Kaströrelse med linjärt luftmotstånd
En liten kropp (≈ partikel) med massan m kastas ut i ett vertikalplan. Vi antar att kroppen förutom
av tyngdkraften också påverkas av ett linjärt luftmotstånd, d v s av en kraft som är motriktad
hastigheten, och som har ett belopp som är proportionellt mot farten, D = cv. Partikelns rörelse kan
beskrivas om vi kan bestämma koordinaterna (x; y).
y
α
(x; y )
v
α
D
mg
x
Låt oss anta att partikeln kastas iväg vid tiden t = 0, och att den då befinner sig i koordinatsystemets
origo. Vidare antar vi att hastighetsvektorn då har beloppet v0 och bildar vinkeln β med x-axeln.
Newtons andra lag ger:
→
– D cos α = m ⋅x⋅
➀
↑
– D sin α – mg = m ⋅y⋅
②
Insättning av sambanden D = cv, sin α = y⋅ /v och cos x⋅ /v ger:
– c x⋅ = m x⋅⋅
➂
– c y⋅ – m g = m y⋅⋅
➃
Ekvationssystemet ➂ - ➃ kan skrivas om som ett system av fyra första ordningens differentialekvationer. Vi inför följande beteckningar:
z1 = x
z2 = x⋅
z4 = y⋅
z3 = y
Ekvationerna ➂ - ➃ kan då skrivas om som
z⋅ 1 = z 2
z⋅ 2 = – cz 2 /m
z⋅ 3 = z 4
z⋅ 4 = – cz 4/m – g
z3 = 0
z 4 = v 0 sin β
Begynnelsevärdena är:
z1 = 0
z2 = v 0cos β
Problemet är nu förberett för numerisk lösning m h a MATLAB. Detta kan exempelvis göras m h a
ODE-lösaren ode45 (ODE = Ordinära DifferentialEkvationer).
