Föreläsningar i mekanik: Statik och

advertisement
S T E FA N B . L I N D S T R Ö M | U P P L A G A 2 - β
FÖRELÄSNINGAR I MEKANIK
S TAT I K O C H
PA R T I K E L D Y N A M I K
Föreläsningar i mekanik: Statik och partikeldynamik
Lindström, Stefan B.
upplaga 2-β
c 2015 Stefan B. Lindström
Copyright Detta verk är licensierat enligt Creative Commons Erkännande-IngaBearbetningar 2.5 Sverige licens. För
att visa licensen, besök http://creativecommons.org/licenses/by-nd/2.5/se/ eller skicka ett brev till Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA. En lättläst, men
ofullständig, sammanfattning av licenstexten lyder:
Du har tillstånd: Att dela — att kopiera, distribuera och sända verket samt använda verket för kommersiella
ändamål. På följande villkor: Erkännande — Du måste ange upphovsmannen och/eller licensgivaren på det
sätt de anger. Inga bearbetningar — Du får inte förändra, bearbeta eller bygga vidare på verket. Övriga
förutsättningar: Undantag — Undantag från villkoren ovan kan ges av upphovsrättsinnehavaren. Public
Domain — Om verket eller någon av dess beståndsdelar är public domain enligt tillämplig lag påverkas
denna status inte på något sätt av licensen. Notera — Vid all återanvändning och distribution måste du
informera om licensvillkoren som gäller för verket.
Innehåll
I
Statik
1
Inledning
2
3
4
9
1.1
Grundläggande begrepp
1.2
Newtons rörelselagar
1.3
Krafter i klassisk mekanik
Kraftsystem
13
2.1
Kraft
2.2
Moment
2.3
Kraftsystem
2.4
Plana kraftsystem
Statisk jämvikt
3.1
Jämviktsekvationer
3.2
Friläggning
3.3
Flerkroppsproblem
21
Masscentrum och tyngdpunkt
4.1
Densitet
4.2
Masscentrum
4.3
Masscentrum för tunna kroppar
4.4
Tyngdpunkt
27
4
5
5.1
Ett friktionsexperiment
5.2
Coulombfriktion
5.3
Friktion i ett system av kroppar
II
6
7
8
9
10
33
Friktion
Partikeldynamik
Plan kinematik
6.1
Rätlinjig rörelse
6.2
Kroklinjig rörelse
6.3
Kinematiska tvång
Kinetik
39
49
7.1
Newtons rörelselagar
7.2
Rörelseekvationer och problemlösning
Arbete, energi och effekt
8.1
Arbete
8.2
Rörelseenergi
8.3
Konservativa krafter
8.4
Mekaniska energisatsen
8.5
Effekt
Rörelsemängd och impuls
9.1
Rörelsemängd
9.2
Impuls
9.3
Rörelsemängdsmoment
9.4
Partikelsystem
Stötar
67
10.1 Stötkrafter
10.2 Stötar mellan partiklar
53
61
5
11
71
Svängningsrörelse
11.1 Fria svängningar
11.2 Påtvingade svängningar
Bilagor
A
81
Geometri
A.1 Plan geometri
A.2 Trigonometri
B
Vektorer
85
B.1 Geometriska vektorer
B.2 Vektorer i ortogonala koordinatsystem
B.3 Skalärprodukt
B.4 Kryssprodukt
C
Storhet, enhet och dimension
C.1 Dimension
C.2 Enhet
C.3 Mätetal
C.4 Räkneregler för dimension
C.5 Dimensionsriktighet
D
93
Differentialer
Litteraturförteckning
Sakregister
97
95
89
6
Förord
Denna skrift syftar till att ge en koncis beskrivning av den elementära
mekanikens viktigaste definitioner och satser. Ansvaret för att levandegöra teorins innebörd, samt att demonstrera hur teorin kan användas
vid problemlösning, åläggs pedagogen.
Angående förkunskaper förutsätts läsaren vara förtrogen med elementär geometri (bilaga A), geometriska vektorer (bilaga B), linjära
ekvationssystem samt bestämda integraler i flera dimensioner. Utöver matematiska kunskaper bör läsaren vara bekant med begreppen
storhet, enhet och dimension, samt kunna avgöra fysikaliska uttrycks
dimensionsriktighet (bilaga C). För partikeldynamikdelen krävs därutöver att läsaren behärskar ordinära differentialekvationer och differentialnotation (bilaga D).
Tack
Ett varmt tack till tekn. dr Peter Schmidt vars undervisningsmaterial på ämnet kraftsystem varit en viktig inspirationskälla till kap. 2.
Författaren vill också tacka docent Lars Johansson för värdefull återkoppling på skrivningarna i kap. 10 och bilaga C.
Del I
Statik
1
Inledning
Detta kapitel syftar till att ge fysikalisk förståelse för grundläggande begrepp i mekanik, bl.a. begreppet kraft, samt att avgränsa ämnesområdet statik. Förtrogenhet med geometriska vektorer (bilaga B)
och räkneregler för dessa är nödvändigt för att kunna tillgodogöra sig
framställningen.
1.1
Grundläggande begrepp
Kropp och stelkropp
En kropp har massa och uppfyller ett begränsat område i rummet
och har alltså en volym. Inom klassisk mekanik antas massan vara
kontinuerligt utbredd inom kroppens område.
Alla kroppar kan deformeras—ändra sin form—genom att lägena
för punkter i kroppen förskjuts i förhållande till varandra. I många
problem är kroppens deformation försumbar. Analysen förenklas då
av att man antar att kroppens form är oföränderlig, och en sådan
kropp kallas stelkropp.
Definition 1.1 (Stelkropp). En stelkropp är en kropp, sådana att avståndet mellan varje par av punkter i kroppen är konstant.
Partikel
En partikel är ett hypotetiskt föremål med massa men utan volym. All
dess massa är således koncentrerad till en punkt. Vid problemlösning
kan man ibland använda en partikel som modell för en kropp vars
form, rotation och deformation inte påverkar analysen i någon större utsträckning. Speciellt formulerar vi följande postulat1 för kroppar
eller delkroppar:2
Postulat 1.2. En kropp eller en del av en kropp, vars utsträckning
är tillräckligt liten för att försummas i en given situation, kan
betraktas som en partikel.
Om man t.ex. analyserar Jordens rörelse kring Solen kan Jorden betraktas som en partikel eftersom jordbanans medelradie är 23 000 gång-
1
postulat – obevisat påstående med experimentellt stöd.
2
J. B. Griffiths. The theory of classical
mechanics. Cambridge University Press,
1985. ISBN 0-521-23760-2
10
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
er större än Jordens egen radie, så att vare sig Jordens utsträckning
eller dess rotation kring sin egen axel påverkar banrörelsen nämnvärt.
Läge, hastighet och acceleration
En punkts eller partikels läge i rummet anges av dess lägesvektor 3 . Vi
−−→
definierar en godtycklig punkt P:s lägesvektor som ~r = OP, där O
betecknar origo för ett givet ortogonalt koordinatsystem med basvektorerna ~ex , ~ey och ~ez . Om punkten P:s läge ändras med tiden t kommer
lägesvektorn att bli en funktion
~r(t) = x(t)~ex + y(t)~ey + z(t)~ez ,
3
Benämns även ortsvektor .
(1.1)
vilket kan tolkas som en riktad bana i rummet (fig. 1.1a). Hastigheten
hos punkten definieras som
~v (t) ≡
d~r
= ẋ~ex + ẏ~ey + ż~ez ,
dt
(1.2)
och är riktad i rörelsebanans tangentriktning. En prick över en skalär
funktion betecknar tidsderivatan av funktionen. Punktens acceleration
ges av
~a(t) ≡
d~v
d2~r
= 2 = ẍ~ex + ÿ~ey + z̈~ez ,
dt
dt
(1.3)
(a)
och beskriver alltså hastighetsändringen per tidsenhet. Två prickar
över en skalär funktion betecknar andra tidsderivatan av funktionen.
Statik innefattar endast fallet ~a = ~0. Detta är liktydigt med att
hastigheten är konstant, så att ~r(t) beskriver en rätlinjig bana om ~v 6= ~0
(fig. 1.1b), eller en fix punkt om ~v = ~0.
(b)
Kraft
När två föremål placeras tillräckligt nära varandra, eller i direkt kontakt, kan de påverka varandras rörelse. Om man till exempel för en
magnet mot en knappnål, kommer knappnålen att accelerera mot magneten. Magnetens närvaro har skapat rörelse hos knappnålen. Kroppars
förmåga att att påverka varandras rörelse kallas växelverkan.
För att beskriva hur starkt och i vilken riktning ett föremål växelverkar med omgivningen införs begreppet kraft. En kraft skapas alltså
av växelverkan och förorsakar acceleration hos en kropp vars rörelse
annars är obehindrad. Denna vaga beskrivning ev kraftbegreppet ges
en precis innebörd i Newtons rörelselagar.
1.2
Figur 1.1: En punkt P:s förflyttas längs
en bana ~
r(t) med (a) varierande hastighet ~v (t), eller med (b) konstant hastighet ~v och accelerationen ~a = ~0.
Newtons rörelselagar
Isaac Newton postulerade följande tre rörelselagar för partiklar (ej ordagrant återgivna):4
1. Tröghetslagen En partikel förblir i vila eller i likformig, rätlinjig
rörelse så länge inga yttre krafter verkar på partikeln.
4
I. S. Newton.
Naturvetenskapens
matematiska principer, första boken.
Svensk översättning C. V. L. Charlier,
Liber Läromedel, Malmö, 1986a. ISBN
91-40-60433-0
inledning
11
2. Kraftlagen För en partikel med konstant massa m gäller
ΣF~ = m~a,
(1.4)
där ΣF~ är kraftsumman på partikeln och ~a är partikelns acceleration.
3. Reaktionslagen Om en partikel påverkar en annan med en given
kraft, återverkar den senare partikeln på den första med en lika
stor men motsatt riktad kraft.
Dessa lagar kommer att behandlas utförligare i del II. Inom statik
intresserar man sig för specialfallet då kraftsumman på varje partikel
är noll, och således accelerationen för varje partikel är noll.
Inertialsystem
Att tala om rörelse är bara meningsfullt med avseende på ett givet
koordinatsystem, och man måste specificera ett koordinatsystem för
att kunna beskriva rörelse (se fig. 1.1ab). Newtons lagar gäller bara för
vissa val av koordinatsystem som kallas inertialsystem. Om man valt
ett koordinatsystem där tröghetslagen gäller, kommer även kraftlagen
och reaktionslagen att gälla. I ett koordinatsystem där tröghetslagen
inte gäller, t.ex. ett system som roteras eller accelereras relativt ett
inertialsystem (fig. 1.2), gäller inte Newtons lagar.
1.3
Krafter i klassisk mekanik
Krafter kan verka på en kropp om den står i fysisk kontakt med en
annan kropp. Dessutom kan krafter uppstå över avstånd genom så
kallade kraftfält. Kraft mäts i SI-enheten newton (N), och det gäller
att
Figur 1.2: Givet ett inertialsystem xyz
där tröghetslagen gäller, kommer koordinatsystem som roterar relativt inertialsystemet, t.ex. x† y † z † , inte att vara några inertialsystem. Koordinatsystem vars
origo accelererar relativt inertialsystemet, t.ex. x∗ y ∗ z ∗ , är inte heller några
inertialsystem.
1 N = 1 kg·m/s .
2
Gravitationskraft
Enligt Newtons gravitationslag 5 påverkar varje par av partiklar varandra med gravitationskrafter. Gravitationskraften är en attraktiv centralkraft. Det vill säga, partiklarna dras mot varandra och dragningskraften verkar längs den räta linje som förbinder partiklarna (fig. 1.3).
5
I. S. Newton. Naturvetenskapens matematiska principer, andra och tredje boken. Svensk översättning C. V.
L. Charlier, Liber Läromedel, Malmö,
1986b. ISBN 91-40-60437-3
Figur 1.3: Newtons gravitationslag för
partiklar tillämpad på Jordens växelverkan med Månen.
12
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Postulat 1.3 (Newtons gravitationslag). Mellan två partiklar med
massorna mA respektive mB verkar en attraktiv kraft med beloppet
Fg = Gg
mA mB
,
r2
(1.5)
där Gg = 6,674 · 10−11 Nm2 /kg2 är gravitationskonstanten 6 , och r
betecknar avståndet mellan partiklarna.
En följd av gravitationslagen är att en kropp med massan m vid
jordytan påverkas av en tyngdkraft, riktad ungefär mot jordens mittpunkt. Tyngdkraften är fördelad över det område som kroppen upptar,
men i många tillämpningar kan dess verkan modelleras med en kraft
som verkar i en enda punkt och har beloppet mg, där g är tyngdkraftskonstanten.7 I Sverige är g ≈ 9,82 N/kg, men värdet varierar mellan
olika platser på jorden. Ofta används det SI-standardiserade värdet
g = 9,80665 N/kg vid problemlösning.8
Kontaktkrafter
6
P. J. Mohr, B. N. Taylor, and D. B.
Newell. CODATA recommended values
of the fundamental physical constants:
2010. J. Phys. Chem. Ref. Data, 41:
043109, 2012
7
Benämns även oegentligt tyngdaccelerationen.
8
Bureau International des Poids et Mesures. The International System of Units
(SI). 8th edition, 2006
Två kroppar som står i fysisk kontakt med varandra växelverkar med
kontaktkrafter. Dessa kontaktkrafter är fördelade över kontaktytan på
respektive kropp. Ett exempel är de krafter som uppstår då du trycker
din hand mot en vägg (fig. 1.4ab). Din hand utövar då ett tryck mot
väggen, vilket kan representeras av en kraft F~ på väggen. Omvänt
kommer väggen, enligt reaktionslagen, att utöva en kraft −F~ mot din
hand, vilket du känner som ett tryck mot handflatan.
Figur 1.4: (a) En hand trycker mot en
vägg. (b) Handen och väggen utsätts för
lika stora motriktade kontaktkrafter.
(a)
(b)
Elastisk kraft
Elastiska krafter uppstår då kroppar deformeras, till exempel då en
spiralfjäder förlängs eller förkortas. När en spiralfjäder inte påverkas av
någon kraft antar den sin naturliga längd `0 (fig. 1.5a). Om motriktade
krafter, vardera med beloppet Fe , angriper vid fjäderns ändpunkter
kommer fjädern att ändra sin längd till ` (fig. 1.5b). För en så kallad
linjär fjäder gäller då sambandet
Fe = k(` − `0 ),
där k benämns fjäderkonstanten.
(1.6)
(a)
(b)
Figur 1.5: (a) Obelastad fjäder med naturlig längd. (b) Förlängd fjäder.
2
Kraftsystem
2.1
Kraft
En kropp växelverkar med sin omgivning genom yttre krafter. Dessa
kan vara volymskrafter som verkar över kroppens område i rummet.
Gravitation och elektromagnetiska krafter är exempel på volymskrafter. Dessutom kan kroppen påverkas av kontaktkrafter, som är fördelade över kroppens yta (fig. 2.1). För stelkroppar kan volyms- och
kontaktkrafters verkan beskrivas av koncentrerade krafter, som verkar
i punkter på stelkroppen:
Postulat 2.1. En kraft, som verkar på en stelkropp, är en vektorstorhet F~ , som tillordnats en angreppspunkt P.
Figur 2.1: En kontaktkraft, som här består av ett tryck fördelat över en liten
yta på en stelkropp, modelleras med en
kraftvektor, som verkar i en angreppspunkt på stelkroppen.
En krafts verkan på en kropp bestäms av kraftens storlek, riktning och
angreppspunkt. Kraftvektorn och angreppspunkten definierar tillsammans en linje, som kallas kraftens verkningslinje (fig. 2.1).
Som alla vektorer kan kraftvektorn skrivas som en summa av sina
komposanter (fig. 2.2)
F~ = Fx~ex + Fy ~ey + Fz ~ez ,
(2.1)
eller som en skalär F gånger en riktningsvektor
F~ = F ~eF .
~ angripande i punkFigur 2.2: En kraft F
ten P. Pilar med öppet pilhuvud visar
kraftens komposanter.
(2.2)
I ekv. (2.2) tillåter man att F är negativ, så att F = |F~ | eller F = −|F~ |.
En kraftvektors projektion på en riktning med riktningsvektorn ~eλ
kallas kraftens komponent i λ-riktningen och ges av
Fλ = F~ · ~eλ = |F~ | cos ϕ,
där 0◦ ≤ ϕ ≤ 180◦ är vinkeln mellan F~ och ~eλ (fig. 2.3).
(2.3)
~
Figur 2.3: Kraftkomponenten för F
m.a.p. en axel λ.
14
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
2.2
Moment
Kraftmoment
Om man vill åstadkomma en vridande verkan kring en axel, som när
man drar åt en bult, låter man en kraft angripa i en punkt på ett
avstånd från axeln (fig. 2.4). Kraftens vridande verkan kallas moment.
Definition 2.2 (Kraftmoment). Låt F~ vara en kraft som angriper i
punkten P. Då är kraftmomentet av kraften F~ m.a.p. punkten O
vektorn
Figur 2.4: En kraft med angreppspunkt
på ett avstånd från en axel λ kommer
att ha en vridande verkan kring axeln.
(2.4)
~ O ≡ ~r × F~ ,
M
−−→
där ~r = OP.
~ O :s riktning
Enligt def. B.11 av kryssprodukt ges momentvektorn M
av högerhandsregeln (fig. 2.5). Kraftmomentet kommer därför att vara vinkelrätt mot det plan som ~r och F~ spänner upp. Beloppet av
~ O är
vektorn M
~ O | = |~r × F~ | = ekv. (B.12)
|M
= |~r||F~ | sin ϕ
= d⊥ |F~ |,
(2.5)
Figur 2.5: Högerhandsregeln för kraftmoment. Linjera höger hands handflata med hävarmen och vinkla fingrarna i kraftriktningen; kraftmomentvek~ O ges då tummens riktning.
torn M
där d⊥ = |~r| sin ϕ kallas för hävarm och ϕ är vinkeln mellan ~r och F~
(fig. 2.6). Momentvektorer betecknas här med en pil vars huvud är en
halvcirkel. Kraftmomentet m.a.p. en axel λ med riktningsvektorn ~eλ ,
definieras som
(2.6)
~ O · ~eλ ,
Mλ ≡ M
där O är en godtycklig punkt på axeln.
~
Figur 2.6: En kraft med kraftvektor F
och angreppspunkt P ger ett kraftmo~ O m.a.p. O, som är vinkelrätt
ment M
~ spänner upp.
mot det plan som ~
r och F
Sats 2.3 (Varignons sats). Låt n krafter F~1 , . . . , F~n , verka i samma
punkt P. Summan av krafternas moment, m.a.p. en godtycklig
punkt O, är då lika med momentet från kraftvektorernas summa
m.a.p. O:
n
X
i=1
~r × F~i = ~r ×
−−→
där ~r = OP.
n
X
i=1
F~i ,
(2.7)
kraftsystem
15
Bevis. Kraftmomentet av kraftvektorernas summa m.a.p. O ges av
~r ×
n
X
i=1
F~i
= ~r × (F~1 + F~2 + · · · + F~n ) = ekv. (B.14b)
= ~r × F~1 + ~r × (F~2 + · · · + F~n ) = upprepa (B.14b)
= ~r × F~1 + ~r × F~2 + · · · + ~r × F~n
=
n
X
i=1
~r × F~i
Vid analys av statikproblem händer det ofta att problemet blir enklare
att lösa om man först delar upp kraften i sina komposanter. Kraftens
moment får man som summan av komposanternas respektive moment
(sats 2.3).
Kraftparsmoment
Definition 2.4 (Kraftpar). Ett kraftpar består av två krafter, F~A
med angreppspunkt A och F~B med angreppspunkt B, sådana att
F~B = −F~A (fig. 2.7).
En trivial men viktig egenskap hos kraftparet är att dess kraftsumma
är F~A + F~B = ~0, så att ett kraftpars verkan på en kropp endast är
vridande.
Figur 2.7: Kraftpar.
~ är sumDefinition 2.5 (Kraftparsmoment). Ett kraftparsmoment C
man av kraftmomenten från ett kraftpar m.a.p. en godtycklig punkt
O.
Sats 2.6. För ett godtyckligt kraftpar, F~ med angreppspunkt A och
−F~ med angreppspunkt B (fig. 2.8), är kraftparsmomentet
~ = ~r × F~ ,
C
(2.8)
−→
där ~r = BA.
Bevis. Från def. 2.5 följer att kraftparets kraftparsmomentet m.a.p.
en godtycklig punkt O är
−→
−→
~ = −
C
OA × F~ + OB × (−F~ )
−−→
−→
= OA × F~ − OB × F~ = ekv. (B.14b)
−−→ −→
= (OA − OB) × F~
−→ −−→
= (BO + OA) × F~ = parallellogramlagen
−→
= BA × F~
= ~r × F~
Ett typexempel på ett kraftpar är en skruvmejsels verkan på en spårskruv (fig. 2.7). Det finns två kontaktpunkter, A och B, mellan skruvhuvudet och mejseln, där två lika stora motriktade krafter verkar på
Figur 2.8: Kraftpar som bildar kraftpars~ =~
~.
momentet C
r×F
16
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
skruven. Kraftparsmomentet är oberoende av valet av momentpunkt
och är därmed en fri vektor som, med bibehållen storlek och riktning,
kan förflyttas i rummet till en godtycklig punkt (fig. 2.9).
Figur 2.9: En skruvmejsel ger en vridande verkan, vilken skapas av två lika stora
motriktade krafter i skruvspåret. Kraftparsmomentet är en fri vektor, som inte verkar i någon specifik punkt på stelkroppen.
2.3
Kraftsystem
Flera krafter och kraftparsmoment, som verkar på en stelkropp, bildar
tillsammans ett kraftsystem.
Definition 2.7 (Kraftsystem). Ett kraftsystem Γ är ett antal n ≥ 0
krafter F~1 , F~2 , . . . , F~n med givna angreppspunkter P1 , P2 , . . . , Pn ,
~ 1, C
~ 2, . . . , C
~ m (fig. 2.10).
samt att antal m ≥ 0 kraftparsmoment C
Figur 2.10: Ett kraftsystem Γ, med
godtyckligt antal krafter och kraftparsmoment, verkande på en stel kropp.
Kraft- och momentsumma
Definition 2.8 (Kraftsumma). För ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, är kraftsumman vektorn
ΣF~ ≡
n
X
(2.9)
F~i .
i=1
Notera att kraftsumman, trots att den är en vektor med enheten newton, inte är någon kraft, eftersom den inte tillordnats någon angreppspunkt.
Definition 2.9 (Momentsumma). För ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, är momentsumman m.a.p. en punkt O vektorn
~O ≡
ΣM
n
m
X
X
−−→
~ i.
OP i × F~i +
C
i=1
i=1
(2.10)
kraftsystem
17
Momentsumman för ett kraftsystem m.a.p. en punkt O erhåller man
alltså genom att summera alla systemets kraftmoment m.a.p. O och
alla systemets kraftparsmoment.
Sats 2.10 (Förflyttningssatsen för momentsumma). För ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, och två godtyckliga punkter A och B gäller
→
~ B = ΣM
~A +−
ΣM
BA × ΣF~ ,
(2.11)
~ A och ΣM
~ B är momentsummor m.a.p. A respektive B, och
där ΣM
~
ΣF är systemets kraftsumma.
Bevis. Definition 2.9 ger
~B
ΣM
=
n
m
X
X
−→
~ i = parallellogramlagen
BP i × F~i +
C
i=1
i=1
n m
X
X
−→ −−→ ~
~ i = ekv. (B.14b)
=
BA + AP i × Fi +
C
i=1
i=1
m
n
n
X
X
X
−−→
−→ ~
~ i = sats (2.3)
C
AP i × F~i +
BA × Fi +
=
i=1
i=1
i=1
|
−→
~ A.
= BA × ΣF~ + ΣM
{z
~A
=ΣM
}
Reducerade kraftsystem
Definition 2.11 (Reducerat kraftsystem). Det reducerade kraftsystemet ΓQ till ett kraftsystem Γ m.a.p. en reduceringspunkt Q, består av Γ:s kraftsumma ΣF~ verkande i Q samt ett kraftpars~ Q , som är Γ:s momentsumma m.a.p. Q.
moment ΣM
Figur 2.11: Ett kraftsystem Γ, med
godtyckligt antal krafter och kraftparsmoment, är ekvivalent med sitt reducerade kraftsystem ΓQ m.a.p. en godtycklig punkt Q.
Det reducerade kraftsystemet ΓQ är ekvivalent med Γ ur kraft- och
momentsynpunkt, och ger upphov till samma rörelse hos den stela
kropp varpå Γ verkar.
Definition 2.12 (Nollsystem). Om ett kraftsystem har kraftsumman
~ O = ~0 m.a.p. någon punkt O,
ΣF~ = ~0 och momentsumman ΣM
sägs kraftsystemet vara ett nollsystem.
Sats 2.13. Om ett kraftsystem är ett nollsystem är dess momentsum~ Q = ~0 för varje godtycklig punkt Q.
ma ΣM
18
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Bevis. För ett generellt kraftsystem, med beteckningar enligt def. 2.7,
~O = O
~ för någon
som är ett nollsystem gäller att ΣF~ = ~0 samt att ΣM
punkt O. Förflyttningssatsen för momentsumma (sats 2.10) från O
till Q ger
−→
~ Q = ΣM
~O +−
ΣM
QO × ΣF~
−−→
= ~0 + QO × ~0
= ~0.
Sats 2.13 innebär att ett nollsystem alltid är ett nollsystem oberoende
av valet av momentpunkt.
2.4
Plana kraftsystem
Definition 2.14 (Plant kraftsystem). Ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, sägs vara plant om det existerar ett plan,
benämnt referensplanet, sådant att alla krafternas angreppspunkter Pi , i = 1, . . . , n ligger i referensplanet, och sådant att
F~i ⊥ ~en ,
i = 1, . . . , n,
~ i || ~en ,
C
i = 1, . . . , m,
där ~en är referensplanets enhetsnormal (fig. 2.12).
Figur 2.12: Plant kraftsystem vars referensplan har enhetsnormalen ~en .
För ett plant kraftsystem, med beteckningar enligt def. 2.14, och en
momentpunkt O i referensplanet, är alla kraftmoment och kraftparsmoment riktade i ±~en -riktningen. Därmed kan alla kraftmoment och
kraftparsmoment för ett plant kraftsystem beskrivas entydigt med ett
skalärt värde: momentets komponent i referensplanets normalriktning.
I fig. 2.13 illustreras ett plant kraftsystem med xy-planet som referensplan. Vektorrepresentationen av moment har ersatts med en skalär representation, vilket indikeras med krökta pilar för kraftparsmomenten
C1 , . . . , Cm i referensplanet.
Sats 2.15. För en kraft F~ med angreppspunkt P i ett plant kraftsystem ges kraftmomentet m.a.p. en godtycklig punkt O i referensplanet av
MO = ±d⊥ F,
(2.12)
där F är kraftens belopp och d⊥ kallas hävarm och är vinkelräta
avståndet från O till kraftens verkningslinje.
Figur 2.13: Ett plant kraftsystem med
xy-planet som referensplan. Systemets
kraftparsmoment kan därmed skrivas
som skalärer.
kraftsystem
19
Bevis. Vi har att
~ O | = def. 2.2
±|M
−−→
= ±|OP × F~ | = ekv. (B.12)
−−→
= ±|OP||F~ | sin ϕ,
−−→
där ϕ är vinkeln mellan OP och F~ (fig. 2.14). Eftersom avståndet
−−→
från O till kraftens verkningslinje är d⊥ = |OP| sin ϕ följer det att
MO = ±d⊥ F .
MO
=
Kraftmomentets riktning ges som tidigare av högerhandsregeln. Det
moturs vridande kraftmoment som avbildas i fig. 2.14 är riktat i ~ez riktningen. Om vi väljer referensplanets normal som ~en = ~ez kommer
kraftmomentet MO , och alla moturs orienterade kraftmoment, att ha
ett positivt tecken i sin skalära representation. Medurs orienterade
kraftmoment får negativt tecken. Det omvända gäller om vi skulle
välja ~en = −~ez .
Figur 2.14: Geometri för kraftmoment
i ett plant kraftsystem med xy-planet
som referensplan. Hävarmen betecknas
d⊥ .
3
Statisk jämvikt
3.1
Jämviktsekvationer
Definition 3.1 (Statisk jämvikt). En stelkropp är i statisk jämvikt om
varje punkt på kroppen har accelerationen noll relativt ett givet
inertialsystem.
Eftersom en stelkropp inte kan deformeras, följer det att alla punkter
på en stelkropp i statisk jämvikt rör sig med samma konstanta hastighet ~v . Punkterna på kroppen färdas därför längs räta parallella banor,
så kallad translation (fig. 3.1). Att en stelkropp befinner sig i vila innebär att kroppen är i statisk jämvikt, samt att ett inertialsystem valts
så att ~v = ~0.
Statisk jämvikt definieras utifrån stelkroppens rörelse, inte utifrån
vilka krafter som verkar på kroppen. För att kunna avgöra vilka kraftsystem som ger statiskt jämvikt krävs ett postulat.
Postulat 3.2 (Jämviktsvillkor). En stelkropp i statisk jämvikt förblir
i statisk jämvikt om kraftsystemet som verkar på stelkroppen är
ett nollsystem
ΣF~
~O
ΣM
= ~0
(3.1a)
= ~0,
(3.1b)
~ O är kraftsystemets
där ΣF~ är kraftsystemets kraftsumma, och ΣM
momentsumma m.a.p. någon punkt O.
Ekvation (3.1a) benämns kraftjämvikt och ekv. (3.1b) momentjämvikt.
Enligt sats 2.13 kan momentpunkten i momentjämvikten väljas fritt.
Kraft- och momentjämvikterna är vektorekvationer, som enligt ekv.
(B.4) kan skrivas på komponentform. De bildar sex oberoende skalära
ekvationer


