Origami – ett geometriskt formspråk som förenar visuell och taktil

77
Origami – ett geometriskt formspråk som förenar visuell och
taktil perception
I origami finns det gott om matematik. Jag tar den här gången upp Pythagoras’ sats på
begäran av mina matematikvänner. Med origami som verktyg kan eleverna se Pythagoras’
sats, både geometriskt och algebraiskt. Origami är bron mellan geometri och algebra och
mellan olika kulturer.
Norio Torimoto är origami Master av Nippon Origami Association, industridesigner och
innovatör.
Workshop
Jag ser Pythagoras’ sats med origami som verktyg
I origami är inte det bara den slutliga formen som är viktig utan hela processen från ovikt
papper till färdig form. Jag vågar säga att hela processen är origami.
På ett enda pappersark finns två ytor.
När man viker papper kan man kombinera
de två ytorna och om andra sidan av pappret
har annan färg kan origamiverket blir tvåfärgat.
Att tillverka en konkret form i handen från en
abstrakt form i hjärnan är en riktig utmaning.
Där finns mycket matematik och logik.
Nils Holgersson på Mårten Gås är vikta av
ett enda kvadratiskt papper utan klippning
men får olika färger !
Men vad händer när man viker genomskinligt papper ? Det blir ett mycket intressant verktyg
för matematik problemlösning. Jag ska demonstrera detta fenomen, som jag upptäct, i en
workshop. Du ser Pythgoras’ sats genom att använda origami som verktyg. Samtidigt
ser du med egna ögon dess algebralösning.
Till allt arbete behövs olika verktyg.
För att bygga hus behövs många verktyg, såg, hyvel, stämjärn, hammare m m. Att slå i en
spik går bäst med en hammare. Även med den bästa såg kan man inte slå i en spik, alltså:
En såg kan inte ersätta en hammare. Även genom att använda den bästa kökskniv kan man
inte koka ägg. Kniven kan inte ersätta kastrullen. Ingen kan tycka att det är konstigt att
byta verktyg.
Matematik har skapats av naturen. Siffran skapades av människor. Det är inte så att
” Matematik = siffror ”. Siffror är ett verktyg att studera matematik med. Om de siffror
som är verktyg inte passar att studera matematik med, då byter man verktyg precis som
man byter från såg till hammare. Man kan glömma siffror (verktyg) och ta fram geometriska
tankar (verktyg). Jag tror att om läraren förklarar det, då kan eleverna känna lättnad.
Man skall förklara vad 2 är.
Rita en kvadrat vars sidors längd är 1, då blir diagonalens längd 2.
AD = BC = 2
Och / eller ta fram ett kvadratpapper.
Sidornas längder är 1.
Man får en viklinje vars längd är 2 .
De här momentet kan lekskolans barn. Det är så enkelt.
Det fungerar som om fingrarna kommer ihåg
Människan har en hjärna och med hjärnan tänker och minns människan. Man har fingrar
också. Jag kommer ihåg tusen gångers vikningsorigami med fingrarna. Man kan väl inte
komma ihåg med fingrarna ? Jo även om jag inte kommer ihåg när jag börjar vika, fungerar
det som om fingrarna kommer ihåg. Fingrars och naturligtvis ögonens nerver stimulerar
hjärnan och fingrar, ögons och hjärnans samarbete ger minneskapacitet och tankarnas
utveckling. Så ni borde inte bara lyssna på min föreläsning utan också praktisera efter mig
med era fingrar. Ni kommer att få ett resultat. Vikanvisningar ser komplicerade ut men är i
verkligheten mycket enkla. T ex engångsvikning är inte alls svår men jag måste rita två bilder.
En bild är föregående bild. Nästa bild är en färdig bild. Ibland behövs tre bilder att förklara en
vikning. Det är därför vikanvisningar ser jobbiga ut.
Origami som verktyg
1
2
Sträckor
1)
2)
3)
Skapa sträckor
Dela sträckor i olika proportioner
Addera sträckor
Vinklar
1)
2)
3)
Skapa olika vinklar genom att dela och addera vinklar
Hitta lika vinklar
Valfri vinkel delas i tre lika vinklar
Det går ej med passare !!
3
Lätt hitta symmetriska och / eller kongruenta
figurer genom att två eller flera figurer
staplas genom att vika.
4
Med 1 2 3 kan man besvara matematiska
frågor
5
Psykologisk effekt för elever och studenter.
Då behövs teknisk bevisning som
ovan nämndes 1 - 4.
Högskola för teknik, t ex KTH 1- 4
För lärarhögskolan är också punkt 5 viktigt
Litteratur:
Heiberg, LL (1883 - 1916) Euclides Elementa
Norio Torimoto Nämnaren 2002 No 2 Origami
Norio Torimoto Nämnaren 2002 No 4 Gyllene snittet med origami
78
Varför är inte en timme hundra minuter?
Jag berättar om den historiska utvecklingen av hur man mäter tid. Det gäller både kalendern
och klockan. Genom att titta på vad som har hänt genom århundradena ges svar på bl.a.
frågan
”Varför är inte en timme hundra minuter?”.
Jag ger också flera förslag på hur man praktiskt kan arbeta med tid.
Doris Lindberg är grundskollärare, speciallärare och läromedelsförfattare, Stockholm.
Föreläsning
Vi har alla tankar runt tiden: Tiden som inte räcker till, tiden som står stilla och tiden som
flyr. Tiden är något självklart, men ändå en gåta för oss människor och då inte minst för
barnen.
Idag är vi så beroende av klockan och den exakta tiden. Den rutar in våra liv i timmar,
minuter och sekunder. Det har inte alltid varit så.
Genom att låta eleverna göra en tidsresa ökar deras möjligheter att skaffa sig en förståelse för
varför vi mäter tid på det sätt vi gör idag. Det räcker dock inte utan eleverna måste
återkommande ställas inför frågeställningar som medför att de skaffar sig referenser, en
känsla för olika tidsbegrepp.
Historik
Under en stor del av människans historia har hon inte haft någon anledning att dela in tiden på
ett exakt sätt. Hon ”gick upp med tuppen ”och la sig ”när mörkret föll”. Behovet att dela in
året växte fram när människorna blev bofasta och började odla. En förutsättning för att kunna
så och skörda vid rätt tidpunkt var att man kunde förutse årets gång.
De första kalendrarna som växte fram hade månen som beräkningsgrund. Det tar lite mer än
29 dygn för månen att snurra runt jorden och därför uppstod så småningom ett problem.
Eftersom månåret var ”för kort” blev en sommarmånad efter några år en vårmånad och sedan
en vintermånad. I olika kulturer sökte man lösa det här problemet på olika sätt.
Genom att studera stjärnorna och räkna dygnen som passerade kunde man så småningom
upprätta olika kalendrar. Det gjordes oftast av prästerna. I det gamla Babylonien var prästerna
både astrologer och astronomer. Deras världsbild byggde på att jorden var platt och runt den
förflyttade sig solen, stjärnorna och månen. Prästerna lade märke till hur en stjärna (Sirius) en
kväll visade sig vid horisonten. För varje natt som gick vandrade stjärnan högre och högre
upp på himlen för att sedan börja sjunka. Till sist syntes den inte längre, och under en lång tid
syntes inte stjärnan för att en kväll åter visa sig vid horisonten. Prästerna kunde efter många
års räknande av hur lång tid det tog för stjärnan att ”gå ett varv” fastställa årets längd till 360
dygn.
I Egypten mätte prästerna vattennivån i Nilen. De räknade dygnen från den dag då
vattennivån stod som högst i floden till nästa gång den nådde sin högsta punkt. Resultatet blev
360 dygn. De egyptiska prästerna kom alltså fram till ett lika långt år som babylonierna, men
de hade olika utgångspunkter för sina beräkningar.
Människornas behov av mer och mer exakta tidsangivelser medförde att dygnet delades in i
timmar. Babylonierna använde bas 60 när de räknade och de föll sig därför naturligt för dem
att dela in timmen i 60 minuter och det är anledningen till att timmen fortfarande idag inte är
100 minuter.
Det praktiska arbetet.
Det historiska perspektivet kan ofta ge svar på elevernas ”Varför?”. För att eleverna ska
kunna skaffa sig referenser när de ska göra olika uppskattningar och jämförelser av tid och
tidsskillnader måste de få göra erfarenheter i sin närmiljö. Det är då ofta frågan ”Hur” som
inleder arbetet. ” Hur långt hinner du räkna på en minut? Hur lång tid tar det att gå en
kilometer? Hur mycket längre är den vägen än den?” För att kunna svara på frågorna gör
eleverna först en uppskattning och kontrollerar sedan den.
Ett bra sätt att arbeta på är att låta eleverna fundera individuellt först för att sedan jämföra sin
uppskattning med en eller ev. flera kamrater. Därefter utför paret/gruppen själva mätningen.
Genom att eleverna får möta olika problemställningar som de ska lösa måste de ta ställning
till om det räcker med att uppskatta eller om de måste göra mer exakta mätningar. Eleverna
måste också bestämma vilken mätenhet de ska använda beroende på vad som ska mätas och
hur exakt mätningen måste vara.
Det övergripande målet i kursplanen i matematik är att eleverna ska kunna lösa problem i sin
närmiljö. Därför måste vi låta eleverna göra olika mätningar för att skaffa sig referenser så att
de kan göra uppskattningar av olika tidsmått, läsa av tid och beräkna tidsskillnader.
Litteratur:
Dilke O.A.W. (1987) Reading the past: Mathematics and Measurement. London: British
Museum Press.
Duncan D.E. (1998) The Calendar. London: Fourth Estate Limited
Jönsson B. (1999) Tio tankar om tid. Brombergs.
Kuijl B., Lindberg D: ( 1999) : Lärarbok – enheter. Liber AB
Wikström O. (2001): Långsamhetens lov. Natur och Kultur.
80
Från fingrar till siffror
Jag knyter samman matematikens utveckling med hur jag arbetar med eleverna. Jag berättar
om hur människorna började räkna, hur nollan ”föddes” och en del om hur de matematiska
tecknen kom till. Jag visar en del laborativt material.
Min erfarenhet är att genom att binda samman historia och matematik kommer elevernas
förståelse och intresse öka markant.
Doris Lindberg, mellanstadie- och speciallärare, läromedelsförfattare, Stockholm.
Föreläsning
Räkna på fingrarna
Vad är ett tal och vad är en siffra? Varför har människor använt sina fingrar när de har räknat
och varför gör vi det fortfarande ibland? Hur kan ni visa olika tal med era fingrar? När kan det
bli problem att räkna med fingrarna?
Det här är några frågeställningar som elever kan få fundera på.
Små barn använder naturligt sina fingrar för att visa tal och för att göra enkla beräkningar. På
samma sätt gjorde människorna i olika kulturer.
För att eleverna lättare ska se samband mellan olika tals uppdelning bör de tränas att räkna
från vänster till höger på fingrarna. När människorna i de gamla kulturerna fick behov av att
skriva ner olika tal för att komma ihåg dem var det vanligt att de gjorde bilder av fingrarna.
Det är nu naturligt att visa barnen hur de romerska siffrorna skrivs. Barnen kommer då att
upptäcka att siffrorna är bilder av hur de själva visar talen med sina fingrar.
Räknestenarna
De hittills äldsta hjälpmedlen som människorna har använt att räkna med är räknestenar.
Stenarna hade olika värden beroende på din form. Den sten som symboliserade ental var
avlång. Tiotalsstenen var liten och rund, hundratalsstenen var en större rund sten och
tusentalsstenen slutligen var konformad. Det hade alltså ingen betydelse hur de här stenarna
placerades eftersom de fick sitt värde beroende av sin form.
Vårt positionssystem
I många århundraden användes stenarna, men i och med att kulturerna utvecklades ökade
också behoven av nya sätt att räkna. Indien är det land som för oss nu blir det mest intressanta
eftersom vi där hittar ”vaggan” till vårt sätt att räkna. Där började människorna göra fåror i
sanden och genom att lägga stenar, snäckor eller andra föremål i fårorna kunde indierna göra
matematiska beräkningar. I fåran längst till höger lades entalen, i nästa tiotalen, därefter
hundratalen o.s.v. Tidigare var det stenarnas utseende som hade gett dem deras värde, men
nu fick de sitt värde beroende på i vilken fåra stenarna placerades. I ett positionssystem får
stenarna ( siffran) sitt värde beroende på var i talet de finns. Exempel med siffror: i talet 365
är femman entalssiffran medan den i 576 är hundratalssiffran.
Abakus
För att kunna göra beräkningar även inomhus utvecklades abakusen som till att börja med var
en plan skiva täckt av sand. Abaq betyder täckt av sand. Det var opraktiskt att använda sand
inomhus och därför ersattes fårorna av pinnar på en enkel ställning och i stället för stenar
användes kulor som man kunde trä på pinnarna.
Nollan
När indierna hade gjort olika beräkningar med hjälp av fårorna i sanden eller på en abakus
behövde de ofta skriva ner resultatet för att komma ihåg det. Det var lätt att skriva hur många
stenar som låg i en fåra eller hur många kulor det fanns på en pinne, men vad skulle de göra
om fåran/pinnen var tom? Indierna insåg att, om de inte tog hänsyn till den tomma fåran när
de skrev ner ett tal, fick talet fel värde. Någon gång på 700-talet e. Kr. kom man i Indien på
att markera en tom fåra/pinne med en prick. Pricken växte med och blev till den nolla vi
använder idag. Nollans funktion är alltså att markera en tom plats.
Siffrorna
De indiska siffrorna liksom siffror i andra länder ändrade och ändrar fortfarande utseende.
Siffornas utseenden påverkades/påverkas av vad man skrev med och på vad man skrev. Det
kunde vara sten, i vilken man högg in olika tal , men det kunde också vara mjuka vaxtavlor att
forma tecken på.
Vi kallar våra siffror arabiska, trots att de har sitt ursprung i Indien. Araberna kom i kontakt
med det indiska positionssystemet och anpassade det till sina behov. När sedan araberna
erövrade delar av södra Europa förde de med sig de nya siffrorna. Till en början var det bara
ett fåtal som var intresserade av att använda de nya siffrorna. Alla uträkningar gjordes på
kulramar (abakusar) eller räknebräden, och det var bara resultatet som skrevs ner och det
kunde man lika gärna göra med de romerska siffrorna.
Först när Gutenberg uppfann tryckpressen (1454) ökade användningen av de indisk-arabiska
siffrorna i Europa eftersom man kunde bilda alla tal med hjälp av tio siffror till skillnad från
vad som gällde för de romerska siffrorna.
Ger vi eleverna tid och möjlighet att gå igenom samma utveckling som vårt positionssystem
har gjort ökar deras förståelse väsentligt för varför och hur vi skriver tal idag.
George I.: From One to Zero. A Universal Hisory of Numbers. Penguin Books
Kuijl B., Lindberg D. Abakus: Hur man räknade förr.Liber.
Kursplanen för grundskaolan I matematik
Lindberg D., Kuijl B. :Fakta om hur man räknde förr.Almquist & Wiksell
McLeish J. Matematikens kulturhistoria. Forum
Multicultural and Gender Equipment in the Mathematics Classroom. 1997 Yearbook, NCTM
81
Kommunicera matematik i olika situationer
Människan har fått den unika gåvan att kunna tänka och reflektera. Eleverna måste ges många möjligheter att
arbeta konkret och abstrakt med matematik. Det är i samspelet människor emellan som begreppsutveckling äger
rum och eleverna måste därför träna sig i att kommunicera, men även lyssna på andra.
Birgitta Kuijl, lågstadielärare, speciallärare, fortbildare och läromedelsförfattare.
Föreläsning
I skolan arbetar vi med elevernas språkutveckling. Det är oerhört viktigt eftersom ett väl utvecklat språk ligger
till grund för kommunikationen med andra.
För att eleverna ska förstå matematik är språket en förutsättning. Det gäller därför att hela tiden vara medveten
om det och att utmana eleverna genom olika frågeställningar där de behöver ett mer och mer utvecklat språk. Om
eleverna har brister i förståelsen av olika begrepp kommer det att starkt påverka arbetet i matematik. Det är
genom kommunikation som kunskap utvecklas. När eleverna ska presentera sina tankar / lösningar för varandra
tvingas de att använda orden så att kamraterna förstår. När de lyssnar på andra kan de få ny kunskap, insikt och
förståelse. Deras samtal är lekfullt och viktigt Samarbetsförmåga, tolerans, empatin kommer att växa och
utvecklas hos fler och fler elever om de medvetet tränas att tala inför och lyssna på varandra. Hela tiden måste
eleverna få uppleva att de duger och får vara med. Det är viktigt att eleverna får behålla sitt självförtroende.
Vad är matematik?
Till vardags tittar vi vad klockan är, lagar mat, dukar, spelar spel, handlar, spelar musik,
sänder e- post, planterar, plockar frukt/blommor – allt detta är matematik.
Det är också med matematikens hjälp som naturen, rymden, miljön o.s.v. utforskas. När vi
bygger hus, bilar, flygplan, bussar, broar och mycket annat är det med matematikens hjälp.
Hela vår omgivning är fylld av geometriska former, mönster och symmetri. Vi beräknar och
uppskattar tid, längd, vikt, volym och temperatur. Vi använder oss av pengar. Överallt finns
tal och siffror. Vi löser problem och använder oss av statistik. Allt det här är matematik.
Matematiken finns alltså runt omkring oss hela tiden och vi vuxna måste synliggöra den för
eleverna. Vi måste alltså lyfta fram den matematik som finns i vardagen och organisera
undervisningssituationer kring detta.
Vi måste ha muntlig matematik på samlingar och i olika arbetsområden. Det sägs att bara
5 minuter muntlig matematik om dagen höjer en hel klass matematikkunskaper.
Gör matematiken synlig. Matematik är inte bara tyst räkning.
Genom att samtala och sätta ord på sina tankar och upplevelser blir de en del av elevernas
egen värld och begreppen utvecklas. Uppmuntra eleverna att hjälpa och lyssna på varandra –
att samarbeta! Låt klassrummet vara en plats där samarbete är något som förväntas av dem.
Lathund ( kom ihåg-lista ):
Här är förslag på aktiviteter som man kan göra dagligen med eleverna.
OBS! Inte bara matteläraren!
Välj något från listan. Låt barnen tänka själva först för att sedan samtala två och två eller i
grupp. Slutligen redovisas tankarna för hela klassen.



















Uppskatta antal (” gissning”)
Vad vet du om talet xx?
Ramsräkna. Vilket tal kommer före/efter? Räkna två/ fyra/fem i taget.
Gör jämförelser med längd/vikt/volym.
Se likheter och olikheter mellan olika former.
Dubbelt/hälften.
Problemlösning
Upptäck och skapa mönster
Mäta
Hur många räknesätt har vi ?
Vad heter våra räknesätt?
Vad är addition, subtraktion osv.
Hur många dl. tror du flaskan rymmer?
Vad är matematik?
Hur vet du att ett tal är jämnt/udda?
Hur kan du växla 50 kr.?
Var finns decimaltal i verkligheten?
3,45 – 0,6 = Hur löser du uppgiften?
Miniräknaren visar 2,36 det ska stå 2,39. Vilka knappar ska du trycka på?
OSV.
Muntlig matematik i alla ämnen och en stund varje dag!!
Alla elever bör få tillfälle att upptäcka att man lär av varandra.
Skapa tillfällen att kommunicera för då sker inlärning.
Eleverna lär sig förstå om de får reflektera över innehållet.
Lärandet sker tillsammans med andra.
Mänskliga relationer bygger på kommunikation.
Gör eleverna redo för livet!
83
Problemlösning
Vi behöver förbereda eleverna för att leva i ett samhälle där det uppstår nya och oväntade problem/situationer.
Eleverna måste därför skaffa sig olika strategier och färdigheter för att kunna lösa olika problem. Vid
problemlösning ligger fokus på processen i stället för på det rätta svaret.
Birgitta Kuijl, lågstadielärare, speciallärare, fortbildare och läromedelsförfattare, Stockholm..
Det är genom kommunikation som kunskap utvecklas. När eleverna presenterar sina lösningar för varandra
tvingas de att använda orden så att kamraterna förstår. När de lyssnar på andra kan de få ny kunskap, insikt och
förståelse. Samarbetsförmåga, tolerans, empatin kommer att växa och utvecklas hos fler och fler elever om de
medvetet tränas att tala inför och lyssna på varandra. Hela tiden måste eleverna få uppleva att de duger och får
vara med. Det är viktigt att eleverna får behålla sitt självförtroende.
Språket, kommunikationen och tid att tänka är viktigt vid problemlösning.
Vid problemlösning ligger fokus på processen i stället för på det rätta svaret. Det intressanta
är hur eleverna har kommit fram till en lösning. Att alla får redovisa sina lösningar ger
eleverna signalerna:” Mitt sätt att tänka duger!” När eleverna förstår och kan förklara hur de
tänker stärks deras självförtroende.
Frågor att ställa kan vara:
”Hur tänkte du?” ”Var det någon som tänkte på ett annat sätt?”
Problemlösning har ibland inneburit att läraren har visat en metod för hur en speciell typ av
uppgifter ska lösas. Sedan har eleverna tränat på den genom att lösa ett ganska stort antal
likartade uppgifter med mål att memorera metoden.
Istället måste vi ta till vara elevernas kreativa förmåga att lösa problem på olika sätt och inte
ersätta det med vårt sätt att tänka. Det är när den enskilde eleven får jämföra sin lösning på ett
matematiskt problem med kamraternas som det matematiska tänkandet utvecklas.
Problemen måste utgå från elevernas erfarenhetsvärld för att de ska kunna känna sig delaktiga
och engagerade. Många problem måste vara öppna så att det finns mer än en möjlig lösning.
Arbetet med att lösa problem kan delas upp i olika steg.
Eleverna måste förstå problemet.
Frågor du kan ställa är:
 Kan du förklara uppgiften med egna ord?
 Vad har du fått veta?
 Vad mer behöver du veta?
Det finns naturligtvis inte bara ett sätt som eleverna kan lösa ett problem på. Det gäller i
stället att eleverna skaffar sig så många olika problemlösningsstrategier som möjligt för sitt
arbete. Det är som när man ska spela fotboll, man måste ha strategier inför matchen.
Arbetet med problemlösning blir tydligt om du gör en ”affisch” över de olika strategierna.
Affischen sätts upp i klassrummet.
Problemlösning.



Rita en eller flera bilder
Gissa och pröva
Söka efter ett mönster



Steg för steg
Göra en tabell eller ett diagram
Börja lösa problemet bakifrån
Med de yngre eleverna finns det några olika typer av problem som kan användas många
gånger om man bara byter ut antalet eller sakerna.





Hur många huvuden finns det här i rummet?
Jag har sju husdjur. Några är hamstrar och några är guldfiskar. Hur många av varje sort
kan jag ha?
Jag har sammanlagt sex stenar. Fyra håller jag i handen. Resten ligger i min ficka. Hur
många stenar har jag i min ficka?
Jag ser fyra tulpaner: varje tulpan har fem blad. Hur många blad ser jag sammanlagt?
Jag har fem snäckor och du har tre. Hur stor är skillnaden? ( Hur många fler har jag? Hur
många färre har du?)
En annan form av problemlösning är när eleverna gör olika undersökningar som ger dem
upplevelser kring tal, olika former och mönster.
Eleverna bör ges många tillfällen att undersöka den matematik som finns i deras omgivning.
Undersökningarna kan göras i par eller i grupp. Att rita, skriva, måla och dramatisera till sina
undersökningar tycker eleverna är roligt.
Exempel på undersökningar:







Hur många fönster/lampor/ stolar/bord …. finns det här i rummet?
Vad finns det ett/ två/ tre …av i rummet?
Hur ser dörren ut till skolan?
Hur många fönster finns det på husets utsida?
När vi var i parken idag såg vi tio fålar…Några av fåglarna satt i trädet några var på
marken..
När vi besökte bondgården/djuparken fanns det ju olika djur. Djuren hade sammanlagt tio
ben. Vilka djur kan det ha varit?
I påskriset finns det 15 fjädrar. De är i tre olika färger. Hur kan de se ut?
Osv.
Att lösa problem och integrera matematiken i de dagliga aktiviteterna på ett meningsfullt sätt,
gör att matematiken blir levande.
