1
Matematiska Institutionen
KTH
Lösningar till några övningar inför lappskrivning nummer 3A på kursen Diskret matematik för D2 och F, SF1631 och SF1630, vt08.
1. Bestäm den största gemensamma delaren och den minsta gemensamma multipeln till de
bägge talen 732 och 568.
Lösning:
732
568
164
76
12
=
=
=
=
=
568
+ 164
3 · 164 + 76
2 · 76
+ 12
6 · 12
+
4
3·4
+
0
Den sista ickeförsvinnande resten i Euklides algoritm är den största gemensamma delaren.
Ur sambandet
a·b
mgm(a, b) =
sgd(a, b)
får vi nu resten av svaret.
Svar: sgd(732, 568) = 4 och mgm(732, 568) = 103944.
2. Bestäm en lösning till den diofantiska ekvationen 732x + 568y = 24.
Lösning: Bestämmer först en lösning till den diofantisak ekvationen 732x + 568y = 12.
Använder räkningarna ovan.
12 = 164−2·76 = 164−2·(568−3·164) = 7·164−2·568 = 7·(732−568)−2·568 = 7·732−9·568.
Alltså
12 = 7 · 732 − 9 · 568,
och därmed
24 = 14 · 732 − 18 · 568.
Svar: T ex x = 14 och y = −18.
3. Undersök om talet 197 är ett primtal.
√
Lösning: Om 197 ej primtal så finns ett primtal p < 197 som delar 197, se läroboken, eller
använd följande resonemang. Om 197 ej är ett primtal så finns primtal p1 , p2 , ..., pk , k ≥ 2,
sådana att
197 = p1 · p2 · ... · pk
där vi kan förutsätta att
p1 ≤ p2 ≤ ... ≤ pk .
Då gäller säkert att
p21 ≤ p1 p2 ≤ 197
⇔
p1 ≤
√
197.
Roten ur 197 är mindre än 15 ty 152 = 225 så det räcker att testa om något av primtalen,
2, 3, 5, 7, 11 eller 13 delar 197, vilket de inte gör.
2
4. Skriv talet 37512 som en produkt av primtal.
Lösning:
37512 = 2 · 18756 = 2 · 2 · 9378 = 23 · 4689 = 23 · 3 · 1563 = 23 · 32 · 521.
Men 521 är ett primtal eftersom inget av primtalen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 delar talet.
Så Svar: 37512 = 23 · 32 · 521.
5. Bestäm samtliga positiva lösningar till den diofantiska ekvationen 75x + 32y = 13.
Lösning: Bestämmer först en lösning med hjälp av Euklides algoritm:
75
32
=
=
2 · 32
3 · 11
+
−
11
1
Således har vi att
1 = 3 · 11 − 32 = 3(75 − 2 · 32) − 32 = 3 · 75 − 7 · 32.
Varur vi finner, genom att multiplicera likheten ovan med 13, att
13 = 39 · 75 − 91 · 32.
Antag nu att x0 och y 0 är en annan lösning. Vi har då att
13 =
13 =
39 · 75 − 91 · 32
x0 · 75 + y 0 · 32
Detta ger nu att
0 = (39 − x0 )75 − (91 + y 0 )32
eller
(39 − x0 )75 = (91 + y 0 )32.
(?)
Eftersom 32 och 75 saknar gemensamma delare får vi att
32 | 39 − x0 ,
och alltså att
39 − x0 = 32k,
för något heltal k, och alltså att x0 = 39 − 32k. Sätts detta in i ekvationen (?) får vi att med
samma k-värde så
91 + y 0 = 75k.
Det är lätt att kontrollera, t ex genom att sätta in värdena på x0 och y 0 i den givna ekvationen
att varje lösning till ekvationen kan skrivas
x = 39 − 32k,
y = 75k − 91.
Av detta framgår att det ej finns någon lösning x och y till ekvationen där både x och y är
positiva.
6. Visa att om x och y hela tal sådana att x2 − y 2 är ett jämnt tal så är detta tal också delbart
med 4.
Lösning: Eftersom x2 − y 2 kan faktoriseras
x2 − y 2 = (x + y)(x − y),
så måste primtalet 2 dela minst en av dessa faktorer. Men summa, eller skillnanden mellan
ett udda tal och ett jämnt tal är alltid ett udda tal, så om x + y är jämnt så måste även
x − y vara ett jämnt tal. Vi har då
x + y = 2k,
x − y = 2k 0
och således att talet 4 delar x2 − y 2 .
⇒ (x + y)(x − y) = 2k2k 0 = 4kk 0 ,
3
7. Visa att om p är ett primtal så gäller att om p delar a och p delar a2 + b2 så gäller att p
delar b.
Lösning:
½
p | a
p | a2 + b2
⇒
p | (a2 + b2 ) − a · a
⇒
p | b2
⇒
p|b·b
⇒
p | b.
8. Visa att om hur än 101 tal väljs bland talen {1, 2, 3, . . . , 200} så finns bland de 101 valda
talen två tal a och b sådana att a och b är relativt prima.
Lösning: Varje heltal i mängden till hör precis en av de hundra mängderna
M1 = {1, 2}, M2 = {3, 4}, ..., M100 = {199, 200}.
Av 101 olika tal i mängden kommer minst två att tillhöra samma delmängd Mi . De är
relativt prima eftersom fór varje tal a:
sgd(a, a + 1) = 1.