ΣMOx = 0
 ΣFx = 0

(3.2)
ΣFy = 0
ΣMOy = 0


 ΣF = 0
ΣM = 0,
z
Oz
vilka tillsammans utgör ett ekvationssystem.
Figur 3.1: Vid statisk jämvikt beskriver en stelkropp translation, d.v.s. varje punkt rör sig med samma konstanta
hastighet.
22
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Jämvikt i två dimensioner
För ett plant kraftsystem förenklas jämviktsekvationerna genom att
man väljer ett koordinatsystem så att två av koordinataxlarna ligger
i referensplanet. Om vi placerar xy-planet i referensplanet (fig. 2.13),
så att ~en = ~ez i def. 2.14, erhåller vi
F~i ⊥ ~ez
⇔
Fiz = 0
⇒
ΣFz = 0.
Vidare är alla kraftmoment och kraftparsmoment riktade i z-riktningen
så att
ΣMOx = ΣMOy = 0,
där O betecknar en momentpunkt i referensplanet. Därmed återstår
endast tre icketriviala jämviktsekvationer för det plana kraftsystemet:




ΣFx = 0
ΣFy = 0


 ΣM = 0.
Oz
3.2
(3.3)
Friläggning
Ett friläggningsdiagram är ett hjälpmedel för att identifiera alla yttre krafter och kraftparsmoment som verkar på ett mekaniskt system.
Vid friläggning särskiljs kroppen från sin omgivning och omgivningens
verkan på kroppen ersätts med krafter och kraftparsmoment. Arbetsgången vid friläggning är:
1. Bestäm vilken kropp som ska
friläggas, här inom streckad linje.
2. Rita ett diagram, som endast
innehåller den frilagda kroppen.
3. Ersätt omgivningens verkan på
kroppen med krafter och kraftparsmoment.
Omgivningens verkan på kroppen inbegriper krafter från kraftfält, t.ex.
tyngdkraft, och kontaktkrafter som uppstår vid varje fysisk kontakt
mellan den frilagda kroppens rand och omgivande föremål.
statisk jämvikt
23
Tyngdkraft
Tyngdkraftens verkan på en stelkropp nära jordens yta modelleras med
en kraft, tyngdkraften, verkande i kroppens tyngdpunkt G (fig. 3.2).
Tyngdkraften är ungefärligen riktad mot jordens centrum och har beloppet mg, där m är kroppens massa och g är tyngdkraftskonstanten.
Gravitationens verkan på stelkroppar kommer att studeras noggrannare i kap. 4.
Figur 3.2: En stelkropp på vilken
tyngdkraftsfältet vid jordens yta verkar.
Tyngdkraften, som har beloppet mg, har
sin angreppspunkt i tyngdpunkten G.
Tvångskrafter och -moment
Om en stelkropp står i fysisk kontakt med omgivande föremål, så att
den därför hindras från att fritt förflyttas eller rotera, kan tvångskrafter
eller tvångsmoment uppstå vid kontakten.
Vi studerar först en punktkontakt mellan två kroppar, Ω1 och Ω2 .
Kropparna är i kontakt med varandra i den gemensamma punkten P.
Denna kontakt ger i allmänhet upphov till en kraft F~1 verkande i P på
~ 1 på Ω1 . Kontakten ger också
kroppen Ω1 , samt ett kraftparsmoment C
upphov till en kraft F~2 verkande i P på kroppen Ω2 , samt ett kraft~ 2 på Ω2 (fig. 3.3). Enligt en utvidgning av reaktionslagen
parsmoment C
gäller
F~2 = −F~1 ,
~ 2 = −C
~1.
C
Figur 3.3: Två kroppar, Ω1 och Ω2 , med
en punktkontakt vid P. Friläggningen illustrerar kontaktkrafterna mellan krop~2 = −F
~1 ; C
~ 2 = −C
~1.
parna: F
Punktkontakt används som modell för olika typer av mekaniska
infästningar och anordningar mellan kroppar, såsom svetsar, gångjärn,
lager o.s.v. Infästningens typ påverkar riktningarna hos tvångskrafter
och -moment, enligt följande två principer:
1. Om en infästning medger att Ω1 kan förskjutas fritt relativt Ω2 i
en riktning ~eλ , gäller
F~1 · ~eλ = F~2 · ~eλ = 0.
Ett exempel är y-riktningen i fig. 3.4d.
2. Om en infästning medger att Ω1 kan vridas fritt relativt Ω2 kring
en axel med riktningsvektorn ~eλ genom P, gäller
~ 1 · ~eλ = C
~ 2 · ~eλ = 0.
C
Ett exempel är x-riktningen i fig. 3.4b.
24
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
(a)
(b)
(c)
(d)
Tvångskrafter kan alltså bara uppstå i de riktningar i vilka relativ
rörelse är förhindrad. På samma sätt kan tvångsmoment bara uppstå
i de riktningar kring vilka relativ vridning är förhindrad.
Det finns ändlöst många typer av infästningar och i varje fall måste
en lämplig punktkontaktmodell införas. Några exempel ges i fig. 3.4.
När en ny typ av infästning påträffas är det lämpligt att utgå från att
alla kraft- och kraftparsmomentkomposanter är nollskilda, och därefter
metodiskt eliminera de komposanter som saknar tvång.
Figur 3.4: Friläggning för olika typer
av kontakter. (a) Fast inspänning, t.ex.
svetsar, skruvförband och limförband,
där krafter och kraftparsmoment kan
uppstå i varje riktning. (b) För en
gångjärnsled, nitar och spikar, tillåter
en sprint vridning kring x-axeln, varför Cx = 0. (c) Friktionskontakt med
rundad kropp; vridningar är tillåtna genom rullning mot underlaget, så att
Cx = Cy = 0. Utan friktionsmoment
kring normalaxeln har vi Cz = 0. (d)
Ett hjul eliminerar en av friktionskomposanterna, Fy = 0, och vridning medges
kring varje axel, Cx = Cy = Cz = 0.
Snören och trissor
Ett snöre är en idealiserad lina, vajer eller liknande, vilken betraktas som masslös och otänjbar. Ett sträckt snöre belastas endast av
en dragkraft S > 0 i snörets längsriktning. Ett frilagt sträckt snöre
~ och −S,
~ som verkar i vardera änden och är
belastas av två krafter S
parallella med snöret (fig. 3.5a).
När ett snöre löper kring en friktionsfritt lagrad masslös trissa, kommer dragkraften att vara densamma i var och en av de två utgående
tamparna. Detta framgår om man tecknar momentjämvikt kring trissans lagringsaxel (fig. 3.5b).
Figur 3.5: (a) Ett sträckt snöre belastas
av två motriktade krafter, parallella med
snöret. (b) Snöre som löper över en friktionsfritt lagrad trissa. Momentjämvikt
för trissan kring A visar att S1 = S2 .
(a)
(b)
statisk jämvikt
25
Tvåkraftsystem
Ett viktigt specialfall för jämvikt i två eller tre dimensioner är när
exakt två krafter, ett tvåkraftsystem, verkar på en stelkropp.
Sats 3.3 (Tvåkraftsystem). Om exakt två krafter verkar på en stelkropp i statisk jämvikt, är dessa krafter lika stora, motriktade och
har sammanfallande verkningslinjer (fig. 3.6).
Bevis. Låt två godtyckliga krafter, F~A med angreppspunkt A och F~B
med angreppspunkt B, verka på en kropp i statisk jämvikt. Kraftjämvikt ger
Figur 3.6: Ett tvåkraftsystem i statisk
jämvikt. Krafternas verkningslinjer sammanfaller.
F~A + F~B = ~0,
så att F~A = −F~B och krafterna är lika stora och motriktade. Därmed
är också deras verkningslinjer parallella.
Momentjämvikt m.a.p. A ger (fig. 3.7)
−−→ ~
−→
AA × FA + AB × F~B
−→ ~
AB × FB
= ~0
= ~0.
⇔
(3.4)
Figur 3.7: Geometri för beviset till
sats 3.3.
−→
Låt ϕ beteckna vinkeln mellan AB och F~B . Då är det vinkelräta avståndet mellan verkningslinjerna
d⊥
=
=
=
=
=
−→
|AB| sin ϕ
1 ~ −→
|FB ||AB| sin ϕ = ekv. (B.12)
~
|FB |
1 −→ ~
|AB × FB | = ekv. (3.4)
~
|FB |
1 ~
|0|
|F~B |
0,
så att verkningslinjerna alltså måste sammanfalla.
Masslösa stänger fästa i gångjärnsleder är typiska tvåkraftsystem (fig. 3.8).
Analysen av flerkroppsproblem kan ibland förenklas avsevärt om man
utnyttjar denna egenskap.
Figur 3.8: Masslösa stänger som är momentfria i sina fästpunkter utgör tvåkraftsystem under drag och tryck. Även
masslösa snören är tvåkraftsystem.
26
3.3
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Flerkroppsproblem
När en konstruktion innehåller flera delar, som alla är i statisk jämvikt,
måste kraftsystemet på var och en av delarna vara ett nollsystem.
Man kan visa att det är ett nödvändigt villkor för statisk jämvikt att
hela systemet också påverkas av ett nollsystem av yttre krafter och
kraftparsmoment.
Vid problemlösning kan man välja att frilägga flera sammankopplade stelkroppar åt gången. Betrakta t.ex. schaktmaskinen i fig. 3.9a.
Beroende på frågeställningen kan det vara lämpligt att antingen frilägga schaktmaskinen i sin helhet (fig. 3.9b), eller att frilägga varje del för
sig (fig. 3.9c). Det senare alternativet är lämpligt om frågeställningen
rör krafter mellan konstruktionens delar.
Figur 3.9: (a) Schaktmaskin bestående av fordon med masscentrum G1 och
massan m1 , en masslös hydraulcylinder
och ett schaktblad på balk med masscentrum G2 och massan m2 . (b) Friläggning av hela konstruktionen. (c) Friläggning av konstruktionens delar, där hydraulcylindern är en tvåkraftsdel.
(a)
(b)
(c)
Friläggningen av schaktmaskinens delar i fig. 3.9c visar på några viktiga principer: I kontaktpunkten mellan två delar uppstår krafter och
reaktionskrafter, som enligt reaktionslagen är lika stora och motriktade. Hydraulcylindern antas vara masslös och är därför en tvåkraftsdel,
varför krafterna som angriper i dess ändar är lika stora, motriktade och
har sammanfallande verkningslinjer (sats 3.3). Kraft- och momentjämvikt kan tecknas för varje frilagd del.
4
Masscentrum och tyngdpunkt
4.1
Densitet
Densiteten % hos ett material är ett mått på materialets täthet, och
definieras som massa per volymsenhet, med SI-enheten kg/m3 . Vilket material en kropp består av kan variera över det område kroppen
upptar i rummet, och således varierar även densiteten: % = %(~r). En
kropp Ω har därmed massan
Z
m=
%(~r)dV,
(4.1)
Ω
där dV är ett infinitesimalt volymselement och ~r är integrationsvariabeln (fig. 4.1).
4.2
Figur 4.1: Geometri för definition av
massa.
Masscentrum
Betrakta en stelkropp nära jordens yta. Om kroppen hängs upp i ett
snöre anslutet till en punkt P1 på kroppens yta, kommer snörets förlängning vid statisk jämvikt definiera en lodlinje genom kroppen. Om
förfarandet upprepas för flera olika punkter, P1 , P2 , . . ., på kroppens
yta är det ett experimentellt faktum att samtliga motsvarande lodlinjer med god noggrannhet skär en gemensam kroppsfix punkt, som
kallas kroppens tyngdpunkt (fig. 4.2).
g
P1
P1
P2
P2
P3
tyngdpunkt
P1
I det följande ges en formell definition av en kropps masscentrum G,
och senare visas att masscentrum sammanfaller med kroppens tyngdpunkt.
Figur 4.2: En stelkropp på vilket tyngdkraftsfältet vid jordens yta verkar. Lodlinjerna för olika upphängningspunkter
P1 , P2 , . . . på kroppen skär en gemensam punkt benämnd tyngdpunkten.
28
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Definition 4.1 (Masscentrum). För en kropp Ω med densiteten %(~r)
definieras kroppens masscentrum G av lägesvektorn
Z
1
~r%(~r)dV,
(4.2)
~rG ≡
m Ω
där m betecknar kroppens massa.
Detta betyder att om ~rG = xG ~ex + yG ~ey + zG ~ez så ges masscentrums
x-koordinat av
Z
1
xG =
x%(x, y, z)dxdydz,
(4.3)
m Ω
med analoga uttryck för yG och zG .
Sats 4.2 (Masscentrum för sammansatt kropp). Om en kropp Ω, med
massan m, är sammansatt av n delkroppar Ω1 , . . . , Ωn , ges den
sammansatta kroppens masscentrum av
~rG =
1 X
mi~rGi ,
m i=1
n
(4.4)
där mi är massan och ~rGi är masscentrums lägesvektor för den i:te
delkroppen (fig. 4.3).
Bevis. Enligt def. 4.1 för masscentrum har vi
Z
1
~r%(~r)dV = En integral för varje delområde
~rG =
m Ω
Z
Z
1
=
~r%(~r)dV + · · · +
~r%(~r)dV
m Ω1
Ωn
Z
Z
1
1
1
~r%(~r)dV + · · · + mn
~r%(~r)dV
m1
=
m
m1 Ω1
mn Ωn
|
|
{z
}
{z
}
=rG1
=
1
m
n
X
=rGn
mi~rGi .
i=1
Definition 4.3 (Geometriskt centrum). För en kropp Ω definieras
kroppens geometriska centrum C av lägesvektorn
Z
1
~rdV,
(4.5)
~rC ≡
V Ω
där V betecknar kroppens volym.
Det är vanligt att en kropp Ω består av ett och samma material, så
att densiteten är oberoende av läget i kroppen, d.v.s. % är konstant. I
sådana fall är kroppens massa
Z
Z
m=
%dV = %
dV = %V.
Ω
Ω
Kroppens masscentrum blir då, enligt ekv. (4.2),
Z
Z
Z
1
1
1
~rG =
~r%dV =
% ~rdV =
~rdV = ~rC .
m Ω
%V
V Ω
Ω
Vid konstant densitet sammanfaller alltså masscentrum med geometriskt centrum.
Figur 4.3: En kropp sammansatt av delkroppar Ωi , i = 1, . . . , n, vardera med
massan mi och masscentrum Gi .
masscentrum och tyngdpunkt
4.3
29
Masscentrum för tunna kroppar
För ett tunt skal definieras ytdensiteten %A som skalets massa per
areaenhet. Ytdensiteten kan variera över skalet, varför vi skriver %A =
%A (~r), där ~r är lägesvektorn för en punkt på skalet. Vi låter Ω beteckna
den yta i rymden, som skalet upptar. Definitionen för masscentrum
generaliseras så att skalets masscentrum G är
Z
1
~rG ≡
~r%A dA,
(4.6)
m Ω
där dA betecknar ett infinitesimalt ytelement på Ω (fig. 4.4). På motsvarande sätt generaliseras ekv. (4.5) för geometriskt centrum till
Z
1
~rC ≡
~rdA,
(4.7)
A Ω
R
där A = Ω dA är skalets area.
För en krökt tunn stång, som följer kurvan K från P1 till P2 , definieras linjedensiteten %` som stångens massa per längdenhet. Linjedensiteten kan variera längs stången, så att %` = %` (~r), där ~r är lägesvektorn
för en punkt på stången. Definitionen för masscentrum generaliseras
så att stångens masscentrum G är
Z
1
~rG ≡
~r%` ds,
(4.8)
m K
där ds betecknar ett infinitesimalt längdelement på kurvan K (fig. 4.5).
Ekvation (4.5) generaliseras här till
Z
1
~rds,
(4.9)
~rC ≡
` K
R
där ` = K ds betecknar kurvan K:s längd.
4.4
Tyngdpunkt
Gravitationen är en volymskraft, som verkar över en kropps hela område i rummet. Betrakta en kropp Ω med densiteten %(~r). Kroppen
påverkas då av en volymskraft,
f~g (~r) = %(~r)~g (~r),
där ~g betecknar det tyngdkraftsfält som skapas av gravitationen. Man
kan ofta med tillräckligt god noggrannhet anta att tyngdkraftsfältet ~g (~r) = ~g är ett konstant vektorfält inom ett begränsat område.
Sats 4.4 (Tyngdkraft och tyngdpunkt). För en stelkropp Ω med massan m och densiteten %(~r) i ett rumskonstant tyngdkraftsfält ~g ges
kraftsumman av volymskraften %(~r)~g av tyngdkraften
F~g = m~g ,
(4.10)
och momentsumman för %(~r)~g m.a.p. kroppens masscentrum G är
~ G = ~0.
ΣM
Figur 4.4: Geometri för definition av
masscentrum för ett tunt skal Ω.
Figur 4.5: Geometri för definition av
masscentrum för en tunn stång längs
kurvan K.
30
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Bevis. Betrakta ett godtyckligt volymselement dV med lägesvektorn ~r
inom stelkroppen. Kraften på volymselementet är (fig. 4.6)
dF~ = %(~r)~g dV.
Kraftsumman över alla volymselement ges av
Z
~
Fg =
dF~
Ω
Z
=
%(~r)~g dV = ~g konstant
ΩZ
=
%(~r)dV ~g
| Ω {z }
=
=m
m~g .
Figur 4.6: Geometri för tyngkraftens verkan på en stelkropp, med en friläggning
av ett volymselement.
Volymselementet betraktas som en partikel (postulat 1.2) varför kraftparsmomentet på dV antas vara ~0.9 Momentsumman m.a.p. masscentrum G ges av
Z
~
ΣM G =
(~r − ~rG ) × dF~
Ω
Z
=
(~r − ~rG ) × %(~r)~g dV = ~g konstant
Ω
Z
=
(~r − ~rG )%(~r)dV × ~g
ZΩ
Z
=
~r%(~r)dV −
~rG %(~r)dV × ~g = ~rG konstant
Ω
Ω Z
Z
1
=
m
~r%(~r)dV −~rG
%(~r)dV × ~g
m
| Ω {z
}
| Ω {z }
=~
rG
=
=m
(m~rG − ~rG m) × ~g
= ~0 × ~g
= ~0.
Tack vare den egenskap som påvisas i sats 4.4 är det möjligt att representera tyngdkraftens verkan på en stelkropp med en enda kraft m~g
som verkar i kroppens masscentrum.
9
Detta är i sig ett postulat.
masscentrum och tyngdpunkt
31
Ett typiskt exempel, där tyngdkraftsfältet är ~g = −g~ez , finns avbildat i fig. 4.7. I ett rumskonstant tyngdkraftsfält är masscentrum identiskt med tyngdpunkten, som alltså avser den punkt G där tyngdkraften m~g anses verka. Om tyngdkraftsfältet varierar med läget, ~g = ~g (~r),
existerar ingen tyngdpunkt eftersom lodlinjerna som bildas vid förfarandet i fig. 4.2 inte nödvändigtvis kommer att ha någon gemensam
skärningspunkt.
Figur 4.7: En stelkropp på vilket tyngdkraftsfältet vid jordens yta verkar.
Tyngdkraften, som har beloppet mg, har
sin angreppspunkt i tyngdpunkten G.
5
Friktion
Vid en kontakt mellan två kroppar uppstår friktionskrafter på respektive kropp, som motverkar glidning.10 Betrakta två kroppar Ω1 och Ω2 ,
som står i fysisk kontakt vid den för kropparna gemensamma punkten P (fig. 5.1). Vid kontaktpunkten P definieras ett tangentplan till
kropparna, med normalvektorn ~en . På kropp Ω1 verkar en normal~ = N~en och en friktionskraft F~f ⊥ ~en . På kropp Ω2 verkar −N
~
kraft N
~
och −Ff enligt reaktionslagen.
10
Även kraftparsmoment kan uppstå för
att motverka vridning kring en normal
genom kontaktytan.
Figur 5.1: Två stelkroppar i kontakt vid
punkten P. Tangentplanet för kontakten
har indikerats. Kroppen Ω1 har frilagts,
~f i tangentplanet,
med friktionskraften F
~ i planets normaloch normalkraften N
riktning.
Alla material uppvisar friktion mot varandra, men när friktionen
mellan två kroppar bedöms vara försumbar, t.ex. p.g.a. smörjning,
sägs kontaktstället vara friktionsfritt. För en friktionsfri kontakt är
friktionskraften F~f = ~0. Med en friktionsfri yta,11 menas att alla ytans
kontaktställen är friktionsfria.
5.1
Ett friktionsexperiment
Betrakta experimentuppställningen i fig. 5.2. En låda vilar mot en plan
vagn som i sin tur vilar mot ett plant underlag. Vagnen hålls på plats
av en anordning som mäter beloppet Ff av den horisontella kraften på
vagnen. Lådan påverkas av en variabel horisontell kraft P vars belopp
mäts med en givare. En friläggning av lådan återfinns också i fig. 5.2.
Kraftjämvikt i horisontell riktning visar att det kraftbelopp Ff som
uppmäts på vagnen är identiskt med friktionskraftens belopp.
I ett experiment låter man först kraften P = 0 verka på lådan, därefter ökas P långsamt. I ett första skede glider inte lådan mot vagnen;
den hålls på plats av statisk friktion. Så länge ingen glidning uppstår
råder kraftjämvikt, vilket ger Ff = P . När man ökat P tillräckligt
11
Benämningen glatt yta förekommer
också.
34
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Figur 5.2: Experimentuppställning för
friktionsmätning, och friläggning av rörlig del. Kraftgivare har indikerats med
dubbelcirkelsymbol.
börjar dock lådan glida mot vagnen och accelerera. I samma ögonblick
sjunker friktionskraften plötsligt och behåller ett konstant värde även
om vi ökar P ytterligare under rörelsen (fig. 5.3). Friktionskraften vid
glidning benämns kinetisk friktion.
Beteendet som skildras i tankeexperimentet ovan är typiskt för så
kallad torr friktion, där kontaktstället utgörs av rena torra ytor. Fukt,
partiklar och oxidlager med mera på kropparnas ytor påverkar annars
friktionskraftens belopp. Även temperaturen och kropparnas mekaniska egenskaper påverkar friktionen.
5.2
Figur 5.3: Friktionskraft ritad som funktion av pålagd kraft P för experimentet
i fig. 5.2.
Coulombfriktion
Om vi begränsar oss till torr friktion mellan rena ytor under konstant
