Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Diskreta fördelningar STOKASTISKA VARIABLER Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). Definition 1. En reellvärld funktion definierad på ett utfallsrum β¦ kallas en (endimensionell) stokastisk variabel. Stokastiska variabler betecknas oftast med versaler X, Y, Z,... eller med grekiska bokstäver, ξ (ksi eller xi) , η (eta) , ζ (zeta). Exempel: I en låda finns fem lappar med talet 40, tre lappar markerade med 80 och 12 lappar markerade med 90. Vi tar ut en lapp på måfå. Möjliga utfall är följande reella tal 40, 80 ,90. Vi betecknar resultat med X. Då är X en stokastisk variabel. Sannolikheten att X får värdet x betecknar vi med P(X=x). T ex P(X=40)=5/20 eller P(X=80)=3/20. I det här fallet (ändligt antal möjliga utfall) kan vi ange alla möjliga resultat med motsvarande sannolikheter: X P(X=x) 40 5/20 80 3/20 90 12/20 DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER Definition 2 En stokastisk variabel kallas DISKRET om den antar numrerbart (=uppräkneligt) antal olika värden. Sannolikhetsfördelning för en diskret stokastisk variabel oftast anges med en tabell: ξ ππ(ππ = π₯π₯) π₯π₯1 ππ1 π₯π₯2 ππ2 … … π₯π₯ππ ππππ … … οΏ½ ππππ = 1 ππ Definition 3. Låt ξ vara en diskret stokastisk variabel. Funktionen p( x ) = P(x = x ) kallas sannolikhetsfunktionen till ξ . 1 av 8 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Diskreta fördelningar Definition 4. Låt ππ vara en diskret stokastisk variabel. Följande funktion πΉπΉ(π₯π₯) = ππ(ππ ≤ π₯π₯) kallas fördelningsfunktionen för ππ. För en diskret s.v. kan fördelningsfunktionen bestämmas genom att addera alla p k för de x k som är mindre eller lika med x: F ( x) = ∑ p( x k ) xk ≤ x ========================================================== VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS för diskreta s.v. VÄNTEVÄRDET för en diskret s.v. ξ betecknas m, µ eller πΈπΈ(ππ) , och definieras som där ππππ = ππ(ππ = π₯π₯ππ ) πΈπΈ(ππ) = οΏ½ π₯π₯ππ β ππππ ππ VARIANSEN för en diskret s.v. ξ betecknas ππ(ππ) , Var, ππ 2 eller ππ(ππ) = οΏ½(π₯π₯ππ − ππ)2 β ππππ π π 2 och definieras som ππ STANDARDAVVIKELSEN för en diskret s.v. ξ betecknas ππ eller s och definieras som ππ = √ππππππππππππππππππ 2 av 8 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Diskreta fördelningar NÅGRA VIKTIGA DISKRETA FÖRDELNINGAR Fördelning Sannolikhetsfunk. P (x = x) Väntevärde Varians Binomial Bin(n,p) nο£Ά x  ο£·ο£· p (1 − p ) n − x ο£ xο£Έ x = 0,1,..., n λx e −λ ⋅ x! x = 0, 1, 2, 3... np np (1 − p ) λ λ  N 1  N 2 ο£Ά   ο£·ο£· ο£ x ο£Έο£ n − x ο£Έ Nο£Ά  ο£·ο£· ο£nο£Έ np np (1 − p )( N − n) N −1 Poisson Po(λ ) Hypergeometrisk Hyp(N,n,p) N=N 1 +N 2 ππ = ππ1 /ππ ======================================================== ÖVNINGSUPPGIFTER Uppgift 1. I nedanstående tabell finns sannolikhetsfördelning för en diskret stokastisk variabel ξ. π₯π₯1 π₯π₯2 π₯π₯3 π₯π₯4 π₯π₯5 3 4 5 8 10 ξ ππ(ππ = π₯π₯) 0.2 0.1 0.3 0.1 0.3 a) Bestäm väntevärdet och variansen och standardavvikelsen för ξ. b) Rita stolpdiagrammet för tillhörande sannolikhetsfunktion ππ(π₯π₯) = ππ(ππ = π₯π₯) . c) Bestäm och rita grafen till fördelningsfunktion πΉπΉ(π₯π₯) = ππ(ππ ≤ π₯π₯). d) Beräkna följande sannolikheter: P ( 4 ≤ ξ ≤ 8) , P ( 4 < ξ ≤ 8) , P ( 4 ≤ ξ < 8) , P ( 4 < ξ < 8) , P(ξ ≤ 8) , P(ξ < 8) , P( 4 < ξ ) , P( 4 ≤ ξ ) , P(ξ ≤ 10) , P(ξ > 10) , P(ξ ≤ −3) , P(ξ > −3) . Lösning: a) VÄNTEVÄRDET: ππ = πΈπΈ( ππ) = οΏ½ π₯π₯ππ β ππππ = 3 β 0.2 + 4 β 0.1 + 5 β 0.3 + 8 β 0.1 + 10 β 0.3 = 6.3 ππ 3 av 8 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Diskreta fördelningar VARIANSEN: V(ξ) = ∑ππ(π₯π₯ππ − ππ)2 β ππππ = (3 − 6.3) 2 β 0.2 + (4 − 6.3) 2 β 0.1 + (5 − 6.3) 2 β 0.3 + (8 − 6.3) 2 β 0.1 + (10 − 6.3) 2 β 0.3 = 7.61 STANDARDAVVIKELSEN : ππ = √ππππππππππππππππππ = √7.61 = 2.7586 b) Grafen till sannolikhetsfunktionen ππ(π₯π₯) (stolpdiagram) 0,4 0,3 0,2 0,1 0 3 4 5 8 10 c) Fördelningsfunktion πΉπΉ(π₯π₯) = ππ(ππ ≤ π₯π₯) bestäms av kumulativa sannolikheter: ο£± 0  0.2   0.3 F ( x) = ο£²  0.6 0.7  ο£³ 1 om x < 3 om 3 ≤ x < 4 om 4 ≤ x < 5 om 5 ≤ x < 8 om 8 ≤ x < 10 om 10 ≤ x 4 av 8 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Diskreta fördelningar d) Från tabellen ξ ππ(ππ = π₯π₯) π₯π₯1 π₯π₯2 π₯π₯3 π₯π₯4 π₯π₯5 3 4 5 8 10 0.2 0.1 0.3 0.1 0.3 får vi: P( 4 ≤ ξ ≤ 8) = 0.1 + 0.3 + 0.1 = 0.5 , P( 4 < ξ ≤ 8) = 0.3 + 0.1 = 0.4 , P( 4 ≤ ξ < 8) = 0.1 + 0.3 = 0.4 , P( 4 < ξ < 8) = 0.3 , P(ξ ≤ 8) = 0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.1 = 0.7 , P(ξ < 8) = 0.2 + 0.1 + 0.3 = 0.6 , P( 4 < ξ ) = 0.3 + 0.1 + 0,3 = 0.7 , P( 4 ≤ ξ ) = 0.1 + 0.3 + 0.1 + 0.3 = 0.8 , P(ξ ≤ 10) = 1 , P(ξ > 10) = 0 , P(ξ ≤ −3) = 0 , P(ξ > −3) = 1 . Uppgift 2. (Hypergeometrisk fördelning) Bland 15 produkter finns 5 defekta. Man väljer på måfå 4 produkter. Bestäm sannolikheten att få a) ingen defekt b) exakt en defekt c) minst en defekt. 5 av 8 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Diskreta fördelningar Lösning: a) οΏ½50οΏ½ β οΏ½10 οΏ½ 4 οΏ½15 οΏ½ 4 b) = οΏ½51οΏ½ β οΏ½10 οΏ½ 3 c) ππ − οΏ½15 οΏ½ 4 οΏ½ οΏ½50οΏ½ β οΏ½10 4 οΏ½15 οΏ½ 4 2 = 0.1538 13 = 0.43956 = ππ − 2 = 0.8462 13 Binomialfördelning Låt A vara en händelse som inträffar med sannolikheten p vid ett försök. π΄π΄ π΄π΄πΆπΆ ππ(π΄π΄) = ππ ππ(π΄π΄πΆπΆ ) = ππ (= 1 − ππ) Vi upprepar försöket n gånger och kollar hur många gånger A inträffar. Låt ξ vara antalet gånger A inträffar vid n försök. Då gäller ππ ππ−π₯π₯ ππ(ππ = π₯π₯) = οΏ½ οΏ½ πππ₯π₯ (1 − ππ) , π₯π₯ π₯π₯ = 0, 1, β― , ππ. Vi säger att variabeln ξ är binomialfördelad med parametrar n och p och betecknar Man betecknar ofta 1 ππ ∈ π΅π΅π΅π΅π΅π΅(ππ, ππ). − ππ = ππ. Föregående formel kan då skrivas kortare ππ ππ(ππ = π₯π₯) = οΏ½ οΏ½ πππ₯π₯ ππππ−π₯π₯ , π₯π₯ π₯π₯ = 0, 1, β― , ππ. För en binomialfördelad s. v. ξ med parametrar n (antalet upprepningar av ett försök A) och p (sannolikheten för ett försök A) gäller följande formler Väntevärdet: E(ξ) =np 6 av 8 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Diskreta fördelningar Variansen: V(ξ) =npq och standardavvikelsen: σ = npq Uppgift 3. (Binomialfördelning) Vi planerar att producera 10 st produkter i en maskin. Sannolikheten för att en produkt blir defekt är 5%. Bestäm sannolikheten