Geometri. G - Skolverket

Geometri. G
Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna
behärskar grundläggande geometriska begrepp och
metoder.
Området består av följande tre (fyra) delområden:
MGF Förberedande mätning och geometri som
finns på område Mätning
Strukturschemat visar att delområdena hänger ihop på
så vis att Diagnosen Förberedande mätning och geometri (MGF) innehåller förkunskaper till alla delområden inom Mätning och Geometri. Strukturschemat
visar också att Geometriska former (GFo) är förkunskap till delområdet vinklar (GVi).
GFo Geometriska former
GSkSkala
GViVinklar
MGF Förberedande
Mätning och Geometri
GVi Vinklar
GFo Geometriska former
Hela G
GSk Skala
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EM AT I K
1
kommentarer
Med hjälp av diagnoserna inom detta område
kan man ta reda på kvalitet och omfattning av de
begrepp och metoder som eleven har inom geometri
för att kunna utveckla förmågan att:
– lösa problem med hjälp av matematik samt värdera
valda strategier och metoder.
– använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp.
– välja och använda lämpliga matematiska metoder för
att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter
– föra och följa matematiska resonemang
Geometri
Diagnosområdet i relation till syfte och
centralt innehåll i kursplanen i matematik
I kunskapskrav för godtagbara kunskaper i årskurs 3
finns följande: – Dessutom kan eleven använda grundläggande geometriska begrepp och vanliga lägesord för att
beskriva objekts egenskaper, läge och inbördes relationer.
Egenskaper hos objekt beskrivs oftast med begrepp
såsom sida, hörn, vinkel, parallell, kongruent, symmetri, diagonal etc. som eleven alltså ska kunna använda.
I kunskapskravet uttrycks det också att: Eleven kan
även avbilda och utifrån instruktioner, konstruera enkla
geometriska objekt. Eleven ska alltså själv aktivt kunna
rita (skapa) och beskriva olika fyrhörningar, trianglar
och cirklar och då använda korrekta ord och begrepp.
– använda matematikens uttrycksformer för att …
­redogöra för … beräkningar och slutsatser
Årskurs 4–6
Området Geometri är rikt på begrepp, det börjar redan
med namn på de vanligaste plana geometriska figurerna. Begrepp och terminologi utvecklas sedan till att
omfatta fler polygoner, kroppar samt att urskilja och
namnge deras egenskaper, då blir exempelvis vinkel ett
viktigt begrepp. Avbildning och geometriska konstruktioner är ett viktigt innehåll för att skapa förståelse för
geometri, då blir också skalbegreppet centralt.
– Grundläggande geometriska begrepp däribland polygoner, cirklar, klot, koner, cylindrar, pyramider och
rätblock samt deras inbördes relationer. Grundläggande
geometriska egenskaper hos dessa objekt.
Diagnoserna ger eleven möjlighet att visa kunskap
inom följande centrala innehåll:
Årskurs 1–3
Geometri:
– Grundläggande geometriska objekt, däribland punkter,
linjer, sträckor, fyrhörningar, trianglar, ­cirklar, klot,
koner, cylindrar och rätblock samt ­deras inbördes
relationer. Grundläggande geometriska egenskaper hos
dessa objekt.
– Konstruktion av geometriska objekt. Skala vid enkel
förstoring och förminskning.
– Vanliga lägesord för att beskriva föremåls och o­ bjekts
läge i rummet.
– Symmetri, till exempel i bilder och i naturen, och hur
symmetri kan konstrueras.
Geometri:
– Konstruktion av geometriska objekt. Skala och dess
användning i vardagliga situationer.
– Symmetri i vardagen, i konst och i naturen samt hur
symmetri kan konstrueras.
– Jämförelse, uppskattning och mätning av… vinkel med
vanliga måttenheter.
Konstruktion kan tolkas som att eleverna ska känna till
hur en tredimensionell kropp kan byggas av tvådimensionella figurer. I kunskapskraven i slutet av årskurs 6
finns ingen direkt beskrivning i relation till det centrala
innehållet men det är nödvändigt att behärska olika
geometriska begrepp för att kunna visa olika grad av
förmåga. Enligt kunskapskraven är strävan att eleven
ska utveckla sina kunskaper om matematiska begrepp
och visa det genom att använda dem i nya sammanhang på ett väl fungerande sätt. Eleven ska även kunna
beskriva olika begrepp med hjälp av matematiska uttrycksformer. I beskrivningarna ska eleven kunna föra
resonemang kring hur begreppen relaterar till varandra.
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EM AT I K
K
2
kommentarer
K
Årskurs 7–9
Geometri:
Geometri
– Geometriska objekt och deras inbördes relationer.
Geometriska egenskaper hos dessa objekt.
– Avbildning och konstruktion av geometriska objekt.
Skala vid förminskning och förstoring av två och
­tredimensionella projekt.
– Likformighet och symmetri i planet.
– Geometriska satser och formler och behovet av
­argumentation för deras giltighet.
I kunskapskraven i slutet av årskurs 9 finns ingen
direkt beskrivning i relation till det centrala innehållet,
men det är nödvändigt att förstå begrepp och satser,
exempelvis likformighet och Pythagoras sats, och med
detta kunna utföra olika beräkningar för att kunna visa
olika grad av förmåga.
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EM AT I K
3
kommentarer
K
Didaktiska kommentarer till område G
Elever behöver få träna sig i att avbilda verkligheten
ur olika perspektiv och låta vår tredimensionella värld
representeras tvådimensionellt och vice versa.
Likaså att få ha olika kroppar till hands och undersöka dem för att så småningom kunna se och förändra
olika objekt mentalt. När man arbetar med geometriska figurer och kroppar är det också viktigt att variera
de exempel som presenteras för eleverna. En pyramid
exempelvis ska inte alltid åskådliggöras med den pyramid som består av en kvadratisk bottenyta och fyra
triangulära sidoytor. En pyramid kan även ha en femhörning till bottenyta eller en triangel. Om bottenytan
är en liksidig triangel och sidoytorna liksidiga trianglar
är denna pyramid även en regelbunden tetraeder. På
detta sätt kan geometriska begrepp och deras samband
och relationer diskuteras.
Eleverna behöver också förstå skillnad mellan att
”rita” en figur och att konstruera den med hjälp av
­passare och linjal. Detta tillsammans med kunskap
om en del av geometrins grundläggande satser skapar
möjlighet för eleverna att kunna resonera, argumentera
och dra slutsatser om geometriska samband.
I kursplanens centrala innehåll nämns även Geometriska satser och formler. Det handlar då inte om
formella bevis enligt Euklides, utan om att bygga upp
en känsla för geometrins struktur och att uppleva de
estetiska värden som geometrin kan erbjuda. En del
av diagnoserna i området förutsätter att eleverna har
en god taluppfattning och behärskar grundläggande
aritmetik. Vidare krävs för några diagnoser att eleven
också behärskar mätning och uppskattning av längd,
area och volym.
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EM AT I K
4
Geometri
Geometri är ett av de centrala områdena i matematiken och behandlar rummets struktur, form och storlek
samt egenskaper hos geometriska figurer och kroppar.
Skolans undervisning handlar om olika aspekter av
geometri, dels rumsuppfattning, dels en mer formell
geometri. Rumsuppfattning handlar om att orientera
sig i rummet/omvärlden och att kunna beskriva föremåls lägen i rummet. Detta diagnostiseras i diagnosen
Förberedande mätning och geometri, och även i diagnosen Skala. Den mer formella geometrin handlar
inledningsvis om att känna igen och klassificera olika
geometriska figurer och kroppar och att känna till
viktiga egenskaper hos dessa. En hel del av detta utgår
från begreppet symmetri som därför har en central
plats i den grundläggande geometriundervisningen.
Andra centrala begrepp inom den plana geometrin är sidor och vinklar. Motsvarande begrepp inom
rymdgeometrin är sidor (sidoytor), kanter och hörn.
Terminologin är dock tvetydig. En kub har t.ex. sex
sidor (sidoytor) som är begränsade av kanter. Varje
sådan sida är en kvadrat som i sin tur begränsas av fyra
sidor (!).
De sex kvadraternas sidor är alltså kanter till kuben.
Det är viktigt att det sker en progression i undervisningen när det gäller begrepp och terminologi och att
elevernas begreppsförråd utvecklas och fördjupas.
Vinklar är ett centralt begrepp inom såväl den plana
geometrin som inom rymdgeometrin. Det är bl.a. med
hjälp av vinklarna man kan skilja en romb från en kvadrat och avgöra att vissa parallellepipeder är rätblock.
Den räta vinkeln har således en särskild betydelse.