84
Kartläggning – diagnoser – matematikutveckling
Varför görs kartläggning? Hur ska den information vi får vid kartläggningen användas? För eleverna är en
kontinuerlig kartläggning av arbetet viktig eftersom de måste lära sig att reflektera över sin egen inlärning och
sitt sätt att lära.
Birgitta Kuijl, lågstadielärare, speciallärare, fortbildare och läromedelsförfattare, Stockholm.
Föreläsning
Om eleverna ska kunna ta ansvar för sitt lärande måste de veta vad de ska lära sig, men också
hur/vad de presterar i förhållande till uppställda mål. Utvärdering av den egna inlärningen
måste komma naturligt under arbetets gång.
Elevernas förståelse fördjupas när matematiska ord och uttryck bearbetas och därför måste
eleverna med jämna mellanrum få möjlighet att muntligt och skriftligt fundera över: Vad är
jag säker på? Vad behöver jag träna mer på?
Det som ska kartläggas är:
Den enskilde eleven
Når eleven uppnåendemålen?
Hur lyckas eleven i förhållande till strävansmålen?
Klassen
Finns de moment som inte tagits upp i klassen eller som bör behandlas igen och
kanske på ett annorlunda sätt?
Läraren
Visar kartläggningen att mitt arbetssätt behöver förändras?
Behöver jag fortbildning?
Kartläggning kan ske:
 i samband med att ett nytt område/moment inleds. Ställ frågan
”Vad tänker ni på när ni hör……?
Den information (muntligt/skriftligt) som du får som svar kan du sedan använda när du och
eleverna planerar det fortsatta arbetet.
 under pågående arbete och i slutet av det
Då bör kartläggning göras för att fokusera på hur eleverna når uppsatta mål/delmål.
Frågor att fundera över när man kartlägger elever som visar sig ha svårigheter.
 Varför har svårigheten uppstått?
 Hur ska jag/eleven/föräldern göra för att hjälpa eleven? (åtgärdsprogram)
 Behöver jag få hjälp av andra?
Olika typer av kartläggning.
 Kartläggning som hör till läromedlet.
 Egna iakttagelser om hur eleven arbetar.



Samtal med eleven.
Nationella diagnoser och prov.
Portfölj-metoden. Ettsätt att se elevens utveckling är att samla olika arbeten som eleven
har gjort i en särskild mapp eller pärm (portfölj). Det kan vara arbeten som du bestämmer
att alla i klassen ska spara, men även sådant som eleven själv valt spara. Vid samtal med
eleven och vid utvecklingssamtal kan innehållet i portföljen användas för att visa på
elevens utveckling och om det finns svårigheter som måste åtgärdas.
Kartläggning vid skolstart.
Det är viktigt att övergången från sexårsverksamheten/förskoleklassen till skolan
(år 1) blir bra för eleverna. Skolstarten underlättas om du samtalar med eleverna om
matematik för att få en uppfattning om deras kunskaper. Samtal kan äga rum under året i Fklassen eller bör ske så snart som möjligt efter starten år 1.
De elever som har behov av hjälp bör få den så tidigt som möjligt. Ju tidigare det kan ske
desto större är chansen att eleverna känner att de lyckas. Att eleverna bibehåller sitt
självförtroende är en av skolans viktigaste uppgifter.
Vid överlämning till år 2, 3, 4 osv./ ny lärare/ byte av skola är det viktigt att överlämning sker
där du kan se i vilken utsträckning eleven är säker på, på god väg eller osäker i förhållande
till:
 Taluppfattning
 Räknefärdigeter: talområden, fyra räknesätten, strategier.
 Problemlösning
 Geometri
 Tid
 Temperatur
 Längd
 Volym
 Vikt
Vid kartläggning är det också viktigt att se tilleleven ur ett vidare perspektiv.
 Självförtroende?
 Attityd till ämnet?
 Arbetar självständigt?
 Tar ansvar för sitt lärande?
 Samarbete?
 Förklarar sitt tänkande muntligt och skriftligt?
Att följa en elevs utveckling(kartlägga) och sedan inte använda den i arbetet med eleven är
endast bortkastad tid. Karläggningen måste resultera i uppföljning och fortsatt arbete.
Eleven får inte misslyckas i sitt lärande utan vi måste sätta in insatser omgående utan att för
den skull peka ut dem som behöver extra hjälp.
85
Matematikundervisningen vid Teknik och samhälle, Malmö
högskola
Vilka studentkategorier läser matematik? Vilka kurser erbjuds? Vad syftar undervisningen
till? Hur går matematikundervisningen till? Vad händer i övergången mellan
gymnasium/Komvux och högskola? Hur kan övergången underlättas? Vi berättar även om ett
experiment med portföljmetoden.
Ingegerd Åberg, universitetslektor i tillämpad matematik, undervisar blivande
högskoleingenjörer och Arne Ekberg, universitetsadjunkt i matematik och fysik, undervisar
vid tekniskt basår.
Föreläsning
Vid Teknik och samhälle finns både tekniska och samhällsvetenskapliga utbildningar. Det är
främst inom högskoleingenjörs- och högskoleteknikerprogrammen som man studerar
matematik. Mängden matematik som läses varierar från 7 poäng (Byggdesign), till minst 17
poäng (bl.a. Data- och elektroteknik, Maskinteknik och Kemiteknik), där en termins
heltidsstudier svarar mot 20 poäng. Förutom de traditionella universitetskurserna i linjär
algebra och matematisk analys, kan matematikstudierna även omfatta t.ex. kurserna Linjära
system, som bygger på linjär algebra och kan ses som en förberedelse för studier i
reglerteknik (läses av dataprogrammen), Matematisk statistik (läses av kemister och
maskinare) och Flerdimensionell analys (maskinare). Det finns även möjlighet att välja till
matematikkurser utöver de för programmet obligatoriska. Valbara kurser läses framförallt
under årskurs 3. Förutom ovanstående kurser kan man bl.a. välja till Introduktion till
matematisk modellering (mera om detta under programpunkt 184). Vid Teknik och samhälle
ges även kurser i diskret matematik av datavetare. Förutom de här nämnda kurserna erbjuds
kurser i matematisk statistik till fastighetsprogrammen (Fastighetsföretagare och
Fastighetsmäklare), samt till samhällsvetare (Omvärldsanalys).
Varför läser man matematik? En viktig anledning är att man vill träna upp sitt logiska
tänkande. Matematiken har ett egenvärde. Matematiken är också ett stödämne. För våra
studentkategorier är kanske den viktigaste anledningen att bygga upp relevanta förkunskaper
inför fortsatta studier inom de olika ingenjörsämnena för att på sikt ge näringslivet tillgång till
kvalificerad ingenjörsarbetskraft. För att uppnå detta måste ambitionsnivån vara någorlunda
hög. Det finns en miniminivå man måste nå upp till.
Hur upplever vi de studenter som kommer till oss? Svaret är att det är blandat.
Förkunskapskravet om man ska bli ingenjör är Ma D, men många har även läst Ma E. Ändå
kan vi uppleva att många har stora brister i grunderna långt ner på Ma B- och C-nivåerna.
Bland alla svaga studenter finns även ett fåtal med mycket goda förkunskaper. Några
ingenjörsprogram har en jämn könsfördelning, t.ex. Kemiteknik, Grafisk teknik och
Byggdesign, men de allra flesta ingenjörsprogrammen har enbart ett fåtal kvinnliga
studerande. Andelen invandrare är stor och de allra flesta har gjort något annat i några år efter
gymnasiet innan man bestämde sig för att studera vidare. Även om många kommer in med en
otillräcklig bakgrund, kan man ändå känna att stämningen är god. Många bildar egna små
studiegrupper där invandrare blandas med infödda svenskar. Det är en spännande blandning
av människor, där många är mycket motiverade att göra något åt sin situation även om det kan
ta sin tid. Man hjälper varandra att nå målen. Det är roligt att få arbeta med dessa studenter.
Undervisningen i matematik förmedlas till största delen i form av föreläsningar och övningar.
Eftersom medelstilldelningen är knapp till ingenjörsutbildningarna och många
ingenjörsämnen innehåller dyrbara laborationsmoment, är matematiken ett ämne man anser
sig kunna spara på. Studenterna i årskurs 1 är de som det går att spara allra mest på tycker
man, eftersom så många läser samma grundläggande kurser. Antalet studenter per föreläsning
är därför ofta mellan 100 och 150. I de högre årskurserna då man är mera studievan och skulle
ha tålt storföreläsningar bättre, har man blivit mera specialiserad och samläsning mellan
programmen sker i mindre omfattning. På övningarna finns det däremot större möjlighet att
få direkt kontakt med läraren, eftersom studenterna är indelade i 30-grupper.
Ingenjörsmatematiken upplevs av många som abstrakt och omfattar mera av formler och
bokstavsräkning än siffror. Miniräknare används endast i undantagsfall och formelsamlingar
enbart i de mera avancerade kurserna, t.ex. för Fourier- och Laplacetransformer i Linjära
system och fördelningsfunktioner i Matematisk statistik. Vid den första kontakten med
ingenjörsutbildningen kan detta upplevas som svårt, men mycket snart släpper beroendet och
studenten inser fördelen. Som stöd för matematikundervisningen ges kursen i
beräkningsmatematik. Den omfattar ett antal datorlaborationer (Matlab). Förutom att ge
vidgad förståelse för abstrakta begrepp som vektorer och matriser, får studenten här komma i
kontakt med numeriska metoder för integration och lösande av olika typer av ekvationer. Det
finns även kurser i teknisk programmering.
De allra flesta ingenjörsstudenterna kommer direkt från gymnasiets naturvetenskapliga
utbildning eller också har man kompletterat vid Komvux. Men sedan ett antal år räcker dessa
studenter inte till, utan högskolorna vill även rekrytera ingenjörsstudenter från andra grupper.
Teknik och samhälle erbjuder då ett naturvetenskapligt/tekniskt basår som är en förutbildning
som riktar sig till studenter som under sina tidigare studier i huvudsak valt att läsa andra
ämnen än naturvetenskap och teknik. Basårsutbildningen omfattar ett års studier.
Behörighetskrav i matematik är Ma B. Antalet basårsplatser har de senaste åren varit 180 och
könsfördelningen har varit jämn.
Matematikundervisningen vid basåret syftar till att i första hand vara en god grund för
antagningen till Malmö högskolas ingenjörsprogram men även till andra utbildningar.
Kurserna som läses motsvarar ungefär gymnasiets matematik B,C och D som är obligatoriska
samt matematik E som är en tillvalskurs. En fördel med att gå på basåret är att undervisningen
är upplagd på samma sätt som vid ingenjörsutbildningarna. Undervisningen förmedlas i form
av föreläsningar i 90-grupper, övningar i 30-grupper samt har man MAPLE-laborationer i 15grupper. På så sätt tränar man sig i att ta ett större ansvar för sina egna studier och får en
flygande start in i ingenjörsutbildningen. Basårsstudenterna har tillgång till s.k. räknestuga
varje vecka under minst två timmar. De uppmuntras också till att på frivillig väg bilda
studiegrupper om 5-10 studenter som med lärarstöd studerar på icke schemalagd tid.
Liksom i ingenjörsutbildningen används miniräknare i mycket liten omfattning under
övningar och inte alls vid tentamensskrivningar.
Vad händer vid övergången mellan skolan/basåret och högskolan? Sedan några år tillbaka har
man inom högskolan känt att glappet mellan studenternas tidigare skolgång och den
verklighet de möter vid högskolan har ökat, vilket lett till allt sämre resultat vid
ingenjörsutbildningarna. För att kunna möta studenterna där de befinner sig och ändå ge dem
chansen att så småningom nå upp till det tak som nämnts ovan, inleds matematikstudierna vid
ingenjörsutbildningarna med en inledande kurs, där man repeterar och fördjupar en del
moment från gymnasieskolan. Det kan gälla förenkling av uttryck, ekvationslösning,
logaritmer, kurvritning utan miniräknare och geometri. Man får i lagom takt vänja sig vid den
lärobok som senare kommer att användas i matematisk analys, genom att svåra moment gås
igenom systematiskt och beskrivs utförligt i ett kompletterande material. Kursen avslutas med
tentamen, där hälften av maxpoängen krävs för godkänt. Studenterna brukar uttrycka sin
uppskattning av den inledande kursen. De inser att utan den skulle deras möjligheter att klara
de fortsatta matematikstudierna vara ytterst begränsade.
Vi avslutar med att berätta om ett didaktiskt experiment. Idén som hade sin grund i den även
på andra håll praktiserade portföljmetoden, utvecklades som ett projekt inom den pedagogiska
högskolelärarutbildningen. För många studenter med svaga förkunskaper räcker inte de sju
veckor som den inledande matematikkursen pågår för att inhämta all den kunskap man missat
under tolv års skolgång. Chocken blir stor när man för första gången går upp i tentamen och
finner att man inte duger. Tanken var att samtidigt som man tränade studenterna i
studieteknik, förlänga den tid de fick för att inhämta den saknade kunskapen, dock under stort
eget ansvarstagande. Förutom av ett begränsat antal traditionella föreläsningar, bestod kursen
av övningar som utöver att ge studenterna hjälp att lösa problem också användes för att följa
upp studenternas arbete och förmå dem att följa ett ganska snabbt arbetsschema. Det fanns
även schemalagda gruppövningar med och utan lärarstöd, där studenterna tillsammans löste
ett antal lite mera omfattande övningar som sedan redovisades inför en större grupp. På så sätt
fick man även träning i muntlig framställning. Ytterligare ett moment bestod i att varje
student skulle skriva en egen komplettering till läroboken, där man med egna ord
sammanfattade problemlösningar, samlade ”Aha-upplevelser” och repetitionsmoment. Allt
samlades i en ”portfölj”. Närvaro under alla undervisningsmoment var obligatorisk. I slutet av
kursen godkändes studenter enbart på grund av väl utfört arbete. I veckan efter avslutad kurs
fanns en tentamen som studenterna uppmanades att delta i som träning, med möjlighet att
kvalificera sig för överbetyg i kursen.
86
Funktioner  didaktiska lärdomar av begreppshistorien
Vad kan vi lära av matematikhistorien? Några aspekter från den historiska utvecklingen av
funktionsbegreppet belyses. Didaktiska implikationer från utvecklingen diskuteras.
Johan Häggström är matematikdidaktiker vid Göteborgs universitet och NCM.
Föreläsning
Funktionsbegreppet är ett av de viktigaste begreppen, inte bara inom matematiken utan i
vetenskapen överhuvudtaget. Funktioner används i stort sett i alla vetenskaper och har haft en
mycket stor betydelse för de senaste seklernas oerhörda framsteg, speciellt inom de
naturvetenskapliga och tekniska områdena. I föreläsningen ges en beskrivning av hur
begreppet funktion utvecklats historiskt, samt en didaktisk diskussion utifrån denna
utveckling.
Vad menas med en funktion?
Det finns ett stort antal olika sätt att definiera begreppet funktion. Några olika definitioner,
tagna från svensk litteratur, presenteras. De är olika dels med avseende på graden av
generalitet, och dels med avseende på vilka andra matematiska begrepp och termer som
används. I definitionerna förekommer termer som Avbildning, Entydig tillordning, Regel och
Relation för att beskriva innebörden i funktionsbegreppet. Det gör att det krävs en hel del
förförståelse av en läsare för att kunna förstå de här definitionerna. En naturlig slutsats av
detta är att funktionsbegreppet rimligtvis inte kan ha beskrivits eller uppfattas på dessa vis
från början. Det är snarare så att de här definitionerna är resultatet av en lång utveckling.
Hur ser vägen fram till det moderna funktionsbegreppet ut?
Funktionsbegreppet, liksom många andra matematiska begrepp, har en lång och intressant
utveckling. Den är naturligtvis omöjlig att ge en fullständig beskrivning, men ett försök till
översikt kommer att presenteras.
Redan i matematikens gryning kan man finna spår av ett intuitivt funktionsbegrepp. Den
sumeriska kulturen exempelvis, har lämnat ett stort antal matematiska tabeller efter sig. Dessa
var skrivna med kilskrift på lertavlor och skulle kunna betraktas som exempel på funktioner. I
t ex en ”kvadrat-tabell” beskrivs kvadraten som en funktion av talet i fråga. Sumererna har
också lämnat efter sig astronomiska tabeller där olika fenomen på himlen, t ex månens
position, beskrivs som en funktion av tiden.
Även i den antika grekiska matematiken fanns idén om beroende storheter. Astronomen
Ptolemaios, verksam i Alexandria på 100-talet, använde inte bara tabeller utan beskrev också
hur man kan räkna fram ”funktionsvärdet” för ett givet värde på den ”oberoende variabeln”
(Katz, 1993).
Utvecklingen mot ett mer explicit funktionsbegrepp tar fart i Europa i slutet av 1500-talet.
Vid den tiden har utvecklingen av algebran och symbolspråket tagit ett stort steg framåt. Det
är nu möjligt att använda bokstäver som symboler för variabler och det går att skriva relativt
kompakta formler. Galileo Galilei (1564-1642), Johannes Kepler (1571-1630) m fl börjar
intressera sig för rörelse i olika former. Pendelrörelse, fallrörelse och planetrörelse studerades
intensivt. Morris Kline (1979) menar att Galileo Galilei spelade en speciellt betydande roll i
utvecklingen av funktionsbegreppet i och med att han överger den, ända från antiken
förhärskande, uppfattningen att vetenskapen ska försöka avslöja syftet med olika
naturfenomen och ersätter den med att kvantitativt försöka beskriva fenomenen.
Fram till den här tiden uttrycktes samband och regelbundenheter oftast med det naturliga
språket eller i geometriska termer. René Descartes (1596-1650) och Pierre de Fermat (16011665) utvecklar nästan samtidigt koordinatsystemet. De tidigare geometriska beskrivningarna
i form av kurvor kan nu knytas ihop med ekvationer. Det utvecklas under den här epoken
alltså flera olika sätt att beskriva funktionssamband (naturligt språk, tabeller, grafer och
formler) samt möjligheter att göra ”översättningar” mellan dem.
Under andra halvan av 1600-talet utvecklades infinitesimalkalkylen av Isaac Newton (16431727) och Gottfrid Wilhelm Leibniz (1646-1716), till en början troligen oberoende av
varandra. Senare kom de också att via brev diskutera sina teorier. De använde olika
benämningar och symboler i sina arbeten, men de som utvecklades av Leibniz visade sig vara
mer livskraftiga och många av dessa används fortfarande. Newton och Leibniz försökte med
hjälp av funktionsbegreppet bl a beskriva och lösa problem som handlade om den momentana
förändringshastigheten hos varierande storheter. För att kunna hantera kvoten mellan sträcka
och tid när man studerar oändligt korta tidsintervall infördes begreppet infínitesimal, oändligt
små tal. Newton fick mycket hård kritik för att han omväxlande lät infinitesimalerna vara
mycket små tal, väldigt nära noll men skilda från noll och ibland vara exakt lika med noll.
Varken Newton eller Leibniz lyckades reda ut dessa svårigheter. Trots det var
infinitesimalkalkylen mycket framgångsrik när det gällde att beskriva rörelse, Den
matematiskt logiska underbyggnaden lämnade däremot mycket att önska. ”… nevertheless,
mathematicians went on using infinitesimals for another century, and with great success.
Indeed physicists and engineers have never stopped using them” (Davis & Hersh, 1990). Det
verkar som att Newton och Leibniz mest var intresserade av att tillämpa funktionsbegreppet.
Deras fokus var svårigheterna kring att beskriva rörelse och att hantera momentan hastighet,
själva funktionsbegreppet i sig var inte intressant.
Under 1700-talet fortsatte utvecklingen av funktionsbegreppet och olika försöka att ringa in
det med en definition gjordes. En av de tidigaste kommer från Jean Bernoulli (1667-1748) år
1718. Den är vag och lyder enligt Boyer (1985, sid 462)
[a function is] a quantity composed in any manner of a variable and any constants
Med ”composed in any manner” menas troligen att en funktion skulle kunna uttryckas i en
enda formel med variabeln, konstanter och aritmetiska operationer så att funktionsvärdet kan
beräknas för varje givet värde på variabeln.
Leonard Euler (1707-83), som är den som introducerar beteckningen f(x) år 1734, definierar
en funktion på ett liknande sätt. Han generaliserar efter hand funktionsbegreppet och frigör
det från den symboliska tvångströjan. Redan år 1755 har han bytt ut sin ursprungliga
definition mot en annan,
A quantity should be called a function only if it depends on another quantity in such a
way that if the latter is changed, the former undergoes change itself.
(Sfard, 1992, sid. 62).
I den här definitionen finns inte längre kravet att funktionen ska kunna beskrivas med
symboler i en formel. I princip är varje samband, där en storhet beror på en annan, en funktion
helt oavsett hur vi beskriver det. Vill man tänja på innebörden av Eulers definitionen, kan
man nu hävda att det inte längre finns något krav på att sambandet ska kunna beskrivas ens
med en formel, existensen av det är tillräcklig.
Så här långt har funktioner använts för att beskriva den fysikaliska verkligheten kvantitativt.
De ledande fysikerna och matematikerna var i de flesta fall samma personer. Det var först
under 1800-talet som intresset började vändas mot själva funktionerna. När nu mer renodlade
matematiker, som studerade de matematiska objekten i sig, kom fram blev det tydligt att stora
delar av matematiken vilade på osäker grund. Geometrin hade visserligen organiserats och
presenterats på ett deduktivt sätt mycket tidigt, men det saknades explicita grundvalar för
aritmetiken och algebran. De naturliga talen och de positiva rationella talen (bråken) hade
sedan länge accepterats utifrån erfarenheter av den fysikaliska omvärlden. De togs mer eller
mindre för givna och så länge de matematiska resultaten visade sig korrekta och funktionella
vid tillämpning inom andra vetenskaper och verksamheter hölls eventuella tvivel tillbaka.
Men när nu matematiken själv började synas noggrannare upptäcktes bristerna. I detta
sammanhang genomgår funktionsbegreppet en fortsatt utveckling mot ett alltmer generellt,
abstrakt begrepp och definitionerna blir allt mer inommatematiska. Det finns en strävan mot
att göra innebörden av funktionsbegreppet oberoende av icke-matematiska begrepp.
Jan Thompson (1991) menar att det moderna funktionsbegreppet skapas av Peter Dirichlet
(1805-59) år 1837 då han formulerar sin allmänna definition av en funktion.
If a variable y is so related to a variable x that whatever a numerical value is assigned to x
there is a rule according to which a unique value of y is determined, then y is said to be a
function of the independent variable x.
(Sierpinska, 1992, sid 46)
När funktionsbegreppet på det här viset ”matematiseras” och avlägsnar sig från sitt ursprung
blir det också allt svårare att uppfatta. Fast å andra sidan så möjliggör en mer formell
framställning att funktioner som tidigare var otänkbara eftersom de knappast kunde ha någon
motsvarighet i ”verkligheten”, nu kan betraktas som ”vilken funktion som helst”.
Then it turned out that many of the objects covered by the rigorous definition were most
unlikely to have been studied by mathematicians of past centuries. For example, Dirichlet
observed that the correspondence
0,
y  
1,
if x is irrational
if x is rational
th
is a function. No 18 -century mathematician would have studied such a
correspondence. They only studied functions that described dependencies between
physical or geometrical magnitudes.
(Vilenkin, 1995, sid
78)
I början av 1900-talet, drygt hundra år efter Dirichlet, definierade Nikolas Bourbaki en
funktion som en relation mellan element i två mängder. Funktionsbegreppets har därmed tagit
det sista (?) steget i en lång utveckling till en statiskt struktur. Den moderna funktionen kan
betraktas som en mängd av ordnade par av element. Denna mängd är ett objekt i sig, som det
är möjligt att operera på. Funktional- och differentialekvationer, där den obekanta är en
funktion och inte ett tal, är exempel på hur funktioner därmed kan behandlas som egna objekt
i mer sammansatta sammanhang.
Några didaktiskt intressanta aspekter på den historiska utvecklingen
I utvecklingen av funktionsbegreppet finns element som också till stora delar gäller mer
generellt och som kan urskiljas i den kollektivthistoriska utvecklingen av matematiken i
stort. Ett av dessa är den långsamma utvecklingen från intuitiva idéer till exakta definitioner.
