401
Forskning i matematikdidaktik –
är det verkligen av värde för lärare och elever?
De flesta som forskar inom området matematikdidaktik hävdar att de vill påverka lärares
undervisning i matematik eller elevers lärande i matematik. Det tyder på att en omedelbar
nytta i klassrummet skulle finnas. Samtidigt brukar erfarna forskare säga att det tar två
årtionden innan konsekvenserna av forskningsresultat sätter spår i praktiken. Hur förhåller det
sig egentligen? Når forskning om den matematik som finns i klassrummen ut till dem som är
berörda? På vilka sätt kan den nå ut? Vad menar vi när vi säger att forskningen ska påverka
praktiken i skolan? I föreläsningen kommer jag att med exempel belysa dessa frågor och
diskutera om vi önskar en förändring av sakernas tillstånd.
Barbro Grevholm är professor i matematikdidaktik vid Högskolan i Agder, Norge samt vid
Högskolan i Kristianstad. Hon har i en longitudinell studie undersökt begreppsutveckling i
matematik hos lärarstuderande och medverkar nu i en studie i Norge: LCM- Learning
communities in Mathematics. Hon handleder doktorander och har publicerat bland annat
fackböcker inom matematikdidaktik.
Föreläsning
Alla
Dokumentation
Inledning
Gapet mellan forskare och lärare har diskuterats av många forskare, bland annat Hargreaves
(1996), som har kritiserat forskning om utbildning i Storbritannien för dess brister som bas för
utveckling av undervisningen. Han menar att det är forskarna och inte praktikerna som
bestämmer agendan för forskning om utbildning och efterlyser en radikal förändring av både
vad slags forskning som sker och av sättet på vilket den organiseras.
Kan det gapet överbryggas? De skilda villkoren som gäller för grupperna och de skilda
belöningssystemen gör det naturligtvis svårt. Mogens Niss har pekat på behovet att skapa
arenor eller mötesplatser som är gemensamma och behovet av insatser som överbryggar
gapet. Vad som kan noteras är att formerna för samarbete mellan lärare och forskare har
undergått förändringar under de senaste tio åren.
De två grupperna har också olika kompetenser och frågan är vem som kan dra ut
konsekvenserna av forskningsresultaten? Är det forskarna som har producerat dessa resultat
eller är det lärarna som ska försöka omsätta forskningsresultaten i den dagliga gärningen i
skolan. Forskning kan också erbjuda olika typer av resultat och det är inte tydligt vem det är
som ska ta ansvar för att resultaten har någon effekt på undervisning eller lärande?
Teoretisk bakgrund och tidigare resultat på området
Innan vi frågar om forskning har något värde för lärare och elever kanske vi ska ställa en
annan fråga: Vad är forskning? Stenhouse (1975) har svarat med en ofta citerad formulering:
Forskning är systematisk undersökning som görs allmänt tillgänglig genom publikationer. Det
krävs alltså systematik i arbetet, man ska undersöka eller utröna något och resultatet ska bli
offentligt. På senare år har vi ofta hört uttrycket forskande lärare och vi hör elever prata om
att de forskar. Kan lärare forska och kan elever forska? Vad är ’inquiry’, som är det ord för
undersökning som Stenhouse använder? Det handlar om att söka ny kunskap, att ha en
frågande inställning, att vilja söka nya svar på frågor, helt enkelt om ett förhållningssätt till
omvärlden. I den meningen kan både lärare och elever utforska saker. Men det är inte så
vanligt att de gör resultaten offentliga som resultat av sina undersökningar.
Burkhard och Schoenfeld (2003) diskuterar i en artikel behovet av att göra forskning om
utbildning mera användbar och mera inflytelserik. De visar på sex olika modeller för hur man
kan relatera forskning till praktiken. De hävdar att uppgiften att översätta forskning till praktik
bestämt inte är en trivial sak (ibid, p 4).
Samhället har förväntningar på resultat av forskningen som ska vara av värde för
samhällsutvecklingen. Det är en direkt konsekvens av att forskning ofta sker med hjälp av
skattemedel. För att kunna finansiera ny forskning måste tidigare forskning visa resultat som
motiverar anslagsgivarna att tro på den utveckling som resultaten ska leda till. Det ser
Burkhardt och Schoenfelt som ett skäl till behovet av mera användbara och inflytelserika
resultat.
Det finns många olika sätt för lärare att bli delaktiga i forskning, en del mera uppenbara än
andra: läsa artiklar, delta i kurser av olika slag, göra egna undersökningar under handledning
och skriva om dem, göra egna projekt, vara lärardoktorander, samarbeta med en
lärarutbildning, handleda lärarstuderande, lära av varandras och av egen praktik och så vidare.
I en tidigare artikel (Grevholm, 2001) har jag skrivit om läraren som forskare i
matematikdidaktik. Där ger jag exempel från en rad forskningsstudier om hur lärare kan
involveras i forskning. Välkända studier har gjort av Cooney (1994), Krainer (1993), Jaworski
(1998), Bartolini-Bussi (1998) samt Crawford & Adler (1996). De visar alla på olika sätt
modeller för hur lärare kan medverka i forskning. Själv har jag för länge sedan föreslagit en
modell med lärare som går in och ut i lärarutbildningen och lärarutbildare som går in och ut ur
skolan. Det skulle bli som ett sabbatsår då och då med forskning respektive undervisning. Jag
har själv praktiserat modellen på 1980-talet genom att byta arbete med Margita Nilsson under
ett läsår vid lärarutbildning vid Lunds universitet. Lärarutbildare som är lärare i skola då och
då skulle vinna mycket i trovärdighet hos de lärarstuderande och lärarna som verkar som
handledare. Eftersom lärarutbildningen idag ska vara tydligt forskningsknuten kommer
läraren då i kontakt med forskning som ska omsättas i praktik.
Det har gjorts många tolkningar av vad det ska innebära att lärarutbildningen ska vara
forskningsbaserad. Exempel på det kan ges i mina och Christer Bergstens artiklar i SMDF:s
medlemsblad om det. Den kunskap lärarstuderande bygger upp ska ha sin grund i forskning
och de ska få en förståelse för vad forskning är och inte är. De ska fundera över vilka typer av
frågor som kan ställas i forskning och vilken typ av svar kan man förvänta sig.
Lärarstuderande bör kunna göra egna undersökningar i klassrummet. Den erfarenhet som de
får på så sätt ska göra dem nyfikna i sin lärargärning och få dem att fortsätta att ställa frågor
om sin praktik och söka svar. Diagnosticering av elever och utvärdering ligger nära ett
forskningsperspektiv och bör också vila på en grund av forskning.
Hur förhåller det sig egentligen?
Når forskning om den matematik som finns i klassrummen ut till dem som är berörda? På
vilka sätt kan den nå ut? Forskare har ett ansvar för att låta andra få del av sina resultat, det
ansvar som ligger i den tredje uppgiften för akademin. Detta kallas märkligt nog
’Forskningsförmedling’. Vad ligger i ordet? Vi anser inte att vi kan förmedla kunskaper till
elever, de ska själva konstruera sin kunskap. Kan vi då förmedla kunskaper om forskning till
lärare? Här har vi exempel på en eftersläpning i språkbruket. Lärande sker rimligen på
liknande sätt oavsett om den lärande är elev eller lärare.
Vad menar vi när vi säger att forskningen ska påverka praktiken i skolan?
Skolan är en komplex organisation som är svår att förändra. Traditionerna är starka och
mycket som sker bygger på en tradering från en generation lärare till nästa. Hur kan man
skapa en potential för förändring? Hur ska en sådan förändring kunna ske så att den kan
hävdas vara positiv i meningen att den leder till bättre lärande hos eleven? Hur kan vi för
övrigt mäta att bättre lärande har uppnåtts? Kan vi mäta med korta test? Vad säger det om
elevens beredskap för att använda matematiska kunskaper i sitt vuxna liv? Vilka matematiska
kompetenser är det vi vill att vuxna ska ha för livets problem? Här har vi ett helt batteri med
frågor som vi inte har många säkra svar på.
Några erfarenheter från forskning som har påverkat praktiken
I brist på generella svar på frågorna i avsnittet ovan vill jag ge några exempel som jag menar
visar att forskning kan ge positiva effekter för praktiken. I föreläsningen kommer jag att
utveckla dem närmre.
• Kursen MA119. Erfarenheter om vad lärarstuderande kan lära sig av att få medverka i ett
forskningsprojekt. De medverkar i datainsamling, datareduktion, transkription, analys och
rapportering av resultat. Studenterna lär sig om hur elever tänker, vad som är möjligt och
kan förväntas, och att vara medveten om behovet av lyhördhet inför eleverna.
• Erfarenheten från en longitudinell studie i Kristianstad om lärarstuderandes
begreppsutveckling och den därpå uppföljande HSV-studien (Grevholm, 2004).
• Erfarenheter från hur de som går in som en del i LCM-projektet upplever det. Jag ska kort
beskriva lite om det projektet och vad det går ut på. Fokus blir på begreppen ’community
building’ och ’inquiry’ som är de centrala i studien (Hundeland, Breiteig, Grevholm &
Erfjord, 2005).
• Erfarenheter från projektet ’Opp amaryllis’, där en lärare och en forskare samverkade i
matematik i en klass med elever i år 5. Resultat från studien har publicerats (Grevholm &
Sundström, 2002).
• Erfarenheten från Matematikgranskningen 1986, där forskare undersökte läroböcker i
matematik och därmed skapade debatt som gav eko i hela Sverige och som påverka de flest
redaktioner på läromedelsförlag (Areskoug & Grevholm, 1987).
Sättet att samarbeta mellan lärare och forskare skiljer sig åt i alla dessa exempel. Alla visar att
de olika kompetenser som olika personer har med sig till samarbetet kan användas på olika
sätt.
Vad krävs för att resultat från forskning ska inverka på praktiken i skolan?
Det är frestande att göra jämförelsen med medicinsk forskning. Om man genom forskning
kommer på en bättre behandlingsmetod går de flesta över till den genast. Varför händer inte
motsvarande inom undervisningsområdet? Det kan finnas flera olika skäl till det. Antalet
läkare inom ett medicinskt område respektive antal lärare inom ett ämne är förmodligen inte
jämförbara. De fackliga organisationernas roll för respektive yrke samt yrkenas status spelar
in. I matematikdidaktik finner man troligen inte en bättre metod men flera metoder som kan
vara bra vid olika förutsättningar. Resultaten är inte så entydiga. De ekonomiska effekterna av
förbättrad sjukvård är tydligare och snabbare än effekterna av förbättrad undervisning.
Det krävs en utvecklingslust hos läraren, en önskan att gå vidare och förädla sin praktik.
Vad är det som gör att en lärare vill förändra, utveckla sin undervisning? Får läraren någon
belöning för det? Skulle det vara möjligt att bygga in en drivkraft i systemet så att lärare fick
en lika påtaglig belöning som läkaren?
För att se effekterna av en viss undervisning måste vi undersöka elevernas lärande. Hur vet vi
när elevernas lärande har förbättrats? Är TIMSS, PISA och NU bra sätt att mäta lärandet? Hur
ska vi annars mäta det? Vi mäter i regel effekten av lärande ganska nära inlärningstillfället. Är
det rimligt? Borde vi inte också mäta vilken effekt det har på lång sikt? Har vuxna i samhället
de kunskaper i matematik som de behöver för sin egen vardag, för yrkeslivet och för att delta i
den demokratiska processen med beslut, val, ansvar för hållbar utveckling, egen ekonomi och
andra avgöranden?
Önskar vi en förändring av sakernas tillstånd?
Synen på forskning respektive undervisning skiljer sig. Forskare och lärare lever i skilda
världar. De har olika status och arbetsvillkor, lön, belöningssystem mm. Vem är det som vet
vilka som är de brännande frågorna i klassrummet? Ställer lärare andra frågor än forskare?
Vem har företrädesrätt? Eller som Hargreaves uttryckte det, vem sätter agendan för
forskningen?
Mina förslag för att effektivisera påverkan av skolan från forskning
Varje disputation borde följas av kurser med forskaren och lärare i samarbete där man
försöker dra ut konsekvenserna för praktiken av forskningsresultaten. I en sådan kurs är
lärarnas kompetens avgörande. Det är de som vet vad som är möjligt, var eleverna har sin
utgångspunkt och vilka ramar som styr. Det man kommer fram till bör publiceras så att det
lätt kan nås av lärare, gärna på den världsvida väven. I Sverige kan det vara en lämplig
uppgift för NCM att ordna sådana kurser och sprida den följande publikationen.
Populärvetenskapliga artiklar om forskning måste uppvärderas i akademin. Som det är idag
belönas forskare och universitet i regel endast för vetenskapliga artiklar. Forskare ska känna
ett ansvar för att erbjuda sig att medverka i olika sammanhang och möta lärare och ventilera
sina resultat. Lärare bör ifrågasätta forskares resultat och göra rimlig del av kunskaperna till
sin egendom.
Alla lärare ska ha rätt till regelbunden tid för att på något sätt ta del av forskningsaktiviteter
och resultat. Lärare bör belönas när de är beredda att skriva om eller dela med sig av sina egna
erfarenheter till kollegor och forskare. Lärares professionella identitet ska vara synlig och
påverka forskningen. Lärares medverkan i forskningsprojekt bör värderas högre i tid och
pengar. Sådana aktiviteter bör vara meriterande då man söker anställning som lärare.
Resultat från forskning kan påverka skolans undervisning och möjligheterna till lärande
positivt men det måste ske på lärarnas villkor och med deras frågor om sitt yrkesinnehåll för
ögonen. Gapet mellan lärare och forskare måste överbryggas för att vi ska få till stånd den
önskade positiva effekten av forskningen.
Referenser:
Areskoug, M. & Grevholm, B. (1987). Matematikgranskning. Stockholm: Statens Institut för
läromedel.
Bartolini-Bussi, M. (1998). Italian research and innovation: Towards a new paradigm. ICMEbulletinen, nr 45, s 17 ff.
Burkhardt, H. & Schoenfeld, A. (2003). Improving educational research: toward a more useful, more
influential, and better-funded enterprise. Educational Researcher, Vol. 32, No 9, 3-14.
Cooney, T. (1994). On the application of science to teaching and teacher education. I R. Biehler m fl
(red.), Didactics of mathematics as a scientific discipline. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
Crawford, K. & Adler, J. (1996). Teachers as researchers in mathematics education. I A. Bishop m fl
(red.), International Handbook of mathematics education. (s 1187-1205). Dordrecht: Kluwer
Academic Publishers.
Grevholm, B. (2001). Läraren som forskare i matematikdidaktik. Några exempel och reflektioner. I B.
Grevholm (red.), Matematikdidaktik – ett nordiskt perspektiv, (s 257-274). Lund: Studentlitteratur.
Hargreaves, D. (1996). Teaching as a research based profession: Possibilities and prospects. Teacher
training agency annual letter. London: Teacher training agency.
Grevholm, Barbro & Sundström, Ingrid. (2003). Matematisk visualisering av biologisk tillväxt. I
Ingvill Holden et al (red), Matematikläring i samspillet mellom teori och praxis. Proceedings from
Conference on mathematics education at NTNU, November 2002. Trondheim: Nationalt senter for
matematikläring.
Hundeland, P. S., Breiteig, T., Grevholm, B. & Erfjord, I. (2005). Teachers and researchers inquiring
into mathematics teaching and learning: A case of linear functions. Paper presented at Norma05 in
Trondheim, september 2005.
Jaworski, B. (1998). Mathematics teacher research: Process, practice and the development of teaching.
Journal of Teacher Education, 1, 3-31.
Krainer, K. (1993). Understanding students’ understanding: On the importance of cooperation between
teachers and researchers. I P. Boero (red.) Proceedings of the 3rd Bratislava International Symposium
on mathematical education (BISME3), s 1-22. Bratislava: Comenius University.
Stenhouse, L. (1975). An introduction to curriculum research and development. London: Heinemann.
402
Möjligheternas bro i skolmatematiken
Föreläsningen belyser den viktiga språkliga kommunikationen mellan olika individer, olika
objekt och olika situationer i matematik. Med exempel från grundskolan visas lärares och
elevers perspektivtagande vid olika tillfällen i skolan och vad det kan leda fram till. Genom
att lärare och elever blir medvetna om det vardagliga och matematiska språket i interaktion
kan många möjligheter öppna sig för förståelsen i matematik.
Eva Riesbeck är lärarutbildare vid Linköpings Universitet. Hon undervisar studenter i
matematikdidaktiska kurser inom lärarutbildningen. Hennes forskningsområde är interaktion
och problemlösning samt elevers språk och kommunikation i matematik.
Föreläsning
Alla
Dokumentation
Frågan om hur människan lär och utvecklas har sysselsatt mänskligheten under lång tid, inte
minst under nittonhundratalet, då kunskapen blev mer abstrakt för varje enskild individ.
Enligt ett sociokulturellt perspektiv handlar det om hur människor tillägnar sig de redskap och
det sätt som kulturen är uppbyggd på. Just matematiken är ett abstrakt ämne som var och en
behöver bli delaktig i och lära sig dess struktur och uppbyggnad (Säljö, 2000). Här följer först
några glimtar från matematikens tidiga utveckling för att förstå dess historiska och kulturella
tillhörighet.
Historik
Ordet matematik betyder kunskap och kommer av grekiskans mathesis. Men historien om
matematiken börjar långt före antikens greker. De första skriftliga bevisen för att matematiken
nådde en viss grad av utveckling kommer från Mesopotamien och Egypten. Geometrin kan ha
uppstått ur åkerbruket, då man ville veta storleken på sina åkrar. Det första mesopotamiska
kulturfolket sumererna byggde bevattningskanaler i området Eufrat och Tigris. Den praktiska
geometrin krävdes för dessa byggen. Matematiken har under årtusenden använts på skilda sätt
av människor beroende på vad man skulle ha för användningsområde. Aritmetiken kom till då
man skulle uppmäta sin förmögenhet, driva in skatter och bedriva handel. Förr i tiden visste
alla människor i en kultur hur man räknade då alla var delaktiga i hur man lagade mat, jagade
och fiskade. Kunskapen fanns hos den enskilde individen om hur samhället var uppbyggt.
Man har därmed utvecklat olika färdigheter i matematik genom att ange mått i hur stort, hur
mycket eller hur långt någonting är. Genom att människor har uppfattat matematiken olika så
har den utvecklats på skilda sätt i olika kulturer. På så vis utvecklades stora skillnader i
talsystemen. Sumererna som uppfann kilskriften, hade en väl utvecklad astronomi och ett
talsystem (Dahl, 1991). Talsystemet hade 60 som bas och det är faktiskt sumererna som ännu
idag lever kvar i antalet minuter på en timme och antalet grader i ett halvt varv. Man hade
olika beteckningar för talen under 60. Men talet 60 betecknas med samma symbol som
används för talet 1. Likaså betecknas talet 60*60 med symbolen 1, liksom 60*60*60 och så
vidare. En symbols värde beror liksom i vårt moderna talsystem på den position symbolen har
i talet. Matematiken förändrades efterhand då människor från olika kulturer möttes och alla
skulle förstå vad man talade om. Den engelske författaren Pepys anger i sin dagbok 1662 att
han tar lektioner i multiplikationstabellen och att han aldrig har varit med om något så svårt
(Liedman, 1997). Under senare delen av 1600-talet kommer nya aktörer in nämligen
vetenskapsmännen som ville harmonisera måtten. En av de första aktörerna är Gabriel
Mouton kyrkoherde i Lyon och även astronom och vetenskapsman. Han har kallats
metersystemets fader (Nystedt, 1998). Matematiken blev till en akademisk disciplin under
1600-talet vid universiteten och nu förändrades matematiken och blev det vetenskapens språk,
som vi kan se idag och även att statusen till ämnet förändrades till att bli mycket hög
(Sandahl, 1997).
Kultur
Våra kunskaper kommer således ur kulturella och historiska erfarenheter. De finns inbyggda i
den värld som vi lever i. För att lära sig matematiken i vår värld måste vi bli delaktiga i den.
Den långa barndomen där individen får intryck från många olika kulturella aktiviteter är helt
avgörande för återskapande av kunskaper och färdigheter i vårt komplexa samhälle (Säljö,
2005). Man måste analysera aktiviteter där individer agerar och vilka erfarenheter de gör.
