- formulera och värdera uppgifter och övningar i
matematik utifrån matematiska begrepp och didaktiska
perspektiv
- utforma och värdera olika typer av
undervisningsmaterial utifrån matematiska begrepp och
didaktiska perspektiv
- planera en undervisningssituation och motivera sina val
utifrån matematiska begrepp, didaktiska perspektiv och
skolans styrdokument
- lösa uppgifter i matematik och redovisa matematiska
resonemang inför andra.
- identifiera och redogöra för syfte, frågeställning, teori,
metod och resultat i en vetenskaplig text
- utifrån kvalitetskriterier inom matematikdidaktisk
forskning värdera resultat av matematikdidaktiska
studier.
2
- Geometri: mätning, geometriska begrepp,
klassificering, geometriska former, historia,
mönster, teorier om lärande i geometri
Davis, Andrew.; Goulding, Maria.; Suggate, Jennifer.
Mathematical knowledge for primary teachers
s. 231-244, 255-261
Burger, W. F; Shaughnessy, J. M.
Characterizing the Van Hiele levels of development in geometry
Alseth, Bjørnar; Nordberg, Gunnar; Solem, Ida Heiberg
Tal och tanke : matematikundervisning från förskoleklass till
årskurs 3
s. 217 - 259
Kiselman, Christer O.; Mouwitz, Lars
Matematiktermer för skolan
4
Geometri var från 1878 liksom räkning ett
eget ämne
1919 blev geometrin en del av
matematikämnet
Intuitiv uppfattning om naturligt
förekommande geometriska begrepp t ex
avstånd och symmetri
Geometriska mönster
• - dekoration
• - riter
Praktisk geometri för beräkning av areor,
volymer och vinklar.
Större byggnader, staka ut land, bygga
bevattningsanläggningar, göra astronomiska
observationer, osv.
Geometri utvecklas parallellt med de stora
flodkulturerna kring Nilen, Eufrat och Tigris,
Indus och Ganges, samt Gula floden.
Egyptisk geometri
1850 – 1650 f kr
Babylonisk geometri
Indisk geometri
Kinesisk geometri
2000–1600 f Kr
500–200 f Kr
Hanperioden (206 f Kr – 221 e Kr)
Area och volymberäkningar av rektanglar,
rätvinkliga trianglar, volymen av cylindrar
och stympade pyramider.
Ungefärligt värde för π.
Pythagoras sats
Ordet geometri är av grekiskt ursprung och
är bildat av geo (jord) och metrein (mäta) =
jordmätning
Gemensamt för geometrin i ovannämnda
kulturer är att den till största delen var
empirisk
Kunskaperna var sammanfattade i enkla
tumregler utan några försök att inordna dem
under en större sammanhängande teori.
En viktig vändpunkt i geometrins utveckling i
Grekland på 500-talet f Kr.
Filosofen Thales från Miletos (ca 624–546)
ställde frågan inte bara frågan ”Hur förhåller
det sig?” utan även ”Varför förhåller det sig
så?”.
Logiska argument för geometriska
påståenden härleda några enkla påståenden
ur andra.
Den mest spridda boken västvärlden efter
bibeln
Euklides ”upptäckte” inte geometrin, han
sammanfattade, korrigerade och
systematiserade tidigare kunskaper.
Normgivande lärobok under mer än 2000 år
Originaltexten är förlorad
Primitiva begrepp = grundläggande tekniska
termer
Definieras inte matematiskt med hjälp av
andra termer.
Att definiera allting är omöjligt om man vill
undvika cirkeldefinitioner.
1.
2.
3.
4.
En punkt är det som ej har någon del
En linje är en längd utan bredd
Ändarna på en linje är punkter
En rät linje är en linje som ligger jämnt med
punkterna på sig själv.
5. En yta har längd och bredd med saknar
tjocklek
6. osv…
1.
2.
3.
4.
5.
Om
Om
Om
Om
Om
A
A
A
A
A
= B och B = C så är A = C
= B så är A + C = B + C
= B så är A – C = B – C
och B sammanfaller så är A = B
är en del av B så är A < B
Aristoteles skilde mellan Axiom och Postulat
men numera betyder de oftast samma sak.
Något man utgår från i teorin men inte bevisar
1. Mellan två punkter kan man dra en rät linje
2. En ändlig rät linje kan förlängas i en oändlig
rät linje åt båda hållen
3. En cirkel kan ha vilket centrum och vilken
radie som helst
4. Alla räta vinklar är lika
och …
5. Om två linjer i planet skärs av en tredje linje och
de inre vinklarna på samma sida är mindre än två
räta vinklar kommer de två linjerna om de förlängs
att skära varandra på den sida där de två inre
vinklarna ligger
Om l och m är parallella så är i euklidisk geometri
alternatvinklarna α och β lika stora.
Jo, man använder dessa för att bevisa
matematiska påståenden
Varje ny sats härleds ur tidigare satser och/eller
ur axiomen.
