Klassisk elektrodynamik. Växelverkan mellan laddade

Institutionen för medicin och vård
Avdelningen för radiofysik
Hälsouniversitetet
Klassisk elektrodynamik
Växelverkan mellan laddade partiklar
och elektromagnetiska fält
Gudrun Alm Carlsson
Department of Medicine and Care
Radio Physics
Faculty of Health Sciences
Series: Report / Institutionen för radiologi, Universitetet i Linköping; 20
ISSN: 0348-7679
ISRN: LIU-RAD-R-020
Publishing year: 1975
© The Author(s)
1975-01-07
Klassisk elektrodynamik. Växelverkan mellan
laddade partiklar och elektromagnetiska fält.
Gudrun Alm Carlsson
Avd för radiofysik
Linköpings högskola
REPORT
LiH-RAD-R-020
Gudrun Alm Carlsson
Radiologiska institutionen
Avd för Radiofysik, Linköpings Högskola, vt 1973
Klassisk elektrodynamik. Växelverkan mellan laddade partiklar och
elektromagnetiska fält
Innehållsförteckning:
I:
Lorenzkraften och Maxwells ekvationer
II:
Det elektromagnetiska fältet i vakuum kring en punktladdning, som
utför en godtycklig rörelse. Retardationseffekten.
III: Coulombkraft – Lorentzkraft
IV: Emission av fri elektromagnetisk strålning
A. Vågzonen av det elektromagnetiska fältet
B. Det elektromagnetiska fältet på stort avstånd från en
punktladdning, som utför en harmonisk svängningsrörelse
C. Poyntings vektor
D. Elektromagnetisk strålning
E. Kraften med vilken den elektromagnetiska strålning, som en
laddning genererar, påverkar laddningen själv. Den emitterade
strålningens reaktionskraft.
V:
Tvärsnittet för Thomsonspridning av elektromagnetisk strålning
mot en fri elektron
A. Thomsonspridningstvärsnittet för polariserad strålning
B Thomsonspridningstvärsnittet för opolariserad strålning
Referenser
Sid 1
Sid 2
Sid 3
Sid 5
Sid 5
Sid 9
Sid 10
Sid 12
Sid 14
Sid 18
Sid 18
Sid 20
Sid 22
1
Klassisk elektrodynamik. Växelverkan mellan laddade partiklar och
elektromagnetiska fält
I: Lorentzkraften och Maxwells ekvationer
r
r
Det elektromagnetiska fältet karakteriseras av fältstorheterna E och B , som är
r
funktioner i tiden och rummet. Fältstorheterna definieras utifrån den kraft, F , med
r
vilken en partikel med laddningen q, som rör sig i fältet med hastigheten v , påverkas.
r
Den elektromagnetiska kraften, F , på partikeln kan skrivas
(
r
r r r
F= q E+ vxB
)
r
E kallas elektrisk fältstyrka
r
B kallas magnetisk fältstyrka
r
F kallas Lorentz-kraften
Men varifrån kommer det elektromagnetiska fältet? Elektromagnetiska fält genereras av
laddningar i rörelse (en laddning i vila genererar ett elektrostatiskt fält). I definitionen
av fältstorheterna ovan tänks i första hand att det elektromagnetiska fält i vilket den
betraktade laddningen q rör sig härstammar från alla de övriga laddningarna och deras
rörelser i rymden. (Laddningen q genererar även själv ett elektromagnetiskt fält, som
under vissa omständigheter återverkar på dess egen rörelse. Denna effekt diskuteras i ett
senare avsnitt).
r r
Sambandet mellan fältstorheterna E , B och laddningars rörelser i rymden ges i
Maxwells ekvationer:
där
ρ =
r
j =
ε0
c=
r ρ
I : divE =
ε0
r
III : divB = 0
r
r
∂B
II : rot E = −
∂t
r
r
r
j ∂E
2
IV : c ⋅ rot B =
+
ε0 ∂t
[coulomb ⋅m-3]
[coulomb ⋅s-1⋅m-2]
[(coulomb)2⋅newton -1⋅m-2]
107
2
ljusets utbredningshastighet i vakuum; ε 0 c =
4π
laddningstätheten
den elektriska strömtätheten
är en konstant med dimensionen
r
r
Fältstorheterna E och B är vektorer och definierar vektorfält. Begreppen divergensen
(div) för ett vektorfält och rotationen (rot) för ett vektorfält definieras i vektoranalysen. I
ord kan Maxwells ekvationer uttryckas:
2
I:
II:
III:
IV:
r ρ
r
1
divE =
: Vektorflödet av E genom en sluten yta =
.
ε0
ε0
(summan av laddningarna innanför den slutna ytan).
r
r
∂B
r
rot E = −
:
Linjeintegralen
av
E
runt en sluten kurva = -förändringen per
∂t
r
tidsenhet av vektorflödet av B genom en yta, som omsluts av den slutna kurvan.
r
r
div B = 0 : Vektorflödet av B genom en sluten yta = 0. (Det finns alltså inga
"magnetiska laddningar". Magnetiska fält kan bara genereras av elektriska
laddningar i rörelse. I permanenta inre strömmar. I en järnmagnet består dessa
strömmar av elektronernas spin-rörelser. Normalt är spin-rörelserna hos
elektronerna i ett medium godtyckligt orienterade så att ingen nettoeffekt
uppträder, men i ett fåtal media som järn kan det förekomma att en stor del av
elektronerna har sina spinrörelser orienterade i samma riktning så att ett
nettomagnetfält uppstår).
r
r
r
r
j ∂E 2
1
c ⋅ rot B =
: c . (linjeintegralen av B runt en sluten kurva =
+
.
ε0 ∂t
ε0
(strömmen genom en yta som omges av den slutna kurvan) + förändringen per
r
tidsenhet av vektorflödet av E genom en yta, som omges av den slutna kurvan.
2
II: Det elektromagnetiska fältet i vakuum kring en punktladdning, som utför en
godtycklig rörelse. Retardationseffekten.
Om fältet kring en punktladdning, som utför en godtycklig rörelse, är känt kan fältet
från godtyckliga laddningsfördelningar beräknas som en överlagring av fälten från varje
punktladdning i fördelningen. Det gäller från vektoranalysen att:
r
r
∂A
E = − grad φ −
∂t
r
r
B = rot A
r
φ och A kallas den skalära potentialen respektive vektorpotentialen till det
elektromagnetiska fältet.
r
Lösningen av φ och A kring en punktladdning q i godtycklig rörelse har utarbetats av
Lie'nard och Wiechert:
φ ( P, t ) =
q
r
r
v( t ') ⋅ r ( t ') 

