Chalmers Tekniska Högskola
Matematiska Institutionen
6
Veckouppgift 4
Övningens syfte
Att utforska och tänka om
Rekursion, Konvergens, Numerisk lösning och Feluppskattningar:
Viktiga begrepp och frågor:
• Vad är en talföljd ?
• Vad är en numerisk lösning ?
• Vilka delar har en numerisk lösning ?
• Vad betyder det att en följd konvergerar ?
• Iterationsmetoden
• Newton-Raphsons metod
• Absolut fel
• Feltolerans
Problembeskrivning:
I den här uppgiften skall vi titta på ekvationerna
(i)
F(x) = x
(ii)
f(x) = 0
Med f(x) = F(x) - x ser vi att det är enkelt att gå från den ena formen till den andra.
Lösningen till (i) ges grafiskt av skärningen mellan linjen y = x och kurvan y = F(x) och
lösningen till (ii) erhålls ju från skärningen mellan x-axeln och kurvan y = f(x).
y
y
y=x
y = f(x)
α
y = F(x)
α
α
x
x
Övning 4A (Ekvationen F(x) = x )
I dom medföljande figurerna beskrivs några olika fall av ekvationer av typen
F(x) = x. Undersök för dessa dom rekuriva talföljderna,
x 0 = lämpligt startvärde (se figur)
n = 0, 1, 2, 3, …
x n + 1 = F ( x n ),
Rita in dom (olika) talföljderna i figurerna och avgör för vilka av funktionerna F(x) som vi
erhåller en talföljd (x0 , x1 , x2 , x3 , . . .) som konvergerar mot en lösning α , dvs
lim xn = α , och F ( α ) = α
n→∞
• Vad är det som skiljer exemplen åt ?
• Varför konvergerar vissa talföljder mot en lösning och vissa andra inte ?
∞
• Försök hitta villkor på F(x) som gör att talföljden ( x n )n = 0 konvergerar mot en lösning.
Jämför era resultat med sats 3 i avsnitt 4.5 i kursboken, läs även kommentaren (ii’).
Chalmers Tekniska Högskola
Matematiska Institutionen
7
Övning 4B
sin ( x ) = x , ( x > 0 )
Lös ekvationen
enligt metoden given i övning 4A:
∞
• Ange en rekursivt definierad talföljd ( x n ) n = 0
y=x
som du tror konvergerar mot en rot.
• Visa med hjälp av satsen om mellanliggande
1
värde att det finns en rot i intervallet ---, 1 .
4
• Hur kan vi veta att med startvärdet x0 = 0.25
y=sin( x )
∞
så konvergerar talföljden ( x n ) n = 0
mot en rot α .
• Beräkna de fem första approximationerna.
En viktig del av varje numerisk metod är feluppskattningar. Sådana kan bl.a. utnyttjas till att
ge instruktioner för när beräkningar av nya iterat skall avbrytas. Helst önskar man kunna ge ett
kriterium som garanterar att det absoluta felet, x n – α , understiger en given feltolerans.
• Läs igenom sats 4 i avsnitt 4.5 i kursboken och tillämpa satsen här för att få en felgräns för
det absoluta felet x 5 – α .
Observera att funktionen i satsen i det här fallet är f ( x ) = sin ( x ) –x .
Övning 4C (Newton-Raphsons metod)
y
y = f(x)
En ofta använd numerisk metod för att lösa ekvationer
av formen f(x) = 0 är Newton-Raphsons metod.
I denna "gissar" man först ett lämpligt startvärde x0
x0
x1
varefter man approximerar y = f(x) med tangenten
genom (x0 , f(x0)) (se figuren). Tangentens skärning
α
x
med x-axeln, x1, tas sedan som det nya närmevärdet
för roten till ekvationen.
• Bestäm tangentens ekvation och bestäm sedan ett uttryck för x1.
• Som nästa steg upprepar man proceduren ovan fast med x0 utbytt mot x1 och vi kallar
det nya närmevärdet för x2. Hur ser formeln för x2 ut ?
• Efter att ha upprepat detta n ggr så erhåller vi ett närmevärde xn . Hur ser formeln för xn ut ?
Övning 4D
Lös följande ekvation numeriskt med hjälp av Newton-Raphsons metod.
( 1)
3
2
x – x – x – 1 = 0,
x>0
Hur många iterationer behövs, om vi startar med x0 = 1.2, för att erhålla ett absolut fel som
är mindre än 0.001. Varför kan vi inte starta med x0 = 1 ?
Skriv till sist om ekvationen (1) på formen (dela med x 2 )
1 1
( 2)
x = ----2- + --- + 1 , x > 0
x
x
och lös sedan (2) genom att använda iterationsmetoden beskriven i 4A. Hur många iterationer behövs för att erhålla ett närmevärde där absoluta felet är mindre än 0.001 om x0 = 1 ?
