MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen

Mälardalens högskola
Akademin för undervisning, kultur och kommunikation
MAA123
Grundläggande vektoralgebra
Tentamen
10.08.25
08.30–11.30
Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.)
Poäng: Del 1–3 ger maximalt 8 poäng vardera. För godkänt fordras minst 5 poäng.
Del 4 ger maximalt 12 poäng. Förutsatt att du är godkänd på de andra delarna av
tentamen ger minst 5 poäng här betyg 4 och minst 9 poäng betyg 5.
Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på 073–763 27 88
Övriga anvisningar: • Skriv läsbart. • Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. • Se till att det framgår vad svaret på frågan är. • Om du inte kan lösa en uppgift
fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng.
OBS! De första tre delarna av tentamen gäller också som examination av kursmomenten ÖVN1, ÖVN2 respektive ÖVN3. Om du redan är godkänd på något av
dessa moment så ska du inte skriva motsvarande del av tentan.
(Du är godkänd på ett moment om du blev godkänd på motsvarande test under
kursens gång eller på motsvarande del i oktober eller januari.)
MAA123 Tentamen
10.08.25
Sida 2 (av 6)
Del 1
Denna del ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN1.
1 (a) Beräkna inversen för nedanstående matris:


 1 −2
8


 2 −4

15


−1
3 −11
(b) Lös nedanstående ekvationssystem:



x − 2y + 8z = 2




2x − 4y + 15z = 1





−x + 3y − 11z = 0
Se till att det klart och tydligt framgår vad lösningen är!
(1p)
(1p)
2 Här har vi en lista på ett antal ”räkneregler”. En del av dem är korrekta, andra är
felaktiga. (En regel är korrekt om den alltid gäller.) Ange för varje ”regel”om den
är rätt eller fel.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
A(BC) = (AB)C
AI = A−1
AB = BA
AM0 = M0
Om AB = M0 så måste A = M0 eller B = M0
(±0,4p)
(±0,4p)
(±0,4p)
(±0,4p)
(±0,4p)
Alla bokstäver står för matriser, och matrisernas storlek är sådan att operationerna
är möjliga att genomföra. M0 är nollmatrisen. Motivering behövs ej.
Obs! Ett felaktigt svar ger minuspoäng. Totalpoängen för uppgiften blir dock aldrig lägre än noll, och avrundas till heltal.
3 Nedanstående tre matriser representerar tre ekvationssystem. Skriv upp systemens
lösningsmängder på formen x = . . ., y = . . ., z = . . ., eller förklara varför lösning
saknas:


1 0 2 −4


(a) 0 1 3
(2/3p)
2


0 0 0
0


1 0 0
4


(b) 0 1 0 −2
(2/3p)


0 0 1
0


1 0 0
5


(c) 0 1 1
(2/3p)
2


0 0 0 −3
(Poängsumman avrundas till heltal.)
Var god vänd!
MAA123 Tentamen
4 Vi har matriserna


1 0 −3

A = 
0 2
4
10.08.25
Sida 3 (av 6)
h
i
B = 3 −4 −17
Matrisen X uppfyller
XA = B
Vad är X?
(2p)
MAA123 Tentamen
10.08.25
Sida 4 (av 6)
Del 2
Denna del ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN2.
5 (a) Vad är en vektor för något? Ge en förklaring som du själv skulle ha kunnat
förstå innan du läste den här kursen.
(1p)
(b) Vad är en skalär för något? (Samma instruktion i övrigt.)
6 Vi har nedanstående tre matriser:




2
1 1
0

A = 
B = 

5 −3
2 3
(1p)


