Några Partiella DifferentialEkvationer med våglösningar

Analys 360
En webbaserad analyskurs
Differentialkalkyl
Några partiella
differentialekvationer med
våglösningar
Anders Källén
MatematikCentrum
LTH
[email protected]
Några partiella differentialekvationer med våglösningar
1 (17)
Introduktion
Många problem i verkliga livet beskrivs matematiskt av differentialekvationer på formen
u0 (t) = f (t, u(t)). Här representerar u någon storhet som ändrar sig med tiden t. Ibland
sker inte ändringar bara i tiden, utan även i rummet, och vi har då en funktion av både
tid t och rum x, u(x, t). Detta leder till andra sorters ekvationer, vilka ofta beskriver
någon form av konserveringslag.
Här ska vi titta närmare på några sådana problem. Den gemensamma nämnaren är att
de handlar om någon form av partikelflöde, och att en konserveringslag leder till att det
finns ett enkelt samband mellan funktionens partiella derivator. En sådan ekvation kallas
en partiell differentialekvation. Gemensamt för de partiella differentialekvationer som vi
betraktar här, är att lösningarna utgör någon form av vågrörelse. Som exempel ska vi
titta både på vågrörelser i trafiken och på de vågor som definierar olika sorters ljud, såsom
musik.
I det här kapitlet kommer vi att skriva partiella derivator i en kompakt form, för att få
så överskådliga formler som möjligt. Det innebär att vi skriver
∂ 2f
∂f
,
∂t2 f = 2
o.s.v.
∂t
∂t
2
Skulle vi behöva en blandad andraderivata skrivs den ∂xy
f.
∂t f =
Om icke-stationära flöden i en rumsvariabel
Vi tänker oss ett stort antal identiska partiklar av något slag som rör sig längs en endimensionell kurva. Längs denna lägger vi en rumskoordinat som vi betecknar med x. Det
kan röra sig om värme som rör sig längs en stav, om bilar som kör på en motorväg, om
föroreningar som flyter med strömmen i en flod eller något liknande. Eventuella rörelser i
annan riktning än längs kurvan antas vara försumbara. För att beskriva partiklarna och
deras rörelse ska vi använda de två begreppen täthet och flöde.
Tätheten, eller koncentrationen, av partiklar antas beskriven av en funktion ρ(x, t) (enhet:
antal per avståndsenhet, men kan även mätas i massa per avståndsenhet om vi tilldelar
partiklarna en grundvikt). Vi antar att denna funktion är en “snäll” funktion, vilket tills
vidare betyder att den är i C 1 .
Vad mer än tätheten kan en observatör vid vägen mäta? Han kan mäta antalet partiklar
som passerar per tidsenhet. Denna storhet, som vi betecknar q(x, t), kallas flödet i punkten
x, t och har alltså enheten antal per tidseneht (eller massa per tidsenhet om partiklarna
har en massa). Att q > 0 innebär att nettoflödet sker från vänster till höger.
Vi ska härleda en ekvation som relaterar funktionerna ρ(x, t) och q(x, t) till varandra.
Antag först att partiklar varken skapas eller försvinner. Vi fixerar ett intervall [a, b] på
x-axeln och ska betrakta vad som händer i detta. Det totala antalet partiklar i [a, b] vid
tiden t ges av
Z
b
N (t) =
ρ(x, t)dx.
a
Det betyder att derivatan N 0 (t) ger ändringen i antal partiklar per tidsenhet i intervallet.
Men den ändringen är nettoeffekten av ett inflöde över vänster ändpunkt av intervallet,
Några partiella differentialekvationer med våglösningar
2 (17)
q(a, t), och ett utflöde över dess högra ändpunkt, q(b, t). Nettinflödet per tidsenhet till
intervallet vid tiden t ges alltså av q(a, t) − q(b, t) och vi får ett samband
N 0 (t) = q(a, t) − q(b, t).
Om partiklar kan bildas eller försvinna i intervallet förändras situationen lite. Vi antar då att produktion/konsumtion kan beskrivas av en funktion k(x, t) som anger den
hastighet med vilken produktionen sker på platsen x vid tiden t (enhet: antal partiklar
per längdenhet och tidsenhet). (Negativ produktion är konsumtion.) I intervallet [a, b]
produceras då
Z
b
k(x, t)dx
a
partiklar per tidsenhet.
Eftersom ändringen av antalet partiklar bestäms av nettoflödet över gränserna till intervallet och nettoproduktionen i detta, får vi följande balansekvation:
Z b
0
k(x, t)dx.
N (t) = q(a, t) − q(b, t) +
a
Men vi har att
q(a, t) − q(b, t) = −
Z
b
∂x q(x, t)dx,
a
så högerledet i balansekvationen kan skrivas
Z b
(−∂x q(x, t) + k(x, t))dx.
a
Vad gäller vänsterledet flyttar vi in derivatan innanför integraltecknet:
Z
Z b
d b
0
ρ(x, t)dx =
∂t ρ(x, t)dx.
N (t) =
dt a
a
Detta förutsätter att derivatan ∂ρ/∂t är kontinuerlig, vilket vi har antagit.