Thompson (1991) menar att funktionsbegreppet har en stark intuitiv förankring i kausalitets-
principen, som kommer från vår erfarenhet av att all verkan har en orsak. Ett intuitivt
funktionsbegrepp uppfattas då som en dynamisk procedur. Detta kan först bara uttryckas på
ett informellt sätt, med stora inslag av vardagliga termer. Allteftersom blir formuleringarna
mer och mer formaliserade för att slutligen hamna i formella definitioner, där exakthet och
precision eftersträvas. En av svårigheterna med matematik, så som den mer traditionellt
presenteras, i läromedel och i undervisning är att man ofta döljer hur begreppen, metoderna
och idéerna har uppstått och utvecklats. Det handlar mer om att presentera en perfekt
slutprodukt, som tyvärr stämmer dåligt med hur vi lär oss matematik.
How do we come to understand a mathematical concept? Is it by reading its definition?
Hardly anyone involved in education would say ‘yes’.
(Sierpinska, 1992. sid 25).
En annan intressant aspekt är hur den tidiga uppfattningen av funktionen, som en dynamisk
operation eller procedur, utvecklas till en uppfattning där funktionen framstår som en statisk
struktur. Funktionen kan slutligen betraktas som ett eget objekt. Anna Sfard har i ett antal
olika artiklar (se t ex Sfard, 1991 och 1992) visat att den här utvecklingen är likartad för
många matematiska begrepp och att den är nödvändig för att ett matematiskt begrepp ska
kunna utgöra grunden för en fortsatt utveckling. Den går inte att skapa nya procedurer ovanpå
andra, tidigare procedurer hur långt som helst. En av svårigheterna med matematikundervisning, kan vara att många elever mer eller mindre tvingas att gå vidare till ”nästa nivå”
och börja operera på procedurer från en lägre nivå, utan att de har börjat betrakta dessa
procedurer som egna objekt. De tvingas m a o att försöka utföra procedurer på procedurer i
många nivåer över varandra.
Ytterligare en intressant aspekt av funktionsbegreppets utveckling är den tidiga kopplingen
till den fysiska verkligheten. Från början uppmärksammas inte funktionsbegreppet i sig, utan
det används som ett redskap för att beskriva olika skeenden. Denna tidiga användning präglas
av en pragmatisk syn. Så länge det fungerar och man lyckas förklara och förutsäga resultat
från olika experiment ifrågasätts inte verktygen. Det är först när intresset vänds mot
funktionsbegreppet i sig som utvecklingen mot ett alltmer abstrakt begrepp tar fart. Denna
strävan efter att avkontextualisera begreppen, så att de bli generella och abstrakta, är ett av
kännetecknen för matematiken som vetenskap. De rena matematiska begreppen ska inte vara
beroende av den fysiska verkligheten utan stå helt fria och därmed vara möjliga att tillämpa
utan begränsningar. Detta innebär samtidigt en didaktisk svårighet. Genom att kapa eller
fördunkla förbindelsen mellan ett matematiskt begrepp och dess ursprung försvåras antagligen
tillägnandet av betydelsen av begreppet.
Referenser
Boyer, C. (1985). A History of Mathematics. Princeton: Princeton University Press.
Davis, P. J. & Hersh, R. (1990). The Mathematical Experience. London: Penguin Books.
Katz, V. J. (1993). A History of Mathematics. New York: Harper Collins College Publishers.
Kline, M. (1979). Mathematics in Western Culture. London: Penguin Books.
Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes
and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics
Education 22, 1-36.
Sfard, A. (1992). Operational origins of mathematical objects and the quandry o reification –
the case of function. In G. Harel & E. Dubinski (Red.), The Concept of Function. Aspects
of Epistemology and Pedagogy (MAA Notes Volume 25). Washington: Mathematical
Association of America.
Sierpinska, A. (1992). On understanding the notion of function. In G. Harel & E. Dubinski
(Red.), The Concept of Function. Aspects of Epistemology and Pedagogy (MAA Notes
Volume 25). Washington: Mathematical Association of America.
Thompson, J. (1991). Matematiklexikon. Helsingborg: Wahlström & Widstrand.
Vilenkin, N. Y. (1995). In Search of Infinity. Boston: Birkhäuser.
87
Från aritmetik till algebra
Hur ser de väl dokumenterade elevsvårigheterna med skolans algebra ut? Några av dessa
beskrivs och olika försök att hantera dem i undervisningen diskuteras.
Johan Häggström är matematikdidaktiker vid Göteborgs universitet och NCM.
Föreläsning
Det är viktigt att kunna algebra. Det mesta talar för att vårt samhälle i allt högre grad kommer
att genomsyras av algebra, ofta dold i matematiska modeller som hanteras av datorer och
annan modern teknik. De flesta arbetsplatser har redan tagit steget in i det ”högteknologiska
samhället”. Allt fler vardagssituationer kräver ett allt bättre kunnande i algebra än vad som
var fallet för bara några decennier sedan. Detta är på många sätt en demokratifråga. Ska jag
kunna följa med i samhällsdebatten? Ska jag kunna värdera och bedöma uppgifter och
prognoser från olika samhällsaktörer? Eller blir jag tvungen att överlåta allt detta åt olika
”experter”?
I slutrapporten från RAND institutets arbete med att ta fram ett nationellt beträffande lärande
och undervisning i matematik handlingsprogram i USA är ett av tre prioriterade områden för
forskning och utveckling, Teaching and learning of algebra from kindergarten through the
12th grade (K12) (RAND, 2003). Att just algebran som innehållsligt område lyfts fram på
det här viset är ett exempel på den vikt man fäster vid det här området på olika håll i världen.
Vilket kunnande är viktigt?
Kursplanerna beskriver vilka kvaliteter som vi ska sträva efter i undervisningen. Den senaste
versionen inleds på följande sätt
Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som
behövs för att fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer, för att
kunna tolka och använda det ökande flödet av information och för att kunna följa och
delta i beslutsprocesser i samhället. Utbildningen skall ge en god grund för studier i
andra ämnen, fortsatt utbildning och ett livslångt lärande.
(Skolverket, 2000)
Vad innebär detta? På vilket sätt måste man kunna skolans algebra för att ska det ska vara
möjligt att göra allt detta? Ett sätt att, mer generellt, beskriva olika kvaliteter på kunnande
görs i läroplanskommitténs betänkande Skola för bildning (SOU, 1992). Där beskrivs fyra
olika former av kunskap, fakta, färdighet, förståelse och förtrogenhet. Som jag ser det är det
fullt möjligt att tillämpa dessa på kunnande i algebra, samt att alla dessa aspekter är
väsentliga. Framför allt verkar formerna färdighet och förståelse vara tydliga i matematiken
och de används ofta i den matematikdidaktiska debatten. Man har sedan länge, åtminstone
sedan folkskolans införande i mitten på 1800-talet, från många olika håll framhållit (ibland
med enfas hävdat) att skolans matematikundervisning måste fokusera på och sträva efter
förståelse hos eleverna (se t ex Johansson & Wistedt, 1991). Men trots detta verkar
undervisningen relativ t opåverkad och en ensidig färdighetsträning fortsätter att dominera
(Skolverket, 2003).
Ett annat sätt att beskriva algebrakunnande är med hjälp av den s k algebraiska cykeln
(Bergsten, C. m fl, 1997). Den algebraiska cykeln är ett sätt att beskriva komponenterna i ett
kunnande som skulle kunna betecknas som funktionellt. Det första steget i den algebraiska
cykeln innebär att man kan urskilja de väsentliga aspekterna i en problemsituation (som kan
vara av inom- eller utommatematisk karaktär). Det innebär också att man kan översätta och
uttrycka problemets struktur, dvs relationerna mellan olika ingående storheter, med hjälp av
ett algebraiskt symbolspråk. Sedan, i det andra steget, ska det symboliska uttrycket formuleras
om enligt vissa givna regler. Det kan t ex betyda att man löser en uppställd ekvation eller
skriver om ett uttryck så att relationerna mellan storheterna framträder på ett nytt sätt. I det
tredje steget slutligen, ska lösningen återföras till det ursprungliga problemet och utvärderas.
Ett väl utvecklat, funktionellt, kunnande i algebra betyder att eleven måste behärska alla dessa
steg i cykeln. Eleven måste kunna växla mellan olika kunskapsformer, hantera olika aspekter
hos symboler, begrepp och operationer, så som att omväxlande hantera symbolernas form
respektive innehåll. Man skulle kunna hävda att steg två i den algebraiska cykeln, som
handlar om att lösa en ekvation eller att skriva om ett uttryck efter givna regler, inte är lika
väsentlig längre. Den delen av cykeln har en tydlig färdighetsaspekt och numera finns det, allt
billigare, räknare som kan klara av den delen både snabbt och säkert. Dessa s k symbolhanterande räknare löser bl a ekvationer, som ligger långt utanför traditionell skolmatematik,
utan svårigheter. Kanske är det dags att sluta undervisa om ekvationslösning med papper och
penna? Eller kan det vara så att relationen mellan färdighet och förståelse när det gäller
algebra är mer komplicerad än så?
Vilka är då svårigheterna? Det bedrivs en omfattande forskning kring skolalgebra internationellt. Många försök görs att försöka kartlägga vanligt förkommande tänkande hos elever,
hur de uppfattar olika begrepp och symboler samt vilka svårigheterna kan vara. Några av de
saker som framkommer i dessa studier kommer att diskuteras i föreläsningen.
Relationen mellan Form och Innehåll
I matematiken finns hela tiden ett intrikat växelspel mellan de använda symbolernas form och
deras innehåll eller betydelse (se t ex Bergsten, 1990). I många fall är det möjligt att arbeta på
en ytlig nivå, med memorerade regler för hur uttryck och ekvationer kan skrivas om. Men ett
funktionellt kunnande kräver också att man kan betrakta och tolka betydelsen av de
matematiska symbolerna. En av poängerna med algebran är att när man väl formulerat sitt
uttryck eller ställt upp sin ekvation så kan man (för ett tag) slippa att tänka på innebörden. En
ekvation exempelvis, kan lösas på samma sätt helt oberoende av vilken problemsituation den
svarar mot. Det är alltså både möjligt och produktiv att bortse från innebörden under själva
lösandet. Att det går att bortse från innehållet och bara fokusera den yttre formen är samtidigt
en av svårigheterna med algebran. Många av de uppgifter (kanske de allra flesta?), som elever
arbetar med i skolan, kräver aldrig att de växlar fokus och beaktar innehållet, utan man kan
komma fram till korrekta svar genom att endast arbeta ytligt med själva symbolerna. Det visar
sig också i studier av hur universitetsstudenter tolkar och förstår skolans algebra. Trots att de
har flera års studier av matematik på gymnasiet, där en stor del just handlar om att använda
algebra på olika sätt, verkar det som att förståelsen av symbolerna inte utvecklats hos en stor
del av eleverna. Kan det vara så att de uppgifter som hanteras i gymnasiet inte heller kräver
att innehållet beaktas?
Relationen mellan Procedur och Objekt
De flesta matematiska begrepp verkar kunna uppvisa två olika ansikten. Anna Sfard har i ett
flertal artiklar beskrivit att matematiska begrepp har dels en dynamisk, operationell sida och
dels en statiskt, strukturell sida (se t ex Sfard, 1991; 1992). Matematiska begrepp kan
uppfattas och förstås dels som procedurer och dels som egna objekt på vilka man kan utföra
andra procedurer. Sfard menar att den dynamiska aspekten är lättast att uppfatta, medan den
statiska är svårare. Ett exempel på det kan vara innebörden i likhetstecknet, som visar sig vara
så väsentligt för möjligheterna att komma underfund med begreppet ekvation. Likhetstecknet
kan uppfattas på ett dynamiskt sätt i uttryck som 2 + 3 = 5, som att först har vi 2 och 3, dessa
adderas och sedan får vi summan 5. ”Det blir fem”. Det finns en klar dynamik i hur uttrycket
förstås. Man kan säga att det tolkas som en procedur i riktning från vänster led till höger led.
När det gäller ekvationer av typen 2x + 3 = 13  x, blir det väldigt svårt att hålla fast vid
denna dynamiska tolkning. Här måste likhetstecknet och hela uttrycket istället förstås som en
statisk struktur, d v s att vänster och höger led båda finns samtidigt och att de är lika. Hela
uttrycket måste uppfattas som ett objekt som man kan operera på. Sfard menar att den statiska
förståelsen av matematiska begrepp och symboler, som t ex likhetstecknet, ofta tar tid att
utveckla. Hon menar vidare att man i den historiska utvecklingen av matematiken kan se
samma mönster. Först framträder de dynamiska aspekterna hos ett nytt begrepp och långt
senare utvecklas en förståelse för den mer statiska sidan. När det gäller övergången från
aritmetik till algebra så ställs det krav på eleverna att kunna växla mellan att betrakta ett
flertal matematiska begrepp och symboler både dynamiskt och statiskt.
Några idéer för undervisningen
Utifrån kännedom om vanliga svårigheter som elever upplever med skolans algebra har
många aktiviteter för att förebygga dessa svårigheter tagits fram. De betecknas ofta som prealgebraiska. Med det menar man aktiviteter som syftar till att bredda och fördjupa elevernas
uppfattningar av och kunnande i matematik inom områden som är betydelsefulla för
förståelsen av algebraiska symboler och metoder. Avsikten är många gånger att undvika att
eleverna ska möta alltför mycket nytt på en gång. Många algebraiska begrepp kan eleverna
bekanta sig med, innan man t ex börjar använda symboler med bokstäver som beteckningar
för tal osv. Några pre-algebraiska aktiviteter kommer att presenteras och problematiseras (se t
ex Häggström, 1995; 1996, Bergsten m fl, 1997). Vilka möjligheter och svårigheter som kan
finnas med olika upplägg kommer att diskuteras.
Referenser
Bergsten, C. (1990). Matematisk operativitet. En analys av relationen mellan form och innehåll i
skolmatematiken. Linköping: Linköpings universitet.
Bergsten, C., Häggström, J. & Lindberg, L. (1997). Algebra för alla. Nämnaren TEMA. Göteborg:
NCM, Göteborgs universitet.
Häggström, J. (1995). Tidigare algebra. Nämnaren 22(4), s. 17-22.
Häggström, J. (1996). Förstå algebra. Nämnaren 23(1), s. 38-44.
Johansson, B. & Wistedt, I. (1991). Undervisning om tal och räkning – ett historiskt perspektiv. I G.
Emanuelsson m fl (red) Tal och räkning 1. Lund: Studentlitteratur.
RAND Mathematics Study Panel (2003). Mathematical Proficiency for All Students: Toward a
Strategic Research and Development Program in Mathematics Education. [Elektronisk]
Tillgänglig: <http://www.rand.org/publications/MR/MR1643/>. [2003-10-27]
Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reifications on processes and
objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics 22(1), 10-23.
Sfard, A. (1992). Operational origins of mathematical objects and the quandry o reification – the case
of function. In G. Harel & E. Dubinski (Red.), The Concept of Function. Aspects of Epistemology
and Pedagogy (MAA Notes Volume 25). Washington: Mathematical Association of America.
Skolverket (2000). Kursplan i matematik för grundskolan. . [Elektronisk] Tillgänglig:
<http://www.skolverket.se/styr/index.shtml> [2003-10-27]
Skolverket (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik. Skolverkets rapport nr 221.
[Elektronisk] Tillgänglig:
<http://www2.skolverket.se/BASIS/skolbok/webext/trycksak/DDW?W=KEY=1148> [200310-27]
SOU 1992:94. Skola för bildning. Huvudbetänkande av Läroplanskommittén. Kapitel 2, Kunskap och
lärande.
88
KULT-projektet
Sverige deltar tillsammans med 10 länder i ett stort internationellt forskningsprojekt, The Learner´s Perspective
Study http://www.edfac.unimelb.edu.au/DSME/lps/. Matematikundervisning studeras med hjälp av
videoinspelning av lektioner samt uppföljande intervjuer med elever och lärare. Projektets uppläggning och
preliminära resultat från inledande analyser och jämförelser med andra medverkande länder presenteras.
Johan Häggström är matematikdidaktiker vid Göteborgs universitet och NCM.
Föreläsning
KULT-projektet, svensk skolkultur – klassrumspraktik i komparativ belysning (KULT, 2003),
syftar till att beskriva svensk matematikundervisning och göra internationella jämförelser.
Projektet ingår i en större internationell studie, The Learner’s Perspective Study, (LPS study,
2003) där för närvarande 10 länder medverkar. Utifrån en gemensam design (Clark, 2000)
samlas empiri genom avancerade videoinspelningar av matematiklektioner i årskurs 8
kombinerat med uppföljande intervjuer med elever och lärare. Det som utmärker LPS studien,
jämfört med andra internationella studier där videodokumentation av matematikundervisning
gjorts, är att samma klass följts i minst 10 matematiklektioner efter varandra samt att tre
kameror använts vid inspelningarna. En rörlig kamera följer läraren som är utrustad med en
trådlös mikrofon (s k mygga). En kamera med vidare objektiv dokumenterar hela
klassrummet och en tredje kamera fokuserar en mindre grupp elever (2-4) som sitter intill
varandra. På de bänkar där dessa s k fokuselever sitter finns också ett par små mikrofoner
placerade så att konversationen kan fångas upp vid inspelningen. I det svenska projektet har
en portabel inspelningsstudio byggs upp, vilket möjliggör digitala inspelningar direkt på
hårddisk. En av de stora fördelarna med detta vid fältarbetet har varit att elevintervjuer kunnat
genomföras i direkt anslutning till den inspelade lektionen. Vid dessa intervjuer har
intervjuaren och eleven tittat på och kommenterat en film där fokuseleverna kan följas
samtidigt som inspelningen av läraren syns i en mindre ruta uppe i bildens ena hörn. Den
digitala tekniken möjliggör en mycket snabb synkronisering av de båda inspelningarna till en
mixad film, vilket varit värdefullt.
I vart och ett av de medverkande länderna, som förutom Sverige är Australien, Filippinerna,
Hong Kong, Israel, Japan, Kina, Sydafrika, Tyskland och USA, görs inspelningar av minst 10
lektioner i följd i tre åttondeklasser. Varje lektion följs upp med intervjuer av minst två av
fokuseleverna. Dessutom intervjuas läraren några gånger under inspelningsperioden. Eleverna
svarar på enkäter om matematikundervisning samt gör ett allmänt matematiktest, lika i alla
länder.
Fältarbetet i Sverige är avslutat och totalt har 48 lektioner i tre klasser spelats in. Eftersom
varje lektion filmats med tre kameror gör det totalt 144 lektionsfilmer. 75 elevintervjuer och
12 lärarintervjuer, om vardera 40 – 80 minuter, finns också dokumenterade på videofilm. Av
de lektioner som följts kommer data från 10 sammanhängande lektioner i varje klass att
organiseras enligt de krav som ställs inom det internationella projektet. Det innebär bl a att all
konversation skall transkriberas på ett standardiserat sätt och dessutom översättas till
engelska. Allt ska sedan tidskodas och infogas i ett speciellt format så att man i en löpande
textremsa kan följa med i det som sägs på respektive film.
LPS studien avser att studera matematikundervisning på ett mer uttömmande sätt än andra
liknande internationella studier. Genom den design man valt är detta möjligt.
Dokumentationen av, inte bara läraren utan också hela klassrummet och en mindre grupp
elever, som efteråt ges möjlighet att kommentera vad som händer under lektionen, genererar
ett mycket informationsrikt datamaterial. Det går att både följa och studera skeenden under
lektionen och att beakta flera av de medverkandes tolkningar, förståelse och uppfattningar av
det som sker, så som de ger uttryck för detta i de efterföljande intervjuerna.
Det svenska KULT-projektet bedrivs i samarbete mellan forskargrupper från Uppsala
universitet och Göteborgs universitet. Analyserna kommer därvid i det första skedet att ske
med metoder som är etablerade i och tidigare använda av respektive forskargrupp. I den ena
traditionen fokuseras interaktionsmönster i klassrummet och i den andra hur det matematiska
innehållet behandlas och förstås. En ambition inom det svenska projektet är att de båda
teoretiska perspektiven skall relateras till och berika varandra.
När detta skrivs har endast preliminära analyser av det svenska materialet kunnat göras (det är
endast några månader sedan fältarbetet avslutades). De första internationella jämförelserna har
påbörjats mellan en av de svenska skolorna och en skola från USA, där samma innehåll
(elementära linjära funktioner) är föremål för undervisning. Preliminära resultat av dessa
inledande analyser presenterades på EARLI-konferensen i augusti (Emanuelsson m fl, 2003).
Ambitionen är att vid biennalen kunna presentera resultat och slutsatser från mer grundliga
analyser av större delar av materialet.
Det svenska projektet finansieras med anslag från Riksbankens Jubileumsfond.
Referenser
Clark, D. (2000). The Learner’s Perspective Study. Research design. Melbourne: University of Melbourne.
Emanuelsson, J. m fl (2003). Interaction and variation of content in a Swedish and a US mathematics
classroom: Talking the talk or getting it right? Rapport presenterad vid symposiet, “Social interaction and
learning in mathematics classrooms in Australia, Germany, Hong Kong, Japan, Sweden, and the United
States” vid EARLI konferensen 26-30 augusti. Italien: Padua.
KULT (2003). Svensk skolkultur – klassrumspraktik i komparativ belysning. [Elektronisk] Tillgänglig: <
http://www.ped.uu.se/kult/default.asp >. [2003-10-29]
LPS study (2003). The Learner’s Perspective Study. [Elektronisk] Tillgänglig:
<http://www.edfac.unimelb.edu.au/DSME/lps/>. [2003-10-29]
89
Lärares andliga utveckling i lärandemiljöer – perspektiv på matematik
Tid för reflektion åt lärare kan ge en andlig utveckling och medvetenhet om matematikens
möjligheter i den pedagogiska praktiken. Jag presenterar några tankar kring mitt pågående
avhandlingsarbete om lärande i matematik.
Ingrid Dash är doktorand i pedagogik och medlem i Forskargruppen för mångkulturell
pedagogik, Pedagogiska institutionen, Lunds Universitet.
Föreläsning
Föreläsningen berör inte direkt min avhandling. Den handlar om tankar om begrepp som
andlighet och besjälat lärande och begreppens betydelse för lärares egna lärande, elevers
lärande och för lärande i ämnet matematik. Jag tänker mig att andlighet kan vara ett sätt att
närma sig interkulturellt lärande.
Skolans vardag präglas av ökad stress och ökade krav på effektivitet och resultat. Lite tid
finns kvar för reflektion och kommunikation. I detta sammanhang är Skolverkets rapport Lust
och lärande med fokus på matematik en viktig inspirationskälla som kan ge riktning mot ett
nytt sätt att se på undervisningspraktik och lärande. Jag kommer bl a att referera till denna
rapport och ta upp goda exempel ur verkligheten..
Meningsfull och trovärdig kunskap kan fås genom en undervisning som genomsyras av
lärarens medvetenhet om hur kommunikationen och möten med och mellan elever på olika
sätt kan få helheter att framstå i relation till kunskaps- strävans- och demokratimål. En sådan
undervisning ställer krav på läraren att reflekterar över sitt förhållningssätt och att genom
aktiv handling, argumentation och diskussion med andra lärare medvetandegöra
utgångspunkter i den pedagogiska grundsynen och hur dessa kan finnas som en röd tråd i
undervisningens mål och struktur. Även frågor om hur elever kan ta ett genuint ansvar för sitt
eget kunskapssökande är viktiga om kunskaper ska bli meningsfulla och trovärdiga.
En alternativ syn på matematik som ett språk med många inneboende logiska system och
olika dimensioner, visar på möjligheter till att lägga in olika kulturella, sociala och historiska
perspektiv på matematiken och leder bort från etnocentriska, universella antaganden och
perspektiv med öppningar mot kreativitet, estetik, formalisering och logik. Andligheten ligger
i att se hur allt hänger ihop i fältet mellan de matematiska tematiseringarna, den gemensamma
referensramen i lärandemiljön och de egna personliga tematiseringarna. Andlighet innebär
holistiskt lärande och ett sätt att närma sig interkulturellt lärande.
90
Matematik och läs- och skrivsvårigheter – hur bygger man en bro
mellan dem
Hur kan vi nå elever i läs- och skrivsvårigheter så att även de möter en positiv matematik?