 0 2

C = 
−2 4
Beräkna det(ABC)
(2p)
7 I nedanstående bild har vi ritat representanter för fem vektorer. Om vi använder
basen B = {u1 , u2 }, vilka koordinater har då
(a) v1 ?
(2/3p)
(b) v2 ?
(2/3p)
(c) v3 ?
(2/3p)
(Summan avrundas till närmsta heltal.)
v3
v1
v2
u1
u2
8 Vi har vektorerna u = (4, 2, −3) och v = (−8, −4, 6) (angivna i samma bas). Är
vektorerna linjärt oberoende? Motivera!
MAA123 Tentamen
10.08.25
Sida 5 (av 6)
Del 3
Denna del ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN3.
9 Vi har linjerna
ℓ1 : (x, y, z) = (−5, 2, 0) + t(−3, 1, 2)
ℓ2 : (x, y, z) = (1, 0, −4) + t(3, −1, −2)
(angivna i samma koordinatsystem). Är ℓ1 och ℓ2 två olika linjer eller samma linje?
Motivera!
(2p)
10 Då man arbetar med vektorer använder man bland annat skalärprodukt (dot product) och vektorprodukt (cross product). Dessa räknesätt har likartade räkneregler,
men de är inte helt lika.
(a) Skriv upp någon räkneregel som är i princip likadan för skalärprodukt och för
vektorprodukt.
(1p)
(b) Skriv upp någon räkneregel som inte är likadan för skalärprodukt och för vektorprodukt.
(1p)
11 En triangel har hörn i punkterna P1 : (−3, 4, −2), P2 : (−1, 4, −5) och P3 :
(−3, 7, −1). Bestäm triangelns area. (ON-system.)
(2p)
12 Vi har linjen
ℓ : (x, y, z) = (−3, 4, 1) + t(1, 0, 1)
och planet
Π : 2x + y + z − 5 = 0
Bestäm vinkeln mellan linjen och planet. Om de är parallella, bestäm istället avståndet. (ON-system.)
(2p)
MAA123 Tentamen
10.08.25
Sida 6 (av 6)
Del 4
Den här delen kan du enbart tillgodoräkna dig om du också har klarat de andra
delarna. Om du inte redan är godkänd på delarna 1 till 3 ska du i första hand satsa
på dem.
13 Vi har ekvationssystemet



λx + y + 5z = 4




x + y + 3z = λ





 x + λy + 4z = λ
Lös ekvationssystemet för alla värden på λ.
(4p)
14 u, v och z är tre olika komplexa tal. De uppfyller
uz = v2
uv = z2
Visa att talen ligger som hörn i en liksidig triangel i det komplexa talplanet. (4p)
15 Vi har en 3 × 3-matris A med följande egenskaper: Om vi tar en punkt P : (x, y, z)
så kommer
 
 x
 
A  y
 
z
att ge oss koordinaterna för den punkt i planet Π : x + 2y + 3z = 0 som ligger
närmast P. Vad är matrisen A?
(4p)
Mälardalens högskola
Akademin för undervisning, kultur och kommunikation
MAA123
Grundläggande vektoralgebra
Test 1
2010.09.20
08.30–09.30
Detta test är examination på ÖVN1.
Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.)
Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng.
Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på 073–763 27 88
Övriga anvisningar: • Skriv läsbart. • Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. • Se till att det framgår vad svaret på frågan är. • Om du inte kan lösa en uppgift
fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng.
1.1 Vi har här två matriser:


3 −2
4


A = 
0
2 −3


−5 0 1


B = 
−1 3 7
Beräkna, eller förklara varför det är omöjligt:
(a) A + B
(1p)
(b) AB
(1p)
1.2 (a) Lös nedanstående ekvationssystem med Gauss-Jordans metod:



x + 4y = −2




−2x − 7y = 4





 3x + 10y = −6
Se till att det klart och tydligt framgår vad lösningen är!
(1p)
(b) Visa att din lösning är korrekt. Om systemet saknar lösning, förklara hur du
såg det.
(1p)
1.3 Din kompis har löst en matrisekvation så här:
XA = B
XAA−1 = A−1 B
XI = A−1 B
X = A−1 B
Han har nu räknat ut A−1 och tagit fram X. Men svaret stämmer inte då han sätter
in det i ursprungsekvationen. Han ber dig om hjälp. Vad har han gjort för fel, och
hur ska han rätta till det?
(2p)
Var god vänd!
MAA123
Sida 2 (av 2)
1.4 (a) Beräkna inversen till nedanstående matris (förutsatt att det är möjligt):


 1 −3
5


A = −2
7 −7


−1
2 −8
Se till att det klart och tydligt framgår vad svaret är!
(1p)
(b) Visa att den beräknade inversen är korrekt eller förklara hur du såg att det
inte finns någon.
(1p)
Mälardalens högskola
Akademin för undervisning, kultur och kommunikation
MAA123
Grundläggande vektoralgebra
Test 2
2010.10.04
08.30–09.30
Detta test är examination på ÖVN2.
Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.)
Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng.
Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på 073–763 27 88
Övriga anvisningar: • Skriv läsbart. • Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. • Se till att det framgår vad svaret på frågan är. • Om du inte kan lösa en uppgift
fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng.
2.1 Vi har vektorerna u = (1, −4, 2), v = (−3, −2, 4) och w = (−1, 5, 8) (angivna
i samma bas). Skriv w som linjärkombination av u och v, om det är möjligt.
Förklara annars varför det inte går.
(2p)
2.2 Har nedanstående ekvationssystem entydig lösning?



