MAA102 och MMA102 Basutbildning II i matematik
Datum: 16 april 2010 Skrivtid: 3 timmar
Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Avdelningen för tillämpad matematik
Examinator: Jan Eriksson
LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK
Denna tentamen består av två delar. Först sex om varannat SLUMPMÄSSIGT ORDNADE enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra
delen består av tre uppgifter, som ger maximalt 4 poäng per uppgift. Den maximala poängsumman på skrivningen är således 24. För betyget G
krävs minst 13 poäng. För betyget VG minst 17 poäng. Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar.
1.
Lös följande ekvation fullständigt i grader. sin( x) =
LÖSNING:
2.
sin( x) =
3
2
(2p)
60° + n360°
60° + n360°
3
⇔x=
⇔ x=
2
180° − 60° + n360°
120° + n360°
Lös följande ekvation fullständigt i radianer. cos( x −
π
6
)=−
1
2
(2p)
2π + π + n 2π
1
π
3
6
π
2
+ n 2π ⇔ x =
cos( x − ) = − ⇔ x − = ±
3
6
2
6
− 2π 6 + π 6 + n 2π
LÖSNING:
5π + n 2π
6
⇔x=
− π 2 + n 2π
–––––– BLOCK 2 –––––– den
π
3.
Lös ekvationen f ′( x ) = 0 om f ( x) =
f ( x) =
LÖSNING: =
x2 − x + 2
x +1
(2p)
x2 − x + 2
(2 x − 1)( x + 1) − 1( x 2 − x + 2)
⇒ f ′( x) = [kvotregel ] =
x +1
( x + 1) 2
2x 2 + x − 1 − x 2 + x − 2 x 2 + 2x − 3
( x + 1) 2 − 4 ( x + 3)( x − 1)
=
=
[
kv
.
kompl
.]
=
=
⇒
( x + 1) 2
( x + 1) 2
( x + 1) 2
( x + 1) 2
x = −3
f ′( x) = 0 ⇔ ( x + 3)( x − 1) = 0 ⇔
x = 1
4.
2
Derivera y = e x ⋅ ln( x 2 )
(2p)
2
y = e x ⋅ ln( x 2 ) ⇒ y ′ = [ produktregel + kedjeregel ] = 2 xe x
LÖSNING:
= 2 xe
5.
x2
2
x2 2 x
⋅ ln( x ) + e
⋅
=
x2
1
2
(ln( x ) +
)
x2
Bestäm den primitiva funktion F (x ) till f ( x) =
F ( 2) = 0 .
2
3x 2
π
+ sin( ⋅ x) som uppfyller villkoret
2
π
(2p)
3x 2
x3
2
π
+ sin( ⋅ x) ⇒ F ( x) =
− cos( ⋅ x) + C ⇒ F ( 2) = 0 ⇔
2
2
π
π π
8 2
8 2
10
10
⇔ − cos(π ) + C = 0 ⇔ − ⋅ ( −1) + C = 0 ⇔
+C =0 ⇔ C = − ⇒
f ( x) =
LÖSNING:
π
π
π
⇒ F ( x) =
π
x
3
π
−
π
π
π
π
10
cos( ⋅ x) −
π
2
π
2
e
Beräkna exakt integralen ∫ (1 − 1 ) dx
x
6.
(2p)
1
e
e
LÖSNING: ∫ (1 − 1 ) dx = [x − ln x ]1 = e − ln(e) − (1 − ln(1)) = e − 1 − 1 + 0 = e − 2
x
1
DEL 2:
7.
Parabeln y = − x 2 + 9 bildar tillsammans med x-axeln och y-axeln ett område i första kvadranten, dvs.
för x > 0 och y > 0 . I detta område inritas en rektangel med sidorna parallella med axlarna och med
ett hörn i origo och ett hörn på parabeln. Rita en tydlig figur och bestäm sedan koordinaterna för
hörnet på parabeln då rektangelns area är som störst.
(4p)
LÖSNING: Området med den inritade rektangeln ser ut så här.