På så vis kan man visa att det gäller alla fall och
inte bara de fall som man har provat det på.
I matematik räcker det inte med att mäta
vinkelsumma i 4 trianglar och säga att
vinkelsumman nog är 180 grader i en triangel,
man måste visa att det gäller för alla trianglar.
Under de första århundradena efter Kristus
upphörde i stort sett studiet av högre
geometri.
Vetenskapen levde kvar hos arabiska
vetenskapsmän, som översatte och kopierade
de grekiska klassikerna.
På 1100-talet gjordes den första latinska
översättningen av Elementa från arabiska,
På 1600- och 1700-talen nådde geometrin
den standard som den en gång haft.
Upptäckten av icke-euklidisk geometri under
1800-talet.
Formella axiomsystem och abstrakta
matematiska teorier utan direkt anknytning till
verkligheten.
Euklidisk geometri utgår från att jorden är platt
Icke-euklidisk geometri arbetar med krökta ytor
En definition är en redogörelse för
begreppets betydelse. En god definition
beskriver en bestämd klass av objekt och
endast den.
Definitionens intention: anger begreppets
mening eller betydelse
Definitionens extension: de objekt som
sorterar under begreppet
(Tall & Vinner, 1981)
Definition:
En fyrhörning med minst två parallella sidor.
Extension?
Definition:
En fyrhörnig vars motstående sidor är parallella.
Extension?
Skillnad mellan nödvändiga och tillräckliga
betingelser
Tall och Vinner (1981) skiljer mellan
Begreppsdefinitioner och Begreppsbilder
Mer precist ett begrepps innebörd, motsvarar
ungefär det som benämnts definitionens
intention.
Kan vara en formell definition, men den kan
också ha uppstått spontant och skilja sig från
den formella definitionen.
Medvetna eller omedvetna bilder och
föreställningar vi alla har om de begrepp vi
arbetar med.
Ex 1: att en triangel har spetsen uppåt.
Ex 2: En kvadrat och en rektangel är två olika
geometriska former.
Grundläggande geometriska objekt, däribland
punkter, linjer, sträckor, fyrhörningar,
trianglar, cirklar, klot, koner, cylindrar och
rätblock samt deras inbördes relationer.
Grundläggande geometriska egenskaper hos
dessa objekt.
29
Punkt
◦ objekt med läge men utan utsträckning
Linje
Sträcka
◦ Endimensionellt geometriskt objekt
◦ Kan vara rät eller krökt
◦ Kan vara begränsad åt ett håll eller båda
◦ Linje (kurva) som är rak och begränsad åt båda
hållen
Längd är en storhet, dvs har en storlek och en
dimension
Längd mäts i enheten meter med olika prefix
Fyrhörningar
◦ ex. Rektangel, Kvadrat, Parallellogram,
Parallelltrapets, Romb
Triangel
◦ ex. Likbent, Rätvinklig, Liksidig
Cirkel
Parallelltrapets
Fyrhörning med minst
två parallella sidor
Sida
En av de sträckor som bygger upp en
månghörning
Hörn
Punkt där två sidor möts i en månghörning
Kant?
Parallellogram
Fyrhörning vars sidor
är parvis parallella
Romb
Parallellogram där två
närliggande sidor är lika
långa
Rektangel
Parallellogram vars alla
vinklar är räta (Kiselman)
Kvadrat
Rektangel med två
närliggande sidor av
samma längd (Kiselman)
Månghörning med tre hörn
(Kiselman)
Spetsvinklig triangel
Triangel där alla vinklar är spetsiga.
Trubbvinklig triangel
Triangel där en av
vinklarna är trubbig.
Rätvinklig triangel
Triangel där en av
vinklarna är rät.
Triangel där minst två av sidorna är lika långa
I en liksidig triangel är alla tre sidorna lika
långa.
AB = BC = AC
Alla vinklar är också lika stora.
ΛA = ΛB = ΛC = 60º
Kurva i planet som består av alla
punkter som har ett givet avstånd
(radien) till en fix punkt
(medelpunkten)
-
Sida
Hörn
Vinklar
Räta
Spetsiga
Trubbiga
•
•
•
•
•
•
•
•
Vinkelsumma
Area
Omkrets
Parallell
Bas
Höjd
Liksidig
Likbent
Synonym: perimeter
Definition: Kurvans längd (hos en sluten kurva)
Engelskan har två ord för omkrets:
Circumference för omkrets hos en cirkel
Perimeter för omkrets hos övriga 2dimensionella objekt
Yta = Area?
Yta beskriver en del av ett plan. Kan vara
buktig eller plan.
Area är storleken hos en yta.
Fram till 1960-talet användes begreppen yta
och area synonymt i läroböcker.