7x
− 2z = −5




−3x + y + 4z = 8





 4x
− 2z = 3
Motivera!
(2p)
2.3 Nedan har vi ritat representanter för ett antal vektorer i planet:
u3
u4
u2
u1
Nu vill vi ha en bas.
(a) Kan man använda {u1 , u2 } som bas för vektorerna i planet?
(b) Kan man använda {u1 , u3 } som bas för vektorerna i planet?
(c) Kan man använda {u2 , u3 , u4 } som bas för vektorerna i planet?
(2/3p)
(2/3p)
(2/3p)
Motivering behövs ej, men är inte förbjuden. Poängsumman avrundas till närmsta heltal.
Var god vänd!
MAA123
Sida 2 (av 2)
2.4 Vi har följande matriser:




−5 2
1 1




A = 
B = 

4 2
2 2


4 −1


C = 
3
7
Beräkna
det(ABC)
(2p)
Mälardalens högskola
Akademin för undervisning, kultur och kommunikation
MAA123
Grundläggande vektoralgebra
Test 3
2010.10.18
08.30–09.30
Detta test är examination på TEN2 del A.
Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.)
Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng.
Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på 073–763 27 88
Övriga anvisningar: • Skriv läsbart. • Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. • Se till att det framgår vad svaret på frågan är. • Om du inte kan lösa en uppgift
fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng.
OBS! Om du blir godkänd (dvs. får minst 5 poäng) så kan du skriva del B vid tentatillfället
1 november. Detta kan ge dig högre betyg på kursen. (Om du inte blir godkänd nu får du
skriva om del A då.)
3.1 Vi har punkterna
P1 : (4, 0, 1)
P2 : (2, −2, 3)
P3 : (−1, 3, 2)
Ta fram den parameterfria ekvationen för det plan som innehåller punkterna.
(2p)
3.2 Här har vi en lista på ett antal ”räkneregler”. En del av dem är korrekta, andra är felaktiga.
(En regel är korrekt om den alltid gäller.) Ange för varje ”regel” om den är rätt eller fel.
(a) u · v = kukkvk cos α (där α är vinkeln mellan u och v)
(±0,4p)
(b) u × v = kukkvk sin α
(±0,4p)
(c) u · 0 = 0
(±0,4p)
(d) Om u · v = 0 så måste någon av u och v vara 0
(±0,4p)
(e) u × (v + w) = u × v + u × w
(±0,4p)
Alla bokstäver står för vektorer. Motivering behövs ej, men se till att det klart framgår
vad som är svar på vilken fråga.
Obs! Ett felaktigt svar ger minuspoäng. (Inget svar alls ger 0 p.) Totalpoängen för uppgiften blir dock aldrig lägre än noll, och avrundas till heltal.
3.3 Punkterna P1 , P2 , P3 och P4 är hörn på en parallellogram, och ligger i den ordningen. De
första punkternas koordinater är: P1 : (6, −4, 3), P2 : (5, −2, 3), P3 : (4, −2, 0). Bestäm
parallellogrammens area. (ON-system)
(2p)
3.4 Vi har planen Π1 : 3x − 2y + 4z = 6 och Π2 : −2x + 3y + 3z = −1 (angivna i samma ONsystem). Bestäm vinkeln mellan planen. Om de är parallella, bestäm istället avståndet.
(2p)
Mälardalens högskola
Akademin för undervisning, kultur och kommunikation
MAA123
Grundläggande vektoralgebra
Tentamen
10.11.01
08.30–11.30
Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.)
Poäng: Information finns på de respektive delskrivningarna.
Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på 073–763 27 88
Övriga anvisningar: • Skriv läsbart. • Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. • Se till att det framgår vad svaret på frågan är. • Om du inte kan lösa en uppgift
fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng.
OBS!
• Del 1 och 2 är omexamination av kursmomenten ÖVN1 och ÖVN2. Om du
redan är godkänd på något av dessa moment så ska du inte skriva motsvarande
del av tentan.
• Del 3 är omexamination TEN2 del A, som gavs 18 oktober. Om du fick minst
5 poäng då eller är godkänd på ÖVN3 sedan föregående läsår så ska du inte
skriva denna del.
• Del 4 är TEN2 del B, den del som kan ge överbetyg. Den är frivillig.
MAA123 Tentamen
10.11.01
Sida 2 (av 5)
Del 1: ÖVN 1
Denna del är är omexamination av ÖVN1 och ska inte skrivas av de som redan är
godkända på ÖVN1.
För godkänt fordras minst 5 poäng.
1 (a) Beräkna inversen till nedanstående matris (förutsatt att det är möjligt):


 1
0 −3


A = −2
0
7


3 −1 −9
Se till att det klart och tydligt framgår vad svaret är!
(1p)
(b) Visa att den beräknade inversen är korrekt eller förklara hur du såg att det inte
finns någon.
(1p)
2 (a) Lös nedanstående ekvationssystem med Gauss-Jordans metod:



x − 4y + 2z + 5w = 0




−x + 5y + z − 6w = −6





 2x − 6y + 10z + 8w = −10
Se till att det klart och tydligt framgår vad lösningen är!
(1p)
(b) Visa att din lösning är korrekt. Om systemet saknar lösning, förklara hur du
såg det.
(1p)
3 (a) Vilken typ av linjära ekvationssystem är det som kan ha icke-triviala lösningar?
(1p)
(b) Vad är en icke-trivial lösning för något?
4 Vi har matriserna


−1
2


A =  0 −3


2
4
Vi vet att
B = AX
Vad är matrisen X?
 
