Föreläsning 11/9 Vektorer Ulf Torkelsson 1 Vektorer, grundläggande räkneregler En vektor A i kartesiska koordinater,xyz, kan vi skriva som A = (Ax , Ay , Az ) = Ax x̂ + Ay ŷ + Az ẑ, (1) där Ax , Ay och Az är koordinater och x̂, ŷ och ẑ är enhetsvektorer. För två vektorer A och B kan vi definiera addition A + B = (Ax + Bx , Ay + By , Az + Bz ) (2) och multiplikation med en skalär c cA = (cAx , cAy , cAz ) . (3) Av detta följer att vi kan definiera subtraktion A − B = A + (−1) B. (4) Det finns en också nollvektor sådan att A + 0 = A. (5) Vektoraddition följer den kommutativa lagen A + B = B + A, (6) A + (B + C) = (A + B) + C, (7) den associativa lagen och den distributiva lagen för multiplikation med en skalär c (A + B) = cA + cB. 2 (8) Multiplikation av vektorer Det går att definiera två olika produkter av vektorer. Skalärprodukt: Skalärprodukten av två vektorer A och B är en skalär A · B = |A| |B| cos θ, (9) där θ är vinkeln mellan vektorerna. Skalärprodukten är kommutativ A · B = B · A, (10) A · (B + C) = A · B + A · C. (11) och associativ För ortonormerade basvektorer, som till exempel de kartesiska basvektorerna, gäller att A · B = Ax Bx + Ay By + Az Bz . (12) Lägg märke till att detta leder till att beloppet av en vektor A blir |A| = A2x + A2y + A2z 1 1/2 . (13) Vektorprodukt: Vektorprodukten C av vektorerna A och B är en vektor som är ortogonal mot det plan som spänns upp av A och B, och bildar ett högersystem med A och B. C har beloppet |A| |B| sin θ. (14) A × B = −B × A, (15) A × (B + C) = A × B + A × C (16) c (A × B) = (cA) × B = A × (cB) . (17) Vektorprodukten är antikommutativ och associativ och Vi kan beräkna vektorprodukten med hjälp av determinanten x̂ ŷ ẑ A × B = Ax Ay Az . Bx By Bz (18) Vi kan nu också definiera två trippelprodukter, den skalära trippelprodukten A · (B × C) , (19) A × (B × C) . (20) och vektortrippelprodukten Lägg märke till att den skalära trippelprodukten har en enkel geometrisk tolkning. Den är volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna A, B och C. 3 Koordinatbyten Vi kan uttrycka samma vektor i två ortonormerade koordinatsystem, x, y, z och x0 , y 0 , z 0 A = Ax x̂ + Ay ŷ + Az ẑ = Ax0 x̂0 + Ay0 ŷ0 + Az0 ẑ0 . (21) Vi kan nu finna koordinaten Ax0 genom att beräkna skalärprodukten Ax0 = A · x̂0 = (x̂ · x̂0 ) Ax + (ŷ · x̂0 ) Ay + (ẑ · x̂0 ) Az , (22) och på samma sätt får vi Ay0 = A · ŷ0 = (x̂ · ŷ0 ) Ax + (ŷ · ŷ0 ) Ay + (ẑ · ŷ0 ) Az , (23) Az0 = A · ẑ0 = (x̂ · ẑ0 ) Ax + (ŷ · ẑ0 ) Ay + (ẑ · ẑ0 ) Az . (24) och Dessa samband uttrycks mest praktiskt med matriser Ax0 x̂ · x̂0 ŷ · x̂0 ẑ · x̂0 Ax Ay0 = x̂ · ŷ0 ŷ · ŷ0 ẑ · ŷ0 Ay . x̂ · ẑ0 ŷ · ẑ0 ẑ · ẑ0 Az Az0 (25) Exempel: Beräkna transformationsmatrisen för att transformera från ett koordinatsystem xyz till systemet x0 y 0 z, där vi har roterat x0 - och y 0 -axlarna en vinkel θ moturs kring z-axeln. Lösning: Basvektorerna x̂0 och ŷ0 kan skrivas som 0 x̂ = cos θx̂ + sin θŷ (26) ŷ0 = − sin θx̂ + cos θŷ Vi kan nu beräkna transformationsmatrisen cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ 0 2 0 0 . 