För att utveckla elevers rumsuppfattning bör man i
undervisningen låta teorin växelverka med praktiken.
kommentarer
K
Geometri. Alla diagnoser
Geometri
MGF Förberedande
Mätning och Geometri
GVi1 Vinklar
GVi2 Vinklar, samband
GFo8 Geometrisk
konstruktion
GFo1 Grundläggande
symmetri
GFo2 Avbildning
GSk1 Avbildning
och perspektiv
GFo3 Plana figurer
GFo5 Likformighet,
begrepp
GSk2 Förstoring
och förminskning
GFo4 Kroppar
GFo6 Likformighet,
beräkning
GSk3 Avläsa kartor
och ritningar
GFo7 Pythagoras sats
AUp4 Kvadratrötter
GSk4 Längd-, areaoch volymskala
GVi3 Vinklar
problemlösning
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EM AT I K
5
kommentarer
K
Geometriska former. GFo
GFo1 Grundläggande symmetri
GFo2 Avbildning
GFo3 Plana figurer
GFo4Kroppar
GFo5 Likformighet, begrepp
GFo6 Likformighet, beräkningar
GFo7 Pythagoras sats
Sambandet mellan de olika diagnoserna ser du i
strukturschemat nedan. MGF, Förberedande mätning och geometri, utgör förkunskaper även för det
här delområdet. Eftersom symmetri är en viktig grund
för all geometri finns två diagnoser om symmetri och
avbildning, GFo1 och GFo2. Av dessa omfattar GFo1
förkunskaper till GFo3 och även till GFo2. GFo3
omfattar i sin tur förkunskaper till GFo5 och GFo8,
samtidigt som GFo5 även kräver förkunskaper från
GSk2 och omfattar förkunskaper till GFo6.
GFo8 Geometriska konstruktioner
MGF Förberedande
Mätning och Geometri
GFo8 Geometrisk
konstruktion
GFo1 Grundläggande
symmetri
GFo2 Avbildning
GFo3 Plana figurer
GFo5 Likformighet,
begrepp
GFo4 Kroppar
GFo6 Likformighet,
beräkning
GFo7 Pythagoras sats
AUp4 Kvadratrötter
GSk2 Förstoring
och förminskning
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EM AT I K
6
Geometri
Delområde GFo omfattar följande åtta diagnoser:
kommentarer
K
Didaktiska kommentarer till delområdet GFo
På motsvarande sätt har de flesta rektanglar två symmetrilinjer som skär varandra med räta vinklar. En
rektangel med fyra symmetrilinjer kallas för kvadrat.
Även romben har två vinkelräta symmetrilinjer som
samtidigt är diagonaler. En romb med fyra symmetrilinjer är en kvadrat.
Alla symmetriska figurer kan (klippas ut och) vikas
utefter symmetrilinjerna varvid de två kongruenta
halvorna täcker varandra.
När det gäller de plana månghörningarna, polygonerna, så är de uppbyggda av ett antal sträckor (sidor).
Dessa sträckor bildar vinklar med varandra. Figurerna
benämns i första hand efter antalet hörn: triangel, fyrhörning, femhörning etc. Man skiljer de olika typerna
av figurer med hjälp av sidornas och vinklarnas storlek.
Vissa trianglar är likbenta, andra liksidiga eller rätvinkliga. Bland fyrhörningarna kan man urskilja parallellogrammer vars motstående sidor är lika långa. Vissa av
dem har räta vinklar och kallas då rektanglar, andra har
lika långa sidor och kallas då romber. Om alla sidorna
i en rektangel är lika långa eller om alla vinklarna i en
romb är 90 grader kallas figuren för kvadrat. I polygoner med fler än tre sidor kan man dra diagonaler.
I en fyrhörning kan man dra två diagonaler och i en
femhörning fem diagonaler.
Av de plana figurerna är cirkeln speciell. Från cirkelns periferi är det alltid lika långt till medelpunkten.
Detta avstånd kallas radie och det är radien man ställer
in då man ritar en cirkel med hjälp av en passare. En
sträcka som är en symmetrilinje till cirkeln kallas för
diameter. Diametern går genom cirkelns medelpunkt
och är därför dubbelt så lång som radien.
Eftersom egenskaper som symmetri, kongruens och
likformighet är viktiga begrepp inom geometrin är det
väsentligt att eleverna känner till figurernas namn och
egenskaper. Detsamma gäller för kropparna.
De tredimensionella objekten, kropparna, är lite
mer komplicerade. Det är därför viktigt att eleverna
får se och känna på dessa kroppar och om möjligt även
bygga dem. De kommer då att upptäcka att sidoytorna
(och mantelytan i en cylinder och en kon) består av
plana figurer såsom rektanglar och trianglar (respektive
cirkelsektorer). Det korrekta namnet för ett tredimensionellt objekt är ”kropp”. I elevdiagnosen används ofta
ordet objekt eller föremål.
Det är också viktigt att eleverna kan avbilda kroppar som prisman eller pyramider på ett papper på ett
sådant sätt att de kan rita in en rymddiagonal respektive en höjd. I annat fall blir det svårt att bestämma
längden av rymddiagonalen eller höjden.
Den klassiska geometrin är uppbyggd av definitioner och satser. Det är inte nödvändigt att eleverna
kan bevisa alla dessa satser, men de bör förstå satsernas
innebörd och kunna tillämpa satserna vid problemlösning. En bra metod att lära sig de mest intressanta
satserna inom den plana geometrin, är att utföra mot-
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EM AT I K
7
Geometri
Geometri är ett av de övergripande områdena i matematiken och behandlar rummets natur, form och
storlek samt egenskaper hos geometriska figurer och
kroppar. Den mer formella geometrin handlar inledningsvis om att känna igen och klassificera olika geometriska figurer och kroppar och att känna till viktiga
egenskaper hos dessa. En hel del av detta utgår från
begreppet symmetri som därför har en central plats i
den grundläggande geometriundervisningen.
Centrala begrepp inom den plana geometrin är
sidor, hörn och vinklar. Motsvarande begrepp inom
rymdgeometrin är sidor (sidoytor), kanter och hörn.
Terminologin är dock tvetydig. Exempelvis har en kub
sex sidor (sido-ytor) som är begränsade av kanter.
Varje sådan sida är en kvadrat som i sin tur begränsas
av fyra sidor (!). De sex kvadraternas sidor är alltså
kanter till kuben.
För att kunna följa undervisningen i geometri krävs
det att eleverna behärskar ett antal viktiga begrepp.
Bland dessa ingår de vanligaste geometriska figurerna
och kropparna och deras egenskaper. Symmetri är
ett viktigt begrepp i vår omvärld, och kommer till
uttryck såväl i naturen som i den vardag människan
konstruerat. Symmetri är alltså ett centralt begrepp
inom geometrin och med hjälp av symmetri kan man
klassificera geometriska figurer och lösa en rad geometriska problem. Som exempel har en likbent, men
inte liksidig, triangel en symmetrilinje och en liksidig
triangel tre symmetrilinjer, vilket ger viktig information om vinklarnas inbördes storlek.
kommentarer
Geometri
svarande konstruktioner med passare och linjal. Detta
gäller inte minst förmågan att dela en sträcka, konsturea mittpunktsnormalen till en sträcka, bisektrisen till
en vinkel eller att konstruera den cirkel som omskriver
en triangel.
K
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EM AT I K
8
kommentarer
K
Geometriska former | DIAGNOS GFo1
Geometri
Grundläggande symmetri
Facit
Diagnosen omfattar fyra uppgifter där eleven ges
möjligheter att visa att hon kan avgöra om en figur
är symmetrisk och i förekommande fall rita in alla­
­symmetrilinjer till figuren.
1a Symmetrisk.
1b Ej symmetrisk.
1c Symmetrisk
1dSymmetrisk
2a
Uppgifterna behandlar följande innehåll:
1 Avgöra vilka figurer som är symmetriska.
2 Rita samtliga symmetrilinjer i geometriska figurer.
3 Avgöra vilka bokstäver som är symmetriska.
4 Utgående från en halv symmetrisk figur rita hela
figuren.
2b
Genomförande
Eleverna behöver en linjal. Påpeka gärna att om det
finns flera symmetrilinjer så ska alla ritas ut.
För elever som förstått begreppet symmetri tar det
3–4 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för dessa uppgifter. Det kan därför vara
lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 8 minuter.
Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck
(–) om uppgiften är överhoppad.
2c
Uppföljning
För att få underlag för en uppföljning av diagnosen
kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan
man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på
en uppgift eller om det är många elever. Detta kan
ha stor betydelse för planering och genomförande av
uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå.
Vid planeringen kan du använda det strukturschema
som gäller för området/delområdet.
