MÄLARDALENS HÖGSKOLA
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Avdelningen för tillämpad matematik
Examinator: Örjan Dillner
TENTAMEN I MATEMATIK
MMA121 Matematisk grundkurs
TEN2
Datum: 11 januari 2013
Skrivtid: 3 timmar
Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel
Denna tentamen TEN2 består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 3
poäng. För betyget godkänd krävs en erhållen poängsumma om minst 13 poäng. Om den erhållna poängen benämns S2 , och
den vid tentamen TEN1 erhållna S1 , bestäms graden av sammanfattningsbetyg på en slutförd kurs enligt
S1 , S2 ≥ 13
och
S1 + 2S2 ≤ 64
→
godkänd (g)
S1 + 2S2 ≥ 65
→
väl godkänd (vg)
Betyget VG tilldelas dock även den som vid sitt ordinarie kurstillfälle och vid sina motsvarande ordinarie tentamina uppfyller
villkoren att S1 + 2S2 ≥ 61 och att alla inlämningsuppgifter har blivit godkända innan den sista lektionen har gått till ända.
Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade
i den ordning som uppgifterna är givna i.
OBS! UPPGIFTERNA ÄR EJ ORDNADE EFTER SVÅRIGHETSGRAD.
q
2
3
och
3π
2
< x < 2π.
1.
Beräkna funktionsvärdet sin(2x) då cos(x) =
2.
Förklara vad ekvationen x(x + 10) + 40 = y(16 − y) beskriver, och skissa grafen.
3.
Vilket är det minsta värde som funktionen f definierad enligt
f (x) = 5 sin(3x −
π
)+8
3
kan anta, och hur många gånger uppnår funktionen detta värde då 0 < x < 2π. Skissa
även grafen.
4.
Ange och förklara definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt
1
.
f (x) = √
1 − ex
5.
Åskådliggör i en figur det begränsade område som innesluts av kurvorna y = 2x2 och
y = x2 + 4. Beräkna sedan arean av området.
6.
För vilket x-värde har kurvorna y = e2x och y = 1 − 2e1−x parallella tangenter.
7.
Lös ekvationen ln(x − 6) + ln(4x) = 3 ln(4) .
8.
Lös ekvationen 6·3x = 3−x − 1 .
9.
Vilka reella x satisfierar ekvationen cos(2x) − 2 sin2 (x) = 1 + 6 cos(x) ?
MÄLARDALENS HÖGSKOLA
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
TENTAMEN I MATEMATIK
MMA121 Matematisk grundkurs
Avdelningen för tillämpad matematik
BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN
Examinator: Örjan Dillner
Läsår: 2012/13
Tentamen TEN2 – 2013-01-11
2 2
3
1.
2.
( x 5) 2 ( y 8) 2 7 2 ,
dvs en cirkel med medelpunkten i
(5 , 8) och radien 7
TEN2
POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter
1p: Korrekt bestämt absolutbeloppet av sin(x)
1p: Korrekt bestämt tecknet för sin(x)
1p: Korrekt beräknat funktionsvärdet sin(2 x) utifrån
formeln sin(2 x) 2 sin( x) cos( x)
1p: Korrekt omskrivit ekvationen till en tolkningsbar form
1p: Korrekt deltolkning: En cirkel med radien 7
1p: Korrekt deltolkning: Medelpunkten i (5 , 8) , samt skiss
Den som oavsett tolkningsbar ekvationsform felaktigt har
tolkat det som i princip är lika med radien i kvadrat som lika
med radien får 0 av delpoäng nr 2.
Den som i omskrivningen av ekvationen felaktigt har fått
hyperbeln ( x 5) 2 ( y 8) 2 7 2 och/eller den räta linjen
( x 5) ( y 8) 7 får totalt 0p på hela sin lösning, detta i
synnerhet om någon eller bägge av ekvationerna (grovt
felaktigt) har tolkats som ekvationen för en cirkel med
medelpunkten (5 , 8) och radien 7 .
3.
f min 3
Funktionsvärdet f min uppnås 3 ggr
i intervallet 0 x 2
1p: Korrekt skissat funktionskurvan och korrekt förklarat
varför det minsta värdet är lika med 3
-------------------- Scenario 1 för övriga två poäng -------------------------------
1p: Korrekt bestämt funktionens period till 2 3
1p: Korrekt utifrån funktionens period och funktionens värde
i punkten 0 bestämt antalet minimipunkter i intervallet
0 x 2
-------------------- Scenario 2 för övriga två poäng -------------------------------
1p: Korrekt löst den ekvation sin(3x 3 ) 1 som ger
minimipunkterna till funktionen
1p: Korrekt bestämt hur många av minimipunkterna som
ligger i intervallet 0 x 2
4.
D f ( , 0)
V f (1, )
1p: Korrekt angivit och förklarat definitionsmängden
2p: Korrekt angivit och förklarat värdemängden
Den som har angivit korrekta mängder, men som inte har inkluderat
någon förklaring, får totalt 0p.
1 (2)
5.
32
a.e.
3
1p: Korrekt bestämt skärningen av de två inneslutande
kurvorna, och korrekt skissat det inneslutna området
1p: Korrekt formulerat en integral för den sökta arean, samt
korrekt bestämt en primitiv till integranden
1p: Korrekt gjort insättning av gränserna, och korrekt utfört
en avslutande summering
6.
x
1p: Korrekt till formen ställt upp den ekvation som beskriver
att tangenterna för de två kurvorna är parallella
1p: Korrekt bestämt derivatorna till kurvfunktionerna
1p: Korrekt löst den uppkomna ekvationen
7.
x8
1p: Korrekt omformulerat ekvationen till att lyda
ln[( x 6)(4 x)] 3 ln(4) x 6
1p: Korrekt omformulerat ekvationen till att lyda
( x 6) 4 x 4 3 64 x 6
1p: Korrekt angivit ekvationens lösning
8.
x 1
1p: Korrekt omskrivit ekvationen som en andragradsekvation
i variabeln 3 x , samt korrekt faktoriserat polynomet ifråga
i variabeln 3 x
1p: Korrekt förklarat varför faktorn (2 3 x 1) inte kan vara
lika med noll
1p: Korrekt angivit den lösning som svarar mot den faktor
som kan vara lika med noll
1
3
Den som genom prövning har hittat den ena och/eller den andra
lösningen, utan att utreda ekvationens lösningsmängd, får totalt 0p.
9.
( x 23 n 2 ) ( x 23 n 2 ) ,
där n Z
1p: Korrekt omformulerat ekvationen till formen
0 4(cos( x) 12 )(cos( x) 2)
1p: Korrekt förklarat varför faktorn (cos( x) 2) inte kan vara
lika med noll
1p: Korrekt identifierat ( x 23 n2 ) ( x 23 n2 )
som lösningen till ekvationen
Den som till lösningar endast har angivit ”representativa grundvinklar”,
t.ex. ( x 23 ) ( x 23 ) , dvs som inte har tagit med n 2 , kan få
som mest 2p
2 (2)