4πε 0 c  r ( t ') −

c

t '= t −
2
r'
c
3
r
A( P, t ) =
r
qv
r
r
v( t ' ) ⋅ r ( t ' ) 

4πε 0 c  r ( t ') −

c

t '= t −
2
r'
c
Innebörden av dessa uttryck klargörs bäst med hjälp av en figur:
r
r
r
r
φ(P,t) och A (P,t), dvs värdet av φ och A , och därmed av E och B , i punkten P vid
r( t' )
tiden t beror av laddningens läge och hastighet vid en tidigare tidpunkt t ' = t −
.
c
r( t ')
är den tid det tar för det elektromagnetiska fältet att nå fram till punkten P från
c
r
r
punkten Q'. Värdet av fältvektorerna E och B i punkten P vid tiden t beror alltså av
laddningens läge vid en tidigare tidpunkt, dvs av dess "retarderade" läge. Man talar i
detta sammanhang om "retarderade" potentialer och fält.
r
r
r
Fältvektorerna E och B kan då φ och A är kända beräknas ur sambandet givet ovan.
Dessa räkningar är inte helt lätta och endast slutresultatet redovisas här.
r
r
 e' r r ' d  e r '  1 d 2 r 
 2 c dt  2  + 2 2 ( e r ' )
 r '  c dt
 r'

r
r
1 r
B( P, t ) = ⋅ e' r xE ( P, t )
c
r
r
r
r'
r ' = r ( t ') och e' r = (= enhetsvektor i riktningen r ' )
r'
r
E( P, t ) =
q
4πε 0
(
)
r
r
Anm. I ovanstående form har uttrycken för E och B utarbetats av Feynman.
III: Coulombkraft - Lorentzkraft
r
r
Ur ovanstående uttryck för E och B ser man speciellt att om laddningen q befinner sig
i vila så erhålls uttrycket för det elektrostatiska fältet kring en punktladdning, dvs
4
r
q er'
q
⋅ 2 =
4πε 0 r '
4πε 0
r
r r
B( P, t ) = 0 ty E e r ⇒
r
E( P, t ) =
(
r
er
⋅ 2
r
r r
er x E = 0
)
Coulombs lag ger kraften med vilken två laddade partiklar i vila påverkar varandra.
r
Coulombkraften F1 på laddningen q1 i det elektrostatiska fältet från q2 ges av:
r r
r
r r
q1q 2 r1 − r2
F1 = q1 ⋅ E q 2 ( r1 ) =
⋅
4πε 0 r12 3
där
r
r1 = ortsvektorn för laddningen q1
r
r2 = ortsvektorn för laddningen q2
r r
r
r12 = r1 − r2 = avståndet mellan q1 och q2
r
r
r
Kraften F2 på laddningen q2 i fältet från q1 är lika stor men motsatt riktad, F2 = - F1
Då de två punktladdningarna q1 och q2 befinner sig i rörelse gäller inte längre att
Coulombkraften beskriver partiklarnas inbördes kraftpåverkan. Däremot gäller alltid
Lorentzkraften exakt:
(
r
r r r
F= q E+ vxB
)
Betrakta speciellt fallet att partiklarna rör sig med ickerelativistiska hastigheter v << c.
r
Man ser då speciellt att den magnetiska kraften q vr x B kan försummas relativt den
r
elektriska kraften qE , ty
(
)
r
r
q 2  e' r12
r '12 d  e' r12  1 d 2 r 
+
e' r 
+
⋅ 
⋅

4πε 0  ( r '12 ) 2
c dt  ( r '12 ) 2  c 2 dt 2 12 
r r
r r
1r
B q 2 ( r1 , t ) = e' r12 x E q 2 ( r1 , t )
c
r r
E q 2 ( r1 , t ) =
( )
[
]
r r
där E q 2 ( r1 , t ) är den elektriska fältstyrkevektorn vid platsen för laddningen q1 vid tiden t
r r
från laddningen q2 och B q 2 ( r1 , t ) är motsvarande magnetiska fältstyrkevektor. Vektorn
r
r r
r
r
r '12 ges av r1 − r ' 2 där r1 är ortsvektorn för q1 vid tiden t och r ' 2 är ortsvektorn för q2
r'
vid tiden t ' = t − 12
c
Den magnetiska kraften på q1 blir då:
5
[
]
r r 
r 1 r
q 1  v1 x e r '12 x E q 2 ( r1 , t ) 
c


r
v1
E q 2 ( r1 , t ) , dvs då v1 << c gäller att den
c
r
magnetiska kraften är försumbar gentemot den elektriska kraften q1 E q 2 ( r1 , t ) .
Absolutvärdet av denna kraft är ≤ q1
Vidare gäller att om även v2 << c så är den sträcka q2 förflyttar sig från tiden
r'
t ' = t − 12 till tiden t försumbar så länge inte avståndet r'12 är alltför stort. Man kan
c
r
r
alltså sätta r ' 2 ≈ r2 ( t ) och försumma retardationseffekten i det av q2 vid q1 alstrade
elektromagnetiska fältet. Kraften med vilken partiklarna påverkar varandra kan då
approximativt beskrivas som en Coulombkraft.
IV: Emission av fri elektromagnetiska fältet
A. Vågzonen av det elektromagnetiska fältet
r
Betrakta återigen uttrycket för den elektriska fältstyrkan E i en punkt P vid tiden t från
en punktladdning, som utför en godtycklig rörelse.
r
r
 er' r' d  e r'  1 d 2 r 
 2 + ⋅  2  + 2 2 ( e r ' )
c dt  r '  c dt
 r'