En enkel övning på symmetri är att vika ett pappersark och rita en halv fjäril, ett halvt blad el. dyl. och sedan
klippa ut figuren i det vikta arket. När man sedan viker
upp arket får man en symmetrisk figur. Man kan också
lägga ett par klickar med vattenfärg på ena halvan av ett
pappersark. Genom att vika ihop arket och trycka till så
överförs färgen till den andra halvan av arket. När man
viker upp arket igen har man en symmetrisk figur.
För att kunna klassificera geometriska figurer är
symmetri ett bra hjälpmedel. En likbent triangel, som
inte är liksidig, har en symmetrilinje och en liksidig
triangel tre. Om en rektangel eller en romb har fler än
två symmetrilinjer så är det en kvadrat.
3a Symmetrisk.
3bSymmetrisk.
3c Ej symmetrisk.
3d Symmetrisk.
3e Ej symmetrisk.
4
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EM AT I K
9
diagnos
D
DIAGNOS GFo1
Geometri
Namn Klass 1 Sätt en ring runt de figurer som är symmetriska.
a) b) c)
d)
2 Rita in alla symmetrilinjer som finns i dessa figurer.
a)
b)
c)
3 Sätt en ring runt de bokstäver som är symmetriska.
a)
A
b)
H
c)
F
d)
M
e)
N
4 Det vänstra pappret är vikt längs symmetrilinjen.
Rita till höger hur hela figuren ser ut.
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
10
Uppgift nr
Elev
1a
1b
1c
11
Geometriska former | DIAGNOS GFo1
1d
2a
2b
2c
3a
3b
3c
3d
3e
4
Kommentarer
DI AMANT – NAT I ONEL L A DI AGNO SER I MAT EMAT IK
resultat
R
Geometri
kommentarer
K
Geometrisk former | DIAGNOS GFo2
Facit
Diagnosen omfattar fem uppgifter där eleven ges
möjlighet att visa att hon kan avbilda figurer genom
spegling och vridning.
1
Geometri
Avbildning
Uppgifterna behandlar följande innehåll:
1–2 Spegling i linje
3
Spegling i sned linje
4–5Vridning
Den här typen av avbildning kallas för kongruensavbildning. Vid spegling i en linje blir den ursprungliga
figuren och bilden spegelvända. Figuren och bilden
bildar tillsammans en ny figur som är symmetrisk och
med den givna linjen som symmetrilinje. Även vid
vridning blir bilden kongruent med den givna figuren,
men bilden är nu ”rättvänd”.
2
Genomförande
Eleverna behöver en linjal. Påpeka gärna att de ska vara
noggranna när de ritar.
För elever som förstått hur avbildning går till tar
det 5–6 minuter att genomföra diagnosen. Elever som
använder betydligt längre tid saknar i allmänhet kunskaper för denna typ av uppgifter. Det kan därför vara
lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 10 minuter.
Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck
(–) om uppgiften är överhoppad.
Uppföljning
För att få underlag för en uppföljning av diagnosen
kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan
man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på
en uppgift eller om det är många elever. Detta kan
ha stor betydelse för planering och genomförande av
uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå.
Vid planeringen kan du använda det strukturschema
som gäller för området/delområdet. Här kan man se
vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och
var bristerna kan ha sin grund. Diagnosen GFo1 som
behandlar grundläggande symmetri utgör förkunskap
till denna diagnos.
3
4
P
5
P
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
12
diagnos
D
DIAGNOS GFo2
Geometri
Namn Klass 1 Spegla figuren i linjen
2 Spegla figuren i linjen
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
13
diagnos
D
DIAGNOS GFo2
Geometri
3 Spegla figuren i linjen
4 Vrid figuren 90o medurs runt punkten P.
P
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
14
diagnos
D
DIAGNOS GFo2
Geometri
5 Vrid figuren 180° runt punkten P.
P
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
15
Uppgift nr
Elev
1
2
16
Geometriska former | DIAGNOS GFo2
3
4
5
Kommentarer
DI AMANT – NAT I ONEL L A DI AGNO SER I MAT EMAT IK
resultat
R
Geometri
kommentarer
K
Geometriska former | DIAGNOS GFo3
Geometri
Plana figurer
Facit
Diagnosen omfattar fyra uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon kan namnge/klassificera ett antal
geometriska figurer och identifiera deras egenskaper.
Uppgifterna behandlar följande innehåll:
1a
1b
1c
1d
1e
1 Namnge åtta plana figurer.
2a2b
1, 3 och 6 är rektanglar.
2 och 8 är trianglar.
1 och 6 är kvadrater.
1, 4 och 6 är romber.
1, 3, 4, 5 och 6 är parallellogram.
2 Rita en diameter och en radie i en given cirkel.
3 Avgöra vilka två sidor i en parallelltrapets som är
parallella.
4 Rita in diagonalerna i tre figurer.
Genomförande
Tala om för eleverna att det kan finnas flera figurer
av varje slag i uppgift 1 och att de helst bör rita med
linjal i uppgifterna 2 och 4. Samma figur kan ha olika
namn beroende på hur långt man vill specificera dess
egenskaper – fyrhörningarna 1 och 6 är t.ex. inte bara
kvadrater utan även romber och rektanglar.
För elever som förstått de här aspekterna av geometriska former tar det 4–5 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar
i allmänhet tillräckliga kunskaper för de här uppgifterna. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen
efter cirka 10 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X
om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst
och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.
3
4a
4c
4b
Uppföljning
För att få underlag för en uppföljning av diagnosen
kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan
man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på
en uppgift eller om det är många elever. Detta kan
ha stor betydelse för planering och genomförande av
uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå.
Vid planeringen kan du använda det strukturschema
som gäller för området/delområdet. Här kan man se
vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och
var bristerna kan ha sin grund.
För att komma vidare inom geometrin behöver
eleverna känna till ett antal figurers namn och egenskaper. Detta lär sig eleverna genom att man pratar om de
vanligaste figurerna och analyserar figurerna ur olika
aspekter. En bra metod är att rita figurerna, klippa ut
dem och undersöka deras symmetriegenskaper. Därför
utgör GFo1 förkunskaper till denna diagnos.
I uppgift 1 kan man ställa olika krav på eleven. Det
kan vara svårt att inse att en kvadrat också är en
rektangel och att kvadraten också är en romb. Däremot bör eleven känna igen en kvadrat även om den är
”vriden” 45 grader.
Triangeln i uppgift 4 c saknar diagonaler.
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
17
diagnos
D
DIAGNOS GFo3
Geometri
Namn Klass 1 Vilka av de här figurerna är: (skriv nummer)
a) rektanglar?_____________
b) trianglar? _____________
c) kvadrater? _____________
d) romber? _____________
e) parallellogrammer? _____________
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
2 Rita in en diameter i cirkel a. Rita in en radie i cirkel b.
b)
a)
3 I den här figuren är två sidor parallella. Sätt ett x på de sidorna.
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
18
diagnos
D
DIAGNOS GFo3
Geometri
4 Rita alla diagonaler du kan i de här figurerna figurer.
a)
b)
c)
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
19
Uppgift nr
Elev
1a
1b
1c
20
Geometriska former | DIAGNOS GFo3
1d
1e
2a
2b
3
4a
4b
4c
Kommentarer
DI AMANT – NAT I ONEL L A DI AGNO SER I MAT EMAT IK
resultat
R
Geometri
kommentarer
K
Geometriska former | DIAGNOS GFo4
Diagnosen omfattar fyra uppgifter där eleven ges
möjlighet att visa att hon kan namnge kroppar och
identifiera deras egenskaper.
Uppgifterna behandlar följande innehåll:
1 Kroppars namn.
2 Kubens egenskaper.
3 Pyramidens egenskaper.
4 Figurer som bygger upp kroppar.
Genomförande
Eleverna kanske inte har mött alla de här geometriska
kropparna än. Tala om för dem att de i så fall antingen
försöker eller också hoppar över just den figuren. Förklara för eleverna att de i uppgift 4 ska utgå från kropparna till vänster och beskriva hur de är uppbyggda av
tvådimensionella figurer.
För elever som förstått de här aspekterna av geometriska former tar det 5–6 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar
i allmänhet tillräckliga kunskaper för dessa uppgifter.
Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen
efter cirka 12 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X
om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst
och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.
Uppföljning
För att få underlag för en uppföljning av diagnosen
kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan
man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på
en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha
stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå.
Vid planeringen kan du använda det strukturschema
som gäller för området/delområdet. Här kan man se
vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och
var bristerna kan ha sin grund.
Det kan ibland vara svårt för eleverna att känna
igen och benämna de tredimensionella geometriska
kropparna och att identifiera dess delar. Det är därför
angeläget att de får studera och identifiera egenskaper hos olika föremål såsom lådor, burkar och olika
förpackningar. Lika angeläget är det att de får bygga
de olika föremålen i papper. Kunskaper om de plana
figurerna, vilket ingår i GFo3, utgör förkunskap till
denna diagnos.
