Föreläsning 3 i) Magnetiskt moment för fri atom med ofyllt

Föreläsning 3
Atomära grunder (huvudkvantal n, bankvantal l, spinnkvantal s, magnetiska kvantal ml och ms)
i) Magnetiskt moment för fri atom med ofyllt elektronskal bestäms av totala impulsmomentet  J ; två bidrag från varje elektron i, banimpulsmoment l i och
spinnimpulsmoment  si (övergångsmetaller 3d och sällsynta jordartsmetaller 4f)
För lätta och medeltunga atomer gäller att växelverkan mellan banimpulsmoment /
spinnimpulsmoment tillhörande olika elektroner dominerar ⇒ L-S koppling,
L   l i , S   si and  J  L  S 
i
i
J 2  J  J  1 och J z  mJ där mJ   J ,   J  1 ,...
kvantiserade värden J  L  S , L  S  1,..., L  S
H
Besatta elektrontillstånd bestäms av Hund's regler (elektron-elektron växelverkan) som
ger tillståndet med lägst energi:
1) Elektroner besätter orbitaltillstånd så att S maximeras
2) Elektroner besätter orbitaltillstånd så att största möjliga L uppnås givet att
villkoret för S är uppfyllt
3) Totala impulsmomentet J bestäms enligt
J = |L - S| om elektronskalet är mindre än halvfyllt
J = L+S om elektronskalet är mer än halvfyllt
För isolerad Fe2+ jon som har sex 3d elektroner blir S = 2, L = 2 och J = 4.
ml -2 -1 0 1 2
ms     
Det atomära magnetiska momentet ges av
m  m L  m S   B L  2 S 
J och m inte parallella, bara projektionen av m på J är en rörelsekonstant ( m
precesserar runt J ). Det effektiva magnetiska momentet blir därför
proj.