r
r
1 r
B( P, t ) = e r ' x E ( P, t )
c
r'
t' = t −
c
r
E ( P, t ) =
q
4πε 0
[
]
r
Uttrycket för E ( P, t ) består av två delar, som uppför sig helt olika.
r
De två första termerna beror av hastigheten v' och avtar med kvadraten på avståndet r':
6
r
r
e r ' r' d  e r ' 
+
 
r ' 2 c dt  r ' 2 
r
r
r
r
r
d  er'  d  r '  dr ' 1
3 dr ' r 1 d r ' dt ' 3e r ' dr ' dt '
⋅ −
⋅ r'= 3
−
Betrakta  2  =
 =
dt  r '  dt  r '3  dt r ' 3 r ' 4 dt
r ' dt ' dt r '3 dt ' dt
Men t ' = t −
dr ' d
=
dt ' dt '
r'
dr '
d
 dt ' 
⇒ r ' = c( t − t ') ⇒
= c ⋅ ( t − t ') = c ⋅  1 −

c
dt
dt
dt 

( x'
2
)
+ y ' 2 + z' 2 =
r r
1
1
dx '
dy '
dz'  1 r r

⋅
⋅  2x '
+ 2y'
+ 2z'  = ( r '⋅ − v') = − e r ' ⋅ v'
2 x ' 2 + y ' 2 + z' 2 
dt '
dt '
dt '  r '
r r dt '  dt ' 
dt '
c
1
dr ' dr ' dt '
=
=
⋅ = − e r ' ⋅ v'⋅ = c 1 −
r r ⇒
⇒
r r =
e ⋅ v'
dt 
dt c − e r ' ⋅ v'
dt
dt dt ' dt

1 − r'
c




r
 3er r r 

d  er' 
1 r 
1
1
r'


⇒
⋅ ( e r ' ⋅ v') ⋅
r r +
r r⇒
  = − 3 ⋅ v'
dt  r ' 2 
r'
 1 − e r ' ⋅ v'  r ' 3
 1 − e r ' ⋅ v' 




c 
c 







r
 r r r 

r' d  e r ' 
1  r 
1
1
⇒
r r  + 3e r ' ( e r ' ⋅ v') ⋅ 
r r 
 2  = 2  − v'⋅
c dt  r '  r ' ⋅c 
 1 − e r ' ⋅ v' 
 1 − e r ' ⋅ v'  





c 
c  


Det gäller alltså att:
r
r
e r ' r' d  e r ' 
r
+
 2  beror av v' och avtar med kvadraten på avståndet r'.
2
c dt  r ' 
r'
r
1 d 2 er'
Den sista termen, 2 ⋅ 2 , är däremot, för stora avstånd r', proportionell mot
dt
r c
a
'
accelerationen och avtar endast med (r')-1:
r
r
r
r
1 d 2er'
1 d  de r '  1 d  d  r '   1 d  1 dr ' r 1 d r ' 
= 2⋅ 
⋅ r '+ ⋅  =
   =
=
−
r ' dt 
c 2 dt 2
c dt  dt  c 2 dt  dt  r '   c 2 dt  r ' 2 dt


r
r

1  d  1 d r '  d  r ' dr '  
= 2    ⋅  −
 2

dt 4 r2
c   dt  r ' dt  1
' 4dt3 
144 24 43


2
1
7
1.
r
r
r
r
d  1 d r '  d  1 d r '  dt '  d  1  d r ' 1 d  d r '   dt '
+
=



⋅ =   ⋅

=
dt  r ' dt  dt '  r ' dt  dt  dt '  r '  dt r ' dt '  dt   dt
r
r
 1 dr ' d r ' dt ' 1 d  d r ' dt '   dt '
= − 2
+
⋅ 
=

 r ' dt ' dt ' dt r ' dt '  dt ' dt   dt
r
r
 1 r r r dt ' 1 d 2 r ' dt ' 1 d r ' d 2 t ' dt  dt '
=  − 2 ( e r ' ⋅ v' ) ⋅ v ' +
+ ⋅
⋅
=

dt r ' dt ' 2 dt r ' dt ' dt 2 dt '  dt
 r'
r r
2
2
2
r  e r ' ⋅ v'  
 dt '  1  r r d t '  dt 
=   ⋅  − a '− v' 2   − v'⋅

dt  dt ' 
 dt  r ' 
 r '  
För stora värden på r' erhålls:
r
2
2
d  1 d r '   dt '  1  r r d 2 t '  dt  
−
−
⋅
=
a
'
v
'
  

   
dt  r ' dt   dt  r ' 
dt 2  dt '  
2.

r
r
r
r
d  r ' dr '  d  r ' dr '  dt '  r ' d  dr '  r dr '  − 2  dr ' 1 dr ' d r '  dt '
+ 2
⋅ 
=  2

