Barns förståelse av tal

School of Mathematics and Systems Engineering
Reports from MSI - Rapporter från MSI
Barns förståelse av
tal
– Hur lärare arbetar med grundläggande taluppfattning
Författare
Jenny Hessne och Ulrika Zetterlund
Jun
2007
MSI
Växjö University
SE-351 95 VÄXJÖ
Report 07063
ISSN 1650-2647
ISRN VXU/MSI/MDI/E/--07063/--SE
Examensarbete 10 poäng
i Lärarutbildningen
Vårterminen 2007
ABSTRAKT
Jenny Hessne & Ulrika Zetterlund
Barns förståelse av tal
Hur lärare arbetar med grundläggande taluppfattning
Childrens understanding of numbers
How teachers work with basic understanding of numbers
Antal sidor: 37
Grundläggande taluppfattning är en viktig utgångspunkt i barns matematiska utveckling. Vi
ansåg därför att det var både intressant och relevant att ta reda på hur verksamma lärare arbetar
med barns grundläggande förståelse av tal.
Vårt syfte med undersökningen var att ta reda på hur lärare i åren F-3 arbetar med barns
grundläggande förståelse av tals betydelse och antal när det gäller talen 1 till 10, vilka material
och metoder de använder samt hur de följer upp att barnen har befäst kunskaperna. Genom
kvalitativa intervjuer med sex lärare kom vi fram till att undervisningen ser relativt likartad ut
för de olika lärarna. Förståelsen samt att utgå från barnens erfarenhetsvärld är det viktigaste.
Konkret undervisning prioriteras framför abstrakt tänkande, även om det abstrakta är ett mål på
längre sikt. Andra delar i undervisningen som poängteras är betydelsen av språket samt vikten
av att ge barnen verktyg för att de ska kunna förklara och förstå både sina egna och varandras
tankar.
Sökord: Taluppfattning, språk, förståelse, tal, antal, siffror
Postadress
Växjö universitet
351 95 Växjö
Gatuadress
Universitetsplatsen
Telefon
0470-70 80 00
1
Innehållsförteckning
1. Inledning ........................................................................................................................3
2. Syfte ................................................................................................................................4
2.1 Avgränsningar ......................................................................................................4
2.2 Frågeställningar....................................................................................................4
3. Teoretisk bakgrund.......................................................................................................5
3.1 Taluppfattning/talbegrepp ....................................................................................5
3.2 Förståelse av tal....................................................................................................8
3.3 Subitizing .............................................................................................................9
3.4 Språkets betydelse ................................................................................................10
3.5 Siffror - symboler .................................................................................................11
3.6 Arbetsmetoder för talen 1 till10 ...........................................................................12
3.7 Uppföljning och utvärdering ................................................................................15
4. Metod..............................................................................................................................16
4.1 Metodisk ansats ....................................................................................................16
4.2 Urval.....................................................................................................................17
4.2.1 Etiska principer .....................................................................................17
4.3 Genomförande ......................................................................................................17
5. Resultat...........................................................................................................................19
5.1 Presentation av intervjupersonerna ......................................................................19
5.2 Hur arbetar lärare med barns förståelse av talens betydelse och antal när det
gäller talen 1 till 10?.............................................................................................20
5.3 Hur och när introduceras siffrorna samt dess koppling till antal?........................ 24
5.4 Vilka material använder lärarna? .........................................................................25
5.5 Hur följer lärarna upp att eleverna befäster sina kunskaper? ...............................26
6. Analys .............................................................................................................................27
6.1 Förståelse av tal, antal och siffror ........................................................................27
6.2 Språk och kommunikation ...................................................................................28
6.3 Arbetsmetoder och material .................................................................................29
6.4 Uppföljning ..........................................................................................................30
7. Diskussion ......................................................................................................................32
7.1 Resultatdiskussion................................................................................................32
7.2 Metoddiskussion................................................................................................... 33
7.3 Slutdiskussion med slutsatser...............................................................................34
Referenslista.......................................................................................................................36
Bilagor
1. Frågeguide
2
1. Inledning
Vi har i det här arbetet valt att inrikta oss mot barns förståelse av tal - taluppfattning. Barns
inträde i matematikens värld är en process som inleds vid mycket tidig ålder.
Deras
matematiska kompetens har sina rötter i tidiga former av matematiska begrepp som
kontinuerligt byggs upp genom barnens samspel med omvärlden (Ahlberg, 1995). Att förstå
tal, siffersymbolen kopplad till ett bestämt antal, är inte självklart. Matematiken finns i vår
omgivning hela tiden. Grundläggande taluppfattning är något som barnen måste erfara, förstå
och bli förtrogna med för att kunna utveckla sin matematiska förmåga. Malmer (1992) ser
matematiken som ett byggklossämne där hon menar att klossarna bygger på varandra och en
av dessa grundläggande klossar är taluppfattningen.
I läroplanen för det obligatoriska skolväsendet (Lpo 94) kan vi läsa att kunskap inte är
något entydigt begrepp. ”Kunskap kommer till uttryck i olika former – såsom fakta,
förståelse, färdighet och förtrogenhet – som förutsätter och samspelar med varandra”
(Lärarnas Riksförbund, 2003, s. 15-16). Teorierna kring hur man på bästa sätt utvecklar dessa
former av kunskap när det gäller grundläggande taluppfattning är många och metoderna som
används ute i skolorna är kanske ändå fler. I teoridelen kommer vi att presentera olika
författares definition av begreppet taluppfattning samt vilka metoder de framhåller. Genom
att undersöka och jämföra vad litteraturen har att säga om taluppfattning i förhållande till hur
verksamma lärare arbetar inom ämnet hoppas vi att få ytterligare bredd och djup i vår
kunskap.
För att begränsa oss har vi valt att fokusera på följande delar inom begreppet: barns
förståelse av talens betydelse och antal när det gäller talen 1 till 10 samt hur man arbetar med
kopplingen till siffersymbolerna. Vi kommer även att titta på olika material samt hur
uppföljning sker. Vi vill med det här arbetet utöka vår kunskap och förståelse för hur man ute
i skolans verksamhet arbetar med att introducera tal hos barnen och hur man i det här
sammanhanget tar tillvara på deras erfarenheter. Ahlberg (1995) menar att, för att barn ska
förstå innebörden av tal och lära sig grundläggande aritmetiska färdigheter krävs att deras
erfarenheter integreras med kunskaper om tal och räkning.
Vi anser att detta ämne är relevant därför att den grundläggande taluppfattningen är en av
de viktigaste delarna av matematiken i skolåren F-3. Förståelsen hos varje enskilt barn har
betydelse för barnets framtida utveckling av den matematiska förmågan. Vi ser också att
detta arbete kan lära oss mycket inför vår framtida roll som lärare, i vårt bemötande av våra
framtida elever.
3
2. Syfte
Vårt syfte är att ta reda på hur verksamma lärare i de tidiga skolåren F-3 arbetar med barns
förståelse av tals betydelse och antal när det gäller talen 1 till 10 samt kopplingen till
siffersymbolerna. Vi är intresserade av vilka arbetsmetoder och material de använder. Vi vill
också veta hur de följer upp att barnen befäst sina kunskaper.
2.1 Avgränsning
Förståelse av tals betydelse och antal ingår i den grundläggande taluppfattningen.
Taluppfattning är dock ett stort och inte helt entydigt begrepp, ibland benämns det också som
talbegrepp. Olika författare beskriver innehållet i taluppfattning/talbegrepp på olika sätt och
för att avgränsa vårt arbete har vi valt att arbeta med det som vi anser är grundläggande inom
taluppfattning. Det vi avser med tals betydelse är att tal kan ha flera betydelser, till exempel
ordningstal och antal.
2.2 Frågeställningar
För att uppnå vårt syfte har vi utgått från följande frågeställningar:

Hur arbetar lärare med barns förståelse av talens betydelse och antal när det gäller
talen 1 till 10?

Hur och när introduceras siffrorna samt dess koppling till antal?

Vilka material använder lärarna?

Hur följer lärarna upp att eleverna befäster sina kunskaper?
4
3. Teoretisk bakgrund
3.1 Taluppfattning/talbegrepp
Att förstå talens betydelse är ingen enkel process. Barn går tillväga på en mängd olika sätt när
de bekantar sig med tal. Taluppfattning avser enligt Magne (2002, s. 10): ”klassificering,
ordning,
serier,
sifferkännedom,
parbildning,
sifferskrivning,
grundtal,
antal,
talmönster
ordningstal,
samt
pekräkning,
tiosystemet”.
Magne
talramsan,
menar
att
taluppfattningen startar, långt innan vi blir medvetna om talen, genom mönster,
klassificering, parbildning ordning och serier. Vidare anser han att taluppfattningen måste
förankras i verkligheten, genom praktiska erfarenheter. Tal är abstrakta och talkunskapen hos
barn ökar allteftersom de får tillfälle att prata om dessa tal.
Att stifta bekantskap med mönster är en viktig grundform av matematiskt tänkande,
speciellt i kunskapen om tal. Mönster inkluderar bland annat motoriska rörelser och visuella
strukturer. Det finns en mängd material som kan utnyttjas vid mönsteraktiviteter men det är
viktigt att läraren anpassar materialen till barnens händighet, varseblivningsförmåga och
tankeverksamhet. Parbildning är ett arbetssätt att undersöka om det är lika eller olika antal i
två mängder. Yngre barn har ofta svårt för detta arbetssätt om inte parbildningen läggs i två
rader som är exakt parallella. Att ordna serie är ett sätt för barn att få kunskap att uppfatta
lika, större än och mindre än genom att ordna föremål i asymmetriska serier. Det innebär att
ordna upp en mängd föremål efter längd, massa eller volym (Magne, 2002).
Talbegreppet förutsätter stor matematisk kunskap. Grundtalen har en motsvarighet inom
ordningstalen. Ordningstalen är räkneord, det vill säga adjektiv, men då barnen använder sig
av uttryck som ”Du är försten, andren, tredjen”, blir de istället till substantiv. Pekräkning är
då barnen fastställer antalet i en mängd genom att bestämma vilket tal i talramsan som passar
till den sist pekade beståndsdelen. Pekräkningen har samband med talramsan, men varken det
ena eller det andra förutsätter att barnen förstår talens betydelse. Magne (2002) beskriver
talramsan som en räcka av ord som har cykliskt innehåll. Den första cykeln innehåller orden
ett till och med tio och är oftast den som tar längst tid att lära in. Följande cykel består av
orden elva till och med tjugo. Här finns en systematik, elva svarar mot första cykelns ett, tolv
mot två och så vidare, vilket skapar en struktur för barnen.
Malmer (1990) menar att barns arbete med att bygga upp talbegreppet är en omfattande
process som sträcker sig hela skoltiden igenom. Hon beskriver talbegreppet i flera steg.
Nedan följer en sammanfattning av hennes systematiska uppställning utifrån de olika
funktioner talen har.
5
1. Räkneramsan
Uppräkning 1, 2, 3, 4, 5 …
Nedräkning … 5, 4, 3, 2, 1
Inlärningen av räkneramsan kan liknas vid inlärning av vilken ramsa som helst. Den
saknar numeriskt innehåll.
2. Räkneorden i räkneramsan
Kopplingen mellan räkneord och föremål, pekräkning. (Min hand har fem fingrar)
3. Räkneord som antal (kardinaltal)
Besvarar frågan: Hur många? Förståelse för att det sist sagda räkneordet anger antalet.
(Jag har plockat fem blommor.)
4. Räkneord som mätetal
Besvarar frågan: Hur många enheter? Till exempel år, liter och kilo. (Karin är fem år)
Har stor betydelse för att uppfatta relationer och göra kvantitativa bedömningar.
5. Räkneord som ordningstal
Besvarar frågan: Vilken i ordningen? Exempelvis första, andra tredje och så vidare.
(Jag har läst sidan fem, femte sidan.)
6. Räkneord som identifikation eller beteckning
Inget numeriskt innehåll i räkneorden. (Nummer fem gjorde mål.)
Enligt Ahlberg (Nämnaren, 2000) är barns utveckling av grundläggande talbegrepp inte
endast en fråga om kvantifiering av föremål och inte heller att räkna på talraden eller att
utveckla det logiska tänkandet. Det rör sig istället om att utforska olika aspekter och kvalitéer
hos tal, att uppleva tal med alla sinnen. De kan få möjlighet att uppleva tal genom olika
uttrycksmedel, exempelvis att rita bilder, hantera föremål och samtala om tal. Barn kan i
olika uppgifter få rita bilder med sina egna förslag och sedan berätta för varandra hur de har
tänkt. Läraren ges på det här sättet möjlighet att få veta hur barnen resonerat och deras
uppfattning av uppgiften.
I en intervjustudie med sexåringar framkom att barnens sinnliga erfarenheter har
avgörande betydelse för att de ska utveckla förståelse för talens innebörd (Nämnaren, 2000). I
undersökningen där barnen löser olika typer av problem visar resultaten att barnen förstår och
hanterar talens innebörd på en mängd olika sätt. Trots frånvaro av manipulativt material visar
det sig att de ser, hör och känner talen. De använder fem olika förfaringssätt, vilka kan
sammanfattas enligt följande:
6