 riktning

m   B L  2 S   J J  J J 
 B
L  J  2 S  J  J  
J ( J  1)
B g J där g  1 
J ( J  1)  S ( S  1)  L( L  1)
2 J ( J  1)
är Landés g-factor ( L2  J  S 2  J 2  S 2  2 J  S ; S 2  J  L 2  J 2  L2  2 J  L)
ii) Kristallfältet (≠centralfält) i ett material bryter L-S kopplingen och påverkar
banimpulsmomentet. Resultatet för magnetiska 3d element (Fe, Ni, Co) blir en
fluktuerade banrörelse, 3d elektronerna fluktuerar mellan olika banimpulsmoment
tillstånd och tidsmedelvärdet Lz  0  m  g B S  2 B S . Litet banimpulsmoment
kvarstår dock och ger upphov till magnetokristallin anisotropi;
L S  0.04 för Fe och  0.1 för Co.
iii) Är det lätt att få icke-växelverkande atomära magnetiska moment m ~ 1B att orientera
sig längs en gemensam riktning (= längs ett magnetfält)? Vid rumstemperatur krävs
k  300
0 Hm  kBT  0 H  B
 450 T
B
nej...
MEN, atomära magnetiska moment i ferromagnetiska material ordnar sig vid en temperatur så
att alla moment pekar längs samma riktning (spontan magnetism!). Måste innebära att det
finns växelverkan mellan momenten ⇒ parväxelverkansenergi J
Närmsta-granne växelverkan (nn) som med S i  mi mi skrivs
 J  0 ferromagnetisk ordning
Eex  2 J  S i  S j
J  0 antiferromagnetisk ordning
i, j
För ferromagnetiska material används medelfältsteori för att uppskatta J
kBTc  z J där z  antalet närmsta grannar
med Tc  1000 K blir J ~ 0.1 eV
Kan magnetisk dipol-dipol växelverkan vara urprunget?
0 m 2
Ed d  0 H dipol  m 
 0.1 meV med m  1 B , a  gitterkons tant  1 Å
4 a 3
Lite överraskande är ursprunget elektrostatiskt (elektron-elektron) och bestäms av överlappet
mellan elektronvågfunktioner tillhörande olika atomer.
Enligt Pauli’s princip kan två elektroner inte anta samma kvantillstånd k, s   två
elektroner som har samma elektronspinn har olika k-tillstånd, medans två elektroner
som har samma k-tillstånd har olika spinntillstånd.
Elektronernas utbredning i rummet och därmed den elektrostatiska energin
(växelverkan mellan elektroner) beror därför av elektronernas relativa spinnriktningar,
Coulomb energi , bara en liten del kan förklara …
e2 1
~ 10 eV
4 0 a
Överlapp mellan elektronernas vågfunktioner tillhörande olika atomer kan vara direkt
överlapp som för Fe, Co, Ni (och dess legeringar), eller indirekt via ex. syre 2p tillstånd
(superexchange, som hos ferrimagneter), eller via ledningselektroner (RKKY, RudermanKittel-Kasuya-Yosida).
Ferrimagnetism
Super-exchange interaction
Superexchange växelverkan hos Fe3O4 - antiferromagnetisk
Fe2+
M
O2-
Fe3+
JRKKY  F 2 kF r  
sin 2 kF r  2 kF r cos 2 kF r
2 kF r 4
iv) Vad händer med valenselektronernas energinivåer när atomer närmar sig varandra och
bildar ett fast material? Energiband skapas och elektronerna blir mer eller mindre
delokaliserade, mång-elektronvågfunktion med kontinuerliga energinivåer …
Exempel: magnetisk övergångsmetall, 3d4s
Tillståndstäthet
Energi, E
E
3d
4s
2p
2s
1s
Eex
EF
N  E 
N  E 
Den atomära magnetismen
kommer från 3d elektronerna
avstånd mellan
atomer
Energibanden tillhörande spinn-upp och spinn-ner 3d elektroner förskjuts i förhållande till
varandra p.g.a. Eex och bildar majoritets- och minoritetsband; elektroner i majoritetsbandet
band har sin spinnriktning parallel med (lokala) magnetiseringen.
Blandning av elektrontillstånd med 3d och 4s karaktär får till följd att antalet elektroner i
varje band inte behöver vara ett heltal, bara antalet valenselektroner antas vara ett heltal
för grundämnen.
Exempel:
i) Fe har 8 valenselektroner som delas upp på 3d och 4s energibanden. Experimentella
resultat visar att det finns 0.95 4s elektroner, vilket innebär att
EF
n3d   N  N  dE  n3d   n3d   7.05
0
Andra experimentella resultat visar på ett magnetisk moment
EF
mFe  B   N  N  dE  n3d   n3d   2.2
0
vilket innebär att n
och n3d   2.42 .
3d   4.62
ii) Ni har 10 valenselektroner att delas på 3d aoch 4s banden. Experimentalla resultat
visar att det finns 0.6 4s elektroner och att mNi  B  0.60 , vilket ger n3d   5
och n3d   4.4 .
Ferromagnetiska grundämnen
Gd – FM 293 K; Tb – FM 219 K; Dy – FM 85 K; Ho – FM 19 K; Er – FM 19 K; Tm – FM 32 K
Men det finns många legeringar som är ferromagnetiska, och vi har de ferrimagnetiska
materialen
Ferromagnetiska legeringar och magnetiska moment enligt Slater-Pauling kurvan
Momentet enligt 'rigid band model' propotionellt mot [5 - (n - x - 5)] B om majoritetsbandet
fullt, n = antalet valenselektroner (3d + 4s), x = antalet 4s elektroner
Antalet valenselektroner per formelenhet för legering behöver inte vara heltal,
exempelvis Fe1-yNiy , n = 8×(1-y) + 10×y
E
EF
N  E 
N  E 
Ordnade magnetiska material – spinnordning
J >0
J>0
ferroe.g. Fe, Co,Ni
JAB
J <0
<0
JABJ<0<0
AB
AB
ferrimagnetisk ordning, M2+O-Fe2O3
M2+ och Fe3+ fördelar sig på
8 tetraedriska (4 syre nn) och 16
oktaedriska positioner (6 syre nn)
antiferroe.g. Cr, MnO, MnS
MnF2, FeO, NiO
e.g. Fe3O4,
a≈8Å
A
A
B
B
Fe3+ 5B
T  Tc paramagnetiskt beteende