=


  + r '⋅ ⋅  3 
dt  r ' 2 dt  dt '  r ' 2 dt  dt  1
' 4dt3 14dt4 2
'
dt
dt
r ' 4dt2
r
'
 r4' 4 dt
1
4
2
4
3'  dt
3
c
)


a)
b)
a)
r
r
r
r
e r ' d  r r dt '  e r '  de r ' r dt ' r dv' dt ' r r d 2 t ' dt 

e
v
'
v
'
e
=
−
⋅
−
⋅
⋅ − e r ' ⋅ v'⋅ 2 ⋅  =
−
⋅
⋅

 r'
r'
r ' dt ' 
dt  r '  dt '
dt
dt ' dt
dt dt ' 
r
r
r
r r 2
r
r
2
e dt '   d r ' 1 e r ' dr '  r r r r r d 2 t '  dt   e r ' dt '  v' 2 ( e r ' ⋅ v')
v
'
e
a
'
e
v
'
(
)
+
−
= r'
−
⋅
−
⋅
−
⋅
=
−

  


r'
r'
r ' dt   dt ' r ' r ' dt ' 
r'
dt 2  dt '   r ' dt  r '
r
2
2
r r r r d 2 t '  dt   e r ' dt '  r r r r d 2 t '  dt  
⋅  − e r ' ⋅ a '− ( e r ' ⋅ v ' ) 2   
− e r ' ⋅ a '− ( e r ' ⋅ v ' ) 2    =
dt  dt '   r ' dt 
dt  dt '  
↑
för stora r'
b)
r
r
r r
2e r ' r r dt '
e r ' dt '  2 r r 2 
( − e r ' ⋅ v ' ) ⋅ ⋅ ( − e r ' ⋅ v ') = ⋅ ⋅  − ( e r ' ⋅ v ' ) 
−
dt
r ' dt  r '
r'2

c)
r r dt '
r
1
⋅ ( − e r ' ⋅ v' ) ⋅ ( − v ' )
2
dt
r'
8
För stora värden på r' erhålls:
r
r
2
2
d  r ' dr '  e r '  dt '   r r r r d 2 t '  dt  
   − e r ' ⋅ a '− ( e r ' ⋅ v') ⋅ 2   

=
dt  r ' 2 dt  r '  dt  
dt  dt '  
dvs för stora r' gäller:
r
2
2
2
r r r r r r d 2 t '  dt  
1 d 2 e r ' 1 1  dt '   r r d 2 t '  dt 
= 2    − a '− v' 2   + ( e r ' ⋅ a ')e r ' + e r ' ⋅ ( e r ' ⋅ v') 2   
c 2 dt 2
c r '  dt  
dt  dt ' 
dt  dt '  
d 2 t'
För
gäller:
dt 2
 dt '
 d 
r r dt '
d 2 t' d 
c
c
c
d


= −
=
r r  =
r r 
r r 2 ⋅ ( c − e r ' ⋅ v') ⋅ =
2
dt  c − e r ' ⋅ v'  dt '  c − e r ' ⋅ v'  dt
dt
dt
( c − e r ' ⋅ v') dt '
c2
d r r
= −
r r 3 ⋅ ( − e r ' ⋅ v' )
( c − e r ' ⋅ v') dt '
Men:
r
r
d r r
d  r '  r r dv '
( − e r ' ⋅ v') = −   ⋅ v'− e r ' ⋅ = − err ' ⋅ ar'
dt '
dt '  r ' 
dt '
↑
för stora r'
För stora r' gäller alltså:
r r
d 2 t'
c2
=
r r 3 ( e r ' ⋅ a ')
2
dt
( c − e r ' ⋅ v')
och därmed:
2
r
r r 2
  r
r r ( c − e r ' ⋅ v' ) r r r r
1 d 2er' 1 1 
c
c2
= 2 
⋅ ( e ⋅ a ')
v'+ e r ' ( e r ' ⋅ a ') +
r r  ⋅  − a '−
c 2 dt 2
c r '  c − e r ' ⋅ v'  
c2
( c − err ' ⋅ vr')3 r '
r r 2
r r r
r r ( c − e r ' ⋅ v ') 
c2
( e ⋅ a ')
+ e r ' ( e r ' ⋅ v')
=
c2
( c − err ' ⋅ vr')3 r '

2
  r r r r
r r r r r r 
1
1 1
c
= 2 
r r   − a '− e r ' ( e r ' ⋅ a ') −
r r ⋅ ( e r ' ⋅ a ')( v'− e r ' ( e r ' ⋅ v'))
( c − e r ' ⋅ v' )
c r '  c − e r ' ⋅ v'  

r
r r r
e r ' ( e r ' ⋅ a ') = accelerationens komponent i r ' -riktningen
r
r r r
e r ' ( e r ' ⋅ v') = hastighetens komponent i r ' -riktningen
9
1
försummas gentemot de
r '2
1
1
termer, som innehåller en faktor . De termer, som innehåller en faktor , existerar
r' r
r'
r
a
'
0
a
'
0
≠
≠
endast om accelerationen
. Om
gäller att på stora avstånd, r', är det
r
r
elektromagnetiska fältet transversellt, dvs båda fältvektorerna E och B är vinkelräta
rr r
r
mot r ' . Man kallar denna region där E r ' B för vågzonen (wave zone).
För stora värden på r' kan termer innehållande en faktor
B. Det elektromagnetiska fältet på stort avstånd från en punktladdning, som utför en
harmonisk svängningsrörelse
Den oscillerande laddningens rörelse beskrivs av ekvationen
z = z o ⋅sin ( ν ,t )
Antag, att q alltid rör sig med en icke-relativistisk hastighet, v << c. Betrakta fältet i en
r
punkt P sådan att rp > > z o , dvs så att P befinner sig i vågzonen.
r
r
Vid en viss tidpunkt, t, beror fältstyrkan E i punkten P på accelerationens värde a ' vid
r
q 1 1
r'
{− ( ar'− err ' ( err ' ⋅ ar'))}
den tidigare tidpunkten t ' = t −
och ges av E ( P, t ) =
2
4πε o r ' c
c
rp
r
Eftersom rp > > z o kan man sätta r' ≈ rp och t' ≈ t −
.
c
Vidare gäller att:
10
r d r
v=
( ze z ) = z o cos(ν ⋅ t ) ⋅ν ⋅ erz
dt
r
r
r
r dv
a=
= − z o ⋅ν ⋅ sin (ν ⋅ t ) ⋅ν e z = − ν 2 z o sin (ν ⋅ t )e z
dt
r r r r
r
r r
a '− e r ' ( e r ' ⋅ a ') = a ' sinξ = vinkeln mellan z - axeln ( a ') och r ' ( rp )
E ( P, t ) =
⇒