Facit
1a Klot eller sfär.
1bPyramid.
1c Kub.
1dCylinder.
1e Rätblock.
2a 6
2c12
2b8
3a 5 (Man kan även acceptera svaret 4 om
man inte räknar basytan som sidoyta.
Jämför svaret till 2a.)
3b 5
4a 6
4b 3c8
1
4c 1
4d
6
2
4
2
4
När det gäller uppgift 4c kan man också tänka sig
svaret 4 trianglar om basytan är en triangel.
På motsvarande sätt kan man i 4d även tänka sig
2 kvadrater och 4 rektanglar.
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
21
Geometri
Kroppar
diagnos
D
DIAGNOS GFo4
Geometri
Namn Klass 1 Vad kallas dessa objekt (kroppar)?
a)
b)
c)
d)
e)
Svar: a kallas __________________
b kallas _____________________ c kallas _______________________ d kallas _____________________ e kallas _______________________ 2 En kub har (skriv hur många)
a) _________ sidoytor
b) _________ hörn c) _________ kanter
3 En pyramid vars basyta är en kvadrat har (skriv hur många)
a) _________ sidoytor
b) _________ hörn c) _________ kanter
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
22
diagnos
D
DIAGNOS GFo4
Geometri
4 Vilka av formerna i den översta raden behöver du
för att bygga föremålen till vänster i tabellen?
Skriv i rätt rutor hur många av figurerna du behöver använda.
a)
b)
c)
d)
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
23
Uppgift nr
Elev
1a
1b
1c
1d
24
Geometriska former | DIAGNOS GFo4
1e
2a
2b
2c
3a
3b
3c
4a
4b
4c
4d
Kommentarer
DI AMANT – NAT I ONEL L A DI AGNO SER I MAT EMAT IK
resultat
R
Geometri
kommentarer
K
Geometriska former | DIAGNOS GFo5
Diagnosen omfattar sex uppgifter där eleven ges
­möjlighet att visa att hon behärskar begreppet
­likformighet.
Uppgifterna behandlar följande innehåll:
1–6 Begreppsliga aspekter av likformighet.
Genomförande
För elever som förstått de här aspekterna av likformighet tar det 5–6 minuter att genomföra diagnosen.
Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för dessa uppgifter. Det
kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter
cirka 12 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om
uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och
sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.
Uppföljning
en uppgift eller om det är många elever. Detta kan
ha stor betydelse för planering och genomförande av
uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå.
Vid planeringen kan du använda det strukturschema
som gäller för området/delområdet. Här kan man se
vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och
var bristerna kan ha sin grund. Användbara förkunskaper för att arbeta med denna typ av uppgifter om
likformighet är kunskaper om skala, förstoring och
förminskning, som behandlas i diagnos GSk2.
Facit
1 a, c, d
2 c, d
3 a, c
4 a) 3,5 cm
b) 60°
c) 10,5 cm
5 a, c, e, f
6 a, b, d, e
För att få underlag för en uppföljning av diagnosen
kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan
man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
25
Geometri
Likformighet, begrepp
diagnos
D
DIAGNOS GFo5
Geometri
Namn Klass 1 Ringa in de figurer som är likformiga med den här triangeln.
a)
b) c)
d)
2 Sätt X för de påståenden som är sanna.
Två likformiga plana figurer har alltid
a) samma omkrets.
b) samma area.
c) samma vinkelsumma.
d) lika många hörn.
3 Tänk dig att romben nedan förstoras i skala 2:1.
Sätt X för de påståenden som är sanna. a) Romberna är likformiga.
b) Romberna har samma area.
c) Romberna har samma vinkelsumma.
d) Romberna har samma omkrets.
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
26
diagnos
D
4 I den liksidiga triangeln ABC har man ritat en sträcka
DE som är parallell med AB och hälften så lång som AB.
Sträckan AB är 7 cm.
Geometri
C
Bestäm
a) sträckan CD __________ cm
b) vinkeln CDE __________ °
c) omkretsen av triangeln CDE __________cm D
E
A
B
5 Sätt X för de påståenden som är sanna.
a) Alla liksidiga trianglar är likformiga.
b) Alla likbenta trianglar är likformiga.
c) Alla kvadrater är likformiga.
d) Alla rektanglar är likformiga.
e) Alla regelbundna femhörningar är likformiga.
f ) Alla cirklar är likformiga.
6 I fyrhörningen ABCD är sidorna AB och DC parallella och AD = BC.
Sätt X för de påståenden som är sanna.
a) ABE är likformig med CDE.
b) AED är likformig med BEC.
c) ABE är kongruent med CDE.
d) AED är kongruent med BEC.
e) Triangeln ABE är likbent.
C
D
E
A
B
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
27
Uppgift nr
Elev
1
2
3
28
Geometriska former | DIAGNOS GFo5
4a
4b
4c
5
6
Kommentarer
DI AMANT – NAT I ONEL L A DI AGNO SER I MAT EMAT IK
resultat
R
Geometri
kommentarer
K
Geometriska former | DIAGNOS GFo6
Diagnosen omfattar fyra uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon kan lösa uppgifter som handlar
om likformighet.
Uppgifterna behandlar följande innehåll:
1 Likformighet där vertikalvinklar och alternatvinklar
vid parallella linjer är lika stora.
2 Likformighet där bågvinklar och vertikalvinklar är
lika stora.
3 Likformiga rätvinkliga trianglar.
4 Likformiga trianglar, transversalsatsen.
Genomförande
För vissa diagnoser är tiden en viktig faktor, exempelvis
då man testar om eleven behärskar grundläggande aritmetik. Den här diagnosen, däremot, skall inte göras på
tid. Tvärtom är det viktigt att eleven ges utrymme att
fundera igenom problemställningarna och formulera
sina lösningar. Detta innebär förstås inte att eleverna
ges hur lång tid som helst – saknar eleven tillräcklig
kunskap, hjälper inte all tid i världen. Försök att själv
bedöma ungefär hur lång tid som är lämpligt, exempelvis genom att studera en elev som behärskar området
väl. Avbryt sedan efter ytterligare tio minuter. Skriv i
resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst,
0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om
uppgiften är överhoppad.
Uppföljning
För att få underlag för en uppföljning av diagnosen
kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan
man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på
en uppgift eller om det är många elever. Detta kan
ha stor betydelse för planering och genomförande av
uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå.
Vid planeringen kan du använda det strukturschema
som gäller för området/delområdet. Här kan man se
vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och
var bristerna kan ha sin grund.
Uppgifter av det här slaget kan man lösa med hjälp
av några grundläggande ”Geometriska relationer, satser
och formler”. Uppgifterna kräver en erfarenhet och
förståelse av geometri. Detta övar man upp genom att
resonera med eleverna om geometri. För uppgifterna
i denna diagnos krävs till exempel förkunskaper om
parallellitet, median, likformighet samt kordasatsen
eller bågvinkelsatsen.
Facit
1 35 cm
2 3 cm 3 4,8 cm
EF 1
  ​
4 ___
​    ​ = ​ __
FA
2
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
29
Geometri
Likformighet, beräkningar
diagnos
D
DIAGNOS GFo6
Geometri
Namn Klass D
1 I figuren är AB parallell med CD.
AE = 30 cm, EC = 60 cm och DC = 70 cm.
Bestäm längden av AB.
Svar: ___________________
C
E
A
2 I figuren är vinkeln B = vinkeln C.
Alltså är ABE likformig med DEC.
Bestäm längden av AB om CD är 12 cm,
AE är 2 cm och DE är 8 cm.
Svar: ___________________ B
D
C
E
A
B
3 I den rätvinkliga triangeln ABC är sidorna 6 cm,
C
8 cm och 10 cm. AD är vinkelrät mot BC.
Bestäm längden av AD.
Svar: ___________________
D
A
B
C
4 I triangeln ABC dras medianerna från A och B.
De skär sidorna AC och BC i deras mittpunkter
D och E.
I vilket förhållande delar punkten F Sträckan AE?
Svar: ___________________
E
D
F
A
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
B
30
Uppgift nr
Elev
1
2
31
Geometriska former | DIAGNOS GFo6
3
4
Kommentarer
DI AMANT – NAT I ONEL L A DI AGNO SER I MAT EMAT IK
resultat
R
Geometri
kommentarer
K
Geometriska former | DIAGNOS GFo7
Diagnosen omfattar fem uppgifter där eleven ges
­möjlighet att visa att hon kan lösa uppgifter med hjälp
av Pythagoras sats.