Vilka avgrunder behöver vi bygga broar över för dem, och kanske för andra elever också?
Efter omfattande litteraturstudier och med lång erfarenhet av undervisning med elever som
har läs- och skrivsvårigheter har vi hittat ett antal grundläggande problem eller
varningsklockor. Läs- och skrivsvårigheter eller dyslexi ger stora effekter på elevens
matematikfärdigheter.
Per Berggren och Maria Lindroth är matematiklärare på Trädgårdsstadsskolan i Tullinge.
De är också författare och lärarfortbildare.
Föreläsning
Vad säger kursplan 2000 och Lpo 94?
”För att framgångsrikt kunna utöva matematik krävs en balans mellan kreativa,
problemlösande aktiviteter och kunskaper om matematikens begrepp, metoder och
uttrycksformer. Detta gäller både elever i behov av särskilt stöd (författarnas kursivering) som
elever i behov av särskilda utmaningar.”
”Hänsyn skall tas till elevers olika förutsättningar och behov. Det finns också olika vägar att
nå målet. Skolan har ett särskilt ansvar för de elever som av olika anledningar har svårigheter
nå målen för utbildningen.”
”Läraren skall stimulera, handleda och ge särskilt stöd till elever som har svårigheter.”
Både Kursplan 2000 och Lpo 94 återkommer ofta till att alla elever ska få den hjälp de
behöver. Särskilt viktigt blir det för elever med svårigheter som till exempel läs- och
skrivsvårigheter. För att kunna möta dessa elever på ett konstruktivt sätt krävs det dock att
man är medveten om vilka problem som kan uppstå samt har kännedom om kompensatoriska
vägar runt problemen.
”Varningsklockor”
När det är elever som har läs- och skrivsvårigheter finns det ett antal ”varningsklockor” som
man ska vara observant på som lärare. Det är funktionsnedsättningar som orsakar läs- och
skrivsvårigheter men som även påverkar den matematiska förmågan. Elever med läs- och
skrivsvårigheter eller dyslexi har eller kan ha problem med:
· Omkastningar
· Osäkerhet på symboler
· Bristande spatial förmåga
· Bristande sekvensering
· Långtidsminnet
· Korttidsminnet
· Begreppsbildning
Samtliga dessa ger även svårigheter inom matematiken, förutom att de kan försvåra för en
person med läs- och skrivsvårigheter att läsa och förstå själva uppgiften.
Omkastningar innebär både att eleverna kan ha problem 6 och 9 men även att 15 kan bli 51.
Detta problem är det som vanligen kallas för b-d omkastning. Problemet inom matematik är
att dessa omkastningar ger nya tal till skillnad från stavning då omkastningar leder till stavfel.
Om eleven har eller har haft problem med b-d omkastningar är det stor risk att hon/han även
gör detta i matematik. Omkastningar i matematik kan bero dels på att siffror liknar varandra
så som 6 och 9, 3 och 8, 4 och 7 men också på att eleverna ljudar sig fram. I talet 15 hörs
”fem”-ljudet först vilket kan få elever att skriva det som 51. En försvårande faktor i
matematik är att det mycket sällan finns en så tydlig kontext runt en uppgift att ett alternativ
är orimligt. Om eleven skriver 6 istället för 9 eller 51 istället för 15 är det för det mesta
omöjligt att se att det ena eller andra alternativet är orimligt och därför börja söka efter
möjliga felorsaker. Skillnaden med text är att om en elev ljudar sig fram till ordet BSKÖ är
det mycket lätt att förstå hur stavning uppkom. Här finns till och med en risk att läsaren inte
ens ser felstavningen då ordet står mitt i en mening. Detta ska då jämföras med matematik där
ett ”felstavat ord” (tal) leder till fel svar vilket i sin tur för det mesta leder till en känsla hos
eleven att hon/han inte kan matematik, även om hela tankegången vid lösningen var rätt!
Att vara osäker på symboler få extra stora effekter inom matematik då matematik är ett av
skolans symboltätaste ämne. Ett tydligt exempel på detta är division. Under senare år har man
använt sig av inte mindre än sju olika symboler/algoritmer för division: / : +- —  ”trappan”
och ”liggande stolen”. För de som är osäkra på symboler kan varje symbol innebära ett nytt
räknesätt trots att det alltid är frågan om division. Många av symbolerna är dessutom lika
varandra så som  + och  vilket ytterligare försvårar för dem som inte är säkra på
symbolerna.
Att ha problem med den spatiala förmågan påverkar rums- och tidsuppfattningen. Elever som
har problem med den spatiala förmågan kan till exempel ha problem med att lösa matematiska
uppställningar då man ofta ändrar riktning vid skriftliga beräkningar. Algoritmer kan för
dessa elever vara svåra att förstå och lära sig. Talet 123+85 löses från vänster till höger. Om
man istället ställer upp det i en additionsalgoritm går man från höger till vänster, vilket är
tvärtom mot läsriktningen. I en divisionsalgoritm går man dock från vänster till höger och i en
uppställning med parenteser som 123+(23-3x6+4) och olika räknesätt arbetar man ofta fram
och tillbaka mellan höger och vänster.
Problem inom det spatiala området kan dessutom göra det svårt för eleven att förstå och lära
sig egenskaper hos olika geometriska figurer, att avbilda objekt, både 2- och 3-dimensionellt,
samt förstå hur olika objekt ser ut från andra perspektiv. Den spatiala förmågan innefattar
även tidsbegreppet. Denna förmåga är speciell då tidsuppfattning är något som man inte kan
lära sig. Man kan träna den och ge elever referenser men det går inte att ”lära sig” hur lång tid
en minut är.
Sekvensering är ett mycket viktigt begrepp i matematik, bland annat för att förstå talföljden.
För att kunna övergå från ramsräkning till att veta att talföljden består av tal i
växande/fallande storleksordning kräver en utvecklad sekvensering. Ett sätt att arbeta med
detta är att räkna uppåt och nedåt i steg om 2, 3, 4, 5 osv. Om eleven måste använda sig av
speciella strategier så som fingerräkning kan det bero på bristande sekvensering.
Att lära sig additions-, subtraktions-, divisions- och multiplikationstabeller ställer krav på
långtidsminnet. Ett begränsat långtidsminne kan göra det mycket svårt för eleven att lära sig
detta. Kompensatorisk hjälp kan då vara mycket motiverat då inlärning av dessa
tabellkunskaper utantill skulle ta omotiverat lång tid. Tabellkunskaper är mycket viktigt men
de får inte ta upp all tid för en försöksperson som har problem med långtidsminnet, det bör
istället vara ett ständigt återkommande inslag i matematikundervisningen.
Korttidsminnet påverkar förmågan att ta instruktioner och räkna i huvudet. Det är i princip
ingen skillnad på att beräkna 5927 och 33232132, ändå blir det senare mycket svårt att göra
med huvudräkning. Anledningen är att den senare kräver en förmåga att hålla många siffror i
minnet samtidigt. Detta gör att trots att den inte innehåller någon tiotalsväxling blir den ändå
för många omöjlig att utföra i huvudet medan den första med lite möda är möjlig att utföra.
En begränsning i denna förmåga medför dessutom att det är svårare att ta emot långa
instruktioner. Att ha en tydlig beskrivning av arbetsgången som hjälp för minnet tillsammans
med kompensatoriska hjälpmedel så som miniräknare är till stor hjälp för dessa elever.
Ett begrepp är en kombination av ord, ordförståelse och erfarenhet. För de elever som har
svårigheter med läsning och läsförståelse är det mycket viktigt att nya begrepp bygger på
erfarenhet. Att dessutom många begrepp och ord har fler än en betydelse försvårar problemet
ytterligare. En rät linje och en rät vinkel skiljer sig till exempel åt i väsentliga delar. Ett bra
sätt att göra detta på är att använda sig av konkret material som låter eleverna själva få
uppleva matematik på ett multisensoriskt sätt. Att få använda så många sinnen som möjligt är
en stor hjälp för dessa elever.
Litteratur
Grundskolan – kursplaner och betygskriterier. (2000). Skolverket.
Läroplaner för det obligatoriska skolväsendet. (1994) Utbildningsdepartementet.
Berggren, P. & Lindroth, M. (2001). Räkna, Läsa, Skriva – Test enligt Bangormodellen.
Ekelunds förlag.
Chinn, S. & Ashcroft, R. (1999). Mathematics for Dyslexics – A Teaching handbook. Whurr
Publisher Ltd.
Fawcett, A. (editor) (2001). Dyslexia – Theory & Good Pratice. Whurr Publisher Ltd.
Hendersson, A. (1998). Maths for the Dyslexic – A Practical Guide. David Fulton Publisher.
Høien, T. & Lundberg, I. (2001). Dyslexi – Från teori till praktik. Natur och Kultur.
Kimhag, K. m.fl. (1995) Dyslexi och dyskalkyli. Pedagogiska institutionen, Uppsala
universitet
Malmer, G. & Adler, B. (1996). Matematiksvårigheter och dyslexi. Studentlitteratur.
Malmer, G. (1999). Bra matematik för alla – Nödvändig för elever med inlärningssvårigheter.
Studentlitteratur.
Miles, T.R. & Miles, E. (1998). Help for dyslexic children. Routledge.
Miles, T.R. & Miles, E. (editors) (1997). Dyslexia and mathematics. Routledge.
Miles, T.R. (1997). Dyslexia – the pattern of difficulties. Routledge.
91
Laborativ matematik – bygger broar mellan våra sinnen
Laborativ matematik är ett bra sätt att använda multisensorisk inlärning för att bygga broar till matematiskt
kunnande. Laborationer som är rika matematikuppgifter ger alla elever utmaningar vilket ger möjligheter för alla
elever att utvecklas tillsammans. Exempel på hur sådana laborationer kan se ut kommer att ges, liksom vad som
karaktäriserar en bra laboration utifrån mål, arbetssätt och innehåll.
Per Berggren och Maria Lindroth är matematiklärare på Trädgårdsstadsskolan i Tullinge. De är också
författare och lärarfortbildare.
Workshop
Vad säger kursplan 2000?
”Utbildningen i matematik skall ge eleven möjlighet att utöva och kommunicera matematik i meningsfulla och
relevanta situationer i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på olika problem.”
”Matematik är en levande mänsklig konstruktion som omfattar skapande, utforskande
verksamhet och intuition.”
”Problemlösning har alltid haft en central plats matematikämnet. Många problem kan lösas i
direkt anslutning till konkreta situationer utan att man behöver använda matematikens
uttrycksformer.”
Som synes lämnar kursplan 2000 inget utrymme för att inte använda laborationer som ett
naturligt inslag i matematikundervisningen genom alla skolår. Istället för att föra en
diskussion om ifall laborationer ska användas eller ej bör fokus ligga på vilka laborationer
som ska användas och varför. Vad kännetecknar en bra laboration i
matematikundervisningen?
Hur ser en bra laboration i matematik ut?
Det är viktigt att laborationer i matematik är väl genomtänkta. Man ska som lärare veta varför man gör en
laboration, vilken matematik eleverna kan tänkas hitta i just den laborationen och hur uppgiften kan fördjupas
eller utvidgas. Det är inte ovanligt att den första matematik som man ser i en laboration är elementär. För att en
laboration ska betecknas som bra krävs dock att den matematiken kan fördjupas och utvidgas till mer avancerad
matematik som kan utmana alla elever. Laborationer som är ett ”kul inslag” på någon enstaka matematiklektion
tror vi inte ger annat en stunds trevligt tidsfördriv.
En bra laboration ska innehålla konkret material och en fråga som är knuten till materialet. Med hjälp av det
konkreta materialet ska man kunna lösa uppgiften. Tanken ska vara att alla elever kan lösa uppgiften på en rimlig
tid, 10-15 minuter. Det är viktigt att alla får känna att de lyckas, att de kan! Utifrån den konkreta lösningen ska
eleverna sedan uppmuntras att fundera vidare. Finns det någon mer lösning? Hur många lösningar finns det? Hur
vet eleverna när de har hittat alla lösningar? Vilken tycker eleverna är den bästa lösningen? Varför tycker de så?
Vad skulle hända om man ändrar förutsättningarna eller om man t.ex. har hittat en talserie, vilka olika mönster
kan man se? De här fördjupnings- och utvidgningsfrågorna är de som tar fram matematiken i laborationen och
som ger eleverna matematiska utmaningar. Varje elev kommer att hitta matematik som utmanar dem på sin nivå
utifrån erfarenheter, kunskaper, vilja och ambition. En riktigt bra laboration saknar ett svar, man ska kunna
komma hur långt som helst. När man arbetar med laborationer måste tid ges för diskussioner, både i par- eller
grupparbete men också i helklasssituationen. En viktig del är att få argumentera för sina metoder och eventuella
lösningar, det blir ett forum för reflektion.
Vad ger en bra laboration?
Laborationen ska utifrån de konkreta lösningarna ge möjligheter att utveckla, generalisera och
formalisera matematik. Varje laboration ska resultera i någon form av rapport. Hur den ska se
ut beror på vilken nivå eleven befinner sig. Vissa laborationsrapporter kommer kanske att
beskriva lösningar med bilder som representationsform medan andra kan ha mer eller mindre
formella matematiska bevis. Här har du som lärare en stor uppgift att förmå eleverna att
skriva så bra laborationsrapporter som möjligt.
Erfarenhetsmässigt har vi funnit att arbete i par eller grupper om tre ger det bästa resultatet
med mest aktivitet per elev. Ett bra arbetssätt som främjar matematisk kommunikation är att
arbeta enligt följande modell. Presentera laborationen för eleverna och låt dem arbeta i par
eller smågrupper under 10-20 minuter. Samla ihop grupperna till en helklassdiskussion där de
kan presentera och argumentera kring sina olika lösningar. Utifrån denna diskussion ger du
eleverna en fördjupnings- eller utvidgningsfråga som de får fortsätta att arbeta med. Denna
process kan återkomma flera gånger under en lektion. I slutet av varje laboration är det viktigt
att ge eleverna tid för att fördjupa sig så långt de kan i laborationen. De behöver då både tid
för diskussion och reflektion i paret eller gruppen.
En lyckad laboration kommer att fungera som en mental anslagstavla för eleverna där de kan
”hänga upp” teorier kring den matematik som laborationen innehöll.
Litteratur
Grundskolan – kursplaner och betygskriterier. (2000). Skolverket.
Berggren, P. & Lindroth, M. (1997). Kul matematik för alla. Ekelunds förlag.
Berggren, P. & Lindroth, M. (1998). En sannolik hästkapplöpning. Nämnaren 4(98).
Berggren, P. & Lindroth, M. (1999). På G i matematik. Ekelunds förlag.
Berggren, P. & Lindroth, M. (2001). Mattemagi. Ekelunds förlag.
Bergsten, C. m.fl. (1997). Algebra för alla. Nämnaren Tema.
Billstein, R., Lideskind, S. & Lott, J. (1993) A problem solving approach to mathematics for elementary school
teachers. Adison-Wesley Publishing Company
Emanuelsson, G. m.fl. (1996). Matematik – ett kommunikationsämne. Nämnaren Tema.
Trollhagen, K. (1994). Somriga matematikfunderingar. Nämnaren 3(94).
Williams, D. m.fl. (1996). Replacement unit – Pattern & Algebra Upper primary, Mathematics Task Centre
Project, Curriculum corp.
92
Vilken betydelse kan arbete med rika problem ha för elevers
lärande?
Under föreläsningen kommer jag att ge exempel ur ett pågående forskningsprojekt, ”Rika
problem i matematikundervisningen”. Genom dessa vill jag visa på hur arbete med så kallade
rika problem kan hjälpa eleverna att fördjupa och utvidga sina kunskaper inom olika
matematiska områden, skapa omväxling och öka elevernas motivation för matematikämnet.
Rolf Hedrén är biträdande professor emeritus i matematikdidaktik vid Högskolan Dalarna.
Han har arbetat som lärarutbildare och forskare. Bland annat har han tittat på konsekvenser
av att låta elever i skolår 2 - 5 själva uppfinna sina metoder för beräkningar i stället för att
lära in standardalgoritmer. För närvarande är han engagerad i ett projekt i skolår 7 - 9, som
rör hur lärare organiserar undervisning kring rika problem och vilka situationer för lärande
som uppstår, när elever sysslar med sådan problemlösning. Han har medverkat i böcker för
fortbildning av lärare och skrivit ett flertal artiklar och rapporter i matematikdidaktik.
Föreläsning
Under föreläsningen kommer jag att ge exempel ur ett pågående forskningsprojekt Rika
problem i matematikundervisningen. Genom dessa vill jag visa på hur arbete med så kallade
rika problem kan hjälpa eleverna att fördjupa och utvidga sina kunskaper inom olika
matematiska områden, skapa omväxling och öka elevernas motivation för matematikämnet.
Inledning
Problemlösning spelar otvetydigt en stor roll i matematikundervisningen enligt våra
kursplaner. Jag behöver endast peka på följande två citat, det första från grundskolans
kursplan och det andra från gymnasieskolans:
Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven
…
utvecklar sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik, samt
tolka, jämföra och värdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga problemsituationen.
…
(Skolverket, 2003a)
Utbildningen syftar även till att eleverna skall uppleva glädjen i att utveckla sin matematiska
kreativitet och förmåga att lösa problem samt få erfara något av matematikens skönhet och
logik.
(Skolverket, 2003b)
Det kan finnas många skäl att lägga vikt vid problemlösning i matematikundervisningen. Ett
skäl är att elevernas problemlösande aktivitet leder fram till många situationer, där de får
möjlighet och anledning att reflektera över, diskutera, utvidga och fördjupa sina tidigare
matematiska kunskaper. Att eleverna själva i samband med de givna problemen tvingas
fundera över och utbyta tankar kring matematiska idéer gör dem också motiverade av att ta
till sig kunskaper från sin lärare men också från sina kamrater i klassrummet. Dessa tankar
bygger i sin tur på en teori för lärande, den sociala konstruktivismen, som också i hög grad
präglat de svenska kursplanerna i matematik.
För tydlighets skull vill jag påpeka att jag använder ordet "problem" i en speciell betydelse,
som en uppgift som (1) eleven eller elevgruppen inte har en färdig strategi för att kunna lösa,
(2) det tar tid för eleven eller gruppen att lösa och som (3) de känner motivation för att lösa.
Social konstruktivism
Enligt den sociala konstruktivismen är det eleven, den lärande, som själv är aktiv och bygger
upp sin kunskap. Läraren kan egentligen inte lära eleven någonting, vilket enligt min åsikt bör
tolkas så att om den lärande själv inte är beredd att ta emot kunskap, att reflektera över den
och omstrukturera den för att passa de insikter, som hon redan besitter, sker inget
uppbyggande av kunskap hos henne. I denna kunskapskonstruktion har den lärande även stor
nytta av att diskutera med sina studiekamrater, som befinner sig på ungefär samma nivå som
hon. Den gemensamma diskussionen om och reflektionen kring det aktuella stoffet är till
nytta för alla deltagande parter, både för dem som kommit längre i sitt byggande av kunskap
och för dem som inte nått fullt så långt.
Det som här sagts innebär på intet sätt att läraren saknar betydelse i denna process. Det är
lärarens uppgift att arrangera situationer för lärande, som gör att de lärande på ett så effektivt
sätt som möjligt kan bygga upp adekvata kunskaper. Det är också hennes uppgift att skapa ett
klimat i klassrummet, där varje elev törs föra fram sina egna tankar och samtidigt vänjer sig
vid att lyssna till och på ett konstruktivt sätt kommentera sina kamrater. Läraren bör varsamt
leda diskussionen så att fruktbärande tankar understöds och så att en elev, som är inne på ett
felaktigt tankespår, själv kommer till insikt om felaktigheten.
Ett forskningsprojekt
För att försöka se hur arbete med problemlösning kan hjälpa eleverna att aktivt och engagerat
arbeta med, reflektera över och utvidga sitt kunnande i matematik har ett par kolleger, Eva
Taflin och Kerstin Hagland, och jag startat ett forskningsprojekt i skolår 7 - 9. Vi låter
eleverna arbeta med ett antal problem, som vi kallar rika och som vi anser vara sådana att de
kan ge eleven anledning att fundera över matematiska idéer. Våra kriterier för rika problem
finns redovisade i Taflins licentiatavhandling (2003). De ska även ge tillfälle för grupper av
elever och även hela klassen tillsammans att diskutera matematiska begrepp och procedurer.
Vi menar att det forskats och skrivit mycket om elevers strategier vid problemlösning i
matematik och deras förmåga att klara av olika typer av matematiska problem. Vi anser
däremot att det i stort sett saknas forskning kring hur lärare lägger upp sin undervisning kring
problemlösning, vilka tillfällen till lärande som uppstår under problemlösningsprocessen och
hur eleverna själva uppfattar denna undervisning. Alla dessa frågor vill vi speciellt studera i
vårt projekt, även om jag här koncentrerar mig på situationer för lärande och matematiska
idéer som kommer till uttryck i dem.
Elevers arbete med ett rikt problem
I två klasser i skolår 8 gavs följande problem i något förkortad form:
Stenplattor
Ett mönster läggs med hjälp av kvadratiska stenplattor, mörka och ljusa.
Så här ser mönstret ut:
figur 1
figur 2
figur 3
a) Hur många plattor går det åt till figur 5?
Hur många av dem är ljusa och hur många är mörka?
b) Hur många mörka respektive ljusa plattor går det åt till figur 15?
c) Hur många mörka respektive ljusa plattor går det åt till figur 100?
d) Hur många mörka respektive ljusa plattor går det åt till figur n?
e) Skapa ett liknande problem. Lös det.
Jag följde en grupp i vardera klassen, som jag här kallar grupp A och grupp B, och jag
försöker här visa på några viktiga skeenden i dessa gruppers problemlösningsprocess. De
citat, som förekommer är hämtade direkt ur de intervjuer, som jag gjorde med eleverna efter
problemlösningen.
Proportionalitet. I grupp B hade eleverna först räknat ut att totala antalet plattor i figur 5 är 49
och att antalet ljusa plattor är 25. Därefter räknade de 49 gånger 3 och 25 gånger 3 för att få
fram totala antalet plattor och antalet ljusa plattor i figur nr 15 (fråga b). I en intervju efteråt
förklarade en av eleverna uträkningen på följande sätt: "Nä, nä, jag trodde alltså att det var
bara att ta gånger tre, eftersom jag är van vid att det skulle gå på det att göra så …"
Motsvarande uträkning gjorde de även på delproblem c.
Rekursion. I grupp A använde sig eleverna av rekursion för att räkna fram antalet ljusa
respektive mörka plattor i de olika figurerna. En av eleverna uttryckte det så här: " … öka
dom vita med tre, och här öka dom med fem och där sju, varje heltal." … "Här öka det fyra
varje gång, dom svarta."
Tabell. Grupp A fortsatte sedan efter ett tips från sin lärare att göra en tabell över antalet
mörka och ljusa plattor från och med figur 1 till och med figur 20. När jag efter problemlösningen frågade en av eleverna vad hon hade lärt sig, svarade hon: "Ja, men alltså, det är lätt att
ställa upp det i en tabell alltså och sen försöka hitta mönster i stället för att kladda överallt på
olika papper så man, då liksom ser man ju vad man hållit på med ungefär."
Regel. När eleverna väl hade gjort tabellen var steget inte långt till att hitta en regel för att
räkna ut totala antalet plattor i varje figur. En elev sade vid den efterföljande intervjun: "Jo,
man, jo man räknar väl, man tar ju hundra plus två så blir det hundratvå gånger hundratvå, sen
får man fram antalet, totala plattor, och sen får man räkna ut dom ljusa plattorna." Antalet
ljusa plattor räknade de ut som figurens nummer i kvadrat och antalet mörka som totala
antalet plattor minus antalet ljusa.
Det intressanta var att även grupp B, som räknade på ett felaktigt sätt på delproblem b och c,
även använde samma regler som grupp A, när de kom till delproblem d. De gav nämligen n
värdet 446 och räknade med hjälp av de angivna reglerna och miniräknaren fram ett korrekt
antal mörka och ljusa plattor i figur 446.
