Kursprogram

Kursinnehållet i geometri
Definitioner och satser.
Sats 1. Arean av en triangel är lika med hälften av produkten av en sida med höjden som är dragen mot denna sida.
Sats 2. Arean av en parallellogram ABCD är lika med produkten av sidan AD med avståndet mellan sidorna AD och
BC.
Sats 3. Arean av ett parallelltrapets är lika med halva produkten av höjden och summan av de parallella sidorna.
Definition. Två trianglar kallas likformiga om deras motsvarande vinklar är lika och deras motsvarande sidor är
proportionella. Närmare bestämd, ABC ~ A' B' C' om A=A’, B=B’, C=C’ och
AB
AC
BC


=k. Förhållandet k kallas i så fall för likformighets koefficient, och man säger att den 1:a
A' B' A' C ' B' C '
triangeln är likformig till den 2:a med koefficienten k.
Sats 4. Om två vinklar i en triangel är lika med två vinklar i en annan triangel så är trianglarna likformiga med
varandra.
Definition. En geometrisk ort (kort sagt ort) är mängden av alla punkter som satisfierar ett givet geometriskt
villkor.
En ort kan vara ett antal punkter, linjer, sträckor, bågar, även figurer. Att bestämma en ort betyder att beskriva den
på ett kort (konstruktivt) sätt, visa, att alla dessa punkter satisfierar alla givna villkor medan ingen annan punkt gör
det.
Mittpunktsnormalen till en sträcka är en rät linje som går genom sträckans mittpunkt vinkelrätt mot sträckan.
Sats 5. Mittpunktsnormalen till en sträcka är orten av punkter som ligger på samma avstånd från sträckans
ändpukter.
Sats 6. Tre mittpunktsnormalerna till sidorna av en triangel skär varandra i en punkt.
Definition. Bisektrisen till en vinkel är en stråle som delar vinkeln mitt itu.
Definition. Avståndet mellan en punkt och en figur är det minsta av avstånden mellan punkten och en punkt som
tillhör figuren.
Sats 7. Bisektrisen till en vinkel är orten för alla punkter som ligger på samma avstånd från vinkelnben.
Sats 8. Tre bisetriser till vinklarna i en triangel skär varandra i en punkt.
Definition. Bisektrisen till en vinkel är en stråle som delar vinkeln mitt itu.
Sats 9. Tre höjder i en triangel skär varandra i en punkt.
Sats 10*(Utan bevis). Tre medianer i en triangel skär varandra i en punkt. Skärningspunkten delar varje median i
förhållandet 2:1, den längre delen dragen mot ett hörn.
Definition. Den inskrivna cirkeln tangerar samtliga polygonens sidor. Den omskrivna cirkeln går genom samtliga
h;rn av en polygon.
Sats 11. Det finns exakt 1 omskriven kring en triangel cirkel. Dess medelpunkt ligger i skärningspunkten av
mittpunktsnormalerna till triangelns sidor.
Sats 12. Det finns exakt 1 inskriven i en triangel cirkel. Dess medelpunkt ligger i
skärningspunkten av triangelns bisektriser.
Definition. Sträckan AB – en korda AB. Del av cirkeln AUB – en båge AB. AOB –
medelpunktsvinkel som står på kordan AB eller på bågen AB. AMB – randvinkel som
står på kordan AB eller på bågen AB. Vinkelmått av AB =AOB. Den hela cirkeln har
vinkelmåttet 360.
Sats 13. AOB=2AMB (en randvinkel är hälften så stor som motsvarande
medelpunktsvinkel).
Sats 14. I en cirkel har bågar med lika långa kordor samma vinkelmått. Randvinklar som
står på samma båge är lika stora.
Definition. En fyrhörning kallas inskriven (eller cyklisk) om dess hörn ligger på en cirkel.
Sats 15. I en inskriven fyrhörning är summan av två motsatta vinklar =180.
Sats 16. Om i en fyrhörning är summan av två motsatta vinklar =180, så är fyrhörningen inskriven i någon cirkel.
Definition. En tangent till en cirkel är en rät linje som har endast en gemensam punkt med cirkeln.
Sats 17. Tangenten till en cirkel i en punkt M går vinkelrätt mot radie dragen till M.
Sats 18. Det finns exakt två tangenter till en cirkel från on godtycklig punkt M utanför cirkeln. Avstånden från M till
tangerongspunkterna är lika stora.
Definition. En fyrhörning kallas omskriven om dess sidor tangerar en cirkel.
Sats 19. I en omskriven fyrhörning är summorna av motsatta sidor lika stora.
Den 7 januari, Metapontum, åk2 http://sasja.shap.homedns.org/Metapontum/2006/ht2/