q
1 1
⋅ ⋅ 2 ⋅ν 2 z o ⋅ sin  ν
4πε o rp c

r  

 t − p   ⋅ sin ξ
c  

Härav framgår att i punkten P fås ett elektriskt fält, som varierar med samma frekvens,
som frekvensen hos den laddning, som ger upphov till fältet. Den elektriska
r
fältstyrkevektorn E har en riktning, som ges av accelerationens projektion i ett plan
r r
vinkelrätt mot observationsriktningen rp . E -fältet har en bestämd polarisation i en
given observationsriktning ξ .
C. Poyntings vektor
Då ett objekt utstrålar ljus förlorar det energi. Det är klart att materiens energi inte
bevaras. Lagen om energins konstans måste även omfatta det elektromagnetiska fältets
energi.
Sätt:
u = fältets energitäthet (= energi per volymsenhet).
v
S = energiströmtätheten i fältet (= energi, som per tidsenhet
v
strömmar genom en enhetsyta vinkelrätt mot S ).
Energilagen ger:
−
∂
udV =
∂ t V∫
v v
S
∫∫ ⋅ dS + (arbetet utfört på partiklarna, som finns i volymen V per
S( V )
tidsenhet).
11
V = betraktad volym i rymden
S(V) = sluten yta kring V.
Kraften, som verkar på en partikel med laddningen q, ges av:
(
r
r r r
F= q E+ VxB
)
r r
F ⋅ V ger det av fältet på laddningen q utförda arbetet per tidsenhet.
Men
r r
r r r r
r r r r r
r r r r
r
F ⋅ v = q E + v x B ⋅ v = q E ⋅ v + v x B ⋅ v = qE ⋅ v, ty v x B är en vektor ⊥ v ⇒
(
[
)
(
) ]
( vr x B) ⋅ vr = 0
r
Om i volymselementet ∆ V finns N partiklar blir det av fältet per tidsenhet i ∆ V utförda
arbetet på materia =
r r
r  N
r 
q
E
⋅
v
=
E
∑i= 1 i i ⋅  ∑i= 1 q i ⋅ v i 
N
r r
1 N
⋅ ∑ q i ⋅ v i = j (= strömtätheten) så att det av fältet per tids- och volymsenhet
Men
∆ V i= 1
utförda arbetet på materia kan skrivas:
r r
E⋅ j
Vi får då:
−
∂
udV =
∂ t V∫
r
r r
r
∫∫( )S ⋅ dS + ∫ E ⋅ j dV
S V
V
Med hjälp av Gauss sats kan ytintegralen överföras till en volymsintegral så att:
−
∂
udV =
∂ t V∫
r
div
S
∫ dV +
V
r r
E
∫ ⋅ j dV
V
Eftersom denna ekvation är sann för varje volym V kan man sätta likhetstecken mellan
integranderna:
−
r r r
∂u
= div S + E ⋅ j
∂t
Från Maxwells ekvationer erhålls efter diverse vektoromformningar att det gäller:
r r
r r ∂  ε oc2 r r ε o r r
2

E ⋅ j = ε o c div B x E −
B⋅B +
E ⋅ E 
∂ t  2
2

(
)
12
Om man definierar
u=
ε oc2 r r ε o r r
B⋅B +
E⋅E
2
2
r
erhålls för S :
(
r
r r
∂u r r
div S = −
− E ⋅ j = − ε o c 2 div B x E
∂t
)
dvs att:
(
r
r r
S = ε oc 2 E x B
)
r
S kallas för Poyntings vektor.
Anm.: Definitionen av u ovan är i viss mån godtycklig. Det finns i själva verket ett
r
oändligt antal sätt att definiera u och S , men hitintills har ingen kunnat ange ett sätt att
experimentellt bestämma vilken definition som skulle vara den riktiga. Man har helt
enkelt bestämt sig för att välja den definition, som ligger närmast till hands.
D. Elektromagnetisk strålning
rp2 dΩ = rp2 sin ξ dξ dφ
13
r
r r
Poyntings vektor i punkten P kommer att peka i samma riktning som rp ( E och B är
r
r
båda vinkelräta mot rp ). Genom ytelementet rp 2 dΩ passerar en elektromagnetisk
energi per tidsenhet given av:
(
)
r r2
r
2
S ⋅ rp dΩ e rp = ε 0 c 2 E ⋅ B ⋅ rp dΩ
Det gäller att:
B=
E
c
varför energiströmningen genom rp2 dΩ per tidsenhet vid tiden t ges av:
ε 0 ⋅ c ⋅ E rp dΩ = ε 0 c ⋅
2
=
2
q2
( 4π ε 0 )
2
rp   2
1 1 4 2
2 
2
 sin ξ ⋅ rp dΩ =
2 ⋅ 4 ν z o ⋅ sin  ν t −
rp c
c 
 