M
C

;
H T  Tc

2C
;
T  TN

C A  CB  T  2Tc
T 2  Tc2
C ACB
Fe2+ 4B
Kubiska ferriter
Spinell
8 Mg2+ i tetrahedriska positioner
16 Al3+ i oktahedriska positioner
Invers spinell (ex. FeO-Fe2O3)
8 Fe3+ i tetrahedriska positioner
8 Fe3+ i oktahedriska positioner
8 Fe2+ i oktahedriska positioner
Kristallstruktur för ferrimagneter
A
B
Kompensationstemperatur ferrimagneter
det är den remanenta
magnetiseringen som
kan bli negativ
T  Tc ordnad magnetisk struktur, ferro- and ferrimagnetiska material erhåller
SPONTAN och STARK magnetisering
material
Tc  J
Fe
770 oC (1140 K)
Ni
360 oC (630 K)
Co
1150 oC (1420 K)
Fe3O4
550 oC (820 K)
In this course, we will only be interested in ferro- and ferrimagnetic materials.
Egenskaper under Tc: Hystereskurvan
M s T   mättnadsmagnetiserin g
M R T   remanent magnetisering
H ci T   koercivfält
Hci 0
Hur ser B vs. Hi ut ?
magnetfält Hi
B  0 M  Hi  …
Begrepp
1
 m , mi // H i
V i i
men spinn - excitationer ger lägre mättnadsmagnetisering, M s T   M 0 1  cT 3 2
i) Mättnadsmagnetisering: M s 

T  Tc  M s T   M 0
Spinnvågsexcitationer
a
våglängd
Material
M0
Fe
1.7·106 A/m
Ni
4.8·105 A/m
Co
1.4·106 A/m
Fe3O4
5.1·105 A/m
ii) Remanent magnetisering; den uppmätta magnetiseringen då Hi  0 ,
remanent induktion används också Br  0M r .
iii) Koercivfält; man skiljer på inre korcivfält H ci definierad av M  0,
och H c definierad av B  0 , H ci  H c ; B  0 M ( Hi )  Hi   0 när M ( Hi )   Hi

Klassificering av magnetiska material
Man använder H c eller H ci för att särskilja på magnetiska material. Ferro- och
ferrimagnetiska material klassificeras som magnetiskt hårda eller mjuka enligt
H c  10 kA/m
H c  10 kA/m
för hårdmagnetiska material, och
för mjukmagnetiska material.
hårdmagnetisk
mjukmagnetisk
Hi
Hi
Hc bestäms av:
• magnetokristallin anisotropi,
• i granulära material av kornstorlek och kornform (formanisotropi),
• spänningar i materialet, skapar via magnetoelastisk energi lokala variationer
i magnetisk anisotropi som kan hindra domänvaggarnas rörelse, och
• sekundära faser, kaviteter, etc. som kan hindra domänväggarnas rörelse.
Empirisk relation mellan r och Hc ; hög r motsvarar låg Hc.
r
Tillämpningar
Önskvärda egenskaper mjukmagnetiska; hög in , M s ,Tc , och r, men låg Hc .
Elektromagneter, transformatorer, generatorer, elektriska motorer…
Önskvärda egenskaper hårdmagnetiska; hög Hc , Ms , Mr och Tc.
Magnetiska lagringsmedia, generatorer, permanentmagneter för andra tillämpningar …
Till sist, högfrekvenstillämpningar (rf-området) kräver magnetiska isolatorer,
ferrimagnetiska material som ex. NiO-Fe2O3. Varför? Virvelströmmar ...
Mål
• Känna till det atomära ursprunget till magnetism (spinn- och banimpulsmoment)
• Känna till begreppet 'quenching of orbital moment'
• Känna till utbytesväxelverkan mellan atomära magnetiska moment och dess ursprung
• Kvalitativt kunna beskriva ferro- och ferrimagnetism utifrån majoritets och
minoritets elektronernas tillståndstätheter
• Förstå varför atomära magnetiska moment hos magnetiska övergångsmetaller
(och dess legeringar) inte behöver vara ett heltal av Bohr-magnetonen
• Känna till Slater-Pauling kurvan
• Känna till vad som skiljer ferro-, ferri- och antiferromagnetiska material vad gäller
Magnetisk ordning
• Känna till begreppen magnetisk ordnings temperatur (Tc), mättnadsmagnetisering (Ms),
remanent magnetisering (Mr), koercivfält (Hci och Hc) och vad de innebär
• Känna till hur man skiljer på mjuk- och hårdmagnetiska material