Säga räkneord – Barn som använder sig av den här metoden är medvetna om att ett
tal refererar till ett antal eller mängd men de vet däremot inte exakt vilken och de
upplever tal som ”Räkneord”.

Uppskatta – Barn som inte använder sig av någon procedur för att komma fram till
ett svar uppskattar istället ett rimligt svar. De har en uppfattning av talens delhelhetsrelation, de har en oklar uppfattning om talens mängd och uppfattar tal som
”Omfång”.

Räkna – Räkna på två talrader, barnen vet att de ska sluta räkna då de kommer fram
till det sista talet på den ena talraden. Räkna och höra, barnen uppfattar de tal de sagt
utan att använda någon procedur för att hålla ordning på talen. Räkna och se, barnen
använder sig av saker i omgivningen för att hålla ordning på talen. Räkna och känna,
barnen tar eller känner på saker för att få en upplevelse av talen. Räkna och använda
fingrarna, det vanligaste tillvägagångssättet bland sexåringar, fingrarna kan användas
på en mängd olika sätt.

Strukturera – Barn som strukturerar är medvetna om att tal refererar till en bestämd
mängd. Tal uppfattas även som ”positioner i talsekvensen”. När de gruppera talen
genom att se, känna eller höra uppfattar de också talens del-helhetsrelation och
upplever tal som ”sammansatta enheter”.

Använda talfakta – Barnen ser tal som ”Sammansatta enheter”. De behöver ingen
procedur för att utföra en beräkning, de vet svaret.
De erfar följaktligen talens innebörd på fyra olika sätt:

Räkneord

Omfång

Position i talsekvenser

Sammansatta enheter
(Nämnaren, 2000)
I sin rapport Lusten att lära – med fokus på matematik (2003) menar Skolverket att det
pedagogiska arbetet i förskolan stärkts i samband med att de fick en egen läroplan, Lpfö 98.
Lärarna i förskolan försöker att ta tillvara på de spontana situationer som uppstår i
verksamheten och aktiviteter med matematisk anknytning. De försöker möta barnens intresse
för siffror och antal i samband med den dagliga verksamheten. Om matematiken lyfts fram
7
som ett naturligt inslag i verksamheten får barnen lära sig att matematik är en del av vardagen
och inte bara ett ämne där de arbetar i en mattebok.
Lärare med ett medvetet förhållningssätt till barnens lärande av matematik tar upp
matematisk begreppsbildning i verksamheten genom att man till exempel räknar,
klassificerar, benämner och mäter. Genom att barn får erfara begrepp, i återkommande
situationer, på det här sättet utvecklar de sin matematiska förståelse. I, för barnen,
meningsfulla sammanhang uppstår nya utmaningar som i sin tur leder till att de får tilltro till
sitt eget tänkande. Under de tidigaste skolåren hålls barnens glädje och lust att lära mycket
levande genom varierande metoder och läromedel med konkret och omväxlande innehåll
(Skolverket, 2003). De får möjlighet att aktivera alla sinnen precis som förespråkas i övrig
litteratur vi tagit del av.
3.2 Förståelse av tal
Redan när ett barn föds har det en förmåga att uppleva och få kunskap om sig själv och sin
omvärld. Barnet ingår i en dialog med omgivningen och genom kommunikation skapar
barnet förståelse för olika fenomen i omvärlden. Doverborg och Pramling Samuelsson
(Nämnaren, 2000) menar att barn redan i tvåårsålder, innan de kan räkna, har förmågan att
skilja mellan grupper av två eller tre föremål. När det gäller fler än tre kallar barnen det oftast
för många. Ytterligare något år senare börjar barnen visa antal genom att hålla upp fingrarna.
De visar till exempel hur gamla de är eller hur många saker de har.
Enligt Magne (2002) påbörjar barn sina erfarenheter av taluppfattning redan under sina
första levnadsår. De kan urskilja stort och smått och i viss mån skilja mellan antal i mängder
av föremål. Därefter klassificerar de föremål genom att ordna dem i olika grupper. Att
klassificera innebär att barnen jämför och observerar föremål och grupper av föremål eller
händelser och urskiljer likheter och olikheter, efter vilka de kan klassificera. De kan lägga
ihop saker i grupper efter tillhörighet. Att klassificera kan också betyda att barnen undersöker
hur de kan skilja mellan olika objekt eller hur de hör ihop. Magne (1998) liknar
taluppfattning vid ett pussel där bit för bit fogas samman.
Att uppfatta små antal och kunna urskilja dem i olika mönster är dock inte samma sak
som att ha ett utvecklat ett universellt antalsbegrepp. Doverborg och Pramling Samuelsson
(Nämnaren, 2000) hänvisar i sin text till Gelman & Gallistel (1978) som menar att, för att
kunna säga att ett barn har en antalsuppfattning måste deras förståelse omfatta fem principer
summerade enligt följande:
8
1. Principen om ett till ett korrespondens, jämförelse av antalet föremål i två mängder
genom att para samman dem två och två.
2. Principen om den stabila ordningen, konsekvent användning av en och samma
sekvens av räkneord vid uppräkning.
3. Kardinaltalprincipen, när barn förstår att det sista uppräknade räkneordet anger antalet
föremål i den uppräknade mängden.
4. Abstraktionsprincipen, alla föremål i en väl avgränsad mängd kan räknas oavsett sort
av föremål.
5. Principen om godtycklig ordning, räkning av en mängd föremål kan påbörjas var man
vill men inget föremål får räknas mer än en gång.
3.3 Subitizing
I litteraturen beskrivs på många sätt förmågan att se antal utan att räkna en viss mängd. Detta
kallar man subitizing. Ahlberg (Nämnaren, 2000) menar att barn har förmågan att fastställa
antal redan innan de kan räkna. Barn uppfattar små grupperade mängder. Detta omedelbara
uppfattande av tal sker genom att höra, känna och se. I vardagen använder vi denna förmåga
till exempel när vi uppfattar antalet prickar på en tärning eller när vi grupperar streck eller
andra föremål på olika sätt.
Neuman (1989) menar att det är viktigt för barn att kunna se tal direkt utan att behöva
räkna efter och då inte bara de tal som delar upp talet tio utan även de tal-kamrater som delar
upp alla bastalen i vårt decimalsystem. Hennes erfarenhet är att om barnen kunde lära sig
dessa del-del-helhetsrelationer inom alla de första positiva heltalen skulle det underlätta för
den vidare förståelsen av de fyra räknesätten. Neuman delar upp talen i 25 möjliga par-delar.
1|1|2
2|1|3
3|1|4
4|1|5
5|1|6
2|2|4
3|2|5
4|2|6
3|3|6
6|1|7
7|1|8
8|1|9
9|1|10
5|2|7
6|2|8
7|2|9
8|2|10
4|2|7
5|3|8
6|3|9
7|3|10
4|4|8
5|4|9
6|4|10
5|5|10
(Neuman, 1989, s. 52)
9
De här kombinationerna av tal kan presenteras på en mängd olika sätt eftersom talen följer en
viss struktur när det delas i två delar. Barnen får en möjlighet att tänka både bakåt och framåt.
Neuman menar att barn som omedelbart för sin inre blick kan se vilken som helst av
kombinationerna
av
talet
har
förutsättningar
för
att
kunna
se
även
del-del-
helhetskombinationer även inom större tal.
3.4 Språkets betydelse
I kursplanerna för matematik (Skolverket, 2007) står det att: ”Skolan skall i sin undervisning
i matematik sträva efter att eleven utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska
resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och
argumentera för sitt tänkande”. Det står även att vi ska sträva efter att våra elever inser värdet
av att kunna använda matematikens språk, symboler och uttrycksformer. I strävan mot
kursplanens mål är språket och kommunikationen avgörande för att eleven ska utveckla
matematisk förmåga.
Malmer (1990) skriver att det är av stor vikt att tala matematik. Samtalen ska föras mellan
lärare och elev men också elever emellan. Språket kan ses som ett viktigt medel för att bygga
upp och utveckla matematiska begrepp. Genom att formulera tankarna och egna frågor blir
det lättare att se svaret. Språket har därmed också stor betydelse för att barnen ska lära sig.
Hon menar också att dialogen mellan lärare och elev har ett diagnostiskt värde. Hur barn
uttrycker sig och vilka ord barnet väljer att använda avslöjar en hel del om förståelsen för det
aktuella matematiska problemet. Malmer påpekar också att man som lärare ska tänka på hur
man bemöter ”felaktiga” svar och använda dessa svar i positiv riktning för att utöka
diskussionen och försöka förstå bakgrunden till svaret. Barn svarar inte fel, de svara på en
annan fråga än den vi ställde och genom att agera positivt får barnen en större tilltro till sitt
eget tänkande.
Även Olsson (Nämnaren, 2000) menar att bemötandet är viktigt. Barn som får höra att de
tänker fel blir osäkra och slutar till slut att tänka själva. Istället ställer de frågor om hur de ska
göra. Hon anser precis som Malmer att barn alltid har rätt. Deras svar och tankar är riktiga
utifrån deras egna begrepp och det gäller att vi förstår deras tankar.
För att barn ska få prata matematik och få chans att reflektera över sitt tänkande är det
viktigt att de får möjlighet att arbeta tillsammans. Sterner (Nämnaren, 2000) hänvisar till
Vygotskijs tankar om språkets betydelse för all inlärning. Språket leder barnets utveckling
framåt. Språket och tanken utvecklas i en ständig dialektik och en av hans teser är att det är
interaktionen, det sociala samspelet som är avgörande för att skapa nya tankestrukturer och
10
utveckla begrepp. Sterner menar vidare att språket och förståelsen för ordets innebörd är
nödvändigt för att barnen ska utveckla ett abstrakt tänkande. Det abstrakta tänkandet i sin tur
innebär förmågan att överföra tankar till rörelse, bild, talat eller skrivet språk. Att språkligt
beskriva och kommunicera kring sina upptäckter och erfarenheter är viktigt för att så
småningom kunna beskriva tankarna symboliskt.
För oss som lärare är det viktigt att tala med barnen och lära oss lyssna till dem. På så sätt
får vi reda på vad barnen kan och i vilket sammanhang som de har utvecklat sin kunskap.
Johnsen Høines (2002) skriver att det är betydelsefullt att barnen i första hand får
kommunicera på sitt eget språk och att de nya begrepp som vi vill att barnen ska lära sig bör
ha anknytning och associationer till det som de redan känner till. Barnens verklighet ska hela
tiden vara utgångspunkten för att de inte ska bygga upp två begreppsvärldar, en för skolan
och en för fritiden. Räkneorden är tidigt en naturlig del av barnens språk och de använder
dem innan de byggt upp förståelsen för vissa talbegrepp. Därför är det viktigt att inte luras att
tro att barnen har större förståelse för talen än vad de verkligen har. Men genom att samtala
med barnen får vi en bra utgångspunkt för vår uppgift att göra dem mer medvetna om vad
orden innebär.
Genom att arbeta med språket som utgångspunkt för matematiken kan man, enligt flera
författare, nå många fördelar, se till exempel Ahlberg (Nämnaren, 2000), Johnsen Høines
(2002), Malmer (1990), Olsson (Nämnaren, 2000), Skolverket (2003). I det sociala samspelet
i klassrummet finns utrymme för ett varierat arbetssätt och nya arbetsformer. Därmed får
barnen möjlighet att tillägna sig matematiken på flera sätt och genom olika metoder. Det blir
möjligt att möta barns olikheter i ett klassrum där barnen respekterar och tar varandras tankar
på allvar. Genom kommunikation och öppenhet blir det lättare att se det meningsfulla i
matematiken och undervisningen blir mer lustfylld och engagerande för alla.
3.5 Siffror - symboler
De siffror som vi använder är endast ett av flera sätt att använda symboler för att ange antal.
Vårt talsystem har utvecklats under lång tid och föregåtts av ett flertal andra sätt att ange
antal. Johnsen Høines (2002) förklarar talbegreppet och talsystemets historiska utveckling
genom att jämföra det med små barns sätt att ange antal. Hon menar att på samma sätt som
små barn anger antal med fingrarna kan man anta att man började räkna redan i förhistorisk
tid. Det finns arkeologiska fynd där man har ristat skåror på vargben och skårorna är
grupperade i grupper om fem. Detta tror man till exempel har gjorts för att räkna ett antal
djurhudar. Redan här finns den matematiska idén om ett till ett principen, det vill säga en
11
skåra representerar en del i mängden. Att skårorna delats i grupper är ett första tecken på en
utveckling av ett talsystem som bygger på grundtalet fem. Grundtalet fem har också att göra
med handens fingrar som ett kroppsligt uttryck för antal. Enlig Johnsen Høines (2002, s. 13)
har även Vygotskij sagt att de första skrifttecknen kan ha varit ”partiella avbildningar av ett
kroppsspråk”. Johnsen Høines (2002) skriver vidare att den historiska förklaringen till att vi
fick ett siffersystem var att vi var i behov av att få en översikt av större mängder och en
möjlighet att kunna skriva detta.
Begreppen siffra och tal blandas ofta samman och används i många sammanhang
synonymt med varandra. Enligt Malmer (1990) är det naturligt att barn uppfattar siffra och tal
som samma sak. De förväxlas även av oss vuxna och hon pekar på exempel i massmedia där
man talar om ”publiksiffran” och ”dödsiffran” då egentligen ordet tal är det korrekta. Hon
menar att det är ett språkbruk vi förmodligen tvingas vänja oss vid, men vi får inte låta det ge
upphov till missförstånd. Ofta förstår barn inte vad de olika symbolerna representerar utan
siffrorna är bara krumelurer utan innehåll. Det är viktigt att barnen lär sig hantera begreppen
siffra och tal för att kunna gå vidare i sin matematiska utveckling.
3.6 Arbetsmetoder för talen 1 till 10
Matematik finns överallt och det är av stor betydelse att vi utnyttjar vardagliga situationer
och därigenom hjälper barn att utveckla en grundläggande förståelse för matematiska
begrepp.
På ett sätt, som verkar helt spontant för dem, använder barn gärna fingrarna när de börjar
förstå tal och räkning. Utifrån den insikten har Neuman (1989) utformat en metod för att
räkna med fingertal. Neumans metod går ut på att fingrarna ersätter räkneorden, vilket
betyder att barnen inte behöver räkna fingrarna utan kan avläsa antalet i talet direkt. De tio
första heltalen 1 till 10 är representerade av en fingergrupp som sträcker sig till och med det
finger som har talets namn. Fingertal blir helt enkelt talsymboler och barnen ser och uppfattar
talen i stället för att räkna.
Neuman (1989) menar att barnen hittar fingertalens struktur med det odelade femtalet.
Det odelade femtalet är alltså den första handen som liknas vid den romerska siffran V som
också är odelbar, eller möjligtvis utbytbar mot fem ettor. Efter ett tag behöver barnen inte
längre räkna, de bara ser på sina fingertal och löser uppgifter direkt. Målet är enligt Neuman
att fingertalen så småningom ska bli ett tankeverktyg och att barnen kan se den struktur och
de uppdelningsmöjligheter som talen 1 till 10 har. (Se Neumans uppdelning av tal sidan 9.)
12
För att låta barnen upptäcka matematiken på egen hand i undervisningen beskriver också
Neuman (1989) arbetet med ”Landet Längesen”, där inga siffror, räkneord, måttband, linjaler,
vågar, mått eller pengar finns. Genom att utgå från helheten, omfånget, fick barnen i en
analytisk process och genom lek lösa problem tillsammans och därmed också skapa
matematik med egna symboler och tecken.
Magne (2002) uppmärksammar att det i förskolan ges tillfällen till stimulans när barnen
själva börjar fråga och fundera kring former och tal. Han menar vidare att det är barnen som
ska stå i centrum och att det är en självklarhet att utgå från deras individuella behov. Vuxnas
bemötande gentemot barns intressen har stor betydelse. Nedan följer exempel på bra
bemötande.
Vi kan alla ge barn ökad lust att söka vidare genom:

Att resonera med barnen om vardagsproblem så att de lär sig språkets logik.

Att erbjuda barnen material som gör att de jämför former och sedan ordnar
och sorterar saker.

Att barnen upptäcker och formar mönster, först fysiska mönster, sedan
geometriska mönster och talmönster.

Att inspirera barn så att de bygger, formar och ritar.

Att resonera om likheter och olikheter.

Att låta barnen jämföra antal, räkna saker och säga talramsan.

Att stimulera barnen att fundera på avstånd, tyngd, volym och tid.
(Magne, 2002, s. 15)
Enligt Magne (2002) tillägnar sig barnen matematisk kunskap genom ett aktivt lärande.
Den konkreta erfarenhet lärarna presenterar i vardagsnära problem gör att barnen känner sig
bekanta med resonemang om tal och former. Ahlberg (1995) poängterar precis som Magne
att arbetets utgångspunkt bör vara barnens erfarenhetsvärld, vilket betyder att barnens egna
upplevelser och erfarenheter skapar innehållet i undervisningen. Ahlberg (Nämnaren, 2000)
menar också att det är väsentligt att barn får möta tal i många olika sammanhang eftersom de
har en mängd olika strategier för att utveckla en förståelse för talens innebörd. Genom att
utnyttja de sinneliga erfarenheterna och se, höra samt känna talen kan barn simultant uppleva
olika aspekter av tal och uppfatta dem i dess olika bemärkelser - ”sammansatta enheter” och
”positioner i talsekvensen” - och därigenom utveckla sin förståelse för talens delhelhetsrelation.
13
Inledningsvis sker uppbyggnaden av talbegreppet genom bland annat laborativa övningar och
jämförelse av antal. Malmer (1990) menar att det måste finnas en tydlig målsättning med det
material och de arbetsuppgifter barnen får. Hon anser vidare att symbolerna införs onödigt
tidigt i många fall. Hon förespråkar ett laborativt och undersökande arbetssätt som lättare kan
anpassas efter barnens varierande förutsättningar. Hon delar Ahlbergs uppfattning om att
barns möjligheter att bilda hållfasta begrepp är större ju fler sinnen de får utnyttja. Det är upp
till oss lärare att försöka invänta och möta eleverna. Malmer poängterar också vikten av att vi
etablerar en kommunikation i undervisningen som gör att barnet förstår och uppfattar de ord
vi använder. Det är lätt att man talar om för eleverna hur de ska göra istället för att låta dem
undersöka på egen hand. Barn som under sina första skolår uppmuntras att pröva sig fram,
och därigenom även får ett bättre självförtroende, disponerar i allmänhet över en avsevärt
större repertoar av lösningsstrategier (Malmer, 1990).
Malmer (1990) tar även upp olika faktorer som har betydelse för barns inlärning,
möjligheter och hinder. Barn kan tydligt uppleva att läraren inte verkar nöjd med hur de är
eller vad de gör. En del barn kan även påverkas av en besvikelse över att skolan inte lever
upp till hans eller hennes förväntningar. Det kan i extrema fall skilja 4-5 skolår när det gäller
mognadsnivån i en klass. Här är det stor risk att det uppstår svårigheter speciellt om lärarens
ambition är att introducera undervisningsmaterial i samma takt för alla elever. God kunskap
om barns inlärningsmetoder och goda ämneskunskaper är två viktiga faktorer som en lärare
bör ha.
Ett par av de punkter som enligt Skolverkets granskningsresultat kan höja
undervisningens kvalitet och som känns relevanta i det här sammanhanget är att den i högre
grad karaktäriseras av:

Gemensamma samtal som utvecklar begreppsförståelse, matematiskt tänkande och olika
val av strategier för att lösa matematiska problem. Reflektion och samtal kring olika sätt
att tänka kring och lösa matematiska problem, i syfte att stärka elevens självtillit,
självvärdering och kompetensupplevelse.

