Terriervalp-analogin – hela historien [version 0.3]
Christian Karlsson
Den här liknelsen är avsedd att ge känsla för vad om egentligen händer i enkla elektriska kretsar (enligt Drudemodellen, beskriven i till exempel Ref. [1].
Liknelsen är ganska raffinerad, och analogin håller som jag ser det hela vägen.
På en del punkter haltar dock analogin. Detta redogör jag för allra sist.
Innan vi startar, en tabell med de inblandade storheterna:
Valpstorheter
hg höjdgångertyngdfaktor
(m2 /s2 = J/kg)
m
en valps massa (kg)
M
valpmassa (kg)
n
valptäthet (stk/m2 )
I
valpström (kg/s)
τ
kollisionstid (s)
L
gympasalens längd (m)
b
gympasalens bredd (m)
R
resistans (m2 /kg·s)
Elektriska storheter
U spänning (V = J/C)
e
Q
n
I
τ
l
A
R
en elektrons laddning (C)
laddning(smängd) (C)
ledningselektrontäthet (stk/m3
elektrisk ström (C/s eller A)
kollisionstid (s)
motståndstrådens längd l (m)
motståndstrådens tvärsnittsarea (m2 )
resistans (Ω)
En valpfylld gympasal och en manick (ett motstånd och ett batteri)
Vi tänker oss en gympasal (ett motstånd, t.ex. en metalltråd) fylld med terriervalpar (ledningselektroner) som har glädjefnatt (rör sig på grund av värmerörelse,
typisk fart 1 000 km/s). De far omkring åt slumpmässiga håll. Den genomsnittliga farten v m är därför noll. En manick (ett batteri) ansluts till gympasalen.
Manicken lutar golvet så att den högra ändan ligger h högre än den vänstra (här
finns inte någon direkt analogi). Manicken knuffar in valpar i högra ändan samtidigt som den drar ut valpar i den vänstra ändan (vid batteriets minuspol sker
kemiska reaktioner där elektroner avges och vid pluspolen sker kemiska reaktioner där elektroner upptas). Det flyter en valpström genom gympasalen.
Valpströmmen (strömmen) definierar vi på följande vis. Om valpmassan M
(laddningen Q) passerar ett tvärsnitt av en gympasal på tiden t är valpströmmen
(elektriska strömmen)
µ
¶
M
Q
I=
I=
.
(1)
t
t
Valpströmmen mäts i kg/s (elektriska strömmen mäts i C/s = A).
Om valptätheten, mätt i stk/m2 , är n (elektrontätheten, mätt i stk/m3 ) och
valparna (elektronerna) av någon anledning har den genomsnittliga hastigheten
1
Figur 1 Till vänster en gympasal sedd från sidan. Mannicken lutar golvet så att höjdskillnaden mellan ändarna är h. Till höger ett motstånd över vilket spänningen är U .
v m åt något håll (notera att den genomsnittliga hastigheten från glädjefnattrörelser
är noll, eftersom glada valpar rör sig i slumpvisa riktningar), så kan följande uttryck för valpströmmen (elektriska strömmen) härledas från valpströmdefinitionen:1
I = bv m nm
(2)
(I = Av m ne) .
Här är b bredden på gympasalen och m massan för en valp (A ledarens tvärsnittsarea och e laddningen hos en elektron).
Det är viktigt att man har klart för sig att valpströmmen (elektriska strömmen) genom varje tvärsnitt av gympasalen måste vara lika stor. För varje valp
som manicken knuffar in i högra änden måste den dra ut en valp vid vänstra änden. Om det till exempel vore så att manicken knuffade in fler valpar än vad den
plockade ut skulle det ansamlas valpar (elektroner) någonstans, och så kan det
inte vara. Det skulle snabbt bli väldigt trångt.