Vi lever i olika kulturer och flera forskare visar genom antropologiska studier att den
matematik som man kan iaktta i kulturer utanför skolan och i andra länder än den
västerländska skiljer sig åt (Nunes, Schliemann & Carraher, 1993; Saxe, 1988). Hos Nunes,
Schiemann & Carraher kan vi ta del av en studie med brasilianska barn, som arbetade som
gatuförsäljare och som räknade i sin vardagliga omgivning på sitt sätt. Men när barnen
försattes i en formell testsituation, hade de inte förmågan att lösa uppgifterna. Barnen sålde
och köpte kokosnötter i sin egen kultur och de utförde komplicerade räkneoperationer i sin
vardag. Förmågan att ”se” dessa situationer som barnen utsattes för är en förvärvad förmåga
som är resultatet av en sociokulturell utvecklingsprocess. D’Ambrosio från Brasilien
ifrågasatte på 1980-talet i sin forskning den matematik som behandlades i alla västerländska
skolor. Han införde ordet etnomatematik (1985), där han pekar på olika gruppers koder,
symboler, myter och speciella sätt att diskutera matematik. Han menar att matematiken måste
utgå från den kultur som barn växer upp i. Detta innebär att vi måste ta till vara de
matematiska kunskaper som våra elever har med sig till skolan. Man kan idag se att det kan
variera beroende på hur barnen har blivit delaktiga i sin kulturella värld.
Studier av vad som händer med elevers matematikkunnande när de kommer till institutionen
skolan är väl dokumenterad (Wyndhamn, 1993; Wistedt, 1994; Sfard, 2000; Van Oers, 2002;
Verschaffel, 2002). Våra benämnda uppgifter i matematik handlar ofta om vardagliga ting i
våra svenska läroböcker. Det har visat sig att elever fokuserar på ett rätt svar och letar efter
ledtrådar i uppgiften och då har egentligen inte kontexten i uppgiften någon större betydelse.
Men man kan då ställa sig frågan i vilken mån den kunskap som förmedlas i skolan egentligen
är anpassad till agerande i vardagliga sammanhang (Wistedt, 1994, a, b). Elever behöver
översättningsregler som hjälper dem att röra sig mellan kontexter av skilda slag. De som
enbart rör sig inom ett vardagligt sammanhang missar de matematiska poängerna (Wistedt,
1992). Wyndhamn (1993) visar i sin forskning kring problemlösning hur elever när de talar
om en problemlösningsuppgift i grupp löser den tillsammans genom sitt samtal med läraren
och olika redskap. I senare forskning av Verschaffel och Van Oers (2002) visar man på
språkets betydelse och olika modeller för att lärandeprocessen i matematik ska bli förstådd av
våra elever.
Språket
Genom att studera matematiken utifrån några begrepp i ett socio-kulturellt perspektiv öppnar
man upp för vissa saker. Det första är begreppet Artefakter, som betyder verktyg som kan
delas in i fysiska eller materiella artefakter och språkliga eller intellektuella. Språket fungerar
som medel för kommunikation mellan människor och som en länk mellan det inre och det
yttre. Med hjälp av språket får vi perspektiv på omvärlden. Genom att se matematiken som ett
språk som man måste tillägna sig för att bli delaktig i den kontexten är det viktigt att vi blir
medvetna om hur matematikens språk är uppbyggt och hur vi handskas med det. När vi i
matematiken använder oss av olika konkreta redskap måste vi vara medvetna om att de
kanske inte är helt förståeliga för de elever som ska använda dem. Vi måste med hjälp av det
vardagliga och det matematiska språket samtala om vad vi gör med redskapen och kunna
förklara och bli delaktiga. Människan utvecklas i olika riktningar beroende på hur hennes
omvärld fungerar och vilka medierande redskap hon har tillgång till (Wyndhamn, 2002).
När man följer en lärares samtal i ett klassrum visar forskning på att läraren ägnar mera av sitt
språk åt formen än åt innehållet. Vidare är det av vikt att se till lärarens frågor i ett
matematiskt samtal. Läraren är elevernas språkliga förebild och måste då vara medveten om
hur man formar språket. Om vi ser till eleverna så lägger de ofta i sina samtal ett vardagligt
och handlingsorienterat perspektiv på uppgiften. Vi kan följa många elever som i sina samtal
använder sig av utpekande deiktiska uttryck. Det kan vara ord som den här, den där, nu, sen,
röd, blå, sned. Dessa ord medverkar till att upprätthålla kommunikationen mellan eleverna, så
att de kan lösa uppgiften, men det sker ingen utveckling i deras matematiska förståelse.
Därför är det vikigt att elever får lära sig ett rikare språk. Om vi ser på samtal där elever
använder sig av metaforiska eller formella språk innebär det att elever i gruppen delar ett
perspektiv där utgångspunkten är tolkad så att tankefokus ligger på uppgiftens innehåll.
Genom att använda en teoretisk terminologi kan man knyta an till en begreppstradition.
Läraren skulle kunna ställa nya frågor, inspirera till nya upptäckter, utmana elevernas
föreställningar, ge eleverna ord, peka på sammanhang, byta perspektiv, tydligt visa på målet
för uppgiften och så vidare (Wyndhamn, 2002).
Att lära är att socialiseras in i en praktik med speciella begrepp och sociala språk. Människans
förståelse av världen finns i deras praktiker. Den kan också förstås som en process där
människor approprierar delar av de kunskaper och färdigheter som utvecklats i samhället. Det
andra begreppet Appropriering innebär att man tillägnar sig medierande redskap (språket) av
olika slag inom ramen för institutionaliserade praktiker.
Föreläsningen ger exempel på språkets betydelse i matematiken och samtalets möjlighet till
utveckling. Vi kommer att följa elevers matematiska samtal i olika grupper med olika redskap
och olika syften. Vidare visas lärares språkliga interaktion i en matematiksituation och
lärarstudenters problemlösande samtal. Ett samtal i en strikt matematisk kontext avviker starkt
från vardagliga sätt att uttrycka sig. Därför måste vi samtala med våra elever i matematik och
låta dem bli delaktiga i denna diskurs. Elever förutsätts lära med varandra och inte enbart av
varandra. Det måste vara viktigt att läraren har ett tydligt mål med varje aktivitet och ser till
att elever samarbetar, vilket då betyder att vara delaktig och delaktighet bygger på att
medlemmarna är överens om målet för aktiviteten och kan ge varandra stöd och känna
ömsesidig stimulans.
Referenser
Dahl, K. (1991). Den fantastiska matematiken. Fischer & Co. Stockholm
D’Ambrosio, U. (1985). Etnomathematics and it’s Place in the History and Pedagogy of
Mathematics. For the learning of Mathematics, 5, 44-48.
Liedman, S-E. (1997). I skuggan av framtiden. Albert Bonniers Förlag.
Nunez, T., Schliemann, A.D. & Carraher, D.W.(1993). Street mathematics
and school mathematics. Cambridge, England: Cambridge University Press.
Nystedt, L. (1998). Historien om metern och kilot. Instant Mathematics. Falköping.
Sandahl, A. (1997). Skolmatematiken- kultur eller myt? Linköpings Studies in Education and
psychology. Linköping.
Saxe, G. (1988). Candy selling and math learning. Educational Researcher,
17, 14-21.
Sfard, A. (2000). Symbolising mathematical reality into being – or how
mathematical discourse and mathematical objects create each other. In P.
Cobb, E. Yackel & K. McClain (Eds). Communicating and symbolizing in
mathematics: Perspectives on discourse, tools and instructional design.
Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, 37-98.
Säljö, R. (2000). Lärande i praktiken. Prisma. Stockholm.
Säljö, R. (2005). Lärande och kulturella redskap. Norstedts Akademiska förlag. Stockholm.
Van Oers, B. (2002). The Mathematization of young children’s language. In
Ed. K. Gravemeijer, R. Lehrer, B. Van Oers, L. Verschaffel. Symbolizing,
modelling and tool use in mathematics education. Kluwer Academic
Publishers. Dordrecht/Boston/London.
Verschaffel, L.; Greer, B. and De Corte, E. (2002). In Ed. K. Gravemeijer,
R. Lehrer, B. Van Oers, L. Verschaffel. Symbolizing, modelling and tool use
in
mathematics
education.
Kluwer
Academic
Publishers.
Dordrecht/Boston/London.
Wyndhamn, J. (1993). Problem-solving revisited. On school mathematics as a situated
practice. Department of Communication Studies. Linköping Studios in Arts and Science 98.
Wyndhamn, J. (2002). Att lära med och av ett datorprogram. I R. Säljö & J. Linderoth (red).
Utmaningar och e-frestelser. It och skolans lärkultur. Prisma. Stockholm.
Wistedt, I. (1994a). Reflection, communication and learning mathematics: A
case study. Learning and Instruction, 4(2), 123-138.
Wistedt, I. (1994b). Everyday common sense and school mathematics.
European Journal of Psychology of Education, 9(2), 139-148.
Wistedt, I. (1992). Att vardagsanknyta matematikundervisningen.
Stockholms Universitet. Pedagogiska institutionen.
404
Små barns matematik, språk och tänkande går hand i hand
I leken och i det sociala samspelet mellan barn och mellan barn och vuxna utvecklar de små
sitt språk och tänkande kring företeelser med matematikinnehåll. Under föreläsningen ges
exempel på konkreta situationer och aktiviteter där barn och lärare upptäcker, använder och
utvecklar matematik i förskolans vardag:
- Språket - ett redskap för tänkande om matematik
- I leken utvecklar barn sin rumsuppfattning
- Små barn dokumenterar tankar om matematik
Görel Sterner är förskollärare, specialpedagog och projektledare vid Nationellt Centrum för
Matematikutbildning, NCM.
Föreläsning
Fö
Dokumentation
Föreläsningen ingår i serien om SMÅ BARNS MATEMATIK, NCM: s redovisning av
Pilotprojektet för förskolan (se referenser nedan).
Språk, lek och lärande hänger oupplösligt samman och barn skall ges möjligheter att utveckla
sin förmåga att lyssna, samtala och reflektera över språket och matematiken i omvärlden. Att
skapa och kommunicera med hjälp av olika uttrycksformer såsom bild, sång, musik, drama,
rytmik, dans, rörelse samt med hjälp av tal- och skriftspråk, utgör både innehåll och metod i
förskolans strävan att främja barns utveckling och lärande (Lpfö 98).
I projektet har vi lagt stor vikt vid att barns tankar, idéer och uppfattningar skall synliggöras
och komma till uttryck på många olika sätt beroende på barnens ålder, vilket innehåll det
handlar om, samt barnens egna idéer och önskningar.
Små barn utvecklar sin rumsuppfattning genom att använda hela kroppen och alla sina sinnen
då de leker. De kryper, ålar, hoppar och springer. De tittar, smakar och känner på saker som
kommer i deras väg. De kryper under och över hinder, klättrar upp och ned på stolen, ramlar
ned och slår sig. Då de börjar kasta boll med mamma eller pappa får de försöka bedöma
avstånd och riktning. När de klättrar upp på klätterställningen får de erfarenheter som har med
höjd att göra. För att utveckla rumsuppfattning behöver barnen många möjligheter att
undersöka och upptäcka rummet, både inomhus och utomhus. Men de behöver också få språk
och ord för sina handlingar. En av lärarens viktigaste uppgifter är att sätta ord på det lilla
barnets upplevelser och att kommunicera med barn om det som sker.
Under föreläsningen får vi följa hur barn både spontant och planerat engagerar sig i olika
aktiviteter som utvecklar rumsuppfattning. De leker tittut-lekar, bygger rum åt sina djur och
dockor. Med papper och penna går de på upptäcktsfärd i närmiljön och undersöker former,
mäter, jämför proportioner och dokumenterar. Barnens dokumentationer, reflektioner och
undringar tas av lärarna som utgångspunkter för nya upptäckter och utmaningar. I projektet
har vi bland annat fokuserat på lärarnas förhållningssätt och samspel med barnen. När vi här
följer barnens utveckling av rumsuppfattning i lek och tema kan vi också se att lärarnas
matematikkunnande parat med förmågan att skapa varma och tillitsfulla relationer till sina
barn är en mycket god grund för glädje och lärande i förskolan.
Referenser
Doverborg, Elisabet & Emanuelsson, Göran (red). (2006). Små barns matematik. Under
tryckning. Göteborg: NCM.
Emanuelsson, Göran & Doverborg, Elisabet (red). (2006). Matematik i förskolan (Nämnaren
TEMA). Under tryckning. Göteborg: NCM.
405
Vi vågade börja ettan utan lärobok – så här gick det
Vi vill göra en reflekterande resumé över arbetet med matematik i vår etta, där vi hade
Birgitta Kuijls mattepall som grundstomme och Ulla Öbergs föreläsningar som
inspirationskälla. Problemlösningen har bestått av öppna uppgifter som ofta utgått från
barnens egen verklighet. Talsäkerhet och begreppsbildning har förankrats i konkret materiel.
Alla barnen har dokumenterat sitt eget tänkande på många olika sätt.
Ulrika Broman, grundskollärare 1-7 ma/no
Maria Einarsson, lågstadielärare
Dagmar Svensson, speciallärare
Vi arbetar på Rebbelberga skola i Ängelholm
Föreläsning
Fö Gt
Dokumentation
Länge hade vi ställt oss frågan:
- Vågar vi släppa läroboken i matematik?
Farhågorna för att missa begrepp och kunskaper som eleverna skulle behöva för framtiden var
stora. En fortbildningssatsning på matematik inom vårt rektorsområde med föreläsningar av
bland annat Ulla Öberg och diskussioner på många plan, fick oss att våga ta steget. När vi
förra hösten skulle ta emot ettor bestämde vi oss för att arbeta utan lärobok i matematik.
Våra erfarenheter från arbetet med lärobok var bland annat att eleverna hade svårt att visa hur
de löser problemuppgifter och att de hade brister i förståelsen av de matematiska begreppen.
Därför siktade vi in oss på att arbeta så att inte dessa missförhållanden skulle uppstå.
Vårt arbete har vi, inspirerade av Birgitta Kuijl, låtit vila på den trebenta pall som har benen:
begrepp, talsäkerhet och problemlösning.
Begrepp som jämna/udda, fler/ färre/färst, mer/mindre, dubbelt/hälften…….ja, listan blir lång
när vi räknar upp alla de begrepp som vi aktualiserat. I det arbetet har vi försökt utgå från
barnens naturliga miljö och gemensamma upplevelser som vi sen kunnat bygga
begreppsutvecklingen på.
Talsäkerheten har till största del varit koncentrerad på talområdet 0 – 10 för att riktigt befästa
dessa tal. Här skyndade vi långsamt för att se att barnen hängde med utan fingerräkning. Vi
har undervisat om hur man räknade i andra tider och i andra kulturer med t ex stenar och fåror
i sand. Abakuserna har varit ett mycket bra hjälpmedel i detta sammanhang.
Problemlösningen har ofta utgått från konkreta upplevelser i barnens vardag. Vi har t ex bakat
bullar, åkt pulka, suttit runt bord i olika grupperingar. Mycken tid har lagts ner på att låta
eleverna rita, berätta och visa för varandra, alltså dokumentera, hur de löst de matematiska
problemen. Det har då visat sig att det kan finnas olika sätt att lösa ett och samma problem,
vilket har gett upphov till rika diskussioner där barnen lärt av varandra.
Laborativt material av olika slag, inköpta eller egentillverkade, har vi naturligtvis använt.
Det som kanske gläder oss mest är, att bland våra 64 elever har vi ingen, som är rädd för att
försöka lösa problemen. Stämningen bland barnen är mycket positiv när de arbetar med
matematik. Vi har heller inga barn som tycker att matematik inte är roligt därför det är alltför
lätt utan vi försöker göra problemen rika så att alla kan få utmaningar på sin nivå.
Vad tycker vi oss ha vunnit?
Progressionen i arbetet bestämmer lärarna själva och de väljer ut vilka problem som ska
användas. Att arbeta i matematik utan lärobok medför därmed ett större engagemang hos
lärarna. Detta innebär i sig en bättre lärandesituation. Dessutom blir lärarna mer lyhörda för
elevernas egna initiativ och beredda på att utnyttja matematiken i vardagen.
När klasser följer en lärobok i matematik uppstår ofta en tävlingssituation mellan eleverna. Vi
har inte märkt någon sådan tävlingshets i våra klasser.
Ibland har ändå tvivlet kunnat uppstå om vi missat något men då lugnar vi oss med att när vi
nu i tvåan genomför de nationella diagnoserna och ser elevernas resultat blir vi stärkta och
märker att vi jobbar mot rätt håll.
406
Hur långt är ett äppelskal? Matematik i förskoleklassen.
Förskoleklassens matematik ryms inte mellan pärmarna i en bok. Att arbeta utifrån läroplanen
genom lek och tematiskt arbete.
- Utforskande laborationer
- Mönster- och formpromenader
- Bygg- och konstruktion
- Bey-blades och pokemon, barns egen matematik
Annika Persson och Lena Wiklund är förskollärare i förskoleklass. Annika Persson har
också varit handledare i ”Pilotprojektet i matematik för förskollärare och barn 1-5 år” vid
NCM.
Föreläsning
Fö Gt
Dokumentation
Målen för förskoleklassens verksamhet går in under grundskolans läroplan. Det
förhållningssätt som finns uttryckt i läroplanen framhåller vikten av att låta barns egna
erfarenheter och tänkande utgöra grunden för lärandet. Däremot finns det inga tydliga
riktlinjer för hur man i förskoleklassen ska arbeta mot målen. Många förskollärare upplever
avsaknaden av kunskap både om matematikens innehåll och hur man kan arbeta med det som
ett problem. Det kan betyda att färdiga läromedel kan få en alltför styrande roll eller att
arbetet går in i skolstrukturens uppdelning i ämnen. Hur ska läroplanens intentioner bli
synliga i arbetet med matematik?
Vi vill ge exempel på hur vi i vardag, lek och tematiskt arbete kan lyfta fram matematiskt
innehåll och göra det till föremål för undersökande, reflekterande och skapande arbete.
Rubriken ”Hur långt är ett äppelskal” antyder att det finns många sätt att närma sig
matematiken kring att äpple. När vi handlar ett kilo äpplen – är det alltid lika många äpplen?
Hur kan vi dela ett kilo äpplen på fem, sex eller sju barn? Är det lättare att göra mos?
Ett äpple kan delas på olika sätt, t ex horisontellt eller vertikalt, och olika symmetrier
framträder. Vi gjorde undersökningar kring form, volym och yta. Hur stor är skalets yta på
äpplet – och hur kan man ta reda på det?
Att arbeta med MÖNSTER i förskoleklass kan starta på många olika sätt.
Att gå ut i sin närmiljö och titta efter mönster kan vara ett sätt eller som vi gjorde den här
gången, att starta med barnens egna upplevelser.
I ett brev innan sommaren uppmanade vi barn och föräldrar att under sommaren samla och ta
med något runt, något lent och något mönstrat till förskoleklassen.
När vi sen började med våra samlingar jobbade vi runt de olika begreppen. Föremålen blev
också ett stöd för barnen i deras berättande i en stor ny grupp.
Min nalle har mönster på klänningen berättar Linnea. Vi ber Linnea beskriva mönstret , vilka
färger har den, hur kan man beskriva mönstret?
Vid ett senare tillfälle jobbar vi i mindre grupper där barnen ytterligare hittar egenskaper i
sina olika mönster. Linnea ritar av sina blommor, dom ligger på ett speciellt sätt säger hon.
Hon har upptäckt att blommorna ligger i små grupper, noga noga ritar hon av det hon
upptäckt, för att sen måla de rätta färgerna.
Linnea upptäckte upprepningen i sitt mönster, det spinner vi vidare på.
Kaplastavar är ett bekant material för barnen, med stavarna jobbar vi vidare med temat
upprepning. –Det ser ut som ett staket, säger någon om de utlagda stavarna. Nu blir det
naturligt för oss att gå ut i vår omgivning och fortsätta vårt mönsterarbete. På vår mönsterpromenad märks det verkligen att barnen ser sin omgivning med nya ögon.
I vårt arbete med mönster får barnen bekanta sig med en massa matematiska begrepp, se
likheter och skillnader. Att kunna se ett upprepat mönster och själv t.ex kunna fortsätta lägga
mönstret är en del i förståelsen för talmönster.