Formel. Tanken med delproblem d var att eleverna skulle ta fram algebraiska uttryck
(formler) för antalet mörka och ljusa plattor i den figur, som vi kallat figur n. Ingen av de här
nämnda grupperna lyckades med detta. I den klass, som grupp B tillhörde, visade en elev
dessa formler på tavlan vid den efterföljande sammanfattande diskussionen. En av eleverna
från grupp B kunde vid min efterföljande intervju redogöra för och skriva ned dessa formler.
Slutord
Jag vill påpeka att vad jag ovan nämnt endast är ett litet axplock ur den samling data som vi
tagit fram under elevernas arbete problemet. Vi har också följt lärarnas agerande i fyra klasser
och bland annat spelat in all kommunikation mellan lärarna och de olika grupper av elever
som de diskuterat med. Vi har intervjuat ett antal grupper elever i två andra klasser för att ta
reda på hur de själva upplevt arbetet med problemet. Ur denna ganska rikhaltiga datamateriel
hoppas vi få ett grepp om de olika matematiska idéer som kommer fram och bearbetas när
eleverna löser ett problem, som vi anser vara matematiskt rikt, samt i vilka specifika situationer de dyker upp.
Av det som kom fram i arbetet i de här nämnda grupperna anser jag dock att det framgår
* att eleverna aktivt arbetade med problemet;
* att eleverna därvid fick tillfälle att reflektera över, utvidga och fördjupa sina tidigare kunskaper om matematiska begrepp och procedurer och dessutom sina strategier för att lösa
problem;
* att eleverna under och efter problemlösningsprocessen blev mottagliga för tankar och idéer
som läraren men även deras kamrater gav dem just på grund av att de själva hade fått tillfälle
att kämpa med frågorna.
Dessa synpunkter ligger i klart i linje med den sociala konstruktivismens idéer om att eleven
måste få tillfälle att aktivt bygga upp sin kunskap, att hon därvid bygger på de kunskaper och
erfarenheter, som hon redan äger och att lärandet gynnas av samverkan med andra, både
jämbördiga kamrater och mer kunniga personer. Det är av denna anledning som mina kolleger
i forskningsgruppen och jag anser att arbetet med rika matematiska problem är berikande för
matematikundervisningen. Vi tror också att det är viktigt att alla lärare blir medvetna om detta
för att problemlösning ska bli ett givande inslag i vår matematikundervisning.
Litteratur
Skolverket (2003a-11-10). Matematik (Kursplan för grundskolan). Hämtad från webben:
http://www3.skolverket.se.
Skolverket (2003b-11-10). Matematik. (Kursplan för gymnasieskolan). Hämtad från webben:
http://www3.skolverket.se.
Taflin, Eva (2003). Problemlösning och analys av rika matematiska problem. Matematiska institutionen, Umeå
Universitet: Forskningsrapport i matematikdidaktik nr 5, 2003.
96
Bättre resultat i Matematik B på yrkesförberedande program
- Varför väljer allt fler elever Matematik B på yrkesförberedande program?
- Vilken inställning och elevkultur har eleverna inför kursen?
- Varför har eleverna låg lektionsnärvaro och kort hemarbetstid?
- Varför har eleverna sämre resultat än sina förutsättningar?
- Vilka lärmetoder kan underlätta för eleverna?
- Hur kan tidig kännedom om högskolestudier motivera eleverna?
I föreläsningen ges förslag på arbetsmetoder och motivationshöjande åtgärder för att nå bättre
resultat i kursen i Matematik B på yrkesförberedande program. Utgångspunkt är enkäter och
samtal med elever samt reflektioner under flera år. En modell presenteras som kopplar ihop
elevkultur, lärmetoder och motivation.
Claes Rube är lärare i matematik på det yrkesförberedande gymnasiet Rönnowska skolan i
Helsingborg. Han deltar i kommunens mastersutbildning i aktionslärande mot ett
reflekterande arbetssätt, där detta arbete är ett delprojekt
Föreläsning
Önskemål om kunskaper i Matematik B
Olika intressenters önskemål om att eleverna läser och klarar kursen Matematik B på
yrkesförberedande program.
Politiker
Arbetsgivar
e
Branscherna
Matematik B
Elever
Skolverket
Matematiklärare
Skolan
Högskolor
Elevernas studieresultat i matematik på yrkesförberedande program är dock för svaga och ger
upphov till min huvudfråga:
Hur kan elever på yrkesförberedande gymnasier motiveras och arbeta för
att lyckas bättre med sina Matematik B studier?
Vi måste hela tiden ha som utgångspunkt att eleverna studerar vid ett yrkesförberedande
gymnasium där karaktärsämnena är huvudorsaken till programvalet och att dessa ämnen är
intressantare och viktigare än matematik. Enkäter, samtal och uppföljningar ligger till grund
för mina reflektioner.
Elevkultur inför kursen
Orsakerna till att eleverna väljer kursen Matematik B är att komma in på högskola eller ”för
något annat längre fram i livet”. Eleverna tror däremot inte att de kommer att använda
kunskaperna under sin gymnasietid varken i andra ämnen, på sina praktikplatser eller i sitt
privatliv.
Elever har ibland haft ströfrånvaro under A-kursen men har ändå klarat sig eftersom samtliga
moment behandlats vid ett flertal lektionstillfällen. En del elever är helt övertygade om att det
går att fortsätta med ströfrånvaro även i B-kursen.
Flertalet elever är inte inställda på hemarbete då de tycker att kursen inte är tillräckligt viktig
och intressant att lägga ned sin fritid på. En majoritet elever anser att skoltiden skall räcka,
även om en del tänker arbeta hemma inför prov om det behövs. Många har dessutom klarat Akursen utan nämnvärt hemarbete och är kvar i den föreställningen även inför B-kursen. Dock
finns undantag som räknat någorlunda regelbundet hemma och fortsätter med detta också i Bkursen. Dessa elever klarar sig ofta bättre.
En del elever har en inställning och tidigare erfarenheter av att allt ordnar sig utan större
ansträngningar. Dessa elever säger sig förstå situationen, är positiva och glada och övertygade
om att också Matematik B-kursen skall klaras av. Ibland kallar vi dessa elever för ”Charmiga
latmaskar” som tyvärr väntar alltför länge med att starta.
Förkunskaper och nivåhöjning
B-kursen är mer krävande än A-kursen men eleverna är inte förberedda på denna nivåhöjning.
Eleverna anser själva att de behärskar A-kursen väl, men upptäcker snabbt att de glömt en del.
Förväntningar på samma studietempo och ungefär likartat innehåll som tidigare gör att en del
elever invaggas i en falsk trygghet. Eleverna är oförberedda på den tydliga och plötsliga
nivåhöjningen trots att vi lärare direkt hissar varningsflaggan.
Skolutvecklingen går mot större frihet men samtidigt ökat ansvar för eleverna. En del elever
klarar av att samtidigt både ha större frihet och ta sitt eget ansvar medan andra har betydligt
svårare att ta sitt studieansvar. Med ökad frihet ökar också ansvaret för aktiv lektionsnärvaro
och regelbundet hemarbete.
Erfarenheter under kurstiden
Mina uppföljningar visar att allra minst 85 % aktiv lektionsnärvaro är en av
grundförutsättningarna för att klara kursen. Med aktiv närvaro menar jag att eleverna till
samtliga lektioner skall:
- ha allt material med sig
- ha gjort eller försökt göra uppgifterna till lektionen
- fundera och diskutera vid gemensam genomgång
- arbeta aktivt med uppgifter under resten av lektionen.
Enkäter och förtroendefulla samtal med elever bekräftar mina misstankar att ströfrånvaro
beror av att eleverna:
- är skoltrötta
- har för mycket runt omkring sig i skolan och på sin fritid
- är oförberedda på den ökade arbetsmängden
- tycker att kursen kräver för mycket arbete
- inte vill anstränga sig då kursen inte är tillräckligt intressant
- inte är tillräckligt motiverade.
Endast 15 % av eleverna uppger att de har mer än 1 h/vecka hemarbetstid och endast 60 %
räknar utanför lektionerna. Samtidigt fick jag elevkommentarer som:
- Andra saker att göra
- Gör ingenting i matte
- Gör lite till proven
- Jag pluggar aldrig hemma
- Jag ägnar knappt någon tid åt matte efter skolan, har aldrig gjort så.
- Inte tid på grund av andra ämnen, projektarbeten, hobbys, extra knäck, praktik,
idrott, kamrater, resor mellan skolan och hemmet.
Det är mycket viktiga och ärliga orsaker som kommer fram från eleverna och som vi lärare
måste ta hänsyn till.
Lärmetoder
Sedan flera år gör jag själv skriftliga lektionsunderlag till eleverna för varje lektion som
innehåller:
- återkopplingar från den tidigare A-kursen
- uppgifter som vi tillsammans behandlar och diskuterar för att introducera nya
avsnitt och metoder
- läsanvisningar till läroboken med lösta exempel och teori
- anvisningar på uppgifter som eleverna skall göra under lektion och hemma
- anvisningar på extra uppgifter som jag kallar ”hinner och vill uppgifter”.
Kursinnehållet blir serverat på ett strukturerat sätt med start av återkopplingar från A-kursen
på elevernas kunskapsnivå, så att alla känner igen sig för att successivt övergå till svårare
nivåer. Lektionerna blir betydligt effektivare, de ger därmed mer egen tid för eleverna att
arbeta enskilt. Då eleverna hittills arbetar minimalt hemma krävs det mycket effektiva
lektioner för att ge eleverna mer egen tid under lektionerna. För att ytterligare strukturera
inlärningsprocessen gör jag även en terminsplanering som delas ut till eleverna.
I B-kursen förutsätter vi lärare ofta att eleverna behärskar grunderna i A-kursen och att de
direkt kan använda dessa färdigheter i nya uppgifter. Liksom i annan utbildning, inte minst
språkstudier och praktiskt arbete, bygger matematiken ofta på tidigare metoder och kunskaper
för att lösa nya och svårare uppgifter. Detta problem har jag funderat mycket på för att hitta
lösningar och gjort en sammanställning över konkreta och nödvändiga återkopplingar från Akursen som behövs i B-kursen. Varje skriftligt lektionsunderlag innehåller återkopplingar som
alltså sprids ut till samtliga lektionsgenomgångar. Jag får göra en mycket känslig avvägning
så att återkopplingen inte blir för omfattande och känns tråkiga. Eleverna vill komma vidare
och sedan ”räkna själva”, framför allt på nya avsnitt. Det är en svår balansgång för lärare är
att samtidigt få med alla eleverna med hjälp återkopplingar från A-kursen och stimulera de
bästa eleverna med mer avancerade uppgifter och matematiska diskussioner.
Jag föredrar fler provliknande inlämningsuppgifter samt korta delprov, för att både eleverna
och jag skall få en tydligare bild av utvecklingen. Jag gör en inlämningsuppgift till eleverna
på varje huvudavsnitt. Eleverna har gott om tid att lösa uppgifterna och kan använda
läroboken, lektionsunderlag, sina egna lösta uppgifter samt rådfråga andra som stöd. Jag rättar
och kommenterar uppgifterna samt sätter poäng på lösningarna för att visa att jag tar
inlämningsuppgifterna på allvar och eleverna får skriftliga lösningsförslag på samtliga
uppgifter. Elever som engagerar sig med inlämningsuppgifterna har också klart bättre resultat
på proven.
Motivation
Elever från yrkesförberedande program har uppemot 30 % av skoltiden som yrkespraktik ute i
verksamma företag och märker då vilka kunskaper och erfarenheter som behövs i respektive
bransch. Den direkta kopplingen mellan skolans undervisning och praktisk användning av
färdigheterna motiverar eleverna och stärker deras lust att lära sig mera. När det gäller
matematik berättar eleverna att de knappast haft någon nytta av sina kunskaper i matematik
och sällan kommit i kontakt med uppgifter som kräver mer än enkel ”plus och minus räkning”
och lite procenträkning. Många duktiga yrkesarbetare har hittills också klarat sig med
begränsad matematik och uppmuntrar heller inte eleverna till att läsa mer matematik.
Då motivationen saknas förstärks lätt de negativa känslorna som ger mindre lust för
matematik. Genom mina reflektioner tror jag att
elevernas bristande motivation är huvudorsaken till att de inte klarar kursen.
Jag vill dra erfarenheter av hur sambandet mellan praktik / teori i karaktärsämnena motiverar
eleverna på yrkesförberedande gymnasier och utveckla en liknande modell mellan högskolan /
matematikundervisningen, eftersom den huvudsakliga orsaken till att eleverna väljer
Matematik B är att komma in på högskola.
Ett förslag är att redan i Åk 1 och 2 låta elever som är intresserade få matematikintroduktion
tillsammans med högskolan för att motivera och inspirera eleverna. Jag tror att vi skall ha en
serie träffar och växla mellan att vara på högskolan och på egna skolan. Högskolelärare i
teknik och ekonomi kan hålla anpassade lektioner gärna med laborationer och praktisk
verklighetsknytning med matematikdiskussioner.
Eleverna skall känna
- det naturligare att var i högskolemiljö när de har provat redan under gymnasietiden
- att matematik är ett verktyg som underlättar i många situationer
- betydelsen av matematikkunskaper redan på gymnasiet
- konkret motivation för ”något längre fram” och lust för matematik.
Dessa matematikintroduktioner kan jämföras med elevernas ordinarie praktik inom respektive
program och förhoppningsvis skall de få liknande positiva effekter.
Jag vill också föreslå att varje elev tecknar ett separat studieavtal inför Matematik
B-kursen om att:
- deltaga aktiv på allra minst 85 % av lektionerna
- fullgöra samtliga uppgifter på lektionsunderlagen inom tidsplaneringen
- regelbundet och koncentrerad arbeta hemma eller i biblioteket med kursen
- fullgöra och lämna in samtliga inlämningsuppgifter under kursen
- erhålla betyget minst godkänt om punkterna ovan uppfylls.
Framgångsmodell
Högskole
motivation
Högskolekompetens
Regelbundna studier
Studieavtal
Aktiv
närvaro
Återkoppling
Efter
gymnasiet
Matematik
B - kursen
Inlämningsuppgifter
Lektionsunderlag
Framtida
valmöjligheter
97
Escher och geometri
Konstnären Eschers intressanta konst fascinerar och förvånar unga som gamla. Med
utgångspunkt i enkla geometriska grundformer som kvadrat, rektangel och andra
månghörningar undersöks hur Eschers konstverk är uppbyggda. Tesseleringar som grund för
övningar som leder till nya upptäckter, reflektion och förståelse av geometriska begrepp
diskuteras. Deltagarna får själva göra tesseleringar och konstruera enkla Escherliknande
bilder.
Sune Jonasson, Kristina Lindgren är universitetsadjunkter i matematik, teknik och fysik vid
Högskolan, Kristianstad och arbetar huvudsakligen med lärarutbildning och fortbildning av
verksamma lärare.
Workshop
Maurits Cornelius Escher
Konstnären Eschers fantastiska konst kan vi idag se på ett flertal
museer världen över. Hans konst finns också på affischer, kläder
mm. Konstnären föddes 1898 i Leeuwarden i Nederländerna. Han
växte upp i Arnhem. Under skoltiden började Escher göra
pennteckningar, som uppmärksammades av hans lärare. Senare
gjorde han landskapsmålningar och snidade träfigurer. Med tiden
blev han allt mer fascinerad av att fylla hela planet med geometriska
figurer. Escher influerades av den arabiska konsten och dess
geometriska mönster. Han arbetade också med så kallade omöjliga figurer. Under stora delar
av sitt liv försörjdes Escher av sin far. Det var först under senare år som hans konst blev
attraktiv på konstmarknaden. Idag är konsten mycket uppskattad och en sökning på nätet på
”Escher” ger över 80 000 träffar.
Teori
När ett antal kongruenta, likadana, figurer helt täcker ett plan säger man att figurerna
tessellerar. Kvadrater, rektanglar, liksidiga trianglar och sexhörningar tessellerar. En liksidig
femhörning gör det inte. Det blir små glipor mellan femhörningarna om vi försöker täcka en
yta med dem. Laborativt kan man visa att en geometrisk figur tessellerar om gradtalet i ett
hörn på figuren delar 360 jämnt. Gradtalet i ett hörn på en liksidig triangel är 60. 360 delat
med 60 är 6. Det betyder att 6 liksidiga trianglars hörn kan läggas tillsammans och täcka ytan.
Förändringar av en given geometrisk figur.
Efter denna korta teoriinledning kan vi nu göra ett Escherliknande konstverk. Vi väljer att
arbeta med kvadrater. Vi vet att de tessellerar, dvs de täcker helt ett plan. Vi tar en kvadrat
och
klipper
ut
en
”inbuktning”
på
ena
sida
av
denna.
Urklippet flyttar vi sedan till motstående
sida. Där får vi då en utbuktning.
Förflyttningen måste göras parallellt med
de sidor i kvadraten vi inte förändrar.
Arean på kvadraten har inte ändrats,
omkretsen däremot har blivit längre. Om vi
gör på motsvarande sätt med ett antal
kvadrater kan vi täcka hela ytan. På varje
kvadrat ritar vi ett trevligt mönster och vi
har fått en Escherliknande figur. Med lite
träning kan både vi och våra elever göra
små konstverk. På motsvarande sätt kan vi
arbeta med alla geometriska figurer som
tessellerar.
Elevarbete
Det går att arbeta med Escherliknande
konst i skolan redan från tidiga år. I
skolans senare del kan eleverna göra
betydligt mer avancerade konstverk. Man
kan t.ex. arbeta med rotationssymmetri.
Bild 2. Elevexempel på Escherliknande
konst från år 3-4.
Bild 1. Ändringar av en kvadrat
Litteratur
Britton G. & Britton W. (1992). Teaching tessellating art. Dale Seymour Publications. Palo
Alto.
Jonasson S. (2000). Konst – och geometri. Nämnaren. nr 1. Göteborg.
Schattschneider D. (1990). M.C. Escher Visions of symmetri. W.H. Freeman .
Schattschneider D. & Wallace W. (1991). M. C. Escher Kalejdocykler. Taschen .
Seymour D. (1989). Tessellation Teaching Master. Dale Seymour Publications. Palo Alto.
Seymour D & Britton J. (1989). Introduction to Tessellation. Dale Seymour Publications.
Palo Alto.
Tessellation Winners. (1991). Dale Seymour Publications. Palo Alto.
Internetadresser
http://www.worldofescher.com/
http://www.cs.unc.edu/~davemc/Pic/Escher/
http://www.etropolis.com/escher/
http://www.geocities.com/SoHo/Museum/3828/
98
Lusten att lära – i ord och handling
Skolverket har genomfört en nationell kvalitetsgranskning av hur lusten att lära matematik
väcks och hålls vid liv i undervisningen. Totalt har ca 300 skolor ingått i granskningen.
Resultat från slutrapporten redovisas och kopplas till ett par exempel på laborativt arbete där
fler elever kan få fördjupad förståelse och ökad lust att lära matematik.
Lena Trygg har tidigare tjänstgjort som lärare i matematik, skolår 7-9 och textilslöjd, skolår
1-9 och arbetar nu på Nationellt Centrum för Matematikutbildning (NCM). Hon ansvarar bl a
för NCM:s Läromedelsutställning och Matematikverkstad.
Elisabeth Rystedt har tidigare tjänstgjort som lärare i matematik och svenska, skolår 4-9, och
arbetar nu på Nationellt Centrum för Matematikutbildning (NCM). Hon har också varit
verksam som utbildningsinspektör på Skolverket inom granskningsområdet ”Lusten att lära”
med inriktning mot matematik.
Föreläsning/Workshop
Elever efterlyser variation i matematikundervisningen. Detta framkom tydligt i Skolverkets
nationella kvalitetsgranskning Lusten att lära med fokus på matematik. För yngre elever finns
ofta tillgång till stimulerande matematikmateriel och de får större variation i
matematikundervisningen. För de äldre eleverna blir matematiklektionerna ofta synonyma
med arbete i läroboken och detta leder till att laborativ matematik och gemensamma samtal
mellan lärare och elever i och om matematik inte är vanligt förekommande. I slutrapporten
konstateras att alla elever bör få möta en varierad matematikundervisning - både ifråga om
innehåll och arbetssätt.
Ett varierat arbetssätt kan införas successivt med olika former av kreativa aktiviteter som
leder mot de uppsatta målen. Laborativa aktiviteter fungerar ofta som goda komplement till
läroboken. Många materiel är både billiga och enkla att skaffa. I denna workshop ges några
exempel på aktiviteter där eleverna ges varierade möjligheter att lära, utveckla sitt tänkande
och fördjupa sitt kunnande i matematik. Ett exempel är hur tändstickor kan användas vid
arbete med omkrets- och areabegreppen.
Alla aktiviteter som vi arbetar med i denna workshop finns att ladda ner från NCM:s
webbplats: www.ncm.gu.se
Klicka på Läromedelsutställning, Matematikverkstad och sedan Aktiviteter och spel.
99
Uppslagsboken – NämnarenTEMA
Exempel ges från Uppslagsboken som innehåller 50 matematikaktiviteter, vilka valts ut från
Nämnarens Uppslag och redigerats med tanke på kursplanernas "Mål att sträva mot". Varje
Uppslag kan användas direkt i matematikundervisningen men idéerna kan också förändras
och anpassas till olika innehåll, elever eller klasser.
Lena Trygg har tidigare tjänstgjort som lärare i matematik, skolår 7-9 och textilslöjd, skolår
1-9 och arbetar nu på Nationellt Centrum för Matematikutbildning (NCM). Hon ansvarar bl a
för NCM:s Läromedelsutställning och Matematikverkstad.
Föreläsning
En annorlunda Uppslagsbok
En återkommande avdelning i tidskriften Nämnaren är Uppslaget. Dessa Uppslag speglar
olika delar av matematikens natur och karaktär och eleverna kan på ett stimulerande sätt få
grundbegrepp belysta och rutinfärdigheter befästa.
Med utgångspunkt i Nämnarens samlade utgivning har 50 Uppslag valts ut till
Uppslagsboken. Urvalsgrund har varit matematikkursplanens Mål att sträva mot. Uppslagen
ska exemplifiera arbete mot de olika typerna av mål att sträva mot; de övergripande målen,
kompetenserna, för allt ämnesinnehåll i matematik och de mål som gäller olika
kunskapsområden i matematik.
För enkelhetens skull har alla Uppslag en gemensam disposition. Det finns även till varje
Uppslag förslag om variationer, förslag på fortsättningar och litteratur. Även om det exempel
som ges tycks avpassat för en speciell åldersgrupp kan det oftast anpassas så det passar elever
i andra åldrar.
Uppslagen har i de flesta fall en elevsida, klar för kopiering. Den kan bestå av arbetsblad
med frågeställningar, spelplaner och spelregler. Till några Uppslag behövs bara papper och
penna, till andra behövs lite mer materiel, men alltid sådant som normalt finns lätt tillgängligt
i varje klassrum. Vissa Uppslag tar några minuter att genomföra, andra förutsätter ett antal
lektioner.
Dessa Uppslag är inte ”knep och knåp” som bara ska tjäna som utfyllnad i mån av tid. De
är så rika att de förtjänar en egen plats i undervisningen. Några Uppslag kan ersätta avsnitt i
läroböcker, andra kan fungera som komplement. De kan också passa som introduktion till nya
områden. Uppslagsboken kan användas helt oberoende av det läromedel man annars
använder.
Uppslagsboken har ett nära samarbete med Strävorna som finns på Nämnarens webbplats.
En ambition är att kunna komplettera Uppslagen då de används i våra klassrum och lärare och
elever upptäcker nya infallsvinklar, variationer och fortsättningar. Alla Uppslagsbokens
användare inbjuds att medverka till denna fortlöpande utgivning och utvidgning av Uppslag!
Nedslag i Uppslag på Matematikbiennalen
–
Genom Uppslaget 100 knappar presenteras bokens disposition.
–
–
–
–
–
–
Med Uppslagen Hur högt är huset? och Höjdmätaren visas hur en serie lektioner kan
byggas kring ett par Uppslag. Att ge eleverna goda referenspunkter, att tillverka föremål
genom att läsa en beskrivning, följa måttangivelser och använda vinkelhake och gradskiva
är några av de olika moment som ingår.
IT kan vara en väg att utveckla uppfattningen av matematiska begrepp, UT-matematik kan
vara en annan. UT-matematik? Ja, öppna skoldörren och gå utomhus med
matematikundervisningen.