temperatur, gäller följande konstitutiva samband12 approximativt.
Konstitutivt samband 5.1 (Coulombs friktionslag). Om glidning
föreligger vid ett kontaktställe gäller
|F~f | = µk N.
(5.1)
Om glidning ej föreligger, består denna statiska friktion så länge
|F~f | < µs N.
(5.2)
Här är F~f friktionskraften, N normalkraftens belopp, µk den kinetiska friktionskoefficienten och µs den statiska friktionskoefficienten, där 0 ≤ µk ≤ µs .
Vid glidning verkar F~f rakt motsatt glidhastigheten vid kontaktstället. Tankeexperimentet från stycke 5.1 (fig. 5.2 och 5.3) exemplifierar
Coulombfriktion.
Om glidning ej föreligger i utgångsläget kan man undersöka gränsfallet för begynnande glidning. För detta sätter man friktionskraften
till det instabila gränsfall där glidning är förestående:
|F~f | = µs N.
(5.3)
Detta motsvarar friktionskraftens maximum i fig. 5.3.
Vid problemlösning är det ibland inte känt huruvida glidning föreligger vid kontaktstället. I sådana fall antar man först att friktionen
är statisk och använder jämviktsekvationerna, ekv. (3.1a) och (3.1b),
för att bestämma friktionskraftens belopp |F~f | och normalkraftens belopp N . Om detta leder till att ekv. (5.2) ej är uppfylld måste glidning
föreligga, och friktionskraften ges i stället av ekv. (5.1).
12
konstitutivt samband – ekvation eller
lag som är specifik för ett material, och
alltså ej är allmängiltig.
friktion
5.3
35
Friktion i ett system av kroppar
Om det finns flera kontaktställen med Coulumbfriktion i ett flerkroppsproblem gäller det konstitutiva sambandet 5.1 vid varje kontaktställe.
Om vi t.ex. har två kontaktställen, vid punkterna A och B, är följande
fall tänkbara:
•
•
•
•
Ingen glidning vid något av kontaktställena A eller B.
Glidning vid A men ej vid B.
Glidning vid B men ej vid A.
Glidning vid både A och B.
Dessa fall är avbildade i fig. 5.4. Om ett flerkroppsproblem innehåller n kontaktställen finns det maximalt 2n tänkbara kombinationer av
glidning och statisk friktion.
(a)
(b)
(c)
(d)
Figur 5.4: Exempel på friktion vid flera kontaktställen. Tänkbara utfall är
(a) ingen glidning, (b) endast glidning
vid A, (c) endast glidning vid B, och
(d) glidning vid både A och B. Det sista
fallet kan åstadkommas genom att, efter att glidning uppstått vid B, hastigt
öka P .
Ibland medför problemets geometri att vissa kombinationer av glidning och statisk friktion kan uteslutas. En kil har t.ex. två kontaktställen (fig. 5.5). Glidning måste uppstå vid båda kontaktställena för
att kilen ska kunna förflyttas. Således existerar bara två tänkbara fall:
antingen glidning vid båda kontaktställena, eller ingen glidning vid
något kontaktställe.
Figur 5.5: För att en kil ska drivas in
krävs glidning vid båda dess kontaktställen.
Del II
Partikeldynamik
6
Plan kinematik
Kinematik är läran om rörelsens geometri, utan att orsaken till denna
rörelse beaktas. Detta kapitel ägnas åt studier av partikelrörelse begränsad till ett plan, så kallad plan rörelse. Framställningen använder
sig av differentialer, som beskrivs formellt i bilaga D.
6.1
Rätlinjig rörelse
Om en partikel P rör sig längs en rät linje i rummet sägs partikeln
utföra rätlinjig rörelse. För att beskriva partikelns läge inför vi en
lägeskoordinat x(t) relativt en rumsfix punkt O på linjen (fig. 6.1).
Koordinaten x(t) beskriver läget vid tiden t och tillåts anta negativa
värden. Om partikeln vid en annan tid t + ∆t befinner sig vid punkten
P 0 med koordinaten x(t + ∆t), definierar vi partikelns momentana13
hastighet genom gränsvärdet
x(t + ∆t) − x(t)
dx
=
,
∆t→0
∆t
dt
v(t) ≡ lim
13
momentan – som råder i ögonblicket.
(6.1)
vilket vi känner igen som tidsderivatan av läget x(t). För rätlinjig
rörelse definieras partikelns fart som |v|.
P
O
x
v
P ′ v + ∆v
Figur 6.1: En partikel P:s rörelse längs
en rät linje relativt en fix referenspunkt O.
x + ∆x
På motsvarande sätt definieras partikelns momentana acceleration
som hastighetens tidsderivata:
a(t) ≡ lim
∆t→0
v(t + ∆t) − v(t)
dv
=
.
∆t
dt
(6.2)
Definitionerna för hastighet och acceleration kan även skrivas med
differentialnotation (bilaga D). Genom att tillämpa ekv. (D.2) på ekv. (6.1)
respektive (6.2) får vi
dx
=
vdt
(6.3a)
dv
=
adt.
(6.3b)
40
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Sats 6.1. För en partikel i rätlinjig rörelse, med lägeskoordinaten x(t),
hastigheten v(t) och accelerationen a(t) gäller
vdv = adx.
Bevis. Från ekv. (6.3b) får vi
dv = adt ⇔
multiplicera med v
vdv = avdt ⇔
ekv. (6.3a)
⇔
vdv
(6.4)
⇔
= adx.
Vid problemlösning utgår man lämpligen från ett eller flera av differentialsambanden (6.3a), (6.3b) och (6.4). Därefter tillämpar man
satserna D.2 eller D.3 för att bilda en skalär ekvation.
6.2
Kroklinjig rörelse
Det tidsberoende läget för en partikel eller punkt i rummet betecknas ~r(t). Utifrån denna lägesvektor definieras sedan hastighet och acceleration som gränsvärden.
Definition 6.2 (Hastighet). Hastigheten för en partikel med lägesvektorn ~r(t) definieras (fig. 6.2)
~r(t + ∆t) − ~r(t)
∆~r
d~r
= lim
=
.
∆t→0
∆t→0 ∆t
∆t
dt
~v (t) ≡ lim
(6.5)
Hastighet är en vektorstorhet och dess riktning är parallell med tangenten för den bana som beskrivs av ~r(t) (fig. 6.2).
Definition 6.3 (Acceleration). Accelerationen för en partikel med
hastigheten ~v (t) definieras (fig. 6.3)
~v (t + ∆t) − ~v (t)
∆~v
d~v
= lim
=
.
∆t→0
∆t→0 ∆t
∆t
dt
~a(t) ≡ lim
Figur 6.2: Geometri för gränsvärdesdefinition av hastighet.
(6.6)
Accelerationen är en vektorstorhet vars riktning inte behöver vara parallell med tangenten till banan ~r(t).
Rektangulära koordinater
En partikels läge i ett rektangulärt koordinatsystem med basen {~ex , ~ey , ~ez }
skrivs
~r(t) = x(t)~ex + y(t)~ey + z(t)~ez .
(6.7)
Denna situation illustreras i fig. 6.4. När det framgår av kontexten
vilka storheter som är tidberoende utelämnar man ofta parametern t
och skriver ~r = x~ex + y~ey + z~ez .
Sats 6.4 (Hastighet på rektangulär form). Hastigheten för en partikel
med lägesvektorn ~r = x~ex + y~ey + z~ez ges på rektangulär form av
~v = ẋ~ex + ẏ~ey + ż~ez .
(6.8)
Figur 6.3: Geometri för gränsvärdesdefinition av acceleration.
plan kinematik
41
Figur 6.4: En partikel P:s rörelse i rummet relativt ett rektangulärt koordinatsystem.
Bevis. Enligt definition 6.2 för hastighet gäller
~v
=
=
=
=
d~r
dt
d
(x~ex + y~ey + z~ez ) = produktregeln
dt
d~ex
d~ey
d~ez
ẋ~ex + x
+ ẏ~ey + y
+ ż~ez + z
= ~ex , ~ey , ~ez konst.
dt
dt
dt
ẋ~ex + ẏ~ey + ż~ez .
Basvektorernas tidsderivator blir noll eftersom de är konstanter för
rektangulära koordinatsystem.
Sats 6.5 (Acceleration på rektangulär form). Accelerationen för en
partikel med lägesvektorn ~r = x~ex + y~ey + z~ez ges på rektangulär
form av
~a = ẍ~ex + ÿ~ey + z̈~ez .
(6.9)
Bevis. Definition 6.3 för acceleration ger
~a =
=
=
=
d~v = sats 6.4
dt
d
(ẋ~ex + ẏ~ey + ż~ez ) = produktregeln
dt
d~ex
d~ey
d~ez
ẍ~ex + ẋ
+ ÿ~ey + ẏ
+ z̈~ez + ż
= ~ex , ~ey , ~ez konst.
dt
dt
dt
ẍ~ex + ÿ~ey + z̈~ez .
Precis som för rätlinjig rörelse är det önskvärt att skriva om uttrycken för hastighet och acceleration till differentialsamband, så att
partikelrörelser kan bestämmas genom integration.
Sats 6.6. Om en partikelbana ges av ~r = x~ex + y~ey + z~ez , hastigheten
betecknas ~v = vx~ex + vy ~ey + vz ~ez och accelerationen betecknas
~a = ax~ex + ay ~ey + az ~ez gäller differentialsambanden
dx = vx dt
dy = vy dt
dz = vz dt
dvx = ax dt
dvy = ay dt
dvz = az dt
vx dvx = ax dx
vy dvy = ay dy
vz dvz = az dz.
(6.10)
42
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Bevis. För koordinatriktningen x har vi enligt ekv. (6.8) att
vx
=
dx
=
dx
⇔
dt
vx dt.
ekv. (D.2)
⇔
(6.11)
Dessutom ger ekv. (6.9)
ax
=
dvx
=
d2 x
dvx
=
dt2
dt
ax dt.
⇔
ekv. (D.2)
⇔
Detta ger i sin tur
dvx
=
ax dt
vx dvx
=
ax vx dt
vx dvx
=
ax dx.
multiplicera med vx
⇔
ekv. (6.11)
⇔
⇔
⇔
Övriga differentialsamband för koordinaterna y och z erhålles analogt.
De differentialsamband som gäller för rätlinjig rörelse, gäller alltså enligt sats 6.6 för var och en av koordinatriktningarna vid kroklinjig
rörelse.
Polära koordinater
I ett givet rektangulärt koordinatsystem med origo O kan en partikel
−−→
P:s läge i xy-planet beskrivas med dess avstånd r = |OP| till origo samt vinkeln θ utgående från x-axeln moturs till strålen OP. Här
är r och θ partikelns polära koordinater (fig. 6.5). Om partikeln rör
sig blir dess polära koordinater tidsberoende: r = r(t) och θ = θ(t).
Vinkelhastigheten definieras ω ≡ θ̇, och vinkelaccelerationen definieras
α ≡ ω̇ = θ̈.
Figur 6.5: Polära koordinater (r, θ).
Definition 6.7 (Polära basvektorer). Givet en rektangulär bas {~ex , ~ey }
i planet definieras de polära basvektorerna (fig. 6.6)
~er
~eθ
≡ cos θ~ex + sin θ~ey
≡
− sin θ~ex + cos θ~ey .
(6.12a)
(6.12b)
I och med denna definition kan lägesvektorn för en partikel skrivas på
polär form som
~r = r~er ,
(6.13)
där ~r = ~r(t), r = r(t) och ~er = ~er (t). Partikelns hastighet och acceleration kan nu erhållas från definitionerna 6.2 och 6.3 genom tidsderiveringar av ekv. (6.13). Dessa deriveringar förenklas dock om vi först
beräknar basvektorernas tidsderivator.
Sats 6.8. De polära basvektorernas tidsderivator ges av
d~er
= θ̇~eθ
dt
d~eθ
= −θ̇~er .
dt
(6.14a)
(6.14b)
Figur 6.6: Rektangulär och polär bas i
enhetscikeln.
plan kinematik
Bevis. Derivering av ekv. (6.12a) ger
d~er
dt
d
d
(cos θ~ex ) +
(sin θ~ey ) = ~ex , ~ey konstanter
dt
dt
d(cos θ)
d(sin θ)
=
~ex +
~ey = kedjeregeln
dt
dt
d(cos θ) dθ
d(sin θ) dθ
=
~ex +
~ey
dθ dt
dθ dt
= (− sin θ)θ̇~ex + (cos θ)θ̇~ey
= θ̇ (− sin θ~ex + cos θ~ey ) = ekv. (6.12b)
=
=
θ̇~eθ .
Derivering av ekv. (6.12b) ger
d~eθ
dt
=
=
=
=
=
=
d
d
(sin θ~ex ) +
(cos θ~ey ) = ~ex , ~ey konstanter
dt
dt
d(cos θ)
d(sin θ)
~ex +
~ey = kedjeregeln
−
dt
dt
d(sin θ) dθ
d(cos θ) dθ
−
~ex +
~ey
dθ dt
dθ dt
−(cos θ)θ̇~ex + (− sin θ)θ̇~ey
−θ̇ (cos θ~ex + sin θ~ey ) = ekv. (6.12a)
−
−θ̇~er .
Direkt tidsderivering av ekv. (6.13) ger därefter uttrycken för hastighet
och acceleration i polära koordinater.
Sats 6.9 (Hastighet på polär form). Hastigheten för en partikel ges
på polär form av
~v = ṙ~er + rθ̇~eθ .
(6.15)
Bevis. Från definition 6.2 för hastighet får vi
~v
d~r = ekv. (6.13)
dt
d
=
(r~er ) = produktregeln
dt
d~er
= ṙ~er + r
= ekv. (6.14a)
dt
= ṙ~er + rθ̇~eθ .
=
Sats 6.10 (Acceleration på polär form). Accelerationen för en partikel
ges på polär form av
~a = (r̈ − rθ̇2 )~er + (rθ̈ + 2ṙθ̇)~eθ .
(6.16)
43
44
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Bevis. Från definition 6.3 för acceleration får vi
d~v ~a =
= ekv. (6.15)
dt
d
=
(ṙ~er + rθ̇~eθ ) = produktregeln
dt
d~er
d~eθ
= r̈~er + ṙ
+ ṙθ̇~eθ + rθ̈~eθ + rθ̇
= ekv. (6.14a), (6.14b)
dt
dt
= r̈~er + ṙ(θ̇~eθ ) + ṙθ̇~eθ + rθ̈~eθ + rθ̇(−θ̇~er )
=
(r̈ − rθ̇2 )~er + (rθ̈ + 2ṙθ̇)~eθ .
Cirkulär rörelse
En cirkulär rörelse låter sig väl beskrivas av polära koordinater (fig. 6.7).
Genom att placera origo i den cirkelära banans centrum försäkrar vi
oss om att r är konstant, så att ṙ = 0 och r̈ = 0. För cirkulär rörelse
rörelse förenklas därmed uttrycken för hastighet och acceleration till
~v
=
~a =
rθ̇~eθ = rω~eθ
(6.17a)
−rθ̇ ~er + rθ̈~eθ = −rω ~er + rα~eθ .
2
2
(6.17b)
Genom att betrakta ekv. (6.17a) finner man en enkel relation mellan
partikelns fart och dess vinkelhastighet:
v = rω.
Figur 6.7: Cirkelrörelse med polärt koordinatsystem.
(6.18)
Denna formel gäller dock endast vid cirkulär rörelse.
Naturliga komponenter
Betrakta en partikel P som rör sig längs en kurva K i planet. Utgående
från en fix punkt O på kurvan kan partikels lägesvektor skrivas ~r =
~r(s), där s = s(t) är båglängden från O till P längs kurvan (fig. 6.8).
Figur 6.8: En partikel P:s rörelse i planet längs en bana K, med båglängdskoordinaten s utgående från den rumsfixa punkten O. Den naturliga basen
{~et , ~en } varierar med partikelns läge.
Definition 6.11 (Naturliga basvektorer). För en given båglängdsparametrisering ~r = ~r(s) av en kurva K definieras den naturliga
basen
d~r
~et ≡
(6.19a)
ds
d~et −1
d~et
,
~en ≡ ρ
,
ρ ≡ (6.19b)
ds
ds plan kinematik
45
där ~et är kurvans tangentriktning, ~en är dess normalriktning och
ρ är dess krökningsradie.
Definition 6.11 är så utformad att |~et | = |~en | = 1 och ~et ⊥ ~en , och
därför utgör dessa enhetsvektorer en ortonormal bas i planet.14 Basvektorernas riktning varierar med partikelns läge (fig. 6.8).
För vårt vidkommande är den geometriska tolkningen av def. 6.11
intressant. Då partikeln befinner sig i en punkt P kommer ~et att peka i
kurvans tangentriktning vid P, riktad i båglängdskoordinatens positiva
riktning. Vidare kan man konstruera en cirkel, den oskulerande cirkeln,
sådan att den tangerar kurvan vid P och har samma krökningsradie ρ
som kurvan har vid P (fig. 6.8). Den oskulerande cirkelns mittpunkt
kallas krökningscentrum, C, och normalriktningen är orienterad mot
detta krökningscentrum.
För en partikelbana varierar läget med tiden t, varför vi skriver s =
s(t), och lägesvektorn får således formen
~r = ~r [s(t)] ,
ṡ ≥ 0.
14
R. A. Adams. Calculus: A complete course. Addison Wesley Longman,
Ltd., 4th edition, 1999. ISBN 978-0201-39607-2
(6.20)
Notera speciellt villkoret ṡ ≥ 0. En partikel som rör sig fram och åter
längs samma bana, som pendeln i figur 6.9, måste tillordnas en kurva
som veckar sig, så att rörelsen kan beskrivas med en båglängdskoordinat som är växande i tiden, och så att s kommer att representera
tillryggalagd sträcka. Från lägesvektorn i ekv. (6.20) härleds uttryck
för hastighet och acceleration (fig. 6.10) från deras respektive definitioner.
Figur 6.9: Vikten hos en pendel rör sig
fram och tillbaka i samma spår. Detta
representeras av en kurva som veckar sig
fram och åter, så att båglängdskoordinaten ökar med tiden.
Sats 6.12 (Hastighet i naturliga basen). Hastigheten för en partikel
ges i den naturliga basen av
~v = ṡ~et = v~et ,
(6.21)
där v = ṡ ≥ 0 är partikelns fart.
Bevis. Från def. 6.2 för hastighet får vi
~v
Figur 6.10: Lägesvektor ~
r, hastighet ~v
och acceleration ~a i den naturliga basen.
d~r = ekv. (6.20)
dt
d
=
~r [s(t)] = kedjeregeln
dt
d~r ds =
= ekv. (6.19a)
ds dt
= ṡ~et .
=
Sats 6.13 (Acceleration i naturliga basen). Accelerationen för en partikel ges i den naturliga basen av
~a = v̇~et +
v2
~en ,
ρ
där v = ṡ och ρ är banans krökningsradie.
(6.22)
46
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Bevis. Från def. 6.3 för acceleration får vi
d~v ~a =
= ekv. (6.21)
dt
d
=
(ṡ~et ) = produktregeln
dt
d~et
= s̈~et + ṡ
= kedjeregeln
dt
d~et ds = s̈~et + ṡ
= ekv. (6.19b)
ds dt
ṡ2
= s̈~et + ~en
ρ
v2
= v̇~et + ~en .
ρ
Accelerationens normalkomponent är alltså an = v 2 /ρ och är alltid
riktad mot krökningscentrum (fig. 6.10).
Sats 6.14. För en krökt partikelbana i den naturliga basen gäller
vdv = at ds,
(6.23)
där at = v̇ är accelerationens komponent i tangentriktningen.
Bevis. Eftersom v = ds/dt ger ekv. (D.2) att
ds = vdt.
(6.24)
Enligt ekv. (D.1) har vi
dv
= v̇dt
dv
= at dt
vdv
= at vdt
vdv
= at ds.
6.3
⇔
⇔
⇔
ekv. (6.22)
ekv. (6.24)
⇔
⇔
Kinematiska tvång
Rörelsen hos kroppar som är i kontakt med varandra kan vara kopplade på grund av kinematiska tvång. Det gäller t.ex. då två kroppar
är förbundna med en länkarm eller ett sträckt snöre. I ett materiellt
system med flera partiklar i rätlinjig rörelse, förses varje partikel med
en koordinat, som bestämmer partikelns läge relativt någon rumsfix
punkt.
Partiklar förbundna med ett snöre
Som typexempel betraktar vi ett system med två partiklar, A och B,
förbundna med ett snöre. Snöret löper genom två trissor, som är upphängda enligt fig. 6.11. Båda trissornas radier är R. Med hjälp av definitionerna av sträckor och lägen i fig. 6.11 kan vi teckna ett uttryck
Figur 6.11: Två partiklar, A och B, sammankopplade med ett snöre, som löper
genom trissor med radien R.
plan kinematik
47
för snörets totala längd:
` =
=
xA + πR + (xA − d) + πR + xB
2xA + xB + 2πR − d.
Derivering av denna ekvation m.a.p. tiden ger ett samband mellan
partiklarnas hastighet i deras respektive koordinatriktning:
0 = 2ẋA + ẋB
⇔
2vA + vB = 0,
där vi utnyttjade att snörets längd är konstant. Ytterligare en derivering m.a.p. t ger ett samband mellan partiklarnas accelerationer
0 = 2ẍA + ẍB
⇔
2aA + aB = 0.
Typiskt för dynamiska problem är att man behöver just sambandet
mellan olika partiklars acceleration, eftersom accelerationen ingår i
kraftlagen (stycke 1.2).
Generellt är det alltid fruktbart att teckna ett snöres längd i de
sammanbundna partiklarnas koordinater och sedan derivera m.a.p. t.
Om problemet innehåller flera snören erhåller man på detta sätt ett
kinematiskt samband för varje snöre.
Partiklar förbundna med en länkarm
När två partiklar står i förbindelse med varandra genom en vridbar
länkarm, inför man en vinkelkoordinat θ, som betecknar länkarmens
vridning relativt en rumsfix axel. Om vinkeln förblir liten, kommer
rörelsen vid länkarmens ändar att vara approximativt rätlinjig.
Som exempel betraktar vi två partiklar, A och B, som är upphängda
i var sin ände av en rät stång enligt fig. 6.12. Partiklarnas lägen kan
skrivas som funktioner av vinkeln θ:
(
xA = b + `A sin θ
`A
⇔ xA = b +
(b − xB ),
`B
xB = b − `B sin θ
där sin θ eliminerades ur ekvationssystemet. Derivering m.a.p. t ger
ẋA = −
`A
ẋB
`B
⇔
vA = −
`A
vB .
`B
Ytterligare en derivering m.a.p. t ger ett samband mellan partiklarnas
accelerationer
ẍA = −
`A
ẍB
`B
⇔
aA = −
`A
aB .
`B
Figur 6.12: Två partiklar, A och B, är
upphängda i snören, vardera med längden b, och sammankopplade med en länkarm.
7
Kinetik
7.1
Newtons rörelselagar
Vi upprepar Newtons rörelselagar för partiklar, från stycke 1.2:15
1. Tröghetslagen En partikel förblir i vila eller i likformig rätlinjig
rörelse så länge inga yttre krafter verkar på partikeln.16
2. Kraftlagen För en partikel med konstant massa m gäller
ΣF~ = m~a,
15
I. S. Newton.
Naturvetenskapens
matematiska principer, första boken.
Svensk översättning C. V. L. Charlier,
Liber Läromedel, Malmö, 1986a. ISBN
91-40-60433-0
16
(7.1)
Med formuleringen “inga yttre krafter” menas att partikeln är helt fri från
