt
FY 2400
Distanskurs
LEKTION 27
Delkurs 4
PROCESSER I ATOMKÄRNAN
MATERIENS INNERSTA STRUKTUR
I detta häfte ingår övningsuppgifter som Du skall
lösa och sända in för rättning. Lösningar till
uppgifterna Kä18 och Kä26 i övningskompendiet
skall vara kursledaren tillhanda senast
2004-05-11
april 1983
januari 1993
april 1998
2(8)
Kapitel 40. Processer i atomkärnan
40.1 Introduktion
Läs igenom.
40.2 Radioaktivt sönderfall
Detta är ett viktigt avsnitt. Vi har redan hänvisat till figur 40.1 på sidan 1043. Förutom en genomgång
av de vanligaste formerna för radioaktivt sönderfall beskri
ver författarna bakgrunden till sönderfallslagen (40.1).
Halveringstidens T 1 samband (40.2) med sönderfallskonstanten λ är förstås viktigt att känna till och
2
vid behov kunna härleda. I A-F definieras aktiviteten som dN/dt 0 = - N i ekv (40.3), vilket inte är så
bra eftersom såväl som N är positiva storheter. Med denna definition blir aktiviteten en negativ
storhet, vilket inte är korrekt. Det är bättre att definiera aktivitet på följande sätt:
aktiviteten = a = −
dN
=λ N
dt
dN är förändringen av antalet radioaktiva kärnor och är en negativ storhet vid sönderfall. Aktiviteten a
blir därför positiv i ekvationen ovan.
Det kan vara av visst intresse att se, att man kan skriva om sönderfallslagen så att den innehåller
halveringstiden:
N = N 0e
−λt
−
= N 0e
ln 2
t
T1
2
= N 0e


t 
ln 2⋅  −
 T 1 

2
−
= N0⋅2
t
T1
2
Enheten 1 Ci (1 Curie) = 3,7·1010 sönderfall/sekund (som svarar mot aktiviteten hos 1 g radium) är
numera mest historisk, den aktuella enheten är 1 Bq = 1 Bequerel = 1 sönderfall per sekund.
Det är viktigt att komma ihåg att sönderfallslagen är statistisk, och att λ är sannolikheten per tidsenhet
att en instabil kärna skall sönderfalla. Sannolikheten att en kärna skall sönderfalla är alltid densamma
(så länge den ej har sönderfallit), dvs i motsats till biologiska system åldras inte en atomkärna.
Du bör studera exemplet 40.1 noga, så att Du kan genomföra liknande beräkningar. Här följer en
härledning som behandlar en vanlig metod (bl.a. i vårt kurslabb) att tillverka radioaktiva nuklider:
Produktion av radioaktiva nuklider genom neutroninfångning
Om ett ämne placeras inuti en reaktor och bestrålas med neutroner kan detta leda till dessa fångas in av
atomkärnorna i ämnet. Som exempel kan vi bestråla 59 Co med neutroner. Då bildas den β-radioaktiva
kärnan 60 Co som har halveringstiden 5,27 år. Man kan också erhålla liknande resultat genom att
bestråla kärnor med laddade partiklar, t.ex. protoner eller deutroner från acceleratorer. I båda fallen kan
FY2400, Distanskurs, brev 27
3(8)
man anta att den nya nukliden produceras med g kärnor per sekund. Antalet producerade kärnor
kommer att beskrivas av kurvan i figuren på nästa sida, vilket vi kan härleda på följande sätt:
Samtidigt som den nya kärnan bildas så sönderfaller enligt (40.3) N kärnor per sekund, om N är
antalet kärnor vid tiden t.. Förändringen av antalet kärnor per sekund kan därför skrivas
dN
= g − λN
dt
Om vi separerar variablerna och integrerar blir resultatet
N −gλ
dN
∫ g = −λdt ⇒ ln N − g = −λt
N0 N −
0
λ
λ
N
Om antalet kärnor är noll vid tiden t = 0 får vi slutligen, att
N=
g
1 − e −λt )
(
λ
Det största antalet nuklider som kan produceras på detta sätt blir uppenbarligen
g
N max = λ
Man kan också i detta sammanhang betrakta ett s.k. seriesönderfall, dvs att ämne A sönderfaller till
ämne B, som i sin tur sönderfaller till ett stabilt ämne C. Detta kan behandlas med liknade räkningar
som i härledningen ovan. Vi skall inte här genomföra dessa, utan nöjer oss med att rita en graf över hur
antalet kärnor varierar med tiden:
FY2400, Distanskurs, brev 27
4(8)
Vi skall nu räkna ett par övningsexempel:
Kä20
Aktiviteten i nu levande trädstammar är 0,0070 µCi per kg p.g.a. av närvaron av 14 C i naturligt kol.