Efter de förra Uppslagen kan Tessellering vara en bra fortsättning, där elever bl a kan få
ökad förståelse för begreppen omkrets och area. I ett samarbete mellan matematik och bild
kan estetiska värden lyftas fram.
Tusenfoting får här vara det Uppslag som illustrerar en fortsättning som återfinns på
Strävorna.
Olika vägar till målet beskriver en aktivitet med miniräknare.
Den tänjbara tallinjen är ett konkret exempel på hur vanliga resårband kan användas för
att ge förståelse för vad som händer då vi multiplicerar ett heltal med ett bråktal.
Med dessa Uppslag och tillhörande aktiviteter presentera en bild av hur Uppslagsboken kan
användas. Det ska ännu en gång understrykas att samtliga Uppslag enkelt kan varieras och att
det presenterade bara är ett sätt att använda Uppslagen på. Ingen känner dina elever bättre än
vad du gör och tillsammans kan ni göra Uppslagen allt mer rika och fyllda med ännu mer
innehåll.
100
Familjematematik
Hur kan skolbarnsföräldrar engageras och göras delaktiga i sina barns matematikutbildning?
Exempel ges på hur Familjematematikkvällar kan planeras och genomföras, förslag på
aktiviteter visas och hänvisningar ges till webbplatser som har ett innehåll med kopplingen
föräldrar och matematik.
Lena Trygg har tidigare tjänstgjort som lärare i matematik, skolår 7-9 och textilslöjd, skolår
1-9 och arbetar nu på Nationellt Centrum för Matematikutbildning (NCM). Hon ansvarar bl a
för NCM:s Läromedelsutställning och Matematikverkstad.
Föreläsning
Föräldrars syn på matematik är betydelsefull och det är viktigt med deras stöd och
engagemang för att stödja barns lärande i matematik. Det är också av stor vikt att vi alla
hjälps åt att undanröja negativa erfarenheter och attityder till matematik. Ett sätt kan vara att
visa på alla de vardagliga situationer där matematik finns men kanske inte syns tydligt. Ett
annat att ge förslag på aktiviteter som spel, lekar och utmanande problem som kan användas i
hemmen.
NCM har, med stöd av Myndigheten för skolutveckling, tagit fram ett materiel riktat till
föräldrar. Det består av tre broschyrer, en bok och webbplats. Broschyrerna ger bl a exempel
på den matematik som barn 0-3 år, 3-5 år och 5-7 år möter i sin vardag. Naturligtvis inbjuds
även förskolepersonal och andra intresserade att ta del av innehållet.
Boken Familjematematik ger förslag på hur skolbarnsföräldrar och lärare i grundskolan kan
samverka. I första kapitlet, Samverkan kring barn och matematik, beskrivs bakgrund till
bokens förslag om Familjematematikkvällar, föräldrars betydelse för sina barns
matematiklärande, hur matematik kan uppfattas och vikten av att koppla samman matematik
och språk. Frågor som föräldrar ställt besvaras, t ex om arbetssätt och arbetsformer, om
skolans matematikmål beskrivna i läroplan och kursplan, och om miniräknaren som ett
hjälpmedel att lära matematik.
Andra kapitlet, Familjematematik, är det mest omfattande. Här beskrivs hur
Familjematematikkvällar kan planeras och genomföras av föräldrar och lärare i samverkan.
Texten bör ses både som ett handfast förslag och som en inspiration till alternativa upplägg.
Inledningen beskriver beprövade erfarenheter från Familjematematikkvällar och är tänkt att
tjäna om underlag för planering, bland annat lyfts inbjudan via barnen fram. Därefter följer
förslag på olika aktiviteter. Dessa utgör en grundstruktur för en träff. Först får familjerna stifta
bekantskap med en välkomstaktivitet som har som främsta syfte att direkt vid ankomst
fokusera på matematik. Därefter kan familjerna prova kortare uppgifter – ofta klassiker – tills
det är dags att starta med en gemensam aktivitet. Dessa utgör huvudinslaget på träffarna och
är relativt omfattande. Det är rimligt att under en träff räkna med att det finns tid för 3 – 5
olika gemensamma aktiviteter. Allt detta kan föräldrar och lärare hjälpas åt med, men ett
viktigt undantag finns. I slutet av de gemensamma aktiviteterna finns diskussionsfrågor för en
sammafattande avslutning. Dessa diskussioner bör en lärare leda.
Annan samverkan, heter tredje kapitlet. Samverkan mellan skola och hem kan se ut på många
olika sätt. I detta kapitel beskrivs ett antal förslag där matematik står i fokus under rubrikerna;
Informationskväll, Matematikdagar, Nöjesparker, Aktiviteter att ta hem, Läxor, Del i
veckobrev, Hjälpande hand och Biblioteksmateriel. Att tillverka en Skattpåse och fylla den
med intressanta och spännande spel, problem, pussel, kluringar, knep- och knåp etc är ett
annat sätt att skapa nyfikenhet och samarbete kring matematik. Vad en skattpåse för de yngsta
skolbarnen kan innehålla beskrivs.
På NCM:s webbplats finns kompletterande materiel till broschyrerna och boken. Webbplatsen
är också tänkt som en mötesplats för alla som är intresserade av dessa frågor. Möjlighet finns
att visa exempel från skolor som anordnar Familjematematikkvällar, att länka till
tidningsartiklar, att lägga ut examensarbeten och mycket annat.
Välkommen att titta in på: ncm.gu.se klicka på Familjematematik
101
Hur fort springer du 60 m?
I föreliggande studie används en uppgift från nationella provet i matematik, där
bedömningsområdet är ”Tal i skolans värld”. Uppgiften handlar om elever som springer 60 m
på vissa tider och i uppgiften ska göras en placering av dessa tider från den som vann till den
som kom sist. Cirka 200 elever har intervjuats och löst uppgiften, som har förändrats med
hjälp av olika medierande redskap. I studien görs jämförelser utifrån elevens
vardagsuppfattningar och elevers kunskap i matematik och hur man som lärare ska kunna
uppmärksamma elevers olika kvalitativa nivåer i deras förståelse av matematiska begrepp.
Eva Riesbeck arbetar inom lärarutbildningen vid Linköpings Universitet med
studenters utbildning till lärare inom lärande och matematik, med kompetensutveckling
för lärare och med forskning inom området interaktion, problemlösning och matematik.
Föreläsning
Inledning
I föreliggande studie används en uppgift från nationella provet i matematik, där
bedömningsområdet är ”Tal i skolans värld”. Uppgiften handlar om elever som springer
60 m på tid och eleverna ska utifrån olika tider göra en placering av dessa och utgå ifrån
den elev som vann. Det intressanta med uppgiften är att lösningsfrekvensen för hela
landet är 40 %. Den fråga som uppkommer när det visar sig att en uppgift har så låg
lösningsfrekvens blir helt naturligt att fråga sig varför. Därför har en studie genomfört
med cirka 200 elever, där de samtalar om uppgiften, löser den och får därefter i uppgift
att tala om varför de tycker att de har gjort rätt. Uppgiften har erbjudits elever med hjälp
av olika medierande redskap. Resultatet av denna intervjustudie visar på en del
intressanta frågor.
Följande frågeställningar kommer att besvaras.
1) Hur samtalar elever om en vardaglig problemlösningsuppgift?
2) Ändrar sig elevernas lösningsstrategier med hjälp av olika medierande redskap?
3) Vilka vardagliga och matematiska begrepp blir synliga?
4) Vilka kvalitativa nivåer uppvisar eleverna kring denna uppgift?
Utvärdering
I dagens skolsystem med en målrelaterad läroplan blir utvärderingsinstrument viktigare
och viktigare. Det arbetas idag mera på att få syn på elevens kunskap och lärande just
genom att skapa nya utvärderingsformer. Som grund för en del av detta ligger de
internationella prov i matematik som har ägt rum sedan 1980. Här har svenska elever
jämförts med elever från andra länder och resultaten har fått återverkningar på
matematiksatsningar, kursplaner och utvärderingsinstrument. Resultaten från sådana
utvärderingar får stor uppmärksamhet i samhället och påverkar arbetet i skolan. Med
tanke på den roll som skriftliga internationella utvärderingar ges i många sammanhang
och på det sätt som dessa resultat påverkar vårt samhälle, så är det intressant att pröva
nya former av utvärdering. Syftet med de nationella proven i matematik för skolår 5 och
9 är att vara ett stöd för läraren vid bedömningen av elevers kunskaper. Läraren ska
vidare upptäcka elevers starka och svaga sidor samt att se om målen har uppnåtts.
Resultaten av de nationella proven i matematik har blivit mycket omdiskuterade i olika
delar av samhället till exempel på Tv, i radio, i tidningar, bland politiker och bland
lärare. Att få syn på orsakerna till elevers misslyckanden kan ibland vara svårt enbart
utifrån skriftlig diagnos, därför har man också i de nationella proven gjort försök med
gruppuppgifter i matematik. PRIM-gruppen (prov i matematik) utvecklar sedan en följd
av år bedömningssystem som fokuserar olika kvaliteter i kunnandet, vilka sedan
materialiseras i kunskapsprofiler och bedömningsmatriser. Den utvecklar också
instrument för att fördjupa kunskapen om elevernas kunskapskartor, som i första hand
visualiserar kompetenser för eleven själv och läraren men också för elevens föräldrar. (
Internet 20030924).
I en forskningsstudie har Wyndhamn (1999) visat på hur lärare uppfattar och samtalar
om de nationella proven i matematik. I samtal med lärare och i lyssnandet på kollegiala
samtal säger lärarna bland annat ”Vi kan se om vi jobbat med rätt saker och hur det gått
hem hos eleverna”. Proven blir på så sätt ett retrospektivt styrinstrument. I en studie om
ämnesprov sker återkoppling till tre olika frågor. 1) Vad kan man lära sig av resultat av
elevens lärande mätt i korrekta svar eller godtagbara tankegångar? 2) Vilka
problemtyper och vilket matematiskt innehåll betonas från centralt håll? 3) Hur
påverkar ämnesproven eleverna affektivt? Lärarna ifrågasätter om varje elev kommer
till sin rätt vid ämnesproven samtidigt som de betraktar ämnesproven som viktiga
styrinstrument i arbetet (Wyndhamn,1999).
På senare tid har man från nationellt håll utarbetat ett hjälpmedel, ”Analysschema i
matematik” åt lärarna som kan användas att analysera elevers kunskaper i matematik.
Med hjälp av analysscheman kan lärare utnyttja andra utvärderingsmodeller inom olika
områden i matematik för att synliggöra elevers kunskap. Genom samtal med elever kan
lärare få syn på elevers kvalitativa kunskap. Att ta del av elevens kunnande och hur
eleven lär sig är en av de viktigaste uppgifterna för dagens lärare.
Lärande och kommunikation
Ord som lärande och undervisning har präglat skolan under alla tider, men kanske mest
ordet undervisning. Det visar sig att det är mycket lättare att dokumentera undervisning
än lärande. Men det som man i skolan i dag sätter i centrum är individens lärande.
Frågan är om vi bara talar om det eller om vi verkligen fokuserar på individens lärande.
Från ett sociokulturellt perspektiv är språk och kommunikation själva kärnan mellan
individuella mentala processer och sociala läroaktiviteter. (Dysthe, 2003). Det som är
intressant ur den här synvinkeln är att lyfta fram teorier som kan visa på samspelet
mellan det inre och det yttre, mellan individ och grupp, mellan tanke och språk, mellan
kommunikation och innehåll, mellan teori och praktik, mellan vardagsspråk och
matematiskt språk och mellan olika diskurser (Dysthe, 2003). Utifrån ett sociokulturellt
perspektiv är kommunikativa processer helt centrala i mänskligt lärande. Språket blir en
länk mellan det yttre och det inre och metaforer som ”En bro mellan två parter” eller
”En gnista mellan två elektriska poler” har stor betydelse. (Säljö, 2000).
Enligt Wertsch (1991), betyder redskap och verktyg i ett sociokulturellt läroperspektiv
de intellektuella och praktiska resurser som vi har tillgång till och som vi använder för
att förstå omvärlden och för att handla. Redskapen medierar lärande på många olika
sätt. Wertsch understryker att språket är människans viktigaste kulturella redskap och på
så sätt intar språket en särställning vid allt lärande.(Wertsch, 1995). Vidare betonar han
språkligt medierad handling. Det är genom kommunikation som individen blir delaktig i
kunskaper och färdigheter. Det är genom att höra vad andra talar om och hur de
föreställer sig världen som barnet blir medvetet om vad som är intressant och värdefullt
att urskilja ur den mängd iakttagelser som man skulle kunna göra i varje situation. I ett
sociokulturellt perspektiv byggs kunskaper och färdigheter upp från de insikter och
handlingsmönster som byggts upp historiskt i ett samhälle som vi blir delaktiga genom
interaktion med andra människor. ( Säljö, 2000 s. 21).
Olika diskurser
Det helt grundläggande begreppet i matematiken är taluppfattning. Det är en
förutsättning för all kunskap i matematik att man har en god taluppfattning, det vill säga
bilden av talen, deras storlek och inbördes relationer. Att lära sig de naturliga talen har
krävt mycket arbete av eleven. När elever arbetar med hela tal i positionssystemet
skapar man en klar bild av ental, tiotal och hundratal men när elever börjar arbeta med
rationella tal glöms det ofta bort i undervisningen att skapa bilder även här. När elever
för matematiska resonemang måste de således bestämma sig för hur relationen ser ut
mellan å ena sidan den matematiska begeppsvärlden och dess redskap och å andra sidan
en yttre verklighet. Att matematisera sin omvärld är en fråga om att tolka världen i de
symboler och i de operationer som matematiken tillhandahåller. (Riesbeck, 2000).
Eleverna i den här studien gör överväganden och för resonemang utifrån ett
rimlighetstänkande ”på ett ungefär” när de befinner sig i den vardagliga världen. Men
eleverna är tvungna att till slut befinna sig i den matematiska diskursen, för att kunna
lösa uppgiften och då måste de ha redskap för detta. En enskild elev befinner sig
ständigt i snittet av överlappande diskurser. Därför måste hon som individ bli medveten
om vilka regler som gäller i en specifik diskursiv praktik. (Riesbeck, 2000). Som lärare
är det en oerhört viktig uppgift att få reda på hur elever resonerar och vilka kvalitativa
nivåer de befinner sig på. Genom att samtala med elever och låta dem få förklara hur
den matematiska modellen hänger ihop kan vi få betydligt fler elever att förstå
sammanhangen i matematik och det matematiska språket. Enligt Löwing & Kilborn
(2002), har bråkräkning tonats ned i skolan på grund av att bråk inte förekommer så
mycket i vardagslivet och att det anses vara ett svårt stoffområde. Men att arbeta med
bråkräkning i skolan är viktigt för att bland annat förstå decimalform. Decimaltalet är ett
speciellt sätt att skriva bråk på och reglerna för decimalräkning härleds bäst med hjälp
av bråk. (Löwing & Kilborn, 2002). Eleverna måste vidare uppmärksammas på hur vårt
talsystem är uppbyggt och arbeta inom detta med hjälp av positionssystemet och lära sig
se de olika kvalitativa nivåer som finns att uttrycka sig på. Vår uppmärksamhet måste
riktas mot de begreppsliga sammanhang och system inom vilka dessa operationer är
meningsfulla (Säljö, 2000). Att bli bekant och förtrogen med en viss diskurs oavsett om
det är i vardagen, skolan eller under en matematiklektion är något vi måste se till att
våra elever lär sig. Kunskaperna finns inte hos objekten eller händelserna i sig utan i
våra beskrivningar och analyser, det vill säga i våra diskurser om dem. Att utveckla
diskurser om omvärlden är ett av de mest påtagliga sätt genom vilket människan samlar
erfarenheter och omskapar sin verklighet. (Säljö, 2000). Framgångsrikt lärande i skolan
består i att behärska en speciell form av institutionell kommunikation enligt Säljö. Våra
elever måste lära sig att tala ett matematikspråk som medvetandegör dem och får dem
delaktiga i lärandet i matematik.
Referenser
Dysthe, O. (2003). (Red.). Dialog, samspel och lärande. Studentlitteratur. Lund.
Löwing, M. & Kilborn, W. (2002). Bas kunskaper i matematik, för skola, hem och
samhälle. Studentlitteratur. Lund
Riesbeck, E. (2000). Interaktion och problemlösning. Institutionen för pedagogik och
psykologi. Linköpings Universitet. Linköping
Skolverket (2000). Analysschema i matematik – för åren före skolår 6. Liber.
Stockholm.
Säljö, R. (2000). Lärande i praktiken. Ett sociokulturellt perspektiv. Stockholm: Prisma
Wertsch, J. (1991). Voices of mind. Harvester. Wheatsheaf. London, Sydney, Singapore.
Wertsch, J. (1995). Sociocultural Studies of Mind. Cmbridge University Press. New York.
Wyndhamn, J.; Riesbeck, E.; Schoulz, J. (1999). Problemlösning som metafor och
praktik. Linköpings Universitet. Linköping
Internet, www.lhs.se/resunits/prim/forsk/index.html
102
Tankeverkstad
Många föräldrar och andra vuxna talar om för barn redan i förskoleåldern att matematik är
svårt och mest går ut på att räkna + och - . Därför har vi skapat ett ämne istället för matematik
i år F-2 som vi kallar Tankeverkstad.
När vi arbetar med Tankeverkstad försöker vi skapa behov hos barnen att lära sig nya saker.
Vi arbetar med dialog mellan barn och mellan vuxna och barn. Arbetet är konkret och till stor
del utan abstrakta symboler som siffror och +, - och =. Mycket tid läggs på att arbeta med
språket i matematiken.
Maria Thunholm och Annika Bergehed är Ma/No lärare och arbetar båda på
Folkparksskolan i Norrköping.
Föreläsning
Tankeverkstad
Vi upplever att många barn saknar den grundläggande matematiska förståelsen som de
behöver för att komma vidare i utvecklingen. De har en mycket begränsad taluppfattning och
begreppsförståelse. Därför har vi lagt om hela vår tidiga matematikundervisning och kallar
den för Tankeverkstad. Vi kände behov att byta namn på matematiken för att komma ifrån
barnens och färäldrarnas förväntningar på mattebok, sifferskrivning och räkning av tal och
istället kunna visa att matematiken är så mycket mer.
Vi vill att barnen ska ha en bra taluppfattning och förståelse för positionssystemet innan vi
inför abstrakta matematiska symboler som siffror, plus och minustecken mm.
Arbetet i förskoleklassen
Vårt förhållningssätt är att det inte finns något som är rätt eller fel, genom detta tar vi tillvara
barnets kreativa förmåga. Vi möter barnets frågor med tex. – Hur tänkte du ?
Vi bemöter barnet på dess nivå med öppna frågor, barnet ska känna att det lyckas, där igenom
utvecklar barnet nyfikenhet och lust att lära. Det ska våga prova olika strategier och hitta egna
lösningar genom bla. diskussioner och ett experimenterande arbetssätt.
Arbetet i år 1 och 2
Arbetet startar med en sommarläxa där barnen uppmanas att samla kapsyler och ta med dem
till skolan. Vi börjar med att sortera kapsylerna efter utseende och jämföra olika mängder och
på detta sätt befästa matematiska begrepp. Insamlingen av kapsyler fortsätter under hösten
och barnen får kontinuerligt räkna och skriva hur många de har. Barnen tappar ofta bort sig i
räknandet och att rita av alla kapsyler är väldigt jobbigt. De upplever själva att de behöver
förenkla arbetet. Vi börjar räkna med hjälp av muggar (tiotal) och glassbyttor (hundratal).
134
Nu blir det lättare för barnen att räkna eftersom de inte behöver räkna längre än till tio. När tio
muggar är fulla häller vi över dem, en och en, i en glassbytta samtidigt som vi räknar en tiatio, två tior-tjugo, tre tior-trettio osv.
Vi förtydligar alla tal genom att säga ex 14, en tia och fyra, 23, två tior och tre, 235, två
hundra, tre tior och fem. Detta gör vi för att förtydliga talens innebörd. Speciellt viktigt är det
med talen 10-30 som är svåra för många barn.
För att matematiken ska bli så vardagsnära som möjligt arbetar vi med barnens egna familjer.
Barnen tillverkar sina hus av skokartonger och gör sina familjer av toalettpappersrullar.
Utifrån detta konkreta material arbetar vi med många storleks-, läges- och antalsbegrepp och
en hel del med problemlösning.
Problemlösningen består av öppna frågor där det finns flera vägar till svaret och flera sätt att
lösa problemet på. Uppgiften får de muntligt och arbetar sedan enskilt med att lösa det för att
sedan avsluta med att berätta för övriga hur de tänkt.
Sifforna börjar vi arbeta med efter påsk i år 1 och symbolerna +, - , och = inför vi först strax
före sommaren.
När vi arbetar med Tankeverkstad blir barnen kreativa problemlösare, de får tilltro till sitt eget
tänkande och en bra förståelse istället för mekanisk kunskap.
103
Matematik utan bundenhet till läromedel
Vi berättar om hur vi arbetar med matematik i år 3-5 som en fortsättning på Tankeverkstad.
Undervisningen består här till största delen av problemlösning i grupp där vi fokuserar på
problemlösningsprocessen inte på produkten. Problemen är öppna, vardagsnära och ibland på
riktigt. Vi använder inte matematikböcker utan bygger undervisningen på dialog mellan
elever, meningsfullhet, reflektion och förståelse.
Maria Thunholm och Annika Bergehed är Ma/No lärare och arbetar båda på
Folkparksskolan i Norrköping.
Föreläsning
Matematik utan bundenhet till läromedel
Öppna frågor
Vår matematikundervisning baserar sig på problemlösning. Vi vill att eleverna ska ta ansvar
för sitt lärande och ha möjlighet att påverka förutsättningarna. Därför arbetar vi största delen
av tiden med öppna frågor. Det är viktigt att alla elever ska kunna lyckas och få känna att de
kan. Då vi arbetar med öppna frågor kan alla lyckas och de som behöver utmaningar kan även
få detta. Det är ett sätt att individualisera.
Uppdrag
Uppdrag är verkliga problem som eleverna får lösa och sedan också genomföra. När vi arbetar
med uppdrag får eleverna upptäcka den matematik som finns i vår vardag. Förutom de
matematiska begrepp som problemet är tänkt att öva och upptäcka så får eleverna samtidigt
arbeta med att resonera, jämföra, planera och komma överens i gruppen.
Ett exempel kan vara att planera en utflyktsdag eller vår årliga löpartävling Folkparksloppet.
Större problemområden
Större problemområden är problem som sträcker sig över en längre period ca. 2-3 veckor eller
mer. Vi hinner med 2-3 problem av den här typen varje termin.
Dessa problem är till skillnad mot uppdragen inte sådant vi gör på riktigt utan i fantasin. De
ska vara så verklighetsnära som möjligt.
Problem vi arbetat med är: Hur mycket kostar det att hålla på med en fritidsaktivitet? Ditt rum
är tomt, du får välj möbler för 10000kr. Vad väljer du? Får det plats i ditt rum?
Mobiltelefonabonnemang, vad kostar det?
Utveckla strategier
Det finns inget sätt att tänka på som är fel. Det är viktigt att eleverna får känna att det de gör
duger och är bra. Men det är ju också så att det finns sätt som är mer eller mindre effektiva
och sätt som inte fungerar i alla situationer. Därför måste barnen få möjlighet att utveckla sina
tankestrategier. Eleverna är mer intresserade att förstå hur kompisarna tänker än att förstå ett
sätt som läraren tycker att de ska förstå. Därför får dom ofta berätta hur de tänkt då de löst
olika uppgifter och vi skriver ner de olika sätten på tavlan. Sedan väljer vi ut en av elevernas
strategier ex Filips och låter sedan de andra försöka lösa en annan uppgift på Filips sätt.
Eleverna måste då försöka förstå hur han tänker. En del elever tycker att hans sätt är krångligt
och förstår det inte ordentligt utan går sedan tillbaka till sitt sätt att tänka, medan någon
upptäcker att Filips sätt är enklare och fortsättningsvis använder det sättet.
Det viktigaste är att ingen elev får lämna sitt sätt att tänka, förrän de verkligen har förstått den
nya strategin ordentligt.