Vi får alltså relationen
Z
b
Z
∂t ρ(x, t)dx =
a
b
(−∂x q(x, t) + k(x, t))dx,
a
och eftersom detta är sant för alla intervall [a, b] kan vi hålla a fixt och derivera relationen
m.a.p. b. Detta ger oss relationen
∂t ρ(x, t) = −∂x q(x, t) + k(x, t).
Detta är vår basala partiella differentialekvation.
Anmärkning Notera tecknen i ekvationen. Antag att det inte sker någon nettoproduktion i intervallet, alltså att k = 0. Om ∂t ρ > 0 någonstans, innebär det att det
på denna plats ansamlas partilar (eftersom tätheten växer där). Då bör partikelflödet
förbi denna plats minska med avståndet, dvs ∂x q vara negativ.
Några partiella differentialekvationer med våglösningar
3 (17)
Flödet kan skrivas
q(x, t) = ρ(x, t)u(x, t).
där u(x, t) betecknar hastigheten av partikeln som är i punkten x vid tiden t. Stoppar vi
in detta i differentialekvationen får denna formen
∂t ρ + ∂x (ρu) = k.
Det denna ekvation beskriver är alltså hur masstätheten ändras per tidsenhet när vi
känner partikelhastigheterna; med k = 0 beskriver den massbalans i varje punkt. Ekvationen kallas kontinuitetsekvationen för strömningen.
Exempel 1 Betrakta en organisk förorening som släpps ut från en fabrik och som
rör sig medströms längs en flod, som vi antar rinner med konstant hastighet c. Vi
antar att föroreningen är homogent fördelad i alla riktningar utom längs flodens
förlopp och att den bryts ner av i floden förekommande bakterier.
När vi modellerar detta inför vi som x-koordinat avståndet medströms från fabriken
(negativt x betyder då en punkt i floden som ligger uppströms räknat från fabriken). Koncentrationen av förorening på avståndet x från fabriken vid tidpunkten t
betecknar vi med ρ(x, t).
Enligt diskussionen ovan har vi då ekvationen
∂t ρ + c∂x ρ = −k,
där k är den hastighet med vilken bakterierna i floden bryter ner föroreningen. Om vi
har gott om bakterier är det troligen rimligt att anta att denna nedbrytningshastighet
är proportionell mot mängden förorening:
k(x, t) = µρ(x, t).
Detta ger oss därför följande differentialekvation som beskriver densiteten
∂t ρ = −c∂x ρ − µρ.
Ett flöde, såsom i föregående exempel, där vi hela tiden känner hastigheten u(x, t) kallas
ett konvektivt flöde. En sorts diametral motsats diskuteras i nästa exempel.
Exempel 2 Betrakta encelliga djur i en stillastående vätska. Dessa rör sig mer eller
mindre slumpmässigt åt olika håll. Vad är det som bestämmer hur ett visst djur rör
sig i ett visst ögonblick?
En rimlig modell är att det endast är den allra närmaste omgivningen som påverkar
dess “beslut”. En enkel modell, som går under namnet Ficks lag, säger att de flödar
Några partiella differentialekvationer med våglösningar
4 (17)
mot koncentrationsgradienten:
q = −D ∂x ρ.
Om ∂x ρ > 0 ökar tätheten när vi rör oss åt höger, och djuret väljer därför att röra
sig åt vänster (så att q < 0). Omvända påståendet gäller också. Detta ger oss att
∂t ρ = −∂x (−D∂x ρ) = D∂x2 ρ.
Ekvationen
∂t ρ = D ∂x2 ρ
kallas i dessa sammanhang diffusionsekvationen och konstanten D kallas då diffusionskoefficienten.
Anmärkning Diffusionsekvationen går ibland under namnet värmeledningsekvationen.
Enligt Fouriers värmeledningslag uppfyller nämligen temperaturen i en masshomogon
kropp med konstant värmekapacitivitet samma ekvation som ρ. I detta fall kallas D
för värmeledningstalet.
Vandrande vågor och karakteristiska kurvor
Vi ska nu se på hur man kan lösa konvektionsekvationer då vi känner hastigheten u(x, t).
Vi börjar med det enklaste fallet, när hastigheten är konstant.
För att konkretisera det hela tänker vi oss ett stort antal bilar på en oändligt lång väg.
Dessa antas beskrivna av en täthetsfunktion ρ(x, t) vilken vid tiden t = 0 är lika med en
given funktion ρ0 (x). Vidare antas trafiken flyta med jämn hastighet c och det finns inga
av- eller påfarter till vägen. Då gäller att tätheten ρ ska uppfylla
∂t ρ + c∂x ρ = 0,
ρ(x, 0) = ρ0 (x).