Inspirationen till BYGGLEKEN kan hämtas från många håll. Sexåringars konstruktioner har
ofta sina förebilder i verkligheten, men också i sagor och fantasi. I sina byggen
experimenterar barnen kring form och mätande, utforskar storleksförhållanden och jämvikt,
gör jämförelser och sorterar. De skapar inre bilder av det de vill bygga, gör modeller och
bygger efter ritning. De samspelar med varandra och löser problem. Vi visar några exempel
på hur vi kan skapa situationer där barnen utmanas i sitt tänkande och provar olika strategier
och lösningar.
Byggleken finns väldigt naturligt i våra barns vardag. Har man ett rikt utbud av olika sorters
byggmaterial så stimulerar materialet i sig byggandet. Många barn har en inbyggd önskan att
ordna sina byggen efter egna tankar och regler. Symmetrin i byggandet kommer ofta av denna
strävan. Som pedagoger kan vi hjälpa barnen att sätta ord på det dom gör.
-Behöver du en en lika lång eller ska den vara hälften så lång? Ord som dubbelt, hälften, flera,
färre, tjock, smal, lika, olika används ofta i byggandet. Här förstår barnen på ett naturligt sätt
ordens betydelse. I byggandet prövas ju också ideér i praktiken. T.ex . Hur ska jag göra för att
få plankan att ligga stilla eller rakt, här kommer tankar kring stadighet och balans in.
407
Lärstilsmatematik - engagemang, lust, och delaktighet.
Lundskolans Lärstilar som pedagogisk plattform ger skjuts åt lärandet. Pedagogerna varierar
presentationer och "sänder på många kanaler". Eleverna tränas i att känna igen sin unika
lärstil och har kunskaper om andras. Föräldrar involveras. Olikhet blir till en tillgång. Att få
lära på sitt optimala sätt är en av nycklarna till att lyckas i skolan. Lärstilsmedvetenhet skapar
lust och delaktighet. Lundskolan visar hur vi omsätter teorier - främst Kolbs och Dunn &
Dunns - i vår matematikpraktik.
Martina Sundelin är klasslärare och utvecklingsledare på Lundskolan i Järfälla. Arbetar i
arbetslag i åldersintegrerad klass: År F-3.
Föreläsning
Fö Gr
Dokumentation
För att synliggöra och exemplifiera arbetet med Lärstilar och Lärstilsmatematik väljer jag att
presentera några sidor från Lundskolans webbsida.
På Lundskolan arbetar vi aktivt med Lösningsinriktad pedagogik (LIP), där Lärstilar ingår
som ett av våra verktyg.
Pedagoger, elever och föräldrar tränar sig i lärstilsmedvetenhet. På så sätt kan varje elev lära
in utmanande moment på sitt optimala sätt (utifrån sin lärstilspreferens), och även träna och
utveckla fler lärstilar. Lärstilar utvecklas med tiden, åldern och med ens erfarenheter.
Några vinster med att arbeta med lärstilar:
För elever:
•
•
•
•
•
•
Ökad lust och motivation
Effektivare studieteknik
Ökad självinsikt
Ökad delaktighet
Trevligare arbetsklimat
Större acceptans för olikhet, olikhet blir en tillgång
För skolan:
•
•
•
•
•
•
Gemensamma verktyg
Gemensamt yrkesspråk
Pedagogisk utveckling
Utvecklar fler pedagogroller ex, handledarrollen
Kan sända på fler kanaler, ”nå” fler elever
Ökad individualisering, utgå från elevens styrkor och nuläge
Vill du läsa om vår LIP (Lösningsinriktad pedagogik) eller våra Lärstilar, gå gärna in på
www.lundskolan.nu.
Vill du läsa mer om matematikprojektet ”Höja Nivån” som vår kommundel Viksjö deltar i, gå
gärna in på: http://matematik.jfog.net
Lärstilar
Forskningen kring inlärningsstilar är omfattande. Sedan länge är det känt att
människor lär sig på olika sätt, och därför behöver olika förutsättningar för sitt
lärande.
I Lpo-94 kan man läsa följande: ”Varje elev har rätt att i skolan få utvecklas, känna
växandets glädje och få erfara den tillfredsställelse som det ger att göra framsteg och
övervinna svårigheter.”
I samklang med ovanstående, har vi i Lundskolan satsat på att kompetensutveckla oss
i, och använda oss av lärstilstänkandet i det dagliga arbetet med eleverna. Vi försöker
ge eleverna möjlighet att få kännedom om sina egna lärstilar och därmed få en
”nyckel” för att kunna ta vara på sin utvecklingspotential i största möjliga
utsträckning. I förlängningen leder det också till en förståelse för andra individers
lärstilar. En förståelse för likheter och olikheter utvecklar det sociala tänkandet.
För att veta elevens lärstilsprofil använder vi på Lundskolan ett lärstilstest.
Ett exempel på hur grupper på Lundskolan väljer att arbeta med lärstilar är att arbeta
med lärstilar i olika ämnen, till exempel lärstilsmatte. Ett annat exempel är att utgå
ifrån elevernas lärstilar för att sätta samman arbetsgrupper och skapa bra
klassrumsplaceringar.
För oss i Lundskolan är lärstilstilsarbetet ett av sätten att hålla vår vision levande.
”Lustfyllt lärande ger ALLA möjligheter"
Höja nivån i matematik
Lundskolan är med i projektet Höja Nivån i
Matematik från förskola till år 9 i Viksjö. Barn och
Ungdomsnämnden fattade beslut, 2001, om att 96%
av elever i Järfälla ska ha betyg godkänd i matematik.
Rektorer i Viksjö kommundel anställde projektledare för att nå målet. Alla pedagoger
i Viksjö kommundel, som på något sätt arbetar med matematik, har tillsammans
skapat ett program för utvecklingsarbete, en behovsstyrd kompetensutveckling. Den
har skett; övergripande i nätverk och i den egna enheten. Projektet har rönt stor
uppmärksamhet i Sverige, på Biennal 2003, fackpress samt TV- UR
Syfte
Syftet med projektet HÖJA NIVÅN är att våra barn och elever ska höja sina
kunskaper i matematik, genom ett långsiktigt kompetensutvecklingsprogram för våra
pedagoger, från ett- till 16-åringar.
Mål
Minst 96% av våra elever ska ha betyget godkänd och procentuellt fler högre betyg.
Vi ska höja hela nivån.
Om du vill läsa mer om projektet Höja Nivån i Matematik kan du läsa mer på
projektets hemsida. http://matematik.jfog.net
Så här arbetar vi på Lundskolan
Matematik är så mycket mer än att ”bara” räkna. Matematik är att tänka och förstå.
Med en välfylld matte-verktygslåda kan våra elever använda matematik både till att
lösa problem i verkligheten med och göra utmanande matteflygningar. Vi tänker
långsiktigt och startar därför redan med de lägsta åldrarna. Självklart fortsätter arbetet
även i de högre åldrarna. Alla grupperna på Lundskolan arbetar på olika sätt med
projektet. Gruppen väljer själv det sätt som passar barnen och de vuxna i den aktuella
gruppen.
I en F-klass arbetar man mycket med att på ett
lekfullt och lustfyllt sätt öva matematiska begrepp.
I gruppen F-3 m har man bland annat arbetat med
lärstilsmatte. Alla har sin unika lärstil. Att få lära på
sitt bästa sätt är en av nycklarna för att lyckas i
skolan och för att behålla lusten.
I samma grupp har man även arbetat med att
matematik är så mycket mer än att räkna. Matematik
är till exempel konst, design, mönster, strukturer,
diagram, former, fantasi, lek och intuition...
Matematik är vackert…
I en grupp med elever i år 2 har man arbetat med
utematte eller utepedagogik. Tanken är att allt det vi
gör inne kan vi göra ute i skogen. Det blir bara så
mycket roligare ute i skogen. På bilden har gruppen
varit på gulsippan och räknat får.
I en grupp med år 6 elever har man byggt en
djungelgolfbana och tillverkat ett scorkort så att man
kan spela på banan, få poäng och tävla mot andra.
Pedagogerna på Lundskolan har regelbundna hemmaträffar i matematik, där vi träffas
och utbyter erfarenheter och tips.
Testa din kreativitet:
13+3=4
7+22=5
5+4=21
Martina Sundelin, lärare och utvecklingsledare på Lundskolan i Järfälla
e-post: [email protected]
408
Rosengård kan - i klassrummet F - 5
Barn på Rosengård bär på erfarenheter och upplevelser, men har inte alltid förmågan att sätta
ord på de associationer de får i olika situationer. Vi kan upptäcka många bra strategier som
bör lyftas fram och bejakas. Om eleven ser att det finns många sätt att nå en lösning stärks
lusten att försöka. Vi ger konkreta exempel på sådant som vi provat och utvecklat i våra
klasser, speciellt inom området taluppfattning och tankemönster.
Marie Nemhed, lärare F-5
Ulrika Nilsson, lärare F-5
Oriana G-Toussi, lärare F-5
Vi är tre pedagoger som arbetar på Rosengårdsskolan i Malmö. Vi har arbetat som
klassrumsforskare inom ämnet matematik sedan 2002 då vi deltagit i ett matematikprojekt
tillsammans med lärarhögskolan i Malmö. Under det sista året har vi också deltagit i ett
skolverksinitierat projekt då vi dels spridit våra erfarenheter som klassrumsforskare och det vi
samlat i vår rapport tillsammans med lärarhögskolan i stadsdelen samt deltagit till att utveckla
vår matematiska pedagogiska helhetssyn på skolan på Rosenårdsskolan.
Föreläsning
Fö Gt
Dokumentation
Vi kommer under vår föreläsning att utgå från innehållet i vår matematikundervisning under
våra år i yrkeslivet. Vi kommer att prata om de olika delarna utifrån sex olika punkter och
dessa är:
1. Barnboksfigurerna/ skönlitteratur ett problembaserat arbetssätt
Genom att använda barnboksfigurerna och skönlitteraturen i vår matematik undervisning får
eleverna möjlighet att känna igen sig och det finns en möjlighet att skapa lustfyllda och
meningsfulla problembaserade räknesituationer. Det finns en inre nyfikenhet och naturliga
frågor att tillvarata som väcks hos eleverna i relation till barnboksfigurerna. Då eleverna blir
äldre flyttas fokus mer till böckernas handling och problemlösandet rör sig mer runt
handlingen än gestalterna i boken.
2. Tala matematik med praktiska inslag
Här kommer vi att belysa hur vi genom att tala matematik med eleverna samtidigt som vi
använder oss av laborativt material förstärker elevernas begreppsförståelse på ett konkret sätt.
I samtalet med eleverna får pedagogen en uppfattning om elevernas förförståelse och
kunskap. Eleverna lär av varandra och pedagogen planerar utifrån elevernas kunskapsnivå.
3. Räknehändelser/ öppna uppgifter
Inom detta område diskuterar vi vikten av att omvandla elevernas språk till det gemensamma
mattespråket. Vi kommer även att tala om skillnaden mellan öppna, spetsiga och slutna
uppgifter, där de förstnämnda ger möjlighet att individualisera och utmanar elevens tänkande.
4. Naturliga inslag av matematiken i form av samtal och upplevelser
Detta område är svårt att beskriva, eftersom det innehåller all spontan matematik som
kommer upp i vardagliga samtal med eleverna. Pedagogen måste vara lyhörd och flexibel
samtidigt som kan frångå sin planering för stunden.
5. Samlärande (gruppuppgifter)
I interaktion sker både språk- och kunskapsutveckling. Eleven lär sig att förklara och
argumentera för sina tankar, men måste då kunna vara goda sändare och mottagare. I arbete
tillsammans med andra måste eleven ta ansvar och vara aktiv i processen.
6. Spel, tärningar och annat laborativt material
Inom detta område vill vi ta upp vilka möjligheter det finns att göra matematikundervisningen
lustfylld genom att använda sig av spel osv. Spelen hjälper eleverna med att få förståelse för
de olika matematiska områdena.
Föreläsningen kommer att inledas med att vi berättar om vår bakgrund och de teorier som
ligger till grund för vårt arbetssätt. Vi kommer att visa på hur vi fokuserar på elevernas lust
och intresset till att vilja lära sig. Tyngdpunkten i vår föreläsning är att språkutveckling och
matematik ska gå hand i hand. I arbetet i klassrummet utgår vi från elevernas intresse och
frågor och vårt främsta verktyg ät skönlitteratur. Mycket av vår undervisning är
problembaserad med många ämnen integrerade samtidigt och detta kommer vi också att
belysa. Vi kommer också att visa på olika strategier och vikten av att lära sig att argumentera
för sitt eget sätt. Alla tänker vi olika och vi lär av varandra. Varje tanke duger och
tillsammans lär vi oss mer.
409
Introduktion till integraler, genom lärarstyrd upptäcktsinlärning
Lärobokens introduktion till ett nytt ämnesområde är ofta komplext och detaljrikt, med krav
på matematisk stringens. Därför är det vanligt att lärare har egna upplägg som förenklar och
fokuserar. Arbetssättet är ofta att läraren är den aktive medan eleverna är mer eller mindra
aktiva/passiva lyssnare/betraktare.
Jag vill på min workshop presentera ett annorlunda upplägg där eleverna i par eller 4-grupper
själva, utifrån redan införskaffade kunskaper och en lärarstyrd instruktion upptäcker och tar
till sig ny kunskap.
"Läraren är inte längre en ensam skådespelare utan eleverna är skådespelare med läraren som
regissör, tillika administrativ och teknisk ledare vid den teater vi kallar skola".
Krister Larsson är lärarutbildare vid Linköpings universitet.
Workshop
Gy Vux
Lärobokens introduktion till ett nytt ämnesområde är ofta komplext och detaljrikt, med krav
på matematisk stringens. Därför är det vanligt att lärare har egna upplägg som förenklar och
fokuserar. Arbetssättet är ofta att läraren är den aktive medan eleverna är mer eller mindre
aktiva/passiva lyssnare/betraktare.
Jag vill på min workshop presentera ett annorlunda upplägg där eleverna i par eller 4-grupper
själva, utifrån redan införskaffade kunskaper och en lärarstyrd instruktion upptäcker och tar
till sig ny kunskap.
“Don´t teach me, let me learn!” låter ju förödande vackert, men ”allt som glimmar är inte
guld”. Den av Piaget inspirerade amerikanske psykologen David Ausubel hävdar att fri
upptäcktsundervisning kan vara en ineffektiv undervisningsmetod som tar lång tid och det
finns ingen garanti för att eleven upptäcker något! Verbal inlärning, när läraren berättar och
förklarar i en strukturerad sekvens kan vara väl så effektiv! Nu är emellertid elevernas
förkunskaper och färdigheter av högst varierande kvalite´ och det är enligt min mening det
som är ”haken”. En del lärare försöker lösa problemet genom mer självständigt arbete, men
det tror jag är en återvändsgränd. Att elever självständigt kan erövra komplexa matematiska
begrepp genom idogt räknande i en lärobok är bevisligen möjligt, men gäller endast för ett
fåtal elever och i allt mindre utstäckning nu än förr.
För att en elev ska kunna assimilera nytt stoff krävs att hon kan förankra det i den kunskap
hon redan har- i befintliga strukturer. Vi lärare förutsätter ibland/ofta att eleven redan har den
kunskapen och vi underskattar också den tid det tar för eleven att hinna med i tankegången.
Tappar eleven tråden i någon sekvens så mister eleven helhetssynen och hänger bara med på
triviala manipulationer eller lägger av helt. Signaler som – ”Vi behöver väl inte ha så lång
genomgång!” – ”När ska vi få börja räkna!” – ”Det är bättre att vi jobbar själva i boken!” kan
tolkas som situationer som beskrivs ovan.
Jag har tagit för vana att efter en genomgång på en lektion som en lärarstuderande har hållit
och som jag har observerat, i min roll som lärarutbildare, sätta mig ner och prata med någon
elev: Det kan t.ex. låta så här: ”I den här genomgången är det många moment som är svåra
att förstå om man inte redan vet vad det handlar om. Dessutom använder läraren ord och
beteckningar som jag ifrågasätter om du och dina kamrater vet innebörden av, men ändå är
det sällan som ni protesterar och säger att nu hänger vi inte med - eller vad betyder det! –
Varför är det så?”
Man får många intressanta svar och kommentarer men Karins (elev i åk2 Gy kurs C)
kommentar får stå som en sammanfattning på det som är en vanlig elevreflektion. Karin
svarar: ” Det är alltid så – det är mycket man inte förstår – man blir van - men man vet att
man nog kommer att fatta när man äntligen får räkna i boken – det brukar klarna då – ibland
– men inte alltid – då tycker man matte är hopplöst …(ett leende)
- ”Men du verkar vara duktig i matematik – hur tror du det är för kamrater som inte är så
framgångsrika? ” - Karin: ”Ja -jag har Vg” – men det är många i klassen som tycker matten
är jättesvår” – dom förstår egentligen inte vad dom gör och varför …..
För att bearbeta denna didaktiska problemställning vill på min workshop presentera en
ide´som jag prövat på gymnasieelever och på studenter som läser tekniskt natruvetenskapligt
basår. Den didaktiska modellen beskrivs bäst genom en mix av två omarbetade
strukturscheman, ett från den engelska didaktikern Richard Duschl (New trends in designing
learning environments) och ett andra från David Ausubel (Styrd upptäcktsinlärning, fritt
översatt från ”Att studera fysik” B.Ekstig) Duschls´forskning visar att då läraren
presenterar/löser ett begrepp/uppgift så hinner de flesta elever inte med och rekommenderar
då en ”trestegsraket”: steg 1 läraren samtalar kring begreppet/uppgiften, steg 2 elever i grupp
arbetar med en instruktion, steg 3 lärare tillsammans med eleverna diskuterar/förklarar
utfallet, allt enligt schemat nedan.
Ett Begrepp!
Förståelse - Färdighet
⇒
Data - Observationer
Det man: ser, hör, känner,
mäter, vet,
anar, varseblir
⇒
Förklaringar
på flera olika nivåer
⇓ samtal
⇑
diskussion
⇒
Tydliggöra, välja ut, välja bort,
sortera, tolka
”bygga ställning”
Resultat och lösningsförslag
(ibland ofullständiga)
Matematik i handling – Elevgruppens arbete med uppgiften
****************************************************************************************
”Styrd upptäcktsinlärning”. Enligt Ausubel
Ausubels två dimension i ett diagram:
Mekanisk inlärning - utantillinlärning
Meningsfull inlärning – att se samband – att förstå
Meningsfull
laborationer
inlärning
veten-
Klargörande
av relationer
Väl strukturerad
Fria
lärarinstruktion
projekt,
mellan begrepp
skaplig forskning
Strukturerad
Laborativt arbete
genomgång
efter instruktion
Rutinforskning
References:
Ausubel, D. (1963). The Psychology of Meaningful Verbal Learning. New York: Grune &
Stratton.
Mekanisk
S
Ausubels två principer:
inlärning
VxT
problemlösning
Ausubels två principer
Tillämpning
av formler för
problemlösning
”Trial and error”
metod för
(beräkningar)
(beräkningar)
Språklig
Styrd
inlärning
Självständig
upptäckande
1. The most general ideas of a subject should be presented first and then
progressively differentiated in terms of detail and specificity.
2. Instructional materials should attempt to integrate new material with previously
presented information through comparisons and cross-referencing of new and old
ideas.
Skiss av en tänkt lärogång: Läraren presenterar Bilder I (bilaga 1) för eleverna och gruppen
löser uppgiften och tillsammans diskuteras resultatet. Därefter har läraren en genomgång då
lärare och elever tillsammans ritar och samtalar kring medelhastighet, momentan-hastighet,
v/t diagram för att så småningom efter några djärva manipuleringar komma fram till ett
uttryck för sträckan (bilaga 2). Nu står det klart att vi måste söka ett uttryck för ”generationen
ovanför!!!” funktionen v(t). Här är det lämpligt att eleverna i grupp själva får rita den grafen
Bilder II (bilaga 3). Efter ett kort samtal kring graferna på Bilder II så får eleverna i grupp
självständigt bearbeta Bilder III (bilaga 4).
Någon elevgrupp redovisar sin lösning på OH-film och hela proceduren bearbetas och
diskuteras i helklass.