2
rp   2
ε0 q
4
2
2 
 sin ξ dΩ
2 ν z o sin  ν t −
3
c ( 4π ε 0 )
c 
 
Integrera över en sfär med radien rp och med centrum i origo. Den energi, som per
tidsenhet strömmar ut genom sfären vid tiden t ges av:
 
rp  
ε 0 q2
2
4
2
d
ξ
dφ
ν
z
sin
ν
t
−

 sin 2 ξ sin ξ =
2
o
∫0 ∫0 c3 ( 4πε 0 )
c
 
π
2π
ε
q2
4
2
2 
 t − rp  
= 2π 03
ν
z
sin
ν

o
c ( 4πε 0 )2
c 
 
π
∫ sin
3
ξ dξ =
0
 
rp  
q 2a ' 2
8π ε 0 q 2
2
4
2
ν
z
sin
ν
t
−
=


o
3 c 3 ( 4πε 0 )2
c   6πε 0 c 3
 
ty:
π
∫ sin ξ dξ
3
0
=
4
3
Man ser att den energi, som per tidsenhet strömmar genom en avlägsen sfär kring den
oscillerande laddningen är ≠ 0 oberoende av sfärens radie. Detta ger upphov till
emission av fri elektromagnetisk strålning genom rymden. Det är alltså den del av det
1
elektromagnetiska fältet kring en laddning i rörelse, som avtar med , som ger upphov
r'
till emissionen av fri elektromagnetisk strålning. Denna del beror av accelerationen så,
att endast en laddning, som utför en accelererad rörelse, kan ge upphov till
elektromagnetisk strålning. det elektromagnetiska strålningsfältet är transversellt, dvs
r
r
fältvektorerna E och B bildar rät vinkel med fältets utbredningsriktning och med
varandra.
14
Betrakta återigen fältet kring den oscillerande laddningen. Energin, som per tidsenhet
strömmar genom en avlägsen sfär kring laddningen beror av sfärens radie i uttrycket
 
rp  
  . Men om man bildar tidsmedelvärdet över svängningstiden T för en
sin 2  ν  t −
c  
 
oscillation fås ett tidsmedelvärde av energiströmningen per tidsenhet, som är oberoende
av radien rp.
Tidmedelvärdet ges av:
1 8π ε 0 q 2
4 2
2
⋅∫
2 ν z o sin ( ν t' )dt' =
3
T 0 3 c ( 4π ε 0 )
T
4π ε 0 q 2
q 2 ⋅ ν 4 ⋅ z o2
4 2
ν
z
=
o
3 c 3 ( 4π ε 0 )2
12π ε 0 ⋅c 3
qe 2
Anm.: I cgs-systemet används e i stället för
där qe = elektronens laddning. Man
4π ε 0
1 e2 4 2
ser ofta ovanstående uttryck i formen
ν z o , som alltså refererar till cgs-systemet
3 c3
och fallet med en elektron i rörelse.
2
E. Kraften med vilken den elektromagnetiska strålning, som en laddning genererar,
påverkar laddningen själv. Den emitterade strålningens reaktionskraft
En laddad partikel, som utför en accelererad rörelse, emitterar elektromagnetisk
strålning, dvs energi. Denna energiemission måste återverka på laddningens rörelse på
samma sätt som en kämpande kraft. Det är alltså inte korrekt att sätta upp
rörelseekvationen för en laddad partikel utan att ta hänsyn till såväl den yttre kraft, som
ursprungligen är orsaken till dess rörelse, som den bromsande kraft, som motsvarar
utstrålningen av elektromagnetisk energi. Denna kraft kan beräknas utifrån ett
energibalansresonemang. betrakta fallet med en icke-relativistisk laddad partikel i
rörelse t ex den oscillerande laddningen i exemplet ovan. Den energi, som per tidsenhet
strömmade genom en avlägsen sfär vid tiden t gavs av:
q 2 a' 2
6π ε 0 c3
rp
. Man kan uttrycka det så, att denna
c
energi är den energi, som laddningen emitterade vid den tidigare tidpunkten t'.
där a' = laddningens acceleration vid tiden t' = t −
I första approximationen beskrivs partikelns rörelse av
r
r
Fo = m ⋅ a
15
r
r
där Fo = den yttre kraften verkande på partikeln. Till denna kraft adderas en kraft F ,
som ska ta hänsyn till energiförlusten genom strålningsemission, så att
rörelseekvationen blir:
r r
r
Fo + F = m ⋅ a
Energilagen (sid 10) ger:
−
∂
udV =
∂ t V∫
(
)
r r r r r
S
∫∫ ⋅ dS + Fo + F ⋅ v
S( V )
Om volymen V väljs som en sfär med centrum i origo och med radien rp erhålles:
r r q 2 a'2
S
⋅ dS =
∫∫
6πε 0 c 3
(
)
SV
I en första approximation försummas dämpningeseffekten. En partikel, som utför en
periodisk rörelse kommer att befinna sig i samma rörelsetillstånd vid två tidpunkter t1
och t2. Då kommer u att ha samma värde vid tidpunkterna t1 och t2 vilket innebär att:
t2

∫  −
t1

∂
udV dt = 0
∫
∂tV

r
Vidare kommer arbetet, som utförts av den yttre kraften Fo under tiden t1 till t2 att vara
lika med noll, dvs
t2
r r
o ⋅ v dt = 0
∫F
t1
Om detta resultat sätts in i energijämviktsekvationen ovan erhålls:
rr
∫ F'⋅v' dt = −
t2
t1
t2
q 2a'2
∫t 6πε 0 c 3 dt
1
Då integrationenr utförs över en hel period av rörelsen
blir resultatet detsamma om
r
accelerationen a vid tiden t betraktas i stället för a ' vid tiden t'.
Genom partialintegrering erhålls:
  r dvr  t 2
q 2a 2
q2
∫t 6πε 0 c 3 dt = 6πε 0 c 3 ⋅   v ⋅ dt  t −
1
1

