Materia vågor
Aslak Fellman
27. helmikuuta 2017
Aslak Fellman
Materia vågor
De Broglie Postulat
De Broglies postulat kom fram i hans doktors avhandling år
1924.
Han postulerade att Materia som normalt behandlas som
partiklar kan också beskrivas med hjälp av vågor.
Postulatet motiverades av likheter mellan kvantiserade
tillstånd och stående vågor.
Postulatet säger att masslösa- och partiklar med massa, har en
våglängd associerad med dem.
λ=
h
h
=
p
mv
Detta kallas De broglies våglängd (icke-relativistisk)
[youtube video om De broglie vågor]
Aslak Fellman
Materia vågor
(1)
De Broglie postulat
Bohr’s modell beskriver hur rörelsemängds momente av en
elektron runt en kärna är kvantiserad, L = n~
nh
rh
= n~ =
(2)
λ
2π
Med att kombinera Bohr’s model och en stående De Broglie
våg. När vågen kretsar runt en punkt kan vi se att våglängden
kvantiseras, so att våglängden multiplicerad med ett heltal blir
lika lång som banlängden
L = pr =
nλ = 2πr
mera om De Broglie postulatet(pdf)
Aslak Fellman
Materia vågor
Elektrondiffraktion
Bevis på eksistens av materie vågor kom från
elektrondiffraktion 1927
Diffraktion av elektroner forskades med att skjuta elektroner
mot en kristall, sedan att mäta reflekterade elektronerna.
Reflektionen kunde förstås med hjälp av Braggreflexion .
I experimentet kom vi fram till att elektronerna har likadana
reflektions mönster som vågor. Från detta kunde man komma
fram till att materia har vågliknande egenskaper.
Aslak Fellman
Materia vågor
Partikel våg dualitet
Efter experiment sådana som elektrondiffraktion som tydde på
vågliknande beteende av materia, kom man fram till att man
kan inte beskriva materia fullständigt varken som endast en
partikel eller endast en våg.
denna "dualitet"kan man observera i kända dubbelspalt
experimentet
Aslak Fellman
Materia vågor
Dubbelspalt experiment
I dubbelspalt experimentet skjuter vi elektroner mot en platta
med två spalt. Efter att elektronerna har gott igenom
spalterna mäter vi vart de landar.
När man gör experimentet märker man att distributionen av
elektronerna har interferens effekter liknande detta av vågor
Men när man försöker titta genom vilken spalt elektronen
verkligen gick igenom försvinner interferens effekten.
Video om experimentet
Aslak Fellman
Materia vågor
Osäkerhetsprincipen
I klassiska mekaniken försöker vi lösa r (t), men i
kvantmekaniken försöker vi lösa vågfunktionen Ψ(r , t)
I kvantmekaniken kommer Ψ(r , t) beskrivas som en
sannolikhetsdistribution att hitta en partikel i en given punkt.
Enligt Heisenbergs osäkerhetsprincip måste osäkerheten av
position och rörelsemängd vara större en ~2
∆x∆p ≥
~
2
(3)
Detta innebär att det finns en gräns hur noggrant vi kan mäta
position och rörelsemängd.
Det är också omöjligt att veta positionen(∆x = 0) eller
Rörelsemängden(∆p = 0) exakt.
Mera om osäkerhetsprincipen
Aslak Fellman
Materia vågor
Vågor och vågpaket
En monokromatisk våg kan beskrivas som:
x
Ψ = Acos2π( − νt) = Acos(kx − ωt)
λ
Där k = sπ
λ och ω = 2πν
Vågfunktionens argument kallas till fas φ, (kx − ωt) = φ0
Hastigheten med vilken vågen rör sig kallas till fashastighet
ω
vφ =
k
Aslak Fellman
Materia vågor
(4)
Vågor och vågpaket
Vi kan med hjälp av komplexa tall och exponent funktionen
beskriva vågfunktionen mera allmänt.
e iφ = cos(φ) + i sin(φ)
(5)
Ψ = Ae kx−ωt = A[cos(kx − ωt) + i sin(kx − ωt)]
(6)
För att få vågfunktionen "lokaliserat"måste vi göra en
superposition av flera vågfunktioner med olika våglängder.
En superposition är en lineär kombination av flera våg
funktioner Ψ(x, t) = Ψ1 (x, t) + Ψ2 (x, t)
För att konstruera ett lokaliserat vågpaket måste vi ta
superposition över alla våglängder enligt
Z ∞
Ψ=
A(k)e i(kx−ωt) dk
(7)
−∞
A(k) är en Amplitudfunktion som bestäms av systemet som
studeras
Aslak Fellman
Materia vågor
Vågpaket
Ett vågpaket är alltså en våg vilket är upptar ett begränsad del
på x-axeln.
vågpaket har en egen grupphastighet vg =
dω
dk
Mera om vågor, vågpaket och andra saker i presentationen
Aslak Fellman
Materia vågor