Ett relevant och begripligt innehåll. Större utrymme för fantasi, kreativitet och nyfikenhet.
Uppgifter som utmanar, både läroboksbaserade och hämtade från autentiska situationer.
Fler inslag av praktiska tillämpningar och konkreta upplevelser av den abstrakta
matematiken. Fler representationsformer än text som appellerar till fler sinnen och som
skapar olika möjligheter till lärande, förståelse och upplevelser av att lyckas och som utgår
från elevers olika behov.
(Skolverket, 2003, s. 55-56)
14
3.7 Uppföljning - utvärdering
Enligt Pramling Samuelsson och Sheridan (2006) tjänar utvärdering ingenting till om vi inte
tar barnens perspektiv. Vi måste tolka och försöka förstå hur barnen tänker. De menar att
enda sättet att göra detta på är att observera och samtala med barnen och därigenom få dem
att uttrycka sig i handling och tanke. Det är först då vi kan se vad ett barn har förstått av
innehållet inom ett berört område. Uppföljning, utvärdering och dokumentation är till för att
hjälpa lärare att möta barn i deras lärande.
Matematik är ett ämne där man i stor utsträckning mäter resultat, man fokuserar ofta på
rätt eller fel. Malmer (1990) menar att det inte är själva svaret som är det viktigaste utan den
processen som lett fram till svaret. Om läraren använder sig av en bedömningsmodell där
fokus läggs på resultatet kan det leda till att barnens logiska tänkande och kreativitet hämmas
och att de istället för att försöka förstå matematik kopierar och memorerar fakta.
Utvärdering och återkoppling bör också innebära att barn får tillfälle att visa vad de lärt
sig och även dela med sig av den kunskapen för en gemensam kunskapsuppbyggnad, till
klasskamrater och läraren. Detta är något som enligt Skolverket borde ha avsevärt mer
medvetet utrymme i verksamheten, speciellt i matematik (Skolverket, 2000).
PRIM-gruppen (Skolverket, 2000) har utvecklat ett analysschema inom ämnet matematik.
Analysschemat finns i två varianter, vi har här valt att fokuserar på det som är utarbetat för
åren före skolår 6 och som behandlar matematisk begreppsbildning. Här återfinner vi ett
material vars syfte är att stödja lärare med att analysera barns matematiska kunnande. Det är
inte avsett att fungera som ett utvecklingsschema som följer en förväntad inlärningsordning
utan syftet är att kunna se vilka kunskaper barnet har och hur de visar sina kunskaper. Man
menar att analysen bör inriktas mot moment som till exempel, om barnets förmåga är
situationsbunden eller om det visar sin kunskap i olika situationer samt om det är förtroget
med ett visst begrepp på olika sätt i olika sammanhang. Inom begreppet taluppfattning
används bland annat utgångspunkter som till exempel uppfattning om antal, räkneord som
ordningstal samt uppdelning av tal.
15
4. Metod
4.1 Metodisk ansats
Vi har valt att göra intervjuer för att vi vill ta reda på hur den intervjuade tänker och känner.
Det finns olika sätt att göra intervjuer. Det kan vara korta eller långa intervjuer, det kan vara
parintervjuer eller gruppintervjuer. Intervjuerna kan också ske via telefon eller genom ett
möte. Vi har valt att träffa våra intervjupersoner personligen och en och en eftersom samtalet
och mötet mellan oss och intervjupersonen skapar goda förutsättningar för att förståelsen ska
bli god (Kylén, 2004).
Våra intervjuer är kvalitativa. När det gäller kvalitativa intervjuer riktar vi vårt intresse
mot den intervjuades ställningstaganden. Genom att låta intervjun röra sig i olika riktningar
får vi kunskap om vad intervjupersonen upplever vara relevant och viktigt. I kvalitativa
intervjuer kan vi i relativt stor utsträckning avvika från intervjuguiden vi har formulerat. Vi
har då möjlighet att ställa följdfrågor till de svar vi får av våra informanter. Kvalitativa
intervjuer är på det här sättet flexibla och vi kan forma intervjuerna efter viktiga frågor som
kommer upp under intervjun. Syftet med kvalitativa intervjuer är att få fylliga och detaljerade
förslag och en person kan intervjuas flera gånger vilket vi upplever som en fördel om det
dyker upp ytterligare frågor under arbetets gång (Bryman, 2002).
Vi har lagt upp våra intervjuer på ett semistrukturerat sätt där vi använder oss av en
frågeguide med specifika teman som ska behandlas. I semistrukturerade intervjuer behöver
inte frågorna komma i samma följd och det finns utrymme för följdfrågor som anknyter till
temana i guiden. Fördelen med semistrukturerade intervjuer är att intervjuperson har
möjlighet att formulera sina svar på sitt eget sätt (Bryman, 2002).
När vi gör intervjuerna är vi medvetna om att situationen påverkar svaren. Relationen
mellan oss och intervjupersonen påverkar men också faktorer som ålder och kön samt hur
situationen byggs upp (Kylen, 2004).
Vår avsikt är att spela in intervjuerna på band för att sedan skriva ut dem. Genom att
spela in intervjuerna undviker vi att förlora intervjupersonernas egna formuleringar.
Inspelningen ökar också möjligheterna att göra en detaljerad analys (Bryman, 2002).
I vår undersökning anser vi att validiteten, som avser värde och relevans, är god. Vi
undersöker det som vi avser att undersöka och vi anser att tillsammans med litteraturen har vi
goda möjligheter att få en trovärdig bild av det som vi avser undersöka. Reliabiliteten, som
anger tillförlitligheten och säkerheten i svaren, anser vi vara något lägre eftersom vi ska
använda oss av semistrukturerade intervjuer med utrymme för intervjupersonerna att ge
16
subjektiva svar. Dock ska vi använda samma frågeguide vid alla tillfällen och planerar att
utföra alla intervjuer på liknande sätt. Vi tror att svaren och därmed även resultatet skulle bli
de samma om vi gjorde om intervjuerna vid ett senare tillfälle.
4.2 Urval
Vi har valt att intervjua sex verksamma lärare, tre lärare var. Två av lärarna arbetar på samma
skola medan övriga arbetar på olika skolor och under olika förutsättningar. Gemensamt är att
alla arbetar inom åldersgruppen F-3. Urvalet är inte slumpmässigt utan har skett genom de
kontakter som vi fått under vår verksamhetsförlagda utbildning samt genom kontakter vi
etablerat då vi vikarierat ute i verksamheterna. Eftersom urvalet är subjektivt har vi inte
någon avsikt att dra några generaliserande slutsatser. Det resultat som vi får fram gäller för de
här intervjupersonerna vid det här tillfället. Lärarna som vi intervjuar har olika utbildning, de
flesta har dock den äldre utbildningen. Några av pedagogerna har lång erfarenhet av
undervisning och någon har undervisat i cirka 10 år. Vi kommer att presentera våra
intervjupersoner närmare i resultatavsnittet.
4.2.1 Etiska principer
Frivillighet, integritet, konfidentialitet och anonymitet är grundläggande etiska frågor för
personer som är inblandade i forskning och undersökningar. Vi har inför våra intervjuer tagit
del av det Bryman (2002) tar upp om etiska principer. Informationskravet innebär att vi ska
informera berörda personer om undersökningens syfte, att deltagandet är frivilligt samt att de
har rätt att avbryta detta deltagande om de så önskar.
De har även rätt att ta del av
undersökningens olika moment. Samtyckeskravet betyder att deltagarna själva har rätt att
bestämma över sin medverkan. Konfidentialitetskravet innebär att personer som utgör en del i
undersökningen ska behandlas med största möjliga konfidentialitet. Nyttjandekravet betyder
att den information som samlas in om enskilda personer endast får användas inom
forskningsändamålet.
4.3 Genomförande och bearbetning
Inför vår undersökning utformade vi en gemensam frågeguide. Vid utformningen av den
använde vi oss av Brymans (2002) grundläggande råd. Han menar bland annat att man bör
skapa ett visst mått av ordning i de aktuella temana så att frågorna följer varandra på ett
logiskt sätt. Man bör också formulera sina frågor med syftet att få svar på undersökningens
frågeställningar. Att inte ställa ledande frågor och använda ett begripligt språk är andra råd
17
Bryman anger. Han poängterar också vikten av att fråga om bakgrundsfakta för att kunna
sätta in personens svar i ett sammanhang.
Inför intervjuerna tog vi kontakt med personerna som vi var intresserade av att intervjua.
Vi informerade om vårt syfte med undersökningen samt om vilka frågeställningar vi var
intresserade av att få svar på. Vi talade också om att intervjuerna skulle spelas in på band,
men att materialet skulle hanteras konfidentiellt och att de som intervjupersoner skulle vara
anonyma.
Intervjuerna ägde rum på platser som intervjupersonerna valt ut. Samtliga intervjuer
genomfördes på intervjupersonernas respektive skola. Vi såg till att det var platser där vi
kunde sitta i lugn och ro utan att bli störda. Vi hade ingen tidspress utan hade i samråd med
intervjupersonerna beslutat att intervjuerna fick ta den tid som krävdes. Vår strävan var att
intervjusituationen skulle vara så naturlig och trivsam som möjligt.
För att vi båda skulle kunna ta del av varandras intervjuer skrev vi ut dem noggrant. Vid
bearbetningen tittade vi på likheter och skillnader i svaren och försökte hitta ledord och
synpunkter som var gemensamma för flera intervjupersoner. I resultatredovisningen följde vi
de frågeställningar som vi utgick ifrån för att kunna uppnå vårt syfte. Vi har valt att redovisa
vissa citat, som vi tycker är relevanta, från intervjupersonerna. I analysen har vi jämfört våra
intervjupersoners tankar och svar med vad litteraturen och författarna säger. I både
resultatredovisningen
och
analysen
benämner
vi
våra
informanter
ibland
som
intervjupersoner och ibland som lärare.
18
5. Resultat
Vi inleder resultatavsnittet med en presentation av våra intervjupersoner. Därefter redovisar
vi de delar av intervjuerna som vi anser relevanta i förhållande till vårt syfte och våra
frågeställningar.
5.1 Presentation av intervjupersonerna
Lärare A är en kvinna som har arbetat som lärare i 32 år. Hon tog examen 1975. I huvudsak
har hon arbetat i åldrarna F-3. Hon är utbildad till klasslärare för lågstadiet och hade in sin
utbildning tillvalsämnena svenska och bild. Efter examen har hon gått kompletterande
fortbildningar inom matematik och naturkunskap, 10 poäng och ytterligare 5 poäng i
matematik samt 5 poäng specialpedagogik. Hon är intresserad av språk och kommunikation
och ser matematiken som ett kommunikationsämne där man genom språket får en möjlighet
att förklara och förstå världen. I dag arbetar hon som klasslärare i en liten skola på
landsbygden och klassen som hon har är åldersblandad med elever ur år F-3.
Lärare B är en kvinna som har arbetat som lärare i 20 år. Hon tog examen 1987 som
lågstadielärare. Utbildningen var samordnad och man läste periodvis tillsammans med
förskollärare och lärare för senare år. Hennes utbildning inom matematik är den som ingick i
lärarutbildningen, men hon har ett stort intresse för ämnet. Det grundar sig bland annat i att
hon under sin egen skolgång upplevde matematiken som trist, tråkig och svår och därför
tycker hon att det är spännande och intressant att följa barnens utveckling av förståelse och
lust inför ämnet. Under åren har hon arbetat både åldershomogent och åldersblandat. I dag
arbetar hon i en åldersblandad klass med elever från år 1-3. Skolan har drygt 400 elever och
den ligger i en mindre stad.
Lärare C är en kvinna som först utbildade sig till barnskötare och blev klar 1982.
Därefter vidareutbildade hon sig till förskollärare och tog examen 1989. Sedan dess har hon