att få a) exakt 1 defekt produkt b) högst 1 defekt produkt c) minst 1 defekt d) ingen defekt e) alla defekta Lösning: Antalet defekta är en s. v. som vi betecknar med ξ . Variabeln är binomialfördelad med parametrar ππ = 10 och ππ = 0.05 ( och ππ = 1 − ππ = 0.95), som vi betecknar ξ ∈ Bin(10, 0.05) a) Sannolikheten att få exakt 1 defekt produkt är ππ1 = ππ(ππ = 1) = οΏ½ 10 1 9 οΏ½ ππ ππ = 0.3151 1 b) Sannolikheten för högst 1 defekt produkter är ππ0 + ππ1 där ππ0 = ππ(ππ = 0) = οΏ½ (ππ1 har vi beräknat i a) Därför ππ0 + ππ1 = 0.9139 c) ππ( ππππππππππ ππππ ππππππππππππ) = ππ1 + ππ2 + β― ππππ Eftersom ππ0 + ππ1 + ππ2 + β― ππππ = 1 har vi 10 0 10 οΏ½ ππ ππ = 0.5987 0 ππ( ππππππππππ ππππ ππππππππππππ) = ππ1 + ππ2 + β― ππππ = 1 − ππ0 = 1 − 0.5987 = 0.4013 d) Sannolikheten för ingen defekt är ππ0 = ππ(ππ = 0) = οΏ½ e) Sannolikheten för alla defekta är ππ10 = ππ(ππ = 10) = οΏ½ 10 0 10 οΏ½ ππ ππ = 0.5987 0 10 10 0 οΏ½ ππ ππ = 9.766 β 10−14 10 Poissonfördelning. Poissonfördelningen används oftast i modeller som beskriver antalet oberoende händelser under ett tidsintervall. Om för en stokastisk variabel ξ gäller π₯π₯ ππ ππ(ππ = π₯π₯) = π₯π₯! ππ−ππ , ππäππ π₯π₯ = 0, 1, 2, 3, …. 7 av 8 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Diskreta fördelningar då säger vi att ξ är Poissonfördelad med parameter ππ och skriver ππ ∈ ππππ(ππ). För en Poissonfördelad s. v. med parameter ππ gäller följande formler Väntevärdet: E(ξ) = λ Variansen: V(ξ) = λ och standardavvikelsen: ππ = √ππ ============================== APPROXIMATION av Bin(n,p) med ππππ(ππ). Om n är stor och p litet ( tumregel ππ > 10, ππ < 0.1) i en binomialfördelning Bin(n,p) då kan fördelningen Bin(n,p) approximeras med Poissonfördelningen ππππ(ππ) med ππ = ππππ. Uppgift 4. (Poissonfördelning) Till en telefonväxel ankommer i genomsnitt 90 anrop per timme. Vi antar att ankomster är Poissonfördelade. Bestäm sannolikheten att exakt 2 anrop kommer under ett tidsintervall som är en minut långt. Lösning. Viktigt: Parameter λ i en Poissonfördelad s.v. ξ är lika med väntevärdet E(ξ). Vi har i genomsnitt 90 ankomster per timme och därför 90/60=1.5 ankomster per minut. Vi betecknar antalet ankomster per minut med λ. Då är ππ ∈ ππππ(ππ). där λ = 1.5 ankomster per minut. Vi använder formeln π₯π₯ ππ −ππ ππ(ππ = π₯π₯) = ππ , och substituerar ππ = 1.5 och π₯π₯ = 2. π₯π₯! 1.52 −1.5 ππ(ππ = 2) = ππ = 0.2510 2! Uppgift 5. (APPROXIMATION. Binomialfördelning, Poissonfördelning) Man ska tillverka 1000 produkter. Vad är sannolikheten att få exakt 2 defekta produkter bland 1000, om felsannolikheten (sannolikheten att en produkt blir defekt) är 0.003. Lösning: Låt ππ beteckna antalet defekta produkter. Då gäller ππ ∈ π΅π΅π΅π΅π΅π΅(1000,0.003). Metod 1. Vi beräknar sannolikheten direkt (binomialfördelningen) dvs ππ ππ−π₯π₯ ππ(ππ = π₯π₯) = οΏ½ οΏ½ πππ₯π₯ (1 − ππ) , π₯π₯ π₯π₯ = 0, 1, β― , ππ. 1000 2 οΏ½ ππ (1 − ππ)998 = 0.2242 2 Metod 2. Vi kan approximera sannolikheten med hjälp av Poissonfördelningen med parameter λ=np=1000·0.003=3. ππ2 = οΏ½ ππ(ππ = π₯π₯) ≈ πππ₯π₯ −ππ 32 −3 ππ = ππ = 0.2240 π₯π₯! 2! 8 av 8