1. Bestäm det komplexa tal z som löser ekvationen 2 + i 2

MÄLARDALENS HÖGSKOLA
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Avdelningen för tillämpad matematik
Examinator: Lars-Göran Larsson
TENTAMEN I MATEMATIK
MMA121 Matematisk grundkurs
TEN2
Datum: 2015-03-25
Skrivtid: 3 timmar
Hjälpmedel: Skrivdon
Denna tentamen TEN2 består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 3
poäng. För betyget godkänd krävs en erhållen poängsumma om minst 13 poäng. Om den erhållna poängen benämns S2 , och
den vid tentamen TEN1 erhållna S1 , bestäms graden av sammanfattningsbetyg på en slutförd kurs enligt
S1 , S2 ≥ 13
och
S1 + 2S2 ≤ 60
→
godkänd (g)
S1 + 2S2 ≥ 61
→
väl godkänd (vg)
Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade
i den ordning som uppgifterna är givna i.
1.
Bestäm det komplexa tal z som löser ekvationen
2+i
= 1 + i,
2 − z̄
där z̄ är komplexkonjugatet till z.
2.
I xy-planet är Ω det begränsade område som precis innesluts av kurvorna
γ1 : y = 2 − x
och
γ2 : y = 4 − x2 .
Skissa och bestäm arean av området Ω.
q
3.
Bestäm sin(2x + π6 ) då cos(x) =
4.
Låt funktionen f vara definierad enligt f (x) =
F , med F (x) =
1
3
och sin(x) =
q
2
3
.
2
. Bestäm talen a och b så att
(x + 3)2
ax + b
, är den primitiva funktion till f vilken satisfierar F (−2) = 0.
x+3
5.
Skissa minst en period av funktionskurvan y + 1 = sin(3x/5). Tydliggör i skissen det
som karakteriserar kurvan.
6.
Gör en geometrisk tolkning av ekvationen 4(x + x2 + y) = 5, och skissa resultatet.
7.
cos( π3 ) + i sin( π3 )
Skriv det komplexa talet
på polär form.
cos( π6 ) + i sin( π6 )
8.
Bestäm en ekvation för den räta linje λ som går genom
punkten P : (1, 0), och som
√
är parallell med tangenten τ till kurvan γ : y = 2/ x i punkten med x-koordinaten
4. Gör även en skiss av kurvan tillsammans med tangenten och den räta linjen.
9.
Lös ekvationen cos(3x − π4 ) = − √12 .
MÄLARDALENS HÖGSKOLA
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Avdelningen för tillämpad matematik
Examinator: Lars-Göran Larsson
TENTAMEN I MATEMATIK
MMA121 Matematisk grundkurs
TEN2
BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN
Läsår: 2014/15
Tentamen TEN2 – 2015-03-25
POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter
1.
z  12  12 i
1p: Korrekt löst ut z som 2  (2  i) (1  i)
1p: Korrekt rett ut divisionen med ett komplext tal
1p: Korrekt tolkat komplexkonjugatet z som x  iy utifrån
att z  x  iy , där x, y  R
2.
9
a.e.
2
1p: Korrekt bestämt skärningen av de två inneslutande
kurvorna, och korrekt skissat det inneslutna området
1p: Korrekt formulerat en integral för den sökta arean, samt
korrekt bestämt en primitiv till integranden
1p: Korrekt gjort insättningar av gränser, och korrekt utfört
en avslutande summering
3.
4.
1p: Korrekt utvecklat sin(2 x  6 ) som
sin(2 x) cos( 6 )  cos(2 x) sin( 6 )
1p: Korrekt utvecklat sin(2 x) och cos(2 x) uttryckta i sin(x)
och cos(x)
1p: Angett korrekta värden på cos( 6 ) och sin( 6 ) , samt
korrekt evaluerat värdet på hela uttrycket för sin(2 x  6 )
2 1

3 6
a  2

b  4
x2
dvs F ( x)  2
x3
Scenario 1
1p: Korrekt deriverat F
1p: Korrekt från identiteten f  F ' identifierat att 3a  b  2 ,
samt från från villkoret F (2)  0 funnit att  2a  b  0
1p: Korrekt bestämt a och b från det uppkomna ekvationssystemet
Scenario 2
1p: Korrekt primitivtagit f (x) till F ( x)   2 ( x  3)  C
1p: Korrekt från villkoret F (2)  0 funnit att C  2
1p: Korrekt bestämt a och b
5.
1p: Korrekt illustrerat fasen (sin-kurveform)
1p: Korrekt illustrerat ”medelnivån” ( 1) och
amplituden ( 1)
1p: Korrekt illustrerat vinkelfrekvensen ( 3 5) , dvs korrekt
illustrerat perioden ( 10 3)
1 (2)
MÄLARDALENS HÖGSKOLA
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Avdelningen för tillämpad matematik
Examinator: Lars-Göran Larsson
Tentamen TEN2 – 2015-03-25
6.
TENTAMEN I MATEMATIK
MMA121 Matematisk grundkurs
TEN2
BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN
Läsår: 2014/15
POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter
Scenario 1
y  32  ( x  12 ) 2 , dvs en med y-axeln
parallell och upp-och-nedåtvänd parabel 1p: Korrekt omskrivit ekvationen till en tolkningsbar form
1p: Korrekt tolkat att det är en med y-axeln parallell och uppmed vertex i punkten V : ( 12 , 32 )
och-nedåtvänd parabel med vertex i punkten i V : ( 12 , 32 )
1p: Korrekt skissat parabeln
Scenario 2
1p: Korrekt tolkat ekvationen som en med y-axeln parallell
parabel, samt korrekt funnit x-koordinaten för vertex
1p: Korrekt tolkat att parabeln är upp-och-nedåtvänd, samt
funnit y-koordinaten för vertex
1p: Korrekt skissat parabeln
7.
cos( 6 )  i sin( 6 )  e i 6
1p: Korrekt bestämt absolutbeloppet av det komplexa talet
1p: Korrekt bestämt argumentet för det komplexa talet
1p: Korrekt, på polär form, skrivit det komplexa talet
8.
 : y   18 ( x  1)  x  8 y  1
1p: Korrekt bestämt riktningskoefficienten för tangenten
1p: Korrekt bestämt en ekvation för linjen 
1p: Korrekt skissat kurvan  tillsammans med tangenten 
och den räta linjen 
9.
( x  3  n 23 )  ( x  2  n 23 )
där n Z
1p: Korrekt funnit att  12 kan uttryckas som t.ex. cos( 34 )
1p: Korrekt funnit alla rötter av typen x  3  n 23
1p: Korrekt funnit alla rötter av typen x  2  n 23
Den som till lösningar endast har angivit ”representativa grundvinklar”,
t.ex. ( x  3 )  ( x  2 ) , kan som mest få totalt 2p.
2 (2)