arbetat inom förskolan och under många perioder har hon haft ansvar för sexåringarna då de
ännu var kvar i förskolan. Hon har läst tre 5-poängskurser efter examen, men ingen i ämnet
matematik. Däremot har det ingått en del kurser i arbetet och hon upplever att matematiken
har fått en mycket större betydelse och plats i förskolan de senaste fem-sex åren. Sedan drygt
ett år tillbaka är hon lärare i en liten förskoleklass med sexåringar. Skolan ligger på landet
och har totalt ett 50-tal elever.
Lärare D är en kvinna som arbetat som lärare i 32 år. Hon tog examen 1975 och hade då
läst förskollärarutbildningen i Borås. Utbildningen var inte speciellt inriktat mot matematik
19
men hon har senare gått diverse fortbildningar genom skolans verksamhet. Just nu arbetar
hon i en förskoleklass där de, i matematiken, nivågrupperar barnen efter hur långt de har
kommit i sin kunskapsutveckling. Hon framhåller vikten av variation i undervisningen, att
barnen får arbeta mycket praktiskt och använda alla sinnen. Skolan är belägen i ett mindre
samhälle och barnen i den här enheten är år F-5 samt fritidshem. Skolan har vidare en enhet
för år 6 samt en enhet för senare skolår.
Lärare E är en kvinna som arbetat som lärare i 35 år. Hon tog examen hösten 1970 och
hade då läst grundutbildning för år 1-3. I den ingick svenska och matematik och sedan fick
man välja till kurser för år 4 om man ville. Hon har vidareutbildat sig genom en högskolekurs
på 10 poäng, uppdelad i två etapper, inom ämnet matematik. Enligt henne själv innebär detta
att hon byggt på och fått lite nyare rön. Hon framhåller vikten av att prata matematik samt att
rita räknesagor och använder sig mycket av konkret material. Just nu delar hon tillsammans
med en annan lärare en klass med 25 elever i år 1. Skolan hon arbetar på har två enheter och i
vardera enheten finns förskoleklass, år 1-4 samt fritidshem.
Lärare F är en kvinna som arbetat som lärare i 9,5 år. Hon tog sin examen i december
1995 och hade då läst grundskolelärarutbildningen, 1-7 svenska/so, i Falun. Hon har inte
vidareutbildat sig efter sin examen men känner att det är något hon gärna skulle vilja göra.
Hon har däremot gått fortbildning genom skolan och är väldigt inspirerad av Arne Tragetons
metod att arbeta helt med datorer under första läsåret. Hon anser att mycket av
matematikundervisningen i skolan går till att forma siffror. Hon har provat andra metoder
som till exempel att låta barnen stämpla siffrorna istället för att skriva dem, hennes dröm är
att få prova på Tragetons arbetssätt. Hon är nu verksam i år 1, på samma skola som lärare D.
Arbetslaget delar på två klasser med 35 elever totalt.
5.2 Hur arbetar lärare med barns förståelse av talens betydelse och antal när det gäller
talen 1 till 10?
Flera av de lärare som arbetar i år 1-3 anser att det mest grundläggande arbetet med barns
förståelse av talens betydelse och antal numera är gjort redan i förskoleklass. När barnen
börjar år 1 upplever lärarna att de allra flesta redan har en viss antalsuppfattning.
Ja, vi drar ju igång på en mycket högre nivå nu än vad man gjorde för femton år sen. Då
började vi mycket lägre, nu kan de ju siffrorna, siffersymbolerna till tio och ramsräkna
till tio. Det kunde ju inte alla förr, så det har hänt mycket där.
Lärare E
20
Men sen upplever jag att det här gjorde man mycket mer förr. Nu har ju förskoleklass
tagit över mycket av det, att man introducerar siffror och sånt. När de kommer till skolan
har de flesta passerat det här stadiet.
Lärare F
Även de intervjupersoner som arbetar i förskoleklass delar denna uppfattning. I förskoleklass
har man planerad matematikundervisning, där man kontinuerligt arbetar med tal och antal.
Flera av våra intervjupersoner använder sig av någon form av fördiagnos, för att bilda sig
en uppfattning om barnens kunskapsnivå inom matematiken. Många uppger också att de
använder praktiska och vardagliga moment för att upptäcka var barnen befinner sig. Lärare A
berättar att hon brukar försätta nya barn i en praktisk situation genom att till exempel hälla ut
byggklossar och ställa en fråga till barnen om hur många klossar det kan vara. Därefter
inväntar hon barnens egna förslag och låter dem få den tid de behöver för att komma fram till
olika lösningar och strategier för att hålla reda på hur många klossar som är räknade. Det hela
sker genom en laborationsfas där läraren försöker vara så lite delaktig som möjligt för att få
tid att iaktta barnens resonemang och tankar.
Man måste ha en mix av formella diagnoser och ett iakttagande öga och försätta barnen i
situationer där man uppmanar till matematiska resonemang. Det är viktigt att jag som
pedagog försöker vara tyst när barnen tänker.
Lärare A
Gemensamt för alla är att de använder sig av olika sinnen i undervisningen, då främst syn,
hörsel och känsel. Olika tillvägagångssätt som intervjupersonerna nämner är att använda sig
av plockmaterial som på ett konkret sätt ger eleverna en uppfattning om olika antal och
relationen mellan antalen. Barnen får till exempel leta saker i rummet och hämta olika antal
av något eller jämföra och para ihop antal. De arbetar också med matematik i andra miljöer
än i klassrummet. Lärare D nämner till exempel utematematik där man är ute i skogen och
reder ut olika matematiska begrepp som tjock, smal, lång och kort.
De som har svårt med det här abstrakta, de måste ju se. Det är viktigt att de känner och
ser det här konkreta, hela tiden.
Lärare E
21
Man har en vinst i att laborera med alla talen på en gång för det är då man får
förhållanden mellan talen. Det är då man märker att två är hälften av fyra, men fyra är
hälften så mycket som åtta. Man måste närma sig talen från många olika håll.
Lärare A
De flesta av våra intervjupersoner påpekar vikten av att utgå från barnens erfarenheter
och bygga vidare därifrån. Detta verkar vara något som lärarna tycker är självklart.
Det praktiska och konkreta är viktigt för oss, och att sedan bygga vidare på det som
barnen redan kan. Jag tror inte man kan gå vidare om man inte har förståelsen.
Lärare C
Flera intervjupersoner talar också om att fånga matematiken i vardagen och att ta vara på de
situationer som uppstår. Matematiken finns överallt och de nämner tillfällen då de till
exempel räknar antalet familjemedlemmar, läser av almanackan, räknar ut hur lång tid det är
kvar till ett visst tillfälle och räknar antal och pengar vid vardagliga situationer som till
exempel pantning av burkar.
Att utgå från barnens verklighet, det är sånt som vi gör ständigt. Man kanske har planerat
en grej och sedan kanske man genomför något helt annat. Sedan kan man ju ta upp
någon del man har planerat, sen tar man upp det som barnen har pratat om också. Det är
ju jätteviktigt för då blir det mycket roligare för dem.
Lärare D
När det gäller metoder nämner alla våra intervjupersoner på något sätt det praktiska,
laborativa och konkreta materialet. Gemensamt är att de prioriterar förståelsen som barnen
uppnår när de arbetar konkret, gärna med hela kroppen. Lärare F tycker att lite och ofta är
viktigt. Genom repetition och korta intervall blir barnen säkra innan de går vidare till något
nytt.
Jag tror på att jobba praktiskt, engagera hela människan. Den som inte lär sig av att
hoppa, kanske lär sig av att sitta och plocka i lugn och ro. Det måste finnas variation för
att alla ska hitta sitt sätt att lära.
Lärare B
Flera intervjupersoner påtalar vikten av att ge eleverna möjlighet att utveckla flera olika
strategier för att lösa matematiska uppgifter. Barnen ska kunna prova olika sätt för att komma
22
fram till en lösning. Metoden är att komma åt barnens tankar och bygga vidare på hållbara
strategier, säger lärare A. Lärarna pratar också om att arbeta med öppna frågor där det inte
finns något rätt eller fel svar. Här finns en större möjlighet att individualisera och anpassa
uppgifterna efter elevens egen nivå. Lärare E arbetar mycket med räknesagor både egna
räknesagor och sagor som redan är förberedda. Vinsten med räknesagorna är enligt henne att
man ser barnens utveckling samt att man når barnen där de befinner sig. Sagorna blir föremål
för meningsfulla matematiska resonemang.
När man gör räknesagor märker man ju också olika nivåer på dem. Man ser ju så väl om
de fattat eller ej när de gör räknesagorna.
Lärare E
Att se talen utan att räkna är ett tillvägagångssätt som våra intervjupersoner stävar efter
att barnen ska tillägna sig. Flera menar att denna något abstraktare nivå är en god
förutsättning för barnens fortsatta matematiska utveckling. Att se talbilder är något som
barnen har en del erfarenhet av sedan tidigare, till exempel genom tärningen. Tärningen och
dess talbilder är också något som flertalet intervjupersoner arbetar vidare med i
matematikundervisningen. Lärare A och E talar också om fingertalen och barnens möjlighet
att använda fingrarna i den grundläggande förståelsen av antal. För dessa barn blir fingertalen
så småningom till abstrakta tankeverktyg. Intervjupersonerna är ense om att målet med
talbilder är att barnen ska komma ifrån att alltid behöva räkna antalen.
Det är det ju mycket att man har snabbvisning och så ska de räcka upp handen så fort de
vet, just för att de ska komma ifrån att de alltid ska behöva räkna.
Lärare F
Under flera av intervjuerna återkommer lärarna till språket och samtalets betydelse i
matematikundervisningen. Intervjupersonerna tycker att språket är viktigt, både att kunna
lyssna på varandra och förklara för varandra. De pratar om vikten av förståelsen för olika
grundläggande matematiska begrepp och att barnen behöver få ett språk där de kan resonera
kring matematik och sätta ord på sina tankar. Lärare A menade att matematik är ett
kommunikationsämne.
Matematik är ett sätt att kommunicera. Det är ett sätt att förklara och förstå världen.
Lärare A
23
5.3 Hur och när introduceras siffrorna samt dess koppling till antal?
Även arbete med att introducera siffrorna och kopplingen till antal är något som våra
intervjupersoner upplever till stor del sker i förskoleklassen.
Vi började jättekonkret i höstas. Då började vi med att gå siffrorna på utlagda hopprep. Vi
utgick från kroppen, sedan kopplade vi siffrorna till att hämta så många saker som siffran
betyder.
Lärare C
Barnen har dessutom i de allra flesta fall redan mött siffrorna tidigare i livet. Siffrorna som
symboler är oftast inget nytt, men lärare A påpekar att våra siffror bara är ett av flera
symbolsystem för att visa antal. Hon arbetar även med de romerska siffrorna för att komma
från svårigheterna med positionssystemet och motoriken.
Intervjupersonerna berättar dock att det ingår en hel del träning av att skriva siffror i
undervisningen. De nämner olika metoder som att spåra, skriva i luften, skriva på tavlan,
skriva med kritor och i olika former av sifferböcker. Den här träningen anses inte vara direkt
matematik utan mer motorisk träning och kan i vissa fall ha negativ inverkan på barnens lust.
Det är ju egentligen inte matte, det här med att forma siffrorna. Det är många ungar som
tycker det är jättetråkigt, och då håller vi samtidigt på att skriva massa bokstäver. De
längtar till skolan, och sedan blir det att de får sitta och träna och träna och det tar död på
lusten.
Lärare F
När det handlar om kopplingen mellan siffror och antal uppger flera av