t2
2
2r
q
r d v
= −
v ⋅ 2 dt
3 ∫
6πε 0 c t1 dt
t2
r
r d 2 v 
∫t v ⋅ dt 2 dt  =
1

t2
16
r t2
 r dv 
ty  v ⋅  = 0 eftersom rörelsetillståndet vid tiderna t2 och t1 förutsattes vara lika.
 dt  t1
r
Då erhålls för reaktionskraften F :
r r
F
∫ ⋅ vdt =
t2
t1
r
t2
q2
r d2v
dt
⋅ v⋅
6πε 0 c 3 t∫1 dt 2
Det måste då gälla att:
r
F=
r
q2
d2v
⋅
6πε 0 c 3 dt 2
r
Reaktionskraften F är alltså proportionell mot tidsderivatan av accelerationen.
r
r
Härledningen av F ovan är korrekt bara så länge F är liten jämfört med de andra yttre
krafterna. För en harmonisk oscillator gäller detta så länge frekvensen ν ej är alltför
hög:
z = z 0 ⋅ sin ν t
Utan dämpning är den drivande kraften av den harmoniska oscillatorn given av:
F0 = m ⋅ a = mν 2 z 0 sin ν t
r
För den dämpande kraften F gäller:
F=
q2
⋅ν 3 ⋅ z 0 cos ν t
6πε 0 c 3
F0>>F ger:
mν 2 z 0 sin ν t > >
mν
2
>>
q2
ν 3 z 0 cos ν t
3
6πε 0 c
q2
ν
6πε 0 c 3
3
6πε 0 mc 3
ν <<
q2
Om den oscillerande laddningen antas vara en elektron blir energin hos en foton med
 6πε 0 m 0 c 3 
E = h
 ≈ 200 MeV.
e2


17
Men hur skall reaktionskraften kunna förklaras? Ovanstående beräkning av
reaktionskraften utgör en fenomenologisk beskrivning av densamma men ingen
"förklaring". Här råkar man in i svårigheter, som ännu inte har kunnat lösas vare sig
klassiskt eller kvantteoretiskt. Frågan gäller elektronens struktur och begreppet
"punktladdning". Om man tänker sig elektronen som en liten "boll" med en viss
laddningsfördelning kan man visa hur de olika delarna av denna laddningsfördelning
verkar på varandra då elektronen befinner sig i vila respektive då den rör sig. Då den
befinner sig i vila balanserar krafterna varandra så att ingen nettokraft uppstår. Då
elektronen accelereras kommer emellertid retardationseffekter inom den "boll", som
elektronen utgör, att åstadkomma en obalans mellan krafterna med vilka de olika
laddningselementen påverkar varandra så att en nettokraft uppstår med vilken
elektronen påverkar sig själv och som är så riktad att den motverkar accelerationen.
Bilden är tagen från "The Feynman lectures on physics" Vol II. Addison-Wesley 1970.
Då specialfallet med rörelse i endast en dimension betraktas erhålls för självkraften:
F= α ⋅
Här är
e 2 r0 d 4 z
e 2 d 2 z 2 e 2 d 3z
−
+
γ
⋅
+ ....
r0 c 2 dt 2 3 c 3 dt 3
c 4 dt 4
 2
e


 r0
 α ,γ


2
=
qe
där q e = elektronens laddning
4πε 0
= elektronsfärens radie
= numeriska koefficienter ≈ 1, som beror av
vilken laddningsfördelning som antas.
Det intressanta är att den andra termen inte beror av vilken laddningsfördelning, som
antas och att den överensstämmer med den reaktionskraft, som erhölls ur
energibalansberäkningen. Man skulle alltså vilja ha denna term men inte de övriga i
summan ovan. Låter man elektronsfärens radie ro→ 0 försvinner den tredje och alla
följande termer men den första går mot oändligheten!
Ett annat problem förbundet med denna elektronmodell är frågan vad som håller ihop
elektronen, dvs vad det är som gör att den inte "flyger i bitar".
18
V. Tvärsnittet för Thomsonspridning av elektromagnetisk strålning mot en fri
elektron
A. Thomsonspridningstvärsnittet för polariserad strålning
Låt en plan våg av elektromagnetisk strålning med frekvensen ν och given
polarisationsriktning infalla mot en elektron i vila. Den elektriska fältstyrkevektorn ges
av:
r r
E = E 0 sin (ν t )
Detta fält kommer att sätta elektronen i svängning. Antag, att elektronen därvid endast
uppnår icke-relativistiska hastigheter. Då kan den magnetiska kraften på elektronen
försummas liksom dämpningskraften till följd av att elektronens rörelse ger upphov till
emission av elektromagnetisk strålning. Rörelseekvationen för elektronen kan skrivas:
r
r
d2r
m 0 2 = q e ⋅ E 0 sin (ν t )
dt
r
Välj ett koordinatsystem med z-axeln parallell med den elektriska fältstyrkevektorn E o .
Då kan rörelseekvationen skrivas:
d2z
m 0 2 = q e ⋅ E 0 sin (ν t )
dt
En lösning till denna ekvation ges av:
z= −
qe ⋅ E0
sin (ν t )
m 0ν 2
Elektronen utför en svängningsrörelse med samma frekvens som frekvensen hos den
infallande plana vågen. Elektronens rörelse ger upphov till emission av en sekundär våg
också denna med samma frekvens. (Jfr avsnitt IV B).
19
r
r
Den elektriska fältstyrkevektorn i punkten Q ligger i planet definierat av E 0 och rQ och
r
vinkelrätt mot rQ . I en given punkt Q har sekundärstrålningen en given
polarisationsriktning relativt polarisationsriktningen hos den infallande strålningen.
Genom ytelementet dS = rQ 2 sin 2 ξ dξ dφ = rQ 2 dΩ strömmar vid tiden t en
elektromagnetisk energi per tidsenhet given av (jfr IV D):
dW ( t ) =
ε 0 qe
2
⋅ν 4 z 0 sin 2
2
3
c ( 4πε 0 )
där z 0 =
qe ⋅ E0
m 0ν 2
2