−7
 
B =  6
 
−2
(1p)
MAA123 Tentamen
10.11.01
Sida 3 (av 5)
Del 2: ÖVN2
Denna del är omexamination av ÖVN2 och ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN2.
För godkänt fordras minst 5 poäng.
5 Vi har vektorerna u = (0, −3, 2), v = (2, 2, −1) och w = (6, 0, 1) (angivna i samma
bas). Skriv w som linjärkombination av u och v, om det är möjligt. Förklara annars
varför det inte går.
(2p)
6 (a) Beräkna determinanten för nedanstående matris:


−1 4 −1


 5 0 −1


−3 2
0
(1p)
(b) Är matrisen inverterbar? Motivera!
(1p)
7 (a) Om man säger ”vektorerna u, v och w är en linjärt oberoende mängd”, exakt
vad menar man med det? (Vi söker alltså den formella definitionen.)
(1p)
(b) Hur brukar man rent praktiskt göra för att avgöra om mängden är linjärt oberoende eller inte?
(1p)
8 I nedanstående bild har vi ritat representanter för fem vektorer.
v2
v1
w
u2
u1
(a) Ange koordinaterna för w i basen B1 = {u1 , u2 }.
(1p)
(b) Ange koordinaterna för w i basen B2 = {v1 , v2 }.
(1p)
MAA123 Tentamen
10.11.01
Sida 4 (av 5)
Del 3: TEN2 del A
Denna del är omexamination av TEN2 del A och ska inte skrivas av de som fick minst
5 p på skrivningen 18 oktober, och inte heller av de som läste kursen förra läsåret
och som är godkända på ÖVN3.
För godkänt fordras minst 5 poäng.
9 (a) Vad menas med en riktningsvektor för en linje?
(1p)
(b) Vad menas med en normalvektor till ett plan?
(1p)
Rita gärna figur!
10 Vi har två vektorer, u och v. kuk = 4, kvk = 3. Vinkeln mellan dem är 150◦ . Bestäm
(a) ku × vk
(1p)
(b) u · v
(1p)
För full poäng måste svaren ges på enklast möjliga form.
11 Vi har planen Π1 : (x, y, z) = (0, 3, −2) + s(−4, 0, 3) + t(1, −5, −2) och Π2 : 3x −
y + 4z + 11 = 0 (angivna i samma ON-system). Är Π1 och Π2 två olika plan eller
samma plan? Motivera!
(2p)
12 Vi har linjerna
ℓ1 : (x, y, z) = (−2, −1, 3) + t(1, 0, 2)
ℓ2 : (x, y, z) = (7, −6, 2) + t(1, 4, 1)
(angivna i samma ON-system). Bestäm avståndet mellan dem.
(2p)
MAA123 Tentamen
10.11.01
Sida 5 (av 5)
Del 4: TEN2 del B
Om du är godkänd på del 3 så kan den här delen ge dig överbetyg på kursen. Det är
frivilligt att skriva den. Väljer du att inte göra det så får du slutbetyg 3. 5–8 poäng
här ger betyg 4 och 9–12 poäng ger betyg 5 på tentan.
13 En elementär matris är en matris som man fått genom att göra exakt en elementär
radoperation på enhetsmatrisen. Om man multiplicerar en matris med en elementär
matris (från vänster) så blir slutresultatet att man har genomfört radoperationen på
matrisen ifråga.
Alla inverterbara matriser kan skrivas som produkt av elementära matriser (ungefär
som att alla heltal större än ett kan skrivas som produkt av primtal, med skillnaden
att det med matriserna går att göra på flera olika sätt).
Skriv matrisen