Hur ser då x → ρ(x, t) ut vid en senare tidpunkt t? Rent intuitivt gäller att den har en
oförändrad form men hela tiden kontinuerligt flyttas med jämn fart åt höger. Mer precist,
en bil som är i punkten x vid tiden t, var i punkten x − ct vid tiden noll och omgivningen
nu ser likadan ut som då, bara på en ny plats. Det betyder att tätheten vid tiden t borde
ges av uttrycket ρ(x, t) = ρ0 (x − ct).
y
y = ρ0 (x − ct)
y = ρ0 (x)
x
ct
Några partiella differentialekvationer med våglösningar
5 (17)
Vi ska nu härleda detta matematiskt, så att vi får en metod att lösa även mer komplicerade
problem. Låt oss följa med en bil som befinner sig i punkten x0 vid tiden noll. Vid tiden
t befinner sig denna i punkten x = x0 + ct. Vi betraktar därför funktionen
r(t) = ρ(x0 + ct, t).
Men alla bilar rör sig med samma jämna fart, inga försvinner och inga nya tillkommer.
Då ändrar sig inte tätheten i omgivningen till vår bil. Följaktligen måste r(t) = r(0) =
ρ(x0 , 0) = ρ0 (x0 ) för alla t. Detta får vi matematiskt genom att vi deriverar r(t) m.a.p. t
med hjälp av kedjeregeln:
r0 (t) = ∂x ρ(x0 + ct, t) · c + ∂t ρ(x0 + ct, t) = 0.
I den sista likheten använde vi differentialekvationen. Det gäller alltså att r(t) = r(0) för
alla t – som vi redan insett!
Anmärkning För att ρ(x, t) = ρ0 (x−ct) verkligen ska vara en lösning måste ρ0 vara
i C 1 . Men det är ofta önskvärt att lösa ekvationen även för ρ0 som inte är deriverbara
överallt eller t.o.m. diskontinuerliga. Vi säger då att funktionen ρ är en svag lösning
till ekvationen.
Vi ser att linjerna x = x0 + ct har en speciell betydelse för vår differentialekvation. t
Dessa linjer kallas ekvationens karakteristiker. Genom varje punkt i xt-planet går
precis en karakteristik.
För att få värdet av ρ(x, t) förfar vi på
så sätt att vi ser efter vilken karakteristik
som punkten (x, t) ligger på. Sedan följer
vi denna bakåt till t = 0. Om detta svarar
mot x = x0 (som alltså är x0 = x − ct),
så gäller att ρ(x, t) = ρ(x0 , 0) = ρ0 (x0 ) =
ρ0 (x − ct).
ct
+
x0
=
x
En lösning till en differentialekation i en
rumsvariabel x och en tidsvariabel t som
är en funktion endast av x − ct kallas en
vandrande våg, eftersom den innebär att
starttillstånd förflyttas som en vågfront.
(x, t)
(x0 , 0)
x
Anmärkning Observera att figuren
är missvisande. De två funktionsgraferna som är ritade är y = ρ0 (x) och y = ρ0 (x−ct)
(för ett fixt t). De borde därför inte ritas mot t-axeln, utan vi behöver en tredje axel,
en y-axel, mot vilken funktionerna är ritade.
Karakteristikerna leder fram till en allmän metod att lösa en viss typ av ekvationer. Vi
börjar med ett exempel.
Några partiella differentialekvationer med våglösningar
6 (17)
Exempel 3 Vi ska nu lösa ekvationen i exempel 1, alltså begynnelsevärdesproblemet
∂t ρ + c∂x ρ = −µρ,
ρ(x, 0) = ρ0 (x).
För att hitta ρ(x, t) betraktar vi föroreningarna som vid tiden t = 0 var på platsen
x = x0 . Dessa kommer att följa med floden, som rinner med konstant hastighet
c. Dessa föroreningars läge vid tiden t är då x = x0 + ct. Vi föjer nu med dessa
föroreningar, vilket betyder att vi definierar funktionen
r(t) = ρ(x0 + ct, t).
Vi har då att r(0) = ρ(x0 , 0) = ρ0 (x0 ), och enligt kedjeregeln och enligt differentialekvationen gäller att
r0 (t) = ∂x ρ(x0 + ct, t)c + ∂t ρ(x0 + ct, t) = −µρ(x0 + ct, t) = −µr(t).
Ekvationen r0 (t) = −µr(t) har lösningen r(t) = r(0)e−µt , så vi får att ρ(x0 + ct, t) =
ρ0 (x0 )e−µt . Om vi slutligen inför x = x0 + ct, så blir detta
ρ(x, t) = ρ0 (x − ct)e−µt .
I det här fallet blir alltså lösningen inte en vandrande våg, utan en dämpad sådan,
med dämpningsfaktorn e−µt .
Följande exempel blir användbart längre fram i detta kapitel.
Exempel 4 Vi ska nu skriva upp en formel för den allmänna lösningen till problemet
∂t ρ + c∂x ρ = k,
ρ(x, 0) = ρ0 (x)
där k(x, t) är en känd funktion. Vi inför samma r(t) som ovan och får då
r0 (t) = k(x0 + ct, t),
och alltså att
t
Z
r(t) = r(0) +
k(x0 + cs, s)ds,
0
vilket med x = x0 + ct blir
ρ(x, t) = ρ0 (x − ct) +
Z
0
t
k(x − c(t − s), s)ds.