Proceduren appliceras lämpligen på andra problemtyper som inte har fysikalisk anknytning
för att påvisa teorins allmängiltighet.
Vidare finns många andra saker att ta in som att det finns många primitiva funktioner,
trappstegsfunktioner, jämföra integralens värde med medelvärde av över- och underfunktion
etc.
Det är min övertygelse att den här ovan i skissform beskrivna undervisningsmodellen kan
tillämpas på många olika matematiska begrepp och leder till större elevengagemang och
fördjupade kunskaper.
Referenser:
Mer om D.Ausubel hittar du på nätet adress: http://tip.psychology.org/ausubel.html
Mer om R.Duschl hittar du på nätet adress:
http://www.klc.ac.uk/depsta/education/hpage/rduschl.html
Bilagor. Finns på sid
410
Den ena handen vet inte vad den andra gör - om en jämförande
studie av gymnasiets mål och högskolans förväntningar i
matematik
De "försämrade förkunskaperna" i matematik hos nyantagna studenter vid de tekniska
högskolorna har ett flertal strukturella orsaker visar en undersökning gjord vid KTH. Det
finns ett stort stoffgap, material som högskolan förväntar sig som förkunskaper ingår inte
gymnasiets kurser. Det finns också en kulturklyfta: t ex utgör räknefärdighet och kunskap om
och förståelse av standardformler en omistlig del ett matematiskt kunnande på högskolan,
kompetenser som inte alls har samma status i gymnasieskolans mål. Till bilden hör att
högskolans behörighetskrav i matematik, formella såväl som reella, har sänkts betydligt de
senaste tio åren, utan motsvarande anpassning av de inledande matematikkurserna. I en
anslutande workshop (nr 625) diskuterar vi hur vi möter detta i nyutvecklade kurser på KTH.
Hans Thunberg, lektor i matematik och programansvarig för Civilingenjör & Lärare samt
Öppen Ingång vid KTH. [email protected]
Lars Filipsson, lektor i matematik och studierektor vid KTH Matematik. [email protected]
Föreläsning
Gs Gy Vux Högsk Lärutb
Dokumentation
Sammanfattning
Med jämna mellanrum rapporteras det om att nyantagna studenter vid tekniska och
naturvetenskapliga utbildningar vid universitet och högskolor har allt större svårigheter med
de inledande matematikkurserna, svårigheter som i många fall leder till försenade eller
avbrutna studier. Detta har uppmärksammats i många tidigare undersökningar. Vi rapporterar
här om en studie vid KTH som indikerar att dessa ''bristande förkunskaper'' har ett flertal
strukturella orsaker.
•
Mycket av det som av högskolan uppfattas som viktiga förkunskaper ingår inte i alls
i gymnasiets kurser, annat behandlas med andra kunskapskrav än vad högskolan
önskar och förväntar sig. På högskolan ges detta stoff i bästa fall en summarisk
”repetition”. Vi identifierar klart definierade områden som på detta sätt faller mellan
stolarna.
•
Det finns en påtaglig skillnad i kunskapssyn mellan gymnasiet och högskolan, bl a i
synen på vikten av räknefärdighet och kunskap om identiteter för elementära
funktioner (utan hjälpmedel). Vi syftar här inte på enskilda lärares inställning, utan
på skillnader som kommer till uttryck i t ex högskolans tester och på de nationella
proven i gymnasiet.
•
De uttalade förkunskapskraven vid högskolan, i form av behörighetskrav, är lägre än
de krav som undervisningen faktiskt ställer. Den särskilda behörigheten har sänkts
flera gånger det senaste decenniet, antingen genom medvetna beslut eller som en
konsekvens av andra beslut och skeenden, utan nämnvärd anpassning av högskolans
inledande kurser. Dessutom har en betydande betygsinflation på gymnasiet urholkat
behörighetskraven ytterligare.
Denna strukturella diskrepans mellan vad som faktiskt krävs för att tillgodogöra sig
högskolans inledande matematikkurser och de ambitioner som uttrycks i behörighetskrav och
gymnasieskolans agenda är så stort att talet om ”studenters försämrade förkunskaper” i det
närmaste blir en tautologi.
I ett antal delprojekt har vi försökt pejla vilket matematiskt kunnande det är som högskolan
(KTH), implicit och explicit, förväntar sig hos de nyantagna studenterna, och hur dessa
förväntningar förhåller sig till det faktiska kunnande som studenterna har med sig ifrån
gymnasiet.
I förkunskapstest och i utformningen av introducerande och studieförberedande kurser
uttrycks vissa förkunskapskrav och förväntningar vid KTH tydligt. Det handlar om räknefärdighet och begreppskännedom inom aritmetik, elementär algebra, elementära funktioner
och ekvationslösning. Säkerligen finns också förväntningar på andra kompetenser, t ex
problemlösningsförmåga, och på kunskaper inom andra stoffområden som t ex geometri,
differential- och integralkalkyl och sannolikhetslära, men detta är inget som betonas i de
introducerande kurserna. Vår utgångspunkt är att det material som högskolan väljer att
behandla i sina frivilliga, introducerande kurser är just det som bedöms som mest kritiskt
inför de kommande studierna. De kurser vi har tagit som referens är också utformade på ett
sådant sätt att det är klart att de tänks utgöra repetition snarare än komplettering.
Gymnasieskolans mål är svårare att komma åt; kursplanerna är för allmänt formulerade för att
utgöra relevant jämförelsematerial i denna undersökning; vi baserar oss istället främst på
studenters, KTH-lärares och gymnasielärares bedömning av hur det inledande
studiematerialet i matematik vid KTH förhåller sig till de nyantagnas kunskaper; det är alltså
snarare de reella än de formella kunskapskraven för gymnasiet som utgör jämförelseobjekt i
dessa delprojekt. Gymnasiets nationella prov, som bl a har till uppgift att förtydliga
kursplanerna, ger oss en möjlighet att göra jämförelser även med de formella målen.
Eftersom den särskilda behörigheten i matematik för studier vid KTHs civilingenjörsprogram
är betyg Godkänt (G) i gymnasiets Kurs D är detta den förkunskapsnivå vi utgår ifrån, om
inget annat sägs. När vi nedan beskriver färdigheter (t ex ”förmåga att lösa andragradsekvationer”) menar vi färdighet utan hjälpmedel såsom räknare eller formelsamling; det är
den typ av färdighet som högskolan efterfrågar.
Stoffgapet och kulturklyftan
Vi sammanfattar här den diskrepans mellan gymnasiets mål och högskolans förväntningar i
matematik som vi har observerat.
1
Det finns begrepp och färdigheter som högskolan förutsätter som förkunskaper men som
överhuvudtaget inte ingår i gymnasiets kurser A – D:
i avståndsformeln i planet och cirkelns ekvation;
ii kvadratkomplettering (detta förekommer visserligen vid härledning av
lösningsformeln för andragradsekvationer, men betonas inte som en färdighet i sig);
iii absolutbeloppsfunktionen;
iv förmåga att lösa enklare icke-linjära olikheter.
2
Inom ett flertal stoffområden förväntar sig högskolan ett större begreppsmässigt djup och
mer långtgående färdigheter än vad gymnasiets kurser syftar till:
i algebraisk förmåga såsom t ex faktorisering av polynom, förenkling av rationella
uttryck, räkning med rötter och rationella potenser;
ii lösning av ekvationer och enklare linjära olikheter;
iii logaritmer, såväl vad gäller grundläggande egenskaper som förmåga att omforma
uttryck med hjälp av logaritmlagarna; logaritmer i annan bas än 10, speciellt naturliga
logaritmer, och basbyte i logaritmer;
iv de trigonometriska funktionernas definition på enhetscirkeln och förmåga att förenkla
trigonometriska uttryck och lösa ekvationer med hjälp av de vanligaste trigonometriska identiteterna;
v funktionsbegreppet, t ex begreppen sammansättning respektive inversfunktion;
Vad som kan sägas ingå i gymnasiets kurser beror i viss mening på vilken betygsnivå man har
i åtanke. I ovanstående klassificering har vi i under punkt 1 placerat sådant som enlig vår
bedömning inte ingår generellt på någon betygsnivå. Punkt 2 syftar på sådant som en merpart
av de nyantagna studenterna vid KTH, varav de flesta har höga gymnasiebetyg i matematik,
känner till ifrån gymnasiet men ändå skulle behöva studera från grunden i högskolans första
kurser.
3
Vi kan också se en skillnad i syn på vad matematiskt kunnande innebär:
i Den beräkningsmässiga komplexiteten på inledande uppgifter på högskolan är ofta
betydligt högre än på motsvarande uppgiftstyper i gymnasieskolan. Det observeras av
högskolans lärare som en ”svårighet att lösa uppgifter som kräver flera steg” och
”matematisk oföretagsamhet”.
ii Som nämnts förväntar man sig vid högskolan färdigheter som är oberoende av
hjälpmedel som formelsamlingar, tabeller och räknare. Med andra ord: att kunna ett
område matematik innebär i högskolans kultur bl a att kunna utföra nödvändiga
beräkningar för hand och att kunna en uppsättning standardformler, dessa färdigheter
ses som en integrerad del av det matematiska kunnandet som korsbefruktar andra
komponenter som begreppsförståelse och problemlösningsförmåga. Detta står i stark
kontrast med den kunskapssyn som råder i gymnasieskolan: formelsamlingar är ett
självklart hjälpmedel och grafritande räknare används i stor omfattning som
hjälpmedel vid numeriska kalkyler, ekvationslösning och grafritande. Beräkningar och
formler ses här snarare som hinder som står i vägen för begreppsförståelse och
modellering, hinder som kan undanröjas med nämnda hjälpmedel.
iii I analyser av tentamenslösningar observerar vi hur studenter mitt i en lösning, implicit
eller explicit, postulerar en falsk identitet. Ifrån gymnasiet är studenten van att vid
behov kunna söka efter lämpliga former i sin formelsamling, nu skall man tydligen
söka i sitt eget minne. Högskolans syn på saken är en annan: formler ingår i en
konsistent helhet, de kan härledas ur varandra och de kan testas, falsifieras eller
bevisas. På så vis utgör t ex de vanligaste trigonometriska formlerna enligt
högskolekulturen en självklar del av det som konstituerar ”att kunna elementär
trigonometri”.
iv Den skilda kunskapssynen leder ibland till direkta missförstånd mellan gymnasiet och
högskolan. Ett exempel: logaritmer behandlas, främst i kurs C, på gymnasiet.
Logaritmen används här främst för att lösa ekvationer (ofta hämtade från problem
rörande exponentiell tillväxt) med den obekanta i exponenten, och beräkningarna görs
oftast med hjälp av räknare. Så högskoleläraren som anser att ”logaritmer ingår i
gymnasiet” har på sätt och vis rätt, men har förmodligen också en felaktig
föreställning om att gymnasiematematiken har haft vidare ambitioner, t ex att ge
studenterna förmåga att manipulera formler m h a logaritmlagarna (utan tillgång till
formelsamling) och kunskap om logaritmfunktionens egenskaper.
Vi diskuterar vidare hur gymnasiets mål som de uttrycks i de nationella proven (de
offentliggjorda årgångarna 2002 och 2005) förhåller sig till den bild som framträder i våra
övriga undersökningar. De tekniska högskolornas förkunskapstest visar på en klar successiv
försämring av nyantagna studenters förkunskaper inom de områden som de mäter, där
räknefärdighet (aritmetisk och algebraisk) och kunskap om elementära funktioner spelar en
stor roll. Om vi tänker på de nationella proven som styrande för gymnasiets
undervisningsagenda är det inte förvånande; på dessa betonas begreppsbildning,
begreppsförståelse och modellerande/verklighetsnära uppgifter, ofta i en form som inte kräver
någon beräkningsförmåga alls, och den räknemässiga komplexiteten är mycket låg (speciellt
på de uppgifter där räknare ej är tillåten). Till proven finns också en formelsamling med
nödvändiga standardformler inom algebra och funktionslära; inga krav finns på att kunna eller
kunna härleda relevanta formler.
Kan man skjuta upp lärandet av grundläggande färdigheter?
En mycket viktig fråga är hur lärandet av matematik påverkas av att färdighetsträning inom
aritmetik och algebra skjuts allt högre upp i åldrarna. Det är välkänt att vissa typer av
färdigheter (språk t ex) lärs ojämförligt bäst i yngre år. Det är inte otroligt att även vissa
matematiska färdigheter följer samma mönster. Vi efterlyser studier på detta område.
Studiebakgrund och behörighetskrav
De flesta studenter som antas till KTHs civilingenjörsutbildningar har läst mer matematik än
vad den särskilda behörigheten kräver. Den minoritet som precis uppfyller kraven betyg G på
Kurs D tycks få mycket stora problem med det första årets matematikstudier. Detta visar på
en diskrepans mellan de formella behörighetskraven och de reella.
Behörighetskraven har sänkts i flera avseenden under ett antal år. Vi tänker då på att
1. när gymnasieskolan gick från det relativa betygssystemet till dagens målrelaterade betyg
ändrades den särskilda behörigheten i matematik för civilingenjörsprogram från betyg 3 till
betyg G, där G ofta bedöms innefatta även betyg 2 i det relativa systemet;
2. KTH såväl som en rad andra högskolor har sänkt behörighetskravet i matematik från Kurs
E till Kurs D, en anpassning till vad som i dag utgör obligatoriska matematikkurser på det
naturvetenskapliga programmet;
3. en betydande betygsinflation på gymnasiet har förändrat innebörden av
behörighetsvillkoren.
Timplanerna i gymnasiet förändrades när Lgy 70 (Läroplan för gymnasiet 1970) ersattes av
Lpf 94 (Läroplan för de frivilliga skolformerna 1994), som i sin tur modifierades år 2000.
Förändringarna skulle kunna sammanfattas på följande sätt: För tio år sedan var det särskilda
behörighetskravet i matematik betyg 3 från en kurs om ca 360 klocktimmar, idag är den
motsvarande betyg 2 från kurser om totalt ca 300 klocktimmar schemalagd undervisning.
Referenser
En längre sammanfattande rapport såväl som rapporter från olika delprojekt inom studien
finns att tillgå på projektets hemsida www.math.kth.se/gmhf .
I dessa rapporter finns också referenser till tidigare studier inom detta område.
411
Heldagsundervisning i matematik, funkar det?
På Donnergymnasiet i Klintehamn har vi bara hel- och halvdagsundervisning. Hur fungerar
det i ett ämne som matematik? Genom att blanda teori, praktiska övningar och
problemlösning får vi eleverna med oss. Vi delar med oss av våra erfarenheter och ger tips
hur man kan stimulera elever från alla program att orka med en hel dag matematik.
Jennie Hermansson Häglund är gymnasielärare i matemaik och fysik
Marie Rosenqvist är gymnasielärare i matematik, kemi och teknik
Vi arbetar tillsammans på Donnergymnasiet i Klintehamn
Föreläsning
Gs Gy
Dokumentation
Donnergymnasiet är en friskola som startade i Klintehamn på södra Gotland 1998. Idag finns
det tre skolor, två på Gotland och en i Göteborg. De elever som söker Donnergymnasiet i
Klintehamn har sex olika nationella program att söka; naturvetenskapliga,
samhällsvetenskapliga, barn och fritid, estetisk bild och musik, hotell och restaurang och
livsmedelsprogrammet.
Syftet med Donnergymnasiet var vid starten att de gotländska ungdomarna från
landsbygden inte skulle behöva inackorderas i Visby utan de skulle kunna bo kvar hemma
under sin gymnasietid. Men nu sju år senare har vi elever från hela Gotland och från
fastlandet.
Värdegrundsfrågorna är viktiga för oss och de genomsyrar hela verksamheten inte minst i
matematiken. Som en följd av att vi arbetar med dessa frågor så aktivt så får alla elever på
Donnergymnasiet på Gotland göra en resa. Vi lägger undervisningen i ett annat europeiskt
land under en period under andra året. Detta betalar skolan. Hur vi har råd? En del av
elevpengen används till resan. En annan utmärkande sak med Donner är att vi jobbar i heloch halvdagsblock. Och kurserna ska avslutas inom en överskådlig tid. Om vi har
heldagsundervisning (1dag/vecka) så ska en 100 poängskurs avslutas efter 16 veckor som är
samma sak som två donnerterminer.
Hur fungerar detta i ett ämne som matematik? Visst knorrar eleverna när de kommer i ettan
men eftersom de får vara med och planera undervisningen ser de snabbt fördelarna.
Ambitionen är att eleverna ska se en röd tråd den tid de är i skolan. Det får de göra genom
att arbeta i projektform, med teman och problemlösning. Vi strävar efter att de kurser som går
under samma tidsperiod ska integreras i projekten och att kursmålen för respektive kurs
uppnås under projektet. Eftersom många kurser har samma kursmål vinner vi en hel del på
detta. Detta är en av anledningarna till att vi endast har hel- och halvdagsundervisning. Det
har vi haft i fem år och det har visat sig vara uppskattat av både elever och lärare.
Att arbeta i så långa pass ger tid till eftertanke och reflektion och eleverna har möjligheten
att fördjupa sig inom vissa områden och i ämnet. Eleverna hinner avsluta sitt arbete och de
upplever också att de under dagen hinner komma in i ämnets språk och tankesätt. De blir även
tryggare med både ämnet och varandra när de får sitta och arbeta under en dag tillsammans i
samma klassrum.
Hur får vi eleverna att känna sig motiverade för en heldag matematik? Heldagar i matematik
brukar få elever att rysa när de ser schemat. Det är viktigt att vi lärare redan från början får
dem att ändra inställning. Det finns många olika knep som vi brukar ta till. Ett är att
introducera ett tema att arbeta med under dagen eller under en längre tid. Ett annat sätt är att
låta eleverna göra något praktiskt. Det är viktigt att de får använda så många sinnen som
möjligt under läroprocessen. Ett tredje sätt vi brukar ta till är att presentera ett problem utan
genomgång och genom diskussion kommer eleverna själva fram till en lösning och en
slutsats. Men för att kunna göra något av detta måste man känna till sin grupp. Som lärare
måste man veta vad som passar dem. Därför är det viktigt att vi har visat eleverna kursmålen
och tillsammans har diskuterat fram hur undervisningen ska bedrivas. Men av erfarenhet så
vet vi att eleverna är mycket konservativa så vi lärare måste visa och presentera olika typer av
arbetsmetoder.
Exempel på teman vi har arbetat med är hälsa, genus, sport, media och droger. Vi arbetar
gärna med teman som går under de övergripande målen. Det är viktigt när man väljer tema att
det berör de flesta av eleverna.
Teman kan man välja att arbeta med på olika sätt beroende på vilka nya moment inom
matematiken vi introducerar i och med temat. Det kan vara en stor uppgift som består av
mindre deluppgifter. Det kan vara laborationer eller det kan vara undersökningar. Vissa
områden är mer tacksamma än andra som till exempel procent, geometri, statistik, ekvationer
och funktioner.
Här presenterar vi exempel på upplägg för avsnitt ur Matematik A.
Tema: Din kropp och hälsa
Avsnitt som ingår i temat är geometri, formler och ekvationer. (Här kan vi samarbeta med till
exempel Idrott och hälsa A, Svenska A, Samhäll B och karaktärsämnen).
Titta på den egna kroppen som en geometrisk figur. Vilka geometriska kroppar kan du hitta
på din kropp? Eleven har tillgång till ett formelblad på geometriska figurer. Med hjälp av dem
får de rita en förenklad modell av kroppen. Introducera de geometriska formlerna. När de har
förstått dem och vet hur man kan använda dem så får de räkna ut kroppens area och volym.
Introducera skalbegreppet. Jämför din egen kropp med Barbie/Ken (se till exempel MaA
3000 Björk med flera, Natur och Kultur). Diskutera kroppsideal.
Introducera ekvationer och formler. Arbeta med geometriska formler och densitet. Uppgifter
som behandlar temat och där eleven får lösa ut en okänd storhet.
Läxa under detta tema är att föra dagbok över aktiviteter och matintag under ett dygn. Väl i
skolan får eleven tillgång till tabeller och kan beräkna energiförbrukning och energiintag.
Diskutera resultaten i mindre grupper.