1 (27) 4 Derivatan av en vektor Betrakta en vektor där komponenterna är en funktion av en parameter u. Vi kan då definiera derivatan av vektorn med avseende på u dA dAx dAy dAz = x̂ + ŷ + ẑ. du du du du (28) En partikel rör sig längs en bana r(t). Dess hastighet är då v = ṙ = dr . dt (29) Hastighetsvektorn v är alltid en tangentvektor till kurvan r(t). På samma sätt får vi accelerationen som dv d2 r (30) a= = 2. dt dt Exempel: En partikel rör sig längs en cirkelbana med radien b: r = b sin ωtx̂ + b cos ωtŷ. (31) v = bω cos ωtx̂ − bω sin ωtŷ. (32) Dess hastighet är då Partikelns fart blir |v| = b2 ω 2 cos2 ωt + b2 ω 2 sin2 ωt 1/2 = bω. (33) Accelerationen för partikeln blir a = −bω 2 sin ωtx̂ − bω 2 cos ωtŷ = −ω 2 r. 5 (34) Hastighet och acceleration i polära koordinater I många tillämpningar är det praktiskt att använda olika former av polära koordinatsystem. Det enklaste exemplet är cylinderkooridnater. Där använder man basvektorerna ρ̂, ϕ̂ och ẑ, och koordinaterna ρ, ϕ, z. ρ̂ ligger i xy-planet och pekar bort från origo, medan ϕ̂ ligger i samma plan och är vinkelrät mot ρ̂. ρ är definierad som avståndet från origo i xy-planet, och ϕ är vinkeln mellan x-axeln och ρ̂. ϕ̂ pekar i den riktning i vilken ϕ växer. Lägg märke till att riktningarna för ρ̂ och ϕ̂ båda är en funktion av ϕ-koordinaten. I xy-planet kan vi skriva positionen för en partikel som r = ρρ̂. Hastigheten blir då dρ̂ v = ρ̇ρ̂ + ρ . (35) dt Vi måste nu beräkna tidsderivatan av basvektorn. Vid en vridning med en vinkel ∆ϕ, så blir förändringen av basvektorn ∆ρ̂ = ∆ϕϕ̂. (36) Därför får vi dρ̂ = ϕ̇ϕ̂. dt (37) v = ρ̇ρ̂ + ρϕ̇ϕ̂. (38) Alltså har vi att På samma sätt kan vi beräkna accelerationen a= dv dρ̂ dϕ̂ = ρ̈ρ̂ + ρ + (ρ̇ϕ̇ + ρϕ̈) ϕ̂ + ρϕ̇ = ρ̈ − ρϕ̇2 ρ̂ + (ρϕ̈ + 2ρ̇ϕ̇) ϕ̂. dt dt dt (39) Här har vi utnyttjat att dϕ̂ = −ϕ̇ρ̂. dt 3 (40) Det går också att beräkna hastighet och acceleration i sfäriska koordinater med den här metoden, men det är betydligt jobbigare och det finns mer effektiva metoder att göra detta. Exempel: Ett hjul med radien b roterar kring en horisontell axel med den konstanta vinkelhastigheten ω1 . Den horisontella axeln är i sin tur upphängd i en gaffel som står på en vertikal axel, vars förlängning går genom hjulets centrum. Denna vertikala axel roterar med den konstanta vinkelhastigheten ω2 . Bestäm accelerationen på en godtycklig punkt på hjulets rand. Lösning: Vi börjar med att definiera ett sfäriskt koordinatsystem med centrum i hjulets centrum. Det gäller då att r = b på hjulets rand, och ṙ = r̈ = 0. Vi har att θ = ω1 t, θ̇ = ω1 , θ̈ = 0, ϕ = ω2 t, ϕ̇ = ω2 och ϕ̈ = 0. Om vi sätter in detta i uttrycket för accelerationen i sfäriska koordinater a = r̈ − rϕ̇2 sin2 θ − rθ̇2 r̂ + rθ̈ + 2ṙθ̇ − rϕ̇2 sin θ cos θ θ̂ + rϕ̈ sin θ + 2ṙϕ̇ sin θ + 2rθ̇ϕ̇ cos θ ϕ̂, (41) så får vi a = −bω22 sin2 θ − rω12 r̂ − bω22 sin θ cos θθ̂ + 2bω1 ω2 cos θϕ̂. 4 (42)