Svar: Svar:

Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I
Övning 6, (D=”demo-uppgift”, I=”inlämningsuppgift”)
Vecka 42, 19–22.10.2010
Gripenberg
Teori för dessa uppgifter finns också i Kr8: 10.1–10.10, Kr9: 11.1–11.9
Antag att f är periodisk med perioden T och tex. styckvis kontinuerligt deriverbar. Om
∞
X
R T − i2πnt
i2πnt
1
T
f (t) dt så gäller f (t) =
cn e T . Eftersom f också är
man nu definierar cn = T 0 e
D1.
1
2T
R 2T n=−∞
i2πnt
e− 2T f (t) och man får då f (t) =
0
periodisk med perioden 2T kan man definiera dn =
∞
X
i2πnt
dn e 2T . Vad är sambandet mellan koefficienterna cn och dn och är serieutvecklingarna
n=−∞
desamma?
Svar: dn = 0 då n är udda, dn = cm då n = 2m
D2.
i2πt
Låt x ∈ R och f (t) = exe
(a) Visa att
.
(
när n < 0,
när n ≥ 0,
P
zn
genom att använda serieutvecklingen e = ∞
n=0 n! .
(b) Visa att
Z 1
∞
X
x2n
2x cos(2πt)
,
e
dt =
(n!)2
0
n=0
R1
P
2
ˆ
genom att använda Parsevals formel 0 |f (t)|2 dt = ∞
n=−∞ |f (n)| och det faktum att
|ez | = eRe (z) .
(c) Visa att
Z 1
Z
∞
X
2m 1
2x cos(2πt)
e
dt =
cos(2πt)m dt xm ,
m! 0
0
m=0
0,
xn
,
n!
z
genom att
serieutveckling.
R 1använda exponentfunktions
m
(d) Bestäm 0 cos(2πt) dt då m ≥ 0 med hjälp av (b) och (c).
(2n)!
4n (n!)2
2
Svar: 0 då m är udda,
fˆ(n) =
då m = 2n
D3. Beräkna Fourier-transformationen av funktionen f (t) = e−aπt cos(2πt) där a > 0.
Hur ser Fourier-transformationen ut då a är ett ”litet” tal? Du kan använda det faktum att
π 2
2
Fourier-transformationen av e−aπt är √1a e− a ω och skriva cos(2πt) = 21 (ei2πt + e−i2πt ). (Då
a → 0+ närmar sig f funktionen cos(2πt) och Fourier-transformationen av f således Fouriertransformationen av cos(2πt). Denna kan jämföras med Fourier-koefficienterna av den periodiska funktionen cos(2πt) som är 12 för n = ±1 och 0 för alla andra n ∈ Z.)
π
π
1 2
1 2
1
1
Svar: fˆ(ω) = √ e− a (ω− 2π ) + √ e− a (ω+ 2π ) .
2 a
2 a
D4. Antag att N > 1 och låt F̂ och Ĝ vara de diskreta Fourier-transfomationerna av F och G
Pm−1 − i2πmj
(dvs. F̂(m) = j=0
e N F(j)). Visa att
N
N
−1
X
F(m)G(m) =
m=0
Du kan utnyttja det faktum att
PN −1
m=0
N
−1
X
F̂(m)Ĝ(m).
m=0
m
a = N om a = 1 och
PN −1
m=0
am =
aN −1
a−1
om a 6= 1.
Returnera lösningarna till I-uppgifterna senast 22.10.2010 kl. 18 till fack A5
Kom ihåg att skriva ditt namn och studentnummer!
I1. Bilden.. visar en typisk vevmekanism (tex. i en förbränningsmotor).
....
..
.
.................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........
.....
.
.
.
.
......
.
....
.
....
.....
.
.
.
...
.
.
...
.....
...
.......................
....
.
.
..... ...... ........................
.
.
....
............
.
..
...
.
...
.
.
.
.
............
...
...
.
..
............
.
..
.
.
.
.
...
............
....
....
...
.............
...
.....
............
....
... ..............
...
............
.........
...
....
........... ....
.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...
...
...
.
...
.
.
.
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
..
.
.
...
.
.
.....
...
....
.....
....
......
...
.....
.....
.......
...
.......
.........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..................................
...
..
...
..
r
t
L
P
p
Punkten P har x-koordinaten x(t) = r cos(t) + λ1 1 − λ2 sin(t)2 där λ = Lr . Uppskatta
√
Fourier-koefficienterna för funktionen x(t) genom att använda approximationen 1 − z ≈ 1− z2
och formeln sin(t)2 = 21 − 12 cos(2t).
Obs! I P
detta fall är perioden 2π och om en funktion g med perioden 2π kan skrivas i formen
g(t) = n∈Z cn eint så är cn = ĝ(n) dess Fourier-koefficienter.
Svar: x̂(±2) ≈
r2
,
8L
x̂(±1) ≈ 2r , x̂(0) ≈ L −
r2
4L
I2. Låt f (t) = t, t ∈ (− 12 , 21 ] (och f (t + 1) = f (t)). Beräkna denhär funktionens Fourierkoefficienter (med partiell integrering då n 6= 0 och genom att integrera över intervallet
R1
P
2
ˆ
(− 12 , 12 )). Beräkna med hjälp av formeln −2 1 |f (t)|2 dt = ∞
n=−∞ |f (n)| summan
2
Svar: fˆ(0) = 0, fˆ(n) =
(−1)n
−i2πn
n 6= 0,
P∞
∞
X
1
.
2
n
n=1
1
n=1 n2
=
π2
.
6
I3. Antag N > 1, F(k), k = 0, . . . , N − 1 är givna och definiera den diskreta Fouriertransformationen av F med formeln
N
−1
X
i2πmk
F̂(m) =
e− N F(k).
k=0
Visa att
N −1
1 X i2πmk
e N F̂(m).
F(k) =
N m=0
P −1 m
PN −1 m aN −1
Du kan utnyttja det faktum att N
m=0 a = N om a = 1 och
m=0 a = a−1 om a 6= 1.
R∞
R∞
R∞
I4. Om f är sådan att −∞ |f (t)|2 dt < ∞ så gäller −∞ |f (t)|2 dt = −∞ |fˆ(ω)|2 dω ifall
RT
fˆ(ω) = limT →∞ −T e−i2πωt f (t) dt. Om man nu skulle definiera transformationen med formeln
R∞
R∞
RT
g(ω) = limT →∞ −T e−iωt f (t) dt, bestäm konstanten c så att c −∞ |f (t)|2 dt = −∞ |g(ω)|2 dω.
I5. Låt F vara en periodisk talföljd med perioden N och låt G(m) = F(m − k) för något
heltal k. Uttryck den diskreta Fourier-transformationen Ĝ av G med hjälp av F̂.
Svar: Ĝ(m) = e−
i2πmk
N
F̂(m)
Besvara Stack-uppgifterna (stack.tkk.fi/Mat-1.1531) senast 24.10.2010 kl. 22