Föreläsning 11/9 Vektorer Ulf Torkelsson 1 Vektorer, grundläggande

advertisement
Föreläsning 11/9
Vektorer
Ulf Torkelsson
1
Vektorer, grundläggande räkneregler
En vektor A i kartesiska koordinater,xyz, kan vi skriva som
A = (Ax , Ay , Az ) = Ax x̂ + Ay ŷ + Az ẑ,
(1)
där Ax , Ay och Az är koordinater och x̂, ŷ och ẑ är enhetsvektorer. För två vektorer A och B kan
vi definiera addition
A + B = (Ax + Bx , Ay + By , Az + Bz )
(2)
och multiplikation med en skalär c
cA = (cAx , cAy , cAz ) .
(3)
Av detta följer att vi kan definiera subtraktion
A − B = A + (−1) B.
(4)
Det finns en också nollvektor sådan att
A + 0 = A.
(5)
Vektoraddition följer den kommutativa lagen
A + B = B + A,
(6)
A + (B + C) = (A + B) + C,
(7)
den associativa lagen
och den distributiva lagen för multiplikation med en skalär
c (A + B) = cA + cB.
2
(8)
Multiplikation av vektorer
Det går att definiera två olika produkter av vektorer.
Skalärprodukt: Skalärprodukten av två vektorer A och B är en skalär
A · B = |A| |B| cos θ,
(9)
där θ är vinkeln mellan vektorerna. Skalärprodukten är kommutativ
A · B = B · A,
(10)
A · (B + C) = A · B + A · C.
(11)
och associativ
För ortonormerade basvektorer, som till exempel de kartesiska basvektorerna, gäller att
A · B = Ax Bx + Ay By + Az Bz .
(12)
Lägg märke till att detta leder till att beloppet av en vektor A blir
|A| = A2x + A2y + A2z
1
1/2
.
(13)
Vektorprodukt: Vektorprodukten C av vektorerna A och B är en vektor som är ortogonal mot
det plan som spänns upp av A och B, och bildar ett högersystem med A och B. C har beloppet
|A| |B| sin θ.
(14)
A × B = −B × A,
(15)
A × (B + C) = A × B + A × C
(16)
c (A × B) = (cA) × B = A × (cB) .
(17)
Vektorprodukten är antikommutativ
och associativ
och
Vi kan beräkna vektorprodukten med hjälp av determinanten
x̂
ŷ
ẑ A × B = Ax Ay Az .
Bx By Bz (18)
Vi kan nu också definiera två trippelprodukter, den skalära trippelprodukten
A · (B × C) ,
(19)
A × (B × C) .
(20)
och vektortrippelprodukten
Lägg märke till att den skalära trippelprodukten har en enkel geometrisk tolkning. Den är volymen
av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna A, B och C.
3
Koordinatbyten
Vi kan uttrycka samma vektor i två ortonormerade koordinatsystem, x, y, z och x0 , y 0 , z 0
A = Ax x̂ + Ay ŷ + Az ẑ = Ax0 x̂0 + Ay0 ŷ0 + Az0 ẑ0 .
(21)
Vi kan nu finna koordinaten Ax0 genom att beräkna skalärprodukten
Ax0 = A · x̂0 = (x̂ · x̂0 ) Ax + (ŷ · x̂0 ) Ay + (ẑ · x̂0 ) Az ,
(22)
och på samma sätt får vi
Ay0 = A · ŷ0 = (x̂ · ŷ0 ) Ax + (ŷ · ŷ0 ) Ay + (ẑ · ŷ0 ) Az ,
(23)
Az0 = A · ẑ0 = (x̂ · ẑ0 ) Ax + (ŷ · ẑ0 ) Ay + (ẑ · ẑ0 ) Az .
(24)
och
Dessa samband uttrycks mest praktiskt med matriser

 


Ax0
x̂ · x̂0 ŷ · x̂0 ẑ · x̂0
Ax
 Ay0  =  x̂ · ŷ0 ŷ · ŷ0 ẑ · ŷ0   Ay  .
x̂ · ẑ0 ŷ · ẑ0 ẑ · ẑ0
Az
Az0
(25)
Exempel: Beräkna transformationsmatrisen för att transformera från ett koordinatsystem xyz
till systemet x0 y 0 z, där vi har roterat x0 - och y 0 -axlarna en vinkel θ moturs kring z-axeln.
Lösning: Basvektorerna x̂0 och ŷ0 kan skrivas som
0
x̂ =
cos θx̂ + sin θŷ
(26)
ŷ0 = − sin θx̂ + cos θŷ
Vi kan nu beräkna transformationsmatrisen

