Uppsala Universitet
Matematiska institutionen
Isac Hedén
Algebra I, 5 hp
Sammanfattning av föreläsning 14.
Snabbrepetition: komplexa tal
Ett komplext tal z ∈ C är ett tal som kan skrivas på formen a + bi, där a = Re z och b = Im z
är reella tal och i2 = −1.
a) Addition: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + i(b + d).
b) Multiplikation: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + i(ad + bc).
c) √
Ett komplext tal z ∈ C, z = a + bi har konjugat z̄ = a − bi och absolutbelopp |z| =
√
a2 + b2 = z z̄. Om z och w är komplexa tal, har vi: |zw| = |z||w|, |z/w| = |z|/|w|, |z +
w| ≤ |z| + |w|, |z̄| = |z|, |Re z| ≤ |z|, och |Im z| ≤ |z|.
d) Division av komplexa tal:
a + bi
(a + bi)(c − di)
(a + bi)(c − di)
=
=
.
c + di
(c + di)(c − di)
c2 + d2
e) Polär
√form: Ett nollskilt komplext tal z = a + bi har polär form z = r(cos θ + i sin θ), där
r = a2 + b2 är beloppet av z, och θ är argumentet1 : θ = arctan ab .
f ) Eulers formel: cos θ + i sin θ = eiθ , så vi kan skriva z som z = reiθ .
g) de Moivres lag: Om z = r(cos θ + i sin θ) och w = s(cos ϕ + i sin ϕ), så är
zw = rs(cos(θ + ϕ) + i sin(θ + ϕ))
z/w =
z
n
r
s (cos(θ
n
− ϕ) + i sin(θ − ϕ))
= r (cos(nθ) + i sin(nθ)), ∀n ∈ Z.
Dessa saker bör ”sitta i ryggmärgen”. Ifall de inte gör det, så är det bra att gå igenom avsnitt
6.1-6.4 i kursboken så snart som möjligt.
Andragradsekvationer
Vi pratade om en metod för att lösa andragradsekvationer med komplexa tal som koefficienter.
Lösningsmetoden illustreras väl av följande exempel: Lös ekvationen
z 2 + (2 + i)z − 1 + 7i = 0.
{
π/2
1
Om a = 0, tar vi istället θ =
−π/2
om b > 0
om b < 0.
(1)
Lösning: Vi börjar med att kvadratkomplettera:
(
)
(
)
2+i 2
2+i 2
2
z + (2 + i)z − 1 + 7i =
z+
−
− 1 + 7i
2
2
(
)
2+i 2 7
− + 6i.
=
z+
2
4
Ekvation (1) är alltså ekvivalent med
(
)
2+i 2 7
z+
= − 6i.
2
4
Ansätt w = z +
2+i
2 ,
(2)
och låt a = Re (w), och b = Im (w), så att w = a + bi. Då gäller
w2 = a2 − b2 + 2abi =
7
4
− 6i.
Genom att jämföra realdel, imaginärdel, och absolutbelopp av de två sidorna i ekvation (2) får
vi följande ekvationer:
a2 − b2 = 47
2ab = −6
√
√
a2 + b2 = 7 2 + (−6)2 = 625 = 25 .
4
16
4
Addition av den första och tredje ekvationen ger att 2a2 = 8, så att a = ±2. Om den första
ekvationen subtraheras från den tredje får vi 2b2 = 92 , så att b = ± 32 . Den mittersta av de tre
ekvationerna visar att a och b måste ha motsatt tecken, så att de två lösningarna är
{
w1 = 2 − 3i
2
w2 = −2 + 3i
2.
Det ger slutligen följande lösningar till ekvation (1).
{
z1 = 1 − 2i
z2 = −3 + i.
Den binomiska ekvationen
En binomisk ekvation är en ekvation på formen
z n = a,
där z är ett obekant komplext tal, och a ∈ C är givet. Lösningsmetoden för binomiska ekvationer
illustrerades med följande exempel: Lös ekvationen
z 4 = 1 + i.
Lösning: Om z = reiθ , så är z 4 = r4 e4iθ , och 1 + i kan skrivas på polär form på följande vis:
√
1 + i = 2eπi/4 .
Ekvationen lyder alltså:
r4 e4iθ =
√ πi/4
2e
.
Det följer att r = 21/8 och att 4θ = π/4 + 2πk. Det leder till att θ = π/16 + πk/2, k = 0, 1, 2, 3.
Sammanlagt har vi alltså fyra lösningar: reiθ , där r = 21/8 , och
{
}
π 9π 17π 25π
θ∈
, ,
,
.
16 16 16 16
Polynom
Vi definierade vad reella polynom och komplexa polynom är, hur man adderar och multiplicerar
polynom med varandra, vad ett konstant polynom är, vad ett polynoms koefficienter är, vad
graden av ett polynom är (speciellt att deg 0 = −∞) och när två polynom är lika med varandra.
Vi pratade också om att man kan se polynom som funktioner, genom att man sätter in ett tal
istället för variabeln. Om f och g är två polynom så säger vi, precis som för heltal, att g är en
delare i f om det finns ett polynom h sådant att f = gh. I så fall skriver vi g|f . Vi såg att
Exempel 0.1.
a) (x + 3)|(x2 − 9).
b) 17|(x3 + 1).
c) (x + 1)|(−2x − 2).
d) 3|5. Här är 3 och 5 två konstanta polynom; motsvarande delbarhetsrelation för heltal gäller
inte, trots att den betecknas på samma sätt. När man skriver symbolen ”|” för delbarhet,
är det alltså viktigt att hålla reda på om man betraktar delbarhetsrelationen på mängden
av heltal eller delbarhetsrelationen på mängden av polynom.
Definition 0.2. En trivial delare till ett polynom f är en delare på formen λ eller λf för något
nollskilt tal λ. Övriga delare kallas för äkta delare. En delare h till ett polynom f är en äkta
delare om och endast om 1 ≤ deg (h) < deg (f ).
Om två polynom f och g bara skiljer sig på en nollskild konstant faktor, så att g = λf ,
för något λ ̸= 0, säger vi att de är associerade med varandra. Ekvivalent, kan man säga att två
polynom f och g är associerade med varandra om både f |g och g|f gäller.
Exempel 0.3. Vi blickar tillbaka till det föregående exemplet.
a) x + 3 är en äkta delare i x2 − 9.
b) 17 är en trivial delare i x3 + 1 (ett konstant nollskilt polynom är en delare i vilket polynom
som helst, på samma sätt som ±1 är en delare i vilket heltal som helst).
c) Polynomen x + 1 och −2x − 2 är associerade med varandra.
d) De konstanta polynomen 3 och 5 är associerade med varandra. Dessutom är 3 en trivial
delare i 5 eftersom 1 ≤ deg (3) inte gäller.
Definition 0.4. Ett polynom av grad minst 1 kallas irreducibelt om det saknar äkta delare, och
reducibelt om det det kan skrivas som en produkt av polynom av lägre grad. Nollpolynomet och
konstanta polynom kallas varken irreducibla eller reducibla.
Irreducibla polynom har egenskaper som liknar primtalens: Varje reducibelt polynom har
en äkta delare som är irreducibel, och varje polynom av grad minst ett kan skrivas som en
produkt av irreducibla polynom.
Exempel 0.5. Sett som ett reellt polynom är x2 + 1 irreducibelt, men sett som ett komplext
polynom har vi x2 + 1 = (x − i)(x − i).
Varje polynom av grad ett är irreducibelt.