Bakvänd matematik
De flesta matteuppgifter i böcker består av att eleverna ska hitta ett rätt svar. Detta lämnar
inget större ansvar till eleven, ingen möjlighet till kreativitet och utmaningar. Om man i stället
låter eleverna få ett svar och själv hitta på uppgifterna eller frågorna så krävs det betydligt mer
av dem.
 Vilka uppgifter kan jag ha räknat då svaret ska vara 24?
 Eleverna får ett facit och ska göra uppgifterna.
 Eleven får en rubrik eller bild och ska utifrån denna hitta på räknehistorier.
När vi arbetar på det här sättet med matematik blir arbetet med meningsfullt, eleverna blir
berörda eftersom mycket av det vi gör är hämtat ur verkligheten. De elever som behöver extra
utmaning får det genom att frågorna och uppgifterna är öppna.
Eleverna blir duktiga på att arbeta i grupp, att argumentera för sina lösningar och att i dialog
med andra ta del av deras lösningar. De får matematisk förståelse istället för mekanisk
kunskap.
104a
Building bridges between learner’s home and school mathematics
This session highlights ways that teachers may use learners’ own experiences and connections
in their mathematics classrooms, for purposes of meaningful learning of mathematics.
Norma Presmeg är professor i matematik vid Illinois State University.
Föreläsning
This session highlights ways that teachers may use learners’ own experiences and
connections in their mathematics classrooms, for purposes of meaningful learning of
mathematics. For more than fourteen years, in the USA the National Council of Teachers
of Mathematics (1989, 2000) has advocated that teachers of mathematics facilitate that
students make connections of various kinds, in their learning of mathematics. Semiotic
theories, including those of C. S. Peirce and those of Saussure and Lacan, provide a useful
lens for examining ways that teachers may facilitate the making of connections, for
instance between home and school mathematics, or between mathematics and other school
subjects, or between different branches of mathematics. This paper describes a nested
chaining model that takes into account the need for interpretation and meaning making at
each step in the sequences involved in connections. Examples are taken from research
projects with graduate students, with pre-service teachers, and with practicing teachers.
There are at least three ways in which the activities of learners in their out-of-school lives
differ from the mathematical activities of school classrooms (Walkerdine, 1988), as follows.
 The goals of activities in the two settings differ radically.
 Discourse patterns of the classroom do not mirror those of everyday practices.
 Mathematical terminology and symbolism have a specificity that differs markedly
from the useful ambiguity and context-dependence of terms in everyday conversation.
A semiotic framework that uses semiotic chains (Whitson, 1997) has the potential to bridge
this apparent gap through a process of chaining of signifiers in which each sign “slides under”
the subsequent signifier. In this process, goals, discourse patterns, and use of terms and
symbols, all move towards that of classroom mathematical practices in a way that has the
potential to preserve essential structure and some of the meanings of the original activity.
Using a semiotic chain, a sequence of abstractions is created while preserving the
important relationships from the everyday practices of the students. This chain has at is final
link some mathematical concept that is desirable for the students to learn. Using this process,
a teacher can use the chain as an instructional model that develops a mathematical concept
starting with an everyday situation and linking the two. The example in figure 1 is a chain that
was developed and used with three practicing fourth grade teachers by my doctoral student,
Matthew Hall, for the purpose of building a bridge between an activity of learners and the
mathematics they were learning in the classroom. In three phases, Hall (2000) gave the
teachers increasing autonomy to construct their own chains based on the experiential realities
of their students, and to use these chains in their classroom practice. The everyday practice in
the following example was chewing gum and the mathematical concept being developed was
base five addition:
Formal written expressions
Base 5 numbers
Changes in
Combining sets of blocks
Packaging gum (5 each
in packages& packs, and
single pieces)
signified 1
signifier 1
signified2
signifier2
signified3
signifier3
Figure 1. An example of a semiotic chain used by Hall (2000).
Chaining using this model proved to be a useful tool in enabling these elementary school
teachers to link activities from the lives of their students, in a series of steps, with the
mathematics of the classroom (Hall, 2000). Hall investigated the process of constructing and
using such chains in two modes. Firstly, one might start with an everyday practice that is
meaningful to the participants, and then see what mathematical notions grow out of the
chaining as it is developed. Secondly, one might focus on a mathematical concept that is to be
taught, and then search for a starting point in the everyday practices of students that can lead
to this concept in several links of the chaining process. Not surprisingly, Hall’s teachers found
the second mode to be more suited to their classroom practice, giving them more control over
the syllabus. They were able to use the chaining process successfully in their own classroom
mathematical practices.
However, as in my previous research with graduate students in my
Ethnomathematics class (Presmeg, 1998b), this conceptual model was not completely
adequate as an explanatory lens. Hall’s dissertation research grew from his participation in
this Ethnomathematics course and attempts in that course to use this model of semiotic
chaining to link cultural practices in a series of steps to formal, abstract mathematics. A
dyadic chaining model was useful in our research. However, this use of dyadic chaining as a
research framework showed the fruitfulness of extending the model to include, not only the
chaining of signifiers, but also a component that relates to meaning making at each link in the
chain. I shall give a brief sketch of such an extension.
In a dyadic model of chaining of signifiers each new signifier in the chain stands for
everything that precedes it in the chain. The previous signifier, as well as everything that it
represents, is now the new signified. Thus the new sign, consisting of the new signifier and
signified, comprises everything in the entire chain to that point. It is this nested quality that
gives chained signifiers their power for mathematics education (Cobb et al., 1997; Presmeg,
1998a). A chain is not the best metaphor for this model, because the links in a chain do not
exhibit this nestedness, which is better represented in a diagram attributed to Lacan by
Whitson (1997, p. 111). In the following figure, I have adapted such a diagram to capture this
nested quality of chained signifiers as Peirce might have represented it, using his terminology.
Key:
O = Object (signified)
R = Representamen (signifier)
I = Interpretant
R3
----I3
O3
R2
----I2
O2
R1
------
I1
O1
Figure 2. A Peircean representation of a nested chaining of three signifiers
Each of the rectangles in figure 2 represents a sign consisting of the triad of object,
representamen, and interpretant, corresponding roughly to signified, signifier, and a third
interpreted component, respectively. This interpretant involves meaning-making: it is the
result of trying to make sense of the relationship of the other two components, the object and
the representamen. Note that the entire first sign with its three components constitutes the
second object, and the entire second sign constitutes the third object, which thus includes both
the first and the second signs. Like Russian nested dolls, sign 1 becomes an object in its own
right (O2) and resides within the second sign; similarly sign 2 becomes an object in its own
right (O3) residing within the third sign. Each object may thus be thought of as the reification
of the processes in the previous sign. Once this reification occurs, this new object may be
represented and interpreted to inform the creation of yet another object. In the presentation,
Hall’s chewing gum example will also be illustrated in this nested triadic mode.
Several further examples, ranging from elementary school to college level
mathematics, will be given, drawn from semiotic chains constructed by students in my
Ethnomathematics class (Presmeg, 1998 a&b). One of these is based on part of the
investigation of “mountain bike mathematics” by Vivian Knowles, an elementary school
teacher. Vivian started with her own GT Rebound mountain bicycle. In the second part of her
project (after investigating the geometry of the bicycle), she drew a diagram showing that the
18 gears resulted from the pairing of three chain rings on the pedal with six sprockets on the
back wheel (this diagram is signifier 1; representing relationships in the bicycle itself). Next
followed a table linking the gear ratios with the “development” – the distance the bicycle
would travel with one turn of the pedal (signifier 2, representing relationships from the gear
diagram and the bicycle). Finally, Vivian drew a graph depicting the development plotted
against the gear ratio – a hyperbola! This third signifier represented the relationships in the
table, and hence everything that preceded it in the chain. In the dyadic model, Vivian’s chain
is as follows.
Graph of gear ratio plotted against development: a hyperbola
Table linking gear ratios, development, and speed,
closing “gaps” in the pattern
Model of 3 chain rings & 6 sprockets
which produce 18 gears
GT Rebound model bike
signified 1 signified 2
signifier 1 signifier 2 signifier 3
signified 3
Figure 3. Chaining of signifiers in “Mountain Bike Mathematics”, by Vivian Knowles.
Further examples will be drawn from sports (such as tennis), games (such as dominoes), and
other activities engaged in by learners. A template will be provided, and participants will have
the opportunity to try out the model for themselves.
References
Cobb, P., Gravemeijer, K., Yackel, E., McClain, K., & Whitenack, J. (1997). Mathematizing
and symbolizing: The emergence of chains of signification in one first grade
classroom. In. D. Kirshner & J.A. Whitson (Eds.), Situated Cognition: Social
Semiotic, and Psychological Perspectives. (pp. 151-233). Hillsdale, NJ: Erlbaum.
Hall, M. (2000). Bridging the gap between everyday and classroom mathematics: An
investigation of two teachers’ intentional use of semiotic chains. Unpublished Ph.D.
dissertation, The Florida State University.
National Council of Teachers of Mathematics (1989). Curriculum and evaluation standards
for school mathematics. Reston, VA: The Council.
National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and standards for school
mathematics. Reston, Virginia: The Council.
Presmeg, N. C. (1998a). A semiotic analysis of students’ own cultural mathematics. Research
Forum Report, in A. Olivier & K. Newstead (Eds.), Proceedings of the 22nd
Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education,
Vol.1, pp. 136-151.
104 b
Fractions as symbolic descriptions of student actions:
A learning path
A hypothetical learning trajectory is presented which first is a model for a theoretically conceivable cognitive
development and second is an epistemological reconstruction of the genesis of rational numbers as objects. This
trajectory is a pathway leading from material actions via their symbolizations to the abstract objects which are
conceived as types of symbols. Further it is organized and informed by the view of fractions and rational
numbers as relationships and by the noyion of protocols of actions. Rational numbers emerge as an abstract way
of speaking about a complex network of actions, symbols and operations with those symbols. Thereby the
complexity of this concept is underlined and explicated.
Willi Dörfler arbetar vid Universität Klagenfurt i Österrike
Föreläsning
105
Att bedöma eller döma elever
Läroplanen understryker att varje elev ska utveckla förmågan att själv bedöma sina resultat.
Kursplanen i matematik strävar efter att eleven utvecklar intresse för matematik, tilltro till det
egna tänkandet och den egna förmågan. Kan elever formulera mål? Hur går det när elever ska
bedöma sitt eget kunnande? Hänger tilltro till det egna tänkandet samman med möjligheten att
förstå målen och bedöma sitt kunnande? Exempel från ett arbete med elevnära mål och
bedömning redovisas.
Håkan Johansson är läromedelsförfattare och fortbildare och arbetar som utvecklingschef
vid Fridaskolorna bland annat med att utveckla former, innehåll och metoder i grundskolans
matematikundervisning. Han är också VD vid Didaktik Centrum AB.
Föreläsning
Dokumentation av elevens utveckling
En av lärarens viktigaste uppgifter är att bedöma om varje enskild elev uppnått kursplanens
kunskapsmål. Vidare ska elevens utveckling från förskoleklass / år 1 vara kartlagd och en
trolig framtida utveckling kunna beskrivas. Detta ställer krav på att elevens
kunskapsutveckling är väl dokumenterad.
Eftersom såväl läroplanens som kursplanens Mål att sträva mot ska genomsyra
undervisningen är det viktigt att även dokumentera elevens utveckling när det gäller t ex
attityder och självförtroende. Utgångspunkten här är i främst de sju första målen under Mål
att sträva mot.
Det är i första hand kunskapskvaliteter kopplade till läroplan och kursplan som ska
synliggöras och bedömas och inte stoffet eller en uppräkning av moment. När det gäller att
avgöra om eleven har möjlighet att uppnå målen för år 5 eller år 9 kopplas kvaliteterna och
elevernas kunskaper till kursplanens Mål att uppnå. För att kunna göra en allsidig bedömning
måste därför elevens utveckling i arbetet med kursplanens Mål att uppnå dokumenteras.
Kvaliteter att ta hänsyn till vid bedömningen.
Med utgångspunkt i läroplan och kursplan kan ett antal kvaliteter urskiljas. Flera av dessa är
generella och gäller samtliga ämnen medan andra är mer ämnesspecifika. Viktiga generella
kvaliteter är t ex att uppfatta samband, att lösa problem, att analysera och reflektera, att tolka
symboler osv. Kvaliteter av ovanstående karaktär ska bedömas i samtliga ämnen. Därutöver
ska också ämnesspecifika kvaliteter bedömas i matematik, t ex förmågan att uttrycka
matematiska tankar och resonera logiskt.
Kvalitet innebär här ingen värdering i meningen "bättre" eller "sämre" Kvalitet står för värde,
beskaffenhet, egenskap eller egenart. De kvaliteter som diskuteras kan beskrivas som olika
slags kunnande som också framträder på olika sätt.
Bedömningen av kunskaperna ska avgöra på vilken nivå kvaliteterna framträder t ex när det
gäller kunskapernas djup, bredd eller grad. Djupet bedöms i relation till Mål att sträva mot
och bredden sätts i relation till kursplanens avsnitt "Ämnets karaktär och uppbyggnad".
Graden kan gälla "graden av självständighet" etc.
Utvecklingen av olika kvaliteter i kunnandet är avgörande för elevens möjligheter att nå
målen för år 5 eller år 9. I samband med utvecklingssamtal och diskussion kring kunskapsmål
är det viktigt diskutera utveckling av olika kvaliteter, d.v.s. elevens förmåga i olika
avseenden.
En viktig förmåga är att eleven ska kunna använda sitt kunnande för att tolka och hantera
olika slag av uppgifter och situationer som förekommer i närmiljön.
Det innebär konkret att eleven ska kunna förstå sambandet mellan en verklig situation eller
händelse och vilken metod eller vilket räknesätt man ska använda för att komma fram till en
lösning. I bedömningen ska man således väga in elevens förmåga att avgöra hur man kommer
fram till en lösning av det aktuella problemet. Förmåga kan något förenklat översättas med
den kompetens eleven har för att kunna beskriva och hantera situationer och lösa konkreta
problem i närmiljön.
När eleven står inför en problemlösningssituation, t ex att förstå vilket räknesätt som krävs för
att komma fram till en lösning, är resultatet i första hand beroende av den kompetens eleven
besitter.
Med kompetens menas att eleven har begreppsbilden klar för sig. Eleven kan formulera eller
beskriva problemet och därmed också i princip formulera ett svar. För att klara av att lösa
problemet fullt ut måste eleven samordna en färdighet med sin kompetens. Eleven behöver en
metod – i detta fallet en räknefärdighet för att slutföra problemet.
Kompetensen är dock överordnad färdigheten. Det hjälper ju inte att t ex ha goda
räknefärdigheter men inte ha kompetens att förstå problemet. Har eleven däremot kompetens
att förstå problemet kan kanske uträkningen göras med hjälp av miniräknare.
En elev som har god kompetens att tolka och förstå problem som leder fram till en addition
eller subtraktion har dessutom med stor sannolikhet förmåga att tolka och förstå problem som
leder fram till en multiplikation eller division. Orsaken till detta är att bl. a att räknesätten är
släkt med varandra vilket gör att eleven t ex kan se en multiplikation som en upprepad
addition eller ett mångfaldigande.
Det är således inte enbart elevens räknefärdigheter som ska bedömas utan också elevens
förmåga att tolka och förstå problem.
Har eleven uppnått målen?
Bedömningen inriktas alltså på i vilken grad och med vilken bredd och vilket djup etc. olika
kvaliteter framträder d.v.s. elevens förmåga att lösa problem i olika situationer och av olika
karaktär. Vid en bedömning av om eleven kommer att klara kursplanens mål att uppnå är den
första meningen under Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte respektive
nionde skolåret särskilt viktig. Alla Mål att uppnå ska relateras till den här ramen.
Nedanstående beskrivning har Mål att uppnå efter år 5 som utgångspunkt:
"Eleven ska ha förvärvat sådana grundläggande kunskaper i matematik som behövs för att
kunna beskriva och hantera situationer och lösa konkreta problem i elevens närmiljö."
(Kursplanen Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret)
För att kunna nå målet som ramen beskriver behöver eleverna sådana kunskaper som
formuleras under övriga Mål att uppnå. I klartext innebär det att varje mål tolkas i relation till
formuleringen i ramen och att det är denna målformulering som avgör vilken nivå elevens
kunskaper måste ha.
Varje enskilt mål kan således formuleras som en fråga med utgångspunkt i ramen.
Man måste t ex ställa sig frågan:
Vilka kunskaper behöver eleven när det gäller att






ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och enkla tal i bråk- och
decimalform,
förstå och kunna använda addition, subtraktion, multiplikation och division samt kunna
upptäcka talmönster och bestämma obekanta tal i enkla formler,
kunna räkna med naturliga tal – i huvudet, med hjälp av skriftliga räknemetoder och med
miniräknare,
ha en grundläggande rumsuppfattning och kunna känna igen och beskriva några viktiga
egenskaper hos geometriska figurer och mönster,
kunna jämföra, uppskatta och mäta längder, areor, volymer, vinklar, massor, och tider
samt kunna använda ritningar och kartor,
kunna avläsa och tolka data givna i tabeller och diagram samt kunna använda elementära
lägesmått.
för att kunna beskriva och hantera situationer och lösa konkreta problem i elevens närmiljö”?
Bedömningens inriktning
Bedömningen i matematik ska bland annat inriktas mot elevens förmåga att använda, utveckla
och uttrycka kunskaper i matematik:
 I vilka situationer ger eleven prov på att kunna tolka och hantera olika uppgifter eller
situationer som förekommer i elevens närmiljö?
 Är eleven aktiv och föreslår lösningar?
 Kan eleven göra överslag i relevanta situationer?
 Reflekterar eleven över om ett resultat är rimligt?
 Kan eleven uttrycka sig tydligt och klart, skriftligt och muntligt med hjälp av
matematikspråket?
 Är elevens förmåga att arbeta och redovisa självständigt tillräcklig?
Det är också viktigt att i bedömningen väga in elevens förmåga att följa och förstå
matematiska resonemang:
 Tillgodogör och använder sig eleven i tillräcklig omfattning av muntlig och skriftlig
information?
 Hur är det med förmågan att lyssna till och följa andras förklaringar och argument?
En annan aspekt som också bör innefattas i en helhetsbedömning är förmågan att förstå
matematikens betydelse i vardagslivet:
 Inser eleven matematikens värde till exempel dess användning i andra ämnen eller i
närmiljön?
 Förstår eleven att matematik också är ett sätt att kommunicera till exempel genom att
redovisa enkla undersökningar i ett diagram och så vidare.
Elevens förmåga att lösa problem
Här görs en bedömning av på vilket sätt eleven angriper ett problem och med vilken metod
eleven väljer vid lösning av olika problem. Lämpar sig metoden väl för det aktuella
problemet? I vilken utsträckning reflekterar eleven kring val av metod och om resultatet är
rimligt? Val av metod speglar graden av förståelse för problemet liksom med vilket djup
eleven drar slutsatser och använder tidigare kunskaper som redskap i arbetet.
I samband med bedömningen av problemlösningsförmågan är också elevens arbetsinsats
viktig att iaktta. Hur väl genomför eleven arbetet med utgångspunkt i det metodval som
gjorts? Går det att följa hur eleven har tänkt och vilka beräkningar som gjorts?
Elevens förmåga att kommunicera sitt kunnande?
Eftersom språket är en del i uppbyggnaden av begrepp är den här delen av bedömningen
mycket viktig. Det en elev inte kan uttrycka klart är med stor sannolikhet inte tillräckligt
förankrat.
De aspekter som ska bedömas här är alltså elevernas förmåga att kommunicera hur de löser en
uppgift. Det kan vara en skriftlig eller muntlig redovisning.
Elevens ansvar
Enligt läroplanen ska eleverna bl a kunna ta ett ett allt större personligt ansvar för sina studier
och få ett reellt inflytande på utbildningens utformning. För att nå läroplanens skrivning krävs
det att målen i kursplanerna är elevernas egendom. Eleverna måste få tillfälle till ständig
måldiskussion och dessutom tillfälle att med egna ord förklara vad målen innebär. Detta är en
förutsättning för att eleverna ska kunna ta det ansvar som anges i läroplanen.
För att komma framåt så krävs en tydlig struktur som eleverna kan tillgodogöra sig. Ett sätt är
att försöka inskola eleverna i följande arbetsgång:
1.
2.
3.
4.
Vad ska jag lära mig? (Målet)
Vad kan jag redan? (Självvärdering)
Hur ska jag ta reda på det jag inte kan? (Metoder, Arbetssätt och Arbetsformer)
Hur ska jag veta och visa att jag lärt mig? (Självvärdering i förhållande till målet och
Redovisningsform)
Analysera och reflektera
Vid arbetet med bedömning är det viktigt att eleven själv reflekterar och analyserar sitt eget
kunnande. Inför ett nytt område bör eleven få frågor av följande karaktär:
Förstår du vad det är du ska lära dig?
Vad kan du redan?
Under arbetets gång kan frågorna ha en annan inriktning:
Känner du att du förstår?
Har du kommit närmare det du skulle lära dig?
Är det något du behöver arbeta extra mycket med?
Efter att arbetet med ett område är avslutat är det lämpligt att fråga:
Har du lärt dig det du skulle?
Hur kan du visa det du kan?
Man kan naturligtvis också ställa mer konkreta frågor som är riktade mot speciella företeelser,
områden eller begrepp. Exempel på sådana frågor kan vara:





Vad tycker du om att lösa problem (attityd)?
Berätta (muntligt eller skriftligt) allt du vet om klockan (diagnos eller uppföljning).
Vad kan du om längdmätning, meter och centimeter (diagnos eller uppföljning)?
Hur sköter du dina hemuppgifter (ansvar)?
Tycker du att matte är lätt / svårt (självtillit)?
Litteratur
Lpo 94/Kursplanen i matematik
Utbildningsdepartementet (1992). Skola för bildning. Huvudbetänkande
av Läroplanskommittén. SOU 1992:94. Stockholm: Allmänna förlaget.
Baskunnande i matematik (2003). Myndigheten för skolutveckling.
Journal for Research in Mathematics Education (2002). NCTM. Volume 33, number 3.
Askew, M, William, D. (1995) Recent Ressearch in Mathematics Education 5-16. School of
Education, Kings College London.
106
Gangsters, game and gambling
I en nation som så totalt har angripits av speldjävulen behöver både lärare och elever vettiga
vardagskunskaper om sannolikhet och om chansen att vinna på olika spel. Med utgångspunkt
i elevers intresse för spel och undersökningar presenterar vi några konkreta
undervisningsidéer, som kan bidra till att utveckla intresset och förståelsen för sannolikhet.
De teoretiska inslag som kan vara av intresse i det här sammanhanget får deltagarna i
samband med föreläsningen och de tas inte upp i den här sammanfattningen.
Håkan Johansson är läromedelsförfattare och lärarfortbildare. Han är styrelseordförande för
Fridaskolan i Vänersborg och VD för dotterföretaget Didaktikcentrum.
Lennart Skoogh är frilanspedagog och en av initiativtagarna till Matematikbiennalerna.
Han är läromedelsförfattare samt välkänd lärarfortbildare
Sannolikhet i läroplanen
Sannolikhetslära som moment i grundskolans matematikundervisning förekommer första
gången i Lgr 69 där det står: Kännedom om funktions- och sannolikhetsbegreppen.
Detta utökades en hel del i Lgr 80 genom huvudmomentet: Statistik och sannolikhetslära.
Bland grundskolans nödvändiga moment fanns: Undersökning av sannolikhet för händelser.
Bland de önskvärda: Sannolikhetsbegreppet och beräkning av sannolikheter i enkla fall.
Bland mål att uppnå i den nya läroplanen Lpo 94 finner man kravet, att eleven behärskar
grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet
Bland kursplanens mål att uppnå står: Eleven skall kunna använda begreppet sannolikhet i
enkla slumpsituationer. Av mål att sträva mot framgår att vi ska sträva efter att eleven förstår
och kan använda begreppet sannolikhet i konkreta slumpsituationer.