växelverkan.
där ΣF~ är kraftsumman på partikeln och ~a är partikelns acceleration.
3. Reaktionslagen När en partikel B utövar en kraft F~ på en annan partikel A, utövar A samtidigt en kraft −F~ på B. Kraften
och reaktionskraften mellan två partiklar är alltså lika stora och
motriktade.
Postulaten ovan benämns även Newtons första, andra respektive tredje
lag. Experiment visar att Newtons rörelselagar gäller för makroskopiska system, alltså system mycket större än den atomära längdskalan,
och farter mycket mindre än ljusets hastighet.
Newtons första lag
Enligt Newtons första lag krävs ingen kraft för att upprätthålla en
rörelse. En partikel rör sig med konstant hastighet i en rät linje, så
kallad likformig rörelse, om den inte påverkas av några krafter från
omgivningen. Det krävs någon form av växelverkan med omgivningen
för att förändra rörelsen.
Rörelsen hos partiklar måste beskrivas relativt en referensram,17
inom vilket vi kan definiera ett koordinatsystem. Newtons rörelselagar
gäller bara i en viss typ av koordinatsystem, som kallas inertialsystem. Newtons första lag, tröghetslagen, gör det möjligt att bestämma
om ett givet koordinatsystem är ett inertialsystem. Man väljer då ut
ett antal föremål som växelverkar mycket svagt med sin omgivning,
till exempel stjärnor långt från andra astronomiska objekt. Om varje
17
referensram – mängden av alla koordinatsystem, som är i vila relativt ett givet
koordinatsystem.
50
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
sådant föremål har konstant hastighet i det givna koordinatsystemet
(fig. 7.1a), vet man att koordinatsystemet med stor noggrannhet är
ett inertialsystem. Om däremot hastigheten för dessa föremål varierar för ett koordinatsystem (fig. 7.1b), vet man att detta inte är ett
inertialsystem.
Figur 7.1: (a) Inertialsystemet xyz är
sådana att kroppar med försumbar växelverkan beskriver likformig rörelse. (b)
Koordinatsystemet x∗ y ∗ z ∗ är ej ett inertialsystem. Föremål som påverkas av
mycket liten kraft förefaller vara accelererade.
(a)
(b)
Ett koordinatsystem som är fixt relativt Jordens yta är inte något
inertialsystem. Detta framgår tydligt då man fotograferar en stjärnklar himmel med lång exponeringstid (fig. 7.2); stjärnorna rör sig inte
likformigt i den jordbundna referensramen. I många tillämpningar—
dock inte alla—uppnås tillfredställande noggrannhet om Newtons lagar
tillämpas för ett jordbundet koordinatsystem.
Newtons andra lag
I Newtons andra lag, kraftlagen, är det underförstått att en referensram valts så att tröghetslagen gäller. Då är accelerationen ~a, som ingår
i kraftlagen, väldefinierad (def. 6.3).
I mer noggranna framställningar utreds hur begreppet massa kan
definieras ur Newtons lagar.18 Här antar vi emellertid att massa och
kraft är på förhand väldefinierade storheter. Deras relation till en partikels rörelse ges av kraftlagen:
Figur 7.2: Stjärnhimlen fotograferad
med lång exponeringstid. Ett jordbundet system är inte något inertialsystem.
(foto LCGS Russ)
18
J. B. Griffiths. The theory of classical
mechanics. Cambridge University Press,
1985. ISBN 0-521-23760-2
ΣF~ = m~a.
Notera att vänsterledet innehåller den vektoriella summan av alla på
partikeln verkande krafter. Endast krafter som härrör från växelverkan, t.ex. gravitationskraft och kontaktkrafter, ingår i denna summa.19
Newtons tredje lag
Newtons tredje lag, reaktionslagen för partiklar, beskriver växelverkans natur. Eftersom krafter uppstår genom växelverkan mellan kroppar, uppträder krafter i par: kraften och reaktionskraften på respektive
växelverkande partikel är lika stora och motriktade (fig. 7.3). Den tredje lagen omtalar dock inte huruvida kraften och reaktionskraften ger
upphov till något kraftparsmoment. Vi formulerar därför ett tillägg till
reaktionlagen, så att kraftparsmomentet blir noll:
19
Fiktiva krafter, t.ex. centripetalkraft,
lyder inte de lagar som normalt gäller
för krafter, t.ex. reaktionslagen.
kinetik
51
Postulat 7.1 (Tillägg till reaktionslagen). Kraften och reaktionskraften verkar längs en gemensam verkningslinje vid växelverkan mellan partiklar (fig. 7.3).
Reaktionslagen är mycket generell. Den gäller i både statiska och
dynamiska situationer och den gäller för alla typer av kroppar, även
deformerbara. Det finns dock tillfällen då den inte gäller, t.ex. när
partiklar växelverkar genom elektromagnetiska krafter och kropparna
accelereras eller befinner sig på mycket stort avstånd från varandra.20
7.2
Rörelseekvationer och problemlösning
20
I kinetiska problem bestäms en partikels rörelse av de krafter som
påverkar partikeln. Samtidigt kan partikelns rörelse påverkas av kinematiska tvång.
Rätlinjig rörelse
Vid rätlinjig rörelse är det på förhand givet att en partikel rör sig längs
en rät linje i ett inertialsystem. Vi väljer ett rektangulärt koordinatsystem sådant att x-riktningen sammanfaller med rörelseriktningen.
Eftersom ingen rörelse sker i y- eller z-riktningen gäller ay = az = 0.
Kraftlagen på komponentform blir därmed
ΣFx
=
max
(7.2a)
ΣFy
=
0
(7.2b)
ΣFz
=
0.
(7.2c)
Accelerationen i en given rörelseriktning bestäms alltså av kraftsumman i denna riktning.
Kroklinjig plan rörelse
Då en partikels rörelse sker i ett plan finns tre alternativa koordinatsystem, som kan användas för att beskriva rörelse.
För rektangulära koordinater med partikelrörelser begränsade till
i xy-planet gäller enligt sats 6.5 att ax = ẍ, ay = ÿ och az = 0.
Kraftlagen på komponentform blir
ΣFx
=
max = mẍ
(7.3a)
ΣFy
=
may = mÿ.
(7.3b)
För polära koordinater (r–θ) och plan rörelse gäller enligt sats 6.10
att ar = r̈ − rθ̇2 och aθ = rθ̈ + 2ṙθ̇. Kraftlagen på komponentform blir
ΣFr
ΣFθ
= mar = m(r̈ − rθ̇2 )
=
maθ = m(rθ̈ + 2ṙθ̇).
Figur 7.3: Newtons tredje lag, reaktionslagen, under det extra antagandet att
kraften och reaktionskraften har en gemensam verkningslinje.
(7.4a)
(7.4b)
Dessa ekvationer förenklas avsevärt vid cirkulär rörelse, då ṙ = 0
och r̈ = 0.
K. R. Symon. Mechanics. AddisonWesley Publishing Company, Inc., 2nd
edition, 1960
52
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
För naturliga komponenter (n–t) och plan rörelse gäller enligt sats 6.13
att at = v̇ och an = v 2 /ρ, där ρ är banans krökningsradie. Kraftlagen
på komponentform blir
ΣFn
ΣFt
v2
ρ
= mat = mv̇.
= man = m
(7.5a)
(7.5b)
Observera vikten av att införa korrekta koordinatriktningar. Normalriktningen är orienterad mot krökningscentrum.
8
Arbete, energi och effekt
I de fall krafterna på en partikel beror av dess läge (fig. 8.1) kan analysen ofta förenklas m.h.a. energimetoder. Arbete och energi mäts i
enheten joule (J) eller newtonmeter (Nm), där
1 J = 1 Nm = 1 kg·m2 /s .
2
8.1
Figur 8.1: Då kraften på en partikel P
beror av dess läge är energimetoder ofta
användbara.
Arbete
Definition 8.1 (Arbete av en kraft). En kraft med kraftvektorn F~ =
F~ (s) angriper i en punkt med given bana ~r = ~r(s), där s = s(t)
är båglängdskoordinaten sådan att ṡ ≥ 0.21 Kraftens arbete U
definieras genom
dU = F~ · ~et ds,
21
Med villkoret ṡ ≥ 0 kommer ~
r(s) att
representera en unik väg, och s är den
tillryggalagda sträckan.
(8.1)
där ~et är banans tangentriktning (fig. 8.2).
Arbetet av en kraft mellan två givna tidpunkter, t1 och t2 , betecknas
U1−2 och erhålles genom integration av differentialsambandet 8.1, som
enligt sats D.3 ger
Z s2
F~ · ~et ds,
(8.2)
U1−2 =
s1
där vi använt beteckningarna s1 = s(t1 ) och s2 = s(t2 ) (fig. 8.2). En
trivial men viktigt följd av definitionen är att inget arbete uträttas av
en kraft som angriper i en rumsfix punkt, sådan att s1 = s2 .
Figur 8.2: Partikelbana mellan tidpunkterna t1 och t2 motsvarande båglängdskoordinaterna s1 och s2 .
Definition 8.2 (Arbete på en partikel). Arbetet på en partikel är
arbetet av kraftsumman ΣF~ , som verkar på partikeln.
54
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Det totala arbetet på en partikel mellan två tidpunkter, t1 och t2 , ges
av
!
Z s2 X
Z s2
n
n Z s2
X
F~i · ~et ds =
ΣF~ · ~et ds =
F~i · ~et ds,
U1−2 =
s1
s1
i=1
i=1
s1
som alltså är summan av varje krafts arbete.
Tvångskrafter, t.ex. normalkraften, uppstår endast i de rörelseriktningar som är förhindrade. Partikelrörelsen relativt ett rumsfixt hinder
är därför alltid vinkelrät mot tvångskraftens riktningen, varför tvångskrafter från ett sådant hinder ej kan utföra arbete.
Arbetet vid rätlinjig rörelse utgör ett specialfall av kroklinjig rörelse.
För rätlinjig rörelse kan vi införa en lägeskoordinat x(t), som beskriver
en punkt P:s läge, och betraktar en kraft F (x), med angreppspunkt
i P där kraftens positiva riktning är x-riktningen (fig. 8.3). I så fall
följer det av def. 8.1 att
dU = F dx.
(8.3)
Notera att x är en lägeskoordinat och att ẋ tillåts anta negativa värden.
8.2
O
P
F (t)
x
Figur 8.3: Rätlinjig rörelse för en partikel P med en lägeskoordinat x(t) samt
en kraft F [x(t)] med x-riktningen som
positiv riktning.
Rörelseenergi
Definition 8.3 (Rörelseenergi). För en partikel med massan m och
farten v definieras rörelseenergin 22 som
T ≡
1
mv 2 .
2
22
Benämns även kinetisk energi.
(8.4)
Krafter som verkar på en partikel kommer att ändra partikelns hastighet, och kan därför ändra dess rörelseenergi. Hur krafters arbete
omvandlas till rörelseenergi beskrivs av mekaniska energisatsen.
Sats 8.4 (Mekaniska energisatsen). För en partikel med massan m,
som färdas längs en båglängdsparametriserad kurva ~r(s) mellan lägena s1 och s2 medan den påverkas av en kraftsumma ΣF~ (fig. 8.4),
gäller
Z s2
ΣF~ · ~et ds = T2 − T1 ,
(8.5)
s1
där T1 är rörelseenergin vid s1 och T2 är rörelseenergin vid s2 .
Bevis. Integranden i vänsterledet av ekv. (8.5) samt kraftlagen ger
ΣF~ · ~et = m~a · ~et = ekv. (6.22)
v2
= m v̇~et + ~en · ~et
ρ
dv = m
= kedjeregeln
dt
dv ds
= m
ds dt
dv
= mv .
ds
Figur 8.4: Geometri för mekaniska energisatsen: partikelbana mellan tidpunkterna t1 och t2 motsvarande båglängdskoordinaterna s1 och s2 samt farter v1 och v2 .
arbete, energi och effekt
55
Detta samband kan, enligt ekv. D.2, uttryckas med differentialnotation:
ΣF~ · ~et ds = mvdv
Z
s2
s1
ΣF~ · ~et ds =
=
sats D.3
⇔
Z
⇔
v2
mvdv
v1
m
1 2
v
2
v2
v1
1
1
=
mv22 − mv12 = def. 8.4
2
2
= T2 − T1 .
8.3
Konservativa krafter
Konservativa krafter är sådana som bevarar den totala mekaniska energin när de utför ett arbete. Med mekanisk energi menas summan av
rörelseenergi, lägesenergi och elastisk energi. Konservativa krafters arbete ger inte upphov till andra energiformer, t.ex. värme, elektrisk
ström eller elektromagnetisk strålning (ljus). Friktion alstrar värme,
och är alltså inte någon konservativ kraft. Analysen av konservativa
krafters arbete kan förenklas med så kallade potentialer.
Definition 8.5 (Lägesenergi i tyngdkraftsfält). Lägesenergin hos en
partikel P med massan m i ett konstant tyngdkraftsfält ~g = −g~ez
definieras som
Vg (z) ≡ mgz,
(8.6)
där z är partikelns läge relativt ett valt origo O för ett rektangulärt
koordinatsystem.
Vid jordytan ökar alltså lägesenergin linjärt med höjden över marken.
Sats 8.6 (Tyngdkraftens arbete). På en partikel med massan m, som
färdas längs en båglängdsparametriserad kurva ~r(s) mellan lägena
s1 och s2 medan den påverkas av ett tyngdkraftsfält ~g = −g~ez
(fig. 8.5), utför tyngdkraften F~g = m~g arbetet
Z
s2
s1
F~g · ~et ds = − [Vg (z2 ) − Vg (z1 )] ,
(8.7)
där Vg är partikelns lägesenergi medan z1 och z2 är partikels zkoordinat vid s1 respektive s2 .
Figur 8.5: Geometri för tyngdkraftens arbete på en partikel P.
56
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Bevis. Integranden i vänsterledet av ekv. (8.7) är
F~g · ~et = −mg~ez · ~et = ekv. (6.21)
~v = −mg~ez · = ekv. (6.8)
ṡ
mg
~ez · (ẋ~ex + ẏ~ey + ż~ez )
= −
ṡ
mg dz = −
= kedjeregeln
ṡ dt
mg dz ds
= −
ṡ ds dt
dz
= −mg .
ds
Detta samband skrivs med differentialnotation, enligt ekv. (D.2), som
F~g · ~et ds = −mgdz ⇔
sats D.3
⇔
Z s2
Z z2
F~g · ~et ds =
−mgdz
s1
z1
= −mg(z2 − z1 ) = def. 8.5
=
− [Vg (z2 ) − Vg (z1 )] .
Fjädrar, till exempel spiralfjädrar (fig. 8.6), kan användas för att
lagra mekanisk energi. Den kraft som en fjäder utvecklar är konservativ.
Definition 8.7 (Elastisk energi för linjär fjäder). Den elastiska energin för en linjär fjäder med fjäderkonstanten k och den obelastade
längden `0 (fig. 1.5), definieras som
Ve (`) ≡
1
k(` − `0 )2 ,
2
(8.8)
där ` betecknar fjäderns aktuella längd.
Om man låter δ = ` − `0 beteckna fjäderns förlängning kan den elastiska energin skrivas
Ve =
1 2
kδ .
2
(8.9)
Sats 8.8 (Fjäderkraftens arbete). En linjär fjäder med fjäderkonstanten k och den obelastade längden `0 , är med sina ena ände ledat infäst vid den rumsfixa punkten O. Den andra änden P färdas längs
en båglängdsparametriserad kurva ~r(s) mellan lägena s1 och s2
(fig. 8.7). Fjäderkraften F~e verkande i P utför då ett arbete
Z s2
F~e · ~et ds = − [Ve (`2 ) − Ve (`1 )] ,
(8.10)
s1
där `1 och `2 är fjäderlängderna vid s1 respektive s2 , och Ve (`) är
fjäderns elastiska energi.
Figur 8.6: Tryckfjädrar (foto G. Carena).
arbete, energi och effekt
57
Figur 8.7: Geometri för en fjäderkrafts
arbete vid punkten P.
Bevis. Inför att polärt koordinatsystem med origo O. Vi börjar med
en omskrivning av skalärprodukten ~er · ~et . Ekvation (6.21) ger
~er · ~et
= ~er ·
=
=
=
=
~v = ekv. (6.15)
ṡ
1
~er · (ṙ~er + rθ̇~eθ )
ṡ
1 dr = kedjeregeln
ṡ dt
1 dr ds
ṡ ds dt
dr
.
ds
Eftersom fjäderns längd är ` = r ges fjäderkraften av F~e = −k(r−`0 )~er ,
så att integranden i vänsterledet av ekv. (8.10) är
dr
F~e · ~et = −k(r − `0 )~er · ~et = −k(r − `0 ) .
ds
Detta samband skrivs med differentialnotation, enligt ekv. (D.2), som
F~e · ~et ds = −k(r − `0 )dr ⇔
sats D.3
⇔
Z
s2
s1
F~e · ~et ds =
=
=
=
=
8.4
Z
`2
`1
−k
−k(r − `0 )dr = subst. x = r − `0
Z
`2 −`0
xdx
`1 −`0
` −`
1 2 2 0
−k x
2
`1 −`0
1
1
− k(`2 − `0 )2 + k(`1 − `0 )2
2
2
− [Ve (`2 ) − Ve (`1 )] .
Mekaniska energisatsen
Arbetet från tyngdkraften och från fjäderkrafter kan beräknas relativt enkelt med hjälp av deras respektive potentialer Vg och Ve . Övriga krafters arbete måste beräknas direkt utifrån def. 8.1. Mekaniska
energisatsen skrivs om enligt följande:
58
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Sats 8.9 (Mekaniska energisatsen med potentialer). För en partikel P,
som färdas längs en båglängdsparametriserad kurva ~r(s) mellan
lägena s1 och s2 , gäller
Z s2
(ΣF~ 0 · ~et )ds = (Vg2 − Vg1 ) + (Ve2 − Ve1 ) + (T2 − T1 ). (8.11)
s1
där ΣF~ 0 är summan av alla krafter utom tyngdkraften och elastiska
krafter, och där indexen 1 och 2 betecknar storheter vid lägena s1
respektive s2 .
Figur 8.8: En partikel rör sig under påverkan av gravitation, fjäderkrafter samt
~ 0 , där de senare inbeövriga krafter ΣF
griper t.ex. friktionskraften och den på~.
lagda kraften P
Bevis. Partikeln påverkas av en gravitationskraft F~g , en elastisk kraft
F~e samt en summa ΣF~ 0 av övrig kraftpåverkan (fig. 8.8). Enligt sats 8.4
gäller
Z s2
(F~g + F~e + ΣF~ 0 ) · ~et ds = T2 − T1 ⇔
s1
Z
s2
s1
F~g · ~et ds +
Z
s2
s1
F~e · ~et ds +
Z
s2
s1
ΣF~ 0 · ~et ds = T2 − T1 .
Genom att tillämpa satserna 8.6 och 8.8 erhåller vi
Z s2
−(Vg2 − Vg1 ) − (Ve2 − Ve1 ) +
ΣF~ 0 · ~et ds = (T2 − T1 ).
s1
För att analysera den fysikaliska innebörden av ekv. (8.11) inför vi
följande notation för respektive term: Arbetet utfört av krafter utom
tyngdkraft och elastisk kraft från fjädrar mellan lägena s1 och s2 är
Z s2
0
ΣF~ 0 · ~et ds.
U1−2 =
s1
Ändring av lägesenergi, elastisk energi respektive rörelseenergi mellan
lägena s1 och s2 är
∆Vg
∆Ve
∆T
= Vg2 − Vg1
= Ve2 − Ve1
= T2 − T1 .
Mekanikens energisats kan därmed skrivas
0
U1−2
= ∆Vg + ∆Ve + ∆T.
(8.12)
0
Speciellt, om inget arbete utförs på en partikel, U1−2
= 0, kommer
systemets totala mekaniska energi Vg + Ve + T att vara konstant. Om
0
arbetet är nollskilt, U1−2
6= 0, kommer mekanisk energi att tillföras
eller bortföras.
arbete, energi och effekt
8.5
Effekt
Arbetet av en kraft F~ verkande på en partikel som rör sig längs banan ~r = ~r(s) mellan en begynnelsetid t0 och en variabel tid t är
U (t) =
Z
s(t)
s(t0 )
F~ · ~et ds.
(8.13)
På detta sätt kan arbetet av en kraft alltså ses som en funktion av
tiden.
Definition 8.10 (Effekt av en kraft). Effekten som utvecklas av en
given kraft definieras som
(8.14)
P ≡ U̇ ,
där U (t) är arbetet som utförs av kraften mellan en godtycklig
begynnelsetid och tiden t.
Effekten beskriver kraftens uträttade arbete per tidsenhet och mäts i
SI-enheten watt (W). Det gäller att
1 W = 1 J/s = 1 Nm/s = 1 kg·m2 /s .
3
Sats 8.11 (Effektformeln). Om en kraft F~ verkar i en punkt med
hastigheten ~v , utvecklar kraften en effekt
P = F~ · ~v .
(8.15)
Bevis. På differentialform kan def. 8.10 skrivas dU = P dt, vilket ger
P dt = dU = ekv. (8.1)
= F~ · ~et ds = ekv. (D.1)
ds
= F~ · ~et dt.
dt
Division med differentialen dt ger
P = F~ · ~et ṡ = ekv. (6.21) = F~ · ~v .
59
9
Rörelsemängd och impuls
9.1
Rörelsemängd
Definition 9.1 (Rörelsemängd). Rörelsemängden hos en partikel med
massan m och hastigheten ~v definieras (fig. 9.1)
(9.1)
~ ≡ m~v .
G
Rörelsemängd har ingen egen SI-enhet utan uttrycks i härledda enhe~
ter: 1 N·s = 1 kg·m/s. För en konstant massa m gäller dG/dt
= m~a, så
att kraftlagen för partiklar kan skrivas
~
dG
ΣF~ =
.
dt
9.2
(9.2)
Impuls
Definition 9.2 (Impuls av en kraft). En kraft F~ med angreppspunkt P
som verkar mellan tidpunkterna t1 och t2 ger en impuls
~ ≡
L
Z
t2
F~ dt.
(9.3)
t1
Om en impuls verkar på en partikel kommer partikeln att ändra sin
rörelsemängd. Detta beskrivs av impulslagen:
Sats 9.3 (Impulslagen). Om en partikel påverkas av en kraftsumma ΣF~ mellan tidpunkterna t1 och t2 gäller
Z
t2
t1
~2 − G
~ 1,
ΣF~ dt = G
(9.4)
~ 1 och G
~ 2 är partikelns rörelsemängd vid tiderna t1 respektive
där G
t2 .
Bevis. Vi utgår från kraftlagen på komponentform för ett rektangulärt
inertialsystem. För x-riktningen gäller enligt ekv. (9.2) att
ΣFx =
dGx
dt
⇔
ΣFx dt = dGx
⇔
sats D.2
⇔
Figur 9.1: Riktningarna hos rörelsemängden och dess tidsderivata sammanfaller med hastigheten respektive accelerationen för en partikeln.
62