Vi ska nu se hur man på motsvarande sätt löser den allmänna ekvationen
∂t ρ + ∂x (ρu) = b
Några partiella differentialekvationer med våglösningar
7 (17)
där funktionerna u och b kan vara funktioner inte bara av x och t, utan även av funktionen
ρ som är den vi vill bestämma (dock ej ρ:s derivator). Denna ekvation beskriver tätheten
ρ för en substans som rör sig med en vätska vars hastighet beskrivs av funktionen u. Detta
är det sätt vi ska tänka på ekvationen för att förstå den lösningsmetod vi ska beskriva.
Rent matematiskt är det emellertid lämpligt att skriva ut derivationen av produkten ρu,
så att ekvationen istället får formen
b̃ = b − ρ∂x u.
∂t ρ + u∂x ρ = b̃,
Betrakta nu en partikel i vätskan som vid tiden t = 0 befinner sig i punkten x0 . Låt
x(t) vara denna partikels läge vid tiden t. Eftersom dess hastighet beskrivs av funktionen
u(x, t), men också at x0 (t), så ser vi att x(t) bestäms av differentialekvationen
x0 (t) = u(x(t), t),
x(0) = x0 .
Allmänt gäller att lösningarna till denna ekvation kallas konvektionsekvationens karakteristiker. Genom varje punkt i planet går precis en sådan karakteristik.
Vi ska nu se hur tätheten ρ ändrar sig med tiden om vi följer en sådan karakteristik. Mer
precis definierar vi funktionen
r(t) = ρ(x(t), t).
Enligt kedjeregeln gäller då att
r0 (t) = ∂x ρ(x(t), t) · x0 (t) + ∂t ρ(x(t), t) = ∂t ρ(x(t), t) + u(x(t), t)∂x ρ(x(t), t) = b̃(x(t), t).
Högerledet kan här uppfatta som en funktion B av t och r(t), så vi får en differentialekvation
r0 (t) = B(t, r(t)).
Vidare vet vi att r(0) = ρ(x0 , 0). Vi kan nu försöka lösa ekvationen på följande sätt:
bestäm funktionen r(t) ur ovanstående differentialekvation. Den kommer då att vara en
funktion av x0 och t. Vi kan sedan uttrycka x0 som funktion av x och t med hjälp av
karakteristikerna. Ur det får vi den okända funktionen ρ(x, t).
Förhoppningsvis klarnar denna metod om vi genomför ytterligare ett exempel.
Exempel 5 Antag att hastighetsvektorn u ges av u(x, t) = x och att det inte finns
några källor eller brunnar. Vi vill alltså lösa ekvationen
∂t ρ + ∂x (ρx) = 0,
ρ(x, 0) = ρ0 (x).
Vi deriverar ut produkten och får ekvationen
∂t ρ + x∂x ρ = −ρ.
Karakteristikerna ges av lösningarna till ekvationen
x0 (t) = x(t),
x(0) = x0 ,
alltså av x(t) = x0 et . Funktionen r(t) = ρ(x(t), t) löser ekvationen
r0 (t) = −r(t),
r(0) = ρ0 (x0 ),
Några partiella differentialekvationer med våglösningar
8 (17)
och är därför
t
−t
r(t) = ρ0 (x0 )e .
x0 e t
x=
Men vi har att x0 = x(t)e−t , så om vi sätter in definitionen
av r(t) i uttrycket ovan får vi att
(x, t)
ρ(x(t), t) = ρ0 (x(t)e−t )e−t .
Så om vi befinner oss i punkten (x, t), så gäller att
(x0 , 0)
x
ρ(x, t) = ρ0 (xe−t )e−t .
Kvasi-lineära ekvationer
Metoden att lösa en konvektionsekvation som bygger på att man följer karakteristikerna
fungerar också bra om hastighetsfunktionen u beror av ρ (men inte dess derivator). Vi ska
se närmare på detta, och de intressanta komplikationer som kan inträffa, i det enklaste
fallet när u = u(ρ) endast beror av ρ, och alltså av t, x endast genom ρ. Vi har då att
flödet har formen q = ρu(ρ) och konvektionsekvationen utan produktion/konsumtion har
utseendet
∂t ρ + ∂x q(ρ) = 0.
Om vi definierar a(ρ) = q 0 (ρ) får denna formen
∂t ρ + a(ρ)∂x ρ = 0.
Karakteristikerna till denna differentialekvation är lösningen till differentialekvationen[1]
x0 (t) = a(ρ(x(t), t), t).
Om vi nämligen följer en sådan, d.v.s. betraktar funktionen r(t) = ρ(x(t), t), så gäller att
r0 (t) = ∂x ρ(x(t), t)x0 (t) + ∂t ρ(x(t), t) = (a(ρ)∂x ρ + ∂t ρ)(x, t) = 0,
vilket betyder att r(t) = r(0) för alla t.