Uppgifterna behandlar följande innehåll:
1 Bestämma längden av diagonalen i en rektangel.
2 Bestämma avståndet mellan två punkter i ett
­koordinatsystem.
3 Bestämma rymddiagonalen i ett rätblock.
4 Bestämma arean (höjden) i ett parallelltrapets där
två vinklar är räta.
5 Bestämma arena av en kvadrat när man vet att dia-
gonalen i en kvadrat med sidan 2 är √2.
Genomförande
För elever som förstått Pythagoras sats tar det cirka 10
minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga
kunskaper för den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 20
minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften
är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett
streck (–) om uppgiften är överhoppad.
Uppföljning
För att få underlag för en uppföljning av diagnosen
kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan
man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på
en uppgift eller om det är många elever. Detta kan
ha stor betydelse för planering och genomförande av
uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå.
Vid planeringen kan du använda det strukturschema
som gäller för området/delområdet. Här kan man se
vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och
var bristerna kan ha sin grund.
Uppgifter av det här slaget kan man lösa med
hjälp av några grundläggande ”Geometriska relationer,
satser och formler”, i det här fallet Pythagoras sats och
kvadratrötter (AUp4). De flesta av uppgifterna kan
lösas av den som har lite känsla för geometri. Detta
övar man upp genom att resonera med eleverna om
geometri.
Facit
1 13 m
2 5 längdenheter.
____
___
   cm = 2​√61 ​
3 ​√244 ​
   ≈ 15,6 cm.
4 30 cm².
5 Dubbelt så stor.
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
32
Geometri
Pythagoras sats
diagnos
D
DIAGNOS GFo7
Geometri
Namn Klass 1 En rektangel har sidorna 5 m och 12 m.
Bestäm längden av diagonalen
Svar: __________________
y
x (5, 11)
2 Hur långt är det från punkten (2, 7) till punkten
(5, 11) i ett vanligt rätvinkligt koordinatsystem? Svar: __________________
x (2, 7)
x
3 I ett rätblock är kanterna 6 cm, 8 cm
och 12 cm. Hur lång är rymddiagonalen? Svar: __________________ 4 Bestäm arean av parallelltrapetset ABCD.
AB är 9 cm, BC är 5 cm och CD 6 cm.
Vinklarna A och D är räta.
Svar: __________________ cm2
8 cm
6 cm
12 cm
D
A
C
B 5 Hur många gånger större är den omskrivna
kvadratens area än den inskrivna kvadratens area?
Svar: __________________
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
33
Uppgift nr
Elev
1
2
34
Geometriska former | DIAGNOS GFo7
3
4
5
Kommentarer
DI AMANT – NAT I ONEL L A DI AGNO SER I MAT EMAT IK
resultat
R
Geometri
kommentarer
K
Geometriska former | DIAGNOS GFo8
Facit
Diagnosen omfattar fyra uppgifter där eleven ges
möjlighet att visa att hon har förståelse av geometriska
begrepp och kan utföra grundläggande geometriska
konstruktioner
1
Geometri
Geometrisk konstruktion
A
B
Uppgifterna behandlar följande innehåll:
1 Konstruera mittpunktsnormal.
2 Konstruera bisektris.
3 Konstruera normal till en linje genom en punkt.
2
4 Konstruera en triangels medianer.
Genomförande
För att lösa uppgifterna krävs passare och graderad
linjal.
För elever som förstått de här begreppen tar det
cirka 5 minuter att genomföra diagnosen. Elever som
använder betydligt längre tid saknar i allmänhet kunskaper för den här typen av uppgifter. Det kan därför
vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 6–7
minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften
är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett
streck (–) om uppgiften är överhoppad.
3
P
Uppföljning
För att få underlag för en uppföljning av diagnosen
kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan
man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på
en uppgift eller om det är många elever. Detta kan
ha stor betydelse för planering och genomförande av
uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå.
Vid planeringen kan du använda det strukturschema
som gäller för området/delområdet. Här kan man se
vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och
var bristerna kan ha sin grund.
L
4
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
35
diagnos
D
DIAGNOS GFo8
Geometri
Namn Klass 1 Konstruera med hjälp av passare och linjal mittpunktsnormalen till sträckan AB.
A
B
2 Konstruera med hjälp av passare och linjal bisektrisen till följande vinkel.
3 Konstruera en normal från punkten P mot linjen L.
P
L
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
36
diagnos
D
DIAGNOS GFo8
Geometri
4 Rita ut triangelns medianer. Använd graderad linjal.
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
37
Uppgift nr
Elev
1
2
38
Geometriska former | DIAGNOS GFo8
3
4
Kommentarer
DI AMANT – NAT I ONEL L A DI AGNO SER I MAT EMAT IK
resultat
R
Geometri
kommentarer
K
Skala. GSk
GSk1 Avbildning och perspektiv
GSk2 Förstoring och förminskning
GSk3 Avläsa kartor och ritningar
GSk4 Längd-, area- och volymskala
Delområdet bygger på att eleverna behärskar längdmätning, vilket diagnostiseras inom MLä.
Sambandet mellan de olika diagnoserna ser du i strukturschemat nedan. Av detta framgår att MGF, Förberedande mätning och geometri omfattar förkunskaper
till GSk1, Avbildning och perspektiv som i sin tur är
förkunskap till de två övriga diagnoserna GSk2 och
GSk3. Diagnos GSk4 kräver även förkunskaper från
GFo3 och likformighet.
MGF Förberedande
Mätning och Geometri
GSk1 Avbildning
och perspektiv
GSk2 Förstoring
och förminskning
GSk3 Avläsa kartor
och ritningar
GSk4 Längd-, areaoch volymskala
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
39
Geometri
Delområdet GSk omfattar följande fyra diagnoser:
kommentarer
K
Didaktiska kommentarer till delområdet GSk
Dagligen tolkar vi, direkt eller indirekt, figurer som
är avbildade i en viss skala. Varje foto i en dagstidning
eller bilden på TV-skärmen är förminskad eller förstorad. Vi använder också skalbegreppet intuitivt när vi
uppfattar att en bil som på avstånd ser ut att vara 2 cm
hög, istället är lika stor som bilen bredvid oss.
På en mer formell nivå möter vi skala på ritningar
och kartor. Dessa kan tolkas på två olika sätt. Dels kan
man på kartan eller ritningen se en bild av en ”linjal”
där man alltså kan avläsa hur långt 100 m är på kartan
eller hur lång 1 cm är på ritningen. Alla mätningar kan
då ske med den avbildade ”linjalen”. Dels kan man
ange skalan till exempel 1:20 000 på kartan eller 5:1
på ritningen. 1:20 000 betyder då att 1 längdenhet
på kartan svarar mot 20 000 längdenheter i verkligheten, alltså att 1 cm på kartan svarar mot 20 000 cm
= 200 m i verkligheten. På motsvarande sätt innebär
skala 5:1 att 5 cm på ritningen svarar mot 1 cm i verkligheten. Det kan till exempel handla om en förstorad
bild av en insekt.
Skala är en central kunskap för att kunna orientera
sig i omvärlden och läsa kartor, tolka ritningar i slöjden
et cetera.
Eleverna kommer under sin skoltid även att möta
skala i samband med likformighet.
När det gäller area- och volymskala bör eleverna få
förståelse för relationen mellan dessa skalor, genom
att den åskådliggörs exempelvis med hjälp av rutnät
och centikuber. Då kan de se vad som händer med
en kvadratisk- eller rektangulär yta respektive en kub
eller ett rätblock om man fördubblar alla sidor/kanter.
Ur denna erfarenhet kan de sedan genom diskussion
dra slutsatsen om hur många gånger större arean och
volymen blir. Det får inte endast bli en utantillkunskap
om hur många steg kommatecknet ska flyttas eller hur
många nollor som ska läggas till.
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
40
Geometri
Skolans undervisning handlar om olika aspekter av
geometri, dels rumsuppfattning, dels en mer formell
geometri. Rumsuppfattning handlar om att orientera
sig i rummet/omvärlden och att kunna beskriva föremålen och deras lägen i rummet. Det handlar också
om att kunna se samma föremål eller kropp ur olika
perspektiv. Triangeln till vänster är rätvinklig och figuren till höger är en kvadrat, vilket är enklare att se om
man ser figurerna från ett annat håll eller vrider dem.
kommentarer
K
Skala | DIAGNOS GSk1
Diagnosen omfattar två uppgifter där eleven ges
möjligheter att visa att hon kan avbilda en given figur
och att hon kan se en bild ur olika perspektiv. Den
elev som inte kan identifiera en figurs form får svårt att
arbeta med skala.
Uppgifterna behandlar följande innehåll:
1 Avbilda en given figur (till hjälp har eleven ett
rutmönster).