Kolbitar från en gammal lägereld hade en aktivitet av 0,0048 µCi per kg. Halveringstiden för 14 C är
5760 år. Beräkna vilket år lägerelden var i bruk.
Lösning:
Innan lägerelden brann vid tiden t = 0 var aktiviteten
a 0 = λN 0
vid tiden t1 har aktiviteten blivit istället
−
a 1 = λN 0e
t1 ln 2
T1
2
Insättning av första ekvationen ger
−
a 1 = a 0e
t 1 ln 2
T1
2
T1
a1
t 1 ln 2
a
⇒ ln
=−
⇒ t1 = 2 ln 0
a0
T1
ln 2 a 1
2
5760 0,0070
alltså t 1 =
ln
= 3135 år, dvs 3135 - 1992 = 1143 år f. Kr.
ln 2
0,0048
När tror Du föresten att svaret i facit blev uträknat?
FY2400, Distanskurs, brev 27
5(8)
Kä23
Man har en neutronkälla, som vid jämvikt producerar 100 mCi av 24Na genom 23Na(n,γ)24Na
reaktionen. 24Na sönderfaller till 24Mg med halveringstiden T_ = 14,8 h. För ett visst experiment
behöver man 80 mCi 24Na. 20 mCi 24Na finns redan tillgängligt då neutronbestrålningen påbörjas. Hur
länge måste man köra 23Na(n,γ)24Na reaktionen för att erhålla en total mängd 24Na motsvarande 80
mCi?
Lösning:
Av sambandet mellan aktivitet och antalet återstående radioaktiva kärnor följer, att
sönderfallsekvationen även kan skrivas
a = a 0e −λ t
Efter den sökta tiden t finns av den ursprungliga aktiviteten kvar
a 1 = 20e −λt mCi
Samtidigt produceras genom reaktionen 23Na(n,γ)24Na (jämviktsaktivitet U = 100 mCi)
λ BB = a 2 = U(1− e −λ t ) = 100( 1− e −λ t )
Totala aktiviteten vid tiden t blir
a = a 1 + a2 = 20e −λ t +100(1 − e −λ t ) = 80 mCi
dvs
e −λ t + 5 − 5e − λ t = 4
ln 4 = t ⇒ t =
ln 4
4e −λ t = 1
dvs
=
ln 4
= 2T1 = 29, 6 h
ln 2
2
T1
2
Ytterligare lämpliga övningsuppgifter är t.ex. Kä19, Kä22, Kä24, Kä25 och Kä28.
40.3 Alfasönderfall
Studera avsnittet noga, och lägg märke till att α-partikelemission är ett exempel på tunneleffekt.
Ekvationerna (40.5) och (40.6) är viktiga, och likaså figurerna 40.6 och 40.7. Gå igenom exempel 40.2.
Exempel 40.3 använder ekvationerna för att förklara varför spontan proton-, neutron- och
deutronemission inte förekommer i 232 U.
FY2400, Distanskurs, brev 27
6(8)
40.4 Betasönderfall
Detta är ytterligare ett viktigt avsnitt som Du skall studera noggrant. Figur 40.9 är intressant, och Du
skall kunna redogöra för huvuddragen av sådana sönderfallschemata.
Räkna igenom exempel 40.4, eftersom Du förväntas kunna genomföra sådana beräkningar.
40.5 Kärnreaktioner
Ett mycket viktigt avsnitt, som Du skall studera i detalj. Svenska översättningar av orden target,
kompoundkärna scattering är strålmål, blandkärna och spridning men de engelska orden används
ganska ofta också. Storheten Q kallas Q-värde, vars definition Du skall känna väl till, trots att den inte
lyfts fram i boken:
Q = [(M i + m i ) − (M f + m f )]c 2
där index i och f anger initial och final enligt boken på sidan 1052, och vi använder atommassor (Man
gör normalt detta i kärnfysikaliska beräkningar; Det går i regel bra eftersom elektronmassorna som
ingår i atommassorna normalt “subtraheras bort”. Principiellt görs ett litet fel, eftersom elektronernas
bindningsenergier i olika atomer skiljer sig från varandra. Felet som görs är emellertid helt försumbart
i de flesta fall)
Cross section direktöversätts oftast till svenska somtvärsnitt. men man använder också ordet träffyta,
som nog egentligen är ett bättre ord.Tvärsnittet eller träffytan är ett mått på reaktionssannolikheten (vi
skall inte genomföra sådana beräkningar utan bara göra jämförelser mellan olika reaktioner). Enheten
för denna storhet är 1 m2, men vanligare är 1 barn = 1·10-28 m2. Orsaken till detta underliga namn,
engelskans barn betyder lada, ligger i hemlighetsmakeriet i samband med Manhattanprojektet
(utvecklingen av atombomben) under andra världskriget.