Enda problemet är att vi inte känner ρ, och alltså har problem att beräkna x(t). Men
det gör inte så mycket. Om nämligen karakteristiken går genom punkten (x0 , t0 ) och
ρ0 = ρ(x0 , t0 ), så gäller att ρ(x(t), t) = ρ0 för alla t. Då är alltså x0 (t) = a(ρ0 ) och därmed
x − x0 = a(ρ0 )(t − t0 ).
Karakteristikerna är räta linjer, men med olika lutningar a(ρ0 ), vilka här kallas den lokala
våghastigheten. Känner vi ρ(x, 0) = ρ0 (x) borde vi därför kunna bestämma ρ. Vi har ju
längs en karakteristik som går genom (x0 , 0) att
ρ(x, t) = ρ(x0 , 0) = ρ(x − a(ρ0 (x0 ))t, 0) = ρ0 (x − a(ρ0 (x0 ))t),
Några partiella differentialekvationer med våglösningar
9 (17)
som liknar en vandrande våg. Problemet är bara att våghastigheten är lokal, d.v.s. varierar
med startpunkt. Detta leder till speciella problem, vilka vi nu ska se närmare på.
Som exempel tänker vi oss trafiken på en tättrafikerad väg. Ser vi på denna från ett
tillräckligt långt avstånd kan vi inte urskilja de enskilda bilarna, utan tänker oss dessa
beskrivna i form av en täthetsfunktion ρ. Vi antar att den hastighet en bil håller på vägen
bestäms av hur tätt det är mellan bilarna. Låt um vara den maximalt tillåtna hastigheten
(som vi antar inte överskrids!) och låt ρm vara den maximala tätheten av bilar som är
möjlig (som svarar mot att bilarna står stötfångare mot stötfångare). En enkel modell för
vilken hastighet en enskild förare väljer ges då av
u(ρ) = um (1 −
ρ
).
ρm
Den är naturligtvis bara en av många möjliga modeller, och kallas Greenshields modell.
I denna modell ges flödet av
ρ
),
q(ρ) = um ρ(1 −
ρm
vars derivata är
a(ρ) = um (1 −
2ρ
).
ρm
Detta är formeln för den lokala våghastigheten. Vi ska nu se närmare på två exempel.
Exempel 6 Betrakta en kolonn bilar som står och väntar vid ett rödljus. Vi placerar
trafikljuset i x = 0 och antar att det varit rött så länge att det inte finns några bilar
till höger om det, men en oändlig rad bilar, stötfångare mot stötfångare, till vänster
om det. Vi har alltså utgångstätheten
(
ρm
om x ≤ 0
ρ0 (x) =
.
0
om x > 0
Funktionen ρ0 (x) har ett hopp i x = 0. Vi får att den lokala våghastigheten för
punkter x0 till vänster om trafikljuset är a(ρm ) = −um , medan den till höger är
a(0) = um . Detta ger karakteristikerna
a) Om x0 > 0 är den x = x0 + um t.
b) Om x0 < 0 är den x = x0 − um t.
Ritar vi ut dessa i xt-planet, ser vi att de fyller ut hela övre halvplanet utom konen
|x| ≤ um t. Den högra biten av detta, som utgörs av linjer med positiv lutning,
representerar punkter (x, t) till vilka trafiken inte nått (trafiken har vid tiden t inte
nått punkten x. Den del i andra kvadranten som utgörs av karakteristiker med
negativ lutning representerar i sin tur punkter där trafiken inte börjat röra på sig
(tätheten är maximal här) efter det att det blev grönt ljus. Ju längre tid det gått,
desto längre bak i den ursprungliga kön står bilarna ännu stilla.
Några partiella differentialekvationer med våglösningar
10 (17)
t
x
Men vad händer i det konformade området som inte innehåller några karakteristiker
som utgår ifrån x-axeln. Vi förväntar oss att tätheten här avtar från maximivärdet
ρm på randen x = −um t till värdet 0 i motsvarande punkt x = um t. Den första
bilen som kan röra sig kör med maximihastighet um eftersom tätheten framför den
är noll. Bilarna bakom kommer att starta mer långsamt, vilket innebär en successiv
uttunning av trafiken.
För att få matematisk ordning på detta betraktar vi punkten (x, t) i konen. Ur
formeln för a(ρ) kan vi lösa ut ρ som
ρ=
a(ρ)
ρm
(1 −
),
2
um
och eftersom vi är i konen ska denna täthet uppfylla 0 < ρ < ρm . Punkten (x, t) ligger
vidare på en karakteristik och vi vet att dessa är räta linjer. Enda möjligheten för
detta är att den går genom diskontinuitetspunkten origo. Karakteristiken ska alltså
ha en ekvation x = a(ρ)t, d.v.s. a(ρ) = x/t. Stoppar vi in detta i formeln för ρ ovan
får vi att
x
ρm
(1 −
).
ρ(x, t) =
2
um t
Vid en given tidpunkt representerar detta en avtagande linjär funktion från maximivärdet ρm i x = −um t till värdet noll i x = um t. Punkten −um t är platsen för
nästa bil som börjar röra sig tid tiden t, medan um t är avståndet vid tiden t från
ljuset till den första bilen i den ursprungliga kön (den kör med maximal hastighet).