Vid planeringen kan du använda det strukturschema
som gäller för området/delområdet.
Den första uppgiften har många tillämpningsområden,
t.ex. när man gör julpyssel. Passa på att vid sådana
tillfällen knyta arbetet till geometri. Att kunna rita en
korrekt figur är ofta en förutsättning för att lösa geometriska problem. Det här är en kunskap som också
kan övas i samband med ämnet slöjd.
Uppgift 2 är en viktig förkunskap för både plangeometri och rymdgeometri. Elever bör till exempel se att
följande figurer är en likbent triangel och en kvadrat.
2 Beskriva placeringen av föremål ur ett visst
­perspektiv.
Genomförande
Inled gärna med att tala om för eleverna att Ali och
Bea sitter på olika sidor av ett bord och att de ser föremålen på bordet från olika håll. Frågan är vad Bea ser
från sitt håll.
För elever som förstått de här aspekterna av avbildning och perspektiv tar det 2–3 minuter att genomföra
diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid
saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för den här
typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att
avbryta diagnosen efter cirka 6–8 minuter. Skriv i
resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst,
0 om den är felaktigt löst och ett streck (–) om
­uppgiften är överhoppad.
Uppföljning
För att få underlag för en uppföljning av diagnosen
kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan
man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på
en uppgift eller om det är många elever. Detta kan
ha stor betydelse för planering och genomförande av
uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå.
Mycket av det som avbildas tvådimensionellt, till
exempel på en karta, är i verkligheten tredimensionellt.
Att gå från ett tvådimensionellt tänkande till ett tredimensionellt är en central kunskap såväl inom geometrin som i vardagslivet.
Att kunna tänka i tre dimensioner är en förutsättning för att kunna bestämma höjden i en tetraeder eller
rymddiagonalen i en kub.
Facit
1 Bilden ska se likadan ut som förlagan.
2 Rätt svar är c.
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
41
Geometri
Avbildning och perspektiv
diagnos
D
DIAGNOS GSk1
Geometri
Namn Klass 1 Rita en exakt likadan figur till höger i rutnätet.
2 På ett runt bord ligger ett klot, en pyramid och en kub.
Vid bordet sitter personerna Ali (A) och Bea (B). (Se bilden).
Hur ser Bea de tre sakerna? Ringa in rätt svar:
a)
c)
b)
d)
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
42
Elev
Uppgift nr
43
Skala | DIAGNOS GSk1
1
2
Kommentarer
DI AMANT – NAT I ONEL L A DI AGNO SER I MAT EMAT IK
resultat
R
Geometri
kommentarer
K
Skala | DIAGNOS GSk2
Diagnosen omfattar fyra uppgifter där eleven ges
möjligheter av visa att hon behärskar olika aspekter av
begreppet skala.
Uppgifterna behandlar följande innehåll:
1 Avgöra i vilken skala en figur (skala 2:1) är avbildad,
t.ex. genom att mäta två motsvarande sidor.
2 Avgöra i vilken skala en figur (skala 1:3)
är avbildad, t.ex. genom att mäta och jämföra cirklarnas diametrar.
3 Rita en bild i skala 3:1 dvs. göra en förstoring.
4 Avgöra, med hjälp av en angiven skala, hur stora två
avbildade djur är i verkligheten.
uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå.
Vid planeringen kan du använda det strukturschema
som gäller för området/delområdena. Här kan man se
vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och
var bristerna kan ha sin grund.
Uppgifter med skala av det här slaget förekommer i
en rad situationer inte minst inom slöjd och i läromedel i NO-ämnen. En bra övning är att låta eleverna
avbilda eller klippa ut figurer enligt en given skala.
Börja med dubbelt och hälften. Elever som gjort fel på
uppgift 2 har troligen inte uppfattat att en cirkel definieras genom sin diameter(radie) och får därigenom
svårigheter att finna längder att jämföra.
Facit
1 Skala 2:1
Genomförande
2 Skala 1:3
De här uppgifterna förutsätter att eleven har tillgång
till en graderad linjal. Eftersom det kan vara svårt att
skilja mellan skalor som 3:1 och 1:3 har uppgifterna
formulerats så att detta problem har eliminerats.
För elever som förstått de här aspekterna av skala
tar det 3–4 minuter att genomföra diagnosen. Elever
som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet
tillräckliga kunskaper för den här typen av uppgifter.
Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen
efter cirka 7–8 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X
om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst
och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.
3
Uppföljning
För att få underlag för en uppföljning av diagnosen
kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan
man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på
en uppgift eller om det är många elever. Detta kan
ha stor betydelse för planering och genomförande av
Var noga med att alla sträckor är just 3 gånger så stora/
långa som på originalet.
4a Ca 15 mm eller 1,5 cm.
4b Ca 4m. Svaret 400 cm är korrekt men mindre bra.
Svaret på 4a och 4b kan variera något beroende på
hur uppgiften har kopierats.
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
44
Geometri
Förstoring och förminskning
diagnos
D
DIAGNOS GSk2
Geometri
Namn Klass Material: En graderad linjal
1 Bilden till höger är förstorad. Vilken skala är bilden ritad i?
Fyll i rutan under bilden.
Bild av föremål i naturlig
storlek (skala 1:1)
Svar: Bild i skala ________ :1
2 Bilden till höger är förminskad. Vilken skala är bilden ritad i?
Fyll i rutan under bilden.
Bild av föremål i naturlig storlek (skala 1:1)
Svar: Bild i skala 1: ________
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
45
diagnos
D
DIAGNOS GSk2
Geometri
3 Till höger om figuren ska du rita en bild av figuren i skala 3:1.
4 De här figurerna är avbildade i olika skalor.
Hur långa är föremålen i verkligheten?
a) Nyckelpigan är _______ cm lång. b) Giraffen är _______ m lång.
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
46
Elev
Uppgift nr
47
Skala | DIAGNOS GSk2
1
2
3
4a
4b
Kommentarer
DI AMANT – NAT I ONEL L A DI AGNO SER I MAT EMAT IK
resultat
R
Geometri
kommentarer
K
Skala | DIAGNOS GSk3
Diagnosen omfattar tre uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon kan tolka en karta eller en ritning.
Uppgifterna behandlar följande innehåll:
1 Bestämma avståndet mellan två orter (till hjälp ­
finns på kartan en ”linjal” som anger hur långt
10 kilometer är).
2 Bestämma avståndet över en sjö (i detta fall anges
skalan som 1:20 000 vilket innebär att 1 cm på
kartan motsvaras av 200 m i verkligheten).
3 Avgöra ett föremåls verkliga mått med hjälp av en
angiven skala.
Genomförande
För elever som förstått de här aspekterna av skala tar
det 2–3 minuter att genomföra diagnosen. Elever som
använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för den här typen av uppgifter. Det
kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter
cirka 6–7 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om
uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och
sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.
Kartan i uppgift 1 kan bytas ut mot en motsvarande
lokal karta. Notera dock att det måste vara en karta
med skalan i form av ”linjal”. Å andra sidan ser man
med hjälp av den här kartan om eleven har en mer
generell kunskap om kartskalor.
Uppföljning
För att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan
du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man
se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en
uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor
betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå.
Vid planeringen kan du använda det strukturschema
som gäller för området/delområdet. Här kan man se
vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga
och var bristerna kan ha sin grund. Förkunskaper
till denna diagnos GSk3 är GSk2, förstoring och
förminskning, samt kunskaper om enhetsomvandling
för längdenheter MLä3.
Uppgifter av det här slaget lär man sig lösa med
hjälp av praktiska övningar. Använd en lokal karta,
orienteringskartor från idrotten eller en karta över
närområdet. Låt eleverna bestämma ett avstånd, t.ex.
genom att först stega och därefter mäta samma sträcka
på kartan. På motsvarande sätt kan ritningar eller
mönster från slöjden användas. Här kan man visa
både ritningen och den färdiga produkten och jämföra
motsvarande sträckor.
Facit
1
Ca 3 mil (ca 30 km) från centrum till centrum.
2
Ca 1,6 km (ca 1 600 m).
160 000 cm är ett olämpligt svar.
3a Ca 33 cm lång. 3b Ca 14 cm bred.
De här måtten kan skilja sig något åt beroende
på kopieringen.
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
48
Geometri
Avläsa kartor och ritningar
diagnos
D
DIAGNOS GSk3
Geometri
Namn Klass Material: En graderad linjal.
1 På den här kartan kan man se skalan längs ned till vänster.
Använd skalan för att ta reda på ungefär hur långt är det är mellan
Varberg och Falkenberg i verkligheten.
