Vi betraktar problemet
2
− ∂∂xu2 = 0, t > 0, 0 < x < 1,
u(x, 0) = u0 (x), 0 < x < 1
u(0, t) = u(1, t) = 0, t > 0
∂u
∂t
under lämpliga regularitetsförutsättningar på u0 .
För lösningen u gäller följande:
Påstående 1:
R1
0
u(x, t)2 dx + 2
RtR1
0
0
u0x (x, s)2 dx ds ≡
R1
0
u0 (x)2 dx
RtR1
R1
R1
Bevis: Sätt φ(t) = 0 u(x, t)2 dx+2 0 0 u0x (x, s)2 dx ds, varvid φ(0) = 0 u0 (x) dx
R1
R1
R1
och φ0 (t) = 2 0 u(x, t)u0t (x, t) dx + 2 0 u0x (x, t)2 dx = 2 0 u(x, t)u00xx (x, t) dx +
R1
R1
R1
2 0 u0x (x, t)2 dx = −2 0 u0x (x, t)2 dx + 2 0 u0x (x, t)2 dx = 0.
Påstående 2:
R1
0
u00xx (x, t)2 dx ≤
1
e2 t2
R1
0
u0 (x)2 dx
R1
P∞
2 2
Bevis: Det gäller u(x, t) = n=1 bn e−n π t sin nπx, där bn = 2 0 u0 (x) sin nπx dx.
P
2 2
∞
Alltså får vi u00xx (x, t) = n=1 (−n2 π 2 bn )e−n π t sin nπx. Parsevals relation ger
Z 1
∞
1X 2
u0 (x)2 dx =
b
2 n=1 n
0
och
Z 1
u00xx (x, t)2
0
Z 1
∞
1 X 4 4 2 −2n2 π2 t
1
4 4 −2n2 π 2 t
dx =
n π bn e
≤ sup (n π e
)
u0 (x)2 dx ≤ 2 2 ku0 k22 .
2 n=1
e
t
n≥1
0
Vi betraktar nu ett allmännare problem i flera rumsdimensioner. Låt Ω vara ett
reguljärt område i Rn och låt (φk )∞
k=1 vara sviten av normerade egenfunktioner
till Laplaceoperatorn i Ω med Dirichletrandvärden (motsvarande sinusfunktionerna ovan). Detta innebär att (φk )∞
k=1 är ett fullständigt ortonormalsystem i
L2 (Ω) med randvärden noll och att det finns positiva tal λk så att −∆φk = λk φk .
Antag att u(x, t) uppfyller
∂u
∂t − ∆u = 0 t > 0, x ∈ Ω
u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω,
u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0
R
R
Då gäller Ω (∆u(x, t))2 dx ≤ e21t2 Ω u0 (x)2 dx
R
P∞
Bevis: Det gäller u(x, t) = k=1 bk e−λk t φk (x), där bk = Ω u0 (x)φ(x) dx. Vi
P∞
får ∆u(x) = k=1 (−λk bk )e−λk t φ(x). Vidare är
Z
∞
X
u0 (x)2 dx =
b2k
Ω
och
Z
(∆u(x))2 dx =
Ω
∞
X
k=1
k=1
λ2k b2k e−2λk t ≤ sup(λ2k e−2λk t )
k≥1
Z
u0 (x)2 dx,
Ω
varför resultatet erhålles på samma sätt som ovan. Laplaceoperatorn kan ersättas med vilken som helst andra ordningens elliptisk operator i divergensform.