Läs igenom Not 40.1 Upptäckten av neutronen. Vi skall räkna ett par övningsuppgifter, och börjar med
Kä10
Beräkna bindningsenergin hos deutronen m.hj.a. följande reaktioner:
2H(d,p) 3H
Q1 = 4,036 MeV
2H(n,γ) 3H
och
Q2 = 6,251 MeV
Lösning:
Ställ upp formeln för resp. Q-värde i reaktionerna enligt ovan:
(
)
Q 1 = M 2 H + M 2 H − M 1H − M 3H ⋅ c2
(
(andra termen i parentesen avser deutronen)
)
Q 2 = M 2 H + Mn − M 3H ⋅ c 2
Skillnaden mellan dessa blir
(
)
Q 2 − Q1 = M n − M 1 H − M 2 H ⋅ c 2 = E B
dvs
enligt ekvation (39.4)
E B = Q2 − Q 1 = 6, 251− 4,036 = 2, 215 MeV
FY2400, Distanskurs, brev 27
7(8)
Kä11
Hur stora är hastigheterna hos de i kärnreaktionen 10B(n,α) 7Li bildade reaktionsprodukterna, om man
antar, att neutronerna är termiska och 10B-kärnan ursprungligen i vila. De ingående partiklarnas
atommassor är:
För 10B:
"
n:
" 4He:
" 7Li:
10,012939
1,008665
4,002604
7,016005
u
"
"
"
Man antar, att ingen γ-strålning utsänds vid reaktionen.
Lösning:
Eftersom kärnorna är i vila före reaktionen kommer totala rörelsemängden att vara noll även efter
denna, dvs
0 = M Li v Li + MHe v He ⇒ v Li = −
M He
4
v He ≈− v He
MLi
7
Den vid reaktionen frigjorda energin, dvs reaktionens Q-värde, fördelas mellan kärnorna så att
samtidigt villkoret ovan är uppfyllt, dvs
Q = ( MB + M n − MLi − Mα )c 2 = 21 M Li v 2Li + 21 Mα v α2
och med insatta värden
2
7u  4

4u 2
(10,012939 + 1,008665 − 4,002604 − 7,016005) ⋅ u ⋅ c =  v He  + v He
2 7
2
2
där u = atommassenheten. Man kan ju undra, varför man i vänstra ledet räknar med många siffrors
noggrannhet, medan man i högra använder heltalsvärden på massorna, men detta beror på att man i det
förra fallet tar skillnaden mellan flera nästan lika stora tal:
2,995 ⋅10 −3 c 2 =
v He = 3,00 ⋅10 8
v Li =
8 2
22 2
2
v He + 2v He
=
v
7
7 He
2, 995⋅ 10−3 ⋅ 7
= 9, 26⋅ 106 m/s
22
4
4
v He = ⋅ 9, 26⋅ 106 = 5,29 ⋅10 6 m/s
7
7
Du kan för övnings skull räkna t.ex. Kä12 och Kä16.
40.6 Kärnfission 40.7 Kedjereaktioner vid fission
Ytterligare viktiga avsnitt, som Du skall känna väl till. S.k. termiska neutroner har en kinetisk energi
som svarar mot att de är i termisk jämvikt med omgivningen. Enligt sidan 959 i läroboken innebär
detta, att (vid rumstemperatur)
E ave = 23 kT = 23 ⋅1,38 ⋅10 −23 ⋅298 = 6,17 ⋅ 10−21 J ≈ 0,040 eV
FY2400, Distanskurs, brev 27
8(8)
Räkna igenom exempel 40.5 och lägg på minnet huvuddragen i det. Studera också Not 40.2
Fissionsreaktorer, som förklarar hur ett kärnkraftverk fungerar (både enligt kokarprincipen och
tryckvattenprincipen).
40.8 Kärnfusion
Avsnittet beskriver den fysikaliska bakgrunden till energiutvecklingen i en stjärna, t.ex. solen, och
även principen bakom (och några av problemen hos) en fusionsreaktor. Stora satsningar på
fusionsforskning görs (bla i en mycket stor satsning inom EU) men man har ännu långt kvar till en
fungerande lösning på hur det heta plasmat skall inneslutas i en fusionsreaktor.