3 −9

A = 
2 −8
som produkt av elementära matriser.
(4p)
14 Om man vet vad u · v och u · w är, och dessutom känner v och w, räcker detta för
att ta reda på u? Om ja: hur gör man? Om nej: exakt vad kan man få reda på, och
vad skulle man behöva veta mer för att entydligt bestämma u?
(4p)
15 Anta att z1 , z2 och z3 är tre olika komplexa tal som uppfyller z1 − z2 = i(z3 − z2 ).
Beräkna
z1 − z3 (4p)
z1 − z2 Mälardalens högskola
Akademin för undervisning, kultur och kommunikation
MAA123
Grundläggande vektoralgebra
ÖVN1, ÖVN2, TEN2
11.01.17
08.30–11.30
Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.)
Poäng: Information finns på de respektive delskrivningarna.
Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på 073–763 27 88
Övriga anvisningar: • Skriv läsbart. • Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. • Se till att det framgår vad svaret på frågan är. • Om du inte kan lösa en uppgift
fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng.
OBS!
• Del 1 och 2 är omexamination av kursmomenten ÖVN1 och ÖVN2. Om du
redan är godkänd på något av dessa moment så ska du inte skriva motsvarande
del av tentan.
• Del 3 är omexamination TEN2 del A. Om du är godkänd på TEN2 eller på
ÖVN3 sedan föregående läsår så ska du inte skriva denna del.
• Del 4 är TEN2 del B, den del som kan ge överbetyg. Den är frivillig, men kan
bara skrivas av de som inte redan är godkända på TEN2.
MAA123 Tentamen
11.01.17
Sida 2 (av 6)
Del 1: ÖVN 1
Denna del är är omexamination av ÖVN1 och ska inte skrivas av de som redan är
godkända på ÖVN1.
För godkänt fordras minst 5 poäng.
1 Vi har här två matriser:




−2 1


 6 −8




B = 
A =  0 4


10
7
−3 5
Beräkna, eller förklara varför det är omöjligt:
(a) A + B
(1p)
(b) AB
(1p)
2 Lös nedanstående tre ekvationssystem på ett effektivt sätt:









2x + 5y = 4
2a + 5b = 25
2s + 5t = −18






 x + 2y = 1
 a + 2b = 10
 s + 2t = −7
Se till att det klart och tydligt framgår vad lösningen är!
(För full poäng måste lösningsmetoden vara väl vald.)
(2p)
3 Matrismultiplikation är ett räknesätt som på många sätt påminner om ”vanlig” multiplikation av tal. Många räkneregler och principer är likadana. Men det överensstämmer inte helt och hållet.
(a) Säg något (räkneregel, princip, problemlösningsmetod) som är precis likadant
för vanlig multiplikation och matrismultiplikation.
(1p)
(b) Säg något som inte är precis likadantför vanlig multiplikation och matrismultiplikation.
(1p)
4 (a) Beräkna inversen till nedanstående matris, om det är möjligt:


0 1
5


A = 3 9 −5


1 3 −2
Se till att det framgår vad svaret är!
(1p)
(b) Hur många lösningar har nedanstående ekvationssystem?