Svar: _______________________
0
10 km
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
49
diagnos
D
DIAGNOS GSk3
Geometri
2 På en karta kan du se den här sjön. Du ska paddla från bryggan
vid S till bryggan vid M. Kartan är ritad i skala 1:20 000.
Ungefär hur långt är det från S till M i verkligheten? Svar:___________________
3 Den här skärbrädan är ritad i skala 1:5.
Hur lång och hur bred är skärbrädan i verkligheten?
Svar: a) _______ cm lång
och
b) _______ cm bred
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
50
Elev
Uppgift nr
51
Skala | DIAGNOS GSk3
1
2
3a
3b
Kommentarer
DI AMANT – NAT I ONEL L A DI AGNO SER I MAT EMAT IK
resultat
R
Geometri
KOMMENTARER
K
Skala| DIAGNOS GSk4
Diagnosen omfattar 6 uppgifter där eleven ges möjligheter att visa att hon förstår relationen mellan längdskala, areaskala och volymskala
Uppgifterna behandlar följande innehåll:
1–3 Relationen mellan längdskala och areaskal.
4–7 Relationen mellan längdskala och volymskala.
Genomförande
Här gäller det att tänka efter vad uppgifterna innebär.
Tala därför om för eleverna att uppgifterna är enklare
än de ser ut och att det snarare gäller att tänka än att
räkna. Uppmuntra eleverna att hellre försöka svara än
hoppa över en uppgift även om de är tveksamma.
Bifoga ett lösblad där eleven kan redovisa sina
lösningar.
För elever som förstått längd – area – volymskala
tar det cirka 10 minuter att genomföra diagnosen.
Elever som använder betydligt längre tid saknar i
allmänt tillräckliga kunskaper för den här typen av
uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta
diagnosen efter cirka 15 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den
är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är
överhoppad.
Uppföljning
För att få underlag för en uppföljning av diagnosen
kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan
man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på
en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha
stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid
planeringen kan du använda det strukturschema som
gäller för området/delområdet. Här kan man se vilka
förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och vari
bristerna kan ha sin grund. Konkretiserande arbete för
att låta eleverna upptäcka sambandet mellan längd-,
area- och volymskala parallellt med bearbetning av
formlerna för area och volym för olika geometriska
objekt kan vara en väg till förståelse hos eleverna.
Förkunskaper krävs från MVo5 och MAr5 men tanken
är att eleverna ska använda längd-, area- och volymskala i denna diagnos.
Facit
1 63 cm2
2 640 cm2
3 7200m2
4 8 cm3
5 200 cm3
6 9 m
7 Uppgift 7 borttagen
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
52
Geometri
Längd – Area – Volymskala
DIAGNOS
D
DIAGNOS GSk4
Geometri
Namn Klass 1 En triangel har arean 7 cm2. Triangeln förstoras i skala 3:1.
Bestäm den nya triangelns area.
Svar: __________________________
2 En papperslåda, med formen av ett rätblock, har begränsningsarean 80 cm2.
Hur mycket mer papper går det åt om du ska tillverka en kartong med tre gånger
så långa kanter? (svara i cm2)
Svar: __________________________
3 En rektangulär tomt avbildas på en karta med längdskalan 1:3 000.
Hur stor är tomtens area om tomten är 8,0 cm2 på kartan? (svara i m2)
Svar: __________________________
4 Ett prisma har volymen 64 cm3. Prismat förminskas i skala 1:2.
Hur stor är volymen på det förminskade prismat.
Svar: __________________________
5 En cylinder har volymen 25 cm3. Man förstorar cylindern i skala 2:1.
Hur stor volym har den nya cylindern?
Svar: __________________________
6 En bassäng har volymen 200m3. En annan bassäng har tre gånger så
långa kantlängder (längd, bredd och djup).
Beräkna den större bassängens djup om dess bottenarea är 600 m2.
Svar: __________________________
7 Uppgiften borttagen.
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
53
Elev
Uppgift nr
54
Skala | DIAGNOS GSk4
1
2
3
4
5
6
7
Kommentarer
DI AMANT – NAT I ONEL L A DI AGNO SER I MAT EMAT IK
resultat
R
Geometri
kommentarer
K
Vinklar. GVi
GVi1Vinklar
GVi2 Vinklar, samband
GVi3 Vinklar problemlösning
Sambandet mellan de olika diagnoserna ser du i
strukturschemat nedan. Diagnoserna GVi1, GVi2
och GVi3 är av olika komplexitet, från enkel vinkelmätning till satser om vinklar och problemlösning.
GFo3 Plana figurer
GVi1 Vinklar
GVi2 Vinklar, samband
GVi3 Vinklar
problemlösning
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
55
Geometri
Delområde GVi omfattar följande tre diagnoser:
kommentarer
K
Didaktiska kommentarer till delområdet GVi
C
B
A
Eftersom trianglar, fyrhörningar och andra månghörningar är uppbyggda av sträckor och vinklar är vinklar
och vinkelmätning centrala begrepp inom geometrin.
Genom att riva av de tre hörnen i en triangel och
foga samman dem kan man sluta sig till att vinklarna
tillsammans bildar ett halvt varv. Vinklarnas summa är
således 180°. Eftersom en fyrhörning är uppbyggd av
två trianglar är dess vinkelsumma 360°.
B
A
C
B
A
C
I det centrala innehållet för årskurs 7–9 nämns
B
”Geometriska satser
B och formler och behovet av
argumentation för deras giltighet”. Detta bör genomsyra
A
undervisningen betydligt tidigare. Genom att, i
B
A att a + b = 180° och attA
figuren nedan, utgå från
b + c = 180° finner man t.ex. att och a = c, alltså att
vertikalvinklarna är lika stora.
C
B
A
Vid mätning med gradskiva gäller det att mäta rätt
vinkel, den som markerats med en båge. Det är också
viktigt att man direkt kan känna igen vissa vinklar och
därmed ange vinklars närmevärden. Sådana vinklar är
den räta vinkeln, 90°, en halv rät vinkel, 45° och vinklarna i en liksidig triangel, 60°. Hälften av 60° är 30°.
Vid lösning av problem som handlar om vinklar
förutsätts att eleverna har en god taluppfattning och
behärskar grundläggande aritmetik.
Geometri
Vinkel är ett centralt begrepp inom såväl den plana
geometrin som inom rymdgeometrin. Det är exempelvis med hjälp av vinklarna man kan skilja en romb
från en kvadrat och avgöra att vissa parallellepipeder
är rätblock. Den räta vinkeln har således en särskild
betydelse.
En vinkel kan definieras på två sätt, antingen som
området mellan vinkelbenen eller som storleken av den
vridning som krävs för att lägga det ena vinkelbenet
ovanpå det andra. Den senare definitionen brukar vara
enklare att förstå för eleverna. I de fall man pratar om
området mellan vinkelbenen kan eleverna få (miss-)
uppfattningen att längden på vinkelbenen påverkar
vinkelns storlek.
En vinkel definieras av två ben (streckat och grått
i figuren nedan) som utgår från en gemensam punkt
(vinkelspetsen). Figuren visar vinkeln 30° mellan det
B det streckade
streckade och det grå vinkelbenet. Vrids
benet ett helt varv är motsvarande vinkel 360°. Om
vridningen av ett vinkelben är ett fjärdedels varv är vinkeln 90°, en rät vinkel (se figuren) och om vridningen
A
C
är ett tolftedels
varv är vinkeln 30°.
C
På motsvarande sätt kan man visa att yttervinkeln till
en triangel är lika stor som summan av de två motsatta
inre vinklarna.
I årskurs 7–9 bör man följa upp detta med fler
satser som exempelvis satserna om bågvinklar och
medelspunkstvinklar, vilket i sin tur leder till intressanta egenskaper om trianglar och fyrhörningar som är
inskrivna i en cirkel.
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
56
C
C
kommentarer
K
Vinklar | DIAGNOS GVi1
Geometri
Mäta och rita givna vinklar
Facit
Diagnosen omfattar tre uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon kan skilja mellan spetsiga och
trubbiga vinklar, mäta vinklar och rita vinklar med
hjälp av linjal och gradskiva.
1a C
1bD
1c A, B, E och F.
Uppgifterna behandlar följande innehåll:
1 Benämna vinklar: räta, spetsiga eller trubbiga.
2a Ca 43 grader.
2b Ca 137 grader.
2c 90 grader.
2 Mäta vinklar med gradskiva.
3 Rita givna vinklar med hjälp av gradskiva.
3a
Lägg märke till att vinklarna a och b
i uppgift 2 tillsammans är 180°.
Genomförande
De här uppgifterna kräver att eleverna har tillgång till
gradskiva och linjal. Uppgifterna kräver också en viss
noggrannhet.