intervjupersonerna att det sker parallellt och hela tiden. Flera arbetar metodiskt med att dela
upp talen och då inte bara tio-kompisarna utan alla tal upp till tio. Kan barnen dela upp talen
1-10 på flera olika sätt och förstår att till exempel 1 och 6 är samma sak som 5 och 2, det vill
säga 7, så har de en stor del av den grundläggande förståelsen.
Först är det ju det konkreta, att de förstår och att man sen kan skriva det automatiskt. Sedan
kan man ju när man är säker på uppdelningen av talet … vad talen står för, då kan man sen
börja med lite snabbhetsträning.
Lärare E
Alla utom två av våra intervjupersoner hävdar att de inte medvetet arbetar med tal som
inte har koppling till antal, till exempel telefonnummer. Sådana diskussioner uppstår spontant
24
och vid olika situationer. Då kan det handla om husnummer, telefonnummer eller
födelsedagar. Lärare C menar att vissa tal är för abstrakta för att förstås och då gäller det att
träna in talen.
Vissa saker tränar vi ibland. Saker som barnen bör känna till och som de lär sig utantill,
exempelvis telefonnummer, när de fyller år och var de bor. Årtal till exempel är väldigt
abstrakt för dem och det är inte många som förstår det. Utan det är något som de måste lära
sig utantill genom sifferminne.
Lärare C
Lärare B påpekar dock att alla tal ändå på något sätt har koppling till antal, men att
kopplingen kanske inte alltid är så tydlig eller relevant.
Lärarna pratar också om räkneorden och ordningstalen som i de flesta fall kommer in i
undervisningen när det handlar om att utnyttja almanackan.
5.4 Vilka material använder lärarna?
Samtliga lärare använder sig av någon form av läromedel, merparten som grund för
undervisningen och någon som ett komplement. Läromedel som nämns är Mattekul,
Matteplaneten, Multimatte, Mattemosaik, Flex, Min första mattebok, Landet längesen,
Mattebiten samt extra material i form av små matematikhäften med uppgifter. Samtliga lärare
är dock överens om att det laborativa materialet är en av grundstenarna i undervisningen.
De måste få göra väldigt mycket praktiska grejer. De måste få göra med händerna, inte bara
det här abstrakta. Det är jätteviktigt så det jobbar vi jättemycket med.
Lärare D
Man använder spel, pussel, lekmaterial, plockmaterial som klossar och stavar, miniräknare
och dataprogram. Man använder också rep, vågar, måttband, kulrader, pengar och
sifferplattor. Lärare C pratar om sin hundramatta där alla tal upp till hundra finns
representerade. De påpekar också att variationen är viktig för att nå alla barn och några tar
upp de öppna uppgifterna där tanken och vägen till lösningen är viktigare än svaret.
Vi jobbar en hel del med mattegåtor där barnen i grupp får ledtrådar för att sedan
gemensamt lösa uppgifterna. Vi har också kluringar i läxa där det viktiga är att de övar sig i
att förklara sina tankar och berätta för varandra hur de kom fram till sitt svar.
Lärare B
25
5.5 Hur följer lärarna upp att eleverna befäster sina kunskaper?
Samtliga av våra intervjupersoner använde sig av någon form av observationsmaterial eller
diagnosmaterial i uppföljningsarbetet. De flesta nämner dock att uppföljning ingår naturligt i
det vardagliga arbetet. Genom att gå runt bland barnen och prata med dem kan de på ett
smidigt sätt hålla sig uppdaterade om barnens utveckling.
Genom att lyssna och iaktta eleverna har jag en god kontroll över var eleverna befinner sig i
utvecklingen. Diagnossvaren ger oftast inga överraskningar utan det blir som man har
förutsett. Ibland kan jag missta mig men oftast stämmer tankarna med diagnossvaren. I de
muntliga övningarna avslöjar sig ofta barnet om det har tänket.
Lärare B
I uppföljningsmomentet poängterar flera av lärarna vikten av att ta reda på om barnen har
förstått det som man arbetar med. Innan man går vidare till något nytt vill de att barnen ska
vara säkra på det som de ska bygga vidare på. Märker man att något barn inte har förstått
berättar flera lärare att de försöker uppmärksamma det barnet lite extra och arbeta för att det
ska komma vidare i sin matematiska utveckling. Återigen är samtalet mellan barnen och
läraren ett viktigt redskap.
I den ständiga kommunikationen uppdaterar jag min bild av barnets förståelse hela tiden.
Lärare A
26
6. Analys
I analysavsnittet kopplar vi vårt resultat till vår teoretiska bakgrund och tolkar resultatet i
förhållande till våra frågeställningar. Vi jämför också vad våra intervjupersoner svarat i
relation till varandra genom att titta på likheter och skillnader i deras tankar och svar.
6.1 Förståelse av tal, antal och siffror
Genomgående för de lärare som vi har intervjuat är att de arbetar med barns förståelse av
talens betydelse och antal när det gäller 1 till 10 på ett mycket liknande sätt. Samma tankar,
metoder och materialval återkommer hos samtliga och vi drar slutsatsen att för våra
intervjupersoner ser undervisningen i matematik förhållandevis likartad ut.
Lärarna är eniga om att arbetet med att introducera tal, antal och siffror, den
grundläggande matematiken, har fått större roll i förskolan de senaste åren. Det mest
elementära arbetet med att skapa den här förståelsen hos barn är gjort redan när barnen börjar
första klass. Ytterligare en slutsats som vi drar av detta är att den pedagogiska undervisningen
i förskolan har förändrats och att man i förskolan arbetar mer medvetet med barnens
kunskapsutveckling. Detta bekräftas i Skolverkets rapport Lusten att lära – med fokus på
matematik (2003). En förklaring till detta skulle enligt Skolverket kunna vara att förskolan
fått sin egen läroplan, Lpfö 98. Flera författare, bland annat Ahlberg (Nämnaren, 2000),
Doveborg & Pramling Samuelson (Nämnaren, 2000), Magne (2002), tar upp att barn långt
innan de går i förskolan har erfarenhet av tal och antal och kan uppfatta mindre mängder utan
att räkna.
Att matematikförståelsen gynnas av stimulans genom flera sinnen ser alla våra
intervjupersoner som något självklart. Främst handlar det om sinnena känsel, hörsel och syn
och lärarna tänker en hel del på detta när de väljer material, till exempel plockmaterial. I
Ahlbergs (Nämnaren, 2000) intervjustudie med sexåringar framgår det av resultatet att barns
sinnliga erfarenheter har stor betydelse för att de ska kunna utveckla en grundläggande
förståelse för tals innebörd. De ser, hör och känner talen. Egentligen är det bara en av lärarna
som använder uttrycket att ”utgå från hela kroppen”, men vi tolkar det ändå som att flera av
lärarna använder kopplingen mellan kroppen och de olika sinnena i undervisningen när de
arbetar med matematik utanför skolmiljön till exempel i skogen.
Ytterligare något som våra intervjupersoner tycker är självklart är att i undervisningen
utgå från barnens erfarenheter och bygga vidare därifrån. Flera av lärarna säger att de vill
fånga matematiken i vardagen och ta vara på de naturliga situationer som uppstår. Vår
27
slutsats av detta är att lärarna hela tiden är medvetna om vikten av att ta vara på de tillfällen
som ges till bra och för barnen meningsfulla samtal om matematik. I rapporten Lusten att
lära – med fokus på matematik (2003) lyfts detta fram för att barnen ska förstå att matematik
inte bara är ett ämne i skolan utan en naturlig del av vardagen. Även Johnsen Høines (2002)
poängterar vikten av att barnen ska vara utgångspunkt för undervisningen. Nya begrepp som
barnen ska lära sig bör ha förankring i deras verklighet. Detta för att inte matematiken ska bli
ett ämne i skolan, och något helt annat i vardagen. Tankarna kring att utgå från barnen delas
också av Magne (2002) och Ahlberg (1995). Författarna är eniga om att barns behov,
erfarenheter och upplevelser ska forma undervisningen i skolan.
Sifferskrivningen, det vill säga att träna på att skriva de symbolerna som representerar tal,
tycker flera av våra intervjupersoner egentligen inte är matematik utan snarare motorisk
träning. Sifferskrivningen är dock nödvändig som verktyg för att kunna förklara och skriva
ned sina matematiska resonemang och lösningar. De flesta av våra intervjupersoner som
arbetar i år 1-3 är ändå noga med att poängtera att sifferskivningen är en del som måste ingå
och samtliga av dem låter sina elever träna på att forma siffror mer eller mindre kontinuerligt.
Neuman (1989) beskriver i sitt arbete med Landet längesen att siffrorna som symboler inte är
det avgörande för den matematiska utvecklingen. I stället kan barnen genom ett analytiskt
arbetssätt skapa egna symboler och tecken. Dock är det enligt Malmer (1990) nödvändigt att
barn, förr eller senare, förstår skillnaden mellan begreppet tal och siffra och lär sig använda
siffersystemet på rätt sätt för att kunna gå vidare i sin matematiska utveckling. Johnsen
Høines (2002) påpekar att det finns ett skäl till att siffersystemet uppkom, nämligen att kunna
beskriva större mängder.
6.2 Språk och kommunikation
Precis som det står i kursplanen för matematik (Skolverket, 2007) anser våra intervjupersoner
att språket och kommunikationen har stor betydelse för utvecklandet av den matematiska
förmågan. Av intervjuerna kan vi dra slutsatsen att flera av våra intervjupersoner ser språk
och kommunikation som avgörande för att barnen ska skapa förståelse. Dialogen är också en
metod för att lärarna ska veta var barnen befinner sig i den matematiska utvecklingen. En av
lärarna drar det så långt att hon menar att matematik är ett kommunikationsämne. Att lyssna
på andra är lika viktigt som att kunna förklara sina egna tankar. Detta är något som är
återkommande i våra intervjupersoners resonemang. Malmer (1990) hävdar att språket är ett
måste för att barn ska kunna utveckla matematiska begrepp och för att de ska kunna göra
kunskapen till sin. Hon nämner också dialogens diagnostiska funktion. Olsson (Nämnaren,
28
2000) skriver att bemötandet är avgörande och anser precis som Malmer (1990) att barns
tankar och svar är riktiga utifrån deras sätt att se på matematiska problem. Johnsen Høines
(2002) ser även språket som en del i att förstå hur barn utvecklar kunskap och i vilka
sammanhang de lär sig.
Till språket hör också barnens tankar. Flera av intervjupersonerna arbetar aktivt med att
försöka komma åt och förstå barnens tankar för att kunna möta dem på rätt nivå. Ett sätt att
göra det är att arbeta med öppna frågor och uppgifter där det inte finns några rätta svar.
Vägen till svaret är viktigare än själva svaret. För läraren handlar det då om att vara tyst och
tålmodig och utvänta elevens egna lösningar. Malmer (1990) poängterar att barnen ska få
undersöka på egen hand och att läraren inte alltid ska vägleda dem till svaret. Skolverket
(2003) lyfter också fram samtal och reflektion som stärkande för elevens tilltro till sitt eget
tänkande.
6.3 Arbetsmetoder och material
När det gäller arbetsmetoder och material utgår flertalet av intervjupersonerna från någon
form av läromedel. De menar att alla barn behöver den grundläggande färdighetsträning som
boken ofta förmedlar. En av våra intervjupersoner använder läromedel som komplement och
den övervägande matematikundervisningen sker utan lärobok. Det framgår också av
intervjuerna att de läromedel som används innehåller mer än bara rena räkneuppgifter. Det
handlar inte om att barnen ska räkna sida upp och sida ner utan att reflektera över vad de gör.
Här återkommer lärarna till kopplingen mellan matematik, tankar och förståelse. De
understryker vikten av att barnen måste får arbeta mycket praktiskt och använda konkret,