Ekvationer igen. Jobba med Body Mass Index. Här måste läraren vara lyhörd för elevernas
förutsättningar och dagens kroppsideal. Diskutera att muskler väger mer än fett och därför
stämmer inte alltid BMI. Uppgifter om medelvikten i Sverige/USA nu och för 10/50 år sedan.
Beroende på program kan redovisningen se olika ut. NV kan skriva en projektrapport, ester
och BF en utställning och Hr/Lp kan laga en näringsriktig lunch att bjuda på.
Undersökning: Könsroller i TV och tidningar
Avsnittet behandlar procent (bra att samarbeta med samhällskunskapen)
Dela in i grupper. Varje grupp ansvarar för en undersökning. Undersökningen går ut på att
titta närmare på lokaltidning, kvällstidning, rikstäckande morgontidning, SVT:s och TV4:s
nyheter. Ge i läxa att studera tidningarna/kanalerna under en vecka. Hur många kvinnor
kommer till tals? Män? I vilka frågor? Antalet män och kvinnor på bilder? I vilka
sammanhang får de vara med på bild? Manliga och kvinnliga journalister? Vilka frågor
skriver de om? Jämför kultur, nyheter, ekonomi och sport. Det är bara att räkna på.
Åter i skolan introducera procent. Använd materialet och titta på procentuell fördelning.
Procentuell ökning/minskning från föregående dag. Procentenheter.
Examination är diskussion med hela gruppen. Jämför de olika medierna/typer av
dagstidningar.
Heldag: Introduktion till funktionernas underbara tillämpningar
Börja med en historisk återblick. Berätta om Descartes och hans inspiration av kartor och att
han en morgon låg i sängen och funderade och såg en fluga kröp omkring i sovrumstaket i
närheten av ett hörn. Om han visste flugans avstånd till respektive vägg kunde han också
beskriva flugans promenad. Komplettera med att Descartes frös och arbetade ihjäl sig på
Stockholms slott när han var lärare till drottning Kristina.
Gör ett koordinatsystem av klassrummet. Rita upp detta på tavlan. Varje elev får pricka in
sin plats i systemet. Ange koordinaten.
Rita ett nytt diagram. Varje elev får en ny koordinat och får i uppdrag att gå till sin punkt.
Rita in i koordinatsystemet.
Dags för en aktivitet:
Gå ut på skolgården. Gå med jämn fart i 10 sekunder. Mät sträckan. Gör om samma sak men
jogga istället för att gå. Rita i samma väg-tid-diagram graferna för gång och jogging. Rita
diagrammet upp till 30 sekunder. Avläs hur långt man går/joggar på 30 sekunder. Hur lång tid
tar det att gå/jogga 10 meter?
Beräkna gång- och jogging-hastigheten. Ge formel v = s/t. Beräkna hur långt du går på 30
minuter. Hur lång tid behöver du för att jogga 5 km?
Diskussion om fördelen med diagram. Nu är det dags för lunch!
Efter lunch är det tävlingsdags ”Se in i framtiden”. Gör övningen ”funktionsmaskinen”.
Stoppa in 5 och få ut 10. Vad har hänt i maskinen? Om man då stoppar in en 6 vad bör vi få ut
då? Och så vidare. Gör några olika försök och finn reglerna för dessa. Skriv upp dessa på
tavlan.
Nu är eleverna inne i tankegångarna. Nu tittar vi på ett praktiskt problem tillsammans på
tavlan.
Eleverna börjar jobba själva med funktioner. Dela ut stencil med tre till fyra uppgifter som
är av praktisk karaktär och som handlar om saker som berör elever till exempel
körkortskostnad, kostnad för mobiltelefon (jämför olika abonnemang), vinster när man vill ha
konsert/disco och så vidare (uppgifterna anpassas efter elevernas intressen och program).
Avslutande aktivitet: Hitta på en historia till ett diagram. Alla får samma. Diskutera.
Nästa heldag repetera, dela ut några uppgifter för att de ska känna att de kan och fortsätt med
exponentialfunktioner.
412
Rosengård kan - i klassrummet 6-9
När vi arbetat med algebra har vi märkt våra elevers enorma ”rädsla för det obekanta”. Vi
anser att algebra bör introduceras via arbete med mönster. Tyvärr ges detta inte stort utrymme
i våra läromedel 6-9. Därför ser inte eleverna det som viktigt. Vi har dock fört in egna
mönster-uppgifter, och sett hur elever kan utvecklas när de upptäcker och beskriver på olika
sätt. De känner att de har något eget att bidra med, och detta duger. Vi ger konkreta exempel
på sådant som vi provat och utvecklat i våra klasser, speciellt inom området mönster och
algebra.
Petra Svensson, lärare 6-9
Majvi Zander, specialpedagog
Rosengårdsskolan, Malmö
Föreläsning
Gs
Dokumentation
Mönster – ett sätt att tänka:
• Genom att forma ett mönster får vi en strategi – ett sätt att tänka
• Att jobba med mönster utvecklar logiken
• Mönstret måste byggas av bitarna i informationen
• Eleven bör själv skapa sina egna mönster
Hinder och möjligheter:
• Många elever har svårigheter att ”ersätta” tal med bokstäver
• Rädsla för det obekanta hos eleverna
• Litet utrymme för mönster i läroböckerna för år 6-9
• Många uppgifter i de nationella diagnoserna och proven
Samlade erfarenheter:
• Börja i elevernas vardag och med deras erfarenheter
• Eleverna måste få bättre självförtroende och tilltro till det egna lärandet
• Använd konkret material – starta laborativt
• Börja tidigare med bokstavssymboler
• Röd tråd
• Progression:
Prealgebra år 1-5 » förberedande algebra år 6-7 » algebra år 8-9
• Betydelsen av kommunikation för språklig och matematisk utveckling
• Allt förändringsarbete tar tid!!!
Att täcka en yta – tesselering
Man kan arbeta med tesselering både på en enkel och svårare nivå. Tesselering innebär att
man kan täcka en plan yta med figurer, utan att det blir något mellanrum och utan att de
överlappar varandra. Enkla former av tesselering ser vi varje dag, t ex kakelplattorna
över diskbänken, golvplattorna i kök, hall etc, trottoarplattorna, tegelmuren… I naturen finns
också fina exempel, se bara på ytan på en ananas (oftast med kvadrater, romber eller
sexhörningar).
Uppgift:
Undersök hur du kan täcka en yta med hjälp av figurer. Välj en form eller flera och gör olika
mönster. Figurerna får inte överlappa varandra och det får inte bli något mellanrum mellan
dem. Man kan kombinera figurer med olika form och olika färg.
Vad beror det på att det går med vissa figurer och inte med andra? Diskutera!
Pröva gärna olika möjligheter.
Här är två exempel:
Bilder från Nämnaren nr 4, 1996
Här är fler förslag till aktiviteter med tesselering. De kan användas i olika åldersgrupper.
Diskussionen och slutsatserna man drar anpassas till de elever man har.
Undersök vilka lika stora liksidiga månghörningar som tesselerar.
Hur är det med den liksidiga triangeln? Kvadraten? Femhörningen? Sexhörningen?
Undersök olika trianglar och rektanglar.
Undersök likformiga figurer av olika storlek.
Varför tesselerar vissa figurer men inte andra? Vilken faktor är avgörande?
Genom undersökning och eftertanke kan man komma fram till att det är vinklarnas storlek
som är avgörande.
Eftersom vinklarna i kvadraterna är 90°, blir fyra vinklar tillsammans 360° och det är ett helt
varv – inget mellanrum.
I den liksidiga triangeln är vinklarna 60°, alltså behövs det sex liksidiga trianglar för ett helt
varv – inget mellanrum.
Tesselering inbjuder till tematiskt arbetssätt. Bild och slöjd är självklara ämnen att integrera i
detta.
Ekvationsspelet
1.
2.
3.
4.
=
=
=
=
3x + 3 = 2x + 5
Ur Nämnaren
Tema:
Algebra för alla
Uppgift:
Göm lika många bönor i varje ask och placera lika många bönor på båda sidor om ett tänkt
likhetstecken utanför askarna. Både synliga och
gömda bönor räknas. Arbeta i par.
Det gäller nu att ta reda på hur många bönor som
finns i varje ask. Arbeta laborativt. Se exempel
ovan.
Pröva genom att gömma olika många bönor i
askarna och ha olika många utanför.
Diskutera hur en progression för ekvationsspelet
kan se ut.
En första multiplikationstabell
Uppgift:
Hitta mönster, samband, frågor att ställa till
eleverna för att följa upp arbetet med tabellen.
Tips:
• Titta på en spalt i sänder och se vad det är för tal – udda eller jämna?
• Från upprepad addition till multiplikation – Hur?
• Hitta olika faktorer till en produkt
ex. I vilka spalter hittar man 12, 15 etc?
Ur A. Furness Mönster
413
Ett smörgåsbord av matematik
På teknikprogrammet i Gävle hade vi för några år sedan stora svårigheter med att få alla
elever godkända eftersom de hade så skiftande förkunskaper. Dessutom hade vi beslutat att vi
skulle jobba aktivt med inlärningsstilar, vilket inte heller är så lätt med över 30 individer i
varje klass. Frustrerade diskuterade vi år 2001 fram ett system som vi hoppades skulle
tillgodose varje elevs nivå och lärstil. Vi har arbetat i systemet sen dess och upplever det som
rättvisare för eleverna och mer stimulerande för oss lärare. I föreläsningen berättar vi om
fördelar, nackdelar, svårigheter och möjligheter med ett smörgåsbord av matematik. Smaklig
måltid!
Sofi Jonsevall och Ann-Mari Bengtsson är matematiklärare på teknikprogrammet i Gävle.
De tycker att det är viktigt att arbeta med inlärningsstilar samt att höja alla elever från den
nivå de befinner sig.
Föreläsning
Gy Lärutb
Dokumentation
Bakgrund
Vi matematiklärare på teknikprogrammet i Gävle kände en allt större frustration i
undervisningssituationen, då vi upplevde att förkunskaperna hos våra elever blev mer och mer
spridda. Av våra totalt128 elever i åk 1, hade ca 30 elever mindre än 160 p från grundskolan.
Tillsammans med de högpresterande elever, som i stort sett redan kunde hela A-kursen, var
klassundervisning med 32 elever mycket otillfredställande. Vi kände att nivån ofta hamnade
någonstans på ”mitten” och att varken de svaga eller de högpresterande eleverna fick sitt.
Skolledningen sa bestämt nej till nivågrupperade grupper, men ställde sig positiv till en extra
lärarresurs. Då hela teknikprogrammet beslutat sig för att satsa på arbete med olika
inlärningsstilar, växte denna modell fram, efter många diskussioner.
Modellen
Eleverna erbjöds fem olika alternativ varje matematiklektion. Alla elever fick fritt välja att gå
till det alternativ som passade dem bäst. De fick en ”checklista” för att kunna kontrollera att
de fått med sig allt viktigt från veckans undervisning.
En vecka kunde se
ut så här:
Te 1 matematik v.38
SJl,MBo,KFi,AMB,FJe
Tisdag 17/9
Torsdag 19/9
Fredag 20/9
1. Föreläsning F11
1. Problemlösning E 31
1. Problemlösning E 26
naturliga tal (10)
(12, 16-17, 30, 38,69-71, 75-77)
(12, 16-17, 30, 38,69-71, 75-77)
2. Halvföreläsning E 31
2. Halvföreläsning F 11
2. Halvföreläsning F11
naturliga tal (10,366-368)
potens(27-30, 34)
talsystem(10-12,34,36-38)
3. Genomgång M 80
3. Genomgång M 80
3. Genomgång M 80
naturliga tal (10,366-368)
primtal (15-17)
potens(27-30, 34)
4. Genomgång M 76
4. Genomgång M 76
4. Genomgång M 76
naturliga tal (10, 366-368)
primtal(15-17)
potens(27-30, 34)
5. Laboration P3 311
5. Laboration P3 311
primtal och delbarhet
talsystem
(366-368)
primtal (15-17)
potens (27-30, 34)
talsystem(10-12, 34,36-38)
primtal (15-17)
Siffrorna inom parantes är sidhänvisningar i läroboken.
Vad är vad egentligen?
En förklaring på alla begrepp:
Föreläsning:
Hela veckans innehåll på en lektion. Det går fort
och det är ingen tid för räkning, men vi hinner i
regel bara med grunderna, inte alltför svårt alltså.
Halvföreläsning:
Halv syftar mer på innehållet än tiden, den kan
mycket väl hålla på mer än en halvtimme. Det är
här vi har möjlighet att gå igenom lite svårare
saker, även sånt som kanske ligger utanför den
kursen. Hit går man bara om man är intresserad av
matte och beredd att tänka lite själv.
Genomgång:
Som en traditionell mattelektion, först genomgång
och sen räkning.
Grundläggande genomgång:
Här tar vi grunderna ordentligt för den som tycker
att den missat detta på grundskolan.
Praktiskt innehåll:
Speciellt lämpligt för de taktila (inlärningsstilar).
Börjar med praktiska övningar som leder fram till
teorin.
Problemlösning:
Några uppgifter som tas upp gemensamt sedan fri
räkning. Ibland endast fri räkning.
Praktisk problemlösning:
Arbeta enskilt eller i grupp med större
problem med praktiskt innehåll.
Fördjupning:
En fördjupning eller breddning av kursen. Kommer
inte på närmaste prov, men kan ändå vara bra för
dig som vill lära dig lite mer, redan kan grunderna
och är intresserad av matte. Kan vara nyttigt för
framtida kurser.
Hur fungerade det?
Vi stötte naturligtvis på svårigheter. Eleverna gjorde ofta kompisval istället för att gå på sin
nivå. Fyra av de fem lärarna var mentorer i var sin klass, vilket gjorde att den femte läraren
fick färre elever till sina lektioner. Av gammal vana, trodde inte eleverna att en praktisk
lektion kunde vara lika ”bra” som en teoretisk och valde bort dessa lektioner. Vissa elever
hade också svårt att själva ta ansvar för att delta i alla moment.
För oss ”typiska” lärare kändes det också störande att inte ha kontrollen över vad eleverna
egentligen lärde sig, att släppa ansvaret helt på eleverna själva.
Förändringar
Läsåret startar nu med att varje lärare undervisar samtliga klasser under en vecka vardera. Då
känns ingen av lärarna främmande för eleverna.
Eleverna rekommenderas att följa samma rad i planeringen och garanteras då att inte missa
något moment, samtidigt som de träffar samma lärare hela veckan.
Vi har lagt in praktiska uppgifter på alla prov för att visa att detta är lika mycket värt.
Efter varje hösttermin har en utvärdering gjorts av eleverna och undervisningen har förändrats
efter deras önskemål. Alla vårterminer har därför sett olika ut.
Första året hade vi två fasta grupper och tre valbara pass som följde höstterminens upplägg.
Andra året fortsatte vi likadant som under hösten. Tredje året hade vi kvar de fem olika
alternativen, medan lärarna låg fast på en viss undervisningsstil/nivå hela tiden.
Fördelar och nackdelar
Fördelar för eleverna:
• Kan välja efter förkunskaper, inlärningsstil och lärare
• Kan välja extra repetition på det som kändes svårt, eller välja bort det man redan är
tvärsäker på.
Nackdelar för eleverna:
• Måste tänka själva och planera själva för att få det de behöver.
• Kan inte ha samma lärare hela tiden.
• Kan ”glida” lite, då närvaron ofta släpar en vecka.
• Betyg sätts i stort sett bara på provresultat.
Fördelar lärare:
• Jobbar mycket tillsammans och diskuterar t ex planering, prov, bedömning,
undervisning, elevinlärning osv.
• Kan med gott samvete lägga sig på en viss nivå under veckan.
• Utvecklas hela tiden, måste tänka nytt.
Nackdelar lärare:
• Känner inte eleverna på samma sätt.
• Alla måste hinna lika långt. Tidspress ibland, man kan inte sväva ut och göra större
uppgifter eller något helt annat.
• Närvaron dubbelrapporteras.
Förutsättningar
• Blockläggning i schemat.
• En extra lärare.
• Gemensam planeringstid.
• Engagerade lärare som tror på systemet, samt har vilja och intresse av ständig
utveckling.
• Elever med mod att gå dit det är bäst för dem själva, som tar ansvar för sitt eget
lärande och som är medvetna om sin inlärningsstil.
Resultat
Systemet fungerar bättre för varje år. I år har för första gången eleverna i årskurs 2 på allvar
ifrågasatt varför systemet inte finns för dem längre.
Färre elever än tidigare har också hoppat av efter åk 1, men det beror naturligtvis inte enbart
på matematikundervisningen.
I stort sett alla har klarat ma A hela tiden. Andelen med IG i ma B har minskat något, men är
fortfarande ca 22%. Högpresterande elever är nöjda. De svaga elever som verkligen gått på
grundläggande genomgångar hela tiden, är också nöjda. Vi har dock märkt att
svagpresterande elever ofta är mer lärarberoende.
414
MiMa - Min egen matematik
Om hur elever blir medvetna om sitt lärande och sina kunskaper i matematik
MiMa, Min egen matematik, är ett projekt där lärare i Nacka och Botkyrka samarbetar med
PRIM-gruppen. Lärarna arbetar med elever från skolår 2 till och med gymnasiet. Syftet är att
eleverna ska bli mer medvetna om sitt lärande och sitt matematiska kunnande samt öka
intresset för matematik. För att få eleverna att reflektera över sitt lärande prövar vi olika
metoder och tillvägagångssätt. Några av de metoder vi framförallt har använt i grundskolans
senare år är elevbok, olika utvärderingar med reflekterande frågor, dagbok och
självbedömning av prov. Vi har också sedan projektet startade förändrat vårt förhållningssätt
gentemot eleverna. Under föreläsningen kommer vi att presentera hur projektet startade, de
olika metoderna vi använt och vår förändrade syn.
Pontus Larsson och Inga Roos – Peltonen är matematiklärare skolår 6-9 på Falkbergsskolan
i Botkyrka.
Inger Ridderlind är matematiklärare på Brunnaskolan i Botkyrka.
Kicki Skog arbetar både på Falkbergsskolan och Lärarhögskolan i Stockholm.
Gunilla Olofsson arbetar vid PRIM-gruppen på Lärarhögskolan i Stockholm.
Föreläsning
Gs Gy
Dokumentation
MiMa, Min egen matematik, är ett projekt där lärare i Nacka och Botkyrka samarbetar med
PRIM-gruppen. Lärarna arbetar med elever från skolår 2 till och med gymnasiet. Syftet är att
eleverna ska bli mer medvetna om sitt lärande och sitt matematiska kunnande samt öka
intresset för matematik. För att få eleverna att reflektera över sitt lärande prövar vi olika
metoder och tillvägagångssätt. Några av de metoder vi framförallt har använt i grundskolans
senare år är elevbok, olika utvärderingar med reflekterande frågor, dagbok och
självbedömning av prov. Vi har också sedan projektet startade förändrat vårt förhållningssätt
gentemot eleverna. Under föreläsningen kommer vi att presentera hur projektet startade, de
olika metoderna vi använt och vår förändrade syn.
För cirka tio år sedan startade det nordiska projektet Nordlab. I Norge blev
inriktningen matematik. Några av det norska projektets syften är att eleverna
ska bli bättre på att reflektera över sitt eget arbete, sina resultat och på att
värdera sin egen utveckling. I Sverige har det norska projektet följts av PRIMgruppen, som också ingått i projektets nordiska referensgrupp. Erfarenheterna
från det norska projektet har varit inspiration och hjälp i MiMas arbete. Vi
började projektet med träffar en gång i månaden och en inspirerande resa till
Norge. Vi träffas fortfarande, men endast några träffar per termin. Vi har även
haft besök från Norge för att fortsätta tankeutbytet.
En av de metoder som vi alla har fastnat för är elevbok. Vi har utformat den lite
olika på våra skolor, men syftet är detsamma. Boken är elevens egendom och
används i syftet att ”skriva för att lära”. Ett tomt häfte eller papper hopsatta i
en pärm får utgöra grunden. Syftet är att eleverna ska skriva tankar, ord,
begrepp och regler som ska vara en hjälp och struktur för lärandet. Eleverna
bestämmer vad som ska skrivas i elevboken, ibland med hjälp av läraren.