Vi återvänder till till gympasalen och manicken som lutar golvet (höjdgångertyngdfaktorn hg motsvarar spänningen U över motståndet). Vi följer en valp
(elektron) som precis knuffats in av manicken (batteriet). Den far nedåt och
farten ökar – lägesenergi omvandlas till rörelseenergi (elektronen accelererar
– elektrisk energi omvandlas till rörelseenergi). Men plötsligt krockar valpen
med ett stolsben. Det är nämligen så att i gympasalen finns det förutom terriervalpar (ledningselektroner) massvis av stol- och bordsben (atomer) som valparna (elektronerna) krockar med. Valpens nyvunna rörelseenergi omvandlas
till värmeenergi, och valpen återfår sin ursprungliga fart (elektronen krockar
med en atom, en del del av rörelseenergin omvandlas till värmeenergi, och elektronen återfår sin ursprungliga fart). Och sådär håller det på, glada valpar får lite
fart – golvet lutar ju nedåt, krockar med ett stolsben, bromsas upp, får fart igen av
lutningen och så vidare. När den mörbultade, men fortfarande glada, valpen når
1 I korthet: Om valpar på en yta med arean b ∆s passerar ett tvärsnitt på tiden ∆t så kan valpb ∆s n m
strömmen skrivas I = ∆M
= bnm ∆s
∆t =
∆t
∆t = bnm v m .
2
Figur 2 (a) En valp kommer in i gympasalen med och har då hastigheten v. På grund
av att golvet lutar kommer valpen att accelerera. (b) Precis innan valpen kolliderar med
ett stolsben har den hastigheten v + ∆v. (c) Efter krocken är farten åter v. En del av
rörelseenergin har omvandlats till värmeenergi.
den lägre änden av gympasalen har den avgett all sin ursprungliga lägesenergi
mg h (har elektronen avgett all sin ursprungliga elektriska energi eU ). Följden av
att massor av valpar gör en liknande resa blir att hela havet av terriervalpar kommer att driva ned genom gympasalen (ca 1025 ledningselektroner driver genom
motståndet). Notera att terriervalphavets drifthastighet, som är lika med valparnas genomsnittliga hastighet, v m , är mycket mindre än farten hos en enskild
terrier. (Drifthastigheten för elektroner är typiskt 1 mm/s.) Man kan jämföra
med en myggsvärm som blåser omkring. Myggornas hastighet inne i svärmen
är mycket större än hela svärmens hastighet.
Nettoenergiomvandlingen som sker är alltså att lägesenergi omvandlas till
värmeenergi (elektrisk energi omvandlas till värmeenergi). När valpmassan M
passerar gympasalen omvandlas energimängden M g h (när laddningen Q passerar
motståndet omvandlas energimängen QU ).
Observera att 300 kg valp kan passera gympasalen utan att samma valpar
passerar igenom. Om manicken knuffar in 300 kg valp i en änden och drar ut
300 kg valp i andra änden varje sekund, så har ju 300 kg valp passerat. Dock inte
nödvändigtvis i form av samma valpar. Men det har ingen praktisk betydelse,
eftersom strömmen blir densamma (300 kg/s).
Låt oss innan vi går vidare ta fram en formel för energiomvandlingens storlek. Antag att valpmassan M passerar gympasalen på tiden t (laddningen Q
passerar motståndet på tiden t ). Energin som omsätts blir då
W = Mgh
(W = QU ) .
(3)
(W = U I t ) .
(4)
Använder vi strömdefinitionen (1) får vi
W = gh ·It
Om man gör vissa antaganden (se Ref. [1]) kan man visa att drifthastigheten,
det vill säga den hastighet varmed hela valphavet driver ned genom gympasalen,
3
som vi antar har längden L (motståndstråden har längden l ), kan skrivas
µ
¶
g hτ
eU τ
vm =
vm =
,
L
lm
(5)
där τ är kollisionstiden. Precis som innan är h höjdskillnaden mellan höger och
vänster ände av gympasalen. Kollisionstiden τ är ett mått på hur långt det är
mellan kollisioner med stolsbenen (atomerna). Väljer vi ut en slumpvis valp så
kommer det att vara så att det i genomsnitt dröjer tiden τ tills den råkar ut för
nästa kollision, och det har i genomsnitt dröjt τ sedan den sista kollisionen. Från
(5) ser vi att valphavshastigheten blir större ju mer sällan valparna krockar med
stolsben och ju mer golvet lutar. Kvoten h/L är ju ett mått på golvets lutning.