Studera Not 40.3 Fusionsreaktorer och Not 40.4 Grundämnenas uppkomst så att Du kan de stora
dragen i dem.
Kapitel 41 Materiens innersta struktur
Innehållet i detta kapitel ligger mycket nära forskningsfronten, och brukar av denna anledning inte tas
med i en kurs på denna "klassiska nivå". Den som fortsätter till 60-poängsnivån kommer att läsa en
grundlig kurs i subatomär fysik, och kan komplettera den med en valfri kurs i kosmologi. Läs i alla fall
igenom kapitlet.
41.1 Introduktion
Läs igenom - det ger en första antydan om att antalet elementarpartiklar är stort, och att partiklarna är
av fundamentalt(!) olika karaktär.
41.2 "Fundamentalpartiklar"
Läs noga. Du skall känna till de fyra huvudgrupperna av partiklar och deras egenskaper i stora drag.
Läs också Exempel 41.1 som handlar om växelverkan (kraft) mellan partiklar.Exemplet ger
grunddragen i hur växelverkan kan beskrivas genom utbyte av virtuella bosoner. Exemplet med pioner
som förmedlare av kraften mellan nukleoner (gemensamt namn för neutroner och protoner) är viktigt
för förståelsen av begreppet virtuella förmedlarpartiklar. Vi bör ändå vara observanta på att pionerna
inte är några elementära partiklar utan sammansatta objekt, som hålls samman av den starka kraften
(kallas ibland kärnkraften, vilket ibland kan leda tankarna åt fel håll, dvs i riktning mot kärnkraftverk
så det är nog bättre att använda termen “den starka kraften”). De elementära (enligt den idag idag
allmänt vedertagna Standardmodellen för elementarpartiklar och deras växelverkan, se avsnitt 41.8 om Du vill lära Dig litet utanför kursen) bärarna av den starka kraften är gluoner (“klisterpartiklar”).
Beskrivningen av pioner som bärare av kraften mellan nukleonerna är i visst avseende historisk, men
den har fortfarande relevans som en fungerande modell för beskrivning av fenomen i atomkärnan. Man
kan här tydligt se hur fysikens sätt att arbeta med modeller är fruktbart. Innan man hade fått en
förståelse av att nukleonerna är sammansatta objekt (system av tre kvarkar som hålls samman med
gluoner som utbytespartiklar) kunde man utveckla modellen med pioner som förmedlare av kraften
mellan dem. Den djupare förståelsen av nukleonernas natur som vi nu har gör att vi kan se
pionmodellen som en bra approximation för beskrivning av fenomen i atomkärnan vid inte alltför höga
energier. Lägg märke till att förmedlarna av den svaga kraften, W- och Z-bosonerna är mycket tunga
partiklar. Deras massor motsvarar massorna av medeltunga atomkärnor (Zr, Sr t.ex). De antas vara
verksamma som virtuella partiklar i t.ex. radioaktivt betasönderfall. Partiklarna kunde på 80-talet
produceras som reella partiklar, i kollisioner mellan partiklar med mycket hög energi. Under 1990FY2400, Distanskurs, brev 27
9(8)
talet har dessa partiklars egenskaper och sönderfall kunnat studerats och kommer att studeras fram till
sekelskiftet i de mest omfattande experimenten som görs vid det europeiska högenergilaboratoriet
CERN i Geneve (LEP-acceleratorn).
41.3 Partiklar och antipartiklar
Detta är ett intressant och viktigt kapitel, som beskriver skillnader och likheter hos partiklar och deras
antipartiklar. Du känner redan till elektronen och dess antipartikel positronen, och sannolikt också vad
som inträffar då de annihileras (om inte - läs det nu!)
Proton-antiprotonannihilation är sannolikt mera nytt, och Du skall känna till de stora dragen hos denna
process. Läs Not 41.1 Proton-antiproton experimentet kursivt.
41.4 Instabilitet hos partiklar
Tillsammans med detta brev kommer en övningsskrivning, dvs en gammal tentamen med åtföljande
lösningar. Du bör helst försöka genomföra lösningarna innan Du tittar efter hur vi har gjort!
Insändningsuppgifter till detta brev är Kä18 och Kä26, som skall vara kursledaren tillhanda
senast det datum som är angivet på första sidan.
FY2400, Distanskurs, brev 27