MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA121 Matematisk grundkurs TEN2 Datum: 27 augusti 2010 Skrivtid: 3 timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN2 består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 3 poäng. För betyget godkänd krävs en erhållen poängsumma om minst 13 poäng. Om den erhållna poängen benämns S2 , och den vid tentamen TEN1 erhållna S1 , bestäms graden av sammanfattningsbetyg på en slutförd kurs av villkoren S1 , S2 ≥ 13 och S1 + 2S2 ≤ 64 → godkänd (g) S1 + 2S2 ≥ 65 → väl godkänd (vg) Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i. 1. 2. Man kan relativt enkelt visa att de i x, y-planet begränsade områden som precis innesluts av de två kurvorna y = cos(x) och y = sin(x) alla har lika stor area. Åskådliggör i en figur ett av dessa inneslutna områden, och beräkna dess area. √ √ 3 a5 b 2 c 4 a7 b 3 c √ √ Förenkla uttrycket så mycket som möjligt. Det antages att a, b, c > 0. a2 b c3 5 ab2 c3 3. Skissa funktionskurvorna y = ln(x) och y − 2 = ln(x + 3). Tydliggör i skissen på enklaste vis det som karakteriserar kurvorna. 4. Lös ekvationen 1 + cos(x) + 2 sin2 (x) = 0 . 5. Förklara och ange definitionsmängden för funktionen f definierad enligt r x−1 f (x) = . 2 x −x−6 6. Lös ekvationen 7. √ Bestäm till kurvan γ : y = x ekvationen för den tangent τ som är parallell med den räta linjen λ : x − 4y + 12 = 0. Skissa även kurvan, tangenten, och den räta linjen. 8. Vad är det exakta värdet av sin(14φ) om sin(7φ) = − √13 och 9. Gör en geometrisk tolkning av ekvationen 1 + 3x + y + x2 = 0, och skissa resultatet. √ 2 log (2 log (5 log(x))) = 2. 3π 14 <φ< 2π 7 ? MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation TENTAMEN I MATEMATIK MMA121 Matematisk grundkurs Avdelningen för tillämpad matematik BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Examinator: Lars-Göran Larsson Läsår: 2009/10 1. TEN2 Tentamen TEN2 – 2010-08-27 POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter 2 2 a.e. 1p: Korrekt skiss av det inneslutna området, och (algebraiskt) korrekt bestämd skärning mellan de två kurvorna 1p: Korrekt uppställd integral, samt korrekt primitiv 1p: Korrekt angiven area Den som har uppfattat det som att uppgiften är att beräkna arean av det begränsade område som precis avgränsas av yaxeln och de två kurvorna i intervallet [0, π 4] , kan få upp till totalt 2p, allt beroende på hur föresatsen har genomförts. Den som har uppfattat det som att uppgiften är att beräkna arean av det begränsade område som precis avgränsas av xaxeln i intervallet [0, π 2] , kurvan γ 1 i intervallet [0, π 4] , och kurvan γ 2 i intervallet [ π 4, π 2] , kan få upp till totalt 1p, allt beroende på hur föresatsen har genomförts. 2. a89 30b19 15c − 53 30 = 30 a89b38 c53 1p: Korrekta tolkningar och utvecklingar enligt 3 a 5b 2c 4 = (a 5b 2c 4 )1 / 3 = a 5 3b 2 3c 4 3 b = b1 / 2 , a 7 b 3 c = ( a 7 b 3 c)1 / 2 = a 7 2 b 3 2 c 1 2 , 5 ab 2 c 3 = (ab 2 c 3 )1 / 5 = a 1 5 b 2 5 c 3 5 1p: Korrekta ihopsamlingar av exponenterna för respektive bas, dvs a 5 3 − 2 + 7 2 −1 5b 2 3−1 2 + 3 2 − 2 5c 4 3− 3 +1 2 − 3 5 1p: Korrekt slututtryck 1p: Korrekt skiss av kurvan y = ln(x) , dvs rätt kurvform och avpassad efter asymptoten x = 0 och skärningspunkten (1, 0) . Om skärningspunkten (e ,1) är medtagen är detta ett plus 2p: Korrekt skiss av kurvan y − 2 = ln( x + 3) , dvs rätt kurvform och avpassad efter asymptoten x = −3 , och skärningspunkten (−3 + 1, 2 + 0) = (−2 , 2) . Om skärningspunkten (−3 + e , 2 + 1) är medtagen är detta ett plus. 3. 4. x = π + n 2π , där n ∈ Z 1p: Korrekt faktorisering av ekvationens vänsterled 1p: Korrekt not att faktorn 2 cos( x) − 3 inte kan vara lika med noll för reella x (ty − 1 ≤ cos( x) ≤ 1 för alla reella x ) 1p: Korrekt angivna lösningar till nettovillkoret cos( x) = −1 5. D f = (−2 ,1] ∪ (3 , ∞) 1p: Korrekt angivet villkor för kvoten under rottecknet, samt korrekt gjord faktorisering av nämnaren 2p: Korrekt utfört teckenstudium, och utifrån detta, en korrekt angiven definitionsmängd 1 (2) MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation TENTAMEN I MATEMATIK MMA121 Matematisk grundkurs Avdelningen för tillämpad matematik BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Examinator: Lars-Göran Larsson Läsår: 2009/10 6. TEN2 Tentamen TEN2 – 2010-03-24 POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter x = 625 1p: Korrekt omformulering av ekvationen till formen 2 log( 5 log( x)) = ( 2 ) 2 = 2 1p: Korrekt omformulering av ekvationen till formen 5 log( x) = 2 2 = 4 1p: Korrekt omformulering av ekvationen till formen x = 5 4 = 625 Den som korrekt har löst uppgiften och kommit fram till svaret x = 5 4 , men sedan felaktigt utvecklat 5 4 till något annat än, men snarlikt 625 , får ändå alla de tre poängen. 1p: Korrekt funnen tangeringspunkt P0 för τ 1p: Korrekt formulerad ekvation för tangentlinjen τ till γ i P0 1p: Korrekt skiss av kurvan, tangentlinjen, och linjen λ 7. Tangentens τ:s ekvation : y = 14 x + 1 8. − 9. y − 54 = −( x + 32 ) 2 , dvs en med y-axeln Scenario 1 parallell och upp-och-nedåtvänd parabel 1p: Korrekt omskrivning av ekvationen till tolkningsbar form med vertex i punkten (− 32 , 54 ) 1p: Korrekt tolkning att vertex ligger i punkten i (− 32 , 54 ) 1p: Korrekt tolkning att det är en med y-axeln parallell och upp-och-nedåtvänd parabel, samt en korrekt skiss 2 2 3 1p: Korrekt absolutbelopp för cos(7φ ) 1p: Korrekt tecken för cos(7φ ) 1p: Korrekt bestämning av värdet på sin(14φ ) utifrån omskrivningen sin(14φ ) = 2 sin(7φ ) cos(7φ ) Scenario 2 1p: Korrekt tolkning av ekvationen som en för en parabel, samt korrekt funnen x-koordinat för vertex 1p: Korrekt funnen y-koordinat för vertex 1p: Korrekt tolkning att det är en med y-axeln parallell och upp-och-nedåtvänd parabel, samt en korrekt skiss 2 (2)