y + 5z = 123




3x + 9y − 5z = −456





 x + 3y − 2z = 789
Motivera!
(1p)
MAA123 Tentamen
11.01.17
Sida 3 (av 6)
Del 2: ÖVN2
Denna del är omexamination av ÖVN2 och ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN2.
För godkänt fordras minst 5 poäng.
5 Vad innebär det att en bas är ortonormerad? (Vi vill ha själva definitionen.) (2p)
6 Vi har två 3 × 3-matriser, A och B. det(A) = 5, det(B) = −2. Kan man med denna
information beräkna
(a) det(3A)
(1p)
(b) det(BA)
(1p)
Om ja, vad blir det? Om nej, förklara varför inte.
7 Vi har vektorerna u = (3, 0, 4), v = (1, −3, 2) och w = (−2, 0, 4) (angivna i samma
bas). Är vektorerna linjärt oberoende? Motivera!
(2p)
8 Denna uppgift ska lösas på nästa blad av skrivningen. Bladet ska rivas av och
lämnas in med de övriga lösningspappren.
Kod:
Code
Kurskod:
Bladnr:
Course code
Page nr
Uppgift nr:
Kursnamn:
Task nr
Course title
8 Detta papper ska rivas av och lämnas in tillsammans med de övriga lösningspappren. Glöm inte att fylla i sidhuvudet!
I figuren har vi ritat representanter för vektorerna u1 och u2 . Rita in representanter
för de vektorer som i basen {u1 , u2 } har följande koordinater:
(a) (0, −4)
(2/3p)
(b) (3, 5)
(2/3p)
(c) (−4, −2)
(2/3p)
Se till att det klart framgår vilket svar som hör till vilken fråga! Poängen avrundas
till närmsta heltal.
u1
u2
MAA123 Tentamen
11.01.17
Sida 5 (av 6)
Del 3: TEN2 del A
Denna del är omexamination av TEN2 del A och ska inte skrivas av de som redan är
godkända på TEN2 och inte heller av de som läste kursen förra läsåret och som är
godkända på ÖVN3.
För godkänt fordras minst 5 poäng.
9 Vi har punkten P : (5, −5, 7) , linjen ℓ : (x, y, z) = (−4, 1, 3) + t(3, −2, 1) och planet
Π : x + y + z = 8 (angivna i samma koordinatsystem).
(a) Ligger P på ℓ? Motivera!
(1p)
(b) Ligger P i Π? Motivera!
(1p)
10 Vi har vektorerna u = (1, −3, 5) och v = (−2, 4, −6) (angivna i samma ON-bas).
(a) Ange en vektor som är vinkelrät mot både u och v.
(1p)
(b) Ange någon annan vektor som också är vinkelrät mot både u och v.
(1p)
11 (a) Rita en bild som visar vad som menas med”projektionen av vektorn v på vektorn u”, proju v. Se till att det klart framgår vilken vektor som är vilken! (1p)
Rättningsnorm: Det måste verkligen framgå vilken vektor i bilden som är vilken. Och bilden ska föreställa projektionen på u och inte på v.
(b) Med vilken formel kan man beräkna proju v? (Motivering behövs ej.)
(1p)
12 Ta fram skärningslinjen mellan planen Π1 : −x+2y−8z = 0 och Π2 : −2x+y−10z =
−3 (angivna i samma ON-system). Om det inte finns någon skärningslinje, bestäm
istället avståndet.
(2p)
MAA123 Tentamen
11.01.17
Sida 6 (av 6)
Del 4: TEN2 del B
Denna del kan endast skrivas av de som inte redan har betyg på TEN2.
Om du skriver godkänt på del 3 så kan den här delen ge dig överbetyg på kursen.
Det är frivilligt att skriva den. Väljer du att inte göra det så får du slutbetyg 3.
5–8 poäng här ger betyg 4 och 9–12 poäng ger betyg 5 på tentan.
13 Vi har vektorerna u = (1, 2, −2) och v = (1, 1, 0) (angivna i samma ON-bas).
Bestäm en vektor w som uppfyller följande:
(a) Vinkeln mellan u och w är 60◦ .
(b) Vinkeln mellan v och w är 45◦ .
(c) Normen för w är 2.
(4p)
14 Anledningen till att man använder polär form för komplexa tal är att man får det
trevliga sambandet ”produktens belopp är lika med produkten av beloppen, produktens argument är lika med summan av argumenten”. Bevisa att detta verkligen
stämmer!
(4p)
15 Hitta alla 2 × 2-matriser A som uppfyller
A 2 = M0
där M0 är nollmatrisen. (A2 betyder ”A gånger A”.)
(4p)
Mälardalens högskola
Akademin för undervisning, kultur och kommunikation
MAA123
Grundläggande vektoralgebra
Test 1
2011.04.18
08.30–09.30
Detta test är examination på ÖVN1.
Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.)
Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng.
Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon 073–763 27 88
Övriga anvisningar: • Skriv läsbart. • Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. • Se till att det framgår vad svaret på frågan är. • Om du inte kan lösa en uppgift
fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng.
1.1 Vi har här två matriser:


3 1 4

A = 
1 5 9


2 6 5

B = 
3 5 8
Beräkna, eller förklara varför det är omöjligt:
(a) A + B
(b) AB
(1p)
(1p)
1.2 (a) Lös nedanstående ekvationssystem med Gauss-Jordans metod:



3x − 15y + 9z = 21




−3x + 6y − 9z = −21





−2x + 10y − 6z = −14
Uträkningen ska finnas med, och svaret ska ges på formen ”x = . . ., y = . . .,
z = . . .” eller bestå av ordet ”olösligt”.
(1p)
(b) Visa att din lösning är korrekt. Om systemet saknar lösning, förklara hur du
såg det.
(1p)
1.3 (a) Vad är transponatet till en matris A? Ange beteckning och formell definition.
(1p)
(b) Vad är inversen till en matris A? Ange beteckning och formell definition.
(1p)
1.4 Matrisen X uppfyller


 3 5  = −9 − 15
X 
−2 4
Vad är X?
(2p)
Mälardalens högskola
Akademin för undervisning, kultur och kommunikation
MAA123
Grundläggande vektoralgebra
Test 2
2011.05.09
08.30–09.30
Detta test är examination på ÖVN1.
Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.)
Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng.
Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på 073 763 27 88
Övriga anvisningar: • Skriv läsbart. • Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. • Se till att det framgår vad svaret på frågan är. • Om du inte kan lösa en uppgift
fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng.
2.1 Vi har vektorerna u = (5, −2, 3), v = (2, −4, 2) och w = (4, 8, 0) (angivna i samma bas). Skriv w som linjärkombination av u och v, om det är möjligt. Förklara
annars varför det inte går.
(2p)
2.2 Vi har matrisen