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Z
t2
ΣFx dt =
Z
G2x
dGx
G1x
t1
=
=
G2x
Gx
G1x
G2x − G1x .
Analoga samband erhålles för y- och z-riktningen, vilket medför att
Z t2
~2 − G
~ 1.
ΣF~ dt = G
t1
För att ändra en partikels fart eller rörelseriktning krävs alltså en impuls.
Betrakta två personer där den ena kastar en boll till den andra,
samt hur kraften på bollen ändras med tiden, se fig. 9.2. Kastaren låter en kraft verka på bollen under en relativt lång tid, från t0 till t1 ,
vilket tilldelar bollen en impuls: den positiva arean under kraftkurvan
i fig. 9.2. Impulsen ger en viss rörelsemängd hos bollen. Mottagaren
måste tilldela bollen en lika stor motriktad impuls—den negativa arean under kraftkurvan—för att stoppa bollen. Detta sker dock under
kortare tid, från t2 till t3 , så mottagarens hand utsätts för en kraft
med större belopp. Den totala integralen av ΣFx under hela rörelsen
blir noll.
9.3
Rörelsemängdsmoment
Definition 9.4 (Rörelsemängdsmoment). För en partikel P med massan m och hastigheten ~v , definieras rörelsemängdsmomentet m.a.p.
en punkt O av
~ O ≡ ~r × m~v ,
H
Figur 9.2: En partikel kastat från en person till en annan. Kraften ΣFx , som verkar på partikeln i horisontell riktning, är
ritad som funktion av tiden.
(9.5)
−−→
där ~r = OP.
Figur 9.3: En partikel med rörelsemäng~ = m~v ger ett rörelsemängdsmoden G
~ O m.a.p. O.
ment H
~ O ges av högerhandsregeln och beloppet av H
~ O är
Riktningen hos H
~ O | = |~r × m~v | = |~r||m~v | sin ϕ = mvd⊥ ,
|H
(9.6)
där ϕ är vinkeln mellan ~r och m~v och d⊥ = |~r| sin ϕ är det vinkelräta
avståndet från O till den linje som definieras av partikelns läge och
hastighet (fig. 9.3).
rörelsemängd och impuls
Sats 9.5 (Momentlagen). För en partikel P som påverkas av en kraftsumman ΣF~ gäller
~O =
ΣM
~O
dH
,
dt
(9.7)
−→
~O = −
där O är en rumsfix punkt, ΣM
OP × ΣF~ är momentsum~ O är rörelsemängdsmomentet
man på partikeln m.a.p. O, och H
m.a.p. O.
−−→
Bevis. Låt m vara partikelns massa och låt ~r = OP. Enligt def. 9.4
gäller
~O
dH
dt
=
=
=
=
=
=
d
(~r × m~v ) = produktregeln
dt
d~v d~r
× m~v + ~r × m
= def. 6.2 och 6.3
dt
dt
~v × m~v + ~r × m~a
~r × m~a = kraftlagen
~r × ΣF~
~ O.
ΣM
Sats 9.6 (Impulsmomentlagen). Om en partikel P påverkas av en
kraftsumma ΣF~ mellan tidpunkterna t1 och t2 , och om O är en
rumsfix punkt, gäller
Z t2
~ O dt = H
~ O2 − H
~ O1 ,
ΣM
(9.8)
t1
−→
~O = −
där ΣM
OP × ΣF~ är momentsumman på partikeln m.a.p. O,
~ O1 och H
~ O2 är partikelns rörelsemängdsmoment m.a.p. O
och H
vid tiderna t1 respektive t2 .
Bevis. Vi utgår från momentlagen (9.7) på komponentform för ett
rektangulärt inertialsystem. För x-riktningen gäller
ΣMOx =
Z
t2
dHOx
dt
ΣMOx dt =
t1
⇔
Z
ΣMOx dt = dHOx
HO2x
⇔
sats D.2
⇔
dHOx
HO1x
=
=
HO2x
HOx
HO1x
HO2x − HO1x .
Analoga samband erhålles för y- och z-riktningen, vilket medför att
Z t2
~ O dt = H
~ O2 − H
~ O1 .
ΣM
t1
63
64
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Rörelsemängdsmoment vid plan rörelse
Vid plan rörelse kommer hastighetsvektorn ~v för en partikel P att ligga
i ett givet referensplan med normalen ~en . Det följer av def. 9.4 att par~ O m.a.p. en punkt O i referensplanet
tikelns rörelsemängdsmoment H
måste ligga i ±~en -riktningen. Detta är analogt med kraftmomentvektorn för plana kraftsystem (stycke 2.4). Rörelsemängdsmomentet kan
därför vid plan rörelse representeras av en skalär, där det är underförstått att dess vektorriktning sammanfaller med ~en .
Sats 9.7. För en partikel P i plan rörelse, med massan m och hastigheten ~v , ges rörelsemängdsmomentet m.a.p. en punkt O i referensplanet av
HO = ±mvd⊥ ,
(9.9)
där v är hastighetens belopp och d⊥ är avståndet från O till den
linje som definieras av punkten P och hastighetsvektorn.
Bevis. Vi har att
~ O | = def. 9.4
±|H
−−→
= ±|OP × m~v | = ekv. (B.12)
−−→
= ±m|OP||~v | sin ϕ
−−→
där ϕ är vinkeln mellan OP och ~v (fig. 9.4). Eftersom avståndet från
−−→
O till linjen som bildas av P och ~v är d⊥ = |OP| sin ϕ följer det att
HO = ±mvd⊥ .
HO
=
Rörelsemängdsmomentets riktning ges som förut av högerhandsregeln
(jfr kraftmoment, stycke 2.4). Det moturs orienterade rörelsemängdsmomentet HO som avbildas i fig. 9.4 är riktat i ~ez -riktningen. Om
vi väljer referensplanets normal som ~en = ~ez kommer detta rörelsemängdsmoment HO , och alla moturs orienterade rörelsemängdsmoment, att ha ett positivt tecken i sin skalära representation. Medurs
orienterade rörelsemängdsmoment får negativt tecken. Det omvända
gäller om vi skulle välja ~en = −~ez .
9.4
Figur 9.4: Geometri för rörelsemängdsmoment vid plan rörelse med xy-planet
som referensplan.
Partikelsystem
Ett partikelsystem består av flera partiklar med olika massor och banor:
Definition 9.8 (Partikelsystem). Ett partikelsystem är en mängd partiklar Pi , i = 1, . . . , n, med massorna mi , lägesvektorerna ~ri och
hastigheterna ~vi (fig. 9.5).
Definition 9.9 (Rörelsemängd för partikelsystem). Ett partikelsystem, med beteckningar som i def. 9.8, har rörelsemängden
~ ≡
ΣG
n
X
mi~vi .
(9.10)
i=1
Figur 9.5: System av n olika partiklar Pi , i = 1, . . . , n.
rörelsemängd och impuls
65
Definition 9.10 (Rörelsemängdsmoment för partikelsystem). Ett partikelsystem, med beteckningar som i def. 9.8, har ett rörelsemängdsmoment m.a.p. en punkt O som definieras
~O ≡
ΣH
n
X
−−→
OP i × mi~vi .
(9.11)
i=1
För partikelsystem som inte växelverkar med omgivningen bevaras
både den totala rörelsemängden och det totala rörelsemängdsmomentet. I det följande nöjer vi oss med att visa detta för partikelsystem
med maximalt två partiklar, A och B.
Sats 9.11 (Rörelsemängdens bevarande). För ett system av två växelverkande partiklar, A och B, som inte påverkas av några yttre
krafter mellan tiderna t1 och t2 , gäller
~ 1 = ΣG
~ 2,
ΣG
(9.12)
~ =
där sifferindexen representerar respektive tidpunkt, och ΣG
~
~
GA + GB är summan av partiklarnas rörelsemängder.
Bevis. Enligt reaktionslagen påverkas A och B av kraftvektorerna F~
respektive −F~ (fig. 9.6); det existerar inga yttre krafter. Impulsekvationen (9.4) för respektive partikel ger
Z t2
~ A2 − G
~ A1
A:
F~ dt = G
B:
t1
t2
Z
t1
Figur 9.6: Två olika partiklar, A och B,
växelverkar utan yttre krafter.
~ B2 − G
~ B1 .
−F~ dt = G
Summering av dessa uttryck ger
~ A2 + G
~ B2 ) − (G
~ A1 + G
~ B1 ) = ΣG
~ 2 − ΣG
~ 1.
~0 = (G
Sats 9.11 är giltig även då partiklarna kolliderar med varandra så att
värme utvecklas. Rörelsemängden bevaras alltså vid en kollision, medan den mekaniska energin i allmänhet inte bevaras. Sats 9.11 gäller
även för system med ett godtyckligt antal partiklar.
Sats 9.12 (Rörelsemängdsmomentets bevarande). Om två partiklar,
A och B, växelverkar medan summan av yttre kraftmoment m.a.p.
en rumsfix punkt O mellan tiderna t1 och t2 är noll, så gäller
~ O1 = ΣH
~ O2 ,
ΣH
(9.13)
~O = H
~ AO +
där sifferindexet representerar tidpunkten, och ΣH
~
HBO är partikelsystemets rörelsemängdsmoment m.a.p. O.
Bevis. Enligt förutsättningarna gäller att
−−−→ ~ y −−−→ ~ y ~
OA×FA + OB×FB = 0,
(9.14)
66
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
y
där F~A
och F~By är yttre krafter. Enligt reaktionslagen påverkas A och B
av kraftvektorerna F~ respektive −F~ (fig. 9.7). Impulsmomentekvationen (9.8) för respektive partikel ger
Z t2
−−→
~ AO2 − H
~ AO1
A:
OA × (F~ + F~ y )dt = H
t1
t2
Z
B:
t1
A
−→
~ BO2 − H
~ BO1 .
OB × (−F~ + F~By )dt = H
Summering av dessa uttryck medan vi utnyttjar ekv. (9.14) ger
Z t2
−−→ −→
~ AO2 − H
~ AO1 + H
~ BO2 − H
~ BO1
(OA − OB) × F~ dt = H
⇔
t1
Z
t2
t1
−→ ~
~ AO2 + H
~ BO2 ) − (H
~ AO1 + H
~ BO1 ).
BA × F dt = (H
Enligt postulat 7.1 växelverkar partiklarna med centralkrafter, så att
−→ ~
−→
BA || F , och därmed gäller BA × F~ = ~0, vilket ger
~ O2 − ΣH
~ O1 .
~0 = ΣH
Sats 9.12 är även giltig för system med ett godtyckligt antal partiklar,
som inte påverkas av yttre kraftmoment.
Figur 9.7: Två olika partiklar, A och B,
växelverkar med centralkrafter. Dessutom påverkas de av yttre krafter.
10
Stötar
Kollisioner mellan partiklar, eller kollisioner mellan en partikel och ett
jordfast föremål är exempel på stötar. Stötar kan vara våldsamma och
leda till utveckling av värme (fig. 10.1). Trots denna komplikation går
det att i vissa avseenden förutsäga stötförloppet.
10.1
Stötkrafter
Då en partikel kolliderar med ett annat föremål genomgår dess hastighet stor förändringar på relativt kort tid. Denna process kallas stöt.
Enligt kraftlagen måste en snabb hastighetsförändring innebära att
kraften på partikeln är mycket stor under själva stöten. För att kunna
modellera plötsliga kraftspikar behöver vi ett nytt matematiskt verktyg:
Figur 10.1: Stötar är plötsliga utbrott av
kraftig växelverkan, vilket kan leda till
utveckling av värme. (teckning, NASA)
Definition 10.1 (Diracs deltafunktion). Diracs deltafunktion δ(t) definieras genom egenskapen att
(
Z t2
f (t0 )
om t1 < t0 < t2
(10.1)
f (t)δ(t − t0 )dt =
0
annars.
t1
för varje funktion f (t) med kontinuerlig derivata.
Intuitivt kan man tänka sig δ(t − t0 ) som gränsvärdet till en följd av
funktioner
2
2
1
dτ (t − t0 ) = √ e−(t−t0 ) /τ ,
τ π
där τ närmar sig noll, så att dτ (t − t0 ) alltmer liknar en kort puls kring
tiden t0 (fig. 10.2), och så att arean under dτ (t − t0 ) alltid är 1:
Z ∞
dτ (t − t0 )dt = 1.
−∞
Postulat 10.2. En stötkraft, som verkar på en partikel P, kan skrivas
~
F~s (t) = Lδ(t
− t0 ),
~ en konstant vektor.
och tillordnas ett stötögonblick t0 . Här är L
Figur 10.2: Diracs deltafunktion kan ses
som gränsvärdet för en funktionsföljd,
som blir mer och mer pulslik och där
arean under funktionen hela tiden är 1.
I exemplet är t0 = 1 s.
68
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Stötkraften verkar därmed under oändligt kort tid, vilket modellerar
en momentan stöt vid tiden t0 . Om stötögonblicket ligger inom ett
tidsintervall t1 < t0 < t2 , är impulsen från stötkraften under detta
intervall
Z
t2
F~s (t)dt =
t1
Z
t2
t1
~
~
Lδ(t
− t0 )dt = ekv. (10.1) = L.
(10.2)
En partikel som faller lodrätt mot ett horisontellt plan och studsar
utgör ett illustrativt exempel på ett stötförlopp begränsat till en rörelseriktning. Betrakta fig. 10.3 där detta förlopp samt definitioner av
relevanta storheter återfinns.
Figur 10.3: En partikel faller från vila
vid t1 , studsar mot det horisontella underlaget vid stötögonblicket t0 , och når
sin maximala höjd efter sudsen vid t2 .
Friläggningen visar att partikeln påverkas av tyngdkraften och en stötkraft
Fs (t) vid studsen.
Stöten sker vid tiden t0 så att stötkraften ges av Fs = Lδ(t − t0 ) för
någon konstant L. Kraftsumman som verkar på partikeln i y-riktningen
är ΣFy = −mg + Lδ(t − t0 ) (fig. 10.4). Vi analyserar nu intervallet från
tiden t0 −∆t före stöten till t0 +∆t efter stöten. Enligt impulslagen (9.4)
har vi
Z
t0 +∆t
t0 −∆t
ΣFy dt = mv 0 − m(−v).
Figur 10.4: Kraftpåverkan i y-riktningen
för förloppet avbildat i fig. 10.3.
Vänsterledet, d.v.s. impulsen, förenklas till
Z
t0 +∆t
t0 −∆t
ΣFy dt =
=
Z
t0 +∆t
t0 −∆t
−mgdt +
−2mg∆t + L,
Z
t0 +∆t
t0 −∆t
Lδ(t − t0 )dt
där vi använde ekv. (10.1). Sammantaget har vi alltså
m(v 0 + v) = L − 2mg∆t → L då ∆t → 0.
Om man betraktar förloppet från precis innan stöten till precis efter
stöten (∆t → 0) kommer tyngdkraften inte att ge något bidrag till
impulsen. Impulsen på en partikel vid en stöt ges alltid av ekv. (10.2),
oberoende av övrig kraftpåverkan.
Stötkrafter skiljer sig från vanliga krafter i och med att de innehåller deltafunktionen. Eftersom deltafunktionen, enligt def. 10.1, endast
får mening när den integreras, gäller det att stötkraften endast har
fysikalisk mening när den integreras till en impuls.
stötar
10.2
69
Stötar mellan partiklar
Rak central stöt
Vid en rak central stöt färdas två partiklar, A och B, längs samma
räta linje både före och efter stöten, som sker vid tiden t0 . Vi inför en
x-koordinat längs rörelselinjen och låter vA och vB beteckna respektive
0
partikels hastighet i x-riktningen precis före stöten, samt låter vA
och
0
vB beteckna partiklarnas hastigheter precis efter stöten (fig. 10.5).
Figur 10.5: Rak central stöt där två partiklar, A och B, stöter samman vid tiden
t0 , och stötkraften Fs verkar på respektive kropp.
Vid själva stöten verkar en stötkraft Fs~ex på B och, enligt reaktionslagen, en stötkraft −Fs~ex på A. Om vi betraktar A och B som
ett partikelsystem är förutsättningarna i sats 9.11 uppfyllda, så att
rörelsemängden bevaras under stöten enligt ekv. (9.12):
m v + m v = m v0 + m v0 ,
| A A {z B B} | A A {z B B}
→:
ΣGx före stöt
(10.3)
ΣGx efter stöt
där mA och mB är partiklarnas respektive massor. Det har ingen betydelse om andra krafter, t.ex. fjäderkrafter eller tyngdkraften, påverkar
partiklarna under stöten eftersom man betraktar skeendet under ett
mycket litet tidsintervall, ∆t → 0, så att endast stötkraften ger bidrag
till impulsen på partiklarna.
Stöttal
Om partiklarnas massor och hastigheter före en rak central stöt är
kända, kan man ändå inte räkna ut vilka hastigheter partiklarna har
efter stöten med ekv. (10.3), eftersom en ekvation inte räcker för att
0
bestämma de två obekanta, vA
och vB0 . Ytterligare ett samband krävs
för att resultatet av stöten ska kunna beräknas.
Konstitutivt samband 10.3 (Stöttal). Vid en rak central stöt mellan två partiklar A och B, vars hastigheter före stöten är vA re0
spektive vB och vars hastigheter efter stöten är vA
respektive vB0 ,
gäller
e=
0
vB0 − vA
,
vA − vB
(10.4)
där konstanten e är stöttalet.
Det gäller att 0 ≤ e ≤ 1. Om partikelsystemets energi bevaras under
stöten sägs stöten vara elastisk och stöttalet blir e = 1. Om stöttalet är
e = 0 sägs stöten vara plastisk. Om stöttalet är givet bildar ekv. (10.3)
tillsammans med ekv. (10.4) ett ekvationssystem som är lösbart m.a.p.
0
vA
och vB0 .
70
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Sned stöt
Vi tänker oss nu att två kroppar kolliderar med varandra i en mer
generell geometri, så att kropparna infaller i vinkel mot varandra. I de
flesta fall kommer en sådan stöt att försätta kropparna i rotation, så
att det inte är lämpligt att betrakta dem som partiklar. Det finns dock
åtminstone två viktiga fall där en partikelmodell kan tillämpas.
Det första fallet är när två partiklar, A och B, kolliderar vid en
punkt P så att partiklarna slås samman och fortsätter längs en gemensam bana, som vore de en enda partikel (fig. 10.6). Vi betraktar i så
fall de båda partiklarna som ett partikelsystem och tillämpar sats 9.11
om rörelsemängdens bevarande, med beteckningar enligt fig. 10.6:
mA~vA + mB~vB = (mA + mB )~v 0 .
|
{z
} |
{z
}
~ före stöt
ΣG
(10.5)
~ efter stöt
ΣG
Kännedom om partiklarnas hastigheter, ~vA och ~vB , före stöten räcker i
så fall för att bestämma den gemensamma hastigheten ~v 0 efter stöten.
Figur 10.6: Sned central stöt där två partiklar, A och B, stöter samman vid tiden
t0 , så att partiklarna slås samman och
fortsätter längs en gemensam bana.
Det andra fallet är när två partiklar, A och B, under en relativt kort
tid växelverkar med centralkrafter (fig. 10.7). Detta sker till exempel
när två himlakroppar eller två atomkärnor passerar nära varandra.
Trots att partiklarna aldrig vidrör varandra kan detta förlopp beskrivas med en stötmodell. Det gäller i så fall att partikelsystemets rörelsemängd och rörelseenergi bevaras under stöten:
0
mA~vA + mB~vB = mA~vA
+ mB~vB0
1
1
1
1
2
0 2
mA vA
+ mB vB2 =
mA (vA
) + mB (vB0 )2 .
2
2
2
2
Här användes beteckningarna från fig. 10.7.
(10.6a)
(10.6b)
Figur 10.7: Sned stöt där två partiklar,
A och B, under en relativt kort tid då
de befinner sig nära varandra växelverkar
med volymskrafter, t.ex. gravitation.
11
Svängningsrörelse
11.1
Fria svängningar
Odämpade system
Betrakta en vagn med massan m, som rullar friktionsfritt mot ett
horisontellt underlag. En linjär fjäder med fjäderkonstanten k är fäst
mellan vagnen och en fix vägg (fig. 11.1). Vidare beskrivs vagnens läge
längs underlaget av en x-koordinat, sådan att x = 0 då fjädern är
obelastad. Eftersom x i detta fall är identisk med fjäderns förlängning
` − `0 är fjäderkraften Fe = kx. Vid friläggning ska kraften på vagnen
från fjädern ha den kraftriktning som gäller då x > 0.
Figur 11.1: En vagn med massan m rullar utan friktion mot underlaget. Den
hålls på plats av en fjäder och utför harmonisk svängningsrörelse när den störs
ur sitt jämviktsläge.
Eftersom rörelsen är begränsad till x-riktningen är vagnens acceleration ~a = ẍ~ex , så att kraftlagen i x-riktningen ger
→:
−kx =
k
ẍ + x =
m
ẍ + ωn2 x =
mẍ
0
0,
⇔
⇔
(11.1)
där ωn benämns den naturliga frekvensen, vilken i just detta exempel
p
är ωn = k/m.
Lösningen till ekv. (11.1) hittar man genom att ansätta
x = A cos(ωn t) + B sin(ωn t),
(11.2)
där A och B är godtyckliga reella konstanter. Vi deriverar denna ansatta lösning m.a.p. tiden och får
ẋ
ẍ
= −ωn A sin(ωn t) + ωn B cos(ωn t)
= −ωn2 A cos(ωn t) − ωn2 B sin(ωn t).
72
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Genom insättning av x och ẍ kan vi konstatera att ekv. (11.1) är
uppfylld för varje val av A och B. Således beskriver ekv. (11.2) vagnens
rörelse. Konstanterna A och B beror på systemets begynnelsevillkor
x(0) och ẋ(0).
Den fria odämpade svängningen, som beskrivs av ekv. (11.2), kallas
harmonisk svängningsrörelse och har alltid liknande karaktär, vilket
illustreras med ett exempel i fig. 11.2.
Figur 11.2: Exempel på rörelse för fria
odämpade svängningar med givna randvillkor x(0) och ẋ(0). Kurvans amplitud
är C och dess period är τ = 2π/ωn .
Partikeln svänger med vinkelfrekvensen ωn och en konstant amplitud C
kring ett jämviktsläge, där kraftsumman på partikeln är noll. Perioden,
alltså tiden mellan två maxima hos svängningsrörelsen, ges av
τ=
2π
.
ωn
(11.3)
Amplituden för en harmonisk svängningsrörelse är halva topp-till-toppvärdet hos x(t), Det framgår direkt från ekv. (A.6) och (A.7) att en
harmonisk funktion
x(t) = X0 + A cos(ωn t) + B sin(ωn t),
där X0 , A, B och ωn är konstanter, kan skrivas
x(t) = X0 + C sin(ωn t + ψ),
där C är amplituden och ψ är fasvinkeln:

A

B>0
 arctan B ,
p
π
ψ=
C = A2 + B 2 ,
±2,
B=0

 π + arctan A , B < 0
B
(11.4)
Dämpade system
En ideal odämpad fri svängning kommer att fortgå med samma amplitud för all framtid. I alla verkliga fritt svängande system minskar amplituden efter hand, så att svängningen slutligen dör ut. Detta fenomen
kallas dämpning och beror typiskt på värmeförluster, t.ex. friktion eller luftmotstånd. I konstruktioner används dämpare för att begränsa
amplituden hos svängningar och vibrationer. Dessa består av en cylinder fylld med vätska eller gas, och en kolv med kanaler så att värme
utvecklas då vätskan tvingas flöda genom kanalerna under kolvens rörelse (fig. 11.3).
svängningsrörelse
73
Figur 11.3: Exempel på en realisering av
en dämpare. Kolvens rörelse hindras av
vätska eller gas, som måste passera kanaler i kolven.
Figur 11.4 visar en frilagd linjär dämpare där varpå en kraft Fd
verkar i vardera änden. Dämparen har en aktuell längd ` och en dämpningskoefficient c med enheten N·s/m. Dämpkraften är
˙
Fd = c`,
(11.5)
Figur 11.4: Friläggning av ideal dämpa˙
re, där Fd = c`.
där `˙ är dämparens förlängning per tidsenhet.
Betrakta en vagn med massan m, som rullar friktionsfritt mot ett
horisontellt underlag. En linjär fjäder med fjäderkonstanten k och en
linjär dämpare med dämpningskoefficienten c är fästa mellan vagnen
och en orubblig vägg (fig. 11.5). Vidare beskrivs vagnens läge längs
underlaget av en x-koordinat, så att x = 0 då fjädern är obelastad.
Eftersom ẋ är identisk med dämparens förlängning per tidsenhet är
dämpningskraften Fd = cẋ. Vid friläggning ska kraften på vagnen från
dämparen ha den kraftriktning som gäller då ẋ > 0.
Figur 11.5: En vagn med massan m rullar utan friktion mot underlaget. Den
hålls på plats av en fjäder och en dämpare. Vid störning från jämviktsläget utför
vagnen dämpad svängningsrörelse.
Eftersom vagnens acceleration ges av ~a = ẍ~ex , ger kraftlagen i xriktningen att
−kx − cẋ = mẍ ⇔
k
c
ẍ + ẋ + x = 0 ⇔
m
m
ẍ + 2ζωn ẋ + ωn2 x = 0,
→:
(11.6)
där ωn är den naturliga frekvensen och ζ är dämpningsförhållandet. I
p
vårt exempel är ωn = k/m och ζ = c/(2mωn ).
Ekvation (11.6) är en homogen23 andra ordningens differentialekvation med konstanta koefficienter. Lösningens form beror på dämpningsförhållandet enligt följande:24
√
√ 2