laborativt material. Det får inte bara vara abstrakt tänkande, barnen måste få möjlighet att
koppla det abstrakta till det konkreta genom att till exempel para ihop siffror och antal med
hjälp av plockmaterial. Ahlberg (Nämnaren, 2000) anser även hon att barn måste få möjlighet
att uppleva tal genom olika uttrycksmedel till exempel genom att hantera olika föremål.
Skolverket (2003) påtalar att man genom läromedel med konkret och omväxlande innehåll
och variation i undervisningen bibehåller barnens lust att lära. Malmer (1990) förespråkar
också laborativa metoder för att bygga upp talbegreppet. Dock anser hon att målsättningen
måste vara tydlig och klar.
Två av våra intervjupersoner beskriver fingertalen som ett sätt att arbeta med antal.
Neuman (1989) menar att fingerräkning är naturligt och uppstår spontant när barn börjar
förstå tal och räkning. För Neuman är målet med fingertal att de ska bli ett tankeverktyg för
att gå vidare i den matematiska utvecklingen. Fingertalen är ett sätt att se på tal som talbilder.
29
Men det finns fler typer av talbilder. Flera av våra intervjupersoner säger att de arbetar
målmedvetet för att barnen ska uppnå en högre abstraktionsnivå när det gäller talen 1 till 10
och se antalen och deras förhållanden till varandra utan att behöva räkna. De vill att barnen
ska kunna dela upp talen på olika sätt och förstå sambanden för att underlätta för barnen
längre fram i matematikutvecklingen. Utan att lärarna direkt nämner begreppet subitizing ser
vi kopplingen till detta. Subitizing, det vill säga förmågan att se antal utan att räkna, beskrivs
av flera författare i litteraturen, bland annat i Neumans (1989) systematiska uppdelning av de
tio första positiva heltalen.
Ytterligare metoder/material som nämns av de flesta intervjupersoner som arbetar i år 1-3
är kluringar, mattegåtor och öppna frågor. Vinsten med dessa anser intervjupersonerna vara
att barnen får olika lösningsstrategier och därmed kan utveckla sina matematiska tankar.
Detta stämmer överens med vad Malmer (1990) skriver om att barn som i början av skoltiden
uppmanas att pröva sig fram, får bättre självförtroende och förfogar över fler
lösningsstrategier. Några av lärarna använder sig av befintligt material från olika förlag,
medan andra tillverkar och gör uppgifterna själva.
6.4 Uppföljning
Lärarna som vi intervjuat har flera metoder för att följa upp om eleverna befäst sina
kunskaper. Den metoden som alla nämner är den dagliga dialogen som sker i klassrummet.
Genom samtal och de matematiska resonemang som barnen för med läraren och med
varandra får läraren kännedom om var barnen befinner sig i den matematiska utvecklingen.
Hur tänker du? Hur kom du fram till svaret? Dessa frågor är viktiga att få svar på anser flera
av lärarna. Som tillägg till det dagliga samtalet används i många fall någon form av
observations- eller diagnosmaterial. Pramling Samuelsson och Sheridan (2006) bekräftar att
olika metoder behövs genom att påtala att observationen och samtalet med barnen är viktiga
moment för att förstå och tolka barnens tankar.
Ingen av våra intervjupersoner talar om matematiken som ett ämne där mätbara resultat
står i fokus. De verkar se matematiken mer som ett skolämne med förståelsen i fokus än ett
ämne där man tränar räknefärdigheter. Detta kan bero på att våra intervjupersoner arbetar
med de lägre åldrarna och precis som Malmer (1990) säger så menar intervjupersonerna att
processen fram till svaret är viktigast och inte att kopiera och memorera fakta.
När intervjupersonerna pratar om användandet av observations- och diagnosmaterial drar
vi slutsatsen att dessa främst är till för att stödja den uppfattning som läraren redan har av
30
barnets utveckling. Enligt någon av lärarna avslöjar diagnosresultatet sällan någon
överraskning.
31
7. Diskussion
7.1 Resultatdiskussion
Syftet med vår undersökning var att ta reda på hur verksamma lärare i år F-3 arbetar med den
grundläggande matematiken. Vi ville också veta vad de använder för material och metoder,
samt hur de följer upp elevernas kunskaper. Vi tycker att vi genom vår undersökning har fått
relevanta svar på våra frågeställningar och fått fram ett intressant och för oss användbart
resultat.
Vi har genom att ta del av en mängd litteratur om matematikundervisning till vår
teoretiska bakgrund fått utökade kunskaper om vad teorin säger om ämnet. När det gäller
urvalet av litteratur har vi tvingats begränsa oss kraftigt, eftersom vi ganska snabbt kunde
konstatera att det fanns en oändlig mängd litteratur skrivet inom ämnet. Vår undersökning
kunde ha vinklats på flera olika sätt utifrån den teoretiska bakgrunden, men vi valde att ta
fasta på och utforma frågeguiden efter det vi fann relevant och som intresserade oss mest.
Vi har genom intervjuerna kunnat konstatera att lärarna är relativt samstämmiga om hur
matematikundervisningen ska se ut. Enigheten råder oavsett ålder, utbildning eller år inom
yrket. Förståelsen samt att utgå från barnen är det viktigaste, konkret undervisning prioriteras
framför det abstrakta tänkandet. Det abstrakta är trots detta ett mål på längre sikt. Om
enigheten beror på vårt urval eller på att det faktiskt generellt är så kan vi inte säkert svara på,
men det gläder oss att vi upplever att lärarna ser så positivt och engagerat på
matematikundervisningen. Vi tror dock att det överlag finns en förståelseinriktad pedagogik i
de tidiga åldrarna och att denna tenderar att övergå i mer färdighetsträning i de senare åren.
Andra viktiga resultat som vi vill lyfta fram och ta till vara på är att den grundläggande
matematikundervisningen bör bestå av kommunikation och dialog, förståelse för varandras
tankar, laborativt och konkret material samt ett öppet och respektfullt bemötande där alla
sinnen stimuleras. I undervisningen är det viktigt att variera sig och att ge barnen möjlighet
till flera olika lösningsstrategier. Tanken om att barn inte svarar fel, utan utgår från sin
verklighet och sina tankar, har berört oss. Det är vår roll som lärare att förstå och tolka barnen
samt att utmana dem och föra dem vidare i sin matematiska utveckling.
I resultatredovisningen är det svårt att förmedla och uttrycka den känsla som
intervjupersonerna gav oss under intervjuerna. Känslan var överlag att matematiken var ett
viktigt, lustfyllt och intressant ämne. Detta förmedlade lärarna genom sitt kroppsspråk och i
tonen de använde när de pratade om matematiken. Vi hoppas och antar att denna känsla även
32
förmedlades till barnen, då vi tror att engagerade lärare är en förutsättning för att barnen ska
känna lust till matematiken.
Något som förvånade oss är att intervjupersonerna inte i någon större utsträckning
hänvisar till styrdokumenten. Det kan bero på att inte heller vi nämner styrdokumenten i vår
frågeguide och därför fördes inte tankarna in i de banorna. Trots detta stämmer deras tankar
och metoder överens med de målstyrda dokument som vi ska följa. Få av våra
intervjupersoner uttalar en direkt koppling mellan sin undervisning och beprövad teori eller
kända teoretiker. Vi får ändå intryck av att de hela tiden baserar undervisningen på den
beprövade teorin och styrdokumenten. Det känns som mycket outtalat sitter i ryggmärgen på
dem. Deras samlade erfarenhet av barn, undervisning och inlärningsteorier fungerar som en
bank som används på ett mer eller mindre medvetet sätt. Vi kan också konstatera att lärarnas
tankar stämmer väl överens med det som vi läst om matematikundervisning i litteraturen.
När det gäller uppföljningen kan vi konstatera att Skolverkets analysschema i matematik
inte användes i någon större utsträckning, även detta kan bero på att vi inte gör någon
koppling till detta material i vår frågeguide. Diagnosmaterial som nämns i intervjuerna är
diagnosen ”Måns och Mia” samt flertalet andra diagnoser. Vi tror att detta beror på att
Skolverkets analysschema inte upplevs lika lättillgängligt som andra läromedelsbaserade
diagnosmaterial. Vi tycker också att dialogen som diagnosverktyg känns som en mer naturlig
och meningsfull metod som dock kräver att lärarna besitter stor erfarenhet av barns
matematiska utveckling.
7.2 Metoddiskussion
Vi valde att göra kvalitativa intervjuer och vi anser att den metoden fungerade väl för att vi
skulle kunna uppnå syftet med vår undersökning. Vi tycker att antalet intervjupersoner
stämde bra överens med digniteten av undersökningen. Eventuellt påverkade vårt urval
resultatet, detta med tanke på att vi valde att intervjua personer som vi visste var intresserade
av ämnet och personer som har lätt för att uttrycka sina tankar. Hade vi intervjuat andra
personer eller samma personer för ett par år sedan hade resultatet med stor sannolikhet blivit
annorlunda eftersom lärarrollen ständigt utvecklas och förändras.
Vår utarbetade frågeguide fungerade enligt de förväntningar vi hade. Det hade varit
intressant att ta in andra teman, till exempel svårigheter i matematik, språkets betydelse eller
undervisningens koppling till styrdokumenten, men av praktiska skäl var vi tvungna att
avgränsa oss.
33
Vi anser att validiteten i vår undersökning är god eftersom undersökningen gav svar på de
frågeställningar vi hade. Den bild undersökningen har gett oss om matematikundervisningen i
skolan gäller dock för de personer vi intervjuat och vid den här tidpunkten. Vi kan inte dra
några generella slutsatser om hur matematikundervisningen ser ut, men det var inte heller vår
avsikt då vi påbörjade arbetet. Vi menar att vi har undersökt det som vi avsåg att undersöka.
Reliabiliteten är något lägre, dels beroende på urvalet, dels beroende på frågeguiden som
vi använde mer som ett samtalsunderlag än som ett fråga–svarsformulär. Vi kan inte med
säkerhet säga att samma intervjuer vid ett annat tillfälle gett exakt samma resultat. Vi är
också medvetna om att den relation som vi, som intervjuare, har med intervjupersonerna kan
ha påverkat situationen. Vi var inte helt främmande för varandra vilket kan ha påverkat
svaren.
Vi är nöjda med genomförandet av intervjuerna och vi anser att vi fick den information
som vi eftersträvade, för att kunna gå vidare i bearbetningen. Möjligtvis hade vi under
intervjuerna kunnat vara mer lyhörda för möjliga sidospår och ställt fler följdfrågor. Av
praktiska skäl valde vi att intervjua tre lärare vardera. Genom att spela in och sedan skriva
ned intervjuerna noggrant, fick vi goda möjligheter att ta del av varandras intervjuer. Att
spela in intervjuerna gav oss också möjlighet att bearbeta intervjuerna på djupet och vi
minimerade risken att gå miste om värdefull information som vi fått från våra
intervjupersoner. En nackdel med att spela in intervjuerna skulle kunna vara att
intervjupersoner kan känna obehag inför att bli inspelade. Under intervjuerna höll vi dock
fast vid de etiska principer som vi valt att följa och vi anser därför inte att detta var något
problem. Vi tycker även att vi i analysen har använt oss av resultatet på ett sätt som stämmer
överens med våra avsikter.
7.3 Slutdiskussion med slutsatser
Vi har lärt oss mycket genom att samtala med erfarna lärare och på så vis fått ta del av deras
tankar om undervisning. För oss har intervjuerna i undersökningen blivit ett bra komplement
till
den
teoretiska
kunskapen
som
vi
tillägnat
oss
under
lärarutbildningen.
Sammanfattningsvis kan vi dra följande slutsatser av den här undersökningen.