Startsignalen för bilarna rör sig bakåt med hastigheten um .
Betrakta den bil som vid tiden för grönt ljus befinner sig på avståndet x0 från detta.
Dess startsignal kommer då vid tiden t0 = (−x0 )/um . När de senare är i punkten
(x, t) har den hastigheten
u(x, t) = um (1 −
ρ
1 ρm
x
1
x
) = um (1 −
(1 −
)) = (um + ).
ρm
ρm 2
um t
2
t
Några partiella differentialekvationer med våglösningar
11 (17)
Differentialekvationen för dess väg är därför
x(t)
1
),
x0 (t) = (um +
2
t
x(t0 ) = x0 .
Löser vi detta kan vi bestämma denna bils väg och hastighet vid olika tidpunkter.
Exempel 7 Vi betraktar nu det omvända problemet till det i föregående exempel,
nämligen en plötslig inbromsning. Vi har alltså snabbare trafik bakom en långsammare,
vilket betyder att en abrupt ökning av tätheten är att vänta någonstans. Vi tänker
oss att vi möter problemet när en trafik med tätheten ρm /4 plötsligt möter en stillastående kö (med täthet ρm ). Första krocken ska just till att hända. I det ögonblicket
har vi starttätheten
(
ρm /4 då x < 0
.
ρ0 (x) = ρ(x, 0) =
ρm
då x > 0
Vi har att
a(ρm /4) = um /2,
a(ρm ) = −um ,
varför vi har karakteristikerna
a) Om x0 > 0 är den x = x0 − um t,
b) Om x0 < 0 är den x = x0 + um t/2.
Om vi ritar ut dessa linjer i planet finner vi denna gång inte en kon utan linjer, utan
ett konformat område i vilket varje punkt ligger på två karakteristiker. Detta sklle
medföra att tätheten i detta område har två olika värden, vilket är orimligt. Hur
löser vi det problemet?
t
x
Några partiella differentialekvationer med våglösningar
12 (17)
Intuitivt gäller att bilarna krockar och att det bör spridas en “krockvåg” bakåt med
tiden. Men hur ska vi finna denna “krockvåg”? För det första innebär denna att
täthetsfunktionen ρ(x, t) inte är en kontinuerlig funktion. Mer precist, det finns en
kurva x = ξ(t) sådan att funktionen ρ(x, t) för fixt t har en diskontinuitet i ξ(t). Men
då duger inte härledningen av den grundläggande ekvationen längre! Den förutsatte
att ρ var deriverbar med kontinuerlig derivata.
Vi går därför ett steg bakåt och påminner oss om massbalansekvationen
Z
d b
ρ(x, t)dx = q(a, t) − q(b, t)
dt a
som bildade grunden för härledningen av den partiella differentialekvation vi studerar. Antag att a < ξ(t) < b, så att intervallet innehåller diskontinuitetspunkten. Vi
ska då utnyttja att
b
Z
ξ(t)
Z
ρ(x, t)dx =
a
Z
b
ρ(x, t)dx +
a
ρ(x, t)dx,
ξ(t)
där ingen av integralerna i högerledet innehåller någon diskontinuitetspunkt. Där där
skulle vi därför kunna flytta in tidsderivatan om det inte vore för det lilla problemet
att integrationsgränsen också beror av t. Men om vi sätter
Z u
F (u, t) =
ρ(x, t)dx
a
så gäller att den första integralen är F (ξ(t), t), och deriverar vi den med hjälp av
kedjeregeln får vi att
d
dt
Z
ξ(t)
Z
ρ(x, t)dx =
a
ξ(t)
∂t ρ(x, t)dx + ξ 0 (t)ρ(ξ(t), t).
a
Utnyttjar vi detta på båda integralerna får vi att massbalanskevationen kan skrivas
Z b
∂t ρ(x, t)dx + ξ 0 (t)(ρ− − ρ+ ) = q(a, t) − q(b, t).
a
Här gäller att ρ+ är högergränsvärdet av ρ(x, t) då x → ξ(t) och ρ− motsvarande
vänstergränsvärde. Låter vi nu a närma sig ξ(t) från vänster och b närma sig ξ(t)
från höger, så får vi (med analoga beteckningar för gränsvärden av q) att
ξ 0 (t)(ρ− − ρ+ ) = q− − q+ .
Om ingående funktioner är kontinuerliga står här bara att 0 = 0. Det är därför vi
inte stött på detta hoppvillkor tidigare. Nu har vi emellertid råkat i en situation när
vi behöver det, nämligen till att bestämma diskontinuitetskruvan x = ξ(t).
Några partiella differentialekvationer med våglösningar
13 (17)
I vårt exempel har vi att ρ+ = ρm och ρ− = ρm /4. Vidare gäller att q+ = 0 och
q− = 3um ρm /4, vilket ger oss att
ξ 0 (t) = −um .
Vidare är ξ(0) = 0, så vi får att diskontinuitetskurvan är den räta linjen
ξ(t) = −um t.
Det är lätt att förstå varför man säger att detta är karakteristiken för en chock-våg.