För elever som förstått de här aspekterna av vinklar
tar det 4–5 minuter att genomföra diagnosen. Elever
som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet
tillräckliga kunskaper för denna typ av uppgifter. Det
kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter
cirka 10 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om
uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och
sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.
Uppföljning
För att få underlag för en uppföljning av diagnosen
kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan
man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på
en uppgift eller om det är många elever. Detta kan
ha stor betydelse för planering och genomförande av
uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå.
Vid planeringen kan du använda det strukturschema
som gäller för området/delområdena. Här kan man se
vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och
var bristerna kan ha sin grund.
Att mäta och rita vinklar lär man sig genom att själv
få mäta och rita vinklar. Det är också bra att kunna
uppskatta vinklars storlek. En rät vinkel (90 grader)
finner man i en kvadrat. Hälften av den vinkeln är
45 grader. Vinkeln 60 grader finner man i en liksidig triangel. Ritar man höjden i en liksidig triangel
så kommer den att dela vinkeln 60 grader i två delar
som är vardera 30 grader. Genom att kombinera dessa
vinklar med ett helt eller ett halvt varv kan man finna
storleken av vinklar som är 120 grader, 135 grader,
270 grader osv.
3b
3c
Lägg märke till att vinkeln 270º är större än ett
halvt varv. Det gäller då att markera rätt vinkel.
Man kan utnyttja det faktum att 360 – 270 = 90.
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
57
diagnos
D
DIAGNOS GVi1
Geometri
Namn Klass Material: Gradskiva och linjal
1 Vilken eller vilka av vinklarna A–F är a) räta ________________
b) trubbiga ________________
c) spetsiga ________________
F
C
A
F
B
C
E
D
2 Bestäm vinklarnas storlek med hjälp av en gradskiva. Svara i hela grader.
a) Vinkeln a är ________________ grader.
A
B
a
b) Vinkeln b är ________________ grader.
c) Vinkeln c är ________________ grader.
E
D
b
a
c
b
c
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
58
diagnos
D
DIAGNOS GVi1
Geometri
3 Rita med hjälp av gradskiva en vinkel som är
a) 45 grader. Markera vinkeln med en båge.
b) 120 grader. Markera vinkeln med en båge.
c) 270 grader. Markera vinkeln med en båge.
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
59
Uppgift nr
Elev
60
Vinklar | DIAGNOS GVi1
1a
1b
1c
2a
2b
2c
3a
3b
3c
Kommentarer
DI AMANT – NAT I ONEL L A DI AGNO SER I MAT EMAT IK
resultat
R
Geometri
kommentarer
K
Vinklar | DIAGNOS GVi2
Diagnosen omfattar tre uppgifter som ger eleven möjligheter att visa att hon kan beräkna enkla uppgifter
som handlar om vinklar i en triangel. En av uppgifterna bygger på att ett halvt varv är 180 grader och de två
andra på att vinkelsumman i en triangel är 180 grader.
Uppgifterna behandlar följande innehåll:
1 Utgående från en given vinkel bestämma två andra
vinklar.
2 Bestämma en vinkel i en triangel när de två övriga
vinklarna är kända.
3 Bestämma vinklarna i en likbent triangel när en av
vinklarna är given.
Genomförande
Tala om för eleverna att de här uppgifterna ska lösas
med hjälp av enkel logik (resonemang). Gradskiva ska
inte användas. Om eleverna mäter vinklarna blir svaret
fel eftersom de angivna måtten inte helt överensstämmer med figuren.
För elever som förstått de här aspekterna av vinklar
tar det 3–4 minuter att genomföra diagnosen. Elever
som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet
tillräckliga kunskaper för den här typen av uppgifter.
Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen
efter cirka 8 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X
om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst
och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.
Geometri
Grundläggande samband
mellan vinklar
Uppföljning
För att få underlag för en uppföljning av diagnosen
kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan
man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på
en uppgift eller om det är många elever. Detta kan
ha stor betydelse för planering och genomförande av
uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå.
Vid planeringen kan du använda det strukturschema
som gäller för området/delområdena. Här kan man att
det krävs förkunskaper från diagnos GVi1 för denna
diagnos.
De här uppgifterna behandlar grundläggande samband mellan vinklar. Detta är en inledning till geometrisk problemlösning.
Facit
1a 148 grader. 1b 32 grader.
Eleven kan t.ex. utnyttja att 32° + a = 180° vilket
ger a = 148°. Vinkel b kan bestämmas på
motsvarande sätt eller genom symmetri.
2
75 grader.
Uppgiften kan lösas genom att vinkelsumman
i en triangel är 180° alltså som 180 – 46 – 59.
3a 30 grader.
3b 120 grader.
Uppgiften kan lösas med hjälp av symmetri
i k ombination med att vinkelsumman i en
triangel är 180°.
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
61
diagnos
D
DIAGNOS GVi2
Geometri
Namn Klass Gradskiva ska inte användas här!
1 Om den givna vinkeln är 32°. Hur stor är då
a) vinkel a? Svar: ________________
b) vinkel b? Svar: ________________
a
a
b
32º
b
32º
B
a
B
2 Om vinkel A i en triangel är 59°
ochº om vinkeln
B är 46°,
º
b
46
32
hur stor är då vinkeln C?
Svar: Vinkeln C är ________________
A
46º
59º
B
C
A
59º
C
C 46º
3 Den här triangeln är likbent. Vinkeln A är 30°.
C
a) Hur stor är vinkel B? Svar: ________________ grader.
C
A C? Svar: ________________
b) Hur stor är vinkel
grader.
59º
C
A
B
A
A
B
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
62
Uppgift nr
Elev
63
Vinklar | DIAGNOS GVi2
1a
1b
2
3a
3b
Kommentarer
DI AMANT – NAT I ONEL L A DI AGNO SER I MAT EMAT IK
resultat
R
Geometri
kommentarer
K
Vinklar | DIAGNOS GVi3
Diagnosen omfattar fem uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon kan lösa uppgifter som handlar
om vinklar och satser om vinklar.
Uppgifterna behandlar följande innehåll:
1 Bestämma vinklarna i en femhörning där två vinklar
är räta och tre vinklar är lika stora.
2 Bestämma vinklarna i en parallellogram där vinkel A
är hälften så stor som vinkel B.
3 Bestämma vinklarna i en fyrhörning när man
­känner relationen mellan vinklarnas storlek.
4 Bestämma vinklarna i en regelbunden åttahörning.
5 Bestämma storleken av vinklarna i en pentagram.
Genomförande
För elever som förstått de här aspekterna av vinklar
tar det 6–8 minuter att genomföra diagnosen. Elever
som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet
tillräckliga kunskaper för denna typ av uppgifter. Det
kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter
cirka 15 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om
uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och
ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.
Uppföljning
För att få underlag för en uppföljning av diagnosen
kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan
man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på
en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha
stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid
planeringen kan du använda det strukturschema som
gäller för delområdena. Här kan man se vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och var bristerna
kan ha sin grund.
Uppgifter av det här slaget kan man lösa med hjälp
av några grundläggande ”Geometriska relationer, satser
och formler” och enkel ekvationslösning. Uppgifterna
kräver en erfarenhet och förståelse av geometri. Detta
övar man upp genom att resonera med eleverna om
geometri. För uppgifterna i denna diagnos krävs till
exempel förkunskaper från GVi2 och ekvationslösning
i TAe2.
Facit
1 120°
2 A = C = 60° och B = D = 120°
3 36°
4 135°
5 36°
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
64
Geometri
Vinklar, problemlösning
diagnos
D
DIAGNOS GVi3
1
Geometri
Namn Klass I en femhörning är vinklarna A och B räta. De tre övriga vinklarna är lika stora.
Hur stora är vinklara C, D och E?
Svar: _____________ D
C
E
A
B
2
I en parallellogram ABCD är vinkeln A hälften så stor som vinkel B.
Bestäm alla vinklarna.
Svar: A = C = _____________
C
D
A
B = D= _____________
B
3
I en fyrhörning är vinkeln D dubbelt så stor som vinkeln C och vinkeln C
dubbelt så stor som vinkeln A. Vinkeln B är 3 ggr så stor som vinkeln A. Hur stora är vinkel A?
Svar: _____________
4
Hur stora är vinklarna i en regelbunden åttahörning?
Svar: _____________
5
Bestäm vinklarna A, B, C, D och E
i en pentagram.
Svar: _____________
D
C
E
A
B
D I AMAN T – N AT I O N EL L A D I AG N O SER I MAT EMAT I K
65
Elev
Uppgift nr
66
Vinklar | DIAGNOS GVi3
1
2
3
4
5
Kommentarer
DI AMANT – NAT I ONEL L A DI AGNO SER I MAT EMAT IK
resultat
R
Geometri