−ω t(ζ− ζ 2 −1)

+ Be−ωn t(ζ+ ζ −1) , ζ > 1
 Ae n
x(t) =
(11.7)
(A + Bt)e−ωn t ,
ζ=1


−ζωn t
,
ζ < 1,
[A cos(ωd t) + B sin(ωd t)] e
p
där ωd = ωn 1 − ζ 2 . Det finns alltså dämpade system av tre skilda
typer som benämns överdämpade (ζ > 1), kritiskt dämpade (ζ = 1)
23
Att ekvationen är homogen betyder
att alla termer innehåller x, ẋ eller ẍ.
24
R. A. Adams. Calculus: A complete course. Addison Wesley Longman,
Ltd., 4th edition, 1999. ISBN 978-0201-39607-2
74
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
och underdämpade (ζ < 1). Notera speciellt att när ζ = 0 är systemet
underdämpat (ζ < 1) och vi erhåller samma uttryck för rörelsen som
vid odämpad svängning, ekv. (11.2). De tre typerna av dämpad fri
svängningsrörelse illustreras i fig. 11.6.
Figur 11.6: Exempel på fria svängningar för dämpade system med begynnelsevillkoren x(0) = x0 och ẋ(0) =
0: överdämpat (punktad), kritiskt dämpat (streckad) och underdämpat (heldragen).
I det överdämpade och det kritiskt dämpade fallet kommer systemet
att återvända till jämviktläget utan att oscillera, vilket är uppenbart
från lösningens form, som inte innehåller någon harmonisk funktion.
För det underdämpade fallet observeras en oscillation, som avklingar
mot noll med jämvikt i slutskedet.
11.2
Påtvingade svängningar
Betrakta en vagn med massan m, som rullar friktionsfritt mot ett
horisontellt underlag, och som är kopplad till en fjäder och en dämpare
på precis samma sätt som för fria dämpade svängningar ovan. Låt
vidare en kraft F (t) verka på vagnen (fig. 11.7).
Figur 11.7: En vagn med massan m rullar utan friktion mot underlaget. Den
hålls på plats av en fjäder och en dämpare, och en kraft F (t) tvingar vagnen i
rörelse.
Kraftlagen för vagnen i x-riktningen ger
→:
−kx − cẋ + F (t) = mẍ ⇔
k
1
c
F (t) ⇔
ẍ + ẋ + x =
m
m
m
2
ẍ + 2ζωn ẋ + ωn x = f (t),
(11.8)
där högerledet är en funktion f (t) = F (t)/m. Ekvation (11.8) är en
inhomogen andra ordningens differentialekvation med konstanta koefficienter. Den allmänna lösningen till differentialekvationen (11.8) kan
skrivas på formen
x(t) = xh (t) + xp (t),
(11.9)
där xh kallas homogenlösningen och xp kallas partikulärlösningen.
Homogenlösningen xh är lösningen till den homogena motsvarigheten till ekv. (11.8), vilken är identisk med ekv. (11.6) för fria dämpade
svängningsrörelse
75
svängningar. Homogenlösningen ges därmed av ekv. (11.7), som exemplifieras för olika värden för ζ i fig. 11.6. Alla homogenlösningar
avklingar mot 0 eftersom de för varje ζ > 0 domineras av en exponentiellt avtagande faktor:
xh (t) → 0
då t → ∞.
Alltså kommer en påtvingad dämpad svängning, efter tillräckligt lång
tid, att beskrivas av partikulärlösningen:
x(t) = xh (t) + xp (t) → xp (t) då t → ∞.
Eftersom homogenlösningen “dör ut” medan partikulärlösningen består är partikulärlösningen av särskilt intresse vid påtvingad svängning.
Vi begränsar oss fortsättningsvis till det vanligt förekommande fall
då den tvingande kraften är en harmonisk funktion, t.ex. F (t) =
F0 sin(ωt). Innan vi fortsätter med vår analys betraktar vi en lösning
till ekv. (11.8) för ett specifikt fall: ζ = 1/8 och ω = 25 ωn med begynnelsevillkoren x(0) = x0 och ẋ(0) = 0, som illustreras i fig. 11.8.
Vi observerar ett inledande aperiodiskt förlopp som kallas transient.
Rörelsen övergår i ett periodiskt förlopp, som motsvarar partikulärlösningen med vinkelfrekvensen ω och amplituden Cp . Vi önskar bestämma denna kvarstående amplitud Cp .
Figur 11.8: Exempel på tvingade svängningar för ett dämpat system med beginnelsevillkoren x(0) = x0 och ẋ(0) = 0.
Efter en transient domineras rörelsen av
partikulärlösningen (punktad linje) med
amplituden Cp .
Definition 11.1 (Förstärkningsfaktor). För ett svängande system med
den naturliga frekvensen ωn och dämpningsförhållandet ζ definieras förstärkningsfaktorn som
s
1
M (ω) ≡
,
(11.10)
2
2
2
(1 − ω /ωn ) + (2ζω/ωn )2
där ω betecknar vinkelfrekvensen för en periodisk yttre kraft.
Då endast partikulärlösningen återstår visar det sig att amplituden hos
en påtvingad svängningsrörelse är proportionell mot förstärkningsfaktorn M (ω). Detta fastställs i följande sats:
Sats 11.2. För ett svängande system som beskrivs av differentialekvationen
ẍ + 2ζωn ẋ + ωn2 x = a0 + a sin(ωt + ψ),
76
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
där ωn > 0, ω > 0, ζ > 0, a0 , a och ψ är konstanter, är partikulärlösningen en harmonisk funktion med amplituden
Cp =
a
M (ω),
ωn2
(11.11)
där M (ω) är förstärkningsfaktorn.
Bevis. Vi ansätter en harmonisk funktion som partikulärlösning:
xp = X0 + Cp sin(ωt + φ),
där X0 och φ är konstanter. Insättning av partikulärlösningen och dess
tidsderivator i differentialekvationen ger
−ω 2 Cp sin(ωt+φ)+2ζωωn Cp cos(ωt+φ)+ωn2 Cp sin(ωt+φ)+ωn2 X0 = a0 +a sin(ωt+ψ).
(11.12)
Eftersom detta ska gälla för alla t får vi ωn2 X0 = a0 , vilket subtraheras
från ekv. (11.12). Division av ekv. (11.12) med ωn2 Cp ger
ω2
a
ω
cos(ωt + φ) + 1 − 2 sin(ωt + φ) = 2
sin(ωt + ψ).
2ζ
ωn
ωn
ωn Cp
Substitutionen t̂ = ωt + φ ger
ω
ω2
a
2ζ
cos(t̂) + 1 − 2 sin(t̂) = 2
sin(t̂ − φ + ψ).
ωn
ωn
ωn Cp
Enligt ekv. (A.6) kan denna ekvation satisfieras. Eftersom amplituden
skall vara lika i vänster och höger led ger ekv. (A.7) att
p
a
a
⇔ Cp = 2 M (ω).
(2ζω/ωn )2 + (1 − ω 2 /ωn2 )2 = 2
ωn Cp
ωn
För en tvingande kraft F (t) = F0 sin(ωt) som verkar på det dämpade systemet i fig. 11.7 får vi
f (t) =
F0
sin(ωt).
m
I sats 11.2 kan vi identifiera a = F0 /m, så att partikulärlösningens
amplitud ges av
Cp =
a
M (ω) =
ωn2
F0
m
k
m
M (ω) =
F0
M (ω).
k
Amplituden beror alltså av en karaktäristisk längd F0 /k och förstärkningsfaktorn.
Resonans
Förstärkningsfaktorns betydelse för påtvingade svängningars amplitud gör det intressant att undersöka dess frekvensberoende. I fig. 11.9
Figur 11.9: Förstärkningsfaktorn för olika frekvenser ω och olika värden av ζ.
svängningsrörelse
77
är grafen för M (ω) återgiven för olika dämpningsförhållanden ζ =
{3, 1, 1/8, 0}, där ζ = 0 motsvarar ett odämpat system.
Vi noterar först att
M (ω) → 1
då ω → 0,
för alla ζ. Vid mycket långsamma svängningar har alltså dämpade och
odämpade system samma förstärkningsfaktor och följaktligen samma
svängningsamplitud. Det beror på att kraften från dämparen går mot
noll för långsamma rörelser, så att dämparen inte längre påverkar systemet.
I det överdämpade (ζ > 1) och det kritiskt dämpade fallet (ζ = 1)
i fig. 11.9 avtar förstärkningsfaktorn med frekvensen. Snabba svängningar dämpas alltså effektivare än långsamma. I det underdämpade
fallet (ζ < 1) har M (ω) ett maximum vid ω = ωn . Det betyder att
svängningsrörelsens amplitud blir mycket stor just när ω ≈ ωn . Detta fenomenen kallas resonans och den naturliga frekvensen benämns
därför även resonansfrekvensen.
Vibrationer
Vi fortsätter med att undersöka rörelsen hos en vagn som är kopplad
till en fjäder med obelastade längden `0 och en dämpare. I detta fall
störs vagnen ur sitt jämviktsläge på grund av vibrationer vid fjäderns
ena infästningspunkt A, vars läge är en på förhand given funktion
xA (t) (fig. 11.10).
Figur 11.10: En vagn med massan m
rullar utan friktion mot underlaget. Den
hålls på plats av en fjäder och en dämpare, och läget xA för infästningen till
fjädern oscillerar så att vagnen sätts i
rörelse.
Med storheter definierade som i fig. 11.10 kommer fjäderns längd
att i varje ögonblick vara ` = `0 + xA − x. Således ges fjäderkraften av
uttrycket
Fe = k(` − `0 ) = k(xA − x).
Kraftlagen för vagnen i x-riktningen ger att
→:
k(xA − x) − cẋ =
k
c
ẍ + ẋ + x =
m
m
ẍ + 2ζωn ẋ + ωn2 x =
mẍ ⇔
k
xA ⇔
m
f (t),
där f (t) = kxA (t)/m. Exakt samma typ av differentialekvation uppstår alltså då systemets tvingas i rörelse av en vibration, som när det
tvingas i rörelse av en kraft.
78
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Vid en harmoniska vibration, xA (t) = b sin(ωt), får vi
f (t) =
kb
sin(ωt)
m
för anordningen i fig. 11.10. I sats 11.2 kan vi identifiera a = kb/m, så
att partikulärlösningens amplitud blir:
Cp =
a
M (ω) =
ωn2
kb
m
k
m
M (ω) = bM (ω),
Ännu en gång kan man notera förstärkningsfaktorns avgörande betydelse för svängningsrörelsens amplitud. Vi kan förvänta oss resonans
när ω = ωn .
Bilagor
A
Geometri
A.1
Plan geometri
Vertikalvinklar
α=β
Likbelägna vinklar
α=β
Alternatvinklar
α=β
Komplementvinklar
α + β = 90◦
Supplementvinklar
α + β = 180◦
Tabell A.1: Terminologi för vinklar vid
skärande linjer. Linjer som ej skär
varandra i tabellens bilder är parallella.
Topptriangelsatsen Likformiga trianglar uppstår när man genom en
triangel ritar en linje parallell med triangelns bas (fig. A.1). För likformiga trianglar gäller
a0
b0
c0
=
= .
a
b
c
A.2
Figur A.1: Geometri för topptriangelsatsen.
(A.1)
Trigonometri
Definitioner För en rätvinklig triangel med hypotenusan c och en vinkel θ, med närliggande katet b och motstående katet a, gäller (fig. A.2)
Figur A.2: Geometri för definitioner av
trigonometriska funktioner.
82
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
sin θ
=
cos θ
=
tan θ
=
a
c
b
c
sin θ
a
=
cos θ
b
(A.2a)
(A.2b)
(A.2c)
θ
sin θ
cos θ
tan θ
0◦
±30◦
±45◦
±60◦
±90◦
±120◦
±135◦
±150◦
±180◦
0
±1/2
√
±1/ 2
√
± 3/2
±1
√
± 3/2
√
±1/ 2
±1/2
0
1
√
0
√
±1/ 3
±1
√
± 3
odefinerat
√
∓ 3
∓1
√
∓1/ 3
0
3/2
√
1/ 2
1/2
0
−1/2
√
−1/ 2
√
− 3/2
−1
Tabell A.2: Trigonometrisk värdetabell.
Trigonometriska identiteter
sin2 θ + cos2 θ
=
1 + tan θ
=
sin(θ ± ϕ)
=
2
cos(θ ± ϕ)
=
sin(2θ)
=
cos(2θ)
=
1
1
cos2 θ
sin θ cos ϕ ± cos θ sin ϕ
(A.3a)
(A.3b)
(A.3c)
cos θ cos ϕ ∓ sin θ sin ϕ
(A.3d)
cos θ − sin θ
(A.3f)
2 sin θ cos θ
2
2
(A.3e)
Sinussatsen För en triangel med sidorna a, b och c, vars motstående
vinklar är α, β respektive γ (fig. A.3), gäller
sin α
sin β
sin γ
=
=
.
a
b
c
(A.4)
Cosinussatsen För en triangel med sidorna a, b och c, där γ är motstående vinkel till c (fig. A.3), gäller
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.
(A.5)
Figur A.3: Geometri för sinus- och cosinussatsen.
geometri
Fasvinkel
Det gäller att
A cos θ + B sin θ = C sin(θ + ψ),
där amplituden C och fasvinkeln ψ ges av

A

B>0
 arctan B ,
p
π
2
2
C = A +B ,
ψ=
B=0
±2,

 π + arctan A , B < 0
B
(A.6)
(A.7)
83
B
Vektorer
Detta kapitel ger en kortfattad repetition av vektorbegreppet. En mer
detaljerad framställning återfinns annorstädes.25
B.1
25
H. Anton and C. Rorres. Elementary
linear algebra. John Wiley & Sons, Inc.,
8th edition, 2000. ISBN 0-471-17052-6
Geometriska vektorer
Vektorer kan representeras geometriskt som ett riktat linjesegment i
planet eller i rummet, och ritas som en pil. Speciellt ritas vektorer som
är riktade ut ur papperets plan som (pilspets) och de som är riktade
in i papperets plan som ⊗ (pilfjädrar). I detta kompendium betecknas
vektorstorheter med en pil ovanför variabelnamnet, t.ex. ~u.
En vektors belopp betecknas |~u| och är längden av det linjesegment
som representerar vektorn (fig. B.1a). Två vektorer ~u och w
~ är lika,
~u = w,
~ om deras belopp (längd) och rikting är lika, oberoende av deras
lägen i rummet (fig. B.1b). En vektor kan bildas av ett linjesegment,
−→
som förbinder två punkter A och B. En sådan vektor betecknas AB
−−→
(fig. B.1c). Vi inför den särskilda nollvektorn ~0 = AA, som har beloppet 0 och en odefinierad riktning.
En negerad vektor −~u har samma belopp som ~u, men omvänd riktning (fig. B.1d). Vidare definieras summan av två vektorer i parallellogramlagen: Placera w:s
~ startpunkt vid ~u:s slutpunkt. Då är ~u + w
~
vektorn från ~u:s startpunkt till w:s
~ slutpunkt (fig. B.1e). Vektorsubtraktion definieras ~u − w
~ ≡ ~u + (−w).
~
Om ett reellt tal c multipliceras med en vektor ~u blir resultaten en
ny vektor c~u. Om c > 0 har ~u och c~u samma riktning, men om c < 0
har ~u och c~u motsatta riktningar. Det gäller att c~u är |c| gånger längre
än ~u.
Följande räkneregler gäller för vektorer i både två och tre dimensioner:
~u + w
~
= w
~ + ~u
(B.1a)
c(d~u)
=
(cd)~u
(B.1b)
c(~u + w)
~
=
c~u + cw
~
(B.1c)
(c + d)~u =
c~u + d~u.
(B.1d)
Här betecknar c och d godtyckliga reella tal.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Figur B.1: (a) Vektor ~
u med beloppet |~
u|. (b) Ekvivalenta vektorer.
(c) Vektor som förbinder två punkter.
(d) Negering omkastar en vektors riktning. (e) Vektoraddition med parallellogramlagen. (f) Riktningsvektorn ~eu till ~
u
har samma riktning som ~
u och beloppet 1.
86
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
En vektor med längden 1 kallas enhetsvektor. En godtycklig vektor
~u 6= ~0 har en så kallad riktningsvektor ~eu , som är en enhetsvektor med
samma riktning som ~u (fig. B.1f). Man kan således skriva
~u = u~eu
⇔
~eu =
~u
,
u
(B.2)
där u 6= 0 är ett reellt tal, en så kallad skalär. Denna skalär tillåts vara
såväl positiv som negativ. Denna teknik att skriva vektorer som produkten av dess storlek och riktning används flitigt vid problemlösning.
B.2
Vektorer i ortogonala koordinatsystem
Vi inför ett ortogonalt högerorienterat koordinatsystem med origo O
och koordinaterna x, y och z i rummet. Att ett koordinatsystem är ortogonalt betyder att dess axlar är vinkelräta mot varandra. Huruvida
det är högerorienterat bestäms av högerhandsregeln (fig. B.2). I detta
kompendium används endast ortogonala högerorienterade koordinatsystem.
Varje koordinataxel x, y och z definierar en riktningsvektor ~ex , ~ey
respektive ~ez i koordinatens positiva riktning (fig. B.3a). Vektorerna
~ex , ~ey och ~ez bildar en ortogonal bas, vilket innebär att en godtycklig
vektor ~u kan representeras entydigt som
~u = ux~ex + uy ~ey + uz ~ez ,
(B.3)
där ux , uy och uz är skalärer (reella tal) och kallas vektorn ~u:s komponenter. Termerna ux~ex , uy ~ey och uz ~ez är ~u:s komposanter (fig. B.3b).
Av bekvämlighetsskäl används ibland ett ekvivalent beteckningssätt,
där vektorn skrivs som en kolumnmatris:


ux


ux~ex + uy ~ey + uz ~ez ≡  uy  .
uz
Att en vektors representation i en ortogonal bas är unik är särskilt
viktigt. Tack vare denna egenskap gäller det att