Den talar om var diskontinuiteten i trafiktätheten är vid varje tidpunkt, d.v.s. är
gränsen mellan stillastående bilar och körande bilar. Denna chock-våg rör sig bakåt
(har du sett en vågrörelse av röda bromsljus slå emot dig i tät trafik har du stött på
denna chock-våg i verkligheten.)
Anmärkning Dessa två exempel har det gemensamma att vi har en start-täthet
som var diskontinuerlig i en punkt. I det första fallet lyckades vi trots det finna en
snäll, kontinuerlig lösning på vårt problem för alla positiva tider. I det andra fallet
blev vi inte av med diskontinuiteten utan den spred sig i form av en chock-våg. Om vi
hade rundat av startfunktionen lite, så att den inte var diskontinuerlig, så skulle det
inte förvåna oss att vi får en snäll lösning i det första exemplet. I det andra däremot
blir vi inte av med chock-vågen! Den är inte en konsekvens av en diskontinuerlig
startfunktion, utan resultatet av att hastigheten på bakomvarande bilar är högre än
på framförvarande.
Om ljudvågor och vågekvationen
När ljud går genom en gas sätts gasmolekylerna i små svängningar i ljudets riktning.
Gasens täthet ρ är inte konstant, utan beror av trycket p. Om vi antar att de förtunningar
och förtjockningar som äger rum i gasen då partiklarna svänger sker så långsamt att
temperaturen väsentligen är konstant, och gasen dessutom är en ideal gas, så gäller enligt
allmänna gaslagen att
p = kρ.
Anmärkning För många gaser kan man inte anta detta enkla samband mellan p
och ρ, utan måste hänvisa till termodynamiken för att få en annan relation mellan
tryck och täthet:
p = p(ρ).
Några partiella differentialekvationer med våglösningar
14 (17)
Om vi låter u vara gashastigheten, så har vi från ovan ekvationen ∂t ρ = −∂x (ρu). Sambandet p = kρ ger att ∂t p = k∂t ρ, så vi får följande ekvation mellan tryck och täthet:
∂t p + k∂x (ρu) = 0.
Denna ekvation, som beskriver massbalansen för gasen, kompletteras med en liknande
som bygger på Newtons andra lag
d(mv)
=F
dt
där mv = massan·hastigheten=rörelsemängden och F kraften. I vårt fall ges rörelsemängden
av uttrycket ρu, och är alltså inget annat än det vi tidigare kallade flödet.
Betrakta nu åter ett litet intervall [a, b]. Den totala rörelsemängden vid tiden t i detta
intervall ges då av uttycket
Z
b
ρ(x, t)u(x, t)dx.
a
Ändringen i rörelsemängd per tidsenhet bestäms av två saker: flödet av rörelsemängd ut
och in i intervallet och den kraft som påverkar intervallet i dess ändpunkter. Flödet av
rörelsemängd ges av Q = (ρu)u = ρu2 . Nettoflödet över intervallet är därför Q(a, t) −
Q(b, t). Då vidare den kraft som påverkar intervallet ges av p(a, t) − p(b, t) säger Newtons
andra lag att
Z
d b
ρ(x, t)u(x, t)dx = Q(a, t) − Q(b, t) + p(a, t) − p(b, t),
dt a
och detta är sant för alla sådana intervall. Stoppar vi in tidsderivatan i vänsterledet under
integraltecknet och sedan deriverar relationen m.a.p. b får vi följande ekvation:
∂t (ρu) = −∂x (ρu2 ) − ∂x p.
Sammanfattningsvis har vi alltså följande system av ekvationer:
(
∂t p + k∂x (ρu) = 0
∂t (ρu) + ∂x (ρu2 ) + ∂x p = 0
Som de står är dessa ekvationer svåra att analysera. Vi ska emellertid göra approximationer som gör det möjligt för oss att bestämma de ingående funktionerna i det fall som
är realistiskt för ljudvågor, nämligen när gasens rörelse är liten. Vi gör detta genom att
linjärisera ekvationerna.
Ett jämviktsläge har vi när basen “står stilla”, d.v.s. u(x, t) = 0, ρ(x, t) = ρ0 och p(x, t) =
p0 . Här är ρ0 gasens vilotäthet och p0 dess vilotryck. Ofta är man intresserad av små
avvikelser från detta. Vi kan skriva sådana avvikelser på formen
u = u1 ,
ρ = ρ0 + ρ1 ,
p = p0 + p1 ,
där > 0 är ett litet tal. Då gäller att ρu = ρ0 u1 + 2 ρ1 u1 ≈ ρ0 u1 och därför att ρu2 ≈ 0.
Inför vi dessa approximationer i ekvationerna och dividerar med får vi de linjäriserade
ekvationerna
(
∂t p1 + kρ0 ∂x u1 = 0
.
ρ0 ∂t (u1 ) + ∂x p1 = 0
Några partiella differentialekvationer med våglösningar
15 (17)
Dessa linjäriserade ekvationer används inom t.ex. akustiken.
