5. n2 - 1 = Hn - 1L Hn + 1L är en produkt av två jämna heltal (eftersom n
är udda). Dessutom följer de jämna
talen2 på varandra (som t.ex. 6 och 8 2
Problemsamling
eller 8 och 10). Av två på varandra följande jämna tal är exakt ett
delbart med 4, (eftersom vart fjärde heltal är delbart med 4). Detta
garanterar att n2 - 1 är delbart med 2 ÿ 4 = 8.
Lösningar eller svar till
problemsamling 2
Återstår nu att visa att n2 - 1 dessutom är delbart med 3.
1. Antag att 8 n1 + k1 = 8 n2 + k2 .
Då följer att 8 Hn1 - n2 L = k2 - k1 . (Vi ska försöka visa att n1 = n2 och
att k1 = k2 .)
Om n1 ! n2 , så är †8 Hn1 - n2 L§ ¥ 8. Å andra sidan är †k2 - k1 § < 8.
(Varför?) Dessa två olikheter tillsammans med likheten
8 Hn1 - n2 L = k2 - k1 ger en motsägelse. Det följer att n1 = n2 , och
därmed att 8 Hn1 - n2 L = k2 - k1 = 0, vilket betyder att även k1 = k2 .
2. Av a = 8 n + 3 följer att
a2 = H8 n + 3L2 = 64 n2 + 48 n + 9 = 8 I8 n2 + 6 nM + 1.
3. Om man för varje a œ 80, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7< dividerar a2 med 8, får
man resterna 0, 1, 4, 1, 0, 1, 4, 1. (Se tabellen nedanför!) För större a:n
än 7 upprepas mönstret. (Varför?) Av entydigheten i uppgift 1 följer att
0, 1, 4 är de enda kvadratiska resterna mod 8.
a
0
1
2
3
4
5
6
7
a2 8 ÿ 0 + 0 8 ÿ 0 + 1 8 ÿ 0 + 4 8 ÿ 1 + 1 8 ÿ 2 + 0 8 ÿ 3 + 1 8 ÿ 4 + 4 8 ÿ 6 + 1
4. Det följer av föregående uppgift att varje summa a1 2 + a2 2 + a3 2 av
tre kvadrater kan skrivas på formen 8 In1 + n2 + n3 M + r1 + r2 + r3 , där
r1 , r2 , r3 œ 80, 1, 4<. Det betyder att
RestIa1 2 + a2 2 + a3 2 , 8M = RestIr1 + r2 + r3 , 8M œ 80, 1, 2, 3, 4, 5, 6<.
Dvs 8 n + 7 är ingen summa av tre kvadrater.
5. n2 - 1 = Hn - 1L Hn + 1L är en produkt av två jämna heltal (eftersom n
är udda). Dessutom följer de jämna talen på varandra (som t.ex. 6 och 8
eller 8 och 10). Av två på varandra följande jämna tal är exakt ett
delbart med 4, (eftersom vart fjärde heltal är delbart med 4). Detta
garanterar att n2 - 1 är delbart med 2 ÿ 4 = 8.
Av de tre på varandra följande talen n - 1, n, n + 1 är (enligt
uppgiftstexten) det mittersta inte delbart med 3. Därför måste något av
de andra två talen och därmed deras produkt Hn - 1L Hn + 1L vara delbart
med 3. Ty vart tredje heltal är delbart med 3.
Sammantaget visar resonemanget ovanför att n2 - 1 är delbart med
2 ÿ 4 ÿ 3 = 24.
6. En sådan summa kan alltid skrivas som Hk - 1L + k + Hk + 1L, dvs
som 3 k.
Generalisering?
Få se ….
Är måhända summan av n på varandra följande heltal alltid delbar med
n. Nej, ty om n = 2, så är 1 + 2 en sådan summa, men denna är inte
delbar med 2.
Däremot är summan av ett udda antal på varandra följande tal delbar
med det udda talet ifråga. En sådan summa (av n = 2 m + 1 stycken
tal) kan nämligen skrivas som
Hk - mL + … + Hk - 2L + Hk - 1L + k + Hk + 1L + Hk + 2L + … + Hk + mL, dvs
som H2 m + 1L k vilket är samma sak som n k, ett tal delbart med n.
7. Följer (enligt fundamentalsatsen), av att såväl x:s som y:s alla
primtalsfaktorer måste återfinnas bland a:s dito, samt att x:s
primtalsfaktorer är skilda från y:s primtalsfaktorer (då SGDHx, yL = 1).