Historisk aspekt
Sannolikhetsläran började utvecklas i mitten av 1600-talet men enbart som en matematisk
teori för olika slags spel. Fransmannen de Méré var en passionerad hasardspelare och hade
troligen även goda kunskaper i sannolikhetslära. Han vände sig till den kände matematikern
och filosofen Pascal med några frågor. Det gällde främst följande problem: Sannolikheten för
att få minst en sexa på fyra kast med en tärning tycks vara större än 50%. Då borde också
sannolikheten för att få minst en dubbelsexa vid 24 kast med två tärningar vara större än 50%.
Men så är det tydligen inte vilket vi också försöker komma fram till under föreläsningen.
Grunden till sannolikhetslära lades i en brevväxling mellan Pascal och Fermat åren 1647-48
då de lyckades besvara de Mérés problem. De utgick från den klassiska definitionen att
sannolikheten för en händelse är kvoten mellan antalet gynnsamma och antalet möjliga utfall.
På 1700-talet utvecklades sannolikhetsläran snabbt och man började använda den i andra
sammanhang. Sannolikheten bestämdes istället genom relativa frekvenser. En förutsättning
för denna syn på sannolikhetsläran är, att det existerar ett gränsvärde för den relativa
frekvensen.
Numera används sannolikhetslära inom de flesta områden och den har under 1900-talet också
getts en axiomatisk grund av ryssen Kolmogorov.
Sannolikhetslära på baren.
Största delen av föreläsningen har dock ett mera allmänbetonat innehåll. Vi berättar t ex om
ett fall från verkligheten, när vi beställde tre olika drinkar med samma färg. Den som bar
drinkarna till vårt bord glömde bort vad som fanns i de olika glasen och delade ut dessa helt
på måfå.
Frågan är nu hur stor chansen är att alla tre får rätt drink (1/6) respektive att åtminstone en får
rätt drink (2/3). Deltagarna får också besvara frågan hur stor chansen är att två får rätt drink.
För att fortsätta på temat beslutar vi att singla slant om betalningen. Vi kastar därför två mynt.
Om det blir två krona ska Lennart betala, om det blir två klave ska Håkan betala och om det
blir en krona och en klave ska Anders betala. Här är det ganska lätt för elever att genom en
undersökning komma underfund med att Anders med 50 % sannolikhet får betala. Det kanske
kan nämnas att en berömd fransk 1700-talsmatematiker vid namn d´ Alembert ansåg att man
vid kast med två mynt hade tre lika sannolika fall.
Det är ganska svårt att överföra denna kunskap till andra områden, men det är trevligt och lätt
att göra praktiska försök. Vi gör ett enkelt pararbete där deltagarna får tre små likadana
pinnar: en omålad, en som är blå i ena änden och en som är blå i båda ändarna. Den ene i
paret håller pinnarna bakom ryggen, tar fram en pinne och visar dess ena ände. Den andre ska
nu gissa hur pinnens andra ände ser ut. Vi gör ett systematiskt försök och finner ganska snart,
att detta är en parallell till slantsinglingen ovan.
Rena rama sanningen
Med ett intressant försök reder vi också ut den sannolikhetsparadox som har förekommit i
TV-programmet Rena rama sanningen. Idén till programmet har förstås kommit från USA,
där ett liknande program orsakade en stormig debatt i en tidskrift. Marilyn vos Savant,
författare till tidskriftens matematikspalt, besvarade en fråga om tävlingen och fick nästan
hela läsekretsen emot sig. Även flertalet akademiker som deltog i debatten ansåg att hon hade
fel. En del kom med omdömen om den kvinnliga redaktören som de förmodligen djupt har
ångrat.
Problemet är i korthet följande: Bakom en av tre dörrar finns en fin vinst. Bakom de två andra
är det tomt. (I USA var det en bil resp. bräkande getter.) Du ska välja en av de tre dörrarna.
Programledaren öppnar dock inte den dörr du väljer utan en av de andra och alltid en tom.
Du får chansen att ändra ditt val och frågan är förstås, om du bör göra det eller hålla kvar ditt
första val. Genom ett enkelt försök står det klart för deltagarna att man absolut ska byta och
ett resonemang gör det sedan troligt, att chansen att vinna vid byte är 2/3.
Spel i Sverige
De legala spelen i Sverige omsätter mer än 30 miljarder kronor per år. Statens vinst på dessa
spel är 6 - 7 miljarder kronor per år.
Minst 50 000 personer är så spelberoende att de inte fungerar i samhället. Av de spelberoende
är ca 80 % män.
Spel med snabb återkoppling ger lätt spelberoende. Här finns chans att fånga in många unga.
Följaktligen finns numera LOTTO EXPRESS med dragning var 5:e minut. Dessutom finns
Viking LOTTO och LOTTO med jokerdragning på onsdagar och lördagar. Den som inte har
någon bingohall i närheten får nöja sig med Söndagsbingo. Det finns fyra olika alternativ för
att spela på hundkapplöpning och givetvis går det bra att spela på trav. Måltips och stryktips
finns förstås och numera även med italienska matcher. Man har även tre olika alternativ för att
lämna in vad på olika matcher. Detta är ett litet urval. Alternativen bara växer.
Chanser vid olika slags spel
I mån av tid tar vi förstås upp intressanta saker om olika slags spel. Det kan t ex gälla Craps,
som omsätter mer pengar än något annat hasardspel. Black Jack är en variant av 21, och ett
mycket populärt hasardspel i USA. För det senare spelet lär en amerikansk matematiker ha
lyckats att utforma en vinststrategi genom att hålla reda på de kort som visas och räkna ut
sannolikheten för vinst, trots att bankiren har oddsen på sin sida. Han blev portförbjuden på
alla spelhus. Även den s k S:t Petersburgs-paradoxen kanske kommer på tal.
Främst är det dock de lite tamare svenska spelvarianterna som analyseras. Vad säger det oss
att vinstchansen på t ex en Bellmanlott är 1 på 4, på en Trisslott 1 på 5 och på en Penninglott
1 på 6. Jo, bara att var fjärde (femte resp sjätte) lott ger någon vinst. Däremot säger det inget
om hur mycket man i genomsnitt förlorar på varje lott. Det är ju alltid mindre än 50 % av
insatsen som går tillbaka till de som spelar och man visar lätt, att man på varje penninglott för
20 kr gör en förlust på mer än 14 kr.
Hur stor är risken för att dödas i en trafikolycka under ett år jämfört med chansen att vinna
högsta vinsten på en penninglott? Det kan man förstås göra en grov uppskattning av.
Risken att dödas i trafiken under ett år i Sverige är ca 800/ 8 000 000 = 1/ 10 000 = 0,01 %
Chansen att vinna 1 miljon om man köper en penninglott är ca 2/ 576 000 = 0,0003 %.
Lotto är världens största spelform. Man ska pricka in 7 tal av 35. Det är alltså 7/35 chans att
första talet blir rätt. Det är sedan 6/34 chans att få andra talet rätt. Chansen att få båda talen
rätt är 7/35 * 6/34 och chansen att få alla 7 talen rätt är ungefär 1 på 6 724 520.
Köp premieobligationer!
Om man spelar på premieobligationer får man tillbaka hela insatsen efter ett visst antal år. Vi
tar som exempel statens premieobligationer 95:1 med sju års löptid. Under tiden har man varit
med om 2 dragningar varje år och varje gång kan man vinna allt mellan 500 kr och en miljon.
Vid varje dragning lottas 6,5 % av lånebeloppet ut. Eftersom vinsten är skattefri motsvarar det
efter skatt en ränta på ca 10 % på insatta pengar. Om man köper 10 obligationer i följd är man
garanterad en vinst motsvarande 4 % ränta på insaten. Eftersom vinsten är skattefri motsvarar
det ca 7 % ränta på insatt kapital, dvs mer än banken ger. Ändå har man chansen att vinna vid
14 dragningar och man får dessutom alla pengar tillbaka. Om man räknar obligationen som en
lott och vinstchansen på samma sätt som för penninglotten ovan visar det sig att man på varje
obligation med priset 5 000 kr i genomsnitt vinner 2 672 kr samt hela insatsen tillbaka. Detta
var en extremt bra premieobligation på grund av det då rådande ränteläget. Premieobligationer
som kan köpas i dagsläget ger väsentligt sämre utdelning.
"Spelarens fallgrop"
De flesta som spelar fascineras troligen av chansen till en vinst och analyserar förmodligen
inte alls riskerna för en förlust. Men även de som gör så löper stor risk att komma helt fel,
eftersom det finns många fallgropar, vilket också framgår av våra försök.
Den vanligaste fallgropen är kanske, att man tror att en spelkula (eller motsvarande) har ett
minne. Men även om t ex en viss färg dominerat de senaste 100 eller 1 000 gångerna finns det
inget som säger, att samma färg inte kan dominera även de följande 10, 100 eller 1 000
gångerna.
Det är också lätt att göra tankefel då chanser analyseras. Sannolikheten för 4 krona i följd vid
kast med ett mynt är ju (1/2)4 = 1/16 men sannolikheten för varannan krona, varannan klave
på 4 kast är 1/8.
Sannolikheten för att ett chokladhjul med 36 nummer stannar på t ex 13 tre gånger i följd är
bara en på 46 656 men sannolikheten för att det stannar på tre på varandra följande nummer är
en på 1 296. Däremot är sannolikheten för att det stannar på just 13, 14 och 15 lika stor som
för 13 tre gånger i följd.
Sannolikheten för att en 5-barnsfamilj har 5 pojkar (flickor) är en på 32. Sannolikheten för att
ett eventuellt sjätte barn också är en pojke (flicka) är ändå fortfarande 0,5.
Världens slumpartade uppbyggnad
De flesta av oss tänker nog inte på att nästan allt här i världen, t ex människosläktets
utveckling, beror på slumpen och att väldigt lite egentligen styrs av människohand. Vi hinner
bara ge ett litet smakprov på enkla fakta och försök som man kan ta upp i den elementära
undervisningen.
Sannolikhetslära genomsyrar våra liv. Alla behöver lära sig elementära saker om sannolikhet
som t ex multiplikationsprincipen, begreppet väntevärde, likformig sannolikhetsfördelning,
relativa frekvensens stabilitet etc.
Parapsykologer, astrologer, stjärntydare, horoskopsfabrikörer, kristallkuleskådare och andra
som utnyttjar människors godtrogenhet utnyttjar sannolikhetslära. Man kan t ex slumpmässigt
förutsäga en människas "karaktär" med 30 % sannolikhet - just dit astrologer m fl når.
Referenser
Edberg: Roligt nästan jämt. Bokförlaget Prisma
Moscovich: Lek med slumpen. Bonniers
Råde (Editor): The teaching of probability an statistics. Proceedings of the first CSMP
International Conference. Almqvist & Wiksell
108
Hur jag som lärare kan ta reda på elevernas matematikhistoria
med hjälp av deras matematikgrafer
En presentation av hur man genom att be eleverna eller studenterna att rita en graf över sin
matematikresa skaffar sig en bild av hur de uppfattat matematikämnet och undervisningen
hittills. Under föreläsningen kommer autentiska grafer från olika utbildningsnivåer att
presenteras och dessa diskuteras bland annat i relation till skolverksrapporten Lusten att lära
Lisbeth Lindberg, Lärarutbildare och universitetslektor i matematikdidaktik, IPD, Enheten
för ämnesdidaktik, Göteborgs Universitet.
Föreläsning/Seminarium
De flesta har synpunkter på matematik. Några säger sig hata ämnet. Andra förstår inte varför
man måste ha ett skolämne som heter matematik. En del personer hävdar att de aldrig i sitt
vuxna liv använder matematik, varken i sitt yrke eller till vardags. Andra säger att de
använder matematik dagligen i sitt yrke eller i sin hobby. Oavsett omfattning eller användning
av matematik så har de ett personligt förhållande till ämnet.
Bakgrund
Jag har under många år undervisat i matematik på grundskolan, gymnasiet och inom Komvux.
Där har jag haft elever som har mött matematik på olika sätt innan jag blev deras
matematiklärare. Numera arbetar jag med studenter som skall utbilda sig till lärare och
undervisa bland annat i matematik. Studenterna väljer under utbildningen matematik och
annat ämne. Det är möjligt att det andra ämnet är studentens huvudintresse, men man vill
gärna tro att den som valt att bli matematiklärare har med sig en positiv bild av ämnet från
tidigare studier. Det kan komma som en överraskning för oss som deras lärare att så inte alltid
är fallet. Därför är det av intresse att lyfta fram var våra studenter står och hur vägen dit har
sett ut. Det ger oss en möjlighet att diskutera vilka svårigheter och möjligheter vi ger våra
skolelever. Detta ser jag som mycket viktigt eftersom vi som lärare ger indirekta eller direkta
signaler till eleverna om vad vi tycker om ämnet. Min utgångpunkt är att en matematiklärare
inte endast skall undervisa i matematik utan även ge eleverna en positiv erfarenhet av ämnet.
Matematikgraf
Som lärare i matematik, oavsett vilka elevkategorier jag möter vill jag veta hur dessa förhåller
sig till ämnet. För att på ett tillgängligt sätt komma åt deras tidigare matematikresa brukar jag
låta dem göra en graf som beskriver en personlig matematikhistoria.
Den information som jag först vill ha får jag genom att be eleverna eller studenterna att på ett
vitt A4-papper rita en horisontell tidsaxel och ovanför denna skall de ha de positiva
erfarenheterna och nedanför de negativa erfarenheterna. På tidsaxeln kan de markera
biologiska år eller skolår. De får även gradera axeln som de vill. De får gärna skriva en
förklarande text till sina grafer.
Ett exempel:
Grafen börjar vid 3 års ålder där man kan komma ihåg sin första positiva erfarenhet av att
kunna räkna och vilken lycka detta var när man kunde säga några tal. Grafen fortsätter svagt
uppåt under skolåren och planar ut exempelvis vid elva års ålder. Därefter dyker den och når
ett minimum vid fjorton års ålder för att sakta komma in i det positiva området igen och nå en
kulmen vid sjutton års ålder. Därefter planar den ut, för att drastiskt peka uppåt efter inträdet i
lärarutbildningen.
Figur Matematikgraf från kvinna född 78, student på lärarprogrammet, inriktning matematik
Berättelser
Genom att rita grafen ger det studenterna en möjlighet att reflektera och kanske omvärdera sin
historia. Ofta hör man glada skratt och igenkännande då de pratar om sina grafer med
varandra. Denna aktivitet passar också bra i början av en kurs eftersom studenterna där får en
chans att börja lära känna varandra.
Tolkning
Vilken information får jag ut av deras grafer? Vilken historia är det som de berättar? Det är
framför allt personliga historier. Historier om hur de idag uppfattar det som hänt. Jag kan
endast vara med i tolkningen av grafen tillsammans med den som ritat grafen. Därefter kan vi
kanske finna förklaringar tillsammans och få stöd i teorier och forskningsresultat.
Jag har intresserat mig speciellt för de ställen där grafen ändrat riktning. Några av de
förklaringar och berättelser till grafens utseende som angivits har jag grupperat nedan utifrån
studenternas berättelser.
Externa skolfaktorer
 Byte av läromedel, klass, lärare, skola
 Flytt till nytt land, stad, skola
 Förändrad familjesituation
 Arv, kön
Interna skolfaktorer
 Nya skolämnen
 Intresseinriktning
 Motivation, Uthållighet, Ansträngning
 Arbetssätt och arbetsformer
Externa ämnesfaktorer
 Ämnets organisation, schemaposition, tidsbrist
 Läromedel
 Bedömningssystem
 Ämnets omfattning
Interna ämnesfaktorer
 Matematikämnets olika innehåll och förkunskapskrav
Om man ser till vad eleverna anger som förklaringar till varför matematikämnet upplevts som
positivt eller negativt så beror det på många faktorer. Samma ämne kan upplevas som
fantastiskt och fruktansvärt över tid av samma person. En del av förklaringarna är av affektiv
natur, andra av kognitiv. Många av våra elever och studenter valde bort matematikämnet och
kände sig blockerade när de skulle lösa ett problem av matematisk natur. När lusten och
intresset för matematiken har varit god eller ökat så har det inte sällan angivits att det berott
på bra lärare, ”jättebra!!!!” till och med.
Lusten att lära
Titeln på en av de nationella kvalitetsgranskningarna med fokus på matematik är passande för
det som ofta varit kritiskt utifrån vad studenternas grafer berättar. Det handlar mycket om att
tappa lusten eller få lust och bli motiverad att arbeta med ämnet.
Genom presentationen av graferna och den påföljande diskussionen kommer olika aspekter
från granskningsrapporten och relevant forskning att kunna relateras till den erfarenhet av
matematikämnet som graferna ger uttryck för. Studenterna uppskattar att deras berättelser av
tidigare erfarenheter tas på allvar. De får också ofta genom knytningen till forskningen ett nytt
perspektiv på sin matematikbakgrund.
Läsvärt:
Csikszentmihalyi, M.(1990). Att uppleva ”flow”. I Maj ödman (red.): Om kreativitet och
flow. Stockholm:Brombergs förlag AB.
Giota, J. (2001). Adolescents’ perceptions of School and Reasons for Learning. Avhandling
om motivation. Göteborg : Acta Universitatis Gothoburgensis.
Doverborg, E.& Pramling Samuelsson, I. (1999). Förskolebarn i matematikens värld.
Stockholm: Liber.
Evans, J.(2000) Adults’Mathematical Thinking and Emotions. A Study of Numerate
Practices. London: RoutledgeFalmer
Evans, J. (2002) Developing the ideas of Affect and Emation among Adult learners ur
Proceedings of the 8th Internationl Conference on Adult Learning Mathematics.Roskilde.
Reuterberg, S-E. & Svensson, A. (2000). Köns- och socialgruppsskillnader i matematik.
Orsaker och konsekvenser. IPD-rapport nr 2000:20. Göteborgs universitet.
Tobias, S. (1978). Overcoming Math Anxiety, San Francisco: Houghton Mifflin
Skolverkets rapport nr 221 (2003). Lusten att lära – Med fokus på matematik
109
Fibonaccitalens värld – en värld av spänning
Fibonaccitalen fascinerar och förundrar. Vi upptäcker att Fibonaccitalen förekommer både i
naturen och i vår närmsta omgivning. Vi kommer också att titta på det gyllene snittet, ett
geometriskt förhållande som finns överallt omkring oss. Det gyllene snittet påstås vara
estetiskt tilltalande för det mänskliga ögat.
Ann-Charlotte Lindner är universitetsadjunkt i matematik, fysik och teknik vid Högskolan
Kristianstad och arbetar med lärarutbildning men är även verksam som studierektor för den
del av den nya lärarutbildningen som riktar sig mot yngre barn.
Föreläsning
Inledning
Varför har en ananas 8 diagonaler i den ena riktningen och 13 i den andra? Varför har en
tallkottes fjäll ett mönster med 8 spiraler motsols och 5 medsols. Varför har prästkragar oftast
34, 55 eller 89 kronblad? Alla dessa tal och många fler förekommer i Fibonaccis talföljd som
har ett samband med det gyllene snittet. Fibonacci upptäckte följden redan på 1200-talet, men
det är först nyligen som man har förstått varför dessa tal är så betydelsefulla i naturen.
Vem var Fibonacci?
Fibonacci var en av medeltidens mest framstående
matematiker. Han föddes troligen i Pisa år 1175. Hans
riktiga namn var Leonardo men han kallades
Fibonacci vilket betyder ”son till Bonacci”. Fibonacci
tillbringade en del av sitt liv i Nordafrika och där kom
han i kontakt med det decimalsystem som vi använder
idag. Han tyckte att systemet var mycket enklare än
det romerska och blev därmed den förste som
introducerade decimalsystemet i Europa. År 1202
skrev han en bok med titeln ”Liber Abaci” där han
beskrev hur man räknade med detta nya system.
Fibonacci dog 1240 men det tog över 200 år efter
hans död innan Europa var moget att använda det
decimalsystem som han försökte införa.
Bild 1
Fibonaccis talserie
Fibonacci arbetade bland annat med ett biologiskt problem som beskrev kaniners
fortplantning och han kom på sin talserie 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 134,…då han
undersökte hur snabbt kaniner kunde föröka sig om de levde i en ideal miljö. Låt oss anta att
ett nyfött kaninpar, en hona och en hane, får leva tillsammans. Efter två månader föder honan
ett nytt kaninpar. Om vi nu antar att våra kaniner inte dör och att honan alltid får ett nytt par
(en hona och en hane) varje månad så kan man ju fundera på hur många kaniner man har efter
ett år. I bild 2 nedan kan man se hur många kaninpar det finns efter fyra månader.
Bild 2
Hur många kaninpar tror ni att det finns efter fem månader?
Ett annat sätt att använda Fibonaccitalen är att rita två små kvadrater med sidan en
längdenhet intill varandra. Vid sidan om dessa två lägger man en ny kvadrat med sidan två
längdenheter. Vi bygger på med en ny kvadrat under de tidigare med sidan tre längdenheter.
Om vi fortsätter att lägga till kvadrater kommer varje ny kvadrat att ha en sida som är lika
lång som summan av de föregående kvadraternas sidor.
Resultatet kan ses i bild 3a nedan.
Bild 3a
Bild 3b
Bild 3c
I bild 3b har vi ritat en spiral genom att förena kvartscirklar, en i varje kvadrat. Denna
logaritmiska spiral kan man återfinna i formen på snäckskal. Det som karakteriserar en
logaritmisk spiral är att den växer endast i änden. Vi kan hitta denna spiral i naturen i snäckan
Nautilus pompilius, som på svenska kallas Pärlbåtssnäckan (se bild 3c). Den har funnits på
jorden i 500 miljoner år. Snäckan tillväxer i storlek, men förändrar inte sin form.
Naturen är fantastisk, fylld av geometriska former. Man kan hitta
spiraler överallt t.ex. hos kottar, frukter, solrosor. När ormen ska vila
rullar den ihop sig till en spiral. Ute i rymden har vi spiralgalaxer.
Bild 4
Det gyllene snittet
Det gyllene snittet är ett geometriskt förhållande som finns överallt omkring oss. Det gyllene
snittet förekommer ofta i både konst och arkitektur men även inom musiken kan man hitta
detta ”gudomliga” förhållande.
Gyllene snittet är en benämning på en uppdelning av
en sträcka i två delar så att den större delen BC
förhåller sig till hela sträckan AC som den mindre
delen AB till den större delen BC, dvs. så att BC /
AC = AB / BC.
Bild 5
Om man alltså delar en sträcka, som är en meter lång, i två delar, där den mindre delen är
38,2 cm och den längre delen 61,8 cm. Då blir kvoten mellan den korta och den långa delen
densamma som kvoten mellan den långa delen och hela sträckan, nämligen 0,618.
En gyllene rektangel är en rektangel med det gyllene snittets proportioner och utnyttjas i
många vardagliga föremål t.ex. tändsticksaskar, cigarettpaket, fönster, böcker och flaggor.
Även Le Corbusier (1887-1965) har använt gyllene snittet för att få fram
"den ideala människan". Han ansåg t ex att den ideala längden för en
människa var 1,829m.
Andra förhållanden som påträffats är t ex att avståndet mellan hakspetsen
och ögonbrynen förhåller sig som avståndet mellan ögonbrynen och
hjässan enligt gyllene snittet. Detta kan man se i Mona-Lisas ansikte. Vi
har också att naveln markerar det gyllene snittet med fotsulan och
hjässan som ändpunkter.
Bild 6
Luca Pacioli som levde under senare delen av 1400-talet skrev tillsammans med Leonardo da
Vinci boken ”Devina Proportione”. I boken skriver han bl.a. ”Det gyllene snittets proportion
är unik och en enda, liksom Gud”.
I en femhörning kan man få ett gyllene snitt om man tar kvoten mellan en
sida och en diagonal. Femhörningar ansågs förr i tiden att bära på speciella
egenskaper och detta utnyttjade t.ex. Platon då han skulle beskriva
världsalltet.
Bild 7
Vilket samband har då detta med Fibonaccis talserie? Om man dividerar två på varandra
följande tal i Fibonaccis talserie (2/3, 5/8, 55/89 osv.) får man en kvot mer och mer närmar sig
det gyllene snittets värde 0,618.
Litteratur
Dunlap R. A. (1997) The Golden Ratio and Fibonacci numbers. World Scientific Publishing Co.Pte.
Ltd.
Garland, Hammel, T. (1987) Fascinating Fibonaccis Dale Seymor Publications.
Garland, Hammel, T. (1997) Fibonacci Fun Dale Seymor Publications.