Kompletterande text om krökning för kursen

Matematiska Institutionen
Peter Kumlin (dokumentet är författat av Carl-Henrik Fant)
9 mars 2004
Kompletterande text om krökning för kursen Linjär algebra och
Matematisk analys i flera variabler: Inledande kurs, för M1, läsåret 2003/2004.
Krökning för rymdkurvor.
En kropp rör sig i en plan cirkulär bana med konstant fart, v. En parameterframställning av dess
bana är då:
z = Rejωt .
dz
dz
Kroppens hastighet är
= jωRejωt och farten v = | | = |jωRejωt | = ωR.
dt
dt
Vi ser för övrigt att dz
dt är vinkelrät mot z.
Accelerationsvektorn är
v2
d2 z
= (jω)2 Rejωt = −ω 2 z = − ejωt .
2
dt
R
Accelerationsvektorn är vinkelrät mot hastighetsvektorn och ger upphov till en centripetalkraft
F =m
'$
x0
x00 ¡
µ
I¡
@
&%
v2
.
R
x
00
¢̧
¢
x0
]
J
HJ ¢
x00n Y
H
J¢
%
Cirkulär rörelse.
Godtycklig rörelse.
Betrakta nu en godtycklig partikelbana x = x(t).
Hastighetsvektorn är x0 (t), farten är v = |x0 (t)| och accelerationsvektorn är x00 (t).
Normalaccelerationen, an , det vill säga absolutbeloppet av accelerationsvektorns komposant vinkelrätt mot hastighetsvektorn, är |x00 (t)| sin θ där θ är vinkeln mellan x00 (t) och x0 (t).
Således är
|x0 (t)||x00 (t)| sin θ
|x0 (t) × x00 (t)|
|x0 × x00 |
an = |x00 (t)| sin θ =
=
=
|x0 (t)|
|x0 (t)|
v
Jämför detta med normalaccelerationen,
v2
R,
vid cirkulär rörelse.
Det är nu naturligt att införa begreppet krökningsradie, R, så att normalaccelerationen blir
även för en godtycklig kurva. Vi inför också kurvans krökning, K,
R=
|x0
|x0 |3
v3
= 0
00
×x |
|x × x00 |
och K =
v2
R
1
|x0 × x00 |
=
R
|x0 |3
Krökning för plana kurvor.
För en plan kurva x = (x(t), y(t), 0) är x0 × x00 = (0, 0, x0 y 00 − x00 y 0 ) vilket ger
3
R=
((x0 )2 + (y 0 )2 )) 2
.
|x0 y 00 − x00 y 0 |
I detta fall kan vi låta krökningen ha tecken
K=
x0 y 00 − x00 y 0
3
((x0 )2 + (y 0 )2 )) 2
.
Positiv krökning innebär att x0 × x00 är riktad längs positiva z-axeln och att ”kurvan kröker åt
vänster”. (Om vi tänker på kurvan som en partikelbana så har kurvan en viss genomloppsriktning.
Linjär algebra och matematisk analys i flera variabler: Inledande kurs sid. 2 av 2
Följer vi kurvan i denna riktning så gör vi en vänstersväng.) Negativ krökning innebär att kurvan
kröker åt höger.
Om kurvan är en funktionskurva y = f (x) så är x0 = 1 och x00 = 0. Uttrycken för K och R
förenklas då till
3
(1 + (y 0 )2 ) 2
y 00
och R =
K=
3
y 00
(1 + (y 0 )2 ) 2
Vi vet att för varje plan kurva är
x-axeln.
y0
x0
= tanψ där ψ är vinkeln mellan kurvtangenten och positiva
x0 y 00 − x00 y 0
x0 y 00 − x00 y 0
dt
och
alltså
dψ
=
dt.
(x0 )2
(x0 )2 + (y 0 )2
0
00
00
0
p
dψ
xy −x y
Vidare är ds = ((x0 )2 + (y 0 )2 )dt. Lite kalkyler ger oss sedan
= K.
=
ds
((x0 )2 + (y 0 )2 )3/2
Om kurvan ges i polära koordinater x = (r cos θ, r sin θ) där r = r(θ) så är ψ = θ + ω där ω är
vinkeln mellan x och x0 . Det är inte så svårt att visa att tan ω = rr0 vilket ger att (1 + tan2 ω)dω =
(r0 )2 − rr 00
(r0 )2 − rr 00
(r0 )2 − rr 00
dθ
och
alltså
dω
=
dθ
och
dψ
=
dθ
+
dω
=
(1
+
)dθ =
(r0 )2
r2 + (r 0 )2
r2 + (r 0 )2
p
2(r0 )2 + r2 − rr 00
dθ. Nu är ds = (r0 )2 + r2 dθ vilket slutligen ger
0
2
2
(r ) + r
Differentiering av denna ekvation ger (1+tan2 ψ)dψ =
K=
2(r0 )2 + r2 − rr 00
3
((r0 )2 + r2 ) 2
Övningsuppgifter.
1. Beräkna krökningsradien till kurvan x = t, y = t2 , z = t3 i punkten (1, 1, 1).
2. Beräkna krökningsradien till skruvlinjen x = (a cos t, a sin t, bt).
3. Normalen till kedjelinjen y = a cosh xa i en punkt P skär x-axeln i en punkt Q. Visa att
avståndet |PQ| är lika med krökningsradien i P.
4. Beräkna krökningen till kurvan x = cos2 t, y = sin t cos t, z = t för t =
π
4.
5. Beräkna krökningsradien för kurvan som i polära koordinater ges av r = cos θ. Vilken slutsats
drar du av uttrycket för R?
6. På normalen i en punkt P till en kurva x = (x(t), y(t)) kan man avsätta en punkt Q, på den
sida åt vilken kurvan kröker, så att |P Q| = R där R = krökningsradien i P. Denna punkt
kallas kurvans krökningscentrum i P.
Visa att skärningspunkten mellan normalen i P och normalen i P1 har ett gränsläge då P1
går mot P och att detta är krökningscentrum i P.
Svar
1. R =
√
7√ 14
19
2. R =
a2 +b2
a
4. K = 1
5. R = 0.5. Kurvan är en cirkel men detta följer inte omedelbart av R = konstant!