ν

r 

 t − Q   sin 2 ξ dΩ
c 

Tidsmedelvärdet av dW(t) över en svängningsperiod T ges av:
T
qe
1
1 ε
2
dW =
dW( t ) dt = ⋅ 03 ⋅
⋅ν 4 z 0 sin 2 ξ dΩ
2
∫
T0
2 c ( 4πε 0 )
2
Energiströmtätheten, Sin(t), i den infallande elektromagnetiska vågen ges av:
(
)
2
r r
2
2 E0
S in ( t ) = ε 0 c E x B = ε 0 c
⋅ sin 2 (ν t ) = ε 0 cE 0 sin 2 (ν t )
c
2
Tidsmedelvärdet av Sin(t) över en svängningsperiod T ges av:
Sin =
1
2
ε 0 cE 0
2
20
Thomsonspridningstvärsnittet anges som kvoten mellan tidsmedelvärdet av den genom
rymdvinkeln dΩ passerande energin per tidsenhet och tidsmedelvärdet av den infallande
energin per tids- och ytenhet:
2
2

qe
dW 
 sin 2 ξ dΩ = r0 2 sin 2 ξ dΩ
d eσ Th ( ξ , φ ) =
= 
2 
Sin  4πε 0 m 0 c 
där r0 = den klassiska elektronradien (r0 = 2,82 ⋅ 10-15m) Den totala sekundärt
emitterade energin per tidsenhet per infallande energi per tids- och ytenhet ges av:
eσ
Th
=
∫ dW =
Sin
∫ d eσ
Th ( ξ , φ ) =
π
r0
2
3
∫ dξ sin ξ
0
2π
∫ dφ =
0
8π 2
r0
3
(m 2 / elektron)
Lägg märke till att såväl det differentiella som det totala Thomsonspridningstvärsnittet
per elektron är oberoende av frekvensen hos den infallande plana elektromagnetiska
vågen.
B. Thomsonspridningstvärsnittet för opolariserad strålning
Opolariserad infallande strålning innebär att den elektriska vektorn svänger runt i ett
plan vinkelrätt mot utbredningsriktningen. Den elektriska vektorns riktning definierar
alltså inte längre en bestämd riktning som vid fallet med polariserad infallande
strålning. Välj ett koordinatsystem enligt nedan:
21
r
Observationsriktningen rQ bestäms av vinklarna θ (polarvinkeln) och φ (azimutvinkeln). Elektriska vektorn hos den infallande strålningen kan tänkas sammansatt av
två polariserade komponenter med polarisationsriktningarna vinkelrätt mot varandra
och med samma tidsmedelvärde av den infallande energiströmtätheten hos båda
komponenterna (enligt superpositionsprincipen). Välj att göra uppdelningen längs xr
och y-axeln. x-axeln bildar vinkeln ξ 1 med observationsriktningen rQ och y-axeln bildar
vinkeln ξ 2 med denna.
Thomsonspridningstvärsnittet för den opolariserade strålningen erhålles då som ett
medelvärde av tvärsnitten för polariserad strålning där de elektriska vektorerna bildar
r
vinklarna ξ 1 respektive ξ 2 med observationsriktningen rQ :
{
2
d eσ
Th
r0
dΩ sin 2 ξ 1 + sin 2 ξ 2
2
(opolariserad strålning) =
}
Det gäller nu att finna sambandet mellan ξ 1 och vinklarna θ och φ respektive mellan ξ 2
och vinklarna θ och φ.
De cartesiska koordinaterna (x,y,z) för punkten Q kan uttryckas med hjälp av vinklarna
θ ,φ,ξ 1 och ξ 2:
x = rQ sin θ cos φ = rQ cos ξ 1
y = rQ sin θ cos φ = rQ cos ξ 2
z = rQ cos θ
(
)
θ)
r r
2
2
rQ = rQ ⋅ rQ = x 2 + y 2 + z 2 = rQ sin 2 θ cos 2 φ + sin 2 θ sin 2 φ + cos 2 θ =
(
)
(
= rQ cos 2 ξ 1 + cos 2 ξ 2 + cos 2 θ = r Q 1 − sin 2 ξ 1 + 1 − sin 2 ξ 2 + cos 2
2
2
Härur fås:
sin ξ 1 + sin ξ 2 = 2 + cos θ − cos θ − sin θ ⋅ ( cos φ + sin φ ) = 2 − sin θ = 1 + cos θ
Då gäller:
2
r0
d eσ Th ( opolariserad strålning ) =
dΩ (1 + cos 2 θ )
( m 2 / elektron )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Detta tvärsnitt är oberoende av azimutvinkeln φ. Det totala Thomsonspridningstvärsnittet för opolariserad strålning blir:
eσ
Th ( opolariserad strålning ) =

= π ⋅ r0  [− cos θ

2
]
π
0
2
π
r0 π
2
⋅ ∫ 1 + cos 2 θ 2π sin θ dθ = π ⋅ r0  ∫ sin θ dθ +
2 0
0
(
)
π
 cos 3 θ  
2  8π 2
2
+ −
r0
  = π ⋅ r0  2 +  =
3 0 
3
3




2
cos
θ
sin
θ
d
θ
 =
∫0

π
( m /elektron )
2
22
Det totala Thomsonspridningstvärsnittet är detsamma för opolariserad strålning som för
polariserad strålning. Detta resultat är egentligen trivialt eftersom totala
Thomsonspridningstvärsnittet för polariserad strålning givetvis är oberoende av
polarisationsriktningen. Valet av koordinatsystem är helt godtyckligt och z-axeln kan
vid polariserad strålning väljas parallell med den elektriska vektorn oberoende av den
absoluta riktningen hos densamma. Vid integration över hela rymden faller beroendet av
ett godtyckligt valt koordinatsystem bort.
Referenser:
1.
R.P. Feynman et coll.: "The Feynman lectures on physics".
Vol. I-II. Addison-Wesley Publishing Company (1963,1964)
1970.
2.
W. Heitler: "The quantum theory of radiation". 3.ed. Oxford
(1954) 1966.