Antag att hörnet på parabeln har koordinaterna (x, f(x)) = (x, − x2+9). Detta gör att arean, A =x(-x2+9) =
3
= -x +9x
⇒ A′( x) = −3x 2 + 9 = −3( x 2 − 3) = −3( x 2 −
( 3 ) ) = −3( x +
2
3 )( x − 3 ) ⇒ A′( x) = 0 ⇔
.
⇔ −3( x + 3 )( x − 3 ) = 0 ⇔ x = 3 OBS x ≥ 0
Ger då extrempunkten x = 3 ett maximum för arean? Andraderivatatest ger
( )
3
A′′( x) = −6 x ⇒ A′′( 3) = −6 3 < 0 ⇒ Amax = A( 3 ) = − 3 + 9 ⋅ 3 = 3 (−3 + 9) = 6 3 vilket i och för
sig kan vara intressant även om det inte efterfrågas i det här problemet. Det vi skulle bestämma var ju
( )
2
koordinaterna för hörnet på parabeln och det är då Svar: ( 3 ,− 3 + 9) = ( 3 ,−3 + 9) = ( 3 , 6)
2(4)
8.
Kurvan y = x 2 − 4 och linjen y = x − 2 innesluter helt ett område. Rita en figur som tydligt visar
(4p)
området och beräkna sedan områdets area.
LÖSNING: Kurvorna och området ser ut så här:
Skärningspunkter: Ekvationen ”y = y” ger
x 2 − 4 = x − 2 ⇔ x 2 − x − 2 = 0 ⇔ x1, 2 =
x = 2
1
1 8 1
9 1 3
±
+ = ±
= ± ⇔
2
4 4 2
4 2 2
x = −1
Linjen ligger över
kurvan i intervallet (-1, 2) vilket ger
2
x3 x2
8
1 1
A = ∫ ( x − 2 − ( x − 4)) dx = ∫ ( − x + x + 2) dx = −
+
+ 2 x = − + 2 + 4 − + − 2 =
2
3
3 2
3
−1
−1
−1
8
1 1
9
1
1
1
1
= − + 6 − − + 2 = − + 8 − = −3 + 8 − = 5 − = 4
3
3 2
3
2
2
2
2
2
2
2
Svar: Arean är 4
9.
2
1 9
= = 4.5a.e.
2 2
Den största nivåskillnad som uppnås mellan låg- och högvatten på grund av tidvatten är 15,5 meter (i
Bay of Fundy, vid gränsen mellan USA och Kanada). Antag att vattendjupet y meter på en annan
plats vid en viss tidpunkt på året approximativt kan beskrivas med formeln:
π (t + 2 )
(4p)
y = 3,5 + 7,0 ⋅ sin
, där t är tiden i timmar efter midnatt.
6
a)
Ange största och minsta vattendjup på platsen.
b) Vid vilka tidpunkter är förändringshastigheten av vattendjupet som störst? (ökningstakt och
minskningstakt)
3(4)
LÖSNING:
a) Det största vattendjupet på platsen är 10.5 meter och det lägsta är 0 meter. Vi ser i grafen att y ≤ 0
mellan klockan 05 och klockan 09 samt mellan klockan 17 och klockan 21. Detta innebär att kustlinjen
ligger längre ut till havs.
b) Förändringshastigheten för en trigonometrisk funktion finner man då funktionskurvan skär
symmetrilinjen, dvs. vid de tider som är lösningarna till ekvationen
π (t + 2) 0 + n 2π
π (t + 2)
π (t + 2)
π (t + 2)
3,5 = 3,5 + 7,0 ⋅ sin
=
⇔
⇔ 0 = 7.0 ⋅ sin
⇔ sin
=0⇔
6
6
6
6
π + 2nπ
2π ⋅ 6
0 + n π
− 2 + n ⋅ 12
⇔t+2=
⇔t=
4 + n ⋅ 12
6 ⋅ π + n 2π ⋅ 6
π
π
Detta innebär att Svar: kl. 04, 10, 16 och kl. 22 är nivåförändringen som snabbast. Något som också lätt kan
observeras i grafen.
4(4)