8. Antalet avslutande 0:or i ett tal är lika med antalet förekomster av
10:or i en faktorisering av nämnda tal. Vidare, varje förekomst av en
10:a är en följd av att det finns såväl en 2:a som en 5:a i
primtalsfaktoriseringen av talet ifråga. Betrakta nu talet 100!, och räkna
antalet förekomster av 5:or och 2:or.
3
Problemsamling 2
100 != 1 µ 2 µ 3 µ 4 µ 5 µ 6 µ 7 µ 8 µ 9 µ 10
11 µ 12 µ 13 µ 14 µ 15 µ 16 µ 17 µ 18 µ 19 µ 20
21 µ 22 µ 23 µ 24 µ 25 µ 26 µ 27 µ 28 µ 29 µ 30
31 µ 32 µ 33 µ 34 µ 35 µ 36 µ 37 µ 38 µ 39 µ 40
41 µ 42 µ 43 µ 44 µ 45 µ 46 µ 47 µ 48 µ 49 µ 50
51 µ 52 µ 53 µ 54 µ 55 µ 56 µ 57 µ 58 µ 59 µ 60
61 µ 62 µ 63 µ 64 µ 65 µ 66 µ 67 µ 68 µ 69 µ 70
71 µ 72 µ 73 µ 74 µ 75 µ 76 µ 77 µ 78 µ 79 µ 80
81 µ 82 µ 83 µ 84 µ 85 µ 86 µ 87 µ 88 µ 89 µ 90
91 µ 92 µ 93 µ 94 µ 95 µ 96 µ 97 µ 98 µ 99 µ 100
Bland de 100 på varandra följande faktorerna finns det 5:or i följande
faktorer:
5 µ 10 µ 15 µ 20 µ 25 µ 30 µ 35 µ 40 µ 45 µ
50 µ 55 µ 60 µ 65 µ 70 µ 75 µ 80 µ 85 µ 90 µ 95 µ 100
Fyra stycken (vilka?) av dessa tjugo faktorer innehåller två 5:or, resten
innehåller bara en 5:a. Så totalt finns det 24 stycken 5:or inuti 100!. Och
hur många 2:or finns det? Svar: minst 24 stycken. Därmed finns det
exakt 24 stycken 10:or, vilket betyder att 100! har 24 stycken avslutande
0:or.
9. (a) 4 n + 3 måste vara udda (Varför?). Eftersom inget udda tal kan
innehålla primtalsfaktorn 2, följer att primtalsfaktorererna i 4 n + 3 är
udda. Vidare, om vi dividerar en sådan primtalsfaktor p med 4 får vi
p = 4 k + r, där r œ 81, 3<. (Varför kan resten inte vara 0 eller 2?)
Vi behöver visa att någon primtalsfaktorer är av typen 4 k + 3.
Antag därför att | tvärtom | att primtalsfaktoriseringen av 4 n + 3 är
lika med
H4 k1 + 1L ÿ … ÿ H4 kr + 1L
Om man expanderar denna produkt får man ett tal av typen 4 K + 1,
eller hur! Men att 4 n + 3 = 4 K + 1 strider mot entydigheten i
divisionsalgoritmen. (Jfr uppgift 1.)
Det följer att någon primtalsfaktorer i 4 n + 3 är av typen 4 k + 1.
(b) Vi visar nu att det finns oändligt många primtal på formen 4 n + 3.
För varje primtal på denna form, visar vi att det finns ett större dito.
Betrakta därför ett godtyckligt primtal på formen qn på nämnda form.
Multiplicera nu qn med alla mindre primtal av den aktuella typen, och
öka sedan resultatet med en enhet, dvs. bilda talet
Problemsamling 2
4
(b) Vi visar nu att det finns oändligt många primtal på formen 4 n + 3.
För varje primtal på denna form, visar vi att det finns ett större dito.
Betrakta därför ett godtyckligt primtal på formen qn på nämnda form.
Multiplicera nu qn med alla mindre primtal av den aktuella typen, och
öka sedan resultatet med en enhet, dvs. bilda talet
a = 4 q1 ÿ q2 ÿ q3 ÿ … ÿ qn
- 1
(1)
Å ena sidan måste a, som är på formen
4 q1 ÿ q2 ÿ q3 ÿ … ÿ qn - 1 = 4 m - 1 = 4 Hm + 1L + 3,
vara delbar med något primtal q av typen 4 k + 3. (Allt enligt (a)-delen i
denna uppgift.) Å andra sidan är a inte delbar med något enda av
primtalen q1 , q2 , q3 , …, qn . (Varför?) Så, q måste vara större än qn . ·
ANM. Av de hundra första primtalen är följande av typ 4 k + 3:
83, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127,
131, 139, 151, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 223, 227, 239,
251, 263, 271, 283, 307, 311, 331, 347, 359, 367, 379, 383<