Vi kan lätt härleda en enda ekvation för vilken som helst av funktionerna u1 och p1 . T.ex.
har vi att
∂t2 p1 = −kρ0 ∂t (∂x u1 ) = −kρ0 ∂x (∂t u1 ) = −k∂x (−∂x p1 ) = k∂x2 p1 .
√
Det är bekvämt att införa c = k. Vi har då att både u = p1 och u = u1 uppfyller
vågekvationen
∂t2 u = c2 ∂x2 u.
För att lösa vågekvationen skriver vi om denna ekvation som
(∂t − c∂x )(∂t u + c∂x u) = 0.
Om vi därför sätter
v(x, t) = ∂t u(x, t) + c∂x u(x, t)
så ska v lösa ekvationen
∂t v − c∂x v = 0.
Men den vet (ersätt c med −c i diskussionen ovan) vi har den allmänna lösningen
v(x, t) = f (x + ct).
För att finna u(x, t) ska vi därför lösa ekvationen
∂t u(x, t) + c∂x u(x, t) = f (x + ct).
Men vi såg ovan att den allmänna lösningen till den ekvationen är
Z t
Z t
f (x + cs)ds
f (x + ct − c(t − s))ds = G(x − ct) +
u(x, t) = G(x − ct) +
0
0
= F (x + ct) + G(x − ct)
där F 0 = f . Här är alltså både F och G godtyckliga funktioner.
Strikt sett måste F och G vara i C 2 för att vara en lösning till vågekvationen, men vi kan
uppfatta u(x, t) = F (x + ct) + G(x − ct) som en svag lösning till ekvationen även om så
inte är fallet.
För t = 0 har vi att u(x, 0) = G(x) + F (x). Geometriskt betyder då formeln för u(x, t)
att funktionen u(x, 0) splittras i två vågor som går åt vart sitt håll på x-axeln med
hastigheten c.
y
y = F (x) + G(x)
y = F (x + ct)
y = G(x − ct)
x
Några partiella differentialekvationer med våglösningar
16 (17)
D’Alemberts formel
Vi har sett att vågekvationen
∂t2 u = c2 ∂x2 u,
x ∈ R, t > 0
har den allmänna (svaga) lösningen
u(x, t) = F (x + ct) + G(x − ct).
Vi har också sett att för att F och G ska bli fullständigt specificerade räcker det inte med
att ange u(x, 0). Vanligen föreskriver man s.k. Cauchy-data
u(x, 0) = f (x),
x ∈ R.
∂t u(x, 0) = g(x),
Att anpassa F och G till dessa Cauchy-data innebär att vi skall lösa
F (x) + G(x) = f (x),
c(F 0 (x) − G0 (x)) = g(x),
x ∈ R.
Genom att integrera den andra ekvationen får vi det ekvivalenta systemet
Z
1 x
F (x) + G(x) = f (x),
F (x) − G(x) =
g(s)ds + F (0) − G(0).
c 0
Löser vi detta får vi, med C = F (0) − G(0)

1


F (x) = (f (x) +
2
1


G(x) = (f (x) −
2
Z
1 x
g(s)ds + C)
c 0
Z x
.
1
g(s)ds − C)
c 0
Sätter vi in detta i formeln för u(x, t) försvinner C och vi får ur att u(x, t) = F (x + ct) +
G(x − ct) att
Z
1
1 x+ct
g(s)ds).
u(x, t) = (f (x + ct) + f (x − ct) +
2
c x−ct
Vi ser att om f är i C 2 och g i C 1 så löser denna funktion verkligen vågekvationen med
Cauchy-data. Om f eller g är mindre reguljär än så säger vi att u(x, t) är en svag lösning
till vågekvationen.
t
c(
t−
=
0
t−
c(
x
−
−
=
)
t0
x
x0
x0 − ct0
−
t0
)
(x0 , t0 )
x
Ur d’Alemberts formel följer att u:s värde
i punkten (x, t) är entydigt bestämt av f :s
värde i de två punkterna x ± ct samt g:s
värden i hela intervallet (x−ct, x+ct). För
att se i vilka punkter f och g måste vara
kända för att u(x0 , t0 ) ska vara känd, drar
vi därför linjerna x − x0 ± c(t − t0 ) = 0
från (x0 , t0 ) tills de skär x-axeln. Dessa
två skärningspunkter bestämmer ett intervall, nämligen [x0 − ct0 , x0 + ct0 ], och det
är f :s och g:s värden här som bestämmer
x0 + ct0
x
Några partiella differentialekvationer med våglösningar
17 (17)
u(x0 , t0 ). Vi ser att linjerna x+ct = konstant och x−ct = konstant har en speciell innebörd
då vi studerar vågekvationen. Vi kallar dem för vågekvationens karakteristiker. Genom
en given punkt (x0 , t0 ) går precis två karakteristiker, nämligen x − x0 ± c(t − t0 ) = 0.
Om vi genom punkten (x, 0) drar de två karakteristikerna ser vi att i övre halvplanet är
det endast punkterna på dessa karakteristiker som påverkas av f :s värde i x. Däremot
påverkar g:s värde i x lösningen u i hela det streckade området i figuren.