Boken följer eleven över skolåren och är en hjälp för eleven både genom
strukturen och begreppsförståelsen. Eleverna förstår så småningom att boken är
deras redskap och de skriver själva in det som är viktigt. Den fungerar även som
reflektion för eleven. De kan gå tillbaka och läsa vad de skrivit i ett område. När
vi börjar med ett nytt avsnitt t ex geometri kan eleverna gå tillbaka och läsa vad
de skrev in förra året. Det gör dem mer medvetna om vad de kan, vad de glömt
och vilka nya mål de ska sätta.
För att få eleverna att reflektera krävs aktiv medvetenhet från lärarna. Vi har
prövat olika former som mattedagbok, planeringsscheman och olika typer av
utvärderingar. Vi har funnit att olika former passar olika elever samt att vi
lärare måste förnya och förändra för att det inte ska bli uttjatat. Det kan vara
utvärderingar i början av kunskapsområden, ”startlogg” eller utvärderingar i
mitten, ”vad har jag lärt mig och vad har jag kvar att lära mig?” Det kan också
vara bearbetningar efter ett arbetsområde, ” vilka erfarenheter tar jag med mig
till nästa område?”
Från skolår 7 har vi låtit eleverna själva bedöma sina prov. Under
bedömningsarbetet uppstår värdefulla diskussioner och eleverna lär sig hur de
blir bedömda. De får också insikter i och möjligheter att reflektera runt proven,
istället för att se proven som något man helst vill glömma. De är numera mycket
intresserade och frågar efter när de ska ”rätta” sina prov. Vi har också arbetat
med olika frågeställningar i anslutning till ett prov. Eleverna i skolår 9 är nu
mycket mer medvetna om de olika betygskriterierna.
Det vi använder är inte någon ny metod utan genom små förändringar i
agerandet får eleverna utveckla tankar om det egna lärandet. ” Vi måste störa
eleverna för att få dem att reflektera”. Det är en ständigt pågående process,
som varierar beroende på oss lärare och vilka elever vi har. Det finns ändå
något grundläggande i vårt förhållningssätt. För att eleven ska bli delaktig i sin
läroprocess så måste vi stödja denna. De måste veta målen och hur de ska nå
målen, samtidigt som de tränas i att lita på sin egen värdering av kunskapen. De
måste kunna avgöra vad de behöver träna på utan att jag som lärare ständigt
talar om det för dem. Det innebär att jag som lärare måste släppa vissa delar,
för att eleverna ska få möjlighet att förlita sig på det egna omdömet. Vi lärare
har också förändrat tidsanvändningen med eleverna. Mer tid till reflekterande
samtal istället för rättande av diagnoser. Om en elev ska ta ansvar för sitt
lärande, måste eleven vara medveten om sitt kunnande, följa sin
kunskapsutveckling och själv avgöra om målen uppnås. För att nå dit måste vi
lärare ge möjligheter och stödja den utvecklingen.
Vill Du läsa mer om projektet gå till: www.lhs.se/prim/matematik
415
Kreativ Matematik på Karlstads Universitet en kurs som lockar flertalet studenter!
Kursen Kreativ Matematik lockar det stora flertalet av lärarstudenterna, tidigare år, vid
Karlstads Universitet.Kursen är en specialisering 20 p.
Föreläsningen handlar om hur vi har lagt upp kursen. Vi tänker berätta om hur vi kopplar ihop
teoretiska och praktiska moment. Delar av kursen är upplagda som valbara uppgifter, varav
några är verksamhetsförlagda. Vi kommer även att dela med oss av lärdomar från vårt
utvecklingsarbete av nya examinationsformer i matematikdidaktik.
Maria Fahlgren, Yvonne Liljekvist och Lotta Råberg är universitetsadjunkter vid
Karlstads Universitet.
Föreläsning
Lärutb
Dokumentation
Kursen kreativ matematik är en 20p specialisering på lärarprogrammet. Den har funnits på
kursschemat sedan 2003. Det stora flertalet (90%) av studenter som siktar mot en lärarexamen
för grundskolans tidigare år läser denna kurs. Det gläder oss att så många studenter väljer att
läsa matematik. Vi är särskilt nöjda med att studenter med ”matteskräck” tar tag i sina
problem med matematik, trots att de intill nu har kunnat komma undan.
Ett medvetet arbete
När den nya lärarutbildningen formulerades, med nya ingångsinriktningar, fanns en oklarhet i
vad de innebar. Hur skulle de förstås av rektorer när de skulle anställa de nya lärarna?
Studievägledare stöttade studenterna i att välja matematik som en av sina specialiseringar,
eftersom de såg behovet från skolan.
Namnet ”Kreativ matematik”, med inspiration från Gudrun Malmer, presenterades av en av
medarbetarna som ett kort och koncist namn (att jämföra med tidigare kurser som kunde heta
”Barns matematiska tänkande och en översikt av viktiga ämnesteoretiska, didaktiska och
metodiska inslag”). Namnet ställer krav på kursens innehåll och form samt anslår tonen i
kursen.
Vi arbetar i arbetslag, på det sättet täcker vi in ett stort kompetensområde vad gäller
grundskoleerfarenheter, didaktik och matematik. Vi har tid att arbeta tillsammans mot
gemensamma kursmål. Stöttningen från ledningen i utvecklingsarbetet har varit god. Det
finns en medvetenhet i organisationen om vikten av att matematikutbildningen för lärare
tidigare år är omfattande och väl organiserad och anpassad efter studenternas behov och
framtida uppdrag. Arbetet med kursutveckling fortskrider alltjämt och under våren räknar vi
med att få en egen sal utrustad för undervisning om och med kreativt matematiskt lärande. Vi
utvecklar även en specialisering i Kreativ matematik för lärare senare år, där examensarbetet
ingår.
Kursens struktur
Kursen består av två parallella processer; matematik för sin egen skull och ämnesdidaktik.
Studenterna har förkunskapskravet kurs A från gymnasiet. Detta innebär att en icke försumbar
del av studenterna har besvärande låga matematiska kunskaper. Vi har därför valt att lägga
matematiken för sin egen skull som en röd tråd genom kursen. Matematik och didaktik är
sammanvävd och varje vecka består av något matematiskt moment som studenterna behöver
bearbeta och få en ämnesteoretisk och didaktisk säkerhet i, för att klara sitt uppdrag i skolan.
Undervisningsformerna varierar över veckan och terminen:
•
Föreläsning i helgrupp med 80 – 100 studenter. Matematiska moment, praktiska
inslag och didaktiska resonemang kring olika förklaringsmodeller behandlas.
•
Klasslektion med 30-40 studenter, där praktiska uppgifter provas och analyseras
didaktiskt. Här ges även tillfälle till gruppdiskussioner med anknytning till
kurslitteratur.
•
Valbara uppgifter är en form av individuella val. Studenten väljer enskilt fem
uppgifter under kursen som en didaktisk fördjupning. De väljer att reflektera kring en
film, två laborativa aktiviteter och två skolnära undersökningar. De laborativa
tillfällena behandlar t ex. färdighetsträning med spel, problemlösning, dataanvändning,
geometrilaborationer. En skolnära undersökning kan vara intervjuer av lärare eller
elever, inventering av undervisningsmaterial eller utprovning av material eller
arbetsblad.
•
Studiegruppsarbete med fyra inlämningsuppgifter. Kluring redan första veckan, vilket
innebär inlämning av tre olika lösningsförslag på olika matematiska problem.
Historieuppgiften består av en kort historik om en matematisk person eller händelse,
tillsammans med ett arbetsblad, som kan användas i skolan. Redovisas ofta i form av
en dramatisering. Litteraturläsning med seminarium och rapport, där didaktisk
litteratur recenseras och diskuteras. Varje studiegrupp läser en bok som redovisas i
tvärgrupper. En s k. fri uppgift, där gruppen väljer att genomföra någon aktivitet i en
klass, ett studiebesök eller arbetsmaterial i t ex. utematematik eller mattegympa. Detta
redovisas med en formell rapport och på ett kreativt sätt inför de övriga i klassen.
•
Gästföreläsare inbjuds till kursen. Yrkesverksamma lärare förläser om olika arbetssätt
och undervisningsmaterial, som de använder i sin undervisning.
•
Studiebesök på Navet i Borås, där vi besöker matteverkstaden och ”Bagdad”.
•
Verksamhetförlagda uppgifter, som varierar från termin till termin. Vi har t ex.
deltagit i ett projekt mellan näringsliv och skola. Studenterna utformade
matteuppgifter tillsammans med butiksinnehavare och andra inom service och
näringsliv. Elevgrupper guidades runt i samhället av studenterna och fick lösa de olika
problemen. Vid andra tillfällen har studenterna utformat inspirationsdagar i matematik
på olika skolor.
•
Olika examinationsformer förekommer i kursen. Studenternas kunskaper utvärderas
med salstentamina och olika inlämningsuppgifter. Vi har även utarbetat en form av
didaktiktentamen där man varvar gruppsamtal och enskild redovisning.
•
Kurslitteratur:
Dahl, K. (1994). Matte med mening. Stockholm: Alfabeta Bokförlag AB.
Löwing, M., Kilborn, W. (2003). Huvudräkning. Lund: Studentlitteratur.
Lindahl, B., Mattson, N. (2002). Matematisk Tanke AB. Solna: Ekelunds Förlag AB.
Malmer, G. (2002). Bra matematik för alla. Lund: Studentlitteratur.
NCM (Nationellt centrum för matematikutbildning) (2004). Läs- och skrivsvårigheter
och lärande i matematik. Göteborg: NCM. (Rapport 2002:2)
Skolverket (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik. Stockholm: Skolverket.
(Skolverkets rapport nr 221).
Redan på uppropet visar vi genom olika kreativa exempel, såsom ramsor, sånger, kluringar
och dramatiseringar vad kursen kommer att innehålla. Vi vill visa studenterna mångfalden
inom matematik och lärande i matematik.
Studenterna är indelade i klasser och studiegrupper. Vi lägger stor vikt vid att svetsa samman
klasserna och studiegrupperna i vår första vecka. Studenterna jobbar med ett matematiskt
problem. De redovisar sedan på ett kreativt sätt flera lösningar till problemet. De ska i det
sammanhanget även presentera varandra inför klassen. En av dagarna tillbringas i ett
äventyrshus där studiegrupperna löser problem tillsammans. Kampen brukar vara hård
gentemot lärarlaget.
Tabell 1 Schema för en normalvecka
Måndag
Föreläsning
Valbar uppgift
Tisdag
Föreläsning
Räknestuga
Onsdag
Klasslektion
Studiegruppsarbete
Torsdag
Klasslektion
Räknestuga
Fredag
Studiegruppsarbete
Studiegruppsarbete
Våra erfarenheter
Under kursens gång får vi ta emot och bearbeta studenters frustration över sina svårigheter
med matematik. I enskilda samtal och på klasslektioner diskuteras attityder till eget lärande
och lärarollen. Bristande kunskaper i matematik kommer till uttryck i ifrågasättande av
matematikkursens nivå. De ifrågasätter även sina tidigare erfarenheter av
matematikundervisning. Detta märks särskilt mycket när första salstentan närmar sig.
Vi har stora förväntningar på studenterna som vi tycker oss lyckas förmedla. Vi ser under
terminen att studenterna utvecklas i sitt sätt att närma sig matematiken och förstå didaktiska
konsekvenser av sitt handlande.
Studenternas skriftliga värderingar av kursen och mun-till-mun av vad kursen är och hur den
är, pekar på ett övervägande gott rykte. Studenterna är nöjda med den utbildning de tar del av
och de rekommenderar den till andra studenter. Många av studenterna uttrycker att
arbetsbördan på kursen varit stor, men väl värt mödan.
Biennalföreläsningen
Vår föreläsning kommer att handla om kursens struktur och genomförande. Vi kommer även
att med praktiska exempel belysa vårt arbetssätt. Till vår hjälp har vi studenter som visar ett
av sina arbeten i drama-form.
416
Talförmåga med och utan bok
I den nye norske læreplanen for småskolen skal elevene utvikle god
tallforståelse både i forhold til linjemodell (for eksempel tallinje og
hoderegning) og gruppering (posisjonssystemet og skriftlige metoder). På
workshoppen presenteres hvordan dette kan gjøres i arbeid med og uten bok.
Særlig fokus settes på hvordan disse ulike arbeidsformene kan kombineres slik
at det teoretiske arbeidet illustrerer og utnyttes i praktiske aktiviteter. Samtidig
vil de praktiske aktivitetene styrke og legge et grunnlag for ytterligere teoretisk
arbeid.
Bjørnar Alseth er førsteamanuensis i matematikk ved allmennlærerutdanningen ved
Høgskolen i Oslo. Han er leder av læreplangruppa i matematikk, og styremedlem i LAMIS
(Landslaget for matematikk i skolen).
Mona Røsseland er ansatt ved Nasjonalt Senter for Matematikk i Opplæringen ved NTNU i
Trondheim. Hun er leder av LAMIS. Mona er utdannet adjunkt med fagene matematikk og
spes.ped. Hun har undervisningserfaring fra alle trinn i grunnskolen.
Workshop
Fö Gt
Dokumentation
Den nye norske læreplanen skal ikke bestemme hvordan undervisningen skal foregå. Den
bestemmer målene for opplæringen, men hvordan elevene arbeider for å nå de målene
avgjøres i det store og hele av lærerne. Ofte havner matematikkundervisningen i én av to
kategorier. Den første er det vi kan kalle tradisjonell undervisning med stor vekt på det
formelle, på faktakunnskap og automatisering av ferdigheter. Den andre kan vi kalle
aktivitetsbasert undervisning hvor elevene leker, utforsker og er kreative. De fleste er enige
om at det er utmerket at vi har fått et større innslag av aktiviteter som er mer utfordrende,
morsomme, realistiske. Samtidig hevdes det i TIMSS-rapporten at dette er en av grunnene til
at norske elever gjør det dårligere i matematikk nå enn for ti år siden. Dette begrunnes med at
man i opplæringen ikke har klart å utnytte aktivitetene godt nok i forhold til det å utvikle
matematisk kompetanse.
Det er vår oppfatning at lærerne har fått lite hjelp til dette. For eksempel har de fleste
lærebøkene ei nokså tradisjonell grunnbok som vektlegger fakta- og ferdighetstrening, mens
eventuelle utforskende og kreative aktiviteter er plassert i lærerveiledningen. Disse er sjeldent
knyttet sammen, og vi har ikke vært flinke nok til å stimulere til en veksling mellom kreativ,
problemløsende undervisning og mer tradisjonell undervisning for dermed å ivareta et tydelig
faglig fokus. Det har vært nødvendig å stimulere til økt bruk av alternative
undervisningsformer i matematikkopplæringen, men det som står igjen og som er
utfordringen nå er å veksle mellom disse ulike undervisningsformene på en måte som viser
elevene hvordan matematisk kompetanse er strukturert og sammenhengende: På den ene
siden hvordan fakta og ferdigheter inngår i aktivitetene og ofte er en forutsetning for å kunne
utforske og være kreativ. Og på den andre siden at vi tydeliggjør matematikken i aktivitetene
slik at også disse brukes til å styrke de mer formelle sidene av elevenes matematiske
kompetanse.
Tallforståelse
Når man snakker om matematikk, står tallbegrepet helt sentralt. En god forståelse av
tallbegrepet er avgjørende for at eleven kan utvikle sine matematikkunnskaper i videre
skolegang. Men tallforståelse er ikke bare telling og oppramsing av tallene. Det er mye mer
enn det. Her vil vi legge vekt på tallene slik de framkommer på en tallinje og slik de fremstår
gruppert i vårt posisjonssystem.
Lineær tallmodell
Arbeid med tallinje vil gi elevene gode og nødvendige erfaringer i forhold til en seriell og
ordinal forståelse av tallene. Mye hoderegning baseres på en slik tallforståelse. Mens
skriftlige algoritmer vektlegges stadig mindre, er hoderegning blitt mer viktig. Derfor har
bruk av tallinje fått økt vekt i nyere læreplaner verden over.
Før elevene møter tallsymbolene og underveis i introduksjonen av tallene kan de arbeide med
perlesnorer. Dette vil være et konkret uttrykk for en slik linjemodell. Elevene kan lage seg
hver sin perlesnor, gjerne med perler i to farger og gruppert i femmere eller tiere. Et første
stadium kan gjerne være ei snor med 20 perler:
Elevene trenger også en eller flere klyper til å markere tallene. En av oppgavene kan så være
at elevene skal telle opp og finne ulike tall, f.eks 7. Målet er at de skal klare å se
sammenhenger og oppbygging av tall, at 7 er bygget opp av 5 og 2. De skal få oppdage at 12
er satt sammen av 5 + 5 + 2 = 10 + 2. De kan også bruke perlesnoren til å regne med, f.eks
12 + 5. De må da først finne 12, og så ta 5 til. Grupperingen av perlene i ulike farger hjelper
elevene til lettere å se at det blir 10 + 7. En annen aktivitet er å tenke på et tall og så skal
klassen finne ut hvilke tall ved hjelp av ja og nei-spørsmål:
”Er det større enn 5?”Hvis svaret er ja, flytter eleven den ene klesklypen etter den femte
perlen for å avgrense området. ”Er det mindre enn 15?” Hvis svaret er ja, henges den andre
klypen før den 15. perlen.
Et neste stadium kan gjerne være en snor med 100 perler. Da er det best å lage grupper på ti
og ti. Med den kan vi:
- finne hele tiere på snora ved å
telle med 10 om gangen oppover
– hvor mange tiere til 30? 50?
70?
- Telle fire tiere oppover og se hvor vi ender.
- Utnytte kunnskaper om å telle nedover med 10 til å finne 80 som 100 –
20.
- Henge klype på 20 og 60 og telle hvor mange tiere det er fra 20 til 60.
- Henge klype på 80 og 30 og telle hvor mange tiere det er fra 80 til 30
I de to siste eksemplene teller vi oppover og nedover for å finne forskjellen
mellom tall. Seinere vil vi kunne skrive dette som 60 – 20 = 40 og 80 – 30 = 50
Vi kan videre:
- starte på 70 og se hvor vi kommer når vi teller tre tiere nedover
- starte på 50 og se hvor vi kommer når vi teller tre tiere oppover
Her legger vi grunnlag for addisjon og subtraksjon med hele tiere:
70 – 30 = 40 og 50 + 30 = 80
Barna kan bruke tallinjemodellen til å rangere tall i forhold til hverandre. Her
vil konkretiseringsgraden være avhengig av hva slags tallinje man velger.
Oppgaven kan for eksempel være å plassere tallene 23, 17, 62, 85, 59, 46 på en
tallinje. Det mest konkrete er naturligvis perlesnora. Det som så ligger nærmest
perlesnora, er en tegning av en perlesnor med tallsymboler i hver sirkel. En noe
mer abstrakt utgave er en ”vanlig” tallinje hvor enerne og tierne er markert. En
annen mulighet er en tallinje hvor kun tierne er markert. Det går også an å be
elevene plassere tallene på en ”tom tallinje”, altså langs en strek. Da vil det
naturligvis bli en omtrentlig plassering, hvor det er rekkefølgen som er det
vesentlige, ikke avstanden mellom tallene.
I den muntlige tellingen har vi lagt vekt på å telle oppover og nedover med ti om
gangen. Dette videreføres på tallinjen og legger et grunnlag for å benytte den
tomme tallinjen til seinere regning med
flersifrete tall:
• - Hopp med 10 om gangen fra 0 til
70
- Hopp med 10 om gangen fra 23 til 63
• - Hopp med 10 om gangen fra 84 til 24
Når elevene bruker den tomme tallinjen, er lengden av hoppbuen ikke viktig,
men bare tallverdien av hopplengden. Den tomme tallinjen er derfor en mer
abstrakt modell enn tallinjen der elevene kan telle tiere og enere. Det gjør den
også til en god modell for å utvikle strategier for hoderegning. Den stimulerer
elevene til å utvikle egne
strategier, som det å hoppe med
lengre hopp, hoppe ”for langt” og
så tilbake, osv. Det å hoppe fra 0
til 38 kan dermed gjøres på mange
måter:
- hopp med 3 x 10,ett femmerhopp og tre enerhopp
- hopp med 20 + 10 hopp, et 8 hopp
- hopp med 4x 10, et 2-hopp tilbake
Den lineære modellen er en modell som gir barna et godt verktøy for å orientere
seg i tallrekka: de kan diskutere tallenes relative plassering, se sammenhenger
mellom tallene, erfare hvordan tallene kan deles opp og beskrives. Ved at
læreren inviterer elevene til å komme fram med sine forslag, vil de få trening å
uttrykke seg, begrunne sine forslag, lære av hverandre og utvikle sine
hoderegningsstrategier.