7 6 −4


A = 0 0
5


6 5
7
(a) Beräkna det A.
(1p)
(b) Är A inverterbar? Motivera!
(1p)
2.3 Vi har vektorerna u och v, där kuk = 10 och kvk = 15. Mellan vilka gränser
ligger ku + vk?
(2p)
2.4 Denna uppgift ska lösas på nästa sida av skrivningen. Sidan ska rivas av och
lämnas in med de övriga lösningspappren.
Kod:
Code
Kurskod:
Bladnr:
Course code
Page nr
Uppgift nr:
Kursnamn:
Task nr
Course title
2.4 Denna sida ska rivas av och lämnas in tillsammans med de övriga lösningspappren. Glöm inte att fylla i sidhuvudet!
I figuren har vi ritat representanter för vektorerna u1 och u2 . Rita in representanter för de vektorer som i basen {u1 , u2 } har följande koordinater:
(a) v1 = (4, 3)
(2/3p)
(b) v2 = (−3, −4)
(2/3p)
(c) v3 = (5, −1)
(2/3p)
Se till att det klart framgår vilket svar som hör till vilken fråga! Poängen avrundas
till närmsta heltal.
u1
u2
Mälardalens högskola
Akademin för undervisning, kultur och kommunikation
MAA123
Grundläggande vektoralgebra
Test 3
2011.05.23
08.30–09.30
Detta test är examination på ÖVN3.
Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.)
Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng.
Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på 073 763 27 88
Övriga anvisningar: • Skriv läsbart. • Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. • Se till att det framgår vad svaret på frågan är. • Om du inte kan lösa en uppgift
fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng.
3.1 Vi har linjerna `1 : (x, y, z) = (−4, 2, −3) + t(3, 0, −2) och `2 : (x, y, z) =
(2, 2, −7)+t(−3, 0, 2) (i samma koordinatsystem). Är dessa linjer olika eller samma? Motivera!
(2p)
3.2 En triangel har hörn i punkterna P : (3, −4, 0), Q : (3, −2, −5) och R : (4, −4, 7).
Bestäm triangelns area. (ON-system)
(2p)
3.3 Skalärprodukt är ett räknesätt som har stora likehter med ”vanlig” multiplikation.
Men det är inte precis likadant.
(a) Säg något (räkneregel, princip, problemlösningsmetod) som fungerar precis
likadant för skalärprodukt och vanlig multiplikation.
(1p)
(b) Säg något som inte fungerar likadant för skalärprodukt och vanlig multiplikation.
(1p)
3.4 Vi har planen Π1 : −x + 2y − 2z = 0 och Π2 : x − 2y + 2z = 18. Om planen
skär varandra, bestäm vinkeln mellan dem. Bestäm i annat fall avståndet. (ONsystem)
(2p)
Mälardalens högskola
Akademin för undervisning, kultur och kommunikation
MAA123
Grundläggande vektoralgebra
Tentamen
11.06.09
08.30–11.30
Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.)
Poäng: Information finns på de respektive delskrivningarna.
Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på 073–763 27 88
Övriga anvisningar: • Skriv läsbart. • Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. • Se till att det framgår vad svaret på frågan är. • Om du inte kan lösa en uppgift
fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng.
OBS!
• Del 1 och 2 är omexamination av kursmomenten ÖVN1 och ÖVN2. Om du
redan är godkänd på något av dessa moment så ska du inte skriva motsvarande
del av tentan.
• Del 3 är omexamination TEN2 del A, som gavs 25 maj. Om du fick minst
5 poäng då eller är godkänd på ÖVN3 sedan föregående läsår så ska du inte
skriva denna del.
• Del 4 är TEN2 del B, den del som kan ge överbetyg. Den är frivillig.
MAA123 Tentamen
11.06.09
Sida 2 (av 5)
Del 1: ÖVN 1
Denna del är är omexamination av ÖVN1 och ska inte skrivas av de som redan är
godkända på ÖVN1.
För godkänt fordras minst 5 poäng.
1 (a) Beräkna inversen till nedanstående matris (förutsatt att det är möjligt):


0 1
0


A = 1 0 −4


2 3 −7
Se till att det klart och tydligt framgår vad svaret är!
(1p)
(b) Visa att den beräknade inversen är korrekt eller förklara hur du såg att det inte
finns någon.
(1p)
2 Matrisen X uppfyller