cos θ
 − sin θ
0
sin θ
cos θ
0
2

0
0 .
1
(27)
4
Derivatan av en vektor
Betrakta en vektor där komponenterna är en funktion av en parameter u. Vi kan då definiera
derivatan av vektorn med avseende på u
dA
dAx
dAy
dAz
=
x̂ +
ŷ +
ẑ.
du
du
du
du
(28)
En partikel rör sig längs en bana r(t). Dess hastighet är då
v = ṙ =
dr
.
dt
(29)
Hastighetsvektorn v är alltid en tangentvektor till kurvan r(t). På samma sätt får vi accelerationen
som
dv
d2 r
(30)
a=
= 2.
dt
dt
Exempel: En partikel rör sig längs en cirkelbana med radien b:
r = b sin ωtx̂ + b cos ωtŷ.
(31)
v = bω cos ωtx̂ − bω sin ωtŷ.
(32)
Dess hastighet är då
Partikelns fart blir
|v| = b2 ω 2 cos2 ωt + b2 ω 2 sin2 ωt
1/2
= bω.
(33)
Accelerationen för partikeln blir
a = −bω 2 sin ωtx̂ − bω 2 cos ωtŷ = −ω 2 r.
5
(34)
Hastighet och acceleration i polära koordinater
I många tillämpningar är det praktiskt att använda olika former av polära koordinatsystem. Det
enklaste exemplet är cylinderkooridnater. Där använder man basvektorerna ρ̂, ϕ̂ och ẑ, och
koordinaterna ρ, ϕ, z. ρ̂ ligger i xy-planet och pekar bort från origo, medan ϕ̂ ligger i samma plan
och är vinkelrät mot ρ̂. ρ är definierad som avståndet från origo i xy-planet, och ϕ är vinkeln
mellan x-axeln och ρ̂. ϕ̂ pekar i den riktning i vilken ϕ växer. Lägg märke till att riktningarna för
ρ̂ och ϕ̂ båda är en funktion av ϕ-koordinaten. I xy-planet kan vi skriva positionen för en partikel
som r = ρρ̂. Hastigheten blir då
dρ̂
v = ρ̇ρ̂ + ρ .
(35)
dt
Vi måste nu beräkna tidsderivatan av basvektorn. Vid en vridning med en vinkel ∆ϕ, så blir
förändringen av basvektorn
∆ρ̂ = ∆ϕϕ̂.
(36)
Därför får vi
dρ̂
= ϕ̇ϕ̂.
dt
(37)
v = ρ̇ρ̂ + ρϕ̇ϕ̂.
(38)
Alltså har vi att
På samma sätt kan vi beräkna accelerationen
a=
dv
dρ̂
dϕ̂
= ρ̈ρ̂ + ρ
+ (ρ̇ϕ̇ + ρϕ̈) ϕ̂ + ρϕ̇
= ρ̈ − ρϕ̇2 ρ̂ + (ρϕ̈ + 2ρ̇ϕ̇) ϕ̂.
dt
dt
dt
(39)
Här har vi utnyttjat att
dϕ̂
= −ϕ̇ρ̂.
dt
3
(40)
Det går också att beräkna hastighet och acceleration i sfäriska koordinater med den här metoden, men det är betydligt jobbigare och det finns mer effektiva metoder att göra detta.
Exempel: Ett hjul med radien b roterar kring en horisontell axel med den konstanta vinkelhastigheten ω1 . Den horisontella axeln är i sin tur upphängd i en gaffel som står på en vertikal
axel, vars förlängning går genom hjulets centrum. Denna vertikala axel roterar med den konstanta
vinkelhastigheten ω2 . Bestäm accelerationen på en godtycklig punkt på hjulets rand.
Lösning: Vi börjar med att definiera ett sfäriskt koordinatsystem med centrum i hjulets centrum. Det gäller då att r = b på hjulets rand, och ṙ = r̈ = 0. Vi har att θ = ω1 t, θ̇ = ω1 ,
θ̈ = 0, ϕ = ω2 t, ϕ̇ = ω2 och ϕ̈ = 0. Om vi sätter in detta i uttrycket för accelerationen i sfäriska
koordinater
a = r̈ − rϕ̇2 sin2 θ − rθ̇2 r̂ + rθ̈ + 2ṙθ̇ − rϕ̇2 sin θ cos θ θ̂
+ rϕ̈ sin θ + 2ṙϕ̇ sin θ + 2rθ̇ϕ̇ cos θ ϕ̂,
(41)
så får vi
a = −bω22 sin2 θ − rω12 r̂ − bω22 sin θ cos θθ̂ + 2bω1 ω2 cos θϕ̂.
4
(42)
Download
Random flashcards
Svenska

105 Cards Anton Piter

Multiplacation table

156 Cards Антон piter

Create flashcards