T.5
Andra huvudsatsen
Det finns en uppsjö formuleringar av andra huvudsatsen. Själva principen är inte så
svår att begripa d v s att de flesta makroskopiska processers irreversibilitet gör att
livet har sin gilla gång. Vi minns det som har skett och inte det som komma skall.
Ägg kan stekas men inte ostekas o s v.
Svårare är att förstå varifrån irreversibiliteten kommer då ju alla våra teorier om det
som sker på mikronivå är fullständigt reversibla. Om man t ex följer vad som sker då
en gas expanderar från en mindre volym till en större i ett i övrigt isolerat system så
kan varje kollision av partiklar betraktas som lika naturlig bakåt i tiden som framåt.
Ändå ser vi genast, om hela förloppet spelas för oss baklänges, att något är helt fel.
En gas som fyller en behållare koncentreras inte plötsligt till ena halvan av behållaren
och lämnar andra halvan tom. Åtminstone inte om det inte handlar om några få
partiklar. Här har vi kanske en liten delförklaring. Det är helt enkelt oerhört
osannolikt att alla partiklar plötsligt skall råka hamna i ena halvan av behållaren.
Minns det vi sa om temperaturutjämning mellan olika partiklar där den ena sorten
från början stod stilla (se texten om kinetisk gasteori). För att visa att utjämningen
innebar att de två partikelslagen till slut fick samma medelkinetiska energi var vi
tvungna att anta att kollisionerna innebar att alla riktningar efter kollisionen var lika
sannolika. Man skulle kunna uttrycka det så att gasen väldigt fort glömmer sina
tidigare tillstånd och att detta skulle vara den irreversibla process som orsakar den
makroskopiska irreversibiliteten. Men ack nej, det går inte. Om vi använder samma
trick baklänges i tiden så får vi samma effekt i denna riktning d v s vi kan i så fall visa
andra huvudsatsens motsats! Hur man än vänder sig så… vi är som sagt tvungna att
formulera det hela som en av fysikens huvudsatser. Det verkar omöjligt att härleda
andra huvudsatsen från mer grundläggande dynamiska postulat.
Bortsett från dessa, nästan filosofiska, funderingar så kan man uttrycka andra
huvudsatsen så här: alla fysikaliska system letar sig fram till det mest naturliga
jämviktstillståndet och detta är det tillstånd där oordningen är som störst. Detta sista
tarvar en förklaring. Man kan nämligen även säga att systemet letar sig fram till det
mest sannolika tillståndet, något som ju verkar vara en självklarhet.
Dessa problem sysselsatte Boltzmann runt förrförra sekelskiftet. Det han kom fram
till kan formuleras på följande sätt: I varje skede av sin utveckling finns det för
makroskopiska system en oerhörd mängd mikrotillstånd som är kompatibla med det
faktiska makrotillståndet. Om man gör det enkla antagandet att alla dessa
mikrotillstånd är lika sannolika så förstår man att sannolikheten är proportionell mot
antalet mikrotillstånd. Man kan som sagt använda detta antal tillstånd som ett mått på
sannolikheten för ett makrotillstånd. Men ju fler tillstånd som är möjliga i ett visst
makrotillstånd ju större kan oordningen sägas vara.
Boltzmann ville definiera en ny funktion som kunde vara ett mått på antalet möjliga
mikrotillstånd. Men detta antal är ju inte additivt d v s om man delar ett system i två
delar så är antalet möjliga mikrotillstånd för hela systemet lika med delarnas antal
multiplicerade ihop. Ett enkelt faktum från sannolikhetslära. Boltzmann ville ha en
funktion som var additiv så han definierade den som en konstant gånger logaritmen
av antalet mikrotillstånd. Väljer man konstanten till det vi i dag kallar Boltzmanns
T.5
konstant (k=1,38 •10-23) så blir den nya funktionen just entropin som även går att
definiera på annat sätt. Detta innebär att entropin för hela systemet är lika med
summan av delarnas entropi.
Det intressanta är att detta med olika mikrotillstånd kan tolkas som olika sätt att
fördela systemets totala tillgängliga energi på systemets partiklar (eller motsvarande
delar av systemet). Här kommer kvantfysiken oss till hjälp med en fantastisk
förenkling. Energin i varje verkligt fysikaliskt system är kvantiserad d v s systemets
möjliga energitillstånd är åtskilda av energier som inte är tillåtna alls. T ex partiklar
begränsade till en viss volym kan inte ha vilka energier som helst utan är tvungna att
välja en av vissa bestämda möjliga energier. Energiernas lägen på en skala beror på
volymen, medan vilka energier som kan väljas beror dessutom på den totala
tillgängliga energin. Detta förklarar på ett genialiskt sätt varför entropin ökar både då
en gas får expandera fritt till en större volym (då det enligt kvantmekaniken blir
trängre mellan energierna) utan att den totala energin ändras och då man tillför energi
till en gas utan att ändra på volymen.
Nedan visas exempel på ovanstående. Vi tänker oss ett system med tre partiklar och
för enkelhets skull ekvidistanta energier (som t ex i ett system av kvantmekaniska
harmoniska oscillatorer). Först jämför vi ett system med olika totalenergi med fasta
energinivåer. Totalenergin kallas E. Antal tillstånd kallas W. (OBS! glada partiklar
har fått ett eller flera energikvanta medan lessna har blivit utan)
E=2
W=2
E=4
W=4
Och nedan exempel med samma totalenergier men där nivåskillnaden ändrats till det
dubbla (p g a volymändring eller liknande som ändrar oscillatorernas grundfrekvens).
E=2
W=1
E=4
W=2
T.5
Boltzmanns definition av entropin blir med ovanstående beteckningar: S = k•lnW