u = wx

 x
~u = w
~ ⇔
(B.4)
uy = wy


u = w .
z
z
En ekvation på vektorform kan alltså skrivas om till ett ekvationssystem med reella koefficienter och variabler.
B.3
Skalärprodukt
Skalärprodukten mellan två godtyckliga vektorer ~u = ux~ex +uy ~ey +uz ~ez
och w
~ = wx~ex + wy ~ey + wz ~ez definieras som
~u · w
~ ≡ |~u||w|
~ cos ϕ,
Figur B.2: Högerhandregeln: Då högerhandens tre första fingrar hålls i vinkelrätt läge mot varandra pekar de ut x-,
y- och z-axelns riktningar.
(B.5)
(a)
(b)
Figur B.3: (a) Ortogonalt högerorienterat koordinatsystem med ortogonala
basvektorer ~ex , ~ey och ~ez . (b) En vektor ~
u med sina tre komposanter ux~ex ,
uy ~ey och uz ~ez ritade met öppna pilhuvuden.
vektorer
87
där ϕ är vinkeln mellan ~u och w,
~ så att 0◦ ≥ ϕ ≥ 180◦ . Man kan visa
att
~u · w
~ = ux wx + uy wy + uz wz .
(B.6)
Resultatet av en skalärprodukt är, som synes, en skalär.
En följd av ekv. (B.5) är att skalärprodukten för vinkelräta vektorer
(ϕ = 90◦ ) är 0:
~u ⊥ w
~
⇔
~u · w
~ = 0.
(B.7)
Enligt ekv. (B.5) gäller också att ~u · ~u = |~u|2 , eftersom cos 0◦ = 1. Ur
detta samband får vi en formel för en godtycklig vektors belopp
q
√
|~u| = ~u · ~u = u2x + u2y + u2z .
(B.8)
Följande räkneregler gäller för skalärprodukt i både två och tre
dimensioner:
~u · w
~
~u · (~v + w)
~
c(~u · w)
~
= w
~ · ~u
= ~u · ~v + ~u · w
~
=
(c~u) · w,
~
(B.9a)
(B.9b)
(B.9c)
där c är en skalär.
Räknereglerna för skalärprodukt ger att
~u · ~ex
=
=
ux (~ex · ~ex ) + uy (~ey · ~ex ) + uz (~ez · ~ex )
ux 1 + uy 0 + uz 0 = ux .
Detta kan generaliseras till en godtycklig axel λ med riktningen ~eλ ; vi
har att ~u ·~eλ är vektorn ~u:s komponent i λ-riktningen. Skalärprodukten
med en enhetsvektor ~eλ kan tolkas som en ortogonal projektion på λaxeln:
uλ = ~u · ~eλ = |~u| cos ϕ,
(B.10)
där ϕ är vinkeln mellan ~u och ~eλ (fig. B.4).
B.4
Kryssprodukt
Kryssprodukten ~u × w
~ mellan två vektorer definieras med determinantnotation som
~e
x ~ey ~ez ~u × w
~ ≡ ux uy uz =
wx wy wz = (uy wz − uz wy )~ex + (uz wx − ux wz )~ey + (ux wy − uy wx )~ez . (B.11)
Resultatet från en kryssprodukt är alltså en vektor. En konsekvens av
definitionen är att resultatvektorns belopp ges av
|~u × w|
~ = |~u||w|
~ sin ϕ,
(B.12)
Figur B.4: Projektion av en vektor på en
godtycklig axel λ genom skalärmultiplikation med riktningsvektorn.
88
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
där ϕ är vinkeln mellan ~u och w.
~ Dessutom är ~u × w
~ vinkelrät mot
både ~u och w,
~ och dess orientering följer högerhandsregeln (fig. B.5).
Vidare gäller enligt ekv. (B.12) att om ϕ = 0◦ eller ϕ = 180◦ blir
kryssprodukten ~0:
~u || w
~
⇔
~u × w
~ = ~0.
(B.13)
Följande räkneregler gäller för kryssprodukt:
~u × w
~
=
c(~u × w)
~
=
~u × (~v + w)
~
−(w
~ × ~u)
= ~u × ~v + ~u × w
~
(c~u) × w
~ = ~u × (cw),
~
~u × ~u = ~0,
(B.14a)
(B.14b)
(B.14c)
(B.14d)
där c är en skalär. Notera särskilt ekv. (B.14a): kryssprodukten byter
tecken när multiplikanderna kastas om. Det finns också räkneregler
som inbegriper både skalär- och kryssprodukt:
~u × (~v × w)
~
~u · (~v × w)
~
=
(~u · w)~
~ v − (~u · ~v )w
~
= w
~ · (~u × ~v ) = ~v · (w
~ × ~u).
(B.15a)
(B.15b)
Figur B.5: För kryssprodukt ges resultatvektorns riktning av högerhandsregeln.
C
Storhet, enhet och dimension
En storhet är en mätbar egenskap hos ett föremål eller en företeelse.
Varje storhet besitter en fysikalisk dimension och en storlek. Med dimension avses vilken typ av storhet det är frågan om, t.ex. längd, tid,
fart, massa eller kraft. Med storlek avses relativ storlek jämfört med
någon annan storhet med samma dimension.
C.1
Dimension
De grundläggande dimensionerna inom mekanik är tid (T), längd (L)
och massa (M).26 Från dimensionerna T, L och M kan härledda dimensioner bildas. Eftersom fart definieras som en sträcka (L) per tidsenhet
(T), skrivs dimensionen för fart L/T. På motsvarande sätt har acceleration dimensionen L/T2 .
Ett därutöver nämnvärt fall är dimensionen för vinklar. En vinkel
definieras som kvoten mellan en cirkelbåges längd (L) och cirkelradien
(L). Vinkelns dimension är därför L/L = 1. Vi säger att en storhet är
dimensionslös när den har dimensionen 1.27
C.2
26
Det är även möjligt att välja tre andra grundläggande dimensioner, t.ex. tid,
längd och kraft.
27
Storheter har alltid en dimension, så
begreppet dimensionslös är oegentligt.
Enhet
En enhet är en välbestämd storhet, som används som referens vid beskrivning av andra storheter av samma dimension. Enligt SI-systemet28
används följande enheter för dimensionerna tid, längd och massa:
28
Bureau International des Poids et Mesures. The International System of Units
(SI). 8th edition, 2006
• En sekund (s) har dimensionen T och definieras som varaktigheten
hos 9 192 631 770 perioder av strålningen från övergången mellan de
två hyperfina energinivåerna hos Cesium-133-isotopen i sitt grundtillstånd vid absoluta nollpunkten.
• En meter (m) har dimensionen L och definieras som den sträcka
ljuset färdas i vakuum under 1/299 792 458 sekunder.
• Ett kilogram (kg) har dimensionen M och definieras som massan hos
arkivkilogrammet: ett cylinderformat metallföremål (fig. C.1).29
Härledda enheter kan bildas från produkten eller kvoten av fördefinierade enheter. Till exempel kan vi bilda enheten meter per sekund
29
R. Davis. The SI unit of mass. Metrologia, 40(6):299–305, 2003
90
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
(m/s), som får dimensionen L/T och alltså kan användas för att beskriva fart. Dessutom kan prefix användas för att beteckna multiplar
eller andelar av en enhet, t.ex. betyder mikrosekund (µs) en miljondels sekund, där mikro- (µ) är prefixet för en miljondel. Några vanliga
prefix återfinns i tabell C.1.
Det finns även enheter med dimensionen 1, t.ex. procent [%] och
enheter för vinklar som radianer [rad] och grader [◦ ]. Gemensamt för
dessa enheter är att de definieras matematiskt, utan hänvisning till
något fysikaliskt fenomen.
C.3
Mätetal
Värdet hos en storhet X, med avseende på en enhet E, uttrycks som
en produkt av ett mätetal n och enheten:
X = nE,
(C.1)
där n är en reell koefficient som inte påverkar uttryckets dimension.
~ kan skrivas
En vektorstorhet X
~ = ~nE,
X
(C.2)
där ~n är en vektor med reella komponenter. Om hastigheten ~v är
5,0 m/s i z-riktningen är det således korrekt att skriva: ~v = 5,0~ez m/s.
C.4
Vi använder beteckningssättet [X] för dimensionen hos en storhet X.
Till exempel betyder [`] = L att ` har dimensionen längd. Om X och
Y är storheter gäller det att
⇒
[X] = [Y ] .
(C.3)
Dimensionen hos de båda leden av en ekvation måste alltså vara lika.
För dimensioner gäller följande räkneregler
[nX]
[X + Y ]
=
[X]
(
[X] ,
om [X] = [Y ]
=
odefinerat, annars
(C.4a)
(C.4b)
[XY ]
=
[X] [Y ]
(C.4c)
[X n ]
=
[X]
(C.4d)
n
där n är ett reell tal. En dimensionsbetraktelse av kraftlagen, ekv. (1.4),
ger
h
Prefix
Symbol
Faktor
teragigamegakilohektodecicentimillimikronanopico-
T
G
M
k
h
d
c
m
µ
n
p
1012
109
106
103
102
10−1
10−2
10−3
10−6
10−9
10−12
Tabell C.1: Några prefix som används
inom SI-systemet.
Räkneregler för dimension
X=Y
Figur C.1: Kopia av arkivkilogrammet,
som förvaras hos National Institute of
Standards and Technology i USA.
i
L
ΣF~ = [m~a] = ekv. (C.4c) = [m] [~a] = M 2 ,
T
så att dimensionen för kraft ges av en kombination av de grundläggande dimensionerna.
storhet, enhet och dimension
Eftersom enheter också är storheter, är det korrekt att skriva
[s] = T,
[kg] = M,
[m/s] =
L
,
T
och så vidare. Det är vanligt att man använder de grundläggande enheterna för att representera dimensionen, och till exempel skriver att
dimensionen för fart är [m/s].
C.5
Dimensionsriktighet
För alla meningsfulla fysikaliska ekvationer eller uttryck gäller:
• Dimensionen hos vänster och höger led i en likhet eller olikhet
skall vara lika.
• Dimensionen hos alla termer i en summa skall vara lika.
• Dimensionen hos argumentet x till transcendenta funktioner, t.ex.
cos x och ex , skall vara 1.
Ett uttryck som följer dessa regler sägs vara dimensionsriktigt. Uttryck som inte är dimensionsriktiga är felaktiga. Vid problemlösning
kontrollerar man dimensionsriktighet för att lokalisera fel.
91
D
Differentialer
För en funktion y(t) betecknar dy/dt derivatan av y m.a.p. t, vilken definieras som ett gränsvärde. Denna beteckning skall inte uppfattas som
en kvot mellan en täljare dy och en nämnare dt, eftersom denna kvot i
så fall skulle vara 0/0, vilket är odefinierat. Istället skall dy/dt betraktas som en symbol för derivata. Inom fysik är det ändå vanligt att man
behandlar dt som en oberoende variabel, vilken benämns differentialen
av t, och tillåts ha ett ändligt reellt värde. Dessutom betraktar man dy
som en beroende variabel, vilken benämns differentialen av y.30
Definition D.1 (Differential). Om y(t) är en deriverbar funktion definieras differentialen av y som
dy =
dy
dt,
dt
(D.1)
där dt är en oberoende variabel som kallas differentialen av t.
I ekv. (D.1) betecknar dy/dt som vanligt derivatan av y m.a.p. t. Vi
kan konstatera att dy = dy(t, dt) är en funktion av variablerna t och dt.
För en given funktion f (t) gäller enligt definitionen, ekv. (D.1), att
dy = f (t)dt
⇔
dy
= f (t).
dt
(D.2)
Detta betyder att differentialuttrycket kan ses som en alternativ notation för derivata. Eftersom de båda leden i ekv. (D.1) är reella tal,
erbjuder differentialnotationen nya möjligheter; alla algebraiska operationer, som är tillåtna för vanliga skalära ekvationer, är även tillåtna
för ekvationer som innehåller differentialer.
Sats D.2 (Separabla differentialekvationer). Om y(t) är en deriverbar
funktion, och f (t) och g(y) är givna funktioner, gäller det att
g[y(t)]dy = f (t)dt
⇒
Z
där y1 = y(t1 ) och y2 = y(t2 ).
y2
y1
g(y)dy =
Z
t2
t1
f (t)dt,
(D.3)
30
R. A. Adams. Calculus: A complete course. Addison Wesley Longman,
Ltd., 4th edition, 1999. ISBN 978-0201-39607-2
94
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Bevis. Vi har
g[y(t)]dy
=
dy
=
f (t)dt ⇔
f (t)
dt ⇔
g[y(t)]
f (t)
⇔
g[y(t)]
def. D.1
⇔
dy
=
dt
dy
= f (t).
g[y(t)]
dt
Detta utgör en separabel differentialekvation. Integration av dess båda
led m.a.p. t ger
Z t2
Z t2
dy
g[y(t)] dt =
f (t)dt ⇔
subst. y = y(t)
⇔
dt
t1
t1
Z y(t2 )
Z t2
g(y)dy =
f (t)dt.
y(t1 )
t1
Sats D.3 (Differentialekvation med två parametriserade funktioner).
Om x(t) och y(t) är deriverbara funktioner, och g(y) och h(x) är
givna funktioner, gäller det att
Z y2
Z x2
g[y(t)]dy = h[x(t)]dx ⇒
g(y)dy =
h(x)dx, (D.4)
y1
x1
där y1 = y(t1 ), y2 = y(t2 ), x1 = x(t1 ) och x2 = x(t2 ).
Bevis. Vi har
g[y(t)]dy =
dy
g[y(t)] dt =
dt
dy
=
g[y(t)]
dt
Integration av båda
Z t2
dy
g[y(t)] dt
dt
t1
Z y(t2 )
g(y)dy
y(t1 )
h[x(t)]dx ⇔
def. D.1
⇔
dx
h[x(t)] dt ⇔
div. med dt
⇔
dt
dx
h[x(t)] .
dt
led m.a.p. t ger
(
)
Z t2
subst. y = y(t)
dx
=
h[x(t)] dt ⇔
⇔
dt
x = x(t)
t1
Z x(t2 )
=
h(x)dx.
x(t1 )
Litteraturförteckning
R. A. Adams. Calculus: A complete course. Addison Wesley Longman, Ltd., 4th edition, 1999. ISBN 978-0-201-39607-2.
H. Anton and C. Rorres. Elementary linear algebra. John Wiley &
Sons, Inc., 8th edition, 2000. ISBN 0-471-17052-6.
R. Davis. The SI unit of mass. Metrologia, 40(6):299–305, 2003.
Bureau International des Poids et Mesures. The International System
of Units (SI). 8th edition, 2006.
J. B. Griffiths. The theory of classical mechanics. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-23760-2.
P. J. Mohr, B. N. Taylor, and D. B. Newell. CODATA recommended
values of the fundamental physical constants: 2010. J. Phys. Chem.
Ref. Data, 41:043109, 2012.
I. S. Newton. Naturvetenskapens matematiska principer, första boken.
Svensk översättning C. V. L. Charlier, Liber Läromedel, Malmö,
1986a. ISBN 91-40-60433-0.
I. S. Newton. Naturvetenskapens matematiska principer, andra och
tredje boken. Svensk översättning C. V. L. Charlier, Liber Läromedel,
Malmö, 1986b. ISBN 91-40-60437-3.
K. R. Symon. Mechanics. Addison-Wesley Publishing Company, Inc.,
2nd edition, 1960.
Sakregister
acceleration, 10, 11, 39, 43, 45, 49
amplitud, 72
angreppspunkt, 13
arbete, 53
bana, 10, 45
basvektor, 42
begynnande glidning, 34
belopp, 85, 87
båglängd, 44
båglängdskoordinat, 45
centralkraft, 11
cosinussatsen, 82
Coulombfriktion, 34
deformation, 9
densitet, 27
differential, 93
differentialekvation, 93, 94
dimension, 89
dimensionslös, 89
dimensionsriktig, 91
Diracs deltafunktion, 67
dämpare, 72
dämpat system, 72
dämpning, 72
dämpningsförhållande, 73
dämpningskoefficient, 73
effekt, 59
elastisk energi, 56
elastisk kraft, 12
elastisk stöt, 69
energi, 53
energimetod, 53
enhet, 89
enhetsvektor, 86, 87
fart, 39
fasvinkel, 72, 83
fjäder, 12
fjäderkonstant, 12
flerkroppsproblem, 26
fri svängning, 71
friktion, 33
friktionsfri yta, 33
friktionskraft, 33
friläggning, 22
friläggningsdiagram, 22
fysikalisk dimension, 89
förstärkningsfaktor, 75, 76
geometri, 81
geometriskt centrum, 28
glatt yta, 33
gravitation, 11, 29
gravitationskonstant, 12
gravitationskraft, 11
gravitationslagen, 11
hastighet, 10, 39, 43, 45
homogenlösning, 74
hävarm, 14
högerhandsregeln, 14, 86, 88
högerorienterad, 86
högerorienterat koordinatsystem, 86
impuls, 61
impulslagen, 61
inertialsystem, 11, 49
infästning, 23
joule, 53
jämvikt, 21
jämviktsekvation, 21
jämviktsläge, 72
jämviktsvillkor, 21
kinematik, 39
kinematiskt tvång, 46
kinetik, 49
kinetisk energi, 54
kinetisk friktionskoefficient, 34
komponent, 13, 86
komposant, 13, 86
konservativ kraft, 55
kontaktkraft, 12, 13
kraft, 10, 11, 13, 49
kraftjämvikt, 21
kraftkomponent, 13
kraftkomposant, 13
kraftlagen, 11, 49
kraftmoment, 14
kraftpar, 15
kraftparsmoment, 15
kraftsumma, 16
kraftsystem, 13, 16, 18
kritiskt dämpad, 73
kropp, 9
kryssprodukt, 87
krökningscentrum, 45
krökningsradie, 45
likformig rörelse, 49
likformig triangel, 81
linjedensitet, 29
linjär fjäder, 12
läge, 10
lägesenergi, 55
lägesvektor, 10, 40, 42
längd, 89
länkarm, 47
mätetal, 90
massa, 11, 49, 89
masscentrum, 27, 29
mekanisk energi, 55, 57
mekaniska energisatsen, 54, 57
moment, 14
momentan acceleration, 39
momentan hastighet, 39
momentjämvikt, 21
momentsumma, 16
momentvektor, 14
98
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
naturlig bas, 44
naturlig frekvens, 71
naturlig längd, 12
naturliga komponenter, 44
negerad vektor, 85
Newton, Isaac, 10
newtonmeter, 53
Newtons gravitationslag, 11
Newtons rörelselagar, 10
nollsystem, 17
nollvektor, 85
normalriktning, 45
odämpat system, 71
opolär basvektor, 42
ortogonal, 86
ortogonalt koordinatsystem, 86
ortsvektor, 10
oskulerande cirkel, 45
parallellogramlagen, 85
partikel, 9
partikelbana, 45
partikeldynamik, 37
partikelsystem, 64
partikulärlösning, 74
period, 72
plan geometri, 81
plan rörelse, 39
plant kraftsystem, 18
plastisk stöt, 69
polär bas, 42
polära koordinater, 42
prefix, 90
projektion, 13, 87
punktkontakt, 23
påtvingad svängning, 74
rak central stöt, 69
reaktionskraft, 49
reaktionslagen, 11, 49
reducerat kraftsystem, 17
referensplan, 18
referensram, 49
rektangulära koordinater, 40
resonans, 76, 77
resonansfrekvens, 77
riktningsvektor, 86
rätlinjig rörelse, 10, 39
rörelseenergi, 54
rörelselag, 10, 49
rörelsemängd, 61, 64, 65
rörelsemängdsmoment, 62, 65
separabel differentialekvation, 93
sinussatsen, 82
skalärprodukt, 86, 87
snöre, 24
spiralfjäder, 12
statik, 7
statisk friktionskoefficient, 34
statisk jämvikt, 21
stelkropp, 9, 21
storhet, 89
storlek, 89
stöt, 67
stötkraft, 67
stöttal, 69
stötögonblick, 67
svängning, 71
svängningsrörelse, 71
tangentplan, 33
tangentriktning, 45
tid, 89
tidsderivata, 10
topptriangelsatsen, 81
torr friktion, 34
transient, 75
translation, 21
trigonometri, 81
trigonometrisk identitet, 82
trissa, 24
tröghestlagen, 10, 49
tvåkraftsystem, 25
tvång, 23
tvångskraft, 23
tvångsmoment, 23
tyngdacceleration, 12
tyngdkraft, 23, 29
tyngdkraftsfält, 29
tyngdkraftskonstant, 12
tyngdpunkt, 23, 29, 31
täthet, 27
underdämpad, 74
Varignons sats, 14
vektor, 85
vektoraddition, 85
vektorbelopp, 85, 87
vektorkomponent, 86
vektorkomposant, 86
vektormultipel, 85
vektornegation, 85
vektorsubtraktion, 85
verkningslinje, 13
vibration, 77
vila, 21
vinkelacceleration, 42
vinkelhastighet, 42
vinklar, 81
volymskraft, 13, 29
växelverkan, 10
watt, 59
ytdensitet, 29
yttre kraft, 13
överdämpad, 73
Download
Random flashcards
organsik kemi

5 Cards oauth2_google_80bad7b3-612c-4f00-b9d5-910c3f3fc9ce

Multiplacation table

156 Cards Антон piter

Fysik

46 Cards oauth2_google_97f6fa87-d6cd-4ae9-bcbf-0f9c2bb34c13

Create flashcards