Lösningar Tal 1. Den homogena ekvationen y ′′ −2y′ +2y = 0

Lösningar
Tal 1. Den homogena ekvationen y ′′ − 2y ′ + 2y = 0 har lösningarna y1 = ex · cos(x)
samt y2 = ex · sin(x). Metodik enligt § 19 s.103-106 i läroboken ger lösning till den
inhomogena ekvationen
Med ansatsen y = u · ex erhålles partikulärlösningen yp = ex · up där
u′′p + up = x2 · sin(x)
(1)
För att lösa (1) ansättes
up = A(x) · sin(x) + B(x) · cos(x)
Derivering visar att (1) gäller om
(2)
(A′′ − 2B ′ ) · sin(x) + (2A′ + B ′′ ) · cos(x) = x2 · sin(x)
Här gäller (2) om
(3)
A′′ − 2B ′ = x2 & 2A′ + B ′′ = 0
Enkel uträkning visar att (3) är löst med A =
x2
4
och B =
−x3
6
+ x2 .
Tal 2. Division med x2 ger först
y ′′ −
4 ′
x
y +
y=0
x2
x+1
Med formel enligt läroboken s. 159 erhålles normalformen, dvs.
u′′ + q(x)u = 0
där
1 8
1 4
x
− ( )2 + · 3
x + 1 4 x2
2 x
R∞
Vi ser att Limx→∞ q(x) = 1 vilket först medför att 1 q(x)dx = +∞ och då
har lösningen oändligt många nollställen enligt lärobokens Theorem C i kapitel 4.
Sturms jämförelsesats och gränsvärdet ovan visar att Lim(an+1 − an = 2π.
q(x) =
Tal 3. Systemets 2 × 2-matris har rötterna −5 och −1. Uträkning ger att den
allmänna lösningen är
x = A · e−5t + 3B · e−t & y = −A · e−5t + B · e−t
Den lösning som uppfyller startvillkoren erhålles när A + 3B = 1 & −A + B = 1,
dvs. med A = −1/2 och B = 1/2.
Typeset by AMS-TEX
1
2
Tal 4. Förläng med 1 + x2 och ansätt y =
P
an xn som ger rekursionsformeln
(n + 2)(n + 1)an+2 + n(n − 1)an + 3 · an + an = 0 =⇒
(n + 2)(n + 1)an+2 + (n2 + 2n + 1)an = 0 =⇒
(1)
an+2 = −
n+1
· an
n+2
Startvillkoren ger a0 = 0 och a1 = 1. Det följer att an = 0 för alla jämna heltal.
Med (1) kan nu udda koefficienter a1 , a3 , a5 , a7 , a9 räknas ut.
Tal 5. Eulerekvationen ger y ′′ = y som har den allmänna lösningen y = Aex +
Be−x . Randvillkoren bestämmer Aoch B entydigt och vi får en unik stationär
lösning
ex − e−x
y=
e − e−1
Att den minimerar variationsintegralen inses t.ex. om vi jämför I(y)-värdet med
den medtävlande funktionen yn (x) = xn där I(yn ) → +∞ då n → ∞.
Tal 6. I deluppgift 1 erhålles en homogen ekvation då α = −2, dvs. med z = y −2
gäller:
−z ′ /2 + 2xz = 2x3
Lösning av dena linjära första ordningens ekvation ger
2
y −2 = Ce2x + x2 + 1/2
I deluppgift 2 erhålles integrerande faktor µ = y −4 . Lösningen blir efter räkning
x2 − y 2 = C · y 3
där C är en konstant.