Gjennom aktiviteter
kan elevene lære å
utvikle og bruke ulike
metoder for å løse
addisjons- og
subtraksjonsoppgaver,
både basert på
tallinjen og på
gruppering i tiere. På
bildet ser vi en aktivitet hentet fra det norske matematikkverket MULTI. Elevene
skal lage seg en bane lik den på bildet, og så er det om å gjøre å få bilen eller
lignende til å rulle lengst. Når bilene er stoppet skal de sammenligne lengdene.
En kan gjøre lignende aktiviteter på idrettsbanen eller i gymsalen. Elevene kan
for eksempel kaste ball med høyre og venstre arm. Hvert kast måles i antall
meter, og så skal elevene finne differensen. Tilsvarende kan elevene hoppe
lengde med sats med høyre og venstre fot. I stedet for å måle med målebånd i
meter og centimeter, kan lærer lage et enkelt målebånd selv ved å rulle ut papir
fra planken og langs med lengdegropen. Det kan være gråpapir, toalettpapir
eller lignende. På den skrives tall som på bildet. Hver måleenhet kan være ca 35 cm. Tall kan gjerne skrives kun i hver 10. rute. Etter eller underveis i
aktivitetene kan elevene skriftliggjøre sine resultater: Antall ruter fra 10 til 19 er
9.
Gruppering
Et annet viktig element i tallforståelse er at elevene får erfaring med hvordan vi grupperer og
deler opp grupper i posisjonssystemet. Dette er vesentlig særlig for å utvikle metoder og
forståelse for skriftlige algoritmer, men også mange hoderegningsstrategier utnytter det at
tallene våre er gruppert i tiere, hundrere osv. Når man skal telle større, gjerne ustrukturerte
mengder, kan det være problematisk. Det krever trening i å ”se” antallet uten å telle. Man kan
bruke ulike strategier som:
• Trekke strek fra objekt til objekt
• Sette et tall ved hvert objekt etter hvert som de blir telt.
• Gruppere objektene i to-og-to, fem-og-fem eller ti-og-ti.
Vi vil finne alle disse strategiene blant småtrinnselevene, men den mest effektive vil være den
siste. For å lette tellingen av større mengder er det svært gunstig å gruppere. Det er akkurat
denne grupperingstanken som er et
av de mest sentrale aspektene ved
et tallsystem. Så å si alle
tallsystemer som har vokst fram i ulike kulturer rundt om i verden, hviler på denne ideen. I
vårt system grupperer vi i tiere, i det vi kaller titallssystemet. I tillegg er det et
posisjonssystem. Det betyr at den posisjonen symbolene har er avgjørende for hvilken
betydning de har.
Dette er en ny oppgave hentet fra MULTI, og kan være eksempel på hvordan
ulike arbeidsformene kan kombineres slik at de praktiske aktivitetene styrker og
legger et grunnlag for ytterligere teoretisk arbeid. Oppgaven går ut på at
elevene skal gruppere en gitt mengde klossene slik at de først samles i tiertårn,
så legges resten av klossene ved siden av.
De skal altså bygge tiere og se hvor mange enere
som blir igjen. Siden skal elevene arbeide med
lignende talloppgaver i boken:
Spill i ulike varianter kan også være viktige bidrag i oppbyggingen av tallforståelse hos
elevene. Et eksempel på dette er spillet: Sparegrisen, der elevene får praktisk erfaring med
blant annet veksling. Det er et spill for to, og hver
spiller skal tegne seg en stor sparegris på et ark. Inn i
hver sparegris skal elevene legge en tikroner, en
femkroner og to kronstykker. Spillerne kaster en
terning annenhver gang, og for hver gang de kaster
skal de motta fra den andre samme antall kroner som
øyne på terningen viser. Viser terningen 5 skal den
spilleren som kastet ha fem kroner av den andre. Den
som først mister alle pengene sine har tapt, eller man spiller på en bestemt tid og teller opp
hvem som har mest penger når tiden er gått.
418
The Changing Role of Calculus:
Early-Calculus and Per-Numbers Replacing Addition of Fractions
in Primary School
Ordinary calculators calculate numbers, which meant goodbye to log-tables. CAS-calculators
calculate calculations, which means goodbye to traditional calculus. With CAS-calculators we
just enter the formula y= and ask for the gradient-formula if y is a total-formula; or ask for the
area-formula if y is a per-number formula. Calculus adds per-numbers, which takes place on
all levels from grade 1 in primary school through middle school to high school. In this way
per-numbers and early-calculus can replace the agonies of adding fractions.
Allan Tarp, the MATHeCADEMY Grenaa, Danmark
Workshop
Alla
419
Att konstruera sitt geometriska tänkande
För att figurer och former ska kunna bli ’geometriska’ i matematisk mening krävs reflektion,
precision och en insikt i vad det innebär att använda ett hållbart argument och varför det
behövs. Arbete med den klassiska geometriska konstruktionen (”passare och linjal”) erbjuder
en möjlighet att utveckla dessa för matematiken centrala aspekter. Genom att använda dator
med program för dynamisk geometri kan även ett utforskande arbetssätt med möjligheter att
direkt pröva hypoteser och få bevisidéer göra geometrin spännande och levande. I
föreläsningen integreras matematikdidaktik och matematikhistoria med konkreta exempel för
undervisning.
Christer Bergsten är universitetslektor i matematik med ämnesdidaktisk inriktning vid
Linköpings universitet och arbetar där med lärarutbildning och forskning.
Föreläsning
Gs Gy Lärutb
Dokumentation
I grundskolans geometriundervisning ser man på endimensionella objekt som sträckor,
tvådimensionella som trianglar, rektanglar, ibland andra månghörningar också, och cirklar,
samt tredimensionella objekt som lådor (som ges det konstiga namnet rätblock), pyramider,
cylindrar, koner och klot. Det man gör mest med dessa objekt är att namnge dom och känna
igen dom, samt mäta dom på olika sätt, dvs. deras längder, omkretsar, areor och volymer. I
viss mån ser man även på relationer inom och mellan dessa geometriska objekt men det mesta
lämnas till gymnasiet. När man sedan gör det där handlar det återigen oftast om att kunna
göra någon mätning, med en formel i fokus. Till exempel får eleven lära sig att beräkna en
cirkels omkrets genom att multiplicera dess diameter med det märkliga talet Pi. Däremot hör
man sällan elever uttrycka det så att förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter
är samma för alla cirklar och att det är detta förhållandes storlek som kallas Pi.
Inom aritmetiken finns i skolan förutom förmåga att göra beräkningar även ett mer
begreppsförståelseinriktat mål om att utveckla en taluppfattning. På liknande sätt beskrivs ofta
ett övergripande mål för den grundläggande skolalgebran att utveckla en symboluppfattning,
eller en symbolkänsla (se t.ex. Bergsten, Häggström och Lindberg, 1997). En sådan
symbolkänsla ger ett stöd för algebraiska beräkningar. Skolgeometrin handlar, som nämnts
ovan, mycket om att göra beräkningar, men även där måste en formuppfattning utgöra ett
övergripande mål. För att utveckla en sådan formuppfattning eller formkänsla måste de olika
geometriska figurernas egenskaper studeras. Och konstrueras (se Ulin, 1998). Som ett
exempel, att bara observera och mäta vinkeln mellan diagonalerna i en romb kan ge
kännedom om att den är rät, men för att även få känslan att det måste vara så måste man också
förstå varför den är rät. Man får en känsla för vad en diagonal är genom att rita den, med en
linjal som stöd, som en sträcka mellan två givna punkter, dvs. två motsatta hörn i romben.
Och för att få en känsla för vad en romb är måste man också rita den, inte bara se den, och för
att kunna göra det måste man veta vad en romb är. För att betona att det inte handlar om att
rita på ett ungefär kan man använda ordet konstruera, som har en djupare och mer precis
innebörd. När man konstruerar figurerna konstruerar man samtidigt sin kunskap om figurerna.
En övning kan då formuleras så här:
Konstruera en fyrhörning där alla sidor är lika långa.
Dra med linjal en sträcka AB som sida. För att konstruera den andra sidan AC från punkten A
måste man då konstruera en cirkel med medelpunkt i A och radie AB, som kan göras med en
passare. Punkten C kan då väljas fritt på denna cirkel (utom i B eller ”mittemot” B, då det inte
blir en fyrhörning utan bara en dubbelritad sträcka). Det fjärde hörnet D ska nu ha avståndet
AB (som är samma som AC) från både B och C. Det betyder att D måste ligga både på cirkeln
genom C med radie CA och på cirkeln genom B med radie BA, dvs. D är skärningspunkten
mellan dessa två cirklar (som också genom konstruktionen skär varandra i A).
Genom att ha konstruerat denna liksidiga fyrhörning med passare och linjal med hjälp av dess
definierande egenskap vet man var den kommer ifrån, man har en känsla för vad det är för
nåt, och det kan vara intressant att se lite mer på den – vad är det för en figur? Här kan en
dynamisk geometrisk programvara underlätta en fördjupad undersökning av denna figur, och
hjälpa att upptäcka egenskaper som olika invarianser. Dels går konstruktionen snabbare, dels
blir resultatet bättre, och dels kan figuren manipuleras med bibehållande av de
grundegenskaper man använt vid konstruktionen. Denna stabilitet är en bekräftelse på att
konstruktionen håller. Och figurerna ser snygga ut, även om man är dålig på att rita…
Analysera figuren!
Genom att flytta på punkten C längs cirkeln man la den på ser man att motstående sidor hela
tiden är parallella, liksom motstående vinklar. Detta kan kontrolleras genom att markera
måtten på dessa storheter, som programmet möjliggör. Dessa observationer kan nu
formuleras som hypoteser och man undrar varför det är så. Man leds till att söka en
förklaring, ett argument. Det är ett sådant argument som kallas bevis i matematiken. Ett
sådant argument måste med nödvändighet bygga på något som man redan vet, då man alltid
måste förklara med något annat än det som ska förklaras. Här måste det handla om
grundläggande kunskap om räta linjer, vinklar och trianglar.
Genom att dra diagonalen AD får man två trianglar, ABD och ACD. Dessa måste vara
kongruenta då de har alla tre sidor lika. De är dessutom likbenta och har därför lika stora
basvinklar. Eftersom alternatvinklarna BAD och CDA då är lika när AB och CD skärs av
linjen genom A och D måste AB och CD vara parallella. Med motsvarande argument är AC
och BD parallella.
Undersök figuren igen!
Genom att dra diagonalen BC, som skär den andra diagonalen AD i E, och sedan flytta runt
hörnet C ser man att diagonalerna är vinkelräta hela tiden. Man har en ny hypotes. Även A
och B kan flyttas. Figuren nedan visar bara två av de lägen som kan uppstå. Varför är det så?
Man blir nyfiken.
Genom att argumentera på samma sätt som ovan inser man att trianglarna AEB och AEC är
kongruenta. Då är också vinklarna AEB och AEC lika stora och därmed räta.
Att få en känsla för vad en bisektris är kan enkelt åstadkommas genom att vika en
papperstriangel. Vik så att vinkeln delas på mitten! Alla klarar det utan särskilda
instruktioner. Men hur kan man rita en bisektrisen till en vinkel i en given triangel på ett
papper?
Man får se hur det ser ut när den redan är ritad och analysera figurens inre relationer. Om man
från en punkt D på bisektrisen drar normaler mot vinkelbenen bildas två rätvinkliga trianglar
ABD och ACD (se figuren nedan). Då vinklarna BAD och CAD är lika är alla motsvarande
vinklar lika. Eftersom sidan AD är gemensam i de båda trianglarna är dessa kongruenta.
Sidorna AB och AC är då lika (liksom BD och CD).
Nu kan vi tänka åt andra hållet och göra en syntes: Att konstruera punkter B och C på
vinkelbenen på samma avstånd från A är möjligt med en cirkel med A som medelpunkt. Drar
man normalerna till vinkelbenen genom B och C skär dessa varandra i en punkt D som måste
ligga på bisektrisen.
Det var detta sätt att lösa ett konstruktionsproblem som Pappus beskrev i bok VII i sin
Synagoge (ca 300 e.Kr.), och som han kallade Analys – Syntes (se t.ex. Heath, 1981, s. 399401). Metoden kan vara effektiv även vid andra problemtyper än dessa geometriska. Om jag
redan hade löst problemet, vad skulle jag då veta som jag kan ha nytta av för att lösa
problemet? Vid analysen kan man upptäcka olika saker, som kan generera olika lösningar till
konstruktionsproblemet. Förutom den vanliga konstruktionen av en bisektris, kan analysen
ovan leda till följande konstruktion:
Dra två olika cirklar med medelpunkt i A, den ena skär vinkelbenen i B och C den andra i D
och E. Sträckorna BE och CD skär då varandra i en punkt F, som måste ligga på bisektrisen.
När man genomfört några konstruktioner av en bisektris får man en känsla för vad en bisektris
är och kan uppskatta och använda snabbkommandot för bisektris i det dynamiska
geometriprogrammet. Konstruktionen ovan av en bisektris med hjälp av normaler leder också
direkt vidare till den i en triangel inskrivna cirkeln, liksom till andra för skoleleven
utmanande konstruktionsproblem.
Konstruera en cirkel som går genom en given punkt och som tangerar två givna linjer.
I den vänstra figuren nedan ligger den givna punkten P på den ena linjen och i den högra
mellan linjerna. Denna konstruktionsövning är ett av fallen i det klassiska Apollonius
problem, där en cirkel ska konstrueras som tangerar tre givna ’cirklar’, där även en cirklar
med radien noll (dvs. punkter) och med oändlig radie (dvs. linjer) är tillåtna.
Tidiga enkla och sedan regelbundet återkommande successivt mer sammansatta och
spännande konstruktionsövningar kan med tiden leda djupt in i en formkänsla som ger det
nödvändiga komplement till den beräkningstekniska geometrin som behövs för att göra
matematiken rolig, spännande, vacker och användbar.
Referenser
Bergsten, C., Häggström, J. & Lindberg, L. (1997). Algebra för alla. Nämnaren Tema. NCM,
Göteborgs universitet.
Heath, T. (1981). A history of Greek mathematics, Vol. II. New York: Dover.
Ulin, B. (1998). Klassisk geometri – motiv och mening. Solna: Ekelunds.
420
Rolig matematik med magiska kvadrater
I denna föreläsning visar vi några exempel på hur magiska kvadrater kan användas i
matematikklassrummet från förskola till högskola.
Ma Li disputerade i matematik vid Chalmers. Som universitetslektor har hon bland annat
undervisat i grund- och forskarutbildning vid Linköpings universitet. Hon studerar också
matematikens historiska utveckling samt matematikutbildning i olika kulturer.
Föreläsning
Alla
Dokumentation
Världens äldsta magiska kvadrat
Vi börjar med ett exempel för förskolan och berättar en legend från det gamla Kina. En
gång i tiden, för flera tusen år sedan, hoppade en gudomlig sköldpadda ur floden Luo. På
ryggen hade sköldpadda ett diagram som ser ut så här
Diagrammet brukar kallas för Luo Shu där Luo är flodens namn och Shu
betyder bl a skrift. Barnen kan uppmuntras att rita en sköldpadda, som bär
diagrammet på ryggen enligt beskrivningen i en gammal kinesisk bok:
Två och fyra på axlarna
Sex och åtta på fötter
Tre till vänster och sju till höger
Nio på huvudet och sju i botten
Centralt ligger en femma.
4 9 2
3 5 7
8 1 6
Detta är världens äldsta magiska kvadrat: när man adderar längs varje rad, varje kolumn
och varje diagonal får man samma resultat 15 – den så kallad magiska summan i en magisk
kvadrat av ordning 3. Dessutom används talen 1 till och med 9 en gång var, därför är Luo Shu
en så kallad klassisk magisk kvadrat av tredje ordningen.
Observera att de jämna talen som kallas för yin eller kvinnliga är i mörka
prickar; de står i de fyra hörnen och bildar en kvadrat. De udda talen som kallas
för yang eller manliga är ljusa; de betonar riktningar och formar ett kryss:
Genom rotation och spegling får man variationer - totalt åtta stycken av ordning 3:
Varför står det alltid en femma i centrum?
Luo Shu och geometri
Diagrammet kallades även för ett nio-hall-diagram. Det står i gammal kinesisk litteratur att
den stora Yu brukade gå från hall 1 till hall 2 etc och till sist hall 9:
Detta diagram fick namnet Yus steg. Eleverna kan uppmuntras att finna parallella linjer,
lika vinklar av olika sort och motivera sina svar, också vilka trianglar som är likformiga, etc.
I ett decimalt system kan det vara nyttigt att vara bekant med varje siffras ”kamrat” så
att deras summa blir 10. I Luo Shu kan man sammanbinda alla sådana talpar och få fyra
sträckor:
Varje sträcka går genom 3 tal som bildar en aritmetisk följd. De gemensamma
skillnaderna är i själva verket också en aritmetisk följd:
D(4, 5, 6) = 1, D(3, 5, 7) = 2, D(2, 5, 8) = 3, D(1, 5, 9) = 4.
Eleverna kan uppmuntras att rita flera figurer och diskutera olika egenskaper på
liknande sätt:
Magiska kvadrater som matriser
Det är roligt att använda Luo Shu inte bara i elementär geometri utan också i lite mer
avancerad matematik, t ex i linjär algebra. Här följer några exempel som jag har använt i
föreläsningar, lektioner, t o m som tenta frågor.
Låt L vara följande 3 x 3 Luo Shu matris:
⎡ 4 9 2⎤
L = ⎢⎢3 5 7 ⎥⎥
⎢⎣8 1 6⎥⎦
•
•
•
•
•
Bestäm determinanten av L.
Visa att L är inverterbar.
Visa att den magiska summan 15 är ett egenvärde.
Finn en motsvarande egenvektor, gärna med blotta ögat.
Visa att L2 är ortogonalt diagonaliserbar (L2 är symmetrisk) and det är därför även
alla jämna potenser av L.
Hittills har vi enbart talat om en magisk kvadrat av tredje ordningen, och den så kallade
klassiska typen i meningen att de första nio heltalen 1, 2, …, 9 dyker upp exakt en gång. I en
generaliserad magisk kvadrat behöver inte talen vara olika. Ett enkelt exempel av en ickeklassisk magisk kvadrat i 3 x 3 matris form är
⎡1 1 1⎤
E = ⎢⎢1 1 1⎥⎥
⎢⎣1 1 1⎥⎦
med magisk summan 3. Följande är några exempel på uppgifter som kan vara kul:
•
•
Konstruera en magisk matris vars magiska summa är 1.
Konstruera en magisk matris vars magiska summa är ett godtyckligt tal c.
•
Konstruera en magisk matris vars magiska summa är 1 men består av olika element.
Om vi adderar två magiska matriser av samma typ eller storlek, vilka egenskaper har
summan? Vad får man om en matris multipliceras med ett tal (skalär)?
I allmänhet, är en linjär kombination av magiska matriser av samma typ fortfarande en
magisk matris. Detta faktum påminner oss väl om något abstrakt begrepp i linjär algebra?
Om vi definierar matrisaddition och multiplikation av en matris med en skalär som
vanligt, så vet vi från ovan att mängden av alla matriser av samma typ med de två
fundamentala operationerna är ett vektorrum.
Låt U vara mängden av alla n x n-matriser medan S är mängden av alla n x n magiska
matriser. Det är lätt att visa att S är ett underrum (subspace) av U. Vad är dimensionen av S?
Finn en bas för S.
Låt M vara en 3 x 3 magisk matris.
•
En 3 x 3 magisk matris med magisk summa 0 måste vara av formen
−x− y
⎡ x
⎢− x + y
0
⎢
⎢⎣ − y
x+ y
y ⎤
x − y ⎥⎥
− x ⎥⎦
där x och y kan vara två godtyckliga reella tal.
•
M kan alltid skrivas som M = A + (c/3)E, där A är en 3 x 3 magisk matris med
magisk summa 0 medan E är som ovan, dvs den 3 x 3 matris vars alla element är 1.