Lärarna strävar efter att arbeta på ett flexibelt och varierat sätt med barnens
erfarenheter som utgångspunkt.

Siffror och antal har i de flesta fall redan introducerats när barnen börjar i år 1.
34

Lärarna använder konkret och laborativt material i kombination med någon form
av läromedel.

Språket har stor betydelse i matematikundervisningen både i det dagliga arbetet
och i uppföljningsarbetet.
Vi anser att vi i framtiden kommer att ha stor nytta av resultatet och de slutsatser som vi
har kommit fram till. Vi upplever det som att vi har kunnat tillägna oss stora delar av den
fördjupade kunskap vi eftersträvade inledningsvis. Utan att vi har gått in på barns svårigheter
inom matematiken har vi ändå utökat vår förståelse för hur man kan arbeta för att skapa så
lite problem som möjligt för barnen.
Undersökningen har också lett till att nya frågor väckts, frågor som kan leda till vidare
forskning i framtiden. Är verkligen synen på matematikundervisningen så samstämmig som
vårt resultat visar? Finns det lärare och skolor som inte har den matematiska förståelsen i
fokus? Det hade också varit intressant att jämföra vårt resultat med hur lärare i de senare åren
tänker och arbetar. Fortsätter man att arbeta med förståelsen och det konkreta även i de senare
åren? Vi tror att skillnaderna i undervisningen hade blivit mer påfallande vid en sådan
jämförelse.
Utan att vi tänkte på det inledningsvis har språk och kommunikation fått stort utrymme
och betydelse i den här undersökningen. Trots att vi inte nämnde språkets betydelse för
matematikundervisningen i frågeguiden kom intervjuerna att handla mycket om detta. I
efterhand kan vi tycka att detta känns ganska självklart att språket har en framträdande roll i
all undervisning.
Ytterligare något som har slagit oss under arbetets gång är hur allt hänger ihop. Att
världen inte är uppdelad i skolämnen. Matematik är inte bara att förstå de grundläggande
talen, att lära sig hantera räknesätten eller att kunna skriva fina siffror. Matematik är en del i
att förstå vår verklighet, att ha uppfattning om begrepp och förhållanden dem emellan.
Matematik är att kunna klara sig i vardagen och att kunna uttrycka och förklara sina tankar.
Matematik är att gå och handla, att laga mat, att leka, spela spel och att veta hur lång tid fyra
veckor är. Matematisk förståelse är viktigt för alla. Matematik finns överallt, hela tiden.
35
Referenslista
Ahlberg, A. (1995) Barn och matematik. Lund: Studentlitteratur.
Bryman, A. (2002) Samhällsvetenskapliga metoder. Malmö: Liber Ekonomi.
Johnsen Høines, M. (2002) Matematik som språk. Malmö: Liber Ekonomi.
Kylén, J. A. (2004) Att få svar – intervju, enkät, observation. Vellinge: Bonnier
Utbildning.
Lärarnas Riksförbund. (2003) Lärarboken. Stockholm: Lärarnas Riksförbund.
Magne, O. (1998) Att lyckas med matematik i grundskolan. Lund: Studentlitteratur.
Magne, O. (2002) Barn upptäcker matematik. Umeå: Specialpedagogiska institutet
Läromedel.
Malmer, G. (1990) Kreativ matematik. Solna: Ekelunds förlag AB.
Neuman, D. (1989) Räknefärdighetens rötter. Stockholm: Utbildningsförlaget.
Nämnaren Tema. (2000) Matematik från början. Kungälv: Nämnaren.
Pramling Samuelsson, I. & Sheridan, S. (2006) Lärandets grogrund. Lund: Studentlitteratur.
Skolverket. (2000) Analysschema i matematik för åren före skolår 6. Stockholm: Liber
distribution
Skolverket. (2000-07) Grundskolans kursplaner i Matematik. Tillgänglig på Internet:
Kursinformationssystemet för skolan.Hämtad 2007.05.18
Skolverket. (2003) Lusten att lära – med fokus på matematik. Tillgänglig på Internet:
Publikationsdatabasen - Skolverket. Hämtad 2007.05.18
36
Bilaga 1
Frågeguide
Lärares arbete med barns förståelse av tal
Bakgrundsfrågor
Hur många år har du arbetat som lärare?
I vilken årskurs arbetar du nu?
När tog du din examen?
Hur ser din utbildning i ämnet matematik ut?
Har du vidareutbildat dig i matematik efter examen?
Betydelse och antal
Hur tar ni reda på barnens förförståelse av tal när de börjar skolan?
Hur introducerar ni talen 1-10?
Använder ni er av barnens erfarenheter, i så fall på vilket sätt?
Vilka sinnen stimuleras i undervisningen?
Vilka metoder anser ni vara viktiga?
Arbetar ni med talbilder? Att se talen utan att räkna?
Siffrorna
Hur arbetar ni med symbolerna – siffrorna 0-9? Exempel?
Hur arbetar ni med kopplingen antal, siffra och räkneord?
Hur arbetar ni med siffror som inte har direkt koppling till antal, ex telefonnummer?
Material
Använder ni läromedel och i så fall hur?
Vilka andra typer av material använder ni?
Uppföljning
Hur tar ni reda på om en elev befäst sina kunskaper?
37
Matematiska och systemtekniska institutionen
SE-351 95 Växjö
Tel. +46 (0)470 70 80 00, fax +46 (0)470 840 04
http://www.vxu.se/msi/
38