−1 0
 
X  3 1 = 1 2


0 2
Vad är X?
(2p)
3 (a) Lös nedanstående ekvationssystem med Gauss-Jordans metod:



x − 7y + 2z + 3w = −4




−2x + 11y + 5z − 12w = 8





 x − 5y − 4z + 7w = 0
Uträkningen ska finnas med, och svaret ska ges på formen ”x = . . ., y = . . .,
z = . . ., w = . . .” eller bestå av ordet ”olösligt”.
(1p)
(b) Visa att din lösning är korrekt. Om systemet saknar lösning, förklara hur du
såg det.
(1p)
4 Vi har en m × n-matris A och en p × q-matrix B.
(a) Vad krävs av talen m, n, p och q för att A + B ska gå att beräkna, och vilken
storlek får A + B?
(1p)
(b) Vad krävs av talen m, n, p och q för att AB ska gå att beräkna, och vilken
storlek får AB?
(1p)
MAA123 Tentamen
11.06.09
Sida 3 (av 5)
Del 2: ÖVN2
Denna del är omexamination av ÖVN2 och ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN2.
För godkänt fordras minst 5 poäng.
5 Vi har vektorerna u = (4, −2, 5), v = (2, −2, 6) och w = (−3, 1, −2) (angivna i
samma bas). Är vektorerna linjärt oberoende? Motivera!
(2p)
6 A är en 3 × 3-matris. det A = 4. Ange
(a) det(−2A)
(2/3p)
det(A−1 )
(2/3p)
(b)
(c) det(AT )
(2/3p)
(Poängsumman avrundas till närmsta heltal.)
7 Nedanstående bild innehåller representanter för vektorerna u och v. Rita av den på
ditt skrivpapper.
u
v
Illustrera hur man tar fram en representant för
(a) u + v
(1p)
(b) u − v
(1p)
OBS! Lösningen ska vara grafisk. Det ska alltså inte finnas med någon beräkning,
utan det ska framgå hur man med enbart penna och linjal tar fram en bild av svaret.
Se också till att det framgår vad som är svaret!
8 (a) Vad fordras för att en grupp vektorer ska gå att använda som en bas för
rummet?
(1p)
(b) Vad använder man en bas till?
(1p)
MAA123 Tentamen
11.06.09
Sida 4 (av 5)
Del 3: TEN2 del A
Denna del är omexamination av TEN2 del A och ska inte skrivas av de som fick minst
5 p på skrivningen 23 maj, och inte heller av de som läst kursen tidigare och som är
godkända på ÖVN3 eller TEN2.
För godkänt fordras minst 5 poäng.
9 kuk = 10, kvk = 2 och vinkeln mellan vektorerna är 135◦ . Bestäm
(a) u · v
(1p)
(b) ku × vk
(1p)
10 Planet Π kan på parameterform skrivas Π : (x, y, z) = (−5, 2, 4) + s(−1, 3, 0) +
t(2, 5, −1). Skriv Π på ekvationsform (utan parameterar). Du kan utgå från ONsystem.
(2p)
11 Två av de fyra nedan givna uttrycken är felaktiga. Tala om vilka två och vad det är
för fel på dem.
u·v
(i) (u · v) · w
(ii) (u × v) · w
(iii) kau + bvk
(iv)
v
Se till att det framgår vilket uttryck som hör ihop med vilken förklaring.
(2p)
12 Skär linjerna ℓ1 : (x, y, z) = (−5, −1, 7) + t(3, −1, −2) och ℓ2 : (x, y, z) =
(−6, −8, 7) + t(−4, 2, 3) varandra, och i så fall vardå?
(2p)
MAA123 Tentamen
11.06.09
Sida 5 (av 5)
Del 4: TEN2 del B
Om du är godkänd på del 3 så kan den här delen ge dig överbetyg på kursen. Det är
frivilligt att skriva den. Väljer du att inte göra det så får du slutbetyg 3. 5–8 poäng
här ger betyg 4 och 9–12 poäng ger betyg 5 på TEN2. (Om du redan har betyg på
TEN2 så kan du inte skriva den här delen.)
13 Lös nedanstående matrisekvation,



 17 −26 4
1



−1 
X  8 −12 2 X = 0



−4
7 1
0
eller förklara varför den är olösbar:

0 0

2 0

0 3
(4p)
14 (a) Beskriv någon metod för att bestämma avståndet mellan en punkt och ett plan.
Beskrivningen ska vara så tydlig att en kurskamrat som inte läst just det avsnittet (men har läst allt annat i kursen) skulle kunna lösa ett problem med hjälp
av din beskrivning. Det ska också framgå varför metoden ger rätt svar. (3p)
(b) Beskriv någon annan metod att lösa samma problem. Här räcker det att beskrivningen är så pass tydlig att en lärare kan förstå vad du menar.
(1p)
15 De komplexa talen 0, z och w är hörnpunkter på en triangel i det komplexa talplanet. Visa att denna triangel är liksidig om och endast om |z|2 = |w|2 = 2 Re(zw).
(4p)