Area mäts i m2
Klot
Koner
Cylindrar
Rätblock
Klot
Definition:
Kropp i rummet som består av alla
punkter som har avstånd från en
given punkt (klotets medelpunkt)
högst lika med ett givet tal
(klotets radie).
(Kiselman)
Kon
Definition: mängd
som består av
strålar utgående
från en given punkt
(Kiselman)
Cylinder
”Ett prisma med två
parallella cirkelformade
basytor”
Formell definition:
Mängd i rummet som
består av räta linjer
parallella med en given rät
Rätblock
Kropp som begränsas av sex
rektangelområden, varav två ofta kallas
basytor och de övriga sidoytor.
Prisma där alla begränsningsytorna är
parvis parallella och alla vinklar räta.
Kub
Rätblock där alla kanter är lika långa.
Formell definition: Storleken hos en kropp
Kropp: tredimensionellt geometriskt objekt
Vikt
•
•
•
•
Kraften som drar ett objekt mot jorden
Mäts i Newton
Kan variera
En fjädervåg mäter vikt
Massa –
•
•
•
•
Mängden materia i ett objekt
mäts i kilogram
Alltid samma
En balansvåg mäter massa
Densitet = massa per volymenhet
Formulera och lösa problem med hjälp av
matematik samt värdera valda strategier och
metoder,
Använda och analysera matematiska begrepp och
samband mellan begrepp
Välja och använda lämpliga matematiska metoder
för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter
Föra och följa matematiska resonemang
Använda matematikens uttrycksformer för att
samtala om, argumentera och redogöra för
frågeställningar, beräkningar och slutsatser
“Om eleverna får vara med och diskutera
grunden för klassificeringen visar det sig att
deras förmåga till matematiskt tänkande och
argumentation utvecklas”
(Shir & Zaslavsky 2001 i Solemn)
Teori som beskriver hur elever resonerar
kring geometriska former.
Eleverna når ”platåer” i sin geometriska
förståelse som kallas nivåer eller ”levels”.
Många elever (och vuxna) stannar på nivå 1.
Lärare undervisar ofta på en högre nivå än
elevens.
Utveckling från en nivå till nästa beror mer på
undervisningen än elevens ålder
Eleven kategoriserar former baserat på dess utseende och
om det liknar de former eleven stött på tidigare.
Eleven känner igen en geometrisk figur som en helhet och
tar ingen hänsyn till figurens delar.
Eleven kan till exempel känna igen en bild av en rektangel,
men är inte medveten om några egenskaper hos den, som
t.ex. att den har parallella sidor.
En rektangel blir en rektangel, för den ser ut som en låda.
En triangel som står på sin spets kan alltså klassas som
”icke-triangel”, en smal rektangel blir ”för smal” .
Definitionerna är något som följer med
formerna. En kvadrat har…
Eleven tar hänsyn till figurens delar ex. att
motstående sidor hos en rektangel är
parallella
Vet inte att en kvadrat kan ses som en
rektangel eller som en romb
Formerna följer med definitionen
Eleven använder abstrakta definitioner, kan ta bort
onödiga definitioner.
Förstår att kvadrater är rektanglar, men även att det inte är
tvärtom och kan förklara det med hjälp av definitioner.
Eleven kan logiskt ordna figurer, t.ex. att alla kvadrater är
rektanglar, men alla rektanglar är inte kvadrater.
Hon förstår de inbördes sambanden mellan figurer och
inser vikten av korrekta definitioner.
Förstår inte deduktionens roll i geometrin
Eleven förstår principen bakom axiom, bevis och
satser.
Kan använda axiom för att bevisa påståenden om
t.ex. rektanglar och trianglar, men tänkandet är i
allmänhet inte så precist att hon förstår
nödvändigheten av axiom
Definitioner och postulat uppfattas som
allmängiltiga, och kan därför inte tänka sig en
icke-euklidisk geometri
Eleven kan studera olika geometriska system
med olika axiom, även utan att ha (fysiska)
modeller att titta på.
Eleven förstår vikten av precision, när man
arbetar med geometrins grunder,
Kan t.ex. också analysera och jämföra
euklidisk och icke-euklidisk geometri
Identifiera rektanglar
och deras
egenskaper.
Vilken av van Hieles
nivåer?
Bonnier Mina första
matte-ord
”En fyrhörning med bara
räta vinklar. Motstående
sidor är lika långa.”
Formell definition:
Parallellogram vars alla
vinklar är räta.
Alt. Fyrhörning med
parvis parallella sidor.
NoK Pixel 2
Linje, stråle och sträcka
NoK Eldorado 3B
Linje: En linje har ingen
Ändpunkt
Formell definition:
Stråle: Linje som är rak och
begränsad åt ett håll
Formell definition:
Sträcka: Linje med en början
och ett slut
Kub
Pyramid
Rätblock
Sidoytor
Hörn
Kanter
NoK Pixel 2
Korrekta begrepp
Tredimensionella figurer
NoK Eldorado 3A