Sätter vi in drifthastigheten (5) i uttrycket för strömmen (2) får vi efter ommöblering följande samband mellan tyngdfaktorgolvhöjd (spänning) och valpström (ström):
µ
¶
L 1
l m
gh =
I
U=
I
.
b nmτ
A ne 2 τ
Om vi definierar resistans R som kvoten av tyngdfaktorgolvhöjd (spänning) och
valpström (ström) får vi då
R=
R = U = l m .
I
A |ne{z2 τ}
gh L 1
=
I
b |nmτ
{z }
ρ
ρ
Den första kvoten, L/b, beror bara av gympasalens (motståndets) dimensioner
och den andra kvoten beror av materialet. Den senare kvoten brukar man kalla
för materialets resistivitet ρ.
Två valpfyllda gympasalar efter varandra (två motstånd i serie)
Nu tänker vi oss att vi har två gympasalar placerade efter varandra (två motstånd
kopplade i serie). Gympasalarna är olika så tillvida att det är tätare mellan stolsbenen i den högra salen (kortare kollisionstid i högra motståndstråden). Manicken ser till att den totala höjdskillnaden är h, så att energin mg h omsätts när
en valpmassa passerar båda salarna (den totala spänningen är U så att en energin eU omsätts när en elektronladdning passerar båda motstånden).
Men eftersom gympasalarna är olika kommer höjdskillnaden vid varje gympasal att bli olika. Anledningen är följande. För det första måste vi komma ihåg
att strömmen (2) måste vara densamma genom båda gympasalarna. Om vi antar att gympasalarna har samma bredd b och att valptätheten n är densamma, så
måste då drifthastigheten v m vara densamma. Men från (5) ser vi att att om kollisionstiden τ ökar, så ökar drifthastigheten. Blir det glesare mellan stolsbenen
4
Figur 3 (a) Två seriekopplade gympasalar med olika egenskaper (olika tätt mellan stolsbenen). Manicken bestämmer totala höjdskillnaden h. Respektive gympasals höjdskillnad, h 1 och h 2 , ställs in (av sig självt) så att valparnas drifthastighet v m , och därmed
strömmen I , blir lika i båda salarna. (b) Två seriekopplade motstånd med olika resistans. Batteriet bestämmer totala spänningen U . Spänningen över respektive motstånd,
U1 och U2 , ställs in (av sig självt) så att strömmen blir lika genom båda motstånden.
kommer terrierhavet att driva snabbare genom gympasalen, så länge inte lutningen förändras. För att terrierhavet ska ha samma drifthastighet i båda gympasalarna måste därför lutningarna h/L justeras så att golvet lutar mer i den sal
där det är tätare mellan stolsbenen och vice versa. Och det är precis detta som
händer; Naturen ställer in respektive gympasals höjdskillnad (spänningen över
varje motstånd) så att strömmen, och i det här fallet drifthastigheten, blir densamma i båda (Hur Naturen lyckas hitta “rätt” läge direkt tror jag är en djup fråga
som man kan fundera vidare på om man vill. Hur hittar Naturen jämviktslägen?
Jag har inget bra svar, mer än att säga att på något vis prövar sig Naturen fram.)
Två valpfyllda gympasalar bredvid varandra (två parallellkopplade motstånd)
Hur analogin fungerar i det här fallet kan du kanske själv fundera ut vid det här
laget! Om inte – fråga!
Brister i analogin
Analogin haltar på åtminstone följande punkter:
• Valparna krockar med varandra, medan elektron-elektron-kollisioner vid
normala temperaturer är ovanliga.
• Någon motsvarighet till att golvet lutar finns ej i motståndet.
• Det kan vara missledande att föreställa sig elektroner som små bollar som
far omkring. Verkligheten är betydligt mer komplicerad.
5
• Alla elektroner är identiska och har samma laddning. Valpar har personlighet och har olika stor massa.
• ...
Dessutom bör det påpekas att elektroner egentligen i första hand krockar
med defekter i materialet, det vill säga atomer som inte sitter på sina vanliga
platser.
Referenser
1. N. W. Ashcroft och N. D. Mermin, Solid State Physics, Saunders College
Publishing, 1976.
6