•
En 3 x 3 magisk matris måste vara av formen
−x− y+z
⎡ x+z
⎢− x + y + z
z
⎢
⎢⎣ − y + z
x+ y+z
y+z ⎤
x − y + z ⎥⎥
− x + z ⎥⎦
Avslutning
Magiska kvadrater kan användas i matematikundervisningen från förskola till högskola. Vi
har enbart visat några exempel på magiska kvadrater av ordning 3. De kan generaliseras till
högre ordning, till flera färger, till magiska kuber, osv. Man kan också göra mycket mer i
avancerad matematik.
Referenser
[1] Ma, L. He Tu & Luo Shu: exploring pedagogical opportunities. Häftet för HIMED
(History in Mathematics Education). British Society for the History of Mathematics (1996)
[2] Ma, L. Using Luo Shu to stimulate mathematical creativity. Proceedings of the Third
International Conference ”Creativity in mathematics education and the education of gifted
students”. Rousse (2003)
421
Lesson Study - Hur man tillsammans skapar möjligheter för att
utveckla sin matematikundervisning
På Sörböleskolan i Skellefteå arbetar jag tillsammans med fyra kollegor med att utveckla
matematikundervisningen mot de mål som Skolverkets rapport Lusten att lära föreslår. För att
göra det använder vi oss av Lesson Study som finns beskriven i exempelvis boken "The
Teaching Gap". Lesson Study upplever vi som ett sätt att ta vara på den erfarenhet kollegor
besitter samtidigt som möjligheten att på ett permanent sätt förändra undervisningen ökar.
Staffan Åkerlund, lärare i matematik och NO vid Sörböleskolan i Skellefteå.
Undervisar elever i årskurs 7 - 9 och har tio års lärarerfarenhet. Arbetar sedan hösten 2003,
med 20 % nedsättning, för att utveckla matematikundervisningen i Skellefteå kommun.
Föreläsning
Alla
Dokumentation
Bristen på bra sätt att utvecklas inom läraryrket efter att man gått lärarutbildningen upplever
jag idag som uppenbar. Det finns möjligheter att utvecklas inom många områden av vårt yrke,
biennalen är ju ett utmärkt exempel på det, men kanske inte i den del som är viktigast,
nämligen hur vi undervisar. Jag tycker det är problematiskt då undervisning är själva kärnan
inom vår profession. Dessutom kommer skrifter som exempelvis Skolverkets rapport Lusten
att lära, Matematikdelegationens betänkande samt Myndigheten för skolutvecklings
kunskapsöversikt Skolutvecklingens många ansikten som pekar på undervisningens vikt för
resultatet av elevernas kunskaper. Förutom bristen på möjligheter att utveckla undervisningen,
saknar läraryrket ett sätt att ta tillvara den kompetens och erfarenhet som kollegor, äldre som
yngre, besitter. Det är verkligen en svaghet, och säkerligen skulle elevernas kunskaper
förbättras om vi fick en enkel men kraftfull modell för att lyckas med det. På Sörböleskolan
arbetar jag tillsammans med fyra kollegor med Lesson Study som skulle kunna vara en sådan
modell. Den påminner mycket om aktionsforskning eller aktionslärande och kommer
ursprungligen från Japan där den använts i mer än 50 år för att utveckla lärare i sitt yrke.
Kortfattat går Lesson Study till så att man samlar en grupp kollegor som vill förändra något i
sin vardag. Kollegorna tar gemensamt fram ett mål de vill uppnå enligt tanken, så här ser det
ut idag men hur skulle vi vilja att det såg ut. Därefter gör kollegorna en planering av ett antal
lektioner som de tror ska göra att de når målet bättre. Därefter genomförs lektionerna i en
klass eller grupp enligt planeringen. Vid de lektionerna är alla lärare som varit med och
planerat med i klassrummet, men bara en av dem undervisar. De andra lärarna tittar på
elevernas förståelse och arbete utifrån den gemensamma planeringen. Sedan utvärderar,
diskuterar och reflekterar kollegorna utifrån gjorda observationer på lektionerna. Den stora
fördelen då är att det är den gemensamma planeringen som kritiseras och inte den
undervisande läraren. Här kommer man ifrån känslan av att det blir jag som lärare som
observeras, istället hamnar undervisningen i fokus. Efter att lärargruppen utvärderat
lektionerna förändras planeringen utifrån det som kommit upp. Lektionerna genomförs sedan
igen i en annan klass för att se om det då blivit bättre. Så kan man sedan fortsätta tills man
känner att man nått det mål man från början satte upp.
Den process som det här sättet att arbeta sätter igång är i allra högsta grad det centrala.
Planeringen som vi tar fram, som många kanske ser som det intressanta, är för oss mest en
biprodukt. Visst använder vi planeringen, men läraryrket bygger ju så mycket på
improvisation och snabba beslut att det inte går att följa en planering rakt upp och ner vid
vanliga lektioner. Däremot får vi se hur andra kollegor arbetar i klassrummet och vilka följder
vår gemensamma planering får på elevernas förståelse. Möjligheterna till diskussion och
reflektion utifrån både planeringen, tidigare forskning och klassrumsobservationerna, gör oss
medvetna om vår vardag på ett sätt som ger nya perspektiv. Självklart spiller allt detta i sin tur
över på undervisningen av vanliga lektioner. Förändringen går inte med någon raketfart men
det sker ändå en förändring över tid, och när vi nu arbetat med Lesson Study i knappt tre läsår
så märks det hos oss. Personligen har det här sättet att arbeta förändrat min undervisning och
därför känner jag att Lesson Study är ett oerhört kraftfullt sätt att förändras i yrket.
I föreläsningen kommer jag att berätta mer i detalj om hur vi arbetar med detta samt hur
arbetet fortskrider. Vi gör en Lesson Study per år och under hösten -05 tog vi fram en
planering av hur man kan arbeta med en fördiagnos kring området bråk för årskurs 7. I
december -05 hade vi våra lektioner då vi tittade på hur vår planering fungerade, så resultaten
av detta arbete kommer jag också att berätta om.
Känner ni er intresserade och vill läsa mer kan jag rekommendera boken The Teaching Gap
(lättläst engelska), i vilken amerikanerna Stigler och Hiebert beskriver det här arbetet i detalj
samt deras artikel i Nämnaren nr 1 2004. I Nämnaren nr 3 2005 beskrev jag i en artikel hur vi
arbetar med Lesson Study på Sörböleskolan i Skellefteå.
Väl mött på föreläsningen!
422
Matematiska och dialogseminarier
Matematiska är en term för matematikens specifika språk som kan kräva sina "översättningar"
till och från det svenska språket för att synliggöra innebörder och skrivsätt i matematiken.
Dialogseminariet är en "kursform" som innebär reflektion från de egna erfarenheterna och
lyssnande på andras utgångspunkter och erfarenheter, runt en gemensam text. Vi är en
lärargrupp som reflekterade om översättningar mellan matematiska och svenska i grundskolepraktiken med hjälp av dialogseminariemetoden. Det var mycket spännande! I detta
workshop berättar vi och du får pröva lite på att reflektera över matematiska. Välkommen!
Martin Gode är 4-9 lärare i matematik och NV på Viksjöskolan i Järfälla.
Pi Högdahl är projektledare vid projektet Höja Nivån i Järfälla kommun.
Håkan Lennerstad är docent i tillämpad matematik vid Blekinge Tekniska Högskola.
Workshop
Gr Gy Vux Högsk Lärutb
Dokumentation
Matematiskans språkliga kvalitéer
Matematiska formler, från 1 + 2 = 3 till forskningsnivå, har en egen grammatik –man får
skriva på vissa sätt men inte på andra. Elever som börjar skolan känner ofta till idéer av
matematisk natur, matematik är en mänsklig egenskap, men skolan fokuserar till stor del på
det för eleverna nya språket. Kanske är vi lärare skickligare i detta språk än vad vi själva
tänker på. Det är väl känt att språkanvändning till stor del är tyst kunskap –vi är ofta bra på att
använda språk utan att reflektera särskilt mycket över hur det fungerar. Men oreflekterad
språkanvändning kan verka uteslutande. Vi bör kanske tänka på elever som invandrare till
matematikens land. Om vi ofta översätter mellan matematiska och svenska behåller vi lättare
elevkontakten och ger samtidigt glimtar av vad vi menar med formlerna uttryckt på det
svenska språket. Man tänker bäst med sitt bästa språk. Många olika översättningar av en
formel är möjliga, vilket svarar mot att formler har många skilda tolkningar och
användningar. Svårigheten att finna entydiga översättningar är inte negativ utan positiv –den
synliggör denna betydelsemässiga rikedom. Om man enbart använder matematiska förblir
ofta denna rikedom dold.
Dialogseminariet och tyst kunskap
Dialogseminariet utvecklades av Bo Göranzon och Maria Hammarén för att ta fram tyst
kunskap i olika yrkeskategorier. I metoden reflekterar alla deltagarna skriftligt på en viss text
innan själva dialogseminariet. På dialogseminariet läser man upp sin reflektion, varpå de
andra deltagarna kan ge sina kommentarer på det som sagts. Skrivandet innebär en eftertanke,
ett pejlande bland de egna erfarenheterna, och uppläsandet ger naturligt en närvaro. Vid en
serie på fem tillfällen kan ämnet i ökande grad närma sig det som väcker anklang i gruppen,
som man kanske inte var medveten om tidigare.
Kommentarerna efter uppläsningen ger ofta nya synvinklar på det man tänkt. Det är också en
träning i lyssnande på tankegångar från andra personer med andra erfarenheter. Det är därför
också ett sätt att överbrygga kulturella klyftor.
Matematiska, dialogseminariet och Järfälla
Hösten 2005 har tre följande dialogseminarier förverkligats. Deltagare har varit lärare i
grundskolan i Järfälla, däribland Martin Gode, Pi Högdahl, projektledare i Järfälla, och Håkan
Lennerstad, som väckt idén om översättningar matematiska-svenska. Alla deltagarna ansåg att
det blev mycket intressanta ämnesmässiga dialoger. Projektet kommer att rapporteras av
lärarstudenter vid Lärarhögskolan i Stockholm. Det finansierades av Myndigheten för
Skolutveckling.
Referenser
Håkan Lennerstad, Lars Mouwitz, Mathematish – a Tacit Knowledge of Mathematics,
Proceedings of MADIF4, Malmö, 2004.
Bo Göranzon, Maria Hammaren, se www.dialoger.se – Forskning –Dialogseminariemetodik.
423
Oasen - en pedagogisk tanke
Hur kan vi bygga upp självförtroendet för elever med svårigheter? Hur kan vi skapa en bra
inlärningsmiljö så att eleverna känner glädje? Metodiska tips varvas med forskning och fakta.
Ingemar Karlsson - adjunkt med specialintresse för matematikdidaktik särskilt att utveckla
metodik för att tillämpa muntlig matematik och vuxnas lärande i matematik.
Lizelott Löwendahl - lågstadielärare och glädjecoach som särskilt har ägnat sig åt
specialundervisning i matematik samt sambandet mellan matematik och läs- och
skrivsvårigheter.
Föreläsning
Fö Gt
Dokumentation
Hur kan vi bygga upp självförtroendet för elever med svårigheter?
Hur kan vi skapa en bra inlärningsmiljö så att eleverna känner glädje?
Hur hjälper vi våra elever att förstå matematiska begrepp och träna
tillämpad problemlösning?
Vi, Lizelott Löwendahl och Ingemar Karlsson, har för elever från grundskolan byggt upp en
verksamhet för att kunna ge maximal trygghet i matematikundervisningen.Tidigare
misslyckanden med matematiken har för många elever efter hand ökat på oförmågan att känna
lust och stimulans inför matematikämnet.
Vi beskriver hur vi provocerar det självständiga tänkandet med olika typer av tankenötter och
hur vi skapar muntlig kommunikation i matematiken.Vi visar på exempel hur vi strävar efter
variation och flexibilitet i undervisningen.
Det är viktigt med hjälpinsatser som involverar såväl samtal i olika former samt uppövning av
språklig förståelse och spatial förmåga.Samtidigt skall eleverna bli av med sin matteskräck
och framför allt upptäcka sin egen förmåga att utvecklas i ämnet. Då gäller det att återskapa
de baskunskaper som eleven behöver för att gå vidare och därmed undvika att lotsa eleven
igenom svårigheterna.
424
Introduktion av måttenheter, (och bråk) och lite annat smått och
gott
En workshop där deltagarna gör en resa i tid och rum, ställs inför problem som de aktivt löser
och använder resultatet till att lösa ytterligare problem med.
Lektionsförslag som börjar med en resa till 1500-talets England, där betesmark skall
uppmätas inför en stundande försäljning.Läraren ger förutsättningarna och eleverna får aktivt
hjälpa till att lösa de praktiska problem som uppstår.T ex hur mäter man utan metern.(1700talets slut).Om man nu ,som då, kan använda kroppsdelar, vems fot, aln eller famn
gäller.Säljarens? Köparens? Under mätningens gång kommer man in på grundläggande
förståelse för bråk genom användandet av tu-delning. Vi lär oss vidare att på ett modernare
sätt använda kroppen för att mäta längre sträckor. Man lär sig att känna igen den känsla man
får i kroppen, när man tar steg som är (mycket) nära 1m långa.
Kurt-Evert Alvinsson, Köpingeskolan (år 6-9) i Trelleborg, lärare i ma, fy, tk. Speciallärare.
Workshop
Gr Vux
Introduktion av måttenheter
eller tudelning/fördubbling en ”bortglömd” metod, eller introduktion av bråk, eller en
metod att lösa %-uppgifter
eller…
Pedagogisk tanke:
Praktisk problemlösning
fördjupad förståelse
Syftet med detta moment är att ge eleverna......
* en historisk återblick på några måttenheter
* ökad förståelse för behovet av måttenheter
* en minskad ”respekt” för måttenheter.
Det är många gånger tillfälligheter som gör att en måttenhet är just
så stor som den är och egentligen kan man ju mäta med vad som helst.
* möjlighet att själva vara med att utifrån en definition av en fot
tillverka ett ”fotmätdon” samt att utföra mätningar med detta.
* möjligheter att ”aktivt” lösa praktiska problem
* ett praktiskt ex på hur man kan minska mätfelen vid mätning och
diskutera hur noggrant man egentligen bör mäta.
* en möjlighet att utan mätdon mäta avstånd med den egna kroppen (meter)
* övning i att mäta med ”ögonen”. Att förfina sin avståndsbedömningsförmåga upp till 100 m (~ längden av en fotbollsplan)
* en praktisk övning i att själva använda bråk på ett naturligt sätt.
(”delning” av foten för noggrannare mätning) Denna övning ger förståelse
för hur man förr i tiden använde bråken i praktiken.
* möjlighet att tillsammans i gruppen praktiskt lösa uppgifter.
Ex: ”Hur mycket väger egentligen ett engelskt pund om det definieras som vikten
av 7 680 vetekorn” . Här finns möjligheter att ge eleverna en fördjupad förståelse
för positionssystemet.
Det får ju liksom inte vara t ex 7 672 vetekorn i högen. Hur vet man att man räknat
rätt?
* en praktisk metod att med hjälp av tudelning lösa uppgifter av typen.
”Hur stor är rabatten i % om ett par skor som kostat 599:- säljs för 375:- kr?”
* övning i att med hjälp av visualisering eller en kinestetisk metod snabbt utföra
tudelning (division med 2, 4, 8, 16) eller fördubbling (multiplikation med
2, 4, 8, 16) eller procentuppgifter av typen ”Hur mycket är 50%, 25%, 12,4%,
6,25% av X och kombinationer av dessa.
Då börjar vi........
Se sid 2!
Vi ska nu göra en resa i rummet, till England och i tiden, till 1500-talets
senare hälft – i skarven mellan Kopernikus och Galileo. På den tiden var
jorden fortfarande universums medelpunkt kring vilken allting rörde sig.
Så sent som 1633 anklagades Galileo för kätteri av katolska kyrkan för att
han hade påstått, som Kopernikus tidigare gjort, att jorden varje dag roterar
kring sin egen axel och årligen kretsar runt solen som de andra planeterna.
I Sverige regerade Gustav Vasa och Skåne var fortfarande danskt.
Väl framme i England visar det sig att vi hamnat mitt i en försäljning av
betesmark. Man är överens om priset, 1/4 –dels får för varje fot som ena
sidan av betesmarken är lång.
Nu tar klassen över ”spelet”. Läraren utser säljaren (helst en liten flicka
med små fötter) och köparen (en reslig påg som lever på ”stor” fot).
Klassrummets längd ex.vis kan representera den sidan av betesmarken som
skulle mätas. Säljaren mäter hur många fot som sidan är och köparen
kontrollmäter. De får olika resultat t ex 32 fot och 28 fot. Då blir ju priset
antingen 8 får som säljaren vill ha eller 7 får som köparen vill ge. Ingen av
parterna vill ge sig utan hävdar sitt mätresultat. Lyckligtvis kunde en person
C, som hört samtalet, erinra sig att han hört något om hur 1500-talslantmätarna bestämde enheten fot. Person D vet säkert sade C. Jodå, D visste.
”Stå utanför kyrkdörren efter söndagens högmässa och be 16 män att stanna,
när de kommer ut ur kyrkan, långa karlar och korta om varandra!
Låt dem sedan ställa sina vänsterfötter i en rad efter varandra. Den längd som
man på så sätt fått skall anses vara den lagligen fastställda enheten för uppmätning
av landområden och sextondelen av denna längd skall anses vara den rätta längden
av en fot.”
Nu hjälps säljare och köpare att välja ut 16 klasskamrater och de (16) ställer
sig med vänsterfötterna efter varandra. Det sätts ett märke på golvet vid den
förstes tå och ett vid den sistes häl. Nu får klassen fundera över hur man
tar reda på hur långt en fot är. Man vet hur mycket 16 fot är.
Någon elev går förmodligen fram och tar meterslinjalen och börjar mäta.
Hade vi ”metern” på 1500-talet? När fick vi den? När kom den till Sverige?
(På 1790-talet i Paris och på slutet av 1800-talet i Sverige.) Nej, vi måste
hitta på ett annat sätt. Klassen kan ibland behöva lite hjälp på traven.
Hade man tråd på den tiden? Hur gjorde man kläder? Kläder hade man väl?
o s v. Vi har alltså så småningom en tråd som är 16 fot lång. Men vi vill veta hur
lång en fot är o s v.
Ledning:
Fundera över varför man valde 16 män och inte 10 eller 20 eller .........
Så småningom får varje elev sin ”fot” och mätningarna kan börja.
Men om det nu inte går jämt upp? Och om man skall mäta
något som är mindre än 1 fot – vad gör man då?
Välkomna!
425
Bildkonst – en matematisk verksamhet
Perioden i Europa under 1400 – 1500-talet kallas för renässansens epok. Det man ville ha
pånyttfött var den gamla grekiska kulturens ideal och formuppfattning. I detta ingick känslan
för det sköna i den antika matematiken.
Med sina egna bidrag tillförde renässanskonstnärerna också något helt nytt till utvecklingen
av konsten – perspektivläran – och föregrep därmed den projektiva geometrin.
Det gamla möter det nya i denna dynamiska tid i europeisk kulurhistoria. Några av dessa
resultat kommer att belysas vid denna föreläsning.
Lasse Berglund är matematiklärare vid Komvux Kronborg och Malmö högskola.
Föreläsning
Alla
Dokumentation
Exempel:
Om en matematiklärare på medeltiden skulle ha ritat upp ett rätblock på tavlan så skulle det se
ut ungefär så som figur 1 visar. Med renässansens intåg på den historiska scenen förändras
tillvaron då vetenskapen gör sin entré. En människa t.ex, som står långt bort ser mindre ut än
en som står nära. Detta följer från grundläggande stråloptik. Alltså, resonerande
renässansmänniskan, bör den bortre delen av rätblocket i figur 1 se mindre ut än den främre
delen. Det verkar också märkligt, fortsatte man vid betraktelse av figur 1, att om man ser
framsidan så helt frontalt, kan man då över-huvudtaget se något av ovansida och gavel. Dessa
tankar ledde fram till perspektivläran och man ritade därefter ett rätblock enligt figur 2.
Denna föreläsning behandlar frågor liknande dessa.
